ĐỀ THI THỬ THPT QG NĂM HỌC 2020

ĐỀ SỐ 1

Môn: Toán



Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − z + 1 = 0 . Vecto nào dưới đây là vecto pháp
tuyến của (P)?
uu
r
A. n3 = (2;1; −1)

uu
r
B. n2 = (2; −1;1)

uu
r
C. n4 = (−2;1;1)

ur
D. n1 = (1; −1;1)

Câu 2. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số
nào?
A. y = − x 3 + x 2 − 1
B. y = x 4 − x 2 − 1

C. y = x 3 − x 2 − 1
D. y = − x 4 + x 2 − 1
Câu 3. Số cách chọn 2 học sinh từ 10 học sinh là
2
A. A10

2
B. C10
1

Câu 4. Biết

∫
0

A. 0

D. 102

C. 210

1

f ( x)dx = 2, ∫ g( x )dx = −1 , khi đó
0

1

∫ [ f ( x) − 2 g ( x)] dx bằng
0


B. 3

C. 1

D. 4

Câu 5. Nghiệm của phương trình 3x− 2 = 9 là
A. x =

3
2

C. x =

B. x = 4

5
2

D. x = 3

Câu 6. Thể tích của khối nón có chiều cao h = 2a và bán kính r = a là
8π a 3
A.
3

B. 8π a

2π a 3

C.
3

3

D. 2π a 3

Câu 7. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao 3h là
A. Bh

B. 3Bh

C.

1
Bh
3

D.

4
Bh
3

Câu 8. Số phưc liên hợp của số phức 1 + 3i là
A. 1 − 3i

B. 3 + i

C. 3 − i


D. −1 + 3i

Câu 9. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau

x

-∞

-1

2

+∞
Trang 1


y’

+

0
4

-

0

+
+∞


y

3

-∞
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x = −1

B. x = 3

C. x = 4

D. x = 2

Câu 10. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M (1; −3;1) trên trục Oz có tọa độ là
A. (1; −3;0)

B. (1;0;0)

D. (0; −3;0)

C. (0;0;1)

Câu 11. Cho cấp số cộng (un ) với u1 = 4 và u3 = 10 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. −3

C. −2

B. 3


D. 2

Câu 12. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x 2 − 2 x + 1 là
B. 6 x − 2 + C

A. x 3 + x + C

C. x 3 − x 2 + x + C

Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :
vecto chỉ phương của d?
uu
r
A. u2 = (1; −3; 2)

uu
r
B. u3 = (−2;1;3)

D. x 3 − 2 x + C

x + 2 y −1 z − 3
=
=
Véctơ nào dưới đây là một
1
−3
2


ur
C. u1 = ( −2;1; 2)

uu
r
D. u4 = (1;3; 2)

Câu 14. Với a là số thực dương tùy ý, log 3 a bằng
A.

1
log 3 a
2

B. 2 log 3 a

C.

1
+ log 3 a
2

D. 2 + log 3 a

Câu 15. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
x
y’
y

-∞

-

-2
0

0
+

+

+∞

2

1
0
2

+∞
-

-∞
-1
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; +∞)

B. (−∞; −2)

-∞
C. (−1; 2)


D. (0,1)

Câu 16. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
x
y’
y

-∞
-

-1
0

+

0
0

-

1
0

+∞

+∞
+
+∞


1
0

0

Số nghiệm thực của phương trình f ( x ) − 1 = 0 là
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4
Trang 2


Câu 17. Cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 = 2 + i . Trên mặt phẳng tạo độ Oxy, điểm biểu diễn số phức
2z1 + z2 , có tọa độ là
A. (3;5)

B. (5;3)

Câu 18. Hàm số y = 3x
A. ( x 2 − 2 x).3x
C. 3x

2

−2 x


2

2

−2 x

C. (3;4)

D. (4;3)

có đạo hàm là

− 2 x −1

B. 2( x − 1).3x
D. 2( x − 1)3x

.ln 3

2

2

−2 x

.ln 3

−2 x

Câu 19. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x 3 + 3x 2 trên đoạn [ −2; 2] bằng

B. −20

A. 20

D. −4

C. 4

Câu 20. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f '( x ) = x ( x + 1) 2 ( x 2 − 4), ∀x ∈ ¡ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho
là
A.

3

B. 2

C. 0

D. 1

Câu 21. Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn ab 2 = 8 . Giá trị của log 2 a + 2 log 2 b bằng
A. 4

B. 8

C. 3

D. 6

Câu 22. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a , tam

giác ABC vuông tại B và AB = a, BC = a 3 (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa
đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng
A. 60°

B. 30°

C. 90°

D. 45°

Câu 23. Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1
m và 1,8 m. Chủ cơ sở dự định là một bể nước mới, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích
của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 2,8 m

B. 2,6 m

C. 2,1 m

D. 2,3 m

Câu 24. Nghiệm của phương trình log 3 (2 x − 1) − 1 = log 3 ( x − 1) là
A. x = 3

B. x = 2

C. x = 1

D. x = −1


Câu 25. Thể tích của khối lăng trụ của tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a là
A.

3a 3
4

3a 3
B.
12

3 3a 3
C.
4

D.

6a 3
4

Câu 26. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 y + 2 z − 7 = 0 . Bán kính của mặt cầu đã
cho bằng
A. 9

B. 15

C.

7

D. 3


Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −1;1) và B (3;1; −3) . Mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB có phương trình là:
A. x + y − 2 z + 4 = 0

B. 2 x − z + 1 = 0
Trang 3


C. x + y − 2 z − 4 = 0

D. x − y − 2 z − 4 = 0

Câu 28. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:
−

-∞

X
y’

1
2

+∞

3

+


0
1

+

`

+∞

8

Y
-3
-4
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x 2 − 1 và y = 3 x − 3 bằng
A.

2
3

B.


1
2

C.

1
3

D.

1
6

2
2
Câu 30. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 2 z + 2 = 0 . Giá trị của z1 + z2 bằng

A. 2

B. 0

D. −2

C. 4

Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(0;0; 2), B(2;1;0), C(1; 2; −1) và D(2;0; −2) . Đường
thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là
 x = 3 + 3t


A.  y = −2 + 2t
z = 1− t


x = 3

B.  y = 2
 z = −1 + 2t


 x = 3 + 3t

C.  y = 2 + 2t
z = 1− t


 x = 3t

D.  y = 2t
z = 2 + t


Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn (2 + i ) z − 4( z − i ) = −8 + 19i . Moodun của số phức z − 1 + 2i bằng
A. 2 5

B. 3 2

C.

4


D. 5

Câu 33. Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f’(x) như sau:
-∞
X
-3
-1
f’(x)
0
+
0
y
=
f
(3
−
2
x
)
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (3,4)

B. (2,3)

Câu 34. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

-


+∞

1
0

+

C. (−∞; −3)

D. (0;2)

2x −1
trên khoảng (−1; +∞) là
( x + 1) 2

A. 2 ln( x + 1) +

1
+C
x +1

B. 2 ln( x + 1) −

3
+C
x +1

C. 2 ln( x + 1) −

1

+C
x +1

D. 2 ln( x + 1) +

3
+C
x +1

Câu 35. Cho hàm số f(x). Biết f (0) = 2 và f '( x ) = 2sin x + 3, ∀x ∈ ¡ , khi đó
2

π
4

∫ f ( x)dx bằng
0

A.

π 2 + 4π
8

B.

π 2 − 4π
8

C.


π 2 + 4π − 2
8

D.

π 2 + 4π + 2
8
Trang 4


Câu 36. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để phương trình 6 x + (3 − m).2 x − m = 0 có
nghiệm thuộc khoảng (0;1)?
A. 3

B. 1

C. Vô số

D. 2

Câu 37. Cho hàm số y = f ( x) . Hàm số y = f '( x) có đồ thị như hình bên. Biết
 1
f ( −1) = 1, f  − ÷ = 2 . Bất phương trình
 e

f ( x) < ln(− x) + m đúng với mọi

1

x ∈  −1; − ÷khi và chỉ khi

e

A. m ≥ 3

B. m > 3

C. m ≥ 2

D. m > 2

Câu 38. Có 13 học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối 12 có 8 học
sinh nam và 3 học sinh nữ, khối 11 có 2 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ để trao thưởng,
tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12.
A.

57
286

B.

24
143

C.

27
143

Câu 39. Cho hình trụ (H) có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng


D.

229
286

10 . Một hình vuông ABCD có hai

cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đường tròn đáy, các cạnh AD và BC không là đường sinh
của hình trụ. Độ dài cạnh của hình vuông ABCD bằng
A. 10

B. 5

C. 20

D. 15

Câu 40. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = a 3 . Tam giác SAB đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ trung điểm H của AB đến mặt phẳng ( SAC )
bằng
A.

10a
10

B.

5a
2


C.

15a
10

D.

15a
3

Câu 41. Ông B có khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng.
Nếu đặt hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình y = x 2 và
đường thẳng y = 25 . Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu

Trang 5


vườn bởi một đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng một loại hoa. Hãy giúp ông B xác
định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng
A. OM = 2 5

B. OM = 15

C. OM = 10

D. OM = 3 10

9
2


 π
Câu 42. Trên khoảng  0; ÷phương trình 2 x − cos x = 1 + log 2 (s inx) có bao nhiêu nghiệm?
 2
A. 1

B. 2

C.

0

D. 3

Câu 43. Xét các số phức z thỏa mãn z = 2 . Trên mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức
w=

5 + iz
là một đường tròn có bán kính bằng
1+ z

A. 52

B. 2 13

C. 2 11

D. 44
1

Câu 44. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Biết f (3) = 1 và


3

∫ xf (3x)dx = 1 , khi đó ∫ x
0

2

f '( x)dx

0

bằng
A. 3

C. −9

B. 7

D.

25
3

Câu 45. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B (0;1; 2), C (−2;1; 4) và mặt phẳng (P) có phương
trình x − y + z + 2 = 0 . Gọi N ( a; b; c) thuộc mặt phẳng (P) sao cho T = 2 NA2 + NB 2 + NC 2 đạt giá trị nhỏ
nhất. Giá trị của a + b + c bằng
A. 1

B. −


3
2

C.

1
2

D. 2

Câu 46. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có chiều cao bằng 4 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M, N và
P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' và BCC ' B ' . Thể tích của khối đa điện lồi có các đỉnh
là các điểm A, B, C , M , N , P bằng
A.

14 3
3

B. 8 3

C. 6 3

D.

20 3
3

Câu 47. Cho hàm số f(x) xác định có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn 2 f (2 x) + f (1 − 2 x) = 12 x 2 . Phương trình
tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ bằng 1 là

A. y = 4 x − 2

B. y = 2 x + 2

C. y = 2 x − 6

D. y = 4 x − 6

Câu 48. Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln( x 2 + y ) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x + y bằng a + 2 b với a, b là các số nguyên dương. Tổng a 2 + 2b bằng
Trang 6


A. 8

B. 13

C. 7

D. 18

Câu 49. Trong không gian Oxyz, cho điểm E (1;1; 2) , mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 4 = 0 và mặt cầu
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 9 . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng
cách nhỏ nhất. Phương trình của ∆ là
x = 1+ t

A.  y = 1 + t
z = 2 + t



x = 1

B.  y = 1 + t
z = 2 − t


x = 1− t

C.  y = 1 + t
z = 2


 x = 1 + 2t

D.  y = 1 + t
z = 2 − t


Câu 50. Cho hàm số f ( x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e ( với a, b, c, d , e ∈ ¡ ), đồ thị của f’(x) như sau:

Tập nghiệm của phương trình f ( x) = e có số phần tử là
A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Trang 7



Đáp án
1-A
11-B
21-C
31-C
41-D

2-B
12-C
22-D
32-A
42-A

3-B
13-A
23-C
33-A
43-B

4-D
14-A
24-B
34-D
44-C

5-B
15-D
25-A

35-C
45-D

6-C
16-C
26-D
36-B
46-C

7-B
17-D
27-C
37-C
47-A

8-A
18-B
28-C
38-A
48-B

9-D
19-A
29-D
39-B
49-C

10-C
20-A
30-B

40-C
50-D

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án A

r
Vectơ pháp tuyến cần tìm là n ( P ) = (2;1; −1)
Câu 2: Đáp án B
Hàm số có hệ số a > 0 và có ba điểm cực trị
Câu 3: Đáp án B
2
Số cách chọn 2 học sinh từ 10 học sinh là tổ hợp chập 2 của 10 phần tử, do đó có C10 cách chọn.

Câu 4: Đáp án D
Ta có

1

1

1

0

0

0

∫ [ f ( x) − 2 g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − 2.∫ g ( x)dx = 4


Câu 5: Đáp án B
Ta có 3x − 2 = 9 ⇔ 3x − 2 = 32 ⇔ x − 2 = 2 ⇔ x = 4
Câu 6: Đáp án C
1
π
2π a 3
Ta có V = π r 2 h = .a 2 .2a =
3
3
3
Câu 7: Đáp án B
Thể tích khối lăng trụ cần tìm là V = 3Bh
Câu 8: Đáp án A
Ta có z = 1 + 3i ⇒ z = 1 − 3i
Câu 9: Đáp án D
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2
Câu 10: Đáp án C
Hình chiếu của M (1; −3;1) trên Oz là H(0;0;1)
Câu 11: Đáp án B
Ta có u3 = u1 + 2d ⇔ 10 = 4 + 2d ⇔ d = 3
Câu 12: Đáp án C
Ta có

∫ f ( x) = ∫ ( 3 x

2

− 2 x + 1) dx = x 3 − x 2 + x + C


Câu 13: Đáp án A

uu
r
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ud = (1; −3; 2)
Trang 8


Câu 14: Đáp án A
1
2

1
Ta có log 3 a = log 3 a = log 3 a
2
Câu 15: Đáp án D
Ta có y ' > 0 ⇔ x ∈ ( −2;0) ∪ (0;1)
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;1)
Câu 16: Đáp án C
Ta có f ( x) − 1 = 0 ⇔ f ( x) = 1
Dựa vào BBT, đồ thị f(x) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 17: Đáp án D
Ta có 2 z1 + z2 = 2(1 + i ) + 2 + i = 4 + 3i
Vậy điểm biểu diễn số phức đã cho có tọa độ là (4;3)
Câu 18: Đáp án B
Ta có y ' = ( x 2 − 2 x) '.3x

2


−2 x

.ln 3 = 2( x − 1).3x

2

−2 x

.ln 3

Câu 19: Đáp án A
 −2 ≤ x ≤ 2
x = 0
2
⇔
Ta có f '( x) = 3 x + 6 x; f '( x) = 0 ⇔  2
 x = −2
3x + 6 x = 0
f ( x) = f(2) = 20
Tính f (0) = 0;f(−2) = 4;f(2) = 20 ⇒ max
[ −2;2]
Câu 20: Đáp án A
Ta có f '( x ) = 0 có 1 nghiệm bội chẵn x = −1
Và f '( x ) = 0 có 3 nghiệm bội lẻ x = { −2;0; 2}
Vậy hàm số đã cho có ba điểm cực trị x = −2, x = 0, x = 2
Câu 21: Đáp án C
2
Ta có log 2 (ab ) = log 2 8 ⇔ log 2 a + 2 log 2 b = 3

Câu 22: Đáp án D


(

) (

)

¼
¼
¼
= SC;(AC)
= SCA
Ta có SC;(ABC)
Tam giác ABC vuông tại B, có AC = AB2 + BC2 = a 2 + (a 3) 2 = 2a
¼ =
Tam giác SAC vuông tại A, có tan SCA

SA
¼ = 45°
= 1 ⇒ SCA
AC

Câu 23: Đáp án C
Ta có r = r12 + r2 2 = 12 + 1,82 ≈ 2,1m
Câu 24: Đáp án B
Trang 9


Ta có log 3 (2 x − 1) − 1 = log 3 ( x − 1) ⇔ log 3
⇔


2x −1
= log 3 ( x − 1)
3

2x −1
= x − 1 > 0 ⇔ 2 x − 1 = 3x − 3 ⇔ x = 2
3

Câu 25: Đáp án A
Diện tích tam giác đều ABC là S ∆ABC =

a2 3
4

Vậy thể tích khối lăng trụ là V = AA '.S∆ABC = a.

a2 3
3a 3
=
4
4

Câu 26: Đáp án D
Ta có ( S ) : x 2 + ( y + 1) 2 + ( y − 1) 2 = 9 ⇒ Bán kính R = 3
Câu 27: Đáp án C
uuur
uuur
Ta có AB = (2; 2; −4) ⇒ n(α ) = (1;1; −2)
Và M (2;0; −1) là trung điểm AB

Do đó phương trình (α) là x + y − 2 z − 4 = 0
Câu 28: Đáp án C
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:
y = −3, lim y = 8 ⇒ y = −3, y = 8 là hai tiệm cận ngang
* xlim
→−∞
x →+∞
1
lim
y
=
+∞
⇒
x
=
−
+
*  1
2 là tiệm cận đứng
x → − ÷
 2

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.
Câu 29: Đáp án D
x = 1
2
Hoành độ giao điểm của (P) và d là x − 1 = 3x − 3 ⇔ 
x = 2
2


2
Do đó, diện tích cần tính là S = ∫ x − 3 x + 2 dx =
1

1
6

Câu 30: Đáp án B
z = 1+ i
2
2
2
Ta có z − 2 z + 2 = 0 ⇔ ( z − 1) = i ⇔ 
z = 1− i
2
2
2
2
Do đó z1 + z2 = (1 + i ) + (1 − i ) = 2i − 2i = 0

Câu 31: Đáp án C
r
uuur uuur
Ta có n ( BCD ) =  BC ; BD  = (−3; −2;1)
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (BCD)
r
r
Do đó u d = k .u ( BCD ) = k .( −3; −2;1) = (3; 2; −1)
Trang 10



 x = 3t
 x = 3 + 3t


Vậy phương trình đường thẳng d là  y = 2t ⇔  y = 2 + 2t
z = 2 − t
z = 1− t


Câu 32: Đáp án A
Đặt z = a + bi (với a, b ∈ ¡ ) nên z = a − bi
Do đó, giả thiết trở thành: (2 + i)( a + bi ) − 4( a − bi − i ) = −8 + 19i
⇔ 2a + 2bi + ai − b − 4a + 4bi + 4i = −8 + 19i
−2a − b = −8
a = 3
⇔ −2a − b + (a + 6b + 4)i = −8 + 19i ⇔ 
⇔
a + 6b + 4 = 19
b = 2
Vậy z = 3 + 2i ⇒ z − 1 + 2i = 2 + 4i ⇒ z = 22 + 42 = 2 5
Câu 33: Đáp án A
Chuẩn hóa f '( x ) = ( x + 3)( x + 1)( x − 1)
Ta có y ' = −2. f '(3 − 2 x) = −2 [ (3 − 2 x) + 3] .[ (3 − 2 x) + 1] . [ (3 − 2 x) − 1]
= −2.(6 − 2 x).(4 − 2 x).(2 − 2 x) > 0 ⇔ ( x − 1)( x − 2)( x − 3) > 0
⇔ x ∈ (1; 2) ∪ (3; +∞)
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;4)
Câu 34: Đáp án D

uu

r
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ud = (1; −3; 2)
Ta có

2x −1

∫ f ( x)dx = ∫ ( x + 1)

2

dx = ∫

2( x + 1) − 3
dx
( x + 1)2

 2
3 
3
= ∫
−
dx = 2 ln( x + 1) +
+ C (vì x > −1 )
2
x +1
 x + 1 ( x + 1) 
Câu 35: Đáp án C
2
Ta có f ( x) = ∫ f '(x) dx = ∫ (2sin x + 3)dx = 4 x −


sin 2 x
+C
2

1
Mà f (0) = 2 nên C = 2 . Do đó f ( x ) = − sin 2 x + 4 x + 2
2
Vậy

π
4

∫
0

π
4

π 2 + 4π − 2
 1

f ( x )dx = ∫  − sin 2 x + 4 x + 2 ÷dx =
2
8

0

Câu 36: Đáp án B
Ta có 6 x + (3 − m).2 x − m = 0 ⇔ 6 x + 3.2 x = (2 x + 1).m
⇔m=


6 x + 3.2 x
3x + 3
⇔
m
=
2x + 1
2− x + 1

Trang 11


3x.ln 3(2− x + 1) + (3x + 3).2 − x ln 2
3x + 3
f
'(
x
)
=
>0
Xét hàm số f ( x) = − x
trên (0,1), có
(2− x + 1) 2
2 +1
Suy ra f(x) đồng biến trên do đó m = f ( x ) , do đó f (0) < f ( x) < f (1) ⇔ 2 < f ( x) < 4
Để phương trình m = f ( x ) có nghiệm khi và chỉ khi 2 < m < 4
Mặt khác m ∈ ¢ nên m = 3 là giá trị nguyên duy nhất.
Câu 37: Đáp án C
1


Ta có m > f ( x ) − ln(− x); ∀ x ∈  −1; − ÷ (1)
e

1

Đặt g( x) = f(x) − ln(− x) , do đó (1) ⇔ m > g( x); ∀ x ∈  −1; − e ÷ ⇔ m > max1  g ( x)


 −1;− ÷
e




1
1

Xét hàm số g( x) = f(x) − ln(− x) trên  −1; − ÷, có g'( x) = f'(x) + > 0
e
x

 1
Lập bảng biến thiên, ta được max1  g ( x ) = f  − e ÷ = 2


 −1;− ÷
e


Suy ra




m > max g ( x) ⇔ m > 2
1

 −1; − ÷
e


Thử với m = 2 thỏa mãn.
Vậy m ≥ 2
Câu 38: Đáp án A
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 13 học sinh. Suy ra số phần tử của không gian
3
mẫu là Ω = C13 = 286

Gọi A là biến cố “ 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12 “. Ta có các
trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:
1 1 1
TH1: Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ khối 12 nên có C2C8C3 = 48

cách.
1 2
TH2: Chọn 1 học sinh khối 11; 2 học sinh nữ khối 12 có C2C3 = 6 cách.
2 1
TH3: Chọn 2 học sinh khối 11; 1 học sinh nữ khối 12 có C2 C3 = 3 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là ΩA = 48 + 6 + 3 = 57
Vậy xác suất cần tìm P ( A) =


ΩA
57
=
Ω
286

Câu 39: Đáp án B
Kí hiệu các đỉnh như hình vẽ bên
Đặt AB = AD = 2 x
Tam giác OAM vuông tại M, có
Trang 12


OM = OA2 − AM 2 = 10 − x 2
Ta có OI =

1
10
1
1
OO ' =
; MI = MN = AD = x
2
2
2
2

Tam giác OMI vuông tại O, có OM 2 + OI 2 = MI 2
⇔ 10 − x 2 +


10
5
= x 2 ⇒ x = ⇒ AB = 2 x = 5
4
2

Câu 40: Đáp án C
Tam giác SAB đều, có H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB
⇒ SH ⊥ ( ABCD)
Kẻ HM ⊥ AC ( M ∈ AC )
HK ⊥ SM (K ∈ SM ) (hình vẽ bên)
Ta có HK ⊥ ( SAC ) ⇒ d (H;(SAC)) = HK
Lại có HM = d ( H ;( AC )) =

1
d ( B;( AC ))
2

1
AB.BC
1
a.a 3
a 3
= .
= .
=
2
2
2

2
2 AB + BC
2 a + (a 3)
4
1
1
1
20
=
+
= 2
2
2
2
HK
SH
HM
3a

Tam giác SHM vuông tại H, có
⇒ HK =

a 15
a 15
. Vậy khoảng cách cần tìm là d =
10
10

Câu 41: Đáp án D
Điểm M ∈ ( P ) : y = x 2 nên gọi M (a; a 2 )

uuuu
r
r
⇒ OM = (a; a 2 ) ⇒ nOM = (a; −1)
Do đó, phương trình đường thẳng OM là a.( x − 0) − 1.( y − 0) = 0 ⇔ y = ax
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và OM là
x = 0
x 2 = ax ⇔ x( x − a ) = 0 ⇔ 
x = a
a

Suy ra S = ∫
0

a

 x 3 ax 2 
a3
x − ax dx = ∫ (− x + ax )dx =  − +
=
÷
2 0 6
 3
0
a

2

2


9
a3 9
Mà S = ⇒
= ⇔ a = 3 ⇒ M (3;9)
2
6 2
uuuu
r
Vậy OM = (3;9) ⇒ OM = 3 10
Câu 42: Đáp án A
Phương trình trở thành: sin 2 x − cos x = log 2 (s inx)
Trang 13


s inx
⇔ log 2 sin 2 x − sin 2 x = log 2 cos x − cos x
cos x

⇔ sin 2 x − cos x = log 2

Xét hàm số f (t ) = log 2 t − t trên ( 0;1] , có f '(t ) =

1
−1 > 0
t.ln 2

Suy ra f (t) đồng biến trên ( 0;1] ⇒ sin 2 x = cos x ⇔ s inx =

1
π

⇔x=
2
6

Câu 43: Đáp án B
Ta có w =

5 + iz
5−w
⇔ w + w.z = 5 + iz ⇔ z =
1+ z
w −i

Do đó z = 2 ⇔

5−w
= 2 ⇔ w −5 = 2 w −i
w −i

a − 5 + bi = 2 a + (b − 1) i ⇔ (a − 5) 2 + b 2 = 2a 2 + 2(b − 1) 2
⇔ (a + 5) 2 + (b − 2) 2 = 52 . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn các số phức w là đường tròn tâm I (−5; 2) , bán
kính R = 2 13 .
Câu 44: Đáp án C
Ta có

1

1

0


0

∫ xf (3x)dx = 1 ⇔ ∫ 9 xf (3x)dx = 9

1

1

0

0

⇔ ∫ 3 x. f (3x )d (3 x) = 9 ⇔ ∫ xf ( x)dx = 9 (đổi biển số)
3

Lại có

∫x
0

2

3

3

f '( x)dx = x f ( x) − ∫ 2 xf ( x)dx = 9 f (3) − 2.9 = −9
2


0

0

Note 1: Phương pháp chung
b

b

a

a

+ Công thức biến đổi tích phân cơ bản: k ∫ f ( x) dx = ∫ k . f ( x)dx
+ Trong bài toán ta thấy có f (3x) nên dùng phương pháp đổi biến để xuất hiện lượng cần có.
b

+ Công thức đổi biến: ∫ u '( x). f (u ( x))dx =
a

+ Ta có công thức:

b

b

b

a


a

a

u (b )

∫

f (u) du

u (a )

∫ f ( x)dx = ∫ f (u)du =∫ f (v)dv =....

Câu 45: Đáp án D
uur uu
r
uur uur
uur uur
Ta có T = 2( NI + IA) 2 + ( NI + IB ) 2 + ( NI + IC ) 2
uur uu
r uur uur
= 4 NI 2 + 2 NI (2 IA + IB + IC ) + 2 IA2 + IB2 + IC2
uu
r uur uur r
Chọn điểm I sao cho 2 IA + IB + IC = 0 ⇒ Tọa độ điểm I (0;1; 2)
Khi đó T = 4 NI 2 + 2 IA2 + IB2 + IC 2 ⇒ T nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)
Trang 14



x = t

Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) là  y = 1 − t
z = 2 + t

Suy ra N (t ;1 − t ; 2 + t) ∈ (P) ⇒ t = −1 ⇒ N(−1; 2;1)
Vậy a = −1; b = 2; c = 1 nên a + b + c = 2
Note 2: Phương pháp chung
Bài toán cực trị trong hình học không gian Oxyz .
Phương pháp giải:
• Bước 1: Chèn một điểm cố định vào hệ thức đã cho.
• Bước 2: Tìm tọa độ điểm cố định theo hệ thức đã cho.
• Bước 3: Biện luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức theo điểm cố định đó.
Các phép toán véctơ cơ bản:
uuur uur uur
• Phép cộng véctơ AB = AI + IB .
uuur uuu
r uu
r
• Phép trừ véctơ AB = AB − IA .
Trong các đường xiên từ một điểm đến một mặt phẳng, đường ngắn nhất là đường vuông góc từ điểm đó
đến một mặt phẳng.

r
Phương trình tham số của đường thẳng có véctơ chỉ phương u = (a; b; c ) và đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) là
 x = x0 + at

 y = y0 + bt (t ∈ ¡ )
 z = z + ct
0


Câu 46: Đáp án C
Ta có VMNP. ABC = VMNP. A ' B 'C ' = V1
Và VMPAA ' = VMNBB ' = VNPCC ' = V2
Do đó 2V1 + 3V2 = VABC . A ' B 'C ' ⇒ V1 =

VABC . A ' B ' C ' − 3V2
2

1
Mà V2 = VMPAA ' = d ( M ;(AA'C'C)).S∆AA ' P
3
1 1
1
= . d (B;(AA'C'C)). S AA 'C'C
3 2
4
1 1
1
= . d (B;(AA'C'C)).S AA 'C'C = VB. AA 'C'C
8 3
8
2
1
Và VB. AA 'C'C = VABC . A ' B 'C ' ⇒ V2 = VABC . A ' B 'C '
3
12

Trang 15



1
VABC . A ' B 'C ' − VABC . A ' B 'C '
3
3 42 3
Vậy
4
V1 =
= VABC . A ' B 'C ' = .4.
=6 3
2
8
8
4
Note 3: Phương pháp chung
Bài toán chia khối đa diện thành nhiều khối đơn giản để tính thể tích.
Thể tích hình chóp có chiểu cao bằng h và diện tích đáy bằng S là:
1
v = Sh
3
Hình chóp có chiều cao và diện tích đáy bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
Hình chóp cụt có chiều cao và diện tích đáy bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
So sánh khoảng cách từ hai điểm đến mặt phẳng.
So sánh khoảng cách giữa hai điểm A và B đến mặt phẳng (P). Giả sử đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P)
tại điểm M
d ( A;( P )) MA
=
d ( B;( P )) MB
Câu 47: Đáp án A
Thay x = 0; x =


1
vào giả thiết, ta được
2

 2 f (0) + f(1) = 0
2 f (0) + f (1) = 0
 f (0) = −1
⇔
⇔

 2 f (1) + f (0) = 3  f (0) + 2 f (1) = 3
 f (1) = 2
Đạo hàm hai vế giả thiết, ta được 4 f '(2 x) − 2 f'(1 − 2 x) = 24 x (*)
Thay x = 0; x =

1
vào (*), ta được:
2

 4 f '(0) − 2 f'(1) = 0
2 f '(0) − f '(1) = 0
 f '(0) = 2
⇔
⇔

 4 f '(1) − 2 f '(0) = 12
 f '(0) − 2 f '(1) = −6
 f '(1) = 4
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = f '(1).(x − 1) + f(1) = 4 x − 2

Note 4: Phương pháp chung
Phương trình tiếp tuyến tại điểm x = x0 của đồ thị hàm số y = f(x) là:
y = f '(x 0 ).(x − x0 ) + f(x 0 )
Đạo hàm hàm hợp: [ f (u (x))] ' = f '(u ).u '( x)
Nếu f(x) = g(x) thì f’(x) = g'(x) .
Câu 48: Đáp án B
Ta có ln x + ln y ≥ ln( x 2 + y ) ⇔ ln( xy ) ≥ ln( x 2 + y )
⇔ xy ≥ x 2 + y ⇔ y ( x − 1) ≥ x 2
Mà x, y > 0 suy ra y ( x − 1) ≥ x 2 > 0 ⇒ x − 1 > 0 ⇔ x > 1

Trang 16


Khi đó y ( x − 1) ≥ x 2 ⇔ y ≥

x2
x2
nên x + y ≥ x +
= f ( x)
x −1
x −1

Xét hàm số f(x) trên (1; +∞) , có f '( x ) =

2 x2 − 4x + 1
( x − 1) 2

x > 1
2+ 2
⇔x=

Phương trình f '( x ) = 0 ⇔  2
2
x − 4x +1 = 0
 2+ 2 
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra min f ( x) = f 
÷
÷= 3 + 2 2
 2 
a = 3
⇒ a 2 + 2b = 32 + 2.2 = 13
Do 3 + 2 2 = a + 2 b ⇒ 
b = 2
Note 5: Phương pháp chung
+ Công thức logarit cơ bản: log a b + logb c = log a (bc)
+ So sánh logarit:
Cho b ≥ c ta có:
• Nếu 0 < a < 1 thì log a b ≤ log a c
• Nếu a > 1 thì log a b ≥ log a c
+ Phương pháp dồn biến: Đánh giá biểu thức chứa đa biến theo biểu thức chứa duy nhất một biến.
+ Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
Bước 1: Tìm các điểm x1, x2,…, xn trên khoảng (a;b), tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 2: Tính f ( a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f(b)
Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
f ( x); m = min f ( x)
Ta có: M = max
[ a ;b ]
[ a ;b ]
Câu 49: Đáp án C
Mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3 .
Ta có OE = 12 + 12 + 22 = 6 < R ⇒ điểm E nằm trong mặt cầu (S)

Gọi H là hình chiếu của O trên (P), A và B là hai giao điểm của ∆ với (S).
Khi đó AB nhỏ nhất ⇔ AB ⊥ HE
Mà AB ⊥ OH nên AB ⊥ ( HEO) ⇒ AB ⊥ OE
x = 1− t
r
r uuur

Suy ra u ∆ =  n ( P ) ; EO  = (−1;1;0) . Vậy phương trình ∆ là  y = 1 + t
z = 2

Note 6: Phương pháp chung
+ Phương trình tổng quát mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0

Trang 17


+ Suy ra mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d
+ Độ dài đoạn thẳng nối gốc tọa độ O với một điểm M bất kì trong không gian là: OM = xM2 + yM2 + zM2
+ Trong các đường xiên từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng thì đường ngắn nhất là
đường vuông góc.
+ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng.
+ Véctơ cùng vuông với hai véctơ khác thì tọa độ véctơ đó bằng tích có hướng của hai véctơ đã cho.
+ Công thức tọa độ véctơ tích có hướng trong không gian.
r
r
Cho véctơ a = (a1 ; b1 ; c1 ), b = (a2 ; b2 ; c2 ) ta có:
r r
r r  b1 c1 c1 a1 a1 b1 
u ⊥ a r
;

;
÷ = (b1c2 − b2c1 ; c1a2 − c2 a1 ; a1b2 − a2b1 )
 r r ⇒ u =  a; b  = 
u ⊥ b
 b2 c2 c2 a2 a2 b2 
r
+ Phương trình tham số của đường thẳng có véctơ chỉ phương u = (a; b; c ) và đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) là
 x = x0 + at

 y = y0 + bt (t ∈ ¡ )
 z = z + ct
0

Câu 50: Đáp án D
Dựa vào hình vẽ, ta có
f '( x ) = 4a.( x + 1).(x − 1).(x − 4) = 4 ax 3 − 16ax 2 − 4ax + 4a
3
2
Suy ra f ( x) = ∫ f '( x) dx = ∫ (4 ax − 16ax − 4ax + 4a) dx

= ax 4 −

16 3
ax − 2ax 2 + 4ax + e
3

4
Do đó f ( x) = e ⇔ ax −

16 3

ax − 2ax 2 + 4ax = 0
3

16


⇔ ax  x 3 − x 2 − 2 x + 4 ÷ = 0
3


x = 0
⇔  3 16 2
⇔ x = { 0; x1 ; x2 ; x3 }
 x − x − 2x + 4 = 0
3

Vậy phương trình f ( x) = e có 4 nghiệm phân biệt.
Note 7: Phương pháp chung
Từ đồ thị hàm số ta tìm ra nghiệm của f'(x) và viết dưới dạng nhân tử.
Từ f'(x) tìm ra f(x) nhờ công thức nguyên hàm: f ( x ) = ∫ f '( x )dx
Bài toán đưa về biện luận nghiệm của phương trình cơ bản

Trang 18