NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Năm hoc 2009-2010
P S
T

DẠNG: TÌM CÁC NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ.
Bài 1: Tìm các nguyên hàm của hàm số:
1/ f(x) = x
3
- 2x
2
+5x - 4 2/
3
2
2
1
23)(
x
xxxf
−−=
3/ f(x) =
2
3
3 5
3
5 x
x
++
4/ f(x) = (2x-1)
3
Bài 2: Tìm các hàm số f(x) biết:
1/ f '(x) = 2x+1 và f(1) = 5 2/ f '(x) = 2 - x

2
và f(2) = 7
* DẠNG: TÍCH PHÂN CỦA HÀM LUỸ THỪA
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1/
∫
−+
−
dxxx )5(
2
1
4
3
2/
∫
++−
−−
dxxxx )142(
23
3/
∫
+−
dxxxxx )1)(2(
4/
dx
x
xx
∫
−
3

2

5/
dx
x
x
∫
+
4
2
)2(
6/
∫
+
dx
x
x
2
22
)1(
Bài 4: Tính các tích phân sau:
1/
∫
−
dxxx )7(
3
2
4
2/
∫

−
dxx
3
)32(
3/
∫
−
dx
x
4
)2(
3
4/
∫
+
dxx
5
3
)1(
* DẠNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ SƠ CẤP: Gồm các hàm số: lượng
giác, mũ, logarit
Bài 5: Tính các tích phân sau:
1/
∫
xdx2sin
2/
∫
xdx2cos
3/
∫

x
dx
sin
4/
∫
x
dx
cos
5/
∫
xdxtg2
6/
∫
xdxtg
2
7/
∫
xdx
2
cos
8/
∫
xdx
2
sin
9/
∫
xdx
3
cos

10/
∫
xdx
3
sin

11/
∫
xdxx
5
cossin
12/
∫
xdxx
4
sincos
13/
∫
−
dxxx 1cos2sin
14/
∫
dx
x
x
2
cos
sin
15/
dxxg

∫
2
cot

16/
∫
−
−
dxee
xx
)1(
17/
∫








+
−
dx
x
e
e
x
x
2

cos
2
18/
∫
−
−
dx
xx
)53(
19/
∫
dxxe
x
2
20/
dxxe
x
∫
sin2
cos
21/
∫
+
dx
x
xln3
22/
∫
+
dx

x
x
3
)ln5(
* DẠNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM HỮU TỈ
Bai 6: Tính các tích phân sau:
1/
∫
+
+
dx
x
x
1
32
2/
∫
+
++
dx
x
xx
1
132
2
3/
∫
−
+
dx

x
x
2
1
3
4/
∫
+
dx
x
x
1
2
2
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1:
Nhận dạng biểu thức dưới dấu tích phân có chứa :
1/
22
xa
−
thì đặt : x = asint ( hay x = acost ).
2/
22
ax
−
thì đặt : x =
sint
a
( hay x =

cost
a
).
3/
22
xa
+
hay x
2
+a
2
thì đặt : x = atgt .
Bài 1: Tính các tích phân:
1/
∫
−
2
1
0
2
1 dxx
2/
∫
−
2
1
22
4 dxxx
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PHAN SỸ TÂN (Sưu tầm) - 1 - PHAN SỸ TÂN
(Sưu tầm)
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Năm hoc 2009-2010
3/
∫
−
2
1
0
2
1 x
dx
4/
∫
−
2
3
0
32
)1( x
dx
Bài 2:Tính các tích phân:
1/
∫
+
3
0
2
9 x
dx

2/
∫
+
1
0
2
1 dxxx
3/
∫
+
3
2
2
1 xx
dx
4/
∫
+
3
0
32
)9( x
dx
5/
∫
+
3
1
2
2

39
x
x
6/
∫
−
++
0
1
2
1xx
dx
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1/
∫
−
3
4
2
3
2
4
dx
x
x
2/
∫
−
3
2

2
2
1xx
dx
3/
∫
−
4
3
2
2
4x
dxx
ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2:
DẠNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM: LUỸ THỪA, PHÂN THỨC.
Tính các tích phân sau:
1/
∫
+
1
0
1
dx
x
x
2/
∫
+
1
0

32
)1(
dx
x
x
3/
∫
+
1
0
3
)1(x
dx
4/
∫
−
1
0
2
4
dx
x
x
5/
∫
−
1
0
2
4

1
dx
x
x
6/
∫
++
+++
1
0
2
23
92
1102
dx
xx
xxx
7/
∫
++
++
1
0
2
2
92
10
dx
xx
xx


8/
∫
−−
3
0
2
2 dxxx
9/
∫
−
2
1
5
)1( dxxx
10/
∫
−
9
1
3
1 dxxx
11/
∫
−
++
+
1
1
2

1
12
dx
xx
x
12/
∫
+
2
1
4
2
1
dx
x
x

DẠNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM: LƯỢNG GIÁC
1/
∫
−
+
2
0
3
cossin
cossin
π
dx
xx

xx
2/
∫
3
6
22
cos.sin
π
π
xx
dx
3/
∫
+
3
6
2
3
cos1
cos.sin
π
π
dx
x
xx
4/
∫
3
4
22

cos.sin
2cos
π
π
xx
xdx
5/
∫
−
3
4
2
2
cos
cot23
π
π
dx
x
xg

6/
∫
−
4
6
2
3
sin
sin1

π
π
dx
x
x
7/
∫
+
2
0
cossin
sin
π
dx
xx
x
8/
∫
+
3
6
2
3
sin1
cos2
π
π
x
xdx
9/

∫
2
0
32
cos.sin
π
xdxx
10/
∫
4
0
3
π
xdxtg
11/
∫
4
0
4
π
xdxtg
12/
dxx
∫
4
0
4
sin
π
13/

∫
2
0
44
cos.sin
π
xdxx
14/
∫
6
0
2
sincos
π
dx
xx
dx
15/
∫
+
+
2
0
cos1
sin1
π
dx
x
x
16/

∫
+
3
6
2
cos
2sin1
π
π
x
xdx
17/
∫
−
π
0
2sin1 dxx
18/
∫
−
π
2
0
2cos1 dxx
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHAN SỸ TÂN (Sưu tầm) - 2 - PHAN SỸ TÂN
(Sưu tầm)
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Năm hoc 2009-2010
19/

∫
+
−
4
5
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx
20/
dxxx
∫
2
0
33
cossin
π
21/
∫
+
2
0
sin2
π
x
dx
22/

∫
+
4
0
2cos2sin
π
xx
dx
23/
dx
x
x
∫
+
2
0
4
sin1
2sin
π
24/
∫
++
2
0
1cossin
π
xx
dx
DẠNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM: SỐ MŨ

1/
∫
+
−
1
0
1
1
dx
e
e
x
x
2/
∫
+
2ln
1
1
x
e
dx
3/
∫
+
−
−
2ln
1
1

x
x
e
dxe

4/
∫
+
−
−
1
0
2
1
x
x
e
dxe
5/
∫
−
2ln
0
1dxe
x
6/
∫
+
+
1

0
12
2
dx
e
e
x
x
DẠNG:
∫
++
cbxax
dx
2
,
∫
++
cbxax
dx
2
với a
04,0
2
<−=∆≠
acb
Bài:
1/
∫
++
1

0
2
1xx
dx
2/
∫
+−
1
0
2
42xx
dx
3/
∫
+−
3
2
2
74xx
dx
4/
∫
+−
2
1
2
23 dxxx


DẠNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

Dạng 1:
∫










b
a
xu
dx
e
xu
xu
xP
)(
)(cos
)(sin
)(
. Đặt u = P(x) ,
dx
e
xu
xu
dv

xu










=
)(
)(cos
)(sin
Dạng 2:
∫
b
a
xdxxP ln)(
Đặt u = lnx , dv = P(x).
1/
∫
+
2
0
2sin)1(
π
xdxx
2/

∫
+
2
0
)1ln(2
π
dxxx
3/
∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx

4/
∫
+
2
0
)cos1ln(.cos
π
dxxx
5/
∫
2
0
2cos
π
xdxe

x
6/
∫
−−
−
1
0
2
)12( dxxxe
x

7/
∫
+
1
0
22
)1( dxex
x
8/
∫
2
0
2
sin
π
xdxx
9/
∫
+

2
0
2
cos)1(
π
xdxx

10/
dxxx )1cos2(
4
0
2
−
∫
π
11
∫
2
0
sin
π
dxx
12/
∫
3
4
2
cos
)ln(sin
π

π
dx
x
x

------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHAN SỸ TÂN (Sưu tầm) - 3 - PHAN SỸ TÂN
(Sưu tầm)
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Năm hoc 2009-2010
13/
∫
+
1
0
2
)1(
dx
x
xe
x
14/
∫
2
0
2
sincos
π
xdxxx
15/

∫
+






−+
1
2
1
1
1
1 dxe
x
x
x
x
16/
∫
+
e
x
dxe
x
xx
1
ln1


PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ĐỒNG NHẤT THỨC
DẠNG:
∫
++
+
dx
cbxax
BAx
2
, với a
04,0
2
>−=∆≠
acb
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1/
∫
+−
+
4
3
2
23
32
dx
xx
x
2/
∫
+−

3
6
2
6sin5sin
cos
π
π
dx
xx
x
ỨNG DỤNH HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

PHẦN I: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
DẠNG 1:
Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = f(x) liên tục
trên [ a ; b ], và các đường thẳng x = a , x = b , trục hoành:

∫
=
b
a
dxxfS )(
Bài 1:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = x
2
- 4x + 3 , và
các đường thẳng x = 2 , x = 4 và y = 0.
Bài 2:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = x
3

- 3x
2
+ 2 ,
và các đường thẳng x = 0 , x = 2 và y = 0.
Bài 3:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = cosx trên
đoạn [ 0 ;
4
3
π
] và trục hoành.
DẠNG 2:
1/ Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = f(x) và y =
g(x) liên tục trên
[ a ; b] ,và các đường thẳng x = a , x = b, trục hoành:

∫
−=
b
a
dxxgxfS )()(
1/ Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị x = f(y) và x =
g(y) liên tục trên [ a ; b] ,và các đường thẳng y = a , y = b, trục tung:

∫
−=
b
a
dyygyfS )()(
Bài 4:

Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị f(x) = x
3
+ 2, g(x)
= 3x
2
và các đường thẳng x = 0 , x = 3 và y = 0.
Bài 5:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị f(x) =
x
, y = x -
2 , trục hoành. ( giải bằng 2 cách )
Bài 6:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị f(x) = -x
3
+ 3x + 1,
g(x) = x
2
+ x + 1
.

Bài 7:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị f(x) = x
3
- 2x
2
- x +
2, và trục hoành.
BÀI TẬP VỀ DIỆN TÍCH:
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau:
1/ y = 2x - x

2
, x + y = 2.
2/ y = x
3
- 12x, y = x
2
.
3/
2
1
,
1
1
2
=
+
=
y
x
y
.
4/ y = (x - 6 )
2
, y = 6x - x
2
5/ y = x
3
- 1 và tiếp tuyến y = x
3
- 1 tại M( -1 ; -2 ) .

6/ y = x + sinx , y = x , với
π
20
≤≤
x
.
7/ y = x
3
, y = x
2
.
8/ y = lnx, y = 1, x = 4 .
9/
xy ln
=
; y = 1 .
10/ y = x
4
- 4x
2
+ 4 , y =x
2
, trục tung và đường thẳng x = 1 .
11/ y = -x
2
+ 4x - 3 và các tiếp tuyến của nó tại các điểm A( 0 ; - 3) và B(
3 ; 0 ).
Bài 2:
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PHAN SỸ TÂN (Sưu tầm) - 4 - PHAN SỸ TÂN
(Sưu tầm)
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Năm hoc 2009-2010
1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
x
ey
=
, y =
2 và đường thẳng x = 1 ( TN2006 ).
2/ Tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị :
y
2
= 4x , y = 2x - 4 .
3/ Tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị :
x = y
3
, y =1 và x = 8 .
4/ Tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị :
y = x + 4y
2
= 4 , x + y
4
= 1.
5/ Tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị :

1
63
2
−
+−

=
x
xx
y
, tiệm cận xiên của đồ thị
1
63
2
−
+−
=
x
xx
y
và các đường
thẳng x =2 , x = 4.
PHẦN II: TÍNH THỂ TÍCH
DẠNG 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = f(x) liên tục trên [ a ;
b ], và các đường thẳng x = a , x = b , trục hoành. Thể tích của vật thể
tròn xoay sinh ra bởi (H) quay quanh Ox là:

[ ]
∫
=
b
a
dxxfV
2
)(
π

DẠNG 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị x = g(y) liên tục trên
[ a ; b ], và các đường thẳng y = a , y = b , trục tung. Thể tích của vật
thể tròn xoay sinh ra bởi (H) quay quanh Oy là:

[ ]
∫
=
b
a
dyygV
2
)(
π
ÁP DỤNG:
Bài 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H)
quay quanh trục Ox và hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:
1/ y = x
2
, x = 1, x = 2, y = 0.
2/ y = e
x
, x = 0 , x = 2 , y = 0.
Bài 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H)
quay quanh trục Oy và hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị:
1/ y = x
2
- 4, y = -1 , y = 1 ; y = 0.
2/ y = lnx , y = 0 , y = 1 , x = 0.
BÀI TẬP:
Bài 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H) quay

quanh trục Ox và hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị:
1/ y = x
2
- 4x , y = 0.
2/ y = x
2
- 1, y = 0 .
3/ y = lnx , y = 0 , x = e.
4/ y = cosx , y = 0 , x = 0 và x =
π
5/ y =
x
, y = 0 , x = 0 , x = 2 .
6/ y =
x
, y = x
2
.
7/ y = x
2
- 3 , y = -1 , y = 0 .
Bài 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H) quay
quanh trục Oy và hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị:
1/ y = x
3
, x = 0 , y = 1, y = 2.
1/ y =
x
, y = x
2

.
2/ y = x
2
- 4x + 3, y = -1, y = 3.


------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHAN SỸ TÂN (Sưu tầm) - 5 - PHAN SỸ TÂN
(Sưu tầm)