ĐỀ THI THỬ THPT QG NĂM HỌC 2020

ĐỀ SỐ 3

Môn: Toán



Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ
bên?
A. y   x 4  x 2  1

B. y  x 4  3x 2  1

C. y   x 3  3x  1

D. y  x 3  3 x  1





2
Câu 2. Tập nghiệm của phương trình log3 x  7  2 là





B.  4; 4 .

A.  15; 15 .

C.  4 .

D.  4 .

Câu 3. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d:
A. P  1;1; 2  .

B. N  2; 1; 2  .

x  2 y 1 z  2


?
1
1
2

C. Q  2;1; 2  .

D. M  2; 2;1 .

Câu 4. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  z  1  0 có một véctơ pháp tuyến là
ur
uu
r
uu

r
uu
r
A. n1   2;3; 1 .
B. n3   1;3; 2  .
C. n4   2;3;1 .
D. n2   1;3; 2  .
Câu 5. Số phức liên hợp của số phức  1  i  .  2  i  là
2

A. 2  4i .

B. 2  4i .

C. 4  2i .

D. 4  2i .

Câu 6. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:
x
f�
 x

�
+

f  x

0
0

5

2
0

–

B.  1; 2  .

+
�

�
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  �; 1 .

�

3
C.  3;5  .

D.  1; � .

x
Câu 7. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   3 là

A.

3 x
C .

ln 3

B. 3 x  C .

Câu 8. Cho cấp số nhân  un  với u1  9 và u4 
1
A. q  .
3

B. q  3 .

C. 

3 x
C .
ln 3

D. 3 x ln 3  C .

1
. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
3
C. q  3 .

1
D. q   .
3

Trang 1



Câu 9. Giả sử f  x  là một hàm số bất kỳ liên tục trên khoảng   ;   và a , b, c, b  c �  ;   . Mệnh đề
nào sau đây sai?
A.

C.

b

c

c

a

a

b

b

bc

b

a

a

b c


f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx .
�

B.

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx .
�

D.

b

bc

c

a

a

a

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx .

�
b

c

c

a

a

b

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx .
�

Câu 10. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  3;3 và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Mệnh đề
nào sau đây sai về hàm số đó?
x
f�
 x

–3

–1
0

+

A. Đạt cực tiểu tại x  1 .

–

C. Đạt cực đại tại x  2 .

0
0

1
+
0
–
B. Đạt cực đại tại x  1 .

2
0

+

3
0

D. Đạt cực tiểu tại x  0 .

Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho E  1;0; 2  và F  2;1; 5  . Phương trình đường thẳng EF là
A.

x 1 y z  2
 

.
3
1
7

B.

x 1 y z  2
 
.
3
1
7

C.

x 1 y z  2
 
.
1
1
3

D.

x 1 y z  2
 
.
1
1

3

r
r
r
r
Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho a   3; 4;0  và b   5;0;12  . Côsin của góc giữa a và b bằng
A.

3
.
13

B.

5
.
6

5
C.  .
6

D. 

3
.
13

Câu 13. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P  đi qua điểm M  3; 1; 4  đồng thời vuông góc với giá

r
của véctơ a   1; 1; 2  có phương trình là
A. 3 x  y  4 z  12  0 .

B. 3 x  y  4 z  12  0 .

C. x  y  2 z  12  0 .

D. x  y  2 z  12  0 .

Câu 14. Cho k, n  k  n  là các số nguyên dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
k
A. An 

n!
.
k!

k
k
B. An  k !.Cn .

k
C. An 

n!
.
k !.  n  k  !

k

k
D. An  n !.Cn .

Câu 15. Thể tích khối cầu đường kính bằng 4 là
A.

32
.
3

B.

256
.
3

C.

64
.
3

D.

128
.
3

Câu 16. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f  x   x 


9
trên đoạn  1; 4 .
x

Giá trị của m  M bằng
A.

65
.
4

B. 16.

C.

49
.
4

D. 10.
Trang 2


Câu 17. Cho hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy và thể tích của khối trụ bằng
16 . Diện tích toàn phần của khối trụ đã cho bằng

A. 16 .

B. 12 .


C. 8 .

D. 24 .

Câu 18. Cho hình nón tròn xoay có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 6 3 . Góc ở đỉnh
của hình nón đã cho bằng
A. 60°.

B. 150°.

C. 90°.

D. 120°. 

Câu 19 Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
�

x
f  x

–1
1

0

�

1
.
2


�

–2

Hàm số y  f  2 x  đạt cực đại tại
A. x 

�

2
1

B. x  1 .

C. x  1 .



D. x  2 . 



 x   x 2 . x 2  1 ; x ��. Hàm số y  2 f   x  đồng biến
Câu 20. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �
trên khoảng
A.  2; � .

B.  �; 1 .




Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn 1  3i
A.

5
.
4

B.

C.  1;1 .



2

D.  0; 2  .

z  3  4i . Môđun của z bằng

5
.
2

C.

2
.
5


D.

4
.
5

2
Câu 22. Biết rằng phương trình log 2 x  7 log 2 x  9  0 có hai nghiệm x1 , x2 . Giá trị x1.x2 bằng

A. 128.

B. 64.

C. 9.

D. 512.

x3  4 x
Câu 23. Đồ thị hàm số y  3
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x  3x  2
A. 4.

B. 1.

C. 3.




D. 2.












Câu 24. Biết rằng  ,  là các số thực thỏa mãn 2 2  2  8 2  2 . Giá trị của   2 bằng

A. 1.

B. 2.

Câu 25. Đạo hàm của hàm số f  x  

 x  
A. f �
 x 
C. f �

2

3


x



1

2

3

x



1

2

2

.3x .

.3x ln 3 .

C. 4.

D. 3.

3x  1
là

3x  1

 x 
B. f �

2

3

 x  
D. f �

x



1

.3x .

2

2

3

x




1

2

.3x ln 3 .

Trang 3


B C có AB  a , góc giữa đường thẳng A�
C và mặt
Câu 26. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A���
B C bằng
phẳng  ABC  bằng 45°. Thể tích của khối lăng trụ ABC. A���
A.

3a 3
.
4

B.

3a 3
.
2

C.

3a 3
.

12

D.

3a 3
.
6

4
2
Câu 27. Cho f  x   x  5 x  4 . Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x 

và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?
1

2

A. S 

f  x  dx  2
B. S  2 �

�f  x  dx .

2

0

2


2

f  x  dx .
�
1

2

f  x  dx .
C. S  2 �

D. S  2

0

f  x  dx .
�
0

Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng  P  : x  3 y  2 z  1  0 ;  Q  : x  z  2  0 . Mặt
phẳng    vuông góc với cả  P  và  Q  đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương
trình của    là
A. x  y  z  3  0

B. x  y  z  3  0 .

C. 2 x  z  6  0 .

D. 2 x  z  6  0 .


Câu 29. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  7  0 . Số phức z1 z2  z1 z2 bằng
A. 2.

B. 10.

C. 2i.

D. 10i.

B C D có I, J tương ứng là trung điểm của BC và BB�
Câu 30. Cho hình lập phương ABCD. A����
. Góc giữa

hai đường thẳng AC và IJ bằng
A. 45°.

B. 60°.

C. 90°.

D. 30°.

 x  có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.
Câu 31. Cho f  x  mà hàm số y  f �
x

–1

1
3


f�
 x

3
2

1
1 3
2
Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m  x  f  x   x nghiệm đúng với mọi x � 0;3
3
là
A. m  f  0  .

B. m �f  0  .
1

Câu 32. Biết rằng

�
3x  5
0

C. m �f  3 .

D. m �f  1 

2
.

3

dx
 a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của
3x  1  7

a  b  c bằng

A. 

10
.
3

5
B.  .
3

C.

10
.
3

D.

5
.
3
Trang 4



Câu 33. Giải bóng chuyền quốc tế VTV Cup có 8 đội tham gia, trong đó có hai đội Việt Nam. Ban tổ
chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành hai bảng đấu, mỗi bảng 4 đội. Xác suất để hai đội của Việt Nam
nằm ở hai bảng khác nhau bằng
A.

2
.
7

5
.
7

B.

C.

3
.
7

D.

4
.
7

Câu 34. Trong không gian với Oxyz, cho các điểm M  2;1; 4  , N  5;0;0  , P  1; 3;1 . Gọi I  a; b; c  là

tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  Oyz  đồng thời đi qua các điểm M, N, P. Tìm c biết rằng
abc 5

A. 3.

B. 2.

C. 4.

D. 1.

B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Gọi E là trung điểm
Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���
 4a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng A�
AB. Cho biết AB  2a , BC  13a , CC �
B và CE bằng
A.

4a
.
7

12a
.
7

B.

C.


6a
.
7

D.

3a
.
7

Câu 36. Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện
z  1  z  z i   z  z  .i 2019  1 ?
2

A. 4.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 37. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số





3
nguyên m để phương trình f x  3 x  m có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn


 1; 2 ?
A. 3.

B. 2.

C. 6.

D. 7.

Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:

x 1 y z  2
 
và hai điểm A  1;3;1 ,
2
1
1

B  0; 2; 1 . Gọi C  m; n; p  là điểm thuộc d sao cho diện tích của tam giác ABC bằng 2 2 . Giá trị của
tổng m  n  p bằng
A. –1.

B. 2.

Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số f  x  

C. 3.

D. 1.


x
trên khoảng  0;   là
sin 2 x

A.  x cot x  ln  sin x   C .

B. x cot x  ln sin x  C .

C. x cot x  ln sin x  C .

D.  x cot x  ln  sin x   C .

Trang 5






3
Câu 40. Bất phương trình x  9 x .ln  x  5  �0 có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 4.

B. 7.

C. 6.

D. Vô số.


 x  được cho như
Câu 41. Cho hàm số f  x  có đồ thị hàm số y  f �
hình vẽ bên. Hàm số y  f  x  

1 2
x  f  x  có nhiều nhất bao nhiêu
2

điểm cực trị trong khoảng  2;3 ?
A. 6.

B. 2.

C. 5.

D. 3.

Câu 42. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số
nguyên m để phương trình

1
3

�x �
f �  1� x  m có nghiệm thuộc đoạn  2; 2
�2 �

?
A. 11.


B. 9.

C. 8.

D. 10.

x
x
Câu 43. Cho hàm số f  x   2  2 . Gọi m0 là số lớn nhất trong các số nguyên m thỏa mãn





f  m   f 2m  212  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. m0 � 1513; 2019  .

B. m0 � 1009;1513 .

C. m0 � 505;1009  .

D. m0 � 1;505  .

 x  được cho như hình vẽ
Câu 44. Cho hàm số f  x  có đồ thị hàm số f �
2
bên. Hàm số y  f  cos x   x  x đồng biến trên khoảng

A.  1; 2  .


B.  1;0  .

C.  0;1 .

D.  2; 1 .

 x   e  x và f  0   2 . Tất
Câu 45. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f �
2x
cả các nguyên hàm của f  x  .e là
x
x
A.  x  2  e  e  C .

2x
x
B.  x  2  e  e  C .

x
C.  x  1 e  C .

x
D.  x  1 e  C .

Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA  11a , cosin của góc hợp bởi hai mặt phẳng  SBC 
và  SCD  bằng

1
. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng

10
Trang 6


A. 3a 3 .

B. 9a 3 .

C. 4a 3 .

Câu 47. Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng d:

D. 12a 3 .
x y z 1
x  3 y z 1
 
 
, 1 :
, 2 :
1 1
2
2
1
1

x 1 y  2 z

 . Đường thẳng  vuông góc với d đồng thời cắt 1 ,  2 tại H, K sao cho độ dài HK nhỏ
1
2

1
r
nhất. Biết rằng  có một véctơ chỉ phương u   h; k ;1 . Giá trị của h  k bằng
A. 0.

B. 4.

C. 6.

D. –2.

r
Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho a   1; 1;0  và hai điểm A  4;7;3 , B  4; 4;5  . Giả sử M, N là hai
uuuu
r
r
điểm thay đổi trong mặt phẳng  Oxy  sao cho MN cùng hướng với a và MN  5 2 . Giá trị lớn nhất
của AM  BN bằng
A. 17 .

B.

77 .

C. 7 2  3 .

D.

82  5 .


Câu 49. Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn A, đã làm
một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có hình dáng khối tròn xoay. Mặt cắt
 5cm , OA  1cm ,
qua trục của chiếc mũ như hình bên. Biết rằng OO�
OB  20cm , đường cong AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A. Thể

tích chiếc mũ bằng
A.

2750
.
3

B.

2500
.
3

C.

2050
.
3

D.

2250
.
3


Câu 50. Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện  z  6   8  z  là số thực. Biết rằng
z1  z2  4 , giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  3z2 bằng
A. 5  21 .

B. 20  4 21 .

C. 20  4 22 .

D. 5  22 .

Trang 7


Đáp án
1-D
11-B
21-A
31-B
41-D

2-B
12-D
22-A
32-A
42-C

3-C
13-C
23-D

33-D
43-B

4-C
14-B
24-D
34-B
44-A

5-A
15-A
25-C
35-C
45-D

6-A
16-B
26-A
36-D
46-C

7-C
17-D
27-D
37-B
47-A

8-B
18-D
28-A

38-C
48-A

9-B
19-C
29-A
39-A
49-B

10-A
20-C
30-B
40-C
50-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Đáp án D.
Hàm số có hệ số a dương và có hai điểm cực trị.
Câu 2. Đáp án B.
2
2
2
2
2
Ta có log 3 ( x  7)  2 � x  7  3 � x  16 � x   4;4 .

Câu 3. Đáp án C.
Thay tọa độ các điểm ở đáp án vào đường thẳng d.
Câu 4. Đáp án C.


uu
r
Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  là n4   2;3;1 .
Câu 5. Đáp án A.
Ta có z   1  i  .  2  i   2i.  2  i   2  4i � z  2  4i
2

Câu 6. Đáp án A.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  �;0  và  2; � .
Câu 7. Đáp án C.
3 x
Ta có: �
f  x  dx  �
3 dx  
C
ln 3
x

Câu 8. Đáp án B.
Ta có u4  u1 .q 3 �

q3
 9 � q3  27 � q  3
3

Câu 9. Đáp án B.
b

bc


c

a

a

a

f  x  dx � �
f  x  dx  �
f  x  dx
�
Câu 10. Đáp án A.
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng hàm số đạt cực đại tại x  1
Câu 11. Đáp án B.
uuur
r
Ta có EF   3;1; 7  � uEF   3;1; 7 
Vậy phương trình cần tìm là EF:

x 1 y z  2
 
3
1
7

Câu 12. Đáp án D.
Trang 8



rr
a.b
3
r r
�
Ta có a; b  r r   13
a .b

 

Câu 13. Đáp án C.
r
Mặt phẳng  P  nhận véctơ a   1; 1; 2  làm véctơ pháp tuyến
Suy ra phương trình mặt phẳng  P  là x  y  2 z  12  0 .
Câu 14. Đáp án B.
k
Ta có An 

n!
n!
k
k
k
; Cn 
suy ra An  k !.Cn .
k !.  n  k  !
 nk!

Câu 15. Đáp án A.
4

4
32
3
3
Thể tích cần tính là V   R   .2 
.
3
3
3
Câu 16. Đáp án B.
Xét hàm số f  x   x 

9
 x  0 � x  3
trên  1; 4 , có f �
x

�
min f  x   6
25 � 1;4
��
Tính f  1  10 ; f  3  6 ; f  4  
4
max f  x   10
�
� 1;4
Vậy m  M  16
Câu 17. Đáp án D.
h  2R
�

�R  2
��
� Stp  2 Rl  2 R 2  24
Ta có � 2
h4
 R h  16
�
�
Câu 18. Đáp án D.
�R  3
�R  3
��
Theo bài ra, ta có �
 Rl  6 3
l2 3
�
�
Gọi 2 : là góc ở đỉnh � sin  

R
3

� 2  120�.
l
2

Câu 19. Đáp án C.
Hàm số f  x  đạt cực đại tại x  1 ; x  2
1
�

2 x  1 �
x
�
�
2
Suy ra hàm số f  2 x  đạt cực đại tại �
�
2x  2
�
x

1
�
Câu 20. Đáp án C.
Ta có y �
 2.   x  �
.f �
  x   2. f �
 x














 x   x2. x2 1 � f �
  x   x 2 . x 2  1 � y� 2 x 2 . x 2  1
Mà f �

Trang 9






 0 � 2 x 2 . x 2  1  0 � x 2  1  0 � 1  x  1
Lại có y �
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  1;1 .
Câu 21. Đáp án A.
3  4i

Ta có z 

 1  3i 

� z 

2

3  4i

 1  3i 


5
(bấm máy)
4



2

Câu 22. Đáp án A.
2
Ta có log 2 x  7 log 2 x  9  0 � log 2 x1  log 2 x2  7 � log 2  x1 x2   7 � x1 x2  128

Câu 23. Đáp án D.





x. x 2  4
x3  4 x
x2  2x


Ta có y  3
x  3 x  2  x  2  .  x  1 2  x  1 2
y  1 ; lim y  � nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Suy ra lim
x ��
x �1

Câu 24. Đáp án D.
Ta có 2



� 2 

2



8
 

2

2



  8 2



2



 �2 2





2





2  2 
 8.  
2 .2

� 2  .2    8 � 2  2   8 �   2   3

Câu 25. Đáp án C.
Ta có



3
f�
 x 


x

 

 






3


x



1

2



3x.ln 3. 3x  1  3 x.ln 3. 3 x  1

3

x



1 �
. 3x  1  3 x  1 . 3 x  1 �




1

2

2

3

x



1

2

.3x ln 3

Câu 26. Đáp án A.
Ta có AA '   ABC 
��
A�
C ;  ABC   �
A�
C ; AC   �
A�
CA  45�
AC vuông cân tại A � AA�
 AC  a

Suy ra A�

Tam giác ABC có diện tích là S ABC 

a2 3
4

Vậy thể tích cần tính là V  AA�
.S ABC 

a3 3
4

Câu 27. Đáp án D.
Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và Ox là
Trang 10


x2
�
x 4  5x 2  4  0 � �
x  2
�
Do đó diện tích cần tính là
S

2

2


1

2

2

0

0

1

f  x  dx  2 �
f  x  dx
�f  x  dx  2�f  x  dx  2 �

Điều trên có được dựa vào hình vẽ và đồ thị đối xứng qua trục Oy.
Câu 28. Đáp án A.
r
r
n

n
�



 P
r
r r �

�
n
Ta có �r
r � n    k . �
� P  ; n Q  �  1;1;1
n

n
 Q
�  
Lại có mặt phẳng    đi qua M  3;0;0  �    : x  y  z  3  0
Câu 29. Đáp án A.
Ta có z1 z2  z1 z2  z12  z22   z1  z2   2 z1 z2   4   2.7  2
2

2

Câu 30. Đáp án B.
C
Ta có IJ / / B�
��
� �
AC ; IJ   �
AC ; B�
C  B
CA
C có AB�
Tam giác AB�
 B�
C  AC  AB 2

��
C đều � B
Suy ra tam giác AB�
CA  60�
Vậy �
AC ; IJ   60�.
Câu 31. Đáp án B.
1 3
2
Bất phương trình � m  f  x   x  x ; x � 0;3
3
� m  min g  x  với g  x   f  x   1 x 3  x 2
 0;3
3

 x  f �
 x   x2  2 x
Xét hàm số g  x  trên  0;3 , có g �
 x  �3
Với 0  x  3 � 1 �x 2  2 x  3 và từ hình vẽ � 1  f �
 x   x2  2x  0 � g�
 x   0 ; x � 0;3
Do đó 6  f �
g  x   lim g  x   f  0 
Suy ra g  x  là hàm số đồng biến trên  0;3 � min
x �0
 0;3

Xét điều kiện xảy ra dấu bằng, ta được m �f  0  là giá trị cần tìm.
Câu 32. Đáp án A.

2
Đặt t  3 x  1 � t  3 x  1 � 2tdt  3dx � dx 

2t
dt
3

Trang 11


2
2
x  0 �t 1
2
tdt
2 3.  t  2   2.  t  3
�I  �
 .
dt
Đổi cận
x 1� t  2
3 1 t 2  5t  6 3 �
 t  2  .  t  3
1
2

2 �3
2 �
 �
dt  2 ln t  3

� 
�
3 1 �t  3 t  2 �

2

1

4
 ln t  2
3

2

1

5 4 4
20
4
 2 ln  ln  2 ln 5  ln 2  ln 3
4 3 3
3
3
Vậy a  

20
4
10
; b  ; c  2 � a bc  
3

3
3

Câu 33. Đáp án D.
4
4
Chia 8 đội bóng thành 2 bảng đấu có n     C8 .C4  70 cách.

Gọi A là biến cố “hai đội Việt Nam nằm ở hai bảng đấu khác nhau”
Chọn 1 đội Việt Nam vào 1 bảng đấu, 3 đội còn lại lấy trong 6 đội và 4 đội xếp vào bảng còn lại nên số
1
3
4
phần tử của biến cố A là n  A  C2 .C6 .C4  40

Vậy xác suất cần tính là P 

n  A

n  



4
.
7

Câu 34. Đáp án B.
Ta thấy rằng MN  NP  MP  26 suy ra MNP đều
�8 2 5 �

Khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là G � ;  ; �
�3 3 3 �
Suy ra I � là đường thẳng qua G và vuông góc với mặt phẳng  MNP 
uuuu
r
�
uuuu
r uuur
�MN   3; 1; 4 
��
MN
; MP �
Mà �uuur
�
�  13;13; 13  13.  1; 1;1
�MP   1; 4; 3
� 8
�x  3  t
�
2
2
5 �
�
�8
Suy ra phương trình  : �y    t � I �  t ;   t ;  t �
3
3
3 �
�3
�

� 5
�z  3  t
�
I ;  Oyz  �
Lại có  S  tiếp xúc với mặt phẳng  Oyz  � d �
�
� R  IN
� 7
t
2
2
2
8
7
2
5
� � � � � � � 3
� t  �
t  � �
t  � �
t  �� �
1
3
� 3� � 3� � 3� �
t
�
� 3
�
I  5; 3; 4 
Do đó �

mà x1  y1  z1  5 � I  3; 1; 2  � c  2
I  3; 1; 2 
�
Trang 12


Câu 35. Đáp án C.
Gọi F là trung điểm AA�
� EF / / A�
B � A�
B / /  CEF 
B; CE   d �
A�
B;  CEF  �
Khi đó d  A�
�
�
d�
B;  CEF  �
A;  CEF  �
�
� d �
�
� h
�AE  a
�
Dễ thấy A.CEF là tam diện vuông với �AC  3a
�AF  2a
�
1

1
1
1
6a



�h
2
2
2
2
h
AE
AF
AC
7

Suy ra

B; CE  
Vậy khoảng cách cần tính là d  A�

6a
7

Câu 36. Đáp án D.
Đặt z  a  bi suy ra z  a  bi
Ta có z  1  a  1  bi   a  1  b 2 ; z  z  2bi  2 b
2


2

Và z  z  2a ; i 2019  i.  i 2 

 a  1

2

2

1009

 i nên giả thiết trở thành:

 b 2  2 b i  2ai  1 �  a  1  b 2  1  2  b  a  i  0
2

��
a  b �0
ab0
�
2
�
 a  1  b 2  1  0 ��a  b �0
�
�
��
� ��
��

a  b 1
2
�b  a  0
�
a  1; b  1
 a  1  b 2  1 �
�
�
Vậy có tất cả 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 37. Đáp án B.
�x  1
0��
Đặt t  x 3  3x với x � 1; 2 , ta có t �
�x  1
� 2 �t �2
Ta có bảng biến thiên của t  x 3  3x trên  1; 2 ��
Với t  2 � x  1 , với t � 2; 2 � Một giá trị t có 2 giá trị x � 1; 2
Yêu cầu bài toán: f  t   m có 3 nghiệm phân biệt t � 2; 2
Kết hợp đồ thị với t � 2; 2 và m ��� m   1;0 là các giá trị cần tìm.
Câu 38. Đáp án C.
Gọi C  1  2t ; t; 2  t  �d � SABC 

1
2

uuu
r uuur
�
�
AB

� ; AC �

Trang 13


uuu
r
�
AB
1
�   1; 1; 2 
� S ABC   3t  7; 3t  1;3t  3  2 2
Ta có �uuur
2
�AC   2t ; t  3;1  t 
�  3t  7    3t  1   3t  3  32 � t  1 � C  1;1;1
2

2

2

�m  n  p  3
Vậy m  n  p  1 ��
Câu 39. Đáp án A.
ux
�
du  dx
�
�

Đặt �
dx � �
v   cot x
dv 
�
�
sin 2 x
�
Suy ra

f  x  dx   x.cot x  �
cot xdx
�

d  sin x 
cos x
��
f  x  dx   x.cot x  � dx   x.cot x  �
sin x
sin x
  x.cot x  ln sin x  C   x.cot x  ln  sin x   C
Vì sin x  sin x khi 0  x   .
Câu 40. Đáp án C.
3
�
�
�x  9 x �0
�
�
ln  x  5  �0

�
�
3
Ta có x  9 x .ln  x  5  �0 � � 3
�x  9 x �0
�
�
�
�
ln  x  5  �0
�
�



 1



 2

x �3
��
�x 3  9 x �0
��
� ��
3 �x �0 � x ��
Giải  1 , ta có �
0  x  5 �1 �
�

�5  x  4
x �3
��
�x 3  9 x �0
�4 �x �3
��
� ��
0 �x �3 � �
Giải  2  , ta có �
0 �x �3
�
�x  5 �1
�x �4
�
� x
Kết hợp với x ξ��



4; 3;0;1; 2;3 là các giá trị cần tìm

Câu 41. Đáp án D.
Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  

1 2
x  f  0  là m  n
2

Trong đó m, n lần lượt là
• m là số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x  


1 2
x  f  0
2

�2  x  3
 x  f �
 x   x ; g�
 x  0 � � �
 *
Ta có g �
�f  x    x
Trang 14


 x  không đổi dấu khi qua x  0 . Suy ra hàm số g  x 
Dựa vào hình vẽ, ta thấy  * � x   0; 2 và g �
có một điểm cực trị thuộc khoảng  2;3
• n là số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình g  x   0 trên  2;3

 x   0 có một điểm cực trị � g  x   0 có nhiều nhất 2 nghiệm
Lại có g �
Vậy hàm số đã cho có nhiều nhất 3 điểm cực trị.
Câu 42. Đáp án C.
Xét hàm số g  x  

1
3

�x �

f �  1� x trên  2; 2
�2 �

� �x �
1 x �
1 �x �
có g �
 x  �
�  1�. f �
�  1� 1  f �
�  1� 1
3 �2 � �2 �
6 �2 �
Với x � 2; 2 �

x
 1 � 0; 2 mà hàm số f  x  đồng biến trên  0; 2
2

�x �
� f�
 x   1 � g  x  là hàm số đồng biến trên  2; 2 
�  1��0 � g �
�2 �
Suy ra g  x   m có nghiệm thuộc đoạn  2; 2 khi g  2  �m �g  2 
Lại có g  2  
Vậy 

1
10

1
f  0  2   ; g  2  f  2  2  4
3
3
3

10
�m �4 mà m ��� có 8 giá trị nguyên m cần tìm.
3

Câu 43. Đáp án B.
x
x
Ta có f   x   2  2   f  x  � f  x  là hàm số lẻ

 x   2 x.ln 2  2 x.ln 2  0 nên hàm số f  x  đồng biến trên �.
Và f �









12
12
Do đó f  m   f 2m  2  0 � f 2m  2   f  m   f   m 


� 2m  212   m � m 

212
��
� m0  1365
3

Câu 44. Đáp án A.
Ta có y�
  cos x  �
.f �
 cos x   2 x  1   sin x. f �
 cos x   2 x  1
Mà 1 �sin x �1 và 1�f ' cosx �1(hình vẽ)

 cos x  �1 (nhân vế với vế)
Suy ra 1 � sin x. f �
Xét đáp án A: Với x � 1; 2  � 2 x  1  1

 cos x   2 x  1  0 � y� 0
Nên  sin x. f �
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng  1; 2  .
Trang 15


Note 15: Phương pháp chung
Một số công thức đạo hàm cơ bản:
f�
 u  x    u� x  . f � u 


 cos x  � sin x
x n  n.x n 1
�0 ( y �
 0 với hữu hạn giá trị của x).
Hàm số y  f  x  đồng biến khi y �
Câu 45. Đáp án D.

 

Ta có f  x   f �
 x   e  x � e x �. f  x   e x . f �
 x  1
xC
� e x . f  x  � 1 � e x . f  x   �
dx  x  C � f  x   x
e





x
Mà f  0   2 � C  2 � f  x    x  2  e
2x
x
 x  2  .e x dx   x  1 .e x  C
Do đó f  x  .e   x  2  .e � �

Note 16: Phương pháp chung


 

• e x � e x .
•  uv  � u�
.
v  uv�
•

f�
 x  dx  f  x 
�

Câu 46. Đáp án C.
Kẻ BE  SC  E �SC 
� DE  SC (do SBC  SCD )
�
� SC   BDE  � �
SBC  ;  SCD   BED
Đặt AB  2 x . Gọi H là trung điểm BC
Suy ra SH  SB 2  BH 2  11a 2  x 2
Ta có S SBC 
Suy ra BE 

1
SH .BC  x 11a 2  x 2
2

2 x. 11a 2  x 2
11a


� 
Tam giác BDE cân tại E, có cos BED

1
suy ra
10

� � 5BD 2  11BE 2
BD 2  BE 2  DE 2  2 BE.DE.cos BED
2
2
3
Do đó x  a � S ABCD  AB  4a và SO  3a � VS . ABCD  4a

Note 17: Phương pháp chung
Trang 16


Định lí Cô-sin trong tam giác: tam giác có 3 cạnh a, b, c và  là góc đối diện cạnh a
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
Góc giữa hai mặt phẳng là góc tạo bởi hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc
với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
Định lý Pytago:
ABC vuông tại A có AB  c ; BC  a ; CA  b thì a 2  b 2  c 2

Câu 47. Đáp án A.
Gọi H   �1 � H �1 � H  3  2a; a;1  a 
Và K   � 2 � K � 2 � K  1  b; 2  2b; b 
uuur
Suy ra HK   2  2a  b; 2  a  2b; 1  a  b 

uuur r
Vì   d � HK .ud  0 � b  a  2
uuur
Do đó HK   4  a; 2  a; 3 � HK 

 a  4

2

  a  2  9
2

 2a 2  4a  29  2.  a  1  27 �3 3 ��
� HK min  3 3
2

uuur
r
Dấu bằng xảy ra khi a  1 � HK   3; 3; 3 � u   1;1;1
Note 18: Phương pháp chung
Tham số điểm thuộc đường thẳng.
uuur
Tọa độ véctơ HK   xK  xH ; yK  yH ; zK  z H 
Tích vô hướng của hai véctơ vuông góc bằng 0.
rr
Công thức tọa độ tích vô hướng: a.b  xa .xb  ya . yb  za .zb .
r
r
Độ dài véctơ a   x; y; z  là a  x 2  y 2  z 2 .
Có  a  b  �0 với a; b .

2

Dấu "  " xảy ra � a  b  0 .
Câu 48. Đáp án A.

uuuu
r
r
Gọi M  x; y;0  mà MN  ka  k  0 
�xN  x  k
�
Do đó �y N  y  k � N  x  k ; y  k ;0 
�z  0
�N
uuuu
r
Ta có MN   k ; k ;0  � MN  2k 2  5 2 � k 2  25 � k  5
uuuu
r
 1;2;3 � AM  NA�
Tịnh tiến điểm A  4;7;3 theo véctơ MN , ta được A�
N  BN �A�
B  17 . Dấu bằng xảy ra khi A�, B, N thẳng hàng.
Do đó AM  BN  A�
Trang 17


Note 19: Phương pháp chung
uuuu
r

Tọa độ véctơ MN   xN  xM ; y N  yM ; z N  zM  .
r
r
Độ dài véctơ a   x; y; z  là a  x 2  y 2  z 2 .
r
 x; y; z  theo véctơ u   a; b; c  là:
Công thức tịnh tiến biến điểm M  x0 ; y0 ; z0  thành điểm M �
�x  x0  a
�
�y  y0  b
�z  z  c
� 0
Câu 49. Đáp án B.
Chia mặt cắt của chiếc mũ làm hai phần:
• Phần dưới OA là hình chữ nhật có hai kích thước 5 cm; 20 cm
�R  OA  10
Quay hình chữ nhật quanh trục OO�ta được khối trụ có �
5
�h  OO �
2
2
3
Do đó, thể tích phần bên dưới là V1   R h   .10 .5  500 cm

• Phần trên OA là hình  H  giới hạn bởi đường cong AB, đường thẳng OA
Quay hình  H  quanh trục OB ta được thể tích phần bên trên
Chọn hệ tọa độ Oxy, với O �O  0;0  � A  10;0  và B  0; 20 
Dễ thấy parabol  P  có đỉnh A  10;0  và đi qua B  0; 20 
�y  10   0
�

1
�
2
 10   0 �  a; b; c   �
Gọi  P  : y  ax  bx  c � �y�
� ; 4; 20 �
�5
�
�
y
0

20


�
Do đó y 

1 2
x  4 x  20 � x 2  20 x  100  5 y  0 � x  10  5 y
5

Quay đường cong x  10  5 y quanh Oy, ta được thể tích phần trên là
20



V2   �
10  5 y
0




2

dy � V  V1  V2  500 

1000 2500

cm3
3
3

Note 20: Phương pháp chung
Thể tích hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy r là: V   r 2 h .
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y  f  x  ; x  m ; x  n là:
m

V �
f 2  x  dx
n

Câu 50. Đáp án C.
Trang 18


Đặt z  x  yi  z  6   8  z    x  6  yi   8  y  xi  là số thực khi
( x  6).x  y.(8  y)  0 � ( x  3) 2  ( y  4) 2  25 là đường tròn tâm I  3; 4  , bán kính R  5
Gọi A  z1  , B  z2  � z1  z2  AB  4
uuur

uuur
Điểm M �AB sao cho MA  3MB
uuu
r uuu
r
uuuu
r
uuu
r uuu
r
� OA  3OB  4OM � OA  3OB  4OM
Do đó z1  3 z2 min khi và chỉ khi OM nhỏ nhất



2
2
2
Vì MA.MB   MI  R � MI  22 � MI  22 � M � I ; 22

Vậy OM min  5  22 � z1  3z2

min



 20  4 22
Note 21: Phương pháp chung

Số phức liên hợp của số phức z  x  yi là z  x  yi .

Điểm A  x A ; y A  là điểm biểu diễn số phức z1  x A  y Ai
Điểm B  xB ; yB  là điểm biểu diễn số phức z2  xB  yB i
Ta có: AB 

 x A  xB 

2

  y A  yB 

2

z1  z2   xA  xB    y A  yB  i
z1  z2 

 xA  xB 

2

  yA  yB 

2

Do đó AB  z1  z2 .
Tâm tỉ cự: Cho đường tròn tâm  O  bán kính R có dây AB và điểm M nằm trên đường thẳng AB. Ta có:
MA.MB  MO 2  R 2 .

Trang 19