Chuyên đề hình học 9
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (312.92 KB, 52 trang )
Bui 3: HèNH HC
A. KIN THC CN NH.
I. H THC LNG TRONG TAM GIC VUễNG
---***--A
1. Hệ thức lợng
trong tam giác vuông
a) Mộtcsố hệ thứcbvề cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
h
B
Choc'tam giác
vuông tại A, đờng cao AH ta có
b' ABC
C
H
a b
b2 = a.
c2 = a. c
b2 + c 2 = a 2
h2 = b. c
a. h = b. c
1 1 1
h2 b2 c2
b) Tỉ số lợng giác của góc nhọn
- Các tỉ số lợng giác của góc nhọn đợc định nghĩa nh sau:
cạnh đối
c
nh
i
c
nh k
n cos = c
nh huy
n
sin = cnh huy
cạnh kề
c
nh
i
c
nh k
tg = cnh k
cotg = cnh i
- Với hai góc và phụ nhau ta có
sin = cos
cos = sin
tg = cotg
cotg = tg
- Một số góc đặc biệt
sin300 cos600
cos300 sin600
3
2
1
2
sin450 cos450
tg450 cotg450 1
2
2
tg300 cotg600
3
3
cotg300 tg600 3
c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh
huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề. Mỗi cạnh
góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối hoặc
nhân với côtang góc kề
d) Một số công thức tính diện tích tam giác
a.h
S= 2
(h là đờng cao ứng với cạnh a)
S
=
a.b.sinC b.c.sinA c.a.sinB
2
2
2
S = p.r (p là nửa chu vi, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam
giác)
a.b.c
S = 4R (R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác)
S=
p p a p b p c
(p là nửa chu vi của tam giác)
II. GểC V NG TRềN
Đờng tròn:
1,Định nghĩa:
Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R >
0 không đổi gọi là đờng tròn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ;
R)
2, Vị trí tơng đối:
* Của một điểm với một đờng tròn :
xét (0 ; R ) và điểm M bất kì
Vị trí tơng đối
Hệ thức
M nằm ngoài ( O ; R )
OM> R
M nằm trên( O ; R ) hay M thuộc( O ; R)
M nằm trong ( O ; R )
OM = R
OM< R
* V trớ ca một đờng thẳng với một đờng tròn :
xét ( O; R) và đờng thẳng a bất kì (với d là khoảng cách từ tâm
O đến đờng thẳng a)
vị trí tơng đối
Số điểm chung
Hệ thức
a cắt ( O ; R )
2
d
1
d=R
0
d>R
a tiếp xúc ( O ; R )
a và ( O ; R ) không giao
nhau
* Của hai đờng tròn :
xét ( O;R) và (O; R) ( với d = O O )
vị trí tơng đối
Số điểm chung
Hệ thức
Hai đờng tròn cắt nhau
2
R r < d < R- r
Hai đờng tròn tiếp xúc
nhau :
1
+ tiếp xúc ngoài :
d=R+r
+ tiếp xúc trong :
Haiđờng tròn không giao
nhau :
d=Rr
0
+hai đờng tròn ở ngoài
nhau :
+đờng tròn lớn đựng đờng tròn nhỏ :
d>R+r
d < R -r
3 .Tiếp tuyến của đờng tròn :
a. Định nghĩa :
đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó
chỉ có một điểm chung với đờng đó .
b, Tính chất :
+ Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một
đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm .
+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau
tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia
kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác của góc
tạo bởi hai tiếp tuyến .
c, Cách chứng minh :
Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung
với đờng tròn đó .
Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính
của đờng tròn đó tại một điểm và điểm đó thuộc đờng tròn .
4 .Quan hệ giữa đờng kính và dây cung :
* Định lí 1 : Trong một đờng tròn đờng kính đi qua điểm
chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung đó
và ngợc lại.
* Định lí 2 : Trong một đờng tròn, đờng kính đi qua trung điểm
của một dây cung (không phải là đờng kính) thì chia hai cung
căng dây ấy thành hai cung bằng nhau và ngợc lại
5 .Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :
* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và
chỉ khi chúng cách đều tâm .
* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng
tròn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn .
Góc trong đờng tròn:
1, Các loại góc trong đờng tròn:
- Góc ở tâm
- Góc nội tiếp
- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
* Định lý: Trong một đờng tròn:
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắc các cung bằng nhau.
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90 0 có số đo bằng nửa số đo
của góc ở tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại, góc
vuông nội tiếp thì chắn nửa đờng tròn.
- Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến cùng chắn một cung
thì bằng nhau.
2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau.
* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b, Dây lớn hơn trơng cung lớn hơn.
3, Tứ giác nội tiếp:
a, Định nghĩa:
Tứ giác nội tiếp một đờng tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên
một đờng tròn .Đơng tròn đó đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp tứ
giác.
b, Cách chứng minh :
* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đờng
tròn
* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 0
* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối
diện dới cùng một góc.
* Cách 4: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể
xác định đợc). Điểm đó là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.
III. CC DNG TON
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau.
Cách chứng minh: - Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba
- Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng
nhau khác
- Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc
theo thứ tự đôi một bằng nhau
- Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ
ba
- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh
đôi một song song hoặc vuông góc
- Hai góc so le trong, so le ngoài hoặc đồng
vị
- Hai góc ở vị trí đối đỉnh
- Hai góc của cùng mộ tam giác cân hoặc
đều
- Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng
nhau hoặc đồng dạng
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc
chắn hai cung bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng
đoạn thứ ba
- Hai cạnh của một tam giác cân hoặc tam
giác đều
- Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng
nhau
- Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ
nhật, hình thoi, hình vuông)
- Hai cạnh bên của hình thang cân
- Hai dây trơng ứng hai cung bằng nhau
trong một đờng tròn hoặc hai đờng bằng
nhau. Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song
Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng song
song với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuông
góc với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến
hai góc bằng nhau: ở vị trí so le trong; ở vị
trí so le ngoài; ở vị trí đồng vị.
- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng
nhau trong một đờng tròn
- Chúng là hai cạnh đối của một hình bình
hành, chữ nhật, hình vuông, ...
Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc
Cách chứng minh:
thẳng vuông góc khác.
- Chúng cùng song
song với hai đờng
- Chứng minh chúng là chân đờng cao trong
một tam giác.
- Đờng kính đi qua trung điểm của dây và
dây không đi qua tâm.
- Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau.
- Tính chất 2 đờng chéo hình thoi, hình
vuông
Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồng
quy.
Cách chứng minh:
bằng 1800
- Dựa vào tổng hai góc kề bù có tổng
- Dựa vào hai góc đối đỉnh
- Dựa vào hai đờng thẳng đi qua một điểm
cùng song song với đờng thẳng khác
- Dựa vào hai góc bằng nhau có 1 cạnh trùng
nhau
- Chứng minh chúng là ba đờng cao, ba trung
tuyến, ba trung trực, ba phân giác trong (hoặc
một phân giác trong và phân giác ngoài của hai
góc kia)
- Vận dụng định lí đảo của định lí Talet.
Dạng 6: Chứng minh hai tam giác bằng nhau
* Hai tam giác thờng:
- Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g)
- Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c)
- Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)
* Hai tam giác vuông:
bằng nhau
- Có một cạnh và một góc nhọn
- Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc
vuông bằng nhau
- Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau
Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng
* Hai tam giác thờng:
- Có hai góc bằng nhau đôi một (g-
g)
- Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-g-c)
- Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-c-c)
* Hai tam giác vuông:
- Có một góc nhọn bằng nhau
- Có hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ
- Có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tơng
ứng tỷ lệ
Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Cách chứng minh:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc
trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn
cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc .
- Dựa vào phơng tích của đờng tròn
B. BÀI TẬP LUYỆN
Bài 1:
Cho ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác tại hai điểm M và N.
1. Chứng minh:BEDC nội tiếp.
�
�
2. Chứng minh: DEA ACB .
3. Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp
tam giác.
4. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: OA là phân
�
giác của góc MAN
.
y
A
x
2
5. Chứng tỏ: AM =AE. AB.
N
D
E
M
O
Gợi ý:
B
C
Hình 1
1.C/m BEDC nội tiếp:
� BDE
�
C/m: BEC
= 1v. Hai điểm D và E
cùng nhìn đoạn thẳng BC một góc vuông.
� ACB
�
2.C/m: DEA
.
� DCB
�
� AED
�
� ACB
�
Do BECD nội tiếp DMB
= 2v.Mà DEB
= 2v AED
3. Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thẳng xy (Hình 1)
Ta phải c/m xy//DE.
� 1 s�AB
�
xAB
2
Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ
.
� 1 s�AB
�
s�ACB
� ACB
�
� AED
�
2
Mà
. xAB
mà ACB
(cmt)
�
�
AED
xAB
hay xy // DE.
�
4. C/m OA là phân giác của MAN
.
Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN. OA là đường trung trực của
MN. (Đường kính vuông góc với một dây) AMN cân ở A AO là phân
�
giác của MAN
.
5. C/m :AM2=AE. AB.
� AN
�
� AMN
�
Do AMN cân ở AAM=AN AM
. MBA
(Góc nội tiếp
�
chắn hai cung bằng nhau); MAB
chung
MAE : BAM MA2 = AE. AB.
Buổi 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
A. MỤC TIÊU: Học sinh nắm được
- Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: và Cách giải
- Một số dạng toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
B. NỘI DUNG:
I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản
1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau:
Giải hệ phương trình bằng phương Giải hệ phương trình bằng phương pháp
pháp thế
cộng đại số
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
duy nhất (x;y) = (2;1)
2.- Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình
1)
2)
5)
6)
3)
4)
7)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
duy nhất (x;y) = (2;1)
1)
3)
2)
4)
5)
6)
Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ
Bài tập:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải:
Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để
được phương trình bậc nhất đối với x
Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)
Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b
- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
- Nếu b0 thì hệ vô nghiệm
ii) Nếu a 0 thì (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương
trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:
Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)
i) Nếu m2 – 4 0 hay m2 thì x =
Khi đó y = - . Hệ có nghiệm duy nhất: (;-)
ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4
Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm
Vậy: - Nếu m2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (;-)
- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm
Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM
THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Phương pháp giải:
Giải hệ phương trình theo tham số
Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên
Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
HD Giải:
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m
Vậy với m hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) =
Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài Tập:
Bài 1:
Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
Bài 2:
a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
HD:
Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n
b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là
x = 1 và x = -2
HD:
thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3
chia hết cho 4x – 1 và x + 3
HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết
cho ax + b thì f(-) = 0
Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11
d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng
f(2) = 6 , f(-1) = 0
HD:
Bài 3:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
HD:
Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm
a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2)
b) P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 4:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
DH giải:
- Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là
nghiệm của hệ phương trình: . Vậy M(0,2 ; 1,25)
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức
là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85
Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy
Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ;
x - y = 2m ;
mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ;
(2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho
trước
Cho hệ phương trình:
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
2x + y + = 3
HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2
- Giải hệ phương trình theo m
- Thay x = ; y = vào hệ thức đã cho ta được:
2. + + = 3
=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12
3m2 – 26m + 23 = 0
m1 = 1 ; m2 = (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)
Vậy m = 1 ; m =
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1:
Cho hệ phương trình (m là tham số)
a) Giải hệ phương trình khi m =
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho
x> 0, y > 0
d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
Bài 2:
Cho hệ phương trình :
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một
điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x 2 + y2 đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài 3:
Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng
3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy
Bài 4:
Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
Bài 5:
Cho hệ phương trình:
a)
b)
c)
d)
Giải hệ phương trình khi m = 3
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
x - 3y = - 3
Bài 6:
Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi .
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn
hệ thức .
Bài 7:
Cho hệ phương trình
a)
b)
c)
d)
Giải hệ phương trình khi m = 5
Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)
Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm
nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7
Buổi 5: NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ :
ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN
Cho phương trình bậc hai:
Có hai nghiệm
Suy ra:
x1 x2
ax2 + bx + c = 0 (a0)
x1
b
2a
;
b b 2b b
2a
2a
a
( b )( b ) b 2 4ac c
x1 x2
2
4a 2
4a 2
4a
a
Vậy đặt :
- Tổng nghiệm là S :
- Tích nghiệm là P :
S=
P=
x1 x2
x1 x2
c
a
b
a
(*)
x2
b
2a
Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ
với các hệ số a, b, c. Đây chính là nội dung của Định lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu
một số ứng dụng của định lí này trong giải toán.
I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) a.12 + b.1 + c = 0 a + b + c = 0
c
x2
x
1
a
Như vây phương trình có một nghiệm 1
và nghiệm còn lại là
b) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) a.( 1)2 + b( 1) + c = 0 a b + c = 0
Như vậy phương trình có một nghiệm là x1 1 và nghiệm còn lại là
x2
c
a
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
2
1) 2 x 5x 3 0
(1)
2
2) 3 x 8 x 11 0
(2)
Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a b + c = 0 nên có nghiệm x1 1 và
x2
3
2
11
x2
x
1
3
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm 1
và
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
2
1. 35 x 37 x 2 0
2
2. 7 x 500 x 507 0
2
3. x 49 x 50 0
2
4. 4321x 21x 4300 0
2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm
còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :
2
Vídụ: a) Phương trình x 2 px 5 0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ
hai.
2
b) Phương trình x 5 x q 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ
hai.
2
c) Cho phương trình : x 7 x q 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và
hai nghiệm của phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x qx 50 0 , biết phương trình
có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
2
Bài giải:
a) Thay x1 2 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :
44p5 0� p
T ừ x1 x2 5 suy ra
1
4
x2
5 5
x1 2
b) Thay x1 5 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
25 25 q 0 � q 50
T ừ x1 x2 50 suy ra
x2
50 50
10
x1
5
c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 x2 11 và theo VI-ÉT
ta có x1 x2 7 , ta giải hệ sau:
Suy ra q x1 x2 18
�x1 x2 11 �x1 9
��
�
x
x
7
�1 2
�x2 2
d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 2 x2 và theo VI-ÉT ta
có x1 x2 50 . Suy ra
x 5
�
2 x22 50 � x22 52 � �2
x2 5
�
Với x2 5 th ì x1 10
Với x2 5 th ì x1 10
II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1; x2
Ví dụ : Cho x1 3 ; x2 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
dạng:
�S x1 x2 5
�
�P x1 x2 6
vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có
x 2 Sx P 0 � x 2 5 x 6 0
Bài tập áp dụng:
1.
x1 = 8
vµ
x2 = -3
2.
x1 = 3a
vµ
x2 = a
3.
x1 = 36
vµ
x2 = -104
4.
x1 = 1 2
vµ
x2 = 1 2
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai
nghiệm của một phương trình cho trước:
2
V í dụ: Cho phương trình : x 3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn :
y2 x1
y1 x2
1
x1 và
1
x2
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
S y1 y2 x2
P y1 y2 ( x2
�1 1 �
1
1
x x
3 9
x1 ( x1 x2 ) � � ( x1 x2 ) 1 2 3
x1
x2
x1 x2
2 2
�x1 x2 �
1
1
1
1 9
)( x1 ) x1 x2 1 1
2 11
x1
x2
x1 x2
2 2
y 2 Sy P 0
Vậy phương trình cần lập có dạng:
hay
y2
9
9
y 0 � 2 y2 9 y 9 0
2
2
Bài tập áp dụng:
2
1/ Cho phương trình 3x 5 x 6 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải
phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm
y2 x2
y1 x1
1
x2
và
1
x1
(Đáp số:
y2
5
1
y 0
2
6
2
hay 6 y 5 y 3 0 )
2
2/ Cho phương trình : x 5 x 1 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc 2
4
4
có ẩn y thoả mãn y1 x1 và y2 x2 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm
của phương trình đã cho).
2
(Đáp số : y 727 y 1 0 )
2
2
3/ Cho phương trình bậc hai: x 2 x m 0 có các nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương
trình bậc hai có các nghiệm y1 ; y2 sao cho :
a) y1 x1 3 và y2 x2 3
b)
y1 2 x1 1
và
y2 2 x2 1
(Đáp số
2
2
a) y 4 y 3 m 0
2
2
b) y 2 y (4m 3) 0
)
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình :
x 2 Sx P 0
(điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4
2
Vì a + b = 3 và ab = 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x 3x 4 0
giải phương trình trên ta được x 1 và x2 4
1
Vậy nếu a = 1 thì b = 4
nếu a = 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3
và
P=2
2. S = 3
và
P=6
3. S = 9
và
P = 20
4. S = 2x
và
P = x2 y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
2. a b = 5 và ab = 36
3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức
VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b.
a b 9 � a b 81 � a 2ab b 81 � ab
2
Từ
2
2
81 a 2 b 2
2
20
x 4
�
x 2 9 x 20 0 � �1
x2 5
�
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng :
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36
x 4
�
x 2 5 x 36 0 � �1
x2 9
�
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình :
Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9
nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4
Cách 2: Từ a b a b 4ab � a b a b 4ab 169
2
2
2
2
a b 13
�
2
� a b 132 � �
a b 13
�
*) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x 4
�
x 2 13x 36 0 � �1
x2 9
�
Vậy a = 4 thì b = 9
