Moon.vn

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA

ĐỀ MINH HỌA SỐ 30

NĂM HỌC: 2019 – 2020
MÔN: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 3 z + 3 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ
pháp tuyến của ( P ) ?
r
A. n = (1; −2;3)

r
B. n = (1; 2; −3)

r
C. n = (−1; 2; −3)

r
D. n = (1; 2;3)

Câu 2. Cho a và b là hai số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
1
3
A. ln(ab ) = ln a + ln b
3

1

3
B. ln(ab ) = ln a − ln b
3

C. ln(ab3 ) = ln a + 3ln b

D. ln(ab3 ) = ln a − 3ln b

Câu 3. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; 2)

B. (−∞;1)

C. (1; +∞)

D. (−∞;5)

Câu 4. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên đoạn [ 0; 2] và f (0) = −1; f (2) = 2 . Tích phân

2

∫ f ′( x)dx bằng
0

A. −1

C. −3


B. 1

D. 3

Câu 5. Tính môđun của số phức z thỏa mãn z (1 − i ) + 2i = 1 .
A.

5
2

B.

13
2

C.

10
2

D.

17
2

Câu 6. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?

Trang 1



A. y = x 4 − 3x 2

1 4
2
B. y = − x + 3x
4

C. y = − x 4 − 2 x 2

D. y = − x 4 + 4 x 2

Câu 7. Tính đạo hàm của hàm số y = log 3 x .
4

A. y ′ =

1
x(ln 3 − 2 ln 2)

1
x (ln 3 − 2 ln 2)

B. y ′ =

C. y ′ =

ln 3
2 x ln 2

D. y ′ =


ln 3
2 x ln 2

Câu 8. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 5 x là
A. −5cos 5x + C

B. 5 cos 5x + C

1
C. − cos 5 x + C
5

D.

1
cos 5 x + C
5

C. −2

D. 2

Câu 9. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
A. 4

B. 0


Câu 10. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Phương trình 3 f ( x) − 2 = 0 có số nghiệm thực là
A. 1

B. 2

C. 3
D. 0
r
r
Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u = (3; −4;5) và v = (2m − n;1 − n; m + 1) , với m, n là các
r r
tham số thực. Biết rằng u = v tính m + n .
A. −1

B. 1

C. −9

D. 9

Câu 12. Cho cấp số nhân (un ) với u1 = 2, q = 4 . Tổng của 5 số hạng đầu tiên bằng
A.

1023
2

B. 1364


C.

341
2

D. 682

Câu 13. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ. Gọi S là diện tích hình phẳng giới
hạn bởi các đường y = f ( x) , y = 0, x = 0 và x = 4 (như hình vẽ). Mệnh đề
nào dưới đây là đúng?
4

A. S = ∫ f ( x)dx
0

1

4

0

1

B. S = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx

Trang 2


4


C. S = − ∫ f ( x)dx
0

1

4

0

1

D. S = − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

Câu 14. Cho khối nón ( N ) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15π. Tính thể tích V của
khối nón ( N ) .
A. V = 36π

B. V = 45π

C. V = 15π

D. V = 12π

Câu 15. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + (1 − 2i ) z − 1 − i = 0 . Giá trị của z1 + z2
bằng
A. 2 + 2

B. 1 + 2

C. 2 + 5


D. 1 + 5

Câu 16. Phòng Nội Dung của Moon.vn cần chọn mua 1 tờ nhật báo mỗi ngày. Có 3 loại nhật báo. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn mua báo cho 6 ngày làm việc trong tuần?
A. 729

B. 18

C. 216

D. 20

Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A, B như hình vẽ dưới đây.
Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức?
1
A. − + 2i
2

1
B. 2 − i
2

C. −1 + 2i

D. −1 − 2i

Câu 18. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a 2 + b 2 = 8ab . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
1
A. log(a + b) = (log a + log b)

2

B. log(a + b) = 1 + log a + log b

1
C. log(a + b) = (1 + log a + log b)
2

D. log(a + b) =

1
+ log a + log b
2

Câu 19. Tính thể tích của khối lập phương ABCD. A′B′C ′D′ , biết AC ′ = 2a 3 .
A. 2a 3 2

B. 3a 3 3

C. a 3

D. 8a 3

1x = 2 + 2t

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = −1 − 3t (t ∈ ¡ ) . Xét đường thẳng
z = 1

∆:


x −1 y − 3 z + 2
=
=
, với m là tham số thực khác 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng Δ
1
m
−2

vuông góc với đường thẳng d.
A. m = 1

B. m = 2

C. m =

2
3

D. m =

1
3

Câu 21. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6, AD = 4 . Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tính thể tích V của khối tròn xoay nhận được khi quay tứ
giác MNPQ xung quanh trục QN.
A. V = 2π

B. V = 6π


C. V = 8π

D. V = 4π
Trang 3


Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
A.

5
3

B. −

2x −1
trên đoạn [ −1;3] .
x+5

3
4

C. −

1
5

D.

5
8


x+2

10 x −1

Câu 23. Giải phương trình 2
A. x = −

7
12

B. x = −
3

Câu 24. Biết rằng

1
= ÷
 16 

.

7
11

C. x = −

1
2


D. x = −

1
3

x +1

∫ x( x − 2) + 1 dx = a + b ln 2 , với a, b ∈ ¢ . Tính S = a + 2b .
2

A. S = 1

B. S = 4

C. S = 3

D. S = 5

Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SB tạo với mặt
phẳng ( ABCD) một góc 60° . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
A.

a3 3
6

B.

a3 3
3


C.

a3
6

D.

a3
3

Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA = a và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD) bằng
A. 90°

B. 45°

C. 30°

D. 60°

Câu 27. Biết hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′( x) = 3 x 2 + 2 x − m + 1 và f (2) = 1 . Đồ thị của hàm số
y = f ( x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −5 . Giá trị của f (3) là
A. 22

B. −22

D. −3

C. 3


Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

x −1 y −1 z
=
=
và điểm A(1; −1; −1) . Điểm
1
−1 1

H (a; b; c ) là hình chiếu vuông góc của A trên d. Tính a + 2b + c .
A. 1

B. 4

C. 2

Câu 29. Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. 1

B. 2

Câu 30. Tập nghiệm của phương trình
 5
A. 7; 
 2

D. 3

x +1 + x + 4 − 3
.

x3 − x
C. 3

D. 4

1
1
log 3 ( x + 2) 2 + log 3 (4 x − 1)3 = 2 là
2
3

 11 
B. 1; − 
4


C. { 7}

D. { 1}

Câu 31. Cho hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn (O; R) . Trên đường tròn (O; R) lấy hai điểm A, B
sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng R 2 2 . Tính thể tích V của khối nón đã
cho.

Trang 4


A. V =

πR 3 14

2

B. V =

πR 3 14
3

C. V =

πR 3 14
6

D. V =

πR 3 14
12

Câu 32. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(2m 2 − 10m + 9) x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
hàm số đã cho có hai điểm cực trị?
A. 9

B. 7

C. 8

D. 6

2
Câu 33. Cho phương trình log 2 x − m log 2 x + 2m − 4 = 0 (m là tham số thực) có hai nghiệm thực phân


biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 20 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. 4 < m ≤ 6

B. m > 6

C. 2 < m ≤ 4

D. 0 < m ≤ 2

Câu 34. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =

x−2
đồng biến trên khoảng
x−m

(−∞; −1) ?
A. 3

B. 4

C. 2

D. 5

Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AC =

a 2
. Cạnh bên SA vuông góc với
2


mặt phẳng đáy và đường thẳng SB tạo với mặt phẳng ( ABCD) một góc 60° . Khoảng cách giữa hai
đường thẳng AD và SC bằng
A.

a 3
4

B.

a 2
2

C.

a 3
2

D.

a
2

Câu 36. Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích 72dm3 và chiều cao là
3dm . Một vách ngăn (cùng bằng kính) ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a, b (đơn vị
dm) như hình vẽ. Tính a, b để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm
kính như nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể.

A. a = 24, b = 24

B. a = 3, b = 8


C. a = 3 2, b = 4 2

Câu 37. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

D. a = 4, b = 6

x −1 y z −1
x+4 y −2 z +3
= =
=
=
và d 2 :
.
1
1
−1
1
−2
1

Mặt phẳng (Q) : ax + by + cz − 4 = 0 chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d 2 . Tính
a +b+c .

A. 6

B. 3

C. −6


D. −3

Trang 5


Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x−2 y+3 z −4
x − 4 y +1 z
=
=
; d2 :
=
=
.
3
1
−2
3
1
−2

Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d1 và d 2 , đồng thời cách
đều hai đường thẳng đó?
A.

x−3 y +2 z −2
=
=
3

1
−2

B.

x+3 y +2 z +2
=
=
3
1
−2

C.

x +3 y −2 z +2
=
=
3
1
−2

D.

x−3 y −2 z −2
=
=
3
1
−2


Câu 39. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 1 = 2 5 và ( z − 1) 2 là số thuần ảo?
A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Câu 40. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và đồ thị hàm
số y = f ′( x) như hình vẽ. Bất phương trình f ( x ) > x 3 + 4 x + m nghiệm
đúng với mọi x ∈ (0; 2) khi và chỉ khi
A. m < f (0)

B. m ≤ f (0)

C. m < f (2) − 16

D. m ≤ f (2) − 16

Câu 41. Cho A là tập các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy một số bất kỳ của tập A. Tính xác suất để lấy
được số lẻ và chia hết cho 9.
A.

625
1701

B.

1

9

Câu 42. Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện

C.

1
18

D.

1250
1701

1
< b < a < 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3

 3b − 1 
2
P = log a 
÷+ 12 log b a − 3 .
 4 
a
A. 13

B.

1
2


3

C. 9

D.

3

2

Câu 43. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x = 1 và f ′(1) ≠ 0 . Gọi d1 , d 2 lần lượt là hai tiếp tuyến
của đồ thị hàm số y = f ( x) và y = g ( x) = x. f (2 x − 1) tại điểm có hoành độ x = 1 . Biết rằng hai đường
thẳng d1 , d 2 vuông góc với nhau. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

2 < f (1) < 2

B. f (1) ≤ 2

C. f (1) ≥ 2 2

D. 2 ≤ f (1) > 2 2

1
2
Câu 44. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ \ { 0} thỏa mãn f ( x ) + 4 f  ÷ = 8 x . Tính tích phân
x
 
2


I =∫
1
2

f ( x)
dx .
x
Trang 6


A. I =

3
2

B. I =

9
2

C. I = 3

D. I = 4

2
2
2
Câu 45. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S1 ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 1 . Xét mặt cầu


( S 2 ) : ( x − 2) 2 + ( y − m) 2 + ( z − 1) 2 = 16 , với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m
sao cho ( S1 ) tiếp xúc với ( S 2 ) . Tính tổng tất cả các phần tử của S.
A. 6

B. 10

C. 4

D. 8

Câu 46. Cho hai số phức z, w thỏa mãn z + 2w = 3, 2 z + 3w = 6 và z + 4w = 7 . Tính giá trị của biểu
thức P = z.w + z.w .
A. P = −14i

B. P = −28i

C. P = −14

D. P = −28

Câu 47. Cho hàm số f ( x) . Hàm số y = f ′( x) có đồ thị như
hình vẽ và f (0) + f (1) − 2 f (2) = f (4) − f (3) . Mệnh đề nào
dưới đây là đúng?
A. min [ 0;4] f ( x) = f (0)

B. min[ 0;4] f ( x) = f (2)

C. min [ 0;4] f ( x) = f (4)

D. min [ 0;4] f ( x) = f (1)


Câu 48. Cho hàm số f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f [ f ( x )] .

A. 5

B. 3

C. 4

D. 6

Câu 49. Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( P ) của hàm số
y = 6 x − x 2 và trục hoành. Hai đường thẳng y = m, y = n chia hình ( H )
thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính P = (9 − m)3 + (9 − n)3 .
A. P = 405

B. P = 409

C. P = 407

D. P = 403

Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 + z 2 = 4 và hai điểm A(−1; 2;0) ,
B (2;5;0) . Điểm K (a; b; c) thuộc ( S ) sao cho KA + 2 KB nhỏ nhất. Tính giá trị của a − b + c .
A. 4 − 3

B. − 3

C. 4 + 3


D.

3

Trang 7


Đáp án
1-B
11-D
21-C
31-C
41-C

2-C
12-D
22-D
32-B
42-C

3-B
13-B
23-C
33-A
43-C

4-D
14-D
24-C
34-A

44-C

5-C
15-B
25-B
35-A
45-D

6-D
16-A
26-B
36-D
46-D

7-A
17-A
27-A
37-A
47-C

8-C
18-C
28-D
38-A
48-C

9-A
19-D
29-B
39-D

49-A

10-C
20-C
30-D
40-D
50-B

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án B

r
Mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 3 z + 3 = 0 có một VTPT là n = (1; 2; −3) .
Câu 2: Đáp án C
Ta có ln(ab3 ) = ln a + ln b 3 = ln a + 3ln b .
Câu 3: Đáp án B
Hàm số f ( x) đồng biến trên (−∞;1) .
Câu 4: Đáp án D
2

Ta có

∫ f ′( x)dx = f ( x)

2
0

= f (2) − f (0) = 3 .

0


Câu 5: Đáp án C
2

Ta có z =

2

1 − 2i 3 1
10
3  1
.
= − i ⇒ z =  ÷ +− ÷ =
1− i 2 2
2
2  2

Câu 6: Đáp án D
Ta có y (2) = 0 ⇒ Loại A, B, C.
Câu 7: Đáp án A
Ta có

y = log 3 x ⇒ y ′ =
4

1
x ln

3
4


=

1
1
=
x(ln 3 − ln 4) x(ln 3 − 2 ln 2) .

Câu 8: Đáp án C
Ta có ∫ sin 5 xdx = −

cos 5 x
+C .
5

Câu 9: Đáp án A
Giá trị cực đại của hàm số f ( x) là 4.
Câu 10: Đáp án C
Đường thẳng y =

2
cắt đồ thị hàm số y = f ( x) tại đúng 3 điểm phân biệt.
3

Câu 11: Đáp án D
Trang 8


 2m − n = 3
r r

m = 4

⇒ m+n = 9.
Ta có u = v ⇔ 1 − n = −4 ⇔ 
n = 5
m + 1 = 5

Câu 12: Đáp án D
Ta có S5 =

u1 (1 − q 5 )
= 682 .
1− q

Câu 13: Đáp án B
1

4

1

4

0

1

0

1


Ta có S = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x)dx .
Câu 14: Đáp án D
Ta có R = 3 và S xq = πRl = πR h 2 + R 2 = 15π
1
⇒ 3 h 2 + 9 = 15 ⇒ h = 4 ⇒ V = πR 2 h = 12π .
3
Câu 15: Đáp án B
−1 + 2i + 1

1z =
=i

2
2
Ta có ∆ = (1 − 2i) + 4(1 + i ) = 1 ⇒ 
 z = −1 + 2i − 1 = −1 + i

2
⇒ z1 + z2 = i + −1 + i = 1 + 2 .
Câu 16: Đáp án A
Mỗi ngày có 3 cách chọn mua 1 tờ nhật báo.
Vậy 6 ngày có 3.3.3.3.3.3 = 36 = 729 cách chọn mua 1 tờ nhật báo.
Câu 17: Đáp án A
Ta có A(−2;1), B(1;3) .
 −2 + 1 1 + 3 
 1 
;
Trung điểm của đoạn thẳng AB là I 
÷⇒ I  − ; 2 ÷ .

2 
 2
 2 
1
Điểm I biểu diễn số phức − + 2i .
2
Câu 18: Đáp án C
Với a, b > 0 có a 2 + b 2 = 8ab ⇔ (a + b) 2 = 10ab ⇔ log(a + b) 2 = log(10ab)
1
⇔ 2 log( a + b ) = 1 + log a + logb ⇔ log( a + b) = (1 + log a + log b) .
2
Câu 19: Đáp án D
Ta có AC ′2 = AC 2 + CC ′2 = AB 2 + BC 2 + CC ′2 = 3 AB 2
⇒ AB 3 = AC ′ = 2a 3 ⇒ AB = 2a
Trang 9


⇒ VABCD. A′B′C ′D′ = AB 3 = 8a 3 .
Câu 20: Đáp án C

ur
Đường thẳng d có một VTCP là u1 = (2; −3;0) .
uu
r
Đường thẳng Δ có một VTCP là u2 = (1; m; −2) .
ur uu
r
2
YCBT ⇔ u1.u2 = 0 ⇔ 2 − 3m + 0 = 0 ⇔ m = , thỏa mãn m ≠ 0 .
3

Câu 21: Đáp án C
2

1
1
2  AD  AB
Ta có V = πHM 2 .QH + πHM 2 .NH = π. 
= 8π .
÷.
3
3
3  2  2
Câu 22: Đáp án D
Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên [ −1;3] .
Ta có y ′ =

11
5
> 0, ∀x ∈ (−1;3) ⇒ max [ −1;3] y = y (3) = .
2
( x + 5)
8

Câu 23: Đáp án C
x+2

10 x −1

Ta có 2


1
= ÷
 16 

x+2

10 x −1

⇒2

⇒ 10 x − 1 = −4( x + 2) ⇔ x = −

 1 
= 4 ÷
2 

= ( 2−4 )

x+2

= 2 −4( x +2)

1
.
2

Câu 24: Đáp án C
3

3


3

3

x +1
x +1
x +1
x −1+ 2
dx = ∫ 2
dx = ∫
dx = ∫
dx
Ta có ∫
2
x ( x − 2) + 1
x − 2x +1
( x − 1)
( x − 1) 2
2
2
2
2
3

 1
1a = 1
2 
2 


= ∫
+
dx =  ln x − 1 −
÷ = (ln 2 − 1) − (−2) = 1 + ln 2 ⇒ b = 1 ⇒ S = 3 .
2
x − 1 ( x − 1) 
x −1  2


2
3

Câu 25: Đáp án B

(

)

· ;( ABCD) = SBA
·
= 60°
Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SB
⇒ tan 60° =

SA
⇒ SA = a 3
AB

1
1

a3 3
.
⇒ VS . ABCD = SA.S ABCD = SA. AB 2 =
3
3
3
Câu 26: Đáp án B
CB ⊥ AB
⇒ CB ⊥ ( SAB ) ⇒ CB ⊥ SB
Ta có 
CB ⊥ SA

Trang 10


( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC

· );( ABCD) = SBA
·
⇒ ( SBC
Từ  BC ⊥ SB; BC ⊥ AB
.
 SB ⊂ ( SBC ); AB ⊂ ( ABCD )


(

·
tan SBA
=


)

SA a
·
= = 1 ⇒ SBA
= 45° .
AB a

Câu 27: Đáp án A
2
3
2
Ta có f ( x) = ∫ (3x + 2 x − m + 1)dx = x + x + (1 − m) x + C .

 f (2) = 1
2(1 − m) + C + 12 = 1 m = 4
⇒
⇒
Bài ra, ta có 
 f (0) = −5 C = −5
C = −5
⇒ f ( x) = x 3 + x 2 − 3x − 5 ⇒ f (3) = 22 .
Câu 28: Đáp án D
x = 1+ t
uuur

Ta có ∆ :  y = 1 − t (t ∈ ¡ ) ⇒ H (1 + t ;1 − t ; t ) ⇒ AH = (t ; 2 − t ; t + 1) .
z = t


r
Đường thẳng d có một VTCP là u = (1; −1;1) .
uuur r
1
 4 2 1
Do AH ⊥ d nên AH .u = 0 ⇔ t − 2 + t + t + 1 = 0 ⇔ t = ⇒ H  ; ; ÷.
3
 3 3 3
Câu 29: Đáp án B

(
Ta có
y=

) (

x +1 −1 +

x+4 −2

x ( x 2 − 1)

)=

x
x
+
x +1 +1
x+4+2 =
x( x − 1)( x + 1)


1
1
+
x +1 +1
x+4 +2
( x − 1)( x + 1)

Đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận đứng là x = ±1 .
Câu 30: Đáp án D
Điều kiện x >

1
1
1
(*). Phương trình ⇔ .2 log 3 ( x + 2) + .3log 3 (4 x − 1) = 2
4
2
3

⇔ log 3 [ ( x + 2)(4 x − 1) ] = 2 ⇔ ( x + 2)(4 x − 1) = 32 ⇒ x = 1 thỏa mãn (*).
Câu 31: Đáp án C
Ta có OA = OB ⇒ OA ⊥ OB ⇒ AB = R 2
2

S SAB

1
 AB 
2

= AB. SA2 − 
÷ =R 2
2
2


2

R 2
1
⇒ .R 2 = SA2 − 
= R2 2
÷
÷
2
 2 
⇒ SA2 −

R2
3R
= (2 R ) 2 ⇒ SA =
2
2
Trang 11


⇒ h = SO = SA2 − R 2 = R

7
1

1 7 3
⇒ V = πR 2 h =
πR .
2
3
3 2

Câu 32: Đáp án B
Ta có y ′ = 3 x 2 − 6mx + 3(2m 2 − 10m + 9) = 0 ⇔ x 2 − 2mx + 2m 2 − 10m + 9 = 0 .
Hàm số có 2 điểm cực trị ⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
⇔ ∆′ = m 2 − (2m 2 − 10m + 9) > 0 ⇔ m 2 − 10m + 9 < 0 ⇔ 1 < m < 9 .
Câu 33: Đáp án A
2
Điều kiện: x > 0 (*). Phương trình ⇔ (log 2 x − 4) − m(log 2 x − 2) = 0

x = 4
log x = 2
⇔ (log 2 x − 2)(log 2 x + 2) = m(log 2 x − 2) ⇔  2
⇔
m−2
log 2 x + 2 = m
x = 2
⇒ x1 + x2 = 4 + 2m − 2 = 20 ⇒ 2 m− 2 = 16 ⇒ m − 2 = 4 ⇒ m = 6 thỏa mãn.
Câu 34: Đáp án A
Ta có y ′ =

−m + 2 > 0
−m + 2
> 0, ∀x < −1 ⇔ 
⇔ −1 ≤ m < 2 .

2
( x − m)
 m ≥ −1

Câu 35: Đáp án A
Ta có AD // BC ⇒ AD // ( SBC ) ⇒ d ( AD; SC ) = d ( A;( SBC ) ) .
Kẻ AP ⊥ SB ⇒ d ( A;( SBC ) ) = AP ⇒ d ( AD; SC ) = AP
Ta có

AC a
1
1
1
AB =
= .
= 2+
2
2 . Cạnh
2 2
AP
SA
AB

(

)

·
= 60°
Lại có SB;(· ABCD) = SBA

⇒ tan 60° =

SA
a 3
a 3
.
⇒ SA =
⇒ AP =
AB
2
4

Câu 36: Đáp án D
Thể tích của bể là V = 3ab = 72 ⇒ ab = 24 .
Để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất thì tổng diện tích S của bốn mặt bên, mặt đáy, tấm kính ở giữa phải nhỏ
nhất.
Ta có S = 2.3a + 2.3b + ab + 3a = ab + 9a + 6b ≥ ab + 2 9a.6b = 24 + 2 54.24 = 96 .
ab = 24
a = 4
⇔
Dấu “=” xảy ra ⇔ 
.
9a = 6b > 0
b = 6
Câu 37: Đáp án A

r
Đường thẳng d1 có một VTCP là v = (1;1; −1) .
r
Đường thẳng d 2 có một VTCP là u = (1; −2;1) .


Trang 12


r r
Mặt phẳng (Q) nhận v; u  là một VTPT.
r
r r
v = (1;1; −1)
uur
⇒ v; u  = (−1; −2; −3) ⇒ (Q) sẽ nhận nQ = (1; 2;3) là một VTPT.
Ta có  r
u = (1; −2;1)
Kết hợp với (Q) qua A(1;0;1) ⇒ 1.( x − 1) + 2( y − 0) + 3( z − 1) = 0
⇒ (Q) : x + 2 y + 3 z − 4 = 0 .
Đường thẳng d qua M (−4; 2; −3) , rõ ràng M ∉ (Q) : x + 2 y + 3z − 4 = 0
⇒ (Q) : x + 2 y + 3 z − 4 = 0 thỏa mãn.
Câu 38: Đáp án A

ur
Đường thẳng d1 qua A(2; −3; 4) và nhận u1 = (3;1; −2) là một VTCP.
uu
r
Đường thẳng d 2 qua B (4; −1;0) và nhận u2 = (3;1; −2) là một VTCP.
 A ∉ d 2
r ⇒ d1 // d 2 .
Ta có  ur uu
u1 = u2
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Bài ra d thuộc mặt phẳng chứa d1 và d 2 , đồng thời cách đều d1 và d 2 .

Ta có A(2; −3; 4) ∈ d1 và B (4; −1;0) ∈ d 2 ⇒ trung điểm M của AB sẽ thuộc d.
 2 + 4 −3 − 1 4 + 0 
;
;
Điểm M 
÷⇒ M (3; −2; 2) ⇒ d qua M (3; −2; 2) .
2
2 
 2
Lại có C (5; −2; 2) ∈ d1 và D(7;0; −2) ∈ d 2 ⇒ trung điểm N của CD sẽ thuộc d.
 5 + 7 −2 + 0 2 − 2 
;
;
Điểm N 
÷⇒ N (6; −1;0) ⇒ d qua N (6; −1;0) .
2
2 
 2
uuuu
r
Đường thẳng d qua M (3; −2; 2) và nhận MN = (3;1; −2) là một VTCP.
⇒d:

x−3 y +2 z −2
=
=
.
3
1
−2


Câu 39: Đáp án D
Giả sử z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) , ta có z + 1 = 2 5
⇔ a + bi + 1 = 2 5 ⇔ ( a + 1) 2 + b 2 = 2 5 ⇔ a 2 + b 2 + 2a = 19 . Lại có
( z − 1) 2 = (a − 1 + bi) 2 = (a − 1) 2 − b 2 + 2b(a − 1)i là số thuần ảo.
Nên (a − 1) 2 − b 2 = 0 ⇔ b 2 = (a − 1) 2 ⇒ a 2 + (a − 1) 2 + 2a = 19 ⇔ 2a 2 = 18 ⇔ a = ±3 .
+ Với a = 3 ⇒ b 2 = 4 ⇔ b = ±2 ⇒ z = 3 + ±2i .
+ Với a = −3 ⇒ b 2 = 16 ⇔ b = ±4 ⇒ z = −3 ± 4i .
Do đó có 4 số phức z thỏa mãn bài toán.
Câu 40: Đáp án D
Trang 13


Xét hàm số g ( x) = f ( x ) − x 3 − 4 x, x ∈ (0; 2) ⇒ g ′( x) = f ′( x ) − 3 x 2 − 4 .
Từ hình vẽ, ta thấy với mọi x ∈ (0; 2) thì 0 < f ′( x) < 4 ⇒ f ′( x) − 4 < 0
⇒ g ′( x) < 0, ∀x ∈ (0; 2) ⇒ g ( x) nghịch biến trên (0; 2) .
Khi đó m < g ( x), ∀x ∈ (0; 2) ⇔ m ≤ g (2) ⇔ m ≤ f (2) − 16 .
Câu 41: Đáp án C
Có tất cả 9.10.10.10.10.10.10 = 9.106 số tự nhiên có 7 chữ số.
Ta có abcdefg M9 ⇔ (a + b + c + d + e + f + g )M9 . Các số lẻ chia hết cho 9 là 1000017, 1000035, 1000053,
…, 9999999.
Đây là một cấp số cộng có u1 = 1000017 và công sai d = 18 .
Số phần tử của dãy này là
Vậy xác suất cần tìm là

9999999 − 1000017
+ 1 = 500000 .
18

500000 1

= .
9.106
18

Câu 42: Đáp án C
Ta có

3b − 1 3
≤ b ⇔ 4b3 − 3b + 1 ≥ 0 ⇔ (b + 1)(4b 2 − 4b + 1) ≥ 0
4

⇔ (b + 1)(2b − 1) 2 ≥ 0 luôn đúng với

1
< b < 1.
3

 3b − 1 
 3b − 1 
3
⇒ log a 
÷ ≥ log a b (vì a < 1 ) ⇒ log a 
÷ ≥ 3log a b .
 4 
 4 
Biến đổi

log b a =
a


⇒ P ≥ 3log a b +

1
log a

b
a

=

1
log a b − 1

12
12
1
− 3 = 3(log a b − 1) +
< b < a < 1 ⇒ log a b > 1 .
2
2 . Bài ra
(log a b − 1)
(log a b − 1)
3

Đặt t = log a b − 1 > 0 ⇒ P ≥ 3t +

12 3t 3t 12
3t 3t 12
= + + 2 ≥ 33 . . 2 = 9 .
2

t
2 2 t
2 2 t

1
1


1
b=
1



b = 2
b
=
b
=



2
⇔
2 ⇔
2⇔
Dấu “=” xảy ra ⇔ 
.
 3t = 12
t = 2

b = a 3
a = 1

3

2
 2 t 2
Câu 43: Đáp án C
Ta có g ′( x) = f (2 x − 1) + 2 x. f ′(2 x − 1) ⇒ g ′(1) = f (1) + 2 f ′(1) .
d1 có hệ số góc là f ′(1) và d 2 có hệ số góc là g ′(1) = f (1) + 2 f ′(1) .
−2 [ f ′(1) ] − 1
Mà d1 ⊥ d 2 ⇒ f ′(1).g ′(1) = −1 ⇔ f ′(1).[ f (1) + 2 f ′(1) ] = −1 ⇒ f (1) =
f ′(1)
2

Trang 14


2 [ f ′(1) ] + 1 2 [ f ′(1)] + 1 2 2 [ f ′(1) ] .1
⇒ f (1) =
=
≥
=2 2.
f ′(1)
f ′(1)
f ′(1)
2

2


2

Câu 44: Đáp án C
1
2

1
Đặt x = ⇒ I = ∫ t. f
t
2

1
2

1 1
 ÷d  ÷ = ∫ t. f
t  t  2

2

1
 1  −1
 ÷. 2 dt = ∫ . f
t  t
1 t

2

1
1

 ÷dt = ∫ . f
t 
1 x

2
2

⇒ 5I = ∫
1
2

2

2

f ( x)
1
dx + 4 ∫ . f
x
1 x

1
= ∫ .8 x 2 dx = 4 x 2
1 x

2

1
1
 ÷dx = ∫  f ( x ) + 4 f

 x
1 x 

2
2
1
2

1
 ÷dx
 x

2

 1 
 ÷ dx
 x 

2

= 15 ⇒ I = 3 .

2

Câu 45: Đáp án D
Mặt cầu ( S1 ) có tâm I1 (1; 2;3) và bán kính R1 = 1 .
Mặt cầu ( S 2 ) có tâm I 2 (2; m;1) và bán kính R2 = 4 .
 I1 I 2 = R1 + R2
I I = 5
⇔ 1 2

Ta có ( S1 ) tiếp xúc với ( S 2 ) ⇔ 
 I1 I 2 = 3
 I1 I 2 = R1 − R2
uuur
Ta có I1 I 2 = (1; m − 2; −2) ⇒ I1I 2 = (m − 2) 2 + 5 .
m = 2 ± 2 5
 (m − 2) 2 + 5 = 5
 (m − 2) 2 + 5 = 25

⇒
⇔
⇔
.
m = 0
 (m − 2) 2 + 5 = 3
(m − 2) 2 + 5 = 9



m = 4
Câu 46: Đáp án D
2

Ta có z + 2 w = 3 ⇔ z + 2w = 9 ⇔ ( z + 2 w).( z + 2 w) = 9
⇔ ( z + 2 w).( z + 2 w) = 9
2

2

⇔ z.z + 2( z.w + z.w) + 4 w.w = 9 ⇔ z + 2 P + 4 w = 9 (1)

2

2

Tương tự 2 z + 3w = 6 ⇔ (2 z + 3w).(2 z + 3w) = 36 ⇔ 4 z + 6 P + 9 w = 36 (2)
2

2

z + 4 w = 7 ⇔ ( z + 4 w).( z + 4 w) = 49 ⇔ z + 4 P + 16 w = 49 (3)
 z 2 = 33

Từ (1), (2), (3) ta có  P = −28 ⇒ P = −28 .
 2
 w = 8
Câu 47: Đáp án C
 x ∈ (0; 4)
⇔ x = 2 . Ta cần so sánh f (0), f (4), f (2) . Nên loại được D.
Ta có 
 f ′( x) = 0
Trang 15


Hàm số f ( x) đồng biến trên (0; 2) ⇒ f (2) > f (0) ⇒ Loại B.
Từ f (0) + f (1) − 2 f (2) = f (4) − f (3) ⇒ f (4) − f (0) = f (1) + f (3) − 2 f (2) .
Hàm số f ( x) đồng biến trên (0; 2) ⇒ f (2) > f (1) .
Hàm số f ( x) nghịch biến trên (2; 4) ⇒ f (2) > f (3)
Vậy min [ 0;4] f ( x) = f (4) .
Câu 48: Đáp án C
 x3

2
′
f
(
x
)
=
ax
(
x
−
2)
⇒
f
(
x
)
=
a
Xét
 − x ÷+ b
 3

 f ′( x) = 3 x( x − 2)
b = 0
 f (0) = 0
b = 0 

⇒ 4
⇒

⇒  f ( x) = x 3 − 3 x 2

f
(2)
=
−
4
a
=
3

− 3 a = −4 
 y = f ( x3 − 3x 2 )

y ′ = (3 x 2 − 6 x). f ′( x 3 − 3 x 2 ) = 3x ( x − 2).3( x 3 − 3 x 2 )( x 3 − 3 x 2 − 2)
= 9 x3 ( x − 2)( x − 3)( x3 − 3x 2 − 2) .
Ta có x 3 − 3 x 2 − 2 = 0 ⇔ f ( x) = 2 ⇒ y ′ = 0 có 1 nghiệm đơn x = x0 khác x = 0; x = 2; x = 3 .
Như vậy tổng số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của y ′ = 0 là 4.
x = 0
x = 2
 f ′( x ) = 0
′
′
′
⇔
Cách 2: Ta có y = f ( x). f [ f ( x) ] = 0 ⇔ 
′
 f ( x) = 0
f
f

(
x
)
=
0
[
]


 f ( x) = 2
Phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm kép x = 0 và 1 nghiệm đơn x = a (a > 2)
Phương trình f ( x ) = 2 có 1 nghiệm đơn x = b(b > a )
Như vậy y ′ = 0 có tất cả 4 nghiệm đơn (nghiệm bội lẻ) là x = 0; x = 2; x = a; x = b .
Câu 49: Đáp án A
6

2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 6 x − x 2 ; y = 0 là S = ∫ 6 x − x dx = 36 .
0

Ta có x 2 − 6 x + m = 0 ⇔ ( x − 3) 2 = 9 − m ⇒ x = 3 ± 9 − m (0 < m < 9)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 6 x − x 2 ; y = m
3+ 9− m

2
.36 = ∫ (6 x − x 2 − m)dx ⇒ 24.3 = ( 9 x 2 − x3 − 3mx )
3
3− 9 − m
Đặt


3+ 9 − m

3− 9 − m

9 − m = a ⇒ 72 = 9 (3 + a) 2 − (3 − a) 2  − (3 + a)3 − (3 − a)3  − 3(9 − a 2 ).2a

= 9.12a − (a + 3)3 + (a − 3)3  − 6a (9 − a 2 ) = 54a + 6a 3 − (2a 3 + 54a) = 4a 3
⇒ a 3 = 18 ⇒

(

9−m

)

3

= 18 ⇒ (9 − m)3 = 324 .
Trang 16


Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 6 x − x 2 ; y = n
3+ 9 − n

1
.36 = ∫ (6 x − x 2 − n)dx ⇒ 12.3 = (9 x 2 − x 3 − 3nx)
3
3− 9 − n
Tương tự như trên ⇒ 36 = 4


(

9−n

)

3

3+ 9 − n

3− 9 − n

⇒ (9 − n)3 = 81 .

Câu 50: Đáp án B
Mặt cầu ( S ) có tâm I (3; 2;0) và bán kính R = 2 .
uur
IA
= 2.
Ta có AI = (4;0;0) ⇒ AI = 4 ⇒ AI = 2 IK ⇒
IK
Trên đoạn thẳng AI lấy điểm C sao cho IC = 1 ⇒ C cố định.
2
Ta có IC.IA = 1.4 = 4 = IK ⇒ ∆ICK : ∆IKA ⇒

CK IK 1
=
= ⇒ KA = 2 KC
KA IA 2


⇒ KA + 2 KB = 2( KC + KB ) ≥ 2 BC (không đổi)
Dấu “=” xảy ra ⇔ K = BC I ( S ) và K ở giữa B và C.
uu
r
uur
Ta có IA = 4 IC ⇒ C (2; 2;0) .
uuu
r
Đường thẳng BC qua C (2; 2;0) và nhận CB = (0;3;0) là một VTCP
x = 2

⇒ BC :  y = 2 + 2t ⇒ K (2; 2t + 2;0) .
z = 0

2
Ép cho K ∈ ( S ) ⇒ 1 + 4t = 4 ⇒ t = ±

 K (2; 2 + 3;0)
3
⇒
2
 K (2; 2 − 3;0)

Mà K ở giữa B và C ⇒ K (2; 2 + 3;0) .

Trang 17