ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2020

ĐỀ SỐ 16

Môn: Toán



Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. Khối cầu có bán kính R có thể tích là
A.

4
π R3
3

B.

4
π R2
3

C. π R 3

D. 4π R 2

x y z
Câu 2. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( P ) : + + = 1 không đi qua điểm nào dưới đây?
1 2 3
A. P ( 0; 2;0 )

B. N ( 1; 2;3)

C. M ( 1;0;0 )

D. Q ( 0;0;3)

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ \ { 1} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến
thiên như hình vẽ
x
f '( x)

−∞

0
0

+

f ( x)

+∞

1

−

+

2


5

0
−∞
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
A. 4

B. 3

3

C. 1

D. 2

Câu 4. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng a 2 và chiều cao bằng 3a là
A. a 3

C. 3π a 3

B. 3a 3

D. π a 3

Câu 5. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n , mệnh đề dưới đây đúng?
k
A. An =

n!

( n−k)!

k
B. An =

n!
k !( n − k ) !

Câu 6. Tập nghiệm của phương trình 2 x
A. { 0}

2

−3 x + 2

k
C. An =

n!
k!

D. Ank =

( n−k)!
n!

= 4 là

B. { 3}


C. { 0;3}

D. { 0; −3}

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 25 . Tọa độ tâm I và bán
2

2

2

kính R của mặt cầu ( S ) là
A. I ( 2;3; −1) ; R = 25

B. I ( −2; −3;1) ; R = 25

C. I ( 2;3; −1) ; R = 5

D. I ( −2; −3;1) ; R = 5

3
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x + 3 x là

A. x 4 + 3 x 2 + C

B.

x4
+ 3x 2 + C
4


C.

x 4 3x 2
+
+C
4
2

D. 3 x 2 + 3 + C

Câu 9. Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = 2 . Giá trị của u4 bằng
Trang 1


A. 24

B. 54

C. 48

D. 9

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau
x
y’
y

−∞


–1
0
3

+

0
0

−

−

–2

−∞
Giá trị cực tiểu của hàm số bằng
A. 0

1
0
3

+

B. –1

+∞

+∞


C. –2

D. 3

Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ
x
y’
y

−∞
+

0
0

−

2
0

+∞
+

+∞

4
0
−∞
Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ ) B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( −∞; 4 )
C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( 0; +∞ )

D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( −∞;0 )

Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −4; 4] và có đồ thị như
hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã
cho trên [ −4; 4] . Giá trị M − m bằng
A. 4

B. 6

C. 8

D. 1

Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( d ) :
chỉ phương của đường thẳng ( d ) ?
ur
uu
r
A. u1 = ( 3; 2;1)
B. u2 = ( 3; 2;0 )

x −1 y − 2
=
= z − 3 . Vectơ nào dưới đây là vectơ
3
2


uu
r
C. u3 = ( 3; 2;3)

uu
r
D. u4 = ( 1; 2;3)

Câu 14. Giả sử x, y là các số thực dương. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. log x + log y = log ( xy )

B.

log ( x + y ) = log x + log y

Trang 2


C. log xy =

1
( log x + log y )
2

D. log

x
= log x − log y
y


Câu 15. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. y = x 4 − 2 x 2

B. y = − x 3 + 3 x

C. y = x 3 − 3 x

D. y = − x 4 + 2 x 2

Câu 16. Cho số phức z = 2 + 3i . Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là:
A. 2 và 3

C. 2 và −3i

B. –2 và –3

D. 2 và –3

Câu 17. Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
−∞

x

f ( x)

–3
0

–


2
0

+

3
0

+

–

4
0

+∞
+

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 6

B. 4

C. 2

D. 3

2
b
Câu 18. Biết rằng với mọi a, b ∈ ¡ phương trình log 2 x − a.log 2 x − 3 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt


x1 , x2 . Khi đó tích x1 x2 bằng
A. 3a

C. b log 2 3

B. a

D. 2a

Câu 19. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 4 z + 5 = 0 ; M, N lần lượt là các điểm biểu
diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng phức. Độ dài đoạn thẳng MN là
A. 2 5

B. 4

Câu 20. Gọi S là diện tích hình phẳng

C.

( H)

D. 2

2

giới hạn bởi các đường

y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = −1 , x = 2 (như hình vẽ)
0


2

−1

0

Đặt a =

∫ f ( x ) dx , b = ∫ f ( x ) dx , mệnh đề nào sau đây đúng?

A. S = b − a

B. S = b + a

C. S = −b + a

D. S = −b − a

Câu 21. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi, AC = 2 AA ' = 2a 3 . Góc
giữa hai mặt phẳng ( A ' BD ) và ( C ' BD ) bằng
A. 900

B. 600

C. 450

D. 300

Câu 22. Cho số phức z = a + bi , ( a, b ∈ ¡ ) . Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau là

2

I. Môđun của z là một số thực dương

II. z 2 = z

III. z = iz = z

IV. Điểm M ( −a; b ) là điểm biểu diễn của số phức z

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4
Trang 3


Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình ln 3 x < ln ( 2 x + 6 ) là
A. [ 0;6 )
Câu 24. Cho

B. ( 0;6 )

C. ( 6; +∞ )

2


0

2

0

2

0

D. ( −∞;6 )

∫ f ( x ) dx = 2 và ∫ g ( x ) dx = 1 , khi đó ∫  f ( x ) − 3g ( x )  dx bằng

A. 1

B. 5

C. 3

D. –1

Câu 25. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4a và chiều cao 3a. Diện tích xung quanh của hình nón là
A. 12π a 2

B. 24π a 2

C. 40π a 2

D. 20π a 2


Câu 26. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 1;3; 2 ) , B ( 3;5; −4 ) . Phương trình mặt phẳng trung trực
của đoạn AB là
A. x + y − 3 z − 9 = 0

B. x + y − 3z + 9 = 0

C. x + y − 3 z + 2 = 0

4
2
Câu 27. Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c ( a, b, c ∈ ¡

)

D.

x −3 y −5 z + 4
=
=
1
1
−3

D.

a3 6
3

có đồ thị như


hình vẽ dưới đây
Số nghiệm của phương trình 2 f ( x ) + 3 = 0
A. 3

B. 0

C. 4

D. 2

Câu 28. Cho a, b là các số thực dương khác 1, đồ thị hàm số y = log a x và
y = log b x lần lượt là ( C1 ) , ( C2 ) như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A. b.e a < a.eb

B. b.e a > a.eb

C. b.e a = a.eb

D. a.e a < b.eb

Câu 29. Cho hình tứ giá đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt
đáy bằng 600 . Thể tích khối chóp là
A.

a3 6
6

B.


a3 6
2

C.

a3 3
6

Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

( ∆) :
A.

( P ) : 2x − y + 2z − 3 = 0

và đường thẳng

x −1 y +1 z −1
=
=
. Khoảng cách giữa ( ∆ ) và ( P )
2
2
−1
2
3

B.


8
3

C.

Câu 31. Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
A. 5

B. 4

2
9

D. 1

−x + 6
đồng biến trên khoảng ( 10; +∞ ) là
x+m

C. Vô số

D. 3
Trang 4


3

Câu 32. Cho

∫ 4+2

0

x
x +1

dx =

A. 2

a
+ b ln 2 + c ln 3 , với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng
3

B. 9

C. 7

D. 1

Câu 33. Một cuộn đề can hình trụ có đường kính 44,9cm. Trong thời gian diễn ra AFF Cup 2018, người
ta đã sử dụng để in các băng rôn, khẩu hiệu cổ vũ cho đội tuyển Việt Nam, do đó đường kính của cuộn đề
can còn lại là 12,5cm. Biết độ dày của tấm đề can là 0,06cm, hãy tính chiều dài L của tấm đề can đã sử
dụng? (Làm tròn đến hàng đơn vị)
A. L = 24395 cm

B. L = 97377 cm

Câu 34. Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡
A. S = 0


)

C. L = 848 cm

D. L = 7749 cm

thỏa mãn z + 3 + i − z i = 0 . Tổng S = a + b là

B. S = −1

C. S = −3

D. S = 1

Câu 35. Nhằm tạo môi trường xanh, sạch, đẹp và thân thiện, đoàn trường THPT Hậu Lộc 2 đã phát
động phong trào trồng hoa toàn bộ khuôn viên đường vào trường. Sau một ngày thực hiện đã trộng
được một phần diện tích. Nếu tiếp tục với tiến độ như vậy thì dự kiến sau đúng 23 ngày nữa sẽ hoàn
thành. Nhưng thấy công việc có ý nghĩa nên mỗi ngày số lượng đoàn viên tham gia đông hơn vì vậy từ
ngày thứ hai mỗi ngày diện tích trồng tăng lên 4% so với ngày kế trước. Hỏi công việc sẽ hoàn thành
vào ngày bao nhiêu? Biết rằng ngày 08/03 là ngày bắt đầu thực hiện và làm liên tục.
A. 25/03
Câu

36.

B. 26/03
Trong

không


( P ) : x + y − 2z + 5 = 0

gian

C. 23/03
Oxyz,

cho

đường

thẳng

D. 24/03
d:

x +1 y z − 2
= =
,
2
1
1

mặt

phẳng

và A ( 1; −1; 2 ) . Đường thẳng ∆ cắt d và ( P ) lần lượt tại M và N sao cho A là

trung điểm của đoạn thẳng MN. Một vectơ chỉ phương của ∆ là

r
r
r
A. u = ( 4;5; −13)
B. u = ( 1; −1; 2 )
C. u = ( −3;5;1)

r
D. u = ( 2;3; 2 )

Câu 37. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y − z + 9 = 0 và điểm A ( 1; 2; −3) . Đường
r
thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u = ( 3; 4; −4 ) cắt ( P ) tại B. Điểm M thay đổi trên ( P ) sao cho
M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc 900 . Độ dài đoạn MB lớn nhất bằng
A.

36
5

B.

41

C. 6

D.

5

Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính

AD = 2a , SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Khoảng cách từ H đến

mặt phẳng ( SCD ) bằng
A.

a 6
3

B.

3a 6
8

C.

a 6
2

D.

3a 6
16

Trang 5


Câu 39. Một thùng đựng rượu làm bằng gỗ là một hình tròn xoay (tham khảo hình bên). Bán kính các đáy
là 30cm, khoảng giữa hai đáy là 1m, thiết diên qua trục vuông góc với trục và cách đều hai đáy có chu vi
là 80π cm. Biết rằng mặt phẳng qua trục cắt mặt xung quanh của
thùng là các đường parabol. Thể tích của thùng gần với số nào sau

đây?
A. 425,2 (lít)

B. 284 (lít)

C. 212,6 (lít)

D. 142,2 (lít)

Câu 40. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;5] và có bảng biến thiên như hình sau:
x

0
4

f ( x)

1

2
3

3

1
Có

bao

nhiêu


giá

trị

nguyên

5
3

1
dương

của

tham

số

m

để

bất

phương

trình

mf ( x ) + 3 x ≤ 2019 f ( x ) − 10 − 2 x nghiệm đúng với mọi x ∈ [ 0;5] ?

A. 2014

B. 2015

C. 2019

D. Vô số

4
3
2
Câu 41. Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + dx + e có đồ thị như hình vẽ bên dưới, trong đó a, b, c,

d, e là các hệ số thực. Số nghiệm của phương trình f

A. 3

B. 4

f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − 1 = 0 là

C. 2

D. 0

Câu 42. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m
2
để phương trình f ( cos x ) + ( m − 2018 ) f ( cos x ) + m − 2019 = 0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn

[ 0; 2π ]


là

A. 5

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 43. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] sao cho f ( 1) = 1 và

f ( x) . f (1− x) = e

x2 − x

1

, ∀x ∈ [ 0;1] . Kết quả tích phân I = ∫

( 2x

3

0

A. I = −

1

60

B. I =

1
60

C. I = −

− 3x 2 ) f ' ( x )
f ( x)

1
10

dx là
D. I =

1
10
Trang 6


Câu 44. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
m 2 ( x 4 − x 3 ) − m ( x 3 − x 2 ) − x + e x −1 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ¡ . Số tập con của S là
A. 2

B. 4

C. 3


D. 1

Câu 45. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm f ' ( x ) như sau
−∞

x
f '( x)

–

–1
0

0
0

+

1
0

–

2
0

–

+∞

+

3
2
Hàm số y = 6 f ( x − 1) − 2 x + 3x đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. ( 2; +∞ )

B. ( −1;0 )

C. ( −∞; −1)

D. ( 0;1)

Câu 46. Cho z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z − 3 + 3i = 2 và z1 − z2 = 4 . Giá trị lớn nhất của
z1 + z2 bằng
A. 8

B. 4 3

D. 2 + 2 3

C. 4

Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = AB = BC = CD = DA = 1 . Gọi G1 , G2 , G3 , G4 lần
lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. AC cắt BD tại O. Khi thể tích khối S.ABCD lớn nhất
thì thể tích khối chóp O.G1G2G3G4 bằng
A.

1

81

B.

1
27

C.

1
54

D.

2
81

Câu 48. Hai bạn A và B mỗi bạn lên bảng viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác
nhau. Xác suất để các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau đồng thời tổng lập phương các chữ số đó chia
hết cho 3 là
A.

41
5823

B.

7
1944


C.

53
17496

D.

29
23328

Câu 49. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log 2 x2 + xy + 3 y 2 ( 11x + 20 y − 40 ) = 1 . Gọi M, m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S =
A. M + m = 2 14

y
. Giá trị của M + m là
x
C. M + m =

B. M + m = 10

7
2

D. M + m =

11
6

Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A ( 0;0; 2 ) và B ( 3; 4;1) . Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa

đường

tròn

giao

tuyến

của

hai

mặt

( S1 ) : ( x − 1)

cầu

( S2 ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 14 = 0 . M, N là hai điểm thuộc ( P )

2

+ ( y − 1) + ( z + 3) = 25
2

2

với

sao cho MN = 1 . Giá trị nhỏ nhất của


AM + BN là

A.

34 − 1

B. 5

C.

34

D. 3

Trang 7


Trang 8


Đáp án
1-A
11-D
21-A
31-B
41-B

2-B
12-B

22-C
32-D
42-C

3-B
13-A
23-B
33-A
43-C

4-B
14-B
24-B
34-D
44-B

5-A
15-C
25-D
35-A
45-D

6-C
16-D
26-A
36-D
46-A

7-C
17-D

27-C
37-D
47-C

8-C
18-D
28-D
38-D
48-C

9-A
19-D
29-A
39-A
49-C

10-C
20-A
30-A
40-A
50-B

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án A
4
3
Khối cầu có bán kính R có thể tích là V = π R
3
Câu 2: Đáp án B
Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta có


1 2 3
+ + = 1 (vô lí).
1 2 3

x y z
Vậy mặt phẳng ( P ) : + + = 1 không đi qua điểm N ( 1; 2;3)
1 2 3
Câu 3: Đáp án B
Dựa vào bảng, ta có:
lim f ( x ) = 0 suy ra tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0

x →−∞

lim f ( x ) = 5 suy ra tiệm cận ngang là đường thẳng y = 5

x →+∞

lim− f ( x ) = −∞ suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1
x →1
Vậy tổng số tiệm cận là 3
Câu 4: Đáp án B
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng a 2 và chiều cao bằng 3a là V = B.h = a 2 .3a = 3a 3
Câu 5: Đáp án A
k
Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n , ta có An =

n!
( n−k)!


Câu 6: Đáp án C
x
Ta có 2

2

−3 x + 2

x = 0
= 4 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 2 ⇔ x 2 − 3x = 0 ⇔ 
x = 3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 0;3}
Câu 7: Đáp án C
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;3; −1) và bán kính R = 5
Câu 8: Đáp án C
F ( x ) = ∫ ( x 3 + 3x ) dx =

x 4 3x 2
+
+C
4
2
Trang 9


Câu 9: Đáp án A
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân, ta có:
un = u1.q n −1 ⇒ u4 = u1.q 3 = 3.23 = 24
Câu 10: Đáp án C

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cực tiểu của hàm số bằng –2
Câu 11: Đáp án D
Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;0 ) và ( 2; +∞ )
Câu 12: Đáp án B
f ( x ) = 3 ; m = min f ( x ) = −3
Theo hình vẽ ta có M = max
[ −4;4]
[ −4;4]
Vậy M − m = 6
Câu 13: Đáp án A
Đường thẳng ( d ) :

ur
x −1 y − 2
=
= z − 3 có một vectơ chỉ phương là u1 = ( 3; 2;1)
3
2

Câu 14: Đáp án B
Với x, y là các số thực dương, ta có log x + log y = log ( xy ) nên đáp án B sai
Câu 15: Đáp án C
Dựa vào đặc điểm đồ thị, ta thấy đường cong trên đồ thị là của hàm số bậc 3
Lại có khi x → −∞ thì y → −∞ nên y = x 3 − 3 x
Câu 16: Đáp án D
Ta có z = 2 − 3i . Khi đó z có phần thực 2, phần ảo –3
Câu 17: Đáp án D
Từ bảng xét dấu ta thấy f ' ( x ) = 0 và đổi dấu tại các điểm x ∈ { −3;3; 4}
Suy ra hàm số f ( x ) đã cho có 3 điểm cực trị
Câu 18: Đáp án D

2
b
Xét phương trình log 2 x − a.log 2 x − 3 = 0

( 1)

Điều kiện x > 0
Đặt t = log 2 x
Phương trình trở thành t 2 − a.t − 3b = 0

( 2)

Theo giả thiết phương trình ( 1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 nên phương trình ( 2 ) có hai nghiệm tương
ứng t1 , t2
t
t
Ta có log 2 x1 = t1 ⇔ x1 = 2 1 ; log 2 x2 = t2 ⇔ x2 = 2 2
t
t
t +t
a
Vậy x1 x2 = 2 1.2 2 = 2 1 2 = 2 (vì t1 + t2 = a )

Trang 10


Câu 19: Đáp án D
Xét phương trình z 2 − 4 z + 5 = 0 , ta có ∆ ' = ( −2 ) − 1.5 = −1 = i 2
2


Suy ra phương trình có hai nghiệm phức là z1 = 2 + i ; z2 = 2 − i . Suy ra M ( 2;1) ; N ( 2; −1)
Ta có MN =

( 2 − 2)

2

+ ( −1 − 1) = 2
2

Vậy MN = 2
Câu 20: Đáp án A
Dựa vào đồ thị ta thấy f ( x ) < 0 với mọi x ∈ ( −1;0 ) ; f ( x ) > 0 với mọi x ∈ ( 0; 2 )
Ta có S =

0

2

0

2

0

2

−1

0


−1

0

−1

0

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ − f ( x )  dx + ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = b − a

Vậy S = b − a
Câu 21: Đáp án A
 BD ⊥ AC
⇒ BD ⊥ ( ACC ' A ' ) ⇒ BD ⊥ OA ' , BD ⊥ OC '
Ta có 
 BD ⊥ A ' A
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BD ) và ( C ' BD ) là góc giữa hai
đường thẳng OA’ và OC’
Theo giả thiết:
AC = 2 A ' A = 2a 3 ⇒ AO = A ' A = a 3 → OA ' = OC ' = a 6
Trong tam giác OA’C’:
cos O =

OA '2 + OC '2 − A ' C '2 6a 2 + 6a 2 − 12a 2
=
=0
2.OA '.OC '
2.6a 2


Suy ra ·A ' OC ' = 900
Chú ý: Có thể suy ra góc ·A ' OC ' vuông bằng cách nhận xét hai tam giác AOA’, COC’ vuông cân
Câu 22: Đáp án C
Ta thấy nhận xét I sai vì môđun có thể bằng 0 và nhận xét IV là sai, tọa độ của M là ( a; −b )
Nhận xét II sai vì z 2 = ( a + bi ) = a 2 + 2abi − b 2 và z = a 2 + b2
2

2

Câu 23: Đáp án B
3 x > 0
⇔0< x<6
Bất phương trình ln 3 x < ln ( 2 x + 6 ) ⇔ 
3 x < 2 x + 6
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( 0;6 )
Câu 24: Đáp án B
2

2

2

2

0

0

0


0

0

2

∫  f ( x ) − 3g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − 3∫ g ( x ) = ∫ f ( x ) dx + 3∫ g ( x ) = 2 + 3 = 5
Trang 11


Câu 25: Đáp án D
Gọi l, r, h lần lượt là độ dài đường sinh, bán kính đáy và chiều cao của hình
nón
Ta có l = r 2 + h 2 = 16a 2 + 9a 2 = 5a
2
Do đó S xq = π rl = π .4a.5a = 20π a

Câu 26: Đáp án A

uuur
ur
uuur
A ( 1;3; 2 ) và B ( 3;5; −4 ) ⇒ AB = ( 2;2; −6 ) . Chọn n1 = ( 1;1; −3) cùng phương với AB

Gọi M là trung điểm của AB thì M ( 2; 4; −1)
ur
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB có vectơ pháp tuyến n1 = ( 1;1; −3) và đi qua M ( 2; 4; −1) nên có
phương trình là 1. ( x − 2 ) + 1( y − 4 ) − 3 ( z + 1) = 0 ⇔ x + y − 3 z − 9 = 0
Câu 27: Đáp án C
Ta có 2 f ( x ) + 3 = 0 ⇔ f ( x ) = −


3
2

( C ) : y = ax 4 + bx 2 + c

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị 
3
d : y = −

2
Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt
Câu 28: Đáp án D
Ta có log a x = 1 ⇔ x = a và log b x = 1 ⇔ x = b
Kẻ đường thẳng y = 1 cắt đồ thị ( C1 ) , ( C2 ) lần lượt tại các điểm có
tọa độ ( a;1) và ( b;1)
Nhìn vào đồ thị, ta suy ra a < b
Do a, b, e a , eb là các số dương và e > 1 nên từ a < b ta suy ra
a
b
a
b
e < e
a.e < a.e
⇒ b
⇒ a.e a < b.eb
 b
a
b
a.e < b.e

 a.e < b.e

Câu 29: Đáp án A
Giả sử hình chóp tứ giác đều là S.ABCD. Gọi O là giao điểm của BD và
AC.
a 2
·
Ta có SO ⊥ ( ABCD ) , SAO
= 600 , AC = a 2 ⇒ OA =
2
a 6
2
·
Khi đó SO = AO.tan SAO
, S ABCD = a
=
2

Trang 12


1
a3 6
Thể tích khối chóp là V = SO.S ABCD =
3
6
Câu 30: Đáp án A

r
Mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 2 z − 3 = 0 có vecto pháp tuyến là n = ( 2; −1; 2 )

Đường thẳng ( ∆ ) :

r
x −1 y +1 z −1
=
=
có vectơ chỉ phương là u = ( 2; 2; −1) và đi qua điểm M = ( 1; −1;1)
2
2
−1

rr
 n.u = 0
Ta có 
suy ra ( ∆ ) song song với ( P )
 M ∉ ( P )
Khi đó d ( ( ∆ ) , ( P ) ) = d ( M , ( P ) ) =

2 +1+ 2 − 3
22 + 22 + ( −1)

2

=

2
3

Câu 31: Đáp án B
Điều kiện: x ≠ −m

Ta có y ' =

−m − 6

( x + m)

2

Hàm số đồng biến trên khoảng ( 10; +∞ ) ⇔ y ' > 0∀x ∈ ( 10; +∞ )
− m − 6 > 0
 m < −6
⇔
⇔
⇔ −10 ≤ m < −6
− m ∉ ( 10; +∞ )
− m ≤ 10
Vì m nguyên nên m ∈ { −10; −9; −8; −7}
Vậy có bốn giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán
Câu 32: Đáp án D
3

Đặt I = ∫
0

x
4 + 2 x +1

dx

Đặt t = x + 1 ⇔ t 2 = x + 1 ⇒ 2tdt = dx

x = 0 ⇔ t = 1
Đổi cận 
x = 3 ⇒ t = 2
2

2

2

2

t 2 −1
t3 − t
6 

1 3 2

2tdt = ∫
dt = ∫  t 2 − 2t + 3 −
Khi đó I = ∫
÷dt =  t − t + 3t − 6 ln t + 2 ÷
4 + 2t
2+t
t+2
3
1
1
1
1
8

 1
 7
=  − 4 + 6 − 6 ln 4 ÷−  − 1 + 3 − 6 ln 3 ÷ = − 12 ln 2 + 6 ln 3
3
 3
 3
a = 7

Suy ra b = −12 . Vậy a + b + c = 1
c = 6

Câu 33: Đáp án A

Ta có mỗi lần bán đi một vòng đề can thì bán kính của cuộn đề can giảm đi số cm là 0,06cm
Trang 13


Bán kính lúc đầu là 22,45cm, bán kính lúc sau là 6,25cm. Số vòng đề can đã bán đi là

( 22, 45 − 6, 25) : 0, 06 = 270

(vòng)

Chu vi một vòng đề can bán kính r là chiều dài của vòng đề can đó và bằng Lr = 2π r
Chiều dài L của tấm đề can đã bán bằng L = L1 + L2 + ... + L270 với L1 là độ dài vòng đầu tiên của cuộn đề
can, bán kính là r1 = 22, 45 cm
L1 cũng chính là chu vi của đường tròn bán kính r1 = 22, 45cm ⇒ L1 = 2π .r1
Vòng thứ 2, bán kính giảm đi 0,06cm do đó nó sẽ có bán kính bằng r2 = 22, 45 − 0, 06 = 22,39 cm,
L2 cũng chính là chu vi của đường tròn bán kính r2 = 22,39cm ⇒ L2 = 2π .r2
Suy ra chiều dài của tấm đề can là L = 2π .r1 + 2π .r2 + ... + 2π .r270 = 2π ( r1 + r2 + ... + r270 ) ,

Trong đó r1 , r2 ,..., r270 là một cấp số cộng có u1 = 22, 45 ; d = −0, 06 , suy ra
u270 = u1 + 269d = 22, 45 − 269.0, 06 = 6, 25 + 0, 06 = 6,31 cm
Tổng r1 + r2 + ... + r270 =

( r1 + r270 ) .270 = ( 22, 45 + 6,31) .270 = 3882, 6 cm
2

2

Suy ra L = 2π .3882, 6 ≈ 24395 cm
Câu 34: Đáp án D
Từ z + 3 + i − z i = 0 , ta có

)

(

a + bi + 3 + i − a 2 + b 2 i = 0 ⇒ ( a + 3) + b + 1 − a 2 + b 2 i = 0
a = −3
 a = −3
⇒
⇔
2
2
b = 4
b + 1 − a + b = 0
Suy ra S = 1
Câu 35: Đáp án A
Gọi số lượng công việc đã hoàn thành trong ngày đầu là a ( a > 0 ) , khi đó số lượng công việc phải hoàn
thành trong 23 ngày tiếp theo là 23a

Đặt r = 4% . Số lượng công việc làm được trong ngày thứ 2, thứ 3,…, thứ n lần lượt là a ( 1 + r ) ,
a ( 1 + r ) ,…, a ( 1 + r )
2

n −1

Công việc được hoàn thành khi và chỉ khi a ( 1 + r ) + a ( 1 + r ) + ... + a ( 1 + r )
2

⇔ ( 1+ r )

(1+ r )
.

n −1

r

−1

= 23 ⇔ ( 1 + r )

n −1

=

n −1

= 23a


23r
+1
1+ r

 23r

⇔ n − 1 = log1+ r 
+ 2 ÷ ⇔ n ≈ 17,157
 1+ r

Do đó kể từ ngày 08/03 số ngày cần để hoàn thành công việc là 18 ngày
Trang 14


Vậy công việc được hoàn thành vào ngày 25/03
Câu 36: Đáp án D
Vì M thuộc đường thẳng d nên M ( −1 + 2m; m; 2 + m ) . Gọi N ( xN ; y N ; z N )
 xM + xN = 2 x A
 xN = 3 − 2m


Điểm A là trung điểm của MN khi và chỉ khi  yM + y N = 2 y A ⇔  y N = −2 − m
z + z = 2z
z = 2 − m
N
A
 M
 N
Mặt khác, N thuộc ( P ) nên ( 3 − 2m ) + ( −2 − m ) − 2 ( 2 − m ) + 5 = 0 ⇔ m = 2 ⇒ M ( 3; 2; 4 )
uuuu

r
Vậy một vectơ chỉ phương của ∆ là AM = ( 2;3; 2 )
Câu 37: Đáp án D
 x = 1 + 3t

Phương trình đường thẳng d :  y = 2 + 4t nên tọa độ điểm B thỏa mãn hệ phương trình
 z = −3 − 4t

 x = 1 + 3t
 y = 2 + 4t

⇒ 2 ( 1 + 3t ) + 2 ( 2 + 4t ) − ( −3 − 4t ) + 9 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ B ( −2; −2;1)

z
=
−
3
−
4
t

 2 x + 2 y − z + 9 = 0
Do M nhìn đoạn AB dưới một góc 900 nên M thuộc mặt cầu ( S ) có đường kính AB = 41
Lại do M ∈ ( P ) nên M thuộc đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu ( S ) và mặt phẳng ( P )
Do MB là một dây cung của đường tròn này nên MB lớn nhất khi nó là đường kính của đường tròn giao
 1

tuyến giữa mặt cầu ( S ) và mặt phẳng ( P ) . Gọi I  − ;0; −1÷ là trung điểm của AB thì I là tâm mặt cầu
 2



( S)

và d ( I ; ( P ) ) = 3 . Khi đó bán kính đường tròn giao tuyến là
2

41
5
 AB 
2
r= 
−9 =
÷ − d ( I;( P) ) =
4
2
 2 
Vậy MBmax = 2r = 5
Câu 38: Đáp án D
Do ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD nên tứ giác ABCD cũng nội tiếp đường
tròn đường kính AD. Gọi I là trung điểm AD thì các tam giác ∆IAB, ∆IBC , ∆ICD là tam giác đều cạnh a
và AC ⊥ CD nên AC = AD 2 − CD 2 = a 3 . Lấy K ∈ BC ;
M ∈ AD

sao

cho

HK / / SC ;

KM / / CD ⇒ d ( H ; ( SCD ) ) = d ( K ; ( SCD ) ) = d ( M ; ( SCD ) )

∆SAB vuông tại A có SB = 2a và
Trang 15


SH .SB = SA2 ⇔ SH =
Vậy

3a 2 3a
SH 3 KC MD
=
⇒
= =
=
2a
2
SB 4 CB DI

d ( M ; ( SCD ) ) 3
MD MD 3
=
= ⇒
=
AD 2 DI 8
d ( A; ( SCD ) ) 8

 AC ⊥ CD
⇒ CD ⊥ ( SAC )
Do 
CD ⊥ SA
Trong mp ( SAC ) kẻ AN ⊥ SC tại N thì

AN ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A; ( SCD ) ) = AN
∆SAC vuông cân tại A (do SA = AC = a 3 ) nên AN =

a 6
2

3
3a 6
Vậy d ( H ; ( SCD ) ) = d ( M ; ( SCD ) ) = . AN =
8
16
Câu 39: Đáp án A
Bán kính đáy 30cm = 3dm
Khoảng cách giữa hai đáy là 1m = 10dm
Thiết diện qua trục vuông góc với trục và cách đều hai đáy có chu vi là 8π cm = 8π dm
Suy ra bán kính r = 4 dm
Mặt phẳng qua trục cắt mặt xung quanh của bình là các đường parabol có đồ thị là parabol y = 4 −

1 2
x
25

5
1 2
406π

3
V
=
π

Thể tích của thùng
∫−5  4 − 25 x ÷ dx = 3 dm ≈ 425,2 (lít)

Câu 40: Đáp án A
Trên [ 0;5] , ta có mf ( x ) + 3 x ≤ 2019 f ( x ) − 10 − 2 x ⇔ m ≤ 2019 −

3 x + 10 − 2 x
f ( x)

Xét hàm số g ( x ) = 3 x + 10 − 2 x trên đoạn [ 0;5]
g '( x) =

3
1
3 10 − 2 x − 2 3x
−
=
2 3x
10 − 2 x
2 3 x . 10 − 2 x

Cho g ' ( x ) = 0 ⇔ x = 3 ∈ [ 0;5]
g ( x ) = g ( 3) = 5
Do g ( 0 ) = 10 , g ( 3) = 5 và g ( 5 ) = 15 nên max
[ 0;5]
f ( x ) = f ( 3 ) = 1 nên m ≤ 2019 − 3 x + 10 − 2 x , ∀x ∈ [ 0;5]
Mặt khác min
[ 0;5]
f ( x)


3 x + 10 − 2 x 
5
⇔ m ≤ min  2019 −
= 2019 − = 2014
÷
÷
[ 0;5]
f ( x)
1


Trang 16


Do m ∈ ¥ * nên m ∈ { 1; 2;...; 2014} . Vậy có 2014 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn
Câu 41: Đáp án B
4
2
Từ hình vẽ ta có dạng đồ thị của hàm trùng phương nên b = d = 0 ⇒ f ( x ) = ax + cx + e
3
Ta có f ' ( x ) = 4ax + 2cx

 f ' ( 1) = 0
 4 a + 2c = 0
a = 1



⇔ e = 0 ⇒ f ( x ) = x 4 + 2 x 2
Từ đồ thị, ta có  f ( 0 ) = 0 ⇔ e = 0


 a + c + e = 1 c = 2


 f ( 1) = 1
Suy ra f

( x) = x

2

+ 2 x và f

Như vậy phương trình f

(

(

)

f ( x) = f 2 ( x) + 2 f ( x)

)

f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) −1 = 0

⇔ f 2 ( x ) + 2 f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − 1 = 0 với f ( x ) ≥ 0
2
Đặt t = f ( x ) ( t ≥ 0 ) ta được phương trình g ( t ) = 0 với g ( t ) = t + 3t + 2 t − 1


Nhận thấy hàm số g ( t ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và g ( 0 ) .g ( 1) < 0
Suy ra g ( t ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ( 0;1)
Hàm số g ( t ) liên tục trên đoạn [ 1; 4] và g ( 1) .g ( 4 ) < 0
Suy ra g ( t ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ( 1; 4 )
Mà g ( t ) = 0 là phương trình bậc hai chỉ có tối đa hai nghiệm nên g ( t ) = 0 có duy nhất một nghiệm
thuộc ( 0;1)
Suy ra f

(

)

f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − 1 = 0 có duy nhất một nghiệm f ( x ) ∈ ( 0;1)

Suy ra phương trình f ( x ) = a với a ∈ ( 0;1) luôn có bốn nghiệm x phân biệt
Câu 42: Đáp án C
 f ( cos ) = −1
2
Ta có f ( cos x ) + ( m − 2018 ) f ( cos x ) + m − 2019 = 0 ⇔ 
 f ( cos x ) = 2019 − m
cos x = 0 ( 1)
Dựa vào đồ thị ta có f ( cos x ) = −1 ⇔ 
cos x = k > 1( 2 )
Phương trình ( 1) có hai nghiệm thuộc đoạn [ 0; 2π ] thỏa mãn, phương trình ( 2 ) vô nghiệm.
Yêu cầu: phương trình f ( cos x ) = 2019 − m ( 2019 − m ≠ −1) có thêm 4 nghiệm thuộc [ 0; 2π ]
Nhận xét:
+ Với mỗi t ∉ [ −1;1] , phương trình cos x = t vô nghiệm
Trang 17



+ Với mỗi t ∈ ( −1;1] , phương trình cos x = t có 2 nghiệm x ∈ [ 0; 2π ]
+ Với t = −1 , phương trình cos x = t có đúng 1 nghiệm x ∈ [ 0; 2π ]
Như vậy, −1 < 2019 − m ≤ 1 ⇔ 2018 < m ≤ 2020 . Do m ∈ ¢ nên m = 2020 hoặc m = 2019
Câu 43: Đáp án C
u = 2 x 3 − 3x 2
 du = ( 6 x 2 − 6 x ) dx

f '( x) ⇒ 
Đặt 
(do f ( x ) nhận giá trị dương trên đoạn [ 0;1] )
 dv = f ( x ) dx v = ln f ( x )

1

3
2
2
Ta có I = ( 2 x − 3 x ) ln f ( x ) 0 − ∫ ( 6 x − 6 x ) ln f ( x ) dx
1

0

1

1

0

0


= ln1 − ∫ ( 6 x 2 − 6 x ) ln f ( x ) dx = − ∫ ( 6 x 2 − 6 x ) ln f ( x ) dx
Đặt t = 1 − x nên dt = −dx
0

1

1

1

0

0

2
2
2
Ta có I = ∫  6 ( 1 − t ) − 6 ( 1 − t )  ln f ( 1 − t ) dt = − ∫ 6t − 6t  ln f ( 1 − t ) dt = − ∫ 6 x − 6 x  ln f ( 1 − x ) dx
1

1

0

0

2
2
Suy ra 2 I = − ∫ 6 x − 6 x  ln f ( x ) dx − ∫ 6 x − 6 x  ln f ( 1 − x ) dx

1

= − ∫ ( 6 x 2 − 6 x )  ln f ( x ) + ln f ( 1 − x )  dx
0
1

1

= − ∫ ( 6 x − 6 x ) ln f ( x ) . f ( 1 − x ) dx − ∫ 6 x 2 − 6 x  ln e x
2

0

2

−x

dx

0

1

1

= −6 ∫ ( x − x ) dx − 6∫ ( x 4 − 2 x3 + x 2 ) dx = −
2

2


0

0

1
5

1
1
Như vậy 2 I = − ⇒ I = −
5
10
Câu 44: Đáp án B
2
4
3
3
2
x −1
Xét hàm số f ( x ) = m ( x − x ) − m ( x − x ) − x + e trên ¡
2
3
2
2
x −1
Ta có f ' ( x ) = m ( 4 x − 3 x ) − m ( 3 x − 2 x ) − 1 + e liên tục trên ¡

f ( x ) = f ( 1)
Do f ( 1) = 0 nên từ giả thiết ta có f ( x ) ≥ f ( 1) , ∀x ∈ ¡ ⇒ min
¡

m = 1
2
Ta có f ' ( 1) = 0 ⇒ m − m = 0 ⇒ 
m = 0
x −1
x −1
+) Với m = 0 ta có f ( x ) = e − x ⇒ f ' ( x ) = e − 1 . Cho f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1

Bảng biến thiên của f ( x )
x

−∞

1

+∞
Trang 18


−

f '( x )

0

+

f ( x)
0


Trường hợp m = 0 , yêu cầu bài toán được thỏa mãn

+) Với m = 1 ta có f ( x ) = x 4 − x 3 − x 3 + x 2 + e x −1 = ( x − 1) x 2 + e x −1 − x ≥ 0 , ∀x ∈ R
2

Trường hợp m = 1 yêu cầu bài toán cũng được thỏa mãn
Vậy S = { 0;1}
Câu 45: Đáp án D
3
2
Xét hàm số g ( x ) = 6 f ( x − 1) − 2 x + 3 x trên R
2
2
Ta có g ' ( x ) = 6 f ' ( x − 1) − 6 x + 6 x = 6  f ' ( x − 1) − x + x 

Xét

dấu

của

f ' ( x − 1) ,

ta

có

 −1 ≤ x − 1 ≤ 0
0 ≤ x ≤ 1
f ' ( x − 1) ≥ 0 ⇔  x − 1 = 1

⇔  x = 2
 x − 1 ≥ 2
 x ≥ 3

trong

đó

f ' ( x − 1) = 0 ⇔ x ∈ { 0;1;2;3}
x
f ' ( x − 1)

–∞

− x2 + x
g '( x)

–

1
0

–
–

0
0

+


0
0

–

+
+

0
0

–
–

2
0

–
–
–

3
0

+∞
+
–

2
Dựa vào dấu của f ' ( x − 1) và ( − x + x ) , ta có bảng xét dấu của g ' ( x ) như sau


Như vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;1)
Câu 46: Đáp án A
Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2
 z1 − 3 + 3i = z2 − 3 + 3i = 2
Do 
nên
 z1 − z2 = 4

(

 M , N ∈ ( C ) : ( x − 3) 2 + y + 3

 MN = 4 = 2.2

)

2

= 22

(

)

Như vậy MN là đường kính của đường tròn ( C ) với tâm I 3; − 3 , bán kính R = 2
Do đó I là trung điểm MN và OI = 12
Ta có
z1 + z2 = OM + ON ≤


( 1 + 1) ( OM 2 + ON 2 )


MN 2 
= 2  2OI 2 +
÷= 8
2 

Trang 19


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi OM = ON ⇔ MN là đường kính của ( C ) vuông góc với OI
Câu 47: Đáp án C
Ta có BD = SB 2 + SD 2 = 1 + x 2 ⇒ OD =

1 + x2
2

Suy ra
OC = 1 −

(

1 + x2
3 − x2
=
⇒ AC = 3 − x 2 , 0 < x < 3
4
2


Ta có S ABCD =

)

1
1
AC.BD =
1 + x2 . 3 − x2
2
2

Tam giác SBD vuông tại S có đường cao
SH =

SB.SD
x
=
BD
1 + x2

1
1
1 x2 + 3 − x2 1
Suy ra VS . ACBD = .SH .S ABCD = x. 3 − x 2 ≤ .
=
3
6
6
2
4

Dấu “=” xảy ra ⇔ x =
Khi VS . ABCD =
SG1G2G3G4 =

1
6
hay max VS . ABCD =
4
2

1
ta có
4

2
1
1
S ACBD , d ( O, ( G1G2G3 ) ) = d ( S , ( ABCD ) ) = SH
9
3
3

Suy ra
1
2
2 1 1
VO.G1G2G3G4 = d ( O, ( G1G2G3 ) ) .SG1G2G3G4 = VS . ABCD = . =
3
27
27 4 54

Vậy khi thể tích khối chóp S.ACBD lớn nhất thì VO.G1G2G3G4 =

1
54

Câu 48: Đáp án C
Đặt M = { 3;6;9} , N = { 1; 4;7} và P = { 2;5;8}
3
3
3
Xét số abc , với a ≠ 0 ; a, b, c phân biệt và ( a + b + c ) M3
3
3
3
Ta có ( a + b + c ) = ( a + b + c ) − 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )
3

3
3
3
Do đó ( a + b + c ) M3 ⇔ ( a + b + c ) M3 ⇔ ( a + b + c ) M3
3

Không gian mẫu đề bài cung cấp có số phần tử là n ( Ω ) = ( 9.9.8 )

2

Gọi X là là biến cố “A và B viết được các số có 3 chữ số abc , def sao cho { a; b; c} = { d ; e; f } ”
•


Nếu { a; b; c} có chứa chữ số 0 và 2 phần tử còn lại

2
2
+ cùng thuộc M thì số cách chọn là: ( C3 ) .4

Trang 20


1 1
2
+ có 1 phần tử thuộc N, 1 phần tử thuộc P thì số cách chọn là: ( C3C3 ) .4

•

Nếu { a; b; c} không chứa chữ số 0, có 2 khả năng xảy ra

+ a, b, c cùng thuộc M hoặc N hoặc P thì số cách chọn là ( 3!) + ( 3!) + ( 3!)
2

2

2

1 1 1
+ Mỗi số a, b, c thuộc 1 tập khác nhau trong M, N, P thì số cách chọn là ( C3C3C3 ) . ( 3!)

2

2

2
1 1
2
1 1 1
Vậy n ( X ) = ( C3 ) .4 + ( C3C3 ) .4 + 3. ( 3!) + ( C3C3C3 ) . ( 3!) = 1272
2

Vậy P ( X ) =

2

n( X )
53
=
n ( Ω ) 17496

Câu 49: Đáp án C
Do S =

y
nên y = Sx
x

log 2 x2 + xy +3 y 2 ( 11x + 20 y − 40 ) = 1 ⇔ 11x + 20 y − 40 = 2 x 2 + xy + 3 y 2
⇔ 11x + 20Sx − 40 = 2 x 2 + xSx + 3S 2 x 2
⇔ ( 3S 2 + S + 2 ) x 2 − ( 20 S + 11) x + 40 = 0

( 1)

2

2
Biệt thức ∆ = ( 20 S + 11) − 4.40. ( 3S + S + 2 ) = −80S + 280S − 199
2

Để có các số thực dương x, y thỏa mãn giả thiết trước hết ta phải có
∆ ≥ 0 ⇔ −80S 2 + 280S − 199 ≥ 0 ⇔

35 − 230
35 + 230
= S1 ≤ S ≤ S2 =
20
20

20 S1 + 11

>0
x = 2
35 + 230
3S1 + S1 + 2
Từ đó ta suy ra M = max S =
khi 
20
y = S x > 0

1
20S 2 + 11

>0
x = 2
35 − 230

3S 2 + S 2 + 2
khi 
m = min S =
20
y = S x > 0

2
Vậy M + m =

7
2

Câu 50: Đáp án B
( S1 ) : ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 + ( z + 3) 2 = 25 ( 1)
Xét 
2
2
2
( S 2 ) : x + y + z − 2 x − 2 y − 14 = 0 ( 2 )
Lấy ( 1) trừ ( 2 ) (vế theo vế), ta được 6 z = 0 hay ( P ) : z = 0 tức là

( P ) ≡ ( Oxy )

Trang 21


Dễ thấy A, B nằm khác phía đối với ( P ) , hình chiếu của A trên ( P ) là O, hình chiếu của B trên ( P ) là
H ( 3; 4;0 )
uuur uuuu
r

Lấy A’ sao cho AA ' = MN

uuuu
r
uuur
Khi đó AM + BN = A ' N + BN ≥ A ' B và cực trị chỉ xảy ra khi MN cùng phương OH
uuur
uuuu
r OH  3 4 
Lấy MN = uuur =  ; ;0 ÷
OH  5 5 
uuur uuuu
r
3 4

Khi đó vì AA ' = MN nên A '  ; ; −2 ÷. Do đó AM + BN = A ' N + BN ≥ A ' B = 5
5 5


Trang 22