giải ĐỊNH lý PYTAGO 170 179
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (375.28 KB, 6 trang )
Phát triển tư duy Hình học 7
HƯỚNG DẪN GIẢI
Chuyên đề 10. ĐỊNH LÝ PYTAGO
10.1 Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:
ABH vuông, nên AH 2 BH 2 AB2
64 BH 2 100 � BH 6cm
AHC vuông, nên
AC 2 64 125 � AC 17cm
Chu vi ABC là: AB + BC + AC = 10 + 17 + 6
15 = 48 (cm)
+
10.2
Tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:
AB2 AC 2 BC 2 � 62 6 2 BC 2 � BC 2 72.
Tam giác BCD vuông tại C. Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:
BC 2 CD 2 BD 2 � 72 32 BD 2 81 � BD 9
Từ đó suy ra: x = 9.
10.3
�
�
�
a) Ta có: MAC BAN (cùng bằng 90o + BAC )
MA = AB ( MAB vuông cân tại A)
AC = AN ( NAC vuông cân tại A)
AMC ABN (c.g.c)
b) Gọi giao điểm của BN với AC là F.
� FCD
�
�
�
ANF
(vì AMC ABN ), AFN CFD (đối đỉnh)
�
�
Từ đó suy ra: FDC FAN . Do đó BN CM
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 1
Phát triển tư duy Hình học 7
a) Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông MDN, BDC, MDE, NDC, ta có:
MN 2 BC 2 MD 2 ND 2 BD 2 CD 2
BM 2 CN 2 MD 2 BD 2 ND 2 CD 2
� MN 2 BC2 BM 2 CN 2
� MN 2 BM 2 CN 2 BC2
Thay MB = 3cm, BC = 2cm CN = 4cm vào đẳng thức trên, ta được MN 21 cm
b) Trên tia BN lấy điểm E, sao cho BE = MD
AMD ABE (c.g.c)
Suy ra AD = AE � ADE cân tại A (1)
�
� � DAE
� MAB
� 90O
AMD ABE � MAD
BAE
� ADE vuông tại A (2)
� 45o � ADE
� 1 MDN
�
ADE
2
Từ (1) và (2)
�
Suy ra: DA là phân giác MDN
10.4
o
�
Ta kéo dài AD và BC sao cho chúng cắt nhau tại E. Suy ra E 30
� 30o
CDE vuông tại D có E
nên CE = 2.CD = 12 cm. (theo ví dụ 8, chuyên đề
9)
� BE 4 12 16cm
o
�
Đặt AB = x, ABE vuông tại B có E 30 nên AE = 2.AB = 2x. (theo ví dụ 8,
chuyên đề 9)
Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:
BE 2 AB2 AE 2
BE 2 162 256
2
2
2
2
Ta có: AB x ;A E 4x
256 x 2 4x 2 � 256 3x 2
� x2
Nên
10.5
256
16 16 3
�x
cm
3
3
3
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 2
Phát triển tư duy Hình học 7
ABC vuông suy ra:
AB2 AC 2 BC 2
ABD vuông suy ra:
AB2 AD 2 BD 2
AD 2 AC 2 BD2 BC 2
2
2
2
2
Do đó: � m n 5 3 16
10.6
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông
ABC, AHB, AHC, ta có:
BC 2 AB2 AC 2
� BC 2 AH 2 BH 2 AH 2 HC 2
� BC 2 BH 2 CH 2 2.AH 2
(Điều phải chứng minh)
10.7
a) AHB và AHC có AB = AC;
A
� AHC(
�
�C
�
AHB
90o );B
� AHB AHC (cạnh huyền – góc nhọn)
� CAH
�
� BH CH;BAH
.
�
�
AMH
CAH
90o ;
AMH và ANH có
N
M
C
B
�
�
MAH
NAH
, AH chung
� AMH ANH (cạnh huyền góc nhọn)
H
� AM AN � AMN cân.
b) ABC cân tại A
AMN cân tại A
�
� ABC
�
� AMN
�
180o A
2
�
180o A
2
�
�
Suy ra ABC AMN mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN//BC.
c) Áp dụng định lý Py-ta-go trong các tam giác vuông, ta có:
AH 2 BM 2 AN 2 HN 2 HM 2 AN 2 BH 2 (vì HM = HN)
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 3
Phát triển tư duy Hình học 7
10.8
C
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
BM 2 AB2 AM 2
BM 2 BC 2 AC 2 AM 2
BM 2 BC 2 AC 2
AC
4
M
2
3
hay BM 2 BC2 AC2
4
B
A
10.9
A
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
AB2 BH 2 AH 2 (1)
BC2 BH 2 CH 2 (2)
H
AC2 BH 2 AH 2 (3)
Cộng từng vế (1) (2) (3) ta có:
AB2 AC 2 BC2 3.BH 2 2.AH 2 CH 2
A
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
AF2 AM 2 MF2
BD BM MD
2
2
C
B
10.10
E
F
2
CE 2 CM 2 ME 2
Suy ra:
C
B
D
AF2 BD 2 CE 2 AM 2 BM 2
CM 2 MF2 MD 2 ME 2
AM 2 ME 2 BM 2 MF2 CM 2 MD 2 AE 2 BF2 CD 2
10.11
A
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
E
AH 2 AE 2 HE 2 ;BC 2 BE 2 CE 2 .
� AH 2 BC 2 AE 2 BE 2 HE 2
H
CE 2 AB2 CH 2
10.12
B
D
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
C
Page. 4
Phát triển tư duy Hình học 7
a) Từ kẻ tia My vuông góc với BC và cắt tia Bx tại A’
Tam giác BMA vuông cân tại M nên MB, MA = 1:
2
Suy ra A �A’ nên AM vuông góc với BC.
Ta có: AMB AMC (c.g.c) nên AB = AC
o
�
và ACB 45
Tam giác ABC vuông cân tại A và có
� CAI
� 90o CAH
�
BAH
H, I là hình chiếu của B và C trên AD
o
� $
nên H I 90
Suy ra: AIC BHA (ch.gn)
� CI AH
2
2
2
2
2
Ta có: BH CI BH AH AB (Không đổi)
�
�
b) BHM AIM (c.g.c) � HM MI và BHM IMA
o
o
�
�
�
�
Mà IMA BMI 90 � BMH BMI 90
o
o
� 45o
�
�
�
� HMI vuông cân ⇒ HIM
mà HIC 90 � HIM MIC 45
�
⇒IM là tia phân giác của góc HIC
�
Vậy tia phân giác của HIC luôn đi qua điểm cố định M
10.13
Vì AD = HE (gt) nên AH = DE
Áp dụng định lý Py-ta-go trong các tam giác
ABF; ABH; ADF; BHE; DEF ta được:
D
BF AB AF
2
2
A
2
vuông
F
(BH 2 AH 2 ) (A D 2 DF2 )
BH 2 DE 2 HE 2 DF2
(BH 2 HE 2 ) (DE 2 DF2 )
B
H
� BF2 BE 2 EF2
Suy ra, tam giác BEF vuông tại E (định lý Py-ta-go
E
C
đảo) ⇒ BE EF.
10.14
Dựng ra phía ngoài tam giác ABC tam giác đều ACE
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 5
Phát triển tư duy Hình học 7
� BAC
� CAE
� 90o
� BAE
và AC = AE = CE
o
�
ABE có BA E 90
2
2
2
Theo định lý Py-ta-go ta có: AB AE BE
� AB 2 AC 2 BE 2 (1)
CAD và CEB có CA CE;
0
�
�
(
60
�
ACB) CA CE.
CAD
ECB
và
ECB
� CAD CEB (c.g.c)
� BE AD(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
AB 2 AC 2 AD 2 .
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 6
