Moon.vn

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA

ĐỀ MINH HỌA SỐ 31

NĂM HỌC: 2019 – 2020
MÔN: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề

Câu 1. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 3 x là
1
A. − sin 3 x + C .
3

B.

1
sin 3 x + C .
3

C. −3sin 3x + C .

D. 3sin 3x + C .

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − 4 y + 3 z − 2 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ
pháp tuyến của ( P ) ?
r
A. n = ( 0; −4;3) .

r

B. n = ( 1; 4;3) .

r
C. n = ( −1; 4; −3) .

r
D. n = ( −4;3; −2 ) .

Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
x

f ′( x)

−∞
+

f ( x)

1
0
4

3
0

–

+
+∞


−∞
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −∞;1) .

+∞

B. ( 3; +∞ ) .

0

C. ( 0; 4 ) .

D. ( 1;3) .

Câu 4. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
x
y′
y

−∞

–1
0

–
+∞

0
0
5


+

–

4

+∞

1
0

+

+∞

4

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
A. 4.

B. 0.

C. 1.

D. 5.

Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số y = log 2 2 x + 3 .
A. y ′ =


2
.
2x + 3

Câu 6. Giới hạn lim
A. +∞ .

B. y ′ =

1
.
2x + 3

C. y ′ =

2
( 2 x + 3) ln 2 .

D. y ′ =

1
( 2 x + 3) ln 2 .

1
bằng
2019n + 2020
B. 0.

C.


1
.
2019

D.

1
.
2020

Câu 7. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?

Trang 1


A. y = x 3 − 3 x + 2 .

B. y = − x 3 + 3 x + 2 .

C. y = x 3 − 3 x 2 + 2 .

D. y = − x 3 − 3 x 2 + 2 .

Câu 8. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i , z2 = 2 − 3i . Số phức w = z1 + z2 có phần thực bằng
A. 1.

B. –1.
2

Câu 9. Tích phân


C. –i.

D. 3.

1
C. − ln 3 .
2

D. ln 3 .

dx

∫ 2 x − 1 bằng
1

A.

1
ln 3 .
2

B. 2 ln 3 .

Câu 10. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
x

f ′( x)
f ( x)


−∞
+

1
0
5

–

−∞

B. 2.

+∞
+
+∞

4

Phương trình 2 f ( x ) − 11 = 0 có số nghiệm thực là
A. 1.

2
0

C. 3.

D. 0.

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3 y + 4 z − 1 = 0 . Xét mặt phẳng


( Q ) : ( 2 − m ) x + ( 2m − 1) y + 12 z − 2 = 0 , với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị thực của m để mặt
phẳng ( Q ) song song với mặt phẳng ( P ) .
A. m = −6 .

B. m = 4 .

C. m = −2 .

D. m = −4 .

Câu 12. Cho a và b là hai số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
 2a 2 
1
log
A.
÷ = 1 + log 2 + log 2 b .
2
2
 b 

 2a 2 
log
B.
÷ = 1 + 2 log 2 + log 2 b .
2
 b 

 2a 2 
1

C. log 2 
÷ = 1 + log 2 − log 2 b .
2
 b 

 2a 2 
D. log 2 
÷ = 1 + 2 log 2 − log 2 b
 b 

Trang 2


Câu 13. Cho khối nón ( N ) có đường sinh bằng 5 và diện tích xung quanh bằng 15π . Tính thể tích V của
khối nón ( N ) .
A. V = 12π .

B. V = 36π .

C. V = 15π .

D. V = 45π .

Câu 14. Có bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho cả 2 và 5?
A. 135.

B. 22.

C. 32.


Câu 15. Cho phương trình phức z 2 + bz + c = 0 ( b, c ∈ ¡
A. S = 7 .

B. S = −1 .

)

D. 72.

có một nghiệm z = 1 + 2i . Tính S = b + c .

C. S = 3 .

D. S = −3 .

Câu 16. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f ( x ) , y = 0 , x = −3 và x = 0 (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

0

A. S = − ∫ f ( x ) dx .
0

∫ f ( x ) dx .

D. S =

−3

2

Câu 17. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +

A. min [ 1;4] y = 17 .

0

−3

−2

B. S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .

−3

C. S =

−2

B. min [ 1;4] y = 12 .

−2

0

−3

−2

∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx .


16
trên đoạn [ 1; 4] .
x
C. min [ 1;4] y = 20 .

D. min [ 1;4] y = 10 .

Câu 18.
r
r
2
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u = ( 2; −3; 4 ) và v = ( m + 4; −2m − 1;5m + 2 ) , với m là tham số
thực.

r
r
Tìm tất cả các giá trị thực của m để vectơ u cùng phương với vectơ v .
A. m = 2 .

5
B. m = − .
4

C. m = 3 .

D. m = −2 .

Câu 19. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số phức
z1 = 4 − 3i , z2 = −2 + i , z3 = 1 − 4i . Trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào dưới đây?
A. 1 + 2i .


B. 1 − 2i .

C. 2 − i .

D. −2 + i .

Câu 20. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
Trang 3


−∞

x
y′

–2
–

–

–1

y

0
0

+∞


1
+

2

–
3

−∞
–4
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 3.

B. 2.

Câu 21. Cho 9 + 9
x

−x

1
A. − .
6

C. 1.

= 14 . Tính giá trị của biểu thức P =
B.

1

.
6

0
D. 4.

6 − 3 ( 3x + 3− x )
12 + 3x +1 + 31− x

1
C. − .
4

D.

1
.
4

Câu 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có cạnh AB = 6 , AA′ = 8 . Tính thể tích của khối trụ có
hai đáy là hai đường tròn lần lượt nội tiếp tam giác ABC và A′B′C ′ .
A. 24π .

B. 20π .

C. 22π .

D. 26π .

4

2
2
Câu 23. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x + 2 ( m − 5m ) x + 1 có ba điểm cực

trị?
A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 5.

π
3

Câu 24. Biết rằng sin 2 x cos xdx = a + b 3 , với a, b ∈ ¢ . Tính S = a + 2b .
∫0
16
A. S = 4 .

B. S = 2 .

C. S = 8 .

D. S = 6 .

Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′ B′C ′ D′ có diện tích các mặt ABCD, ABB′A , ADD′ A′ lần lượt
là 4, 9, 16. Thể tích của khối hộp ABCD. A′ B′C′ D′ bằng
A. 18.


B. 24.

C. 12.

D. 30.

Câu 26. Biết phương trình 2 x +1.5 x = 15 có nghiệm duy nhất dạng a log 5 + blog 3 + clog 2 với a, b, c ∈ ¢ .
Tính S = a + 2b + 3c .
A. S = 2 .

B. S = 6 .

C. S = 4 .

D. S = 0 .

Câu 27. Tập nghiệm của phương trình 2 log 2 x − 1 + log 2 ( x + 2 ) = 2 là
A. { 2;5} .

B. { 3;6} .

C. { 2} .

D. { 3} .

Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng ( SBD ) bằng
A.


a3
.
2

2a
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
3
B.

a3
.
3

C.

a3
.
6

D.

2a 3
.
3

Trang 4


Câu 29. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:


x −1 y −1 z
=
=
và điểm A ( 1; −1; −1) . Điểm
1
−1 1

H ( a; b; c ) là hình chiếu vuông góc của A trên d. Tính a + 2b + c .
A. 1.

B. 4.

C. 2.

Câu 30. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 1;e ] thỏa mãn

D. 3.
e

∫
1

f ( x)
dx = 1 và f ( e ) = 1 . Tính tích phân
x

e

I = ∫ f ′ ( x ) .ln xdx .
1


A. I = 4 .

B. I = 3 .

C. I = 1 .

D. I = 0 .

Câu 31. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và BC = 2a . Cạnh SA =

a
và
3

vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng
A. 90°.

B. 45°.

C. 30°.

D. 60°.

2
2
Câu 32. Cho hàm số y = ln ( x + 4 ) + ( 10 − m ) x , với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m để hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) ?
A. 5.


B. 9.

C. 7.

D. 8.

x = 3 + t

Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :  y = 1 − 2t ( t ∈ ¡ ) , d 2 :
z = 4


 x = 2 + t′

( t′ ∈ ¡
y = 4
 z = 1 − 3t ′


)

Mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz − 2 = 0 đi qua điểm A ( 1; −2;1) , đồng thời song song với đường thẳng d1 và
d 2 . Tính a + b + c .
A. 1.

B. 5.

C. 11.


D. 7.

Câu 34. Cho số z thỏa mãn z + 8 − 3i = z − i và z + 8 − 7i = z + 4 − i . Môđun của z bằng
A. 5.

B. 4 2 .

C. 2 5 .

D. 3 5 .

Câu 35. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ.
x
Bất phương trình f ( x ) ≤ 3 − 2 x + m có nghiệm với mọi x ∈ ( −∞;1] khi và chỉ khi

Trang 5


A. m ≥ f ( 1) − 1 .

B. m > f ( 1) + 1 .

C. m ≤ f ( 1) − 1 .

D. m < f ( 1) − 1 .

Câu 36. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A ( 1; −2;3) , B ( 5;0;0 ) , C ( 0; 2;1) và D ( 2; 2;0 ) . Viết
phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) .
A. d :


x +1 y − 2 z + 3
=
=
.
2
3
4

B. d :

x −1 y + 2 z − 3
=
=
.
2
3
4

C. d :

x +1 y − 2 z + 3
=
=
.
4
3
2

D. d :


x −2 y −3 z −4
=
=
.
1
−2
3

a 6
·
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAC
và
= 60° . Cạnh SC =
2
vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng
A.

a 15
.
10

B.

a 6
.
4

C.

a 3

.
3

D.

a 3
.
4

Câu 38. Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 x 2 − 1 và nửa đường tròn có phương trình
y = 2 − x 2 (với − 2 ≤ x ≤ 2 ) (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích của ( H ) bằng.

Trang 6


A.

3π + 2
.
6

B.

3π − 2
.
6

C.

3π + 10

.
6

D.

3π + 10
.
3

Câu 39. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên A có 4 chữ số. Gọi N là số thỏa mãn 3N = A . Xác suất để N là
số tự nhiên bằng
A.

1
.
4500

B.

1
.
3500

C.

(

Câu 40. Biết rằng phương trình m 2 x 2 ( mx + 3) = x 2 + 2

)


1
.
2500

D.

1
.
3000

x 2 + 1 − 4mx − 2 (m là tham số thực) có nghiệm

thuộc đoạn [ 1; 2] khi và chỉ khi m ∈ [ a; b ] với a, b ∈ ¡ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. a + b < 1 .

B. a + b > 2 .

C. 1 < a + b <

3
.
2

D.

3
< a+b < 2.
2


Câu 41. Cho hình trụ ( T ) có chiều cao bằng 2. Một mặt phẳng ( P ) cắt hình trụ ( T ) theo thiết diện là
hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB, CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy. Biết cạnh
AB = AD = 2 5 , tính thể tích của khối trụ đã cho.
A. 20π .

B. 16π .

C. 22π .

D. 18π .

2
2
2
Câu 42. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S m ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − m ) =

m2
( m ≠ 0 và m là
4

tham số thực) và hai điểm A ( 2;3;5 ) , B ( 1; 2; 4 ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để trên ( S m ) tồn tại
điểm M sao cho MA2 − MB 2 = 9 ?
A. 11.

B. 12.

C. 13.

D. 14.


Câu 43. Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trình f ( 2020 x + m ) = 6m + 12 có đúng 4 nghiệm thực phân biệt. Tính tổng tất cả
các phần tử của S.

Trang 7


A.

1
.
2

1
B. − .
2

C.

97
.
24

D. −

97
.
24

Câu 44. Cho hình lăng trụ ABC. A′ B′C ′ . Gọi M , N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA′ , BB′ ,

CC ′ sao cho AM = 2MA′ , NB′ = 2 NB , PC = PC ′ . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của hai khối đa diện
ABCMNP và A′ B′C ′MNP . Tính tỉ số
A.

V1
= 2.
V2

B.

V1
.
V2

V1 1
= .
V2 2

C.

V1
= 1.
V2

D.

V1 2
= .
V2 3


Câu 45. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] , f ( x ) và f ′ ( x )
1

1

2
dương trên đoạn [ 0;1] . Biết rằng ∫  f ′ ( x ) .  f ( x )  + 4  dx = 4 ∫
0
0
1

∫  f ( x ) 

3

đều nhận giá trị

f ′ ( x ) . f ( x ) dx và f ( 0 ) = 3 . Tích phân

dx bằng

0

A. 30.

B. 10.

C. 21.

D. 19.


4
3
2
Câu 46. Cho hàm số y = f ( x ) = x − 6 x + 12 x − ( 2m − 1) x + 3m + 2 , với m là tham số thực. Có bao

nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = f ( x ) có đúng 7 điểm cực trị?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

x −1
Câu 47. Tìm số nghiệm thực của phương trình ( x − 1) .e − log 2 = 0 .
2

A. 2.

B. 4.

Câu 48. Cho hai số thực a, b thỏa mãn a > b >

C. 0.

D. 3.

 a3 

4
2
và 16 log a 
÷+ 3log a a đạt giá trị nhỏ nhất.
12
b
−
16
3


b

Tính a + b .
A.

7
.
2

B. 4.

C.

11
.
2

D. 6.


Câu 49. Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 2; −1; −2 ) và đường thẳng d có phương trình
x −1 y −1 z −1
=
=
. Mặt phẳng ( P ) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới ( P ) là lớn nhất.
1
−1
1
Mặt phẳng ( P ) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. x − y − 6 = 0 .

B. x + 3 y + 2 z + 10 = 0 .

C. x − 2 y − 3 z − 1 = 0 .

D. 3 x + z + 2 = 0 .

Câu 50. Cho hai số phức z, w thỏa mãn z + w = 3 + 4i và z − w = 9 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T= z+w.
Trang 8


A. 4.

B. 14.

C. 176 .

D. 106 .


Trang 9


Đáp án
1-B
11-D
21-C
31-C
41-D

2-C
12-D
22-A
32-C
42-C

3-D
13-A
23-A
33-C
43-D

4-D
14-D
24-A
34-D
44-C

5-D
15-C

25-B
35-A
45-A

6-B
16-D
26-D
36-B
46-A

7-D
17-B
27-C
37-A
47-B

8-D
18-A
28-B
38-C
48-D

9-A
19-B
29-D
39-A
49-D

10-A
20-A

30-D
40-C
50-D

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án B
Ta có ∫ cos 3 xdx =

sin 3 x
+C .
3

Câu 2: Đáp án C
r
Mặt phẳng ( P ) : x − 4 y + 3 z − 2 = 0 có một VTPT là n = ( −1; 4; −3) .
Câu 3: Đáp án D
Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( 1;3) .
Câu 4: Đáp án D
Giá trị cực đại của hàm số f ( x ) là 5.
Câu 5: Đáp án D
Ta có y =

( 2 x + 3) ′ =
1
1
log 2 ( 2 x + 3) ⇒ y′ =
2
( 2 x + 3) ln 2 ( 2 x + 3) ln 2

Câu 6: Đáp án B

Ta có lim

1
=0.
2019n + 2020

Câu 7: Đáp án D
Ta có y ( −1) = 0 ⇒ Loại A và C. Mà y ( −2 ) = −2 ⇒ chọn D.
Câu 8: Đáp án D
Số phức w = z1 + z2 = 3 − i có phần thực bằng 3.
Câu 9: Đáp án A
2

dx
1
= ln 2 x − 1
Ta có ∫
2x −1 2
1

2

1

=

1
ln 3
2


Câu 10: Đáp án A
Đường thẳng y =

11
cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại đúng 1 điểm.
2

Câu 11: Đáp án D
YCBT ⇔

2 − m = 6
2 − m 2m − 1 12 −2
=
= ≠
⇔
⇔ m = −4
2
−3
4 −1
 2 m − 1 = −9
Trang 10


Câu 12: Đáp án D
 2a 2 
2
2
Ta có log 2 
÷ = log 2 2 + log 2 a − log 2 b = 1 + log 2 a − log 2 b .
 b 

Câu 13: Đáp án A
Ta có l = 5 và S xq = π Rl = 15π
1
⇒ R = 3 ⇒ h = l 2 − R 2 = 4 ⇒ V = π R 2 h = 12π .
3
Câu 14: Đáp án D
Số cần tìm chia hết cho 10 nên chữ số hàng đơn vị phải là 0.
Chữ số hàng trăm có 9 cách chọn. Chữ số hàng chục có 8 cách chọn.
Vậy có tất cả 9.8 = 72 số thỏa mãn bài toán.
Câu 15: Đáp án C
Ta có ( 1 + 2i ) + b ( 1 + 2i ) + c = 0 ⇔ −3 + 4i + b + 2bi + c = 0
2

2b + 4 = 0
b = −2
⇔ b + c − 3 + ( 2b + 4 ) i = 0 ⇔ 
⇔
⇒ S = 3.
b + c = 0
c = 5
Câu 16: Đáp án D
Ta có S =

−2

∫

−3

0


−2

−2

−3

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =

∫

0

f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx .
−2

Câu 17: Đáp án B
Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên [ 1; 4] .
 x ∈ ( 1; 4 )

⇔ x=2.
Ta có 
16
 y′ = 2 x − 2 = 0
x

y = 12 .
Tính y ( 1) = 17 ; y ( 4 ) = 20 ; y ( 2 ) = 12 ⇒ min
[ 1;4]
Câu 18: Đáp án A

r r
m + 4 −2m 2 − 1 5m + 2
Ta có u , v cùng phương ⇔
=
=
2
−3
4

 m + 4 5m + 2
 2 = 4
4m + 16 = 10m + 4
6m = 12
⇔
⇔
⇔ 2
⇔ m=2.
2
2
3m + 12 = 4m + 2
4m − 3m − 10 = 0
 m + 4 = 2m + 1
 2
3
Câu 19: Đáp án B
Ta có A ( 4; −3) , B ( −2;1) , C ( 1; −4 ) .
 4 − 2 + 1 −3 + 1 − 4 
;
Trọng tâm của ∆ABC là G 
÷ ⇒ G ( 1; −2 ) .

3
3


Trang 11


Câu 20: Đáp án A
y = −1 ⇒ TCN : y = −1
 xlim
→−∞
ĐTHS có tiệm cận đứng x = −2 . Từ 
.
y = 0 ⇒ TCN : y = 0
 xlim
→+∞
Câu 21: Đáp án C
Ta có 9 x + 9− x = 14 ⇔ ( 3x + 3− x ) = 16 ⇔ 3x + 3− x = 4
2

⇒P=

6 − 3 ( 3x + 3− x )
12 + 3

x +1

1− x

+3


=

6 − 3 ( 3 x + 3− x )

12 + 3 ( 3 + 3
x

−x

)

=−

1
4

Câu 22: Đáp án A
V = π r 2 h

AB

= 3 ⇒ V = 24π
Ta có  r =
2 3

 h = AA = 8

Câu 23: Đáp án A
YCBT ⇔ ab = 2 ( m 2 − 5m ) < 0 ⇔ 0 < m < 5

Câu 24: Đáp án A
π
3

π
3

sin 2 x
Ta có ∫ sin x cos xdx = ∫ sin xd ( sin x ) =
3
0
0
2

2

π
3
0

=

a = 0
2 3
⇒
⇒S =4
16
b = 2

Câu 25: Đáp án B

Đặt AD = x , AB = y , A′A = z
 xy = 4
2

⇒  yz = 9 ⇒ ( xyz ) = 4.9.16 ⇒ xyz = 24
 zx = 16

Ta có VABCD. A′B ′C ′D′ = A′A. AB. AD = xyz = 24

Trang 12


Câu 26: Đáp án D
x +1 x
x x
Ta có 2 .5 = 15 ⇔ 2 .5 =

Biến đổi x = log

15
15
15
x
⇔ ( 2.5 ) = ⇔ x = log
2
2
2

a = b = 1
15

= log15 − log 2 = log 5 + log 3 − log 2 ⇒ 
⇒S =0
2
c = −1

Câu 27: Đáp án C
Điều kiện x > 1 ( *) .
Phương trình ⇔ log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 2 ) = 2
x = 2
⇔ log 2 ( x − 1) ( x + 2 )  = 2 ⇔ ( x − 1) ( x + 2 ) = 22 ⇔ 
⇒ x = 2 thỏa mãn ( *)
 x = −3
Câu 28: Đáp án B
Tứ diện vuông A.SBD

⇒

1
2

 2a 
 ÷
 3 

=

1
1
1
+

+
⇒ SA = 2a
2
2
SA
AB
AD 2

1
1
1
a3
⇒ VS . ABC = SA.S ABC = SA. AB 2 =
3
3
2
3
Câu 29: Đáp án D
x = 1+ t
uuur

Ta có ∆ :  y = 1 − t ( t ∈ ¡ ) ⇒ H ( 1 + t ;1 − t ; t ) ⇒ AH = ( t ; 2 − t ; t + 1)
z = t

Trang 13


r
Đường thẳng d có một VTCP là u = ( 1; −1;1) .
uuur r

1
4 2 1
Do AH ⊥ d nên AH .u = 0 ⇔ t − 2 + t + t + 1 = 0 ⇔ t = ⇒ H  ; ; ÷
3
 3 3 3
Câu 30: Đáp án D
e

e

e

1

1

1

Ta có I = ∫ f ′ ( x ) .ln xdx = ∫ ln xd  f ( x )  = f ( x ) .ln x − f ( x ) d ( ln x )
e

1
= f ( e ) − ∫ f ( x ) . dx = 1 − 1 = 0
x
1
Câu 31: Đáp án C
Kẻ AP ⊥ BC .
Mà BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAP ) ⇒ BC ⊥ SP

)


(

·
⇒ (·SBC ) ; ( ABC ) = SPA
.
·
tan SPA
=

SA SA
1
·
=
=
⇒ SPA
= 30°
AP BC
3
2

Câu 32: Đáp án C
Ta có y ′ =

2x
2x
+ 10 − m 2 ≥ 0 , ∀x ∈ ¡ ⇔ m 2 ≤ 10 + 2
= f ( x ) , ∀x ∈ ¡ .
x +4
x +4

2

Lưu ý x 2 + 4 ≥ −4 x ⇒

2x
1
1 19
19
19
≥ − ⇒ m 2 ≤ 10 − = ⇒ −
≤m≤
x +4
2
2 2
2
2
2

Câu 33: Đáp án C

ur
Đường thẳng d1 qua M ( 3;1; 4 ) và có một VTCP là u1 = ( 1; −2;0 ) .
uu
r
Đường thẳng d 2 qua N ( 2; 4;1) và có một VTCP là u2 = ( 1;0; −3) .

Trang 14


ur uu

r
( P ) / / d1
⇒ ( P ) sẽ nhận u1 , u2  = ( 6;3; 2 ) là một VTPT.
Ta có 
( P ) / / d 2
Kết hợp với ( R ) qua A ( 1; −2;1) ⇒ ( R ) : 6 ( x − 1) + 3 ( y + 2 ) + 2 ( z − 1) = 0
⇒ ( R ) : 6x + 3 y + 2z − 2 = 0
Rõ ràng M ( 3;1; 4 ) và N ( 2; 4;1) không thuộc ( R ) : 6 x + 3 y + 2 z − 2 = 0
⇒ ( R ) : 6 x + 3 y + 2 z − 2 = 0 thỏa mãn.
Câu 34: Đáp án D
Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡

)

Ta có z + 8 − 3i = z − i ⇔ ( x + 8 ) + ( y − 3) i = x + ( y − 1) i
⇔ ( x + 8 ) + ( y − 3) = x 2 + ( y − 1) ⇔ 16 x − 4 y + 72 = 0 ⇔ 4 x − y + 18 = 0 .
2

2

2

Lại có z + 8 − 7i = z + 4 − i ⇔ ( x + 8 ) + ( y − 7 ) i = ( x + 4 ) + ( y − 1) i
⇔ ( x + 8 ) + ( y − 7 ) = ( x + 4 ) + ( y − 1) ⇔ 8 x − 12 y + 96 = 0 ⇔ 2 x − 3 y + 24 = 0 .
2

2

2


2

 4 x − y + 18 = 0
 x = −3
⇔
⇒ z = x2 + y 2 = 3 5 .
Giải hệ 
 2 x − 3 y + 24 = 0
y = 6
Câu 35: Đáp án A
x
x
Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − 3 + 2 x , x ∈ ( −∞;1] ⇒ g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 3 ln 3 + 2 .
x
Dựa vào hình vẽ thì f ′ ( x ) < −3 , ∀x ∈ ( −∞;1) ⇒ g ′ ( x ) < −3 − 3 ln 3 + 2 < 0 , ∀x ∈ ( −∞;1) .

⇒ g ( x ) nghịch biến trên ( −∞;1] ⇒ g ( x ) ≥ g ( 1) = f ( 1) − 1 .
Khi đó m ≥ g ( x ) có nghiệm với mọi x ∈ [ −∞;1)
⇔ m ≥ min ( −∞ ;1] g ( x ) ⇔ m ≥ g ( 1) ⇔ m ≥ f ( 1) − 1 .
Câu 36: Đáp án B
uuur
 BC = ( −5; 2;1)
uuur uuur
⇒  BC ; BD  = ( −2; −3; −4 )
Ta có  uuur
 BD = ( −3; 2;0 )
ur
r uuur uuur
Đường thẳng d nhận u =  BC ; BD  = ( −2; −3; −4 ) là một VTCP nên nhận u ′ = ( 2;3; 4 )


là một VTCP.

Kết hợp với d đi qua A ( 1; −2;3)
⇒d:

x −1 y + 2 z − 3
=
=
2
3
4

Câu 37: Đáp án A
Gọi O = AC ∩ BD . Kẻ OH ⊥ SA , ta có

Trang 15


 BD ⊥ SC
⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ OH .

 BD ⊥ AC
OH ⊥ SA
⇒ d ( SA; BD ) = OH .
Như vậy 
OH ⊥ BD
Từ ∆AHO ∽∆ACS ( g − g ) ⇒

OH OA
=

SC SA

AC
2
2
SC + AC 2
SC.

⇒ OH =

Cạnh AC = AB = a ⇒ OH =

a 15
10

Câu 38: Đáp án C
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: 2 x 2 − 1 = 2 − x 2
2
2
2 x − 1 ≥ 0
2 x − 1 ≥ 0
⇔ 4
⇔
⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1
 4
2
2
2
4 x − 4 x + 1 = 2 − x
4 x − 3 x − 1 = 0

1

Diện tích hình ( H ) bằng: S = ∫
0

(

)

1

1

(

)

2 − x − 2 x + 1 dx = 2 ∫ 2 − x dx + 2 ∫ −2 x 2 + 1 dx
2

2

2

0

0

 −2 x 3
1

2
= 2 I1 + 2 
+ x ÷ = 2 I1 +
3
 3
0
 π π
2
Tính I1 = ∫ 2 − x dx đặt x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt với t ∈  − ; 
 2 2
0
1

π

π

π

x =0⇒t =0
4
4
4
2
2
⇒
I
=
2
−

2sin
t
.
2
cos
tdt
=
2
cos
tdt
=
Đổi cận
π
1
∫0
∫0
∫0 ( 1 + cos 2t ) dt
x =1⇒ t =
4

Trang 16


 sin 2t 
= t +
÷
2 


π

4

=

0

π 1
2 π
2 3π + 10
+ = 2 I1 + = + 1 + =
4 2
3 2
3
6

Câu 39: Đáp án A
Có tất cả 9.10.10.10 = 9000 số tự nhiên có 4 chữ số.
N
Ta có 3 = A ⇒ N = log 3 A .

Để N là số tự nhiên thì A = 3m ( m ∈ ¥ ) .
Với 0 ≤ m ≤ 6 ⇒ A ≤ 36 = 729 ⇒ Loại vì A có 4 chữ số.
 n = 7 ⇒ A = 2187
⇒ thỏa mãn nên có 2 số thỏa mãn.
Với 
 n = 8 ⇒ A = 6561
Với n = 9 ⇒ A = 19683 ⇒ Loại vì A có 4 chữ số.
Vậy xác suất cần tìm là

2

1
=
.
9000 4500

Câu 40: Đáp án C
Ta có ( mx + 1) + mx + 1 =
3

)

(

3

x 2 + 1 + x 2 + 1 ⇔ f ( mx + 1) = f
x2

⇔ mx + 1 = x 2 + 1 ⇔ mx = x 2 + 1 − 1 ⇔ mx =

⇒ g′( x) =

(

⇒m=

x2 + 1

)


x
x +1 +1
2

= g ( x)

x

x 2 + 1 + 1 − x.

)

x2 + 1 =
2

x +1 +1
2

x +1 +1
2

(

(

Từ đó g ( 1) ≤ m ≤ g ( 2 ) ⇔ 2 − 1 ≤ m ≤

x2 + 1 + 1

)


x +1 +1
2

2

x +1

> 0 , ∀x ∈ ( 1; 2 )

2

5 −1
5 −1
⇒ a = 2 −1 ; b =
2
2

Câu 41: Đáp án D
CD ⊥ AH
Kẻ đường cao AH, ta có 
CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ ( ADH ) ⇒ CD ⊥ DH ⇒ HC là đường kính của đường tròn đáy HC = 2r .
Ta có AB 2 + AD 2 = BD 2 = AC 2 = AH 2 + HC 2
⇒ 20 + 20 = 22 + ( 2r ) ⇒ r = 3
2

⇒ V = π r 2 h = π .32.2 = 18π .

Trang 17



Câu 42: Đáp án C
Gọi M ( x; y; z ) , ta có MA2 − MB 2 = 9
2
2
2
2
2
2
⇔ ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 5 ) − ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 4 )  = 9



⇔ 38 − 4 x − 6 y − 10 z − ( 21 − 2 x − 4 y − 8 z ) = 9 ⇔ −2 x − 2 y − 2 z + 8 = 0 ⇔ x + y + z − 4 = 0 .
Tập hợp các điểm M ( x; y; z ) thỏa mãn MA2 − MB 2 = 9 là mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 4 = 0 .
Mặt cầu ( S m ) có tâm I ( 1;1; m ) và bán kính R =

m
.
2

2
2
Trên ( S m ) tồn tại điểm M sao cho MA − MB = 9 ⇔ ( Sm ) và ( P ) có điểm chung

⇔ d ( I;( P) ) ≤ R ⇔

1+1+ m − 4
1+1+1


≤

m
2
⇔ 2 m − 2 ≤ 3 m ⇔ 4 ( m − 2 ) ≤ 3m 2
2

⇔ m 2 − 16m + 16 ≤ 0 ⇔ 8 − 4 3 ≤ m ≤ 8 + 4 3 ⇒ m ∈ { 2;3; 4;...;14} .
Câu 43: Đáp án D
Đặt t = 2020 x + m ≥ 0 , với mỗi giá trị t=|2020x+m|≥0 thì ta cho ta đúng 2 giá trị thực của x.
Phương trình f ( 2020 x + m ) = m có đúng 4 nghiệm phân biệt thì f ( t ) = m phải có đúng 2 nghiệm

15

3
m
=
−


6m + 12 =
97
8
⇒ m1 + m2 = −
4 ⇔
dương phân biệt ⇔ 

13
24


6m + 12 = −1  m = −
6

Câu 44: Đáp án C
Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC. A′ B′C ′ .

Trang 18


Ta có V1 = VM . ABC + VM . BCPN
1
1 2
2
VM . ABC = d ( M ; ( ABC ) ) .S ABC = . d ( A′; ( ABC ) ) .S ABC = V
3
3 3
9
VM .BCPN
S
= BCPN
VM .BCC ′B′ DBCC ′B′
⇒ VM . BCPN ⇒

1
1
1
BB′ + CC ′
d ( C ; BB′ ) . ( BN + CP )
BN + CP 3

5
2
= 2
=
=
= ( BB′ = CC ′ )
1
′
′
BB′ + CC ′
12
d ( C ; BB′ ) . ( BB′ + CC ′ ) BB + CC
2

5
5
5 1
5
VM .BCC′B′ = .2VABC ′B′ = .2. V = V
12
12
12 3
18

2
5
1
1
1
V

⇒ V1 = VM . ABC + VM .BCPN = V + V = V ⇒ V2 = V − V = V ⇒ 1 = 1
9
18
2
2
2
V2
Câu 45: Đáp án A
1

1

2
Ta có ∫  f ′ ( x ) .  f ( x )  + 4  dx − 4 ∫
0
0

f ′ ( x ) . f ( x ) dx = 0

1

1

2

2
⇒ ∫  f ′ ( x ) .  f ( x )  − 4 f ′ ( x ) . f ( x ) + 4  dx = 0 ⇒ ∫  f ′ ( x ) . f ( x ) − 2  dx = 0





0
0

⇒

f ′ ( x ) . f ( x ) − 2 = 0 ⇒  f ( x )  . f ′ ( x ) = 2 ⇒ ∫  f ( x )  . f ′ ( x ) dx = 2 x + C1
2

2

 f ( x ) 
⇒ ∫  f ( x )  d  f ( x )  = 2 x + C1 ⇒ 
= 2 x + C2
3
3

2

1

Mà f ( 0 ) = 3 ⇒ C2 = 9 ⇒  f ( x )  = 3 ( 2 x + 9 ) ⇒ ∫  f ( x )  dx = 3 ( x + 9 x )
3

0

3

1


2

= 30

0

Câu 46: Đáp án A
3
2
Ta có f ′ ( x ) = 4 x − 18 x + 24 x − ( 2m − 1) .

YCBT ⇔ f ( x ) có đúng 3 điểm cực trị dương ⇔ f ′ ( x ) = 0 có đúng 3 nghiệm dương phân biệt
Trang 19


⇔ 2m − 1 = 4 x 3 − 18 x 2 + 24 x có đúng 3 nghiệm dương phân biệt.
x = 1
3
2
2
Xét hàm số g ( x ) = 4 x − 18x + 24 x ⇒ g ′ ( x ) = 12 x − 36 x + 24 = 0 ⇔ 
x = 2
x
g′ ( x)

0
+

g ( x)
Do đó 8 < 2m − 1 < 10 ⇔


1
0
10

+∞

2
0

–

+
+∞

0

8

9
11
< m< ⇒ m =5.
2
2

Câu 47: Đáp án B
Đặt t = x − 1 ≥ −1 , với mỗi giá trị t > −1 thì cho ta 2 giá trị của x.
t > −1
2 t
⇔t =0 .

Xét hàm số f ( t ) = t e , với t ≥ −1 ta có 
t
2 t
 f ′ ( t ) = 2te + t e = 0
Xét bảng sau:
x
y′

–1

+∞

0
0

–

+

+∞

1
e

y

0
Từ đó phương trình t e = log 2 có đúng 2 nghiệm thực phân biệt lớn hơn −1.
2 t


Do đó phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm thực phân biệt.
Câu 48: Đáp án D
Ta có b3 + 16 = b3 + 8 + 8 ≥ 3 3 64b3 = 12b ⇒ 12b − 16 ≤ b3
⇒ P = 16.3 − 16 log a ( 12b − 16 ) +

⇒ P ≥ 48 − 48log a b +

3
2

a

 log a ÷
b


3

( 1 − log a b )

Đặt t = 1 − log a b > 0 ⇒ P ≥ 48t +

2

≥ 48 − 16 log a b3 +

= 48 ( 1 − log a b ) +

3


( 1 − log a b )

3

( 1 − log a b )

2

2

.

3
3
3
= 24t + 24t + 2 ≥ 3 3 24t.24t. 2 = 36 .
2
t
t
t

b = 2
b = 2
b = 2


b = 2
⇔
⇒ a+b = 6 .
Dấu xảy ra ⇔ 

3 ⇔ 1 ⇔
a = 4
b = a
24t = t 2
t = 2
Câu 49: Đáp án D

uuur
Kẻ AK ⊥ d ( K ∈ d ) ⇒ K ( t + 1;1 − t ; t + 1) ⇒ AK = ( t − 1; 2 − t ; t + 3) .

Trang 20


uuur uu
r
Ép cho AK ⊥ d ⇔ AK .ud = 0 ⇔ ( t − 1) + ( t − 2 ) + ( t + 3) = 0 ⇔ t = 0
uuu
r
⇒ K ( 1;1;1) ⇒ KA = ( 1; −2; −3 ) ⇒ KA = 14 .
Kẻ KH ⊥ ( P ) ⇒ d ( d ; ( P ) ) = d ( K ; ( P ) ) = KH ≤ KA = 14 .
Dấu " = " xảy ra khi ( P ) qua A và vuông góc với KA.
uuu
r
Khi đó ( P ) nhận KA = ( 1; −2; −3) là một VTPT.
Vậy ( P ) vuông góc với mặt phẳng có phương trình 3 x + z + 2 = 0 .
Câu 50: Đáp án D
Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡

)


Từ z + w = 3 + 4i ⇒ w = ( 3 − x ) + ( 4 − y ) i .
Ta có z − w = ( 2 x − 3) + ( 2 y − 4 ) i ⇒ z − w =

( 2 x − 3)

2

+ ( 2 y − 4) = 9
2

⇒ 4 x 2 + 4 y 2 − 12 x − 16 y − 56 = 0 ⇒ 2 x 2 + 2 y 2 − 6 x − 8 y − 28 = 0 ( 1)
Ta có T = z + w = x 2 + y 2 +

( 3 − x)

2

+ ( 4 − y) .
2

2
2
2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có T ≤ 2 ( x + y ) + ( 3 − x ) + ( 4 − y ) 

⇒ T 2 ≤ 2 ( 2 x 2 + 2 y 2 − 6 x − 8 y + 25 ) = 2 ( 28 + 25 ) ⇒ T ≤ 106 .
2
2

Dấu " = " xảy ra ⇔ x + y = ( 3 − x ) + ( 4 − y ) ⇔ 25 − 6 x − 8 y = 0 ⇔ y =
2

2

25 − 6 x
.
8

2

25 − 6 x
 25 − 6 x 
Thế vào ( 1) ta được x 2 + 
− 14 = 0
÷ − 3 x − 4.
8
 8 
⇔ 64 x 2 + ( 36 x 2 − 300 x + 252 ) − 192 x − 32 ( 25 − 6 x ) − 896 = 0
51
7

x= ⇒ y=−

10
10
⇔ 100 x 2 − 300 x − 1071 = 0 ⇔ 
 x = − 21 ⇒ y = 47

10

10

Trang 21


Vậy Tmax = 106 đạt được chẳng hạn khi z =

51 7
21 47
− i; w=− + i.
10 10
10 10

Trang 22