Moon.vn

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA

ĐỀ THI SỐ 35

NĂM HỌC: 2019 – 2020
MÔN: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề
7

Câu 1. Rút gọn biểu thức P = x 3 : 3 x với x > 0 .
A. P = x 7 .

B. P = x 2 .

8

7

C. P = x 3 .

D. P = x 9 .

C. 1.

D. 5.

C. ( 2; +∞ )

D. ( −∞;0 )

Câu 2. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là:
A. 4.

B. 0.

Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −2;0 )

B. ( 0; 2 )

Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : y − 7z + 5 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ
pháp tuyến của ( P ) ?
r
A. n = ( 0; −7;5 )

r
B. n = ( 0;7;5 )

r
C. n = ( 0;1; −7 )

 x = −1 − t

Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = −2 + 2t
 z = 3 + 4t


vectơ chỉ phương của d?
r
A. u = ( 1; 2;3)

r
B. u = ( 1; 2; −3)

r
D. n = ( 0;1;7 )

( t ∈ ¡ ) . Vectơ nào dưới đây là một

r
C. u = ( 1; 2; 4 )

r
D. u = ( −1; 2; 4 )

Câu 6. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?

Trang 1


A. y =

x−2
1− x

B. y =


x+2
x −1

C. y =

x+2
1− x

D. y =

x−2
x −1

Câu 7. Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa mãn ( z + 1) i = 1 − 2i .
A. 3 + i

B. 3 − i

C. 1 + 3i

Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

( P ) : 2x − 3y + 4z − 1 = 0 . Kí hiệu α
A. P =

5 29
27

B. P =


D. −3 + i
x −3 y+2 z −4
=
=
3
4
2

và mặt phẳng

là góc giữa d và ( P ) . Tính P = sin α .

3 93
29

C. P =

2
27

D. P =

2
29

Câu 9. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Phương trình f ( x ) − 1 = 0 có số nghiệm thực là:
A. 1.


B. 2.

Câu 10. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

x+4 +C

B. 2 x + 4 + C

C. 3.

D. 4.

1
là:
x+4
C.

1
+C
x+4

D.

2
+C
x+4

Câu 11. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và có đồ thị ( C ) như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng giới

hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = 0, x = −1, x = 1 được tính theo công thức?

Trang 2


1

A. S = ∫ f ( x ) dx
−1

1

1

−1

0

0

1

−1

0

D. S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

C. S = − ∫ f ( x ) dx
−1


2
Câu 12. Cho phương trình phức z − bz + c = 0 ( b, c ∈ ¡

A. 1.
Câu 13. Giới hạn lim

0

B. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx

B. 9.

)

có một nghiệm z = 2 + i . Tính b + c .

C. 4.

D. 11.

C. 4.

D. +∞ .

n 4n 2 + 1
bằng:
n2 + 2

A. 2.


B. 0.

Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1;3; −2 ) , B ( 2; 4; 2 ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung
sao cho M cách đều hai điểm A và B.
A. M ( 0; −5;0 )

B. M ( 0;5;0 )

Câu 15. Cho x = 2020! . Tính P =
A. 2020!

1
log 22020 x

C. M ( 0; −6;0 )
+

1
log 32020 x

+

1
log 42020 x

C. P =

B. 2020


+ ... +

1
2020!

D. M ( 0;6;0 )
1
log 20202020 x

.

D. P =

1
2020

10

1

Câu 16. Hệ số của x 6 trong khai triển của biểu thức  3x + ÷ bằng:
x

A. 262440.
Câu 17. Cho hàm số y =

B. 295245.

C. 153090.


D. 196830.

x−m
(m là tham số thực và m > 0 ) thỏa mãn max [ 1;4] y = −1 . Mệnh đề nào
x+2

dưới đây là đúng?
A. m > 9

B. 6 < m ≤ 9

Câu 18. Tính đạo hàm của hàm số y =
22x + 4 2
A. y ' = 2x ln
3
3

C. 0 < m ≤ 3

D. 3 < m ≤ 6

4 x +1
.
9x

22x +3 2
B. y ' = 2x ln
3
3


C. y ' =

2x

2

+3

3

x2

2
ln
3

D. y ' =

2

2x

+4

3

x2

ln


2
3
Trang 3


1

1

1

0

0

0

Câu 19. Cho ∫ f ( x ) dx = 2 và ∫ g ( y ) dy = −3 . Tính I = ∫ f ( z ) + g ( z )  dz .
A. I = −1

C. I = 8

B. I = −4

D. I = 5

Câu 20. Cho hình nón ( N ) có diện tích xung quanh bằng 15π và diện tích toàn phần bằng 24π . Tính thể
tích V của khối nón ( N ) .
A. V = 12π


B. V = 36π

C. V = 15π

D. V = 45π

Câu 21. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

mx + 4
có đúng
x − 3x + 2
2

hai đường tiệm cận. Tính tổng tất cả các phần tử của S.
B. −2

A. 2.

C. 6.

D. −6

x

Câu 22. Biết rằng phương trình 3x − 5.3 2 + 4 = 0 có đúng hai nghiệm thực phân biệt x1 , x 2 . Tính giá trị
của biểu thức S = x1 − x 2 .
A. S = 4 log 3 2

B. S = 2 log 3


4
3

C. S = 6 log 3 2

D. S = 4 log 3

4
3

Câu 23. Cho lăng trụ ABC.A 'B'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh AC = 2a và
AA ' = a 2 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm của cạnh AC.
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A 'B'C ' .
A. V =

1 3
a
2

1 3
B. V = a
3

C. V = a 3

D. V =

2 3
a
3


Câu 24. Giải phương trình log 2 ( x + 1) + log 1 x + 3 = 0 .
2

A. x = 6

B. x = 1

C. x = 8

D. x = 2

Câu 25. Trong ngày sinh nhật thầy Bắc, cô Ly tặng cho thầy hai chiếc mũ hình nón có đường sinh bằng
nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 6cm và 9cm. Thầy Bắc dự định làm một chiếc mũ, hình nón, có cùng
đường sinh và có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích xung quanh của hai chiếc mũ trên (để tặng
lại cô Ly). Bán kính đáy của chiếc mũ dự định làm bằng:
A. 15cm.

B. 18cm.

C. 12cm.

D. 14cm.

Câu 26. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
2 z − 1 + 4i = z + 2 − 3i là một đường tròn có tâm I ( a; b ) . Tính a + b .
A. 7.

B. -7


C. 9.

D. -9

Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A ( 1; 2;3) , B ( 0; −1; 2 ) , C ( 1;1;1) . Viết phương trình mặt
phẳng ( P ) đi qua A và gốc tọa độ O, đồng thời khoảng cách từ B đến ( P ) bằng khoảng cách từ C đến

( P) .
Trang 4


A. 3x − z = 0 hoặc 2x + y = 0 .

B. 3x − y = 0 hoặc 2x − z = 0 .

C. 3x − z = 0 hoặc 2x − y = 0 .

D. 3x − y = 0 hoặc 2x − z = 0 .

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

( P ) : x + 4y − 2z + 6 = 0 . Viết phương trình đường thẳng

x − 2 y + 1 z −1
=
=
và mặt phẳng
1
−1
1


∆ đi qua A ( 1; −1;3) , cắt đường thẳng d và song

song với mặt phẳng ( P ) .
A. ∆ :

x −1 y +1 z − 3
=
=
4
1
4

B. ∆ :

x −1 y +1 z − 3
=
=
2
1
3

C. ∆ :

x −1 y +1 z − 3
=
=
2
−1
−1


D. ∆ :

x −1 y +1 z − 3
=
=
−2
2
3

1 3 1
2
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc ( −9;9 ) của m để đồ thị hàm số y = x − ( m + 5 ) x + mx
3
2
có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía so với trục tung?
A. 8.

B. 10.

C. 9.

D. 7.

Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB vuông cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và ( ABCD ) bằng
60° . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:
A.

a3 3

6

B.

a3
6

C.

a3 3
3

D.

Câu 31. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

(

3

a3
3

)

f ( x ) + m = x 3 − m có nghiệm

x ∈ [ 1; 2] biết f ( x ) = x 5 + 3x 3 − 4m .
A. 16.


B. 15.

Câu 32. Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡
A. 1.

B. 2.
5

Câu 33. Biết rằng

∫
2

A. S = −1

C. 17.

)

thỏa mãn

D. 18.

2 − iz z + 2i
−
= 2z . Tính a + b .
2 + i 1 − 2i
C. −1 .

D. −2 .


dx
a + b 21
=
, với a, b ∈ ¢ . Tính S = a + b .
30
4x + 1 + 2 x − 1
B. S = −2

C. S = −54

Câu 34. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =

D. S = −62
2x − 1 − m 2
nghịch biến trên khoảng
2x − 1 − 4m

( 1;5) ?
A. 4.

B. 3.

C. 5.

D. 2.

Trang 5



Câu 35. Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 1; 2;5 ) . Tìm số mặt phẳng ( α ) đi qua M và cắt các trục
Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA = OB = OC (A, B, C không trùng với gốc tọa độ O).
A. 8.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
cạnh AB = a, BC = a 2,SA = a . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Côsin của góc giữa hai đường thẳng AI
và SC bằng:
A.

6
3

B.

1
2

C.

2
3

D.


2
8

Câu 37. Cho hình lăng trụ ABC.A 'B'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = 2a . Hình
chiếu vuông góc của B’ trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng AB’ tạo với
mặt phẳng ( ABC ) một góc 45° . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC’ bằng:
A. 2a.

B. a.

C.

2a 6
3

D.

a 6
3

Câu 38. Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị ( C ) , biết rằng ( C ) đi qua điểm A ( −1;0 ) , tiếp tuyến d
tại A của ( C ) cắt ( C ) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ
thị ( C ) và hai đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng

28
(phần gạch chéo trong hình vẽ).
5

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị ( C ) và hai đường thẳng x = −1; x = 0 có diện tích bằng:
A.


2
5

B.

1
9

C.

2
9

D.

1
5

Câu 39. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của f ' ( x ) như sau:

Trang 6


3
2
Bất phương trình f ( x ) < −2x + 3x + m đúng với mọi x ∈ ( 0;1) khi và chỉ khi

A. m > f ( 0 )


B. m ≥ f ( 0 )

C. m > f ( 1) − 1

D. m ≥ f ( 1) − 1

Câu 40. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ các chữ số
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Từ A chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được chọn có chữ số 1 và chữ số 2
đứng cạnh nhau.
A.

5
21

B.

5
18

C.

2
7

D.

1
3

Câu 41. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A 'B 'C ' có cạnh AB = AA ' = a . Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB và B’C’. Mặt phẳng ( A ' MN ) cắt BC tại điểm P. Thể tích của khối đa diện
MBP.A 'B ' N bằng:

A.

3a 3
24

B.

3a 3
12

C.

7 3a 3
96

D.

7 3a 3
32

Câu 42. Cho hình trụ ( T ) có bán kính đáy bằng 3. Một mặt phẳng ( P ) cắt hình trụ ( T ) theo thiết diện là
hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB, CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy. Biết cạnh
AB = AD = 2 5 , tính thể tích của khối trụ đã cho:
A. 20π

B. 16π


C. 22π

D. 18π

2020

Câu 43. Xét tích phân I =

∫ x ( x − 1) ( x − 2 ) ... ( x − 2020 ) dx . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
0

A. 0 < I < 1

B. −1 ≤ I ≤ 0

C. I < −1

D. I ≥ 1

Câu 44. Phương trình 2020sin x = sin x + 2 − cos 2 x có bao nhiêu nghiệm thực thuộc đoạn [ 6π;12π] ?
A. 6.

B. 7.

C. 9.

D. 8.

2
2

Câu 45. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm với f ' ( x ) = x ( x + 1) ( x + 2mx + 5 ) với ∀x ∈ ¡ . Có bao nhiêu

giá trị nguyên của tham số m để hàm số f ( x ) có đúng một điểm cực trị?
A. 7.

B. 0.

C. 6.

Câu 46. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log 3

thức T =

D. 5.

2x + y + 1
= x + 2y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
x+y

1 2
+
?
x
y

A. 3 + 3

B. 4.

C. 3 + 2 3


D. 6.

Trang 7


1
x + 1 + m − x = 2 + m 2 ( m − 1) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
2

Câu 47. Cho phương trình

m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất?
A. 2.

B. 1.
f ( x)

Câu 48. Cho hàm số

C. 3.

liên tục và có đạo hàm trên khoảng

π
sin x + f ( x ) = x cos x + f ' ( x )  và f  ÷ = π − 1 . Giá trị của
2
A.

2π − 3 3

6

B.

D. Vô số.

4π − 3 3
6

C.

thỏa mãn

π
f  ÷ bằng:
6

2π − 3
6

Câu 49. Cho z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình

( 0; +∞ )

D.

( 2 + i)

4π − 3
6


z z − ( 1 − 2i ) z = 1 + 3i và z1 − z 2 = 1 .

Tính P = 2z1 + 3z 2 .
A. P = 19

B. P = 25

Câu 50. Trong không gian

( P ) : x − 2y + 2z − 5 = 0 . Viết

C. P = 5

Oxyz , cho hai điểm

D. P = 19
A ( −3;0;1) , B ( 1; −1;3)

và mặt phẳng

phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A, song song với mặt

phẳng ( P ) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất.
A. d :

x + 3 y z −1
= =
26 11 −2


B. d :

x +3
y
z −1
=
=
26
−11
2

C. d :

x + 3 y z −1
= =
26 11
2

D. d :

x + 3 y z −1
= =
−26 11 −2

Trang 8


Đáp án
1-B
11-A

21-D
31-A
41-C

2-A
12-B
22-A
32-B
42-D

3-B
13-A
23-C
33-D
43-B

4-C
14-B
24-B
34-B
44-B

5-D
15-B
25-A
35-C
45-C

6-C
16-B

26-B
36-A
46-D

7-D
17-A
27-C
37-C
47-B

8-D
18-B
28-C
38-D
48-C

9-B
19-A
29-A
39-B
49-D

10-B
20-A
30-C
40-A
50-A

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án B

7

1

7 1

Ta có P = x 3 : x 3 = x 3 − 3 = x 2 .
Câu 2: Đáp án A
Giá trị cực tiểu của hàm số f ( x ) là 4.
Câu 3: Đáp án B
Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( 0; 2 ) .
Câu 4: Đáp án C

r
Mặt phẳng ( P ) : y − 7z + 5 = 0 có một VTPT là n = ( 0;1; −7 ) .
Câu 5: Đáp án D
Đường thẳng d :

r
x +1 y + 2 z − 3
=
=
có một VTCP là u = ( −1; 2; 4 ) .
−1
2
4

Câu 6: Đáp án C
ĐTHS có tiệm cận ngang y = −1 ⇒ Loại B và D.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Câu 7: Đáp án D
Số phức z =

1 − 2i
− 1 = −3 − i có số phức liên hợp là z = −3 + i .
i

Câu 8: Đáp án D

r
Đường thẳng d có một VTCP là u = ( 3; 4; 2 ) .
r
Mặt phẳng ( P ) có một VTPT là n = ( 2; −3; 4 ) .
Ta có P = sin α =

3.2 + 4. ( −3) + 2.4
32 + 42 + 22 . 22 + ( −3) + 42
2

=

2
.
29

Câu 9: Đáp án B
Đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại đúng 2 điểm phân biệt.
Câu 10: Đáp án B
Ta có


∫

1
1
dx = ∫
d ( x + 4) = 2 x + 4 + C .
x+4
x+4
Trang 9


Câu 11: Đáp án A
Ta có S =

1

1

−1

−1

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx .

Câu 12: Đáp án B

( 2 + i)
Ta có

2


− b ( 2 + i ) + c = 0 ⇔ 3 + 4i − 2b − bi + c = 0

4 − b = 0
b = 4
⇔ 3 − 2b + c + ( 4 − b ) = 0 ⇔ 
⇔
⇒ b+c =9
3 − 2b + c = 0
c = 5

Câu 13: Đáp án A
4
n 4n + 1
n2 = 4 = 2 .
Ta có lim
=
lim
2
n2 + 2
1
1+ 2
n
4+

2

Câu 14: Đáp án B
uuuu
r

2

 AM = ( −1; t − 3; 2 )
 AM = 1 + ( t − 3) + 4
⇒
r
Ta có M ( 0; t;0 ) ⇒  uuuu
.
 BM = ( −2; t − 4; −2 )
 BM = 4 + ( t − 4 ) 2 + 4

2
2
Ép cho AM = BM ⇒ t − 6t + 14 = t − 8t + 24 ⇒ 2t = 10 ⇒ t = 5 ⇒ M ( 0;5;0 ) .

Câu 15: Đáp án B
1
Ta có log 22020 x

Từ đó

=

1
1
log 2 x
2020

= 2020 log x 2


.

P = 2020 ( log x 2 + log x 3 + log x 4 + ... + log x 2020 )
= 2020 log x ( 2.3.4....2020 )  = 2020 log 2020! ( 2020!) = 2020

Câu 16: Đáp án B
10

k

10
10
1
10 − k 1

k
Ta có  3x + ÷ = ∑ C10
( 3x )  ÷ = ∑ C10k .310−k.x10−2k ⇒ 10 − 2k = 6 ⇒ k = 2 .
x

x
k =0
k =0
2 8
Hệ số cần tìm là C10 3 = 295245 .

Câu 17: Đáp án A
Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên [ 1; 4] .
Ta có y ' =


2+m

( x + 2)

2

> 0, ∀m > 0; x ∈ ( 1; 4 ) ⇒ max [ 1;4] y = y ( 4 ) =

4−m
= −1 ⇒ m = 10 .
6

Câu 18: Đáp án B

Trang 10


x

Ta có

x
x
2
 2  2 
4 x +1
4
4
4
2

y = x = 4.  ÷ ⇒ y ' = 4.  ÷ .ln = 4.  ÷  .ln  ÷
9
9
9
9
3
 3  
2x

2
22x 2 23.2 2x 2 22x +3 2
2
⇒ y ' = 4.  ÷ .2 ln = 8. 2x ln = 2x ln = 2x ln
3
3
3
3
3 3
3
3

Câu 19: Đáp án A
1

1

∫ g ( y ) dy = −3 ⇒ ∫ g ( x ) dx = −3
Ta có

0


0

1

1

1

1

0

0

0

0

⇒ I = ∫ f ( z ) + g ( z )  dz = ∫ f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 2 − 3 = −1.

Câu 20: Đáp án A
Sxq = πRl = 15π
⇒ πR 2 = 24π − 15π ⇒ R = 3 ⇒ l = 5

2
S
=
π
Rl

+
π
R
=
24
π
Ta có  tp
1
⇒ h = l2 − R 2 = 4 ⇒ V = πR 2 h = 12π
3
Câu 21: Đáp án D
Ta có y =

mx + 4
mx + 4
=
.
x − 3x + 2 ( x − 1) ( x − 2 )
2

Đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cận ngang y = 0 với ∀m ∈ ¡ .
x = 1
 m.1 + 4 = 0
 m = −4
⇒
⇔
YCBT ⇔ mx + 4 = 0 có nghiệm 
.
 x = 2  m.2 + 4 = 0
 m = −2

Câu 22: Đáp án A
 x2
x 2
x
3 =1


3x − 5.3 + 4 = 0 ⇔  3 2 ÷ − 5.3 2 + 4 = 0 ⇔  x
 
3 2 = 4
Ta có
x
2 = 0
x = 0
⇔
⇔
⇒ S = 2 log 3 4 = 4 log 3 2
 x = 2 log 3 4
 x = log 4
3
 2
x
2

Câu 23: Đáp án C
Gọi H là trung điểm của cạnh AC.
1
⇒ AH ' ⊥ ( ABC ) ⇒ V = A 'H . SABC = A ' H. AB 2 .
2
Cạnh AB = BC =


AC
=a 2.
2

A ' H = A ' A 2 − AH 2 = 2a 2 − a 2 = a
Cạnh
1
⇒ V = a. .2a 2 = a 3
2
Trang 11


Câu 24: Đáp án B
Điều kiện x > −1 ( *) . Phương trình ⇔ log 2 ( x + 1) − log 2 x + 3 = 0 .
⇔ log 2

 x > −1
x +1
x +1
=0⇔
=1⇔ 
⇔ x =1.
2
x+3
x +3
( x + 1) = x + 3

Câu 25: Đáp án A
S1 = πr1l = 6πl


Ta có S2 = πr2 l = 9πl ⇒ 15πl = πrl ⇒ r = 15cm.
S = S + S = πrl
1
2

Câu 26: Đáp án B
z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ 2 x − 1 + ( y + 4 ) i = x + 2 + ( y − 3 ) i
Giả sử

2
2
2
2
⇔ 2 ( x − 1) + ( y + 4 )  = ( x + 2 ) + ( y − 3)



⇔ 2 ( x 2 + y 2 − 2x + 8y + 17 ) = x 2 + y 2 + 4x − 6y + 13
⇔ x 2 + y 2 − 8x + 22y + 21 = 0 ⇔ ( x − 4 ) + ( y + 11) = 116
2

2

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z − 1 + 4i = z + 2 − 3i là đường tròn có tâm I ( 4; −11)
và bán kính R = 116 = 2 29 .
Câu 27: Đáp án C
2
2
2

Ta có O ∈ ( P ) ⇒ ( P ) : ax + by + cz = 0 ( a + b + c > 0 ) .

Mà ( P ) qua A ⇒ a + 2b + 3c = 0 .
 a + b + c = −b + 2c
a + 2b − c = 0
⇔
Lại có d ( B; ( P ) ) = d ( C; ( P ) ) ⇔ −b + 2c = a + b + c ⇔ 
.
 a + b + c = b − 2c
a + 3c = 0
a + 2b + 3c = 0
⇒ c = 0 , chọn b = −1 ⇒ a = 2 ⇒ ( P ) : 2x − y = 0 .
+ Với 
a + 2b − c = 0
a + 2b + 3c = 0
⇒ b = 0 , chọn c = −1 ⇒ a = 3 ⇒ ( P ) : 3x − z = 0 .
+ Với 
a + 3c = 0
Câu 28: Đáp án C
x = 2 + t

Gọi M = d ∩ ∆ , ta có d :  y = −1 − t ( t ∈ ¡ ) ⇒ M ( t + 2; −1 − t; t + 1) .
z = 1 + t

uuuu
r
Đường thẳng ∆ nhận AM = ( t + 1; − t; t − 2 ) là một VTCP.
r
Mặt phẳng ( P ) có một VTPT là n = ( 1; 4; −2 ) .


Trang 12


 A ∉ ( P )
1 + 4. ( −1) − 2.3 + 6 ≠ 0
∆ / / ( P ) ⇔  uuuu
⇔
rr
Ta có
( t + 1) − 4t − 2 ( t − 2 ) = 0
 AM.n = 0
uuuu
r
⇔ −5t + 5 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ AM = ( 2; −1; −1)
uuuu
r
Đường thẳng ∆ qua A ( 1; −1;3) và nhận AM = ( 2; −1; −1) là một VTCP.
⇒ ∆:

x −1 y +1 z − 3
=
=
.
2
−1
−1

Câu 29: Đáp án A
2
Ta có y ' = x − ( m + 5 ) x + m = 0 .


∆ ' = ( m + 5 ) 2 − 4m > 0
⇔ m > 0 → m ∈ { 1; 2;3;...;8}
YCBT ⇔ 
 x1x 2 = m > 0
Câu 30: Đáp án C
Kẻ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .

)

(

·
HP ⊥ CD ⇒ (·
SCD ) ; ( ABCD ) = SPH
= 60°
SH SH
Kẻ ⇒ tan 60° = HP = a ⇒ SH = a 3
1
a3 3
⇒ VS.ABCD = SH.AB2 =
3
3
Câu 31: Đáp án A
Xét phương trình f
Đặt

3

(


3

)

f ( x ) + m = x3 − m .

f ( x ) + m = u ⇔ f ( x ) + m = u3 ⇔ f ( x ) = u3 − m .

f ( u ) = x 3 − m
⇒ f ( x ) + x3 = f ( u ) + u3 .
Từ giả thiết ta có hệ phương trình 
3
f ( x ) = u − m
5
3
Mặt khác f ( x ) = x + 3x − 4m nên x 5 + 4x 3 = u 5 + 4u 3 .
5
3
4
2
Xét hàm số h ( t ) = t + 4t trên đoạn [ 1; 2] ta có h ' ( t ) = 5t + 12t > 0, ∀t ∈ [ 1; 2] ⇒ h ( t ) đồng biến trên

[ 1; 2] . Do h ( x ) = h ( u )

nên u = x .

3
5
3

3
5
3
Với x = u ta có phương trình f ( x ) = u − m ⇔ x + 3x − 4m = x − m ⇔ x + 2x = 3m .
5
3
4
2
Xét hàm số g ( x ) = x + 2x trên đoạn [ 1; 2] ta có g ' ( x ) = 5x + 6x > 0, ∀x ∈ [ 1; 2 ] .

⇒ max h ( x ) = h ( 2 ) = 48, min h ( x ) = h ( 1) = 3 .
[ 1;2]
[ 1;2]
Vậy phương trình f

(

3

)

f ( x ) + m = x 3 − m có nghiệm x ∈ [ 1; 2] ⇔ 3 ≤ 3m ≤ 48 ⇔ 1 ≤ m ≤ 16.

Do m ∈ ¢ nên m ∈ { 1; 2;3;...;16} ⇒ có 16 giá trị nguyên của m.
Trang 13


Câu 32: Đáp án B
Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) .


Ta có

( 2 − iz ) ( 2 − i ) − ( z + 2i ) ( 1 + 2i ) = 2 a − bi
2 − iz z + 2i
−
= 2z ⇔
(
)
2 + i 1 − 2i
5
5
⇔ ( 4 − 2i − 2iz − z ) − ( z + 2iz + 2i − 4 ) = 10 ( a − bi )

⇔ 8 − 4i − 2z − 4iz = 10 ( a − bi ) ⇔ 8 − 4i − 2 ( a + bi ) − 4i ( a + bi ) = 10 ( a − bi )
8 − 2a + 4b = 10a
⇔
⇔ a = b = 1 ⇒ a + b = 2.
−4 − 2b − 4a = −10b

Câu 33: Đáp án D
Ta có:

(

4x + 1 + 2 x − 1
5

⇒∫
2


)(

)

4x + 1 − 2 x − 1 = ( 4x + 1) − 4 ( x − 1) = 5
5

5

1
1
dx
4x + 1 − 2 x − 1
1 

=∫
dx = ∫ ( 4x + 1) 2 − 2 ( x − 1) 2 dx
5
52
4x + 1 + 2 x − 1 2



1
1 
+1
+1
 1 1 ( 4x + 1) 2
2 ( x − 1) 2  5  1
4

3
3 5
= . .
− .
=
4x + 1) −
x − 1) 
(
(

3
3
5
15
2
5 4
 2  30

2
2

 21 21 32  19 −83 + 21 21 a = −83
= 
− ÷
−
=
⇒
⇒ S = −62.
15 ÷
30

 b = 21
 30
 30
Câu 34: Đáp án B
Ta có y ' =

(

−4m + m 2
2x − 1 − 4m

)

2

.

1
< 0, ∀x ∈ ( 1;5 )
2x − 1

( 1)

0 < m < 4
3

m − 4m < 0
4 ≤ m < 4
m ≥ 3


⇔ 
Với ∀x ∈ ( 1;5 ) ⇒ 2x − 1 ∈ ( 1;3) → ( 1) ⇔   4m ≥ 3
.
4 ⇔
1


  4m ≤ 1

0
<
m
≤
1


m ≤
4

4

2

Bài ra m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { 1; 2;3} .
Câu 35: Đáp án C
Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0;c ) ⇒ ( α ) :
Điểm M ∈ ( α ) ⇒

x y z
+ + =1.

a b c

1 2 5
+ + = 1 . Bài ra OA = OB = OC ⇒ a = b = c .
a b c

Xét các trường hợp sau:

Trang 14


8
= 1 ⇒ a = 8 ⇒ ( α ) : x + y + z − 8 = 0.
a
−2
+ ) a = b = −c ⇒
= 1 ⇒ a = −2 ⇒ ( α ) : x + y − z + 2 = 0.
a
−6
+ ) a = − b = −c ⇒
= 1 ⇒ a = −6 ⇒ ( α ) : x − y − z + 6 = 0.
a
4
+) a = −b = c ⇒ = 1 ⇒ a = 4 ⇒ ( α ) : x − y + z − 4 = 0.
a
+) a = b = c ⇒

Vậy có 4 mặt phẳng ( α ) thỏa mãn bài toán.
Câu 36: Đáp án A


(

)

·
Ta có cos AI;SC
=

uur uur
AI.SC

.
AI.SC
uur uuur uuu
r uuu
r uuur uuu
r
SC = AC − AS = BC − BA − AS

Biến đổi  uur uur uuur 1 uuur uuur
 AI = BI − BA = BC − BA

2
uur uur 1
1
⇒ SC.AI = BC2 + BA 2 = .2a 2 + a 2 = 2a 2
2
2
SC = SA 2 + AC2 = SA 2 + AB2 + BC 2 = 2a
2


3
 BC 
AI = AB + BI = AB + 
÷ =a
2
 2 
2

(

2

)

·
⇒ cos AI;SC
=

2

2a 2
6
=
.
3
3
a .2a
2


Câu 37: Đáp án C
Gọi H là trung điểm của BC ⇒ B' H ⊥ ( ABC )
Ta có

CC '/ /BB' ⇒ CC '/ / ( ABB' )

⇒ d ( CC '; AB ) = d ( C; ( ABB' ) ) = 2d ( H; ( ABB' ) ) = 2h.

∆ABC cân tại A có H là trung điểm của BC ⇒ AH ⊥ HB .
Như vậy HA, HB, HB’ đôi một vuông góc với nhau
⇒

1
1
1
1
=
+
+
.
2
2
2
h
HA HB HB'2

· '; ( ABC ) = HAB'
) · = 45° ⇒ ∆HAB' vuông cân tại H.
( AB
BC AB 2 2a 2

=
=
=a 2
2
2
2
2
2 2a 6
⇒h=a
⇒ d ( CC '; AB ) = 2a
=
.
3
3
3
⇒ HB ' = HA = HB =

Trang 15


Câu 38: Đáp án D
Điểm A ( −1;0 ) thuộc đồ thị hàm số ( C ) ⇒ a + b + c = 0 .
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại A ( −1;0 ) là ( d ) : y = y ' ( −1) ( x + 1) = ( −4a − 2b ) ( x + 1) .
4
2
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và ( d ) là ( −4a − 2b ) ( x + 1) = ax + bx + c

 −4a − 2b = c
Mà x = 0, x = 2 là nghiệm của (*) suy ra 
 −12a − 6b = 16a + 4b + c


( *)

( 1) .

2

28
32
8
28
= ∫ ( −4a − 2b ) ( x + 1) − ax 4 − bx 2 − c  dx = 4 ( −4a − 2b ) − a − b − 2c =
Và
5 0
3
3
5

( 2) .

Từ đó (1), (2) suy ra a = 1; b = −3; c = 2 → y = x 4 − 3x 2 + 2 .
0

Vậy diện tích cần tính là S =

∫ 2x + 2 − x

4

−1


1
+ 3x 2 − 2 dx = .
5

Câu 39: Đáp án B
3
2
Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + 2x − 3x , x ∈ ( 0;1) ⇒ g ' ( x ) = f ' ( x ) + 6x ( x − 1) .

f ' ( x ) < 0
⇒ g ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 0;1) .
Với mọi x ∈ ( 0;1) thì 
6x ( x − 1) < 0
⇒ g ( x ) nghịch biến trên ( 0;1) ⇒ g ( x ) ≤ g ( 0 ) = f ( 0 ) .
Khi đó m > g ( x ) , ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ m ≥ f ( 0 ) .
Câu 40: Đáp án A
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập được tất cả 6.6.5.4.3.2.1 = 4320 số tự nhiên có 7 chữ số đôi một
khác nhau.
Ta nhóm hai số 1 và 2 thành một nhóm x.
Số các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ 0, x, 3, 4, 5, 6 là 5.5.4.3.2.1 = 600 .
Hoán vị hai số 1 và 2 trong nhóm x có 2 cách.
Do đó có tất cả 600.2 = 1200 số thỏa mãn.
Vậy xác suất cần tìm là

1200 5
= .
4320 18

Câu 41: Đáp án C

S ∈ ( A ' B'M )
Gọi S = AM ∩ NP ⇒ 
.
S ∈ ( B' NP )
Mà ( A ' B ' M ) ∩ ( B' NP ) = BB' ⇒ S ∈ BB' .

Trang 16


VSMBP SM SB SP
MB BP BP 1
=
.
.
=
.
.
=
VSA 'B' N SA ' SB' SN A 'B' B' N B' N 8

Ta có

⇒ VMBP.A 'B'N =

7
VSA 'B'N .
8

1
1

A 'B'2 3 a 3 3
VSA 'B' N = SB'.SA 'B' N = .2a.
=
3
3
8
12
Mà
3
7 3a
⇒ VMBP.A 'B'N =
.
96
Câu 42: Đáp án D
Ta có SABCD = AB.AD .
CD ⊥ AH
Kẻ đường cao AH, ta có 
.
CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ ( ADH ) ⇒ CD ⊥ DH ⇒ HC là đường kính của đường tròn đáy
⇒ HC = 2.3 = 6 .

AB2 + AD 2 = BD 2 = AC 2 = AH 2 + HC 2
⇒ 20 + 20 = AH 2 + 62 ⇒ AH = 2

Ta có

2

 HC 

⇒ V = πr h = π 
÷ .AH = 18π.
 2 
2

Câu 43: Đáp án B
Đặt t = 2020 − x ⇒ x = 2020 − t .
⇒ x ( x − 1) ( x − 2 ) ... ( x − 2020 ) = ( 2020 − t ) ( 2019 − t ) ( 2018 − t ) ... ( − t )
= ( t − 2020 ) ( t − 2019 ) ( t − 2018 ) ... ( t − 1) ( − t )
0

⇒I=

∫ ( t − 2020 ) ( t − 2019 ) ( t − 2018 ) ... ( t − 1) ( −t ) d ( 2020 − t )

2020
2020

=−

∫ t ( t − 1) ...( t − 2018) ( t − 2019 ) ( t − 2020 ) dt
0

2020

=−

∫ x ( x − 1) ... ( x − 2018) ( x − 2019 ) ( x − 2020 ) dx = −I ⇒ I + I = 0 ⇒ I = 0.
0


Câu 44: Đáp án B
Điều kiện 2 − cos 2 x ≥ 0 ⇔ 1 + sin 2 x ≥ 0 ⇔ x ∈ ¡ .
Phương trình 2020sin x = sin x + 2 − cos 2 x ⇔ 2020sin x = sin x + 1 + sin 2 x ( 1) .
Đặt sin x = t, t ∈ [ −1;1] thì (1) thành 2020 t = t + 1 + t 2 ( 2 ) .
t
Ta có 2020 > 0, ∀t ∈ [ −1;1] và t + 1 + t 2 > t + t 2 = t + t ≥ 0, ∀t ∈ [ −1;1] .

(

)

(

)

2
2
Do đó (2) ⇔ t = log 2020 t + 1 + t ⇔ log 2020 t + 1 + t − t = 0

( 3) .
Trang 17


(

)

2
Xét hàm số f ( t ) = log 2020 t + 1 + t − t , với t ∈ [ −1;1] có:


f '( t ) =

(

1
t + 1+ t2

)


t 
. 1 +
÷− 1 =
1+ t2 
ln 2020 

1
t 2 + 1.ln 2020

−1 =

1 − t 2 + 1.ln 2017
t 2 + 1.ln 2017

< 0, ∀t ∈ ( −1;1) .

⇒ f ( t ) nghịch biến trên [ −1;1] .
Do đó trên [ −1;1] , phương trình f ( t ) = 0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.
Mặt khác f ( 0 ) = 0 nên f ( t ) = 0 ⇔ t = 0 .
Khi đó ( 3) ⇔ t = 0 hay sin x = 0 ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ ) .

Bài ra x ∈ [ 6π;12π] ⇒ kπ ∈ [ 6π;12π ] ⇒ k ∈ [ 6;12 ] ⇒ k ∈ { 6;7;8;...;12} .
Câu 45: Đáp án C
x = 0

2
2
Ta có f ' ( x ) = 0 ⇔ x ( x + 1) ( x + 2mx + 5 ) = 0 ⇔  x = −1
.
 x 2 + 2mx + 5 = 0 ( 1)

Phương trình f ' ( x ) = 0 cần có nghiệm và trong các nghiệm này thì chỉ có 1 nghiệm đơn (bội lẻ). Ta xét
các trường hợp sau:
+ TH1: (1) vô nghiệm.
∆ ' = m 2 − 5 = 0
x
=
−
1
⇒
⇒ m∈∅ .
+ TH2: (1) có nghiệm kép

−2m + 6 = 0
2
∆
 ' = m −5 = 0
⇒ m ∈∅ .
+ TH3: (1) có nghiệm kép x = 0 ⇒  2
0 + 2m.0 + 5 = 0


+ TH4: (1) có nghiệm kép ⇒ ∆ ' = m 2 − 5 = 0 ⇒ m = ± 5 .
∆ ' = m 2 − 5 > 0
x
=
−
1
⇒
⇔ m = 3.
+ TH5: (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có đúng 1 nghiệm

−
2m
+
6
=
0

Vậy m ∈ { −2; −1;0;1; 2;3} .
Câu 46: Đáp án D
log 3

2x + y + 1
= x + 2y ⇔ log 3 ( 2x + y + 1) − log 3 ( x + y ) = x + 2y
x+y

Ta có ⇔ log 2x + y + 1 = log 3x + 3y + x + 2y − 1
)
)
3(
3(


⇔ log 3 ( 2x + y + 1) + 2x + y + 1 = log 3 ( 3x + 3y ) + 3x + 3y ⇔ f ( 2x + y + 1) = f ( 3x + 3y )

Xét hàm số f ( t ) = log 3 t + t với t > 0 ta có
f '( t ) =

1
+1 > 0 " t > 0 Þ f ( t ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) .
t ln 3

Trang 18


⇒ 2x + y + 1 = 3x + 3y ⇔ x + 2y = 1 ⇔ x = 1 − 2y ⇒ T =
Vì x, y > 0 ⇒ 0 < y <
g '( y) =

1 2
1
2
+
=
+
.
x
y 1 − 2y
y

1
2

1
 1
+
. Xét hàm số g ( y ) = −
, với y ∈  0; ÷ ta có
2y − 1
y
2
 2

2

2 1
4
4
3
− .
= 0 ⇒ ( 2y − 1) = 4y 3 ⇔ 2 ( 2y − 1) = ( 2y ) .
( 2y − 1) y 2 y
2

u = 2y − 1 ∈ ( −1;0 ) ⇒ 2u 4 = ( u + 1) ⇔ 2u 4 − u 3 − 3u 2 − 3u − 1 = 0
3

Đặt

⇔ u 3 ( 2u + 1) − u 2 ( 2u + 1) − u ( 2u + 1) − ( 2u + 1) = 0 ⇔ ( 2u + 1) ( u 3 − u 2 − u − 1) = 0
2

1 3

3
1
1

Với −1 < u < 0 ⇒ u − u − u − 1 = u −  u + ÷ − < 0 + 0 − < 0 ⇒ u = − ⇒ y = .
2 4
4
2
4

3

2

3

1

y=


1
4
Từ đó g ( y ) ≥ g  ÷ = 6 ⇒ T ≥ 6 , dấu “=” xảy ra ⇔ 
.
4
 
x = 1

2

Câu 47: Đáp án B
Điều kiện −1 ≤ x ≤ m .
x + 1 + m − x ≤ 2 ( x + 1) + ( m − x )  = 2 ( m + 1) ≤

Ta có

Xét

2 + ( m + 1) m + 3
=
.
2
2

m3 − m 2 + 4 − ( m + 3) = m3 − m 2 − m + 1 = ( m − 1) ( m 2 − 1) = ( m − 1)
⇒

2

( m + 1) ≥ 0

m+3
1
1
≤ 2 + m 2 ( m − 1) ⇒ x + 1 + m − x ≤ 2 + m 2 ( m − 1) .
2
2
2

x + 1 = m − x


x = 0
⇔
Dấu “=” xảy ra ⇔ m + 1 = 2
.
m = 1

2
( m − 1) ( m + 1) = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0 khi m = 1.
Câu 48: Đáp án C
x.f ' ( x ) − f ( x )
f ( x) 
cos x sin x
cos x sin x
=−
+ 2 ⇒
+ 2
 =−
2
x
x
x
x
x
 x 
f ( x)
cos x
sin x
1

sin x
⇒
= −∫
dx + ∫ 2 dx = − ∫ d ( sin x ) + ∫ 2 dx
Ta có
x
x
x
x
x
sin x
sin x
sin x
−1
sin x
sin x
1
=−
+ C + ∫ sin xd  ÷+ ∫ 2 dx = −
+ C + ∫ sin x. 2 dx + ∫ 2 dx = −
+C
x
x
x
x
x
x
x
'


⇒ f ( x ) = − sin x + Cx.

Trang 19


π
π
f  ÷ = π − 1 ⇒ −1 + C. = π − 1 ⇒ C = 2 ⇒ f ( x ) = − sin x + 2x
2
2
Mà
1 π
π
⇒ f  ÷= − + .
2 3
6
Câu 49: Đáp án D
z ( 2 + i ) z − ( 1 − 2i )  = 1 + 3i ⇒ z . ( 2 + i ) z − ( 1 − 2i ) = 10
2
2
2
Ta có ⇒ z . ( 2 z − 1) + ( z + 2 ) i = 10 ⇒ z . ( 2 z − 1) + ( z + 2 )  = 10


4

2

⇔ 5 z + 5 z − 10 = 0 ⇔ z = 1
Giả sử z1 = x1 + y1i và z 2 = x 2 + y 2i ( x1 , y1 , x 2 , y 2 ∈ ¡ ) .

2
2
2
2
Ta có z1 = z 2 = 1 ⇒ x1 + y1 = x 2 + y 2 = 1 .

z1 − z 2 = 1 ⇒ x1 − x 2 + ( y1 − y 2 ) i = 1 ⇒ ( x1 − x 2 ) + ( y1 − y 2 ) = 1
2

Bài ra

Vậy

2

1
⇒ 2 − 2x1x 2 − 2y1 y 2 = 1 ⇒ x1x 2 + y1 y 2 = .
2

P = 2z1 + 3z 2 = 2 ( x1 + y1i ) + 3 ( x 2 + y 2i ) =

( 2x1 + 3x 2 )

2

+ ( 2y1 + 3y 2 )

2

= 4 ( x12 + y12 ) + 9 ( x 22 + y 22 ) + 12 ( x1x 2 + y1 y 2 ) = 4 + 9 + 6 = 19.


Câu 50: Đáp án A
Gọi mặt phẳng ( Q ) là mặt phẳng đi qua A và chứa d ⇒ ( Q ) / / ( P ) .
⇒ ( Q ) : ( x + 3) − 2y + 2 ( z − 1) = 0 ⇔ x − 2y + 2z + 1 = 0

.
Kẻ BK ⊥ d ( K ∈ d ) ; BH ⊥ ( Q ) tại H.
Ta có d ( B;d ) = BK ≥ BH = d ( B; ( Q ) ) (không đổi), dấu “=” xảy ra ⇔ K ≡ H.
uuur
Khi đó d qua A ( −3;0;1) và nhận AH là một VTCP.
uuur
Đường thẳng BH qua B ( 1; −1;3) và nhận n ( Q ) = ( 1; −2; 2 ) là một VTCP.
Trang 20


x = 1 + t

⇒ BH :  y = −1 − 2t ⇒ H ( t + 1; −2t − 1; 2t + 3 ) .
z = 3 + 2t

Mà H ∈ ( Q ) ⇒ ( t + 1) − 2 ( −2t − 1) + 2 ( 2t + 3 ) + 1 = 0 ⇔ t = −

10
 1 11 7 
⇒ H  − ; ; ÷.
9
 9 9 9

uuur  26 11 2  1
Đường thẳng d nhận AH =  ; ; − ÷ = ( 26;11; −2 ) là một VTCP.

 9 9 9 9
Kết hợp với d qua A ( −3;0;1) ⇒ d :

x + 3 y z −1
= =
.
26 11 −2

Trang 21