CD11 các TRƯỜNG hợp BẰNG NHAU của TAM GIÁC VUÔNG 70 79
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (136.67 KB, 3 trang )
Phát triển tư duy Hình học 7
Chuyên đề 11. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC
VUÔNG
A. Kiến thức cần nhớ
Ngoài các trường hợp bằng nhau đã biết của hai tam giác vuông, còn có
trường hợp bằng nhau theo cạnh huyền – cạnh góc vuông.
Nếu một cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng
cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác
đó bằng nhau.
�=A
� ' = 900�
A
�
�
BC = B'C' �
�� D ABC = D A 'B'C'( c.h- c.g.v)
�
AC = A 'C' �
�
�
B. Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng
vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng vuông góc với
AC tại C ở D. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của
góc BAC.
Giải
* Tìm cách giải: Để chứng minh AD là tia phân giác
�
�
của góc BAC, chúng ta cần chứng minh BAD CAD .
Do đó hiển nhiên cần chứng minh BAD CAD
* Trình bày lời giải:
�
�
Xét BAD và CAD có: ABD ACD (=900); AD là cạnh
chung;
AB = AC ( ABC cân tại A)
Do đó BAD CAD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
�
�
=> BAD CAD (cặp góc tương ứng)
Vậy AD là tia phân giác góc BAC
* Nhận xét: Chúng ta còn có DA là tia phân giác của góc BDC, tam giác DBC cân
tại D.
AD vuông góc với BC
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc với BC. Trên cạnh BC
lấy điểm E sao cho BE = BA. Kẻ EK AC (K � AC). Chứng minh AK = AH.
Giải:
� BEA
�
* Trình bày lời giải: ABE cân tại B nên BAE
EK //AB ( vì cùng vuông góc với AC)
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 1
Phát triển tư duy Hình học 7
� AEK
�
�
�
� EAB
(so le trong) � AEH AEK
� AEH AEK (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra AK = AH
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC (AB
với đường thẳng AB và đường thẳng AC
a) Chứng minh: PB = PC và BH = CK
b) Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng
c) Gọi O là giao điểm của PA và HK. Chứng minh: OA2 + OP2 + OH2 + OK2 = PA2
Giải
�
�
a) PMB và PMC có PMB PMC (=900), MB = MC, MP là cạnh chung
� PMB PMC (c.g.c) � PB = PC (hai cạnh tương ứng)
� PKA
�
� PAK
�
PHA và PKA có PHA
(=900), PAH
, AP là cạnh chung.
� PHA PKA (cạnh huyền – góc nhọn)
� PH = PK (hai cạnh tương ứng)
� =�
PKC =900, PB = PC, PH = PK
PHB và PKC có PHB
� ΔPHB = ΔPKC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
� BH = CK (hai cạnh tương ứng)
� =�
AKH (hai góc đồng vị) (1)
Kẻ BE //AC (E � HK) � BEH
Mà ΔPHA = ΔPKA (chứng minh trên) � AH = AK (hai cạnh tương ứng)
�
�
� ΔAHK cân tại A � AHK=AKH
(tính chất tam giác cân) (2)
�
�
�
�
Từ (1) và (2) � BEH=AHK
hay BEH=BHE
� BEH cân tại B � BH = BE
b) Mà BH = CK (chứng minh trên) � BE = CK
� KCM
�
ΔBEM và ΔCKM có MB = MC, EBM
, BE = CK
� ΔBEM=ΔCKM (c.g.c)
�
�
� BME=CMK
(hai góc tương ứng)
0
�
�
Mà BME EMC 180 (hai góc kề bù)
� EMC
� 1800 � EMK
� 1800 �
� CMK
E, M, K thẳng hàng
Mà E � HK � H, M, K thẳng hàng.
�
�
c) AOH và AOK có AH = AK, OAH=OAK , AO là cạnh chung
0
�
�
�
�
� AOH AOK , suy ra AOH=AOK
, mà hai góc này kề bù nên AOH=AOK 90
� PA HK tại O
Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông tại O là OAH, OAK, OPH, OPK ta
có :
OA2 + OH2 = AH2 ; OA2 + OK2 = AK2
OP2 + OH2 = PH2 ; OP2 + OK2 = PK2
� 2(OA2 + OP2 + OH2 + OK2) = 2(AH2 + PH2) ( vì AH = AK và PH = PK)
� OA2 + OP2 + OH2 + OK2 = AH2 + PH2
Mà tam giác PAH vuông tại H � AH2 + PH2 = PA2 (định lý Pi ta go)
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 2
Phát triển tư duy Hình học 7
� OA2 + OP2 + OH2 + OK2 = PA2
C. Bài tập vận dụng
11.1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy D, E (D nằm giữa B và E sao
cho BD = CE. Vẽ DM AB tại M, EN AC tại N. Gọi K là giao điểm của MD và
NE. Chứng minh rằng:
a) ΔMBD = ΔNCE
b) ΔMAK = ΔNAK
11.2. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối
của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH AD tại H, kẻ CK AE tại K.
Chứng minh rằng:
a) ΔBHD = ΔCKE
b) ΔAHB = ΔAKC
c) BC // HK
11.3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, AM là tia phân giác góc A.
Kẻ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC. Chứng minh rằng:
a) MH = MK
b) Tam giác ABC cân
0
�
11.4. Cho tam giác ABC vuông tại A có C 30 , đường cao AH. Trên đoạn HC lấy
điểm D sao cho HD = HB. Từ C kẻ CE AD. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABD là tam giác đều
b) EH song song với AC
11.5.Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD =BA.
Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E. Chứng minh rằng AE = DE.
�
Đường phân giác góc ngoài tại C cắt đường thẳng BE tại K. Tính BAK
?
0
�
11.6. Cho tam giác ABC có AB = AC, BAC 90 và M là trung điểm của BC. Trên
tia đối của tia CB lấy điểm D. Kẻ BK vuông góc với đưởng thẳng AD tại K. Chứng
�
minh rằng KM là tia phân giác của BKD
.
11.7. Cho tam giác DEF vuông tại D và DF > DE. Kẻ DH vuông góc với EF (H
�
�-F
$
=E
thuộc cạnh EF) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng MDH
11.8. Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC. Gọi M, N là trung điểm của AB, AC.
Kẻ NH CM tại H, kẻ HE AB tại E. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABH cân
b) HM là tia phân giác góc BHE
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 3
