CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
TOÁN 10 PHẦN 1. PT-HPT
Câu 1:

[0D1.1-4] (10-Lê Hữu Trác-10T3-2017)
Giải hệ phương trình:

8 xy
 2
2
x

y

 16

x y

 x  y  x2  y

Câu 2:

[0D1.1-4] (10-Nơ Trang Lơng-10T3-2017) Giải phương trình: x2  2 2 x  1  6 x  2 .

Câu 3:

[0D1.1-4] (10-Nguyễn Tất Thành Đăk Nông-10T3-2018) Giải phương trình sau:

4 x  2  22  3x  x 2  8 (1)
Câu 4:

[0D1.1-4] (10-Phan Bội Châu-10T3-2017)
Giải phương trình: 10. 1  8x3  6  2x2  1

Câu 5:

[0D1.1-4]

(10-NGUYỄN

BỈNH

KHIÊM-10T3-2017)

Giải

phương

trình:

2 3 3x  2  3 6  5x  8  0
Câu 6:

[0D1.1-4] (10- BUÔN ĐÔN-10T3-2019) Giải phương trình:  x  1 x 2  2 x  3  x 2  1 .

Câu 7:

[0D1.1-4] (10-BUÔN HỒ-10T3-2017) Giải bất phương trình sau:

 x  2 
Câu 8:

Câu 9:



2 x  3  2 x  1  2 x 2  5x  3  1

2

 x  x  1. 3 x  y  y
[0D1.1-4] (10-CAO NGUYÊN-10T3-2017) Giải hệ phương trình: 
2
2

2( x  y )  11  3 2 x  1

[0D1.1-4] (10-Lê Hữu Trác-10T3-2019)
Giải hệ phương trình:

8 xy
 2
2
x

y

 16

x y

 x  y  x2  y


Câu 10:

[0D1.1-4]

Gia

(10-Ngô

Tự-10T3-2018)

Giải

hệ

phương

trình:

2

 x  2y  3  2y  3  0
(x, y  ).
 3
3

4 y  2(1  x )  3( x  1)(2 x  y xy)  0

Câu 11:


[0D1.1-4]

(10-Nguyễn

Trãi-10T3-2019)

Giải

phương

trình:

2 x2  x  3  21x  17  x2  x  0
Câu 12:

[0D1.1-4] (10-Phan Bội Châu -10T3-2019)



2
a) Giải bất phương trình: 2 x  5  x  x  25



x2  5x  6  0

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

1|Page



CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
 x 2  x3 y  xy 2  xy  y  1

b) Giải hệ phương trình: 
.
4
2
x

y

xy
(2
x

1)

1


Câu 13:

[0D1.1-4] (10-Phú Xuân-10T3-2018)
Giải phương trình: x x  1 






x  1 . 2 x 2  3x  2

Câu 14:

[0D1.1-4] (TRẦN ĐẠI NGHĨA- 10T3-2018) Giải phương trình: x2  2 2 x  1  6 x  2 .

Câu 15:

[0D1.1-4] (10-BUÔN HỒ-10T3-2019) Giải phương trình: 4 x 2  3x   x  2  2 x 2  2 x  1

Câu 16:

[0D1.1-4] (10-CHU VĂN AN-10T3-2017) Giải phương trình: x2  4 x  1  x  5.

Câu 17:

[0D1.1-4] (10-ĐÔNG DU-10T3-2017) Giải hệ phương trình

 2 x  1 4 x  5   2 y  1 4 y  5  2

5  x  y   4 xy  6.
Câu 18:

[0D1.1-4]

 2 x  1 2 y  1 1
 2

ĐỨC-10T3-2017)


(10-HỒNG

a)

Giải

phương

trình

sau:

3
4x3 - 7x + 4x3 - 3x +1 = 3 4x - 2 - 3

 x 2 + y2 + z 2 = xy + yz + xz
b) Giải hệ phương trình sau: 
 x 2016 + y2016 + z2016 = 32017
Câu 19:

[0D1.1-4]

ĐỨC-10T3-2018)

(10-HỒNG

Giải

phương


trình

sau

trên

R:

4 x  12 x. x  1  27.( x  1) .
2

a) Giải bất phương trình:
Câu 20:

9
 x2 .
x5 3

[0D1.1-4] (TRẦN QUANG KHẢI-10T3-2017) Giải hệ phương trình sau


 x  2  x   y  2  y   2 xy

2
2
2

 3x  y   7 x  y  10 xy  10
Câu 21:


[0D1.1-4] (10- VIỆT ĐỨC-10T3-2019) Giải phương trình và hệ phương trình sau:




x3
2
a) 2 x  4 x 
b) 
2



1

 2

1

 2

1

x
1
y

y

x


2
2

Câu 22:

 x 2  1  y  y  x   4 y
[0D1.1-4] (10-Phú Xuân-10T3-2018) Giải hệ phương trình:  2
 x  1  y  x  2   y

Câu 23:

[0D1.1-4] (10-Nguyễn Bỉnh Khiêm-10T3-2019)

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

2|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
2
2

 x  y  xy  7
Giải hệ phương trình sau:  4
.
4
2 2

 x  y  x y  21


Câu 24:

[0D1.1-4] (10-Lê Quý Đôn-10T3-2017)
Giải phương trình: x3  3x2  8x  40  8 4 4 x  4

Câu 25:

[0D1.1-4] (10-Nguyễn Bỉnh Khiêm-10T3-2018)
Giải phương trình sau: 2 x2  7 x  3  3 x3  1  0 .

Câu 26:

[0D1.1-4] (10-Phan Bội Châu Đăk Nông-10T3-2018)

2 y 2  xy  x 2  0

Giải hệ phương trình sau:  2
2

 x  xy  y  3x  7 y  3  0
Câu 27:

[0D1.1-4] (10-Phú Xuân-10T3-2019)
a) Giải phương trình:

( x  1)4

x


2

 3

  x 2  3 
4

2

1
 3x 2  2 x  5
( x  1)2

 2 y
3x
5




b) Giải hệ phương trình:  3 3x
2x  y 2
 3
3
2
 x  y  2 xy  21  0

Câu 28:

[0D1.1-4] (TRẦN HƯNG ĐẠO ĐĂK NÔNG-2018) Giải phương trình sau trên tập số thực


 6 x  3

7  3x  15  6 x  3x  2  2 9 x 2  27 x  14  11

Câu 29:

[0D1.1-4]
(10-BUÔN
MA
4 xy

 2x2  y
x  3 2
x  2x  9

(1)

4
xy
2
y 
 2y  x
3

y2  2y  9

Câu 30:

[0D1.1-4] (10-CHU VĂN AN-10T3-2018) Giải phương trình: 2( x 2  3x  2)  3 x3  8


Câu 31:

[0D1.1-4] (10-ĐÔNG DU-10T3-2018)
a) Giải phương trình

THUỘT-10T3-2017)

Giải

hệ

phương

trình

x  2  4  x  2 x  5  2 x2  5x .

 y 2  8 x  9  3 xy  12  6 x  1

b) Giải hệ phương trình 
2
 2  x  y   10 x  6 y  12  y  x  2
Câu 32:

[0D1.1-4]

(10-HÙNG

VƯƠNG-10T3-2017)


Giải

phương

trình:

x  2 7  x  2 x  1   x 2  8x  7  1 .
Câu 33:

[0D1.1-4] (10-HÙNG VƯƠNG-10T3-2018)
Giải phương trình: 4 1  x  1  3x  2 1  x  1  x 2 .

Câu 34:

[0D1.1-4] (TRẦN QUỐC TOẢN-10T3-2017)

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

3|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
 x  3y  2  xy  y 2  x  y  0

Giải hệ phương trình 
(x, y  R).
2

3

8

x

4
y

1

x

14y

12


Câu 35:

[0D1.1-4] (10-Y JUT-10T3-2018)
a) Cho đường thẳng  d m  : y  mx  m  2 và điểm A  6;1 . Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm
A tới đường thẳng  d m  khi m thay đổi.

b) Cho phương trình 2 x2   m  1 x  m  3  0 (*) với m là tham số. Tìm các giá trị của m để
phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn:  x12  x22  đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 36:

[0D1.1-4]

(10-CƯMGA-10T3-2019)



 x  x y  xy  xy  y  1
 x, y 
 4
2

 x  y  xy  2 x  1  1
2

Câu 37:

3

2

Giải

hệ

phương

trình:



[0D1.1-4] (10-CƯMGAR-10T3-2017) (4 điểm):
Giải phương trình sau: 2 x 2  4  5 x3  1

Câu 38:


[0D1.1-4] (10-ĐÔNG DU-10T3-2019)
a) Giải phương trình sau trên tập số thực: 4 x  1  2 2 x  3  ( x  1)( x  2).
2

 x 2  2   y 2  y  1 x 2  2  y 3  y  0

b) Giải hệ phương trình 
2 x  xy  2   x  2  y 2  4 x  4  0
Câu 39:

[0D1.1-4]

(10-HAI

BÀ


1 

 3 x 1 
2

 x y
,

1


 7y 1
 x y4 2




Câu 40:

TRƯNG-10T3-2019)

Giải

1
 2
hệ

phương

trình

sau:

x, y  R

[0D1.1-4] (VICTORY-10T3-2017)
Giải phương trình √𝒙 − √𝒙𝟐 − 𝟒 + √𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟑 (1)

Câu 41:

[0D1.1-4] (VICTORY-10T3-2019)
Giải bất phương trình: 4 x+6  3 x3  7 x 2  12 x  6  x 2  2

Câu 42:


[0D1.1-4] (10-Nguyễn Bỉnh Khiêm-10T3-2019) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của
phương trình:
2 x2  3 y 2  5xy  3x  2 y  3  0

Câu 43:

[0D5.1-4] (10-Y JUT-10T3-2018)
Tìm m để đồ thị  P  của hàm số y  x 2   2m  1 x  m2  1 cắt trục hoành tại hai điểm phân
biệt M , N sao cho: OM  2ON ( O là gốc tọa độ).

Câu 44:

[0D1.1-4]

(10-BUÔN

MA

THUỘT-10T3-2017)

Tìm

m

để

phương

trình:


x2  x  1  x2  x  1  2012m có nghiệm
FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

4|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
Câu 45:

[0D1.1-4] (10-Y JUT-10T3-2018) a) Giải phương trình sau: 2 x2  3x  6   3x  2  2 x  3

4
2
2

x  4x  y  6 y  9  0
b) Giải hệ phương trình sau:  2
2

 x y  x  2 y  22  0

Câu 46:

[0D1.1-4] (10-Nơ Trang Lơng-10T3-2018)
a) Giải phương trình: x3  x  x 2  21  3x  1
2
2

 xy  x  y  x  2 y

b) Giải hệ phương trình: 

 x 1  2 y  4

Câu 47:

[0D1.1-4] (10-Nguyễn Bỉnh Khiêm-10T3-2019)
x
35
Giải phương trình sau: x 

x 2  1 12

Câu 48:

[0D1.1-4] (10-Y JUT-10T3-2018)
Tìm tất cả các hàm f :



 x 1 
thỏa mãn điều kiện: f  x   f 
  1  x với mọi x  0;1
 x 

Câu 49:

[0D1.1-4] (10-Lê Quý Đôn-10T3-2018) Giải phương trình: 2  x 2  x  6   5 x3  8.

Câu 50:


[0D1.1-4] (10-Phan Chu Trinh Đăk Nông-10T3-2018)
2
3

x  2x  2  y  0
Giải hệ phương trình 
2 3

x y  2x  y  0

Câu 51:

[0D1.1-4]
4

Câu 52:

(10-Quang

Trung-10T3-2019)

phương

Giải

trình

sau:


phương

trình

x  x2 1  x  x2 1  2

[0D1.1-4] (TRẦN QUANG KHẢI-10T3-2019) Giải bất phương trình sau

x2  2 x  3  x2  1  x2  4 x  3
Câu 53:

[0D1.1-4]

(10-BUÔN

MA

THUỘT-10T3-2018)

Giải

23 3x  2  3 6  5x  8  0( x  R) (1)
Câu 54:

[0D1.1-4] (10-CHU VĂN AN-10T3-2019) Giải phương trình: 3x2  x  3  3 x4  x2  1 .

Câu 55:

[0D1.1-4] (10-DTNT TÂY NGUYÊN-10T3-2017)
a) Giải phương trình: x

b) Giải hệ phương trình:

Câu 56:

[0D1.1-4]

x

2. 7
xy
3. 6

(10-KRONG

y2

2. x
2y

y

x

3. 2x

x2

1
1
3y


y

8x
1

7

2x

ANA-10T3-2019)

7
x
7

1.

.

Giải

phương

trình

x  3  x. 4  x  4  x. 5  x  5  x. 3  x
Câu 57:

[0D1.1-4] (10-HÙNG VƯƠNG-10T3-2019) Giải hệ phương trình


FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

5|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
 2 x  1 4 x  5   2 y  1 4 y  5  2

5  x  y   4 xy  6.
Câu 58:

 2 x  1 2 y  1 1
 2

[0D1.1-4] (TRƯỜNG CHINH-10T3-2017)
Giải phương trình

3x  1  4 x2  13x  5
Câu 59:

[0D3.1-4] (10-Lê Quý Đôn-10T3-2018) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x, y sao cho
x2  2
là số nguyên.
xy  2

Câu 60:

[0D1.1-4] (10-Phạm Văn Đồng -10T3-2018)
2


 xy  y  2 y  x  1  y  1  x
a) Giải hệ phương trình: 

3. 6  y  3. 2 x  3 y  7  2 x  7

b) Giải phương trình:  3x  1 2 x 2  1  5 x 2 
Câu 61:

3x
3.
2

[0D1.1-4] (10-Nguyễn Đình Chiểu Đăk Nông-10T3-2018)
2
2

 x  y  xy  1  4 x
Giải hệ phương trình: 
2
2

 x( x  y )  2 y  7 x  2

Câu 62:

[0D1.1-4]

(10-CHU


VĂN

AN-10T3-2018

ĐĂKNÔNG)

Giải

hệ

phương

trình:

2

 x  1  y( x  y)  4 y
 2

( x  1)( x  y  2)  y

Câu 63:

[0D1.1-4] (TRƯỜNG CHINH-10T3-2018) Giải phương trình: x3  1  2 3 2x 1

Câu 64:

[0D1.1-4] (10-Lê Quý Đôn-10T3-2019) Giải phương trình: x3  3x2  8x  40  8 4 4 x  4

Câu 65:


[0D1.1-4] (10-Phan Đăng Lưu-10T3-2017)
Giải hệ phương trình:







 x  x2  1 y  y 2  1  1


 2 x 2  y  1  y 2  x  1  3x

Câu 66:

[0D1.1-4] (TRẦN QUỐC TOẢN-10T3-2018) Giải phương trình: 10. 1  x3  3  x2  2  .

Câu 67:

[0D1.1-4]

(10-BUÔN

MA

THUỘT-10T3-2019)

Giải


hệ

phương

trình

3
3
3
3

 x  x  y  y(1)

2

 x y  1  3  y  2 x  1(2)

Câu 68:

[0D1.1-4] (10-EAROK-10T3-2018)
a. Giải phương trình: x2  x  2  3  x  x

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

6|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
3

2

2 x  y  x  1  4 x
b. Giải hệ phương trình: 
4
6
2

5 x  4 x  y

Câu 69:

[0D1.1-4]
3

NÔ-10T3-2018)

(10-KRÔNG

Giải

phương

trình:

1945x  1975  3 72 x  13  3 30  x  3 2017 x  2018  0

Câu 70:

[0D1.1-4] (10-HUỲNH THÚC

( x  y )( x  y )  6

4

2
( x  y  1)  ( x  y )  3  0


KHÁNG-10T3-2017)

Câu 71:

[0D1.1-4] (10-Lê Hữu Trác-10T3-2018) Giải phương trình: (4 x  x  3)  x 

Giải

3

3

Câu 73:

3

[0D1.1-4] (10-Ngô Gia Tự-10T3-2018) Giải phương trình: (4 x  x  3)  x 
3

Câu 72:

phương


hệ

3

3

trình:

3
2

3
2

[0D1.1-4] (10-Nguyễn Thái Bình-10T3-2019)
Giải phương trình 4 x  1  2 2 x  3  ( x  1)( x  2).
2

Câu 74:

[0D1.1-4] (10-Phan Bội Châu-10T3-2018)
a) Giải phương trình sau:

3x  1  6  x  3x2  14 x  8  0.


 2x  y 1  x  y  1
b) Giải hệ phương trình: 


3x  2 y  4

Câu 75:

[0D1.1-4] (10-Phan Đình Phùng-10T3-2018)

 x2  y 2  2 y  6  2 2 y  3  0
Giải hệ phương trình 

2
2
2
2

( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  2
Câu 76:

[0D1.1-4]

(TÔN

ĐỨC

THẮNG

–

10T3-2019)

Giải


phương

trình

sau:

x3  15x2  78x 141  5 3 2 x  9
Câu 77:

[0D1.1-4] (10-BUÔN HỒ-10T3-2018) Giải phương trình: 4 x 2  3x   x  2  2 x 2  2 x  1 (*)

Câu 78:

[0D1.1-4] (10-CAO NGUYÊN-10T3-2019) Giải phương trình: x  1  (2 x  1)

Câu 79:

[0D1.1-4]

(10-ĐĂKMIL-10T3-2018)

Giải

x  1  2.

phương

trình:


13 x 2  x 4  9 x 2  x 4  16, x  .
Câu 80:

[0D1.1-4] (10-HOÀNG VIỆT-10T3-2019) Giải phương trình: 2 x 2  4 x 

Câu 81:

[0D1.1-4]

(TRẦN

NHÂN

TÔNG-10T3-2017)

Giải

x3
.
2

phương

trình:

2 x  3  x  1  3x  2 2 x 2  5x  3  16

Câu 82:

[0D1.1-4] (10-Phạm Văn Đồng -10T3-2019)


FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

7|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
Giải phương trình sau: 16 x2  33x  7  2(7 x  6) x 2  2 x  0 .
Câu 83:

[0D1.1-4] (TRƯỜNG CHINH ĐĂK NÔNG-10T3-2018)
2

 x  y  1  1  4( x  y )  3( x  y )
Giải hệ phương trình: 

2014 x  2 y  2015

Câu 84:

[0D1.1-4] (10-Nguyễn Du Đăk Nông-10T3-2018)
a) Giải phương trình: Giải phương trình

1 3 x
4x  2  x

1  0 .

3
2


 x   y  2  x  2 xy  1
b) Giải hệ phương trình: 
2

 x  3x  y  2

Câu 85:

[0D1.1-4] (10-NGUYỄN CHÍ THANH-10T3-2018 ĐĂKNÔNG) Giải hệ phương trình:


8 xy
17  y x  21
   
1
 2
2
x

6
xy

y
8
x
y
4





 2
 x  16  y  9  7
Câu 86:

[0D1.1-4] (10-Lê Quý Đôn Đăk Nông-10T3-2018) Giải hệ phương trình sau:


1 

 3 x 1 
2
x

y




 7 y 1  1   4 2
 x y



Câu 87:

[0D1.1-4]
(10-Phan
Đăng

2
2

 x  2 y  3xy  2 x  4 y  0
 2
2

 x  y  xy  2 y  5  0

Lưu-10T3-2018)

Câu 88:

[0D1.1-4] (10-Tây Nguyên -10T3-2019)

Giải

hệ

phương

trình:

Giải bất phương trình: x2  6 x  2  2(2  x) 2 x  1.
Câu 89:

[0D1.1-4]

(TRẦN


QUỐC

TOẢN-10T3-2019)

Giải

hệ

phương

trình

 x  3y  2  xy  y 2  x  y  0

(x, y  R).

2

3 8  x  4 y  1  x  14y  12

x2  x  1 

x3  3x 2  4 x  1
x2  3

Câu 90:

[0D1.1-4] (10-CAO BÁ QUÁT-10T3-2017) Giải phương trình:

Câu 91:


2
[0D1.1-4] (10-HAI BÀ TRƯNG-10T3-2017) Giải phương trình x  6 x 

x  6 với

x  R, x  3 .
Câu 92:

[0D1.1-4]

(10-LÊ

HỒNG

PHONG-10T3-2019)

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

Giải

hệ

8|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
6
3
2

2 2

 y  y  2 x  xy  x y
 3
3
2
2

8 xy  2 y  1  4 x  2 1  (2 x  y )

Câu 93:

[0D1.1-4] (10-HUỲNH THÚC KHÁNG-10T3-2018) Giải hệ phương trình:

2 xy
 2
2
x

y

1
 (10-Phạmx Văn
Câu 94: [0D1.1-4]
Đồng Đăk Nông-10T3-2019)

y

x 1
1

1
 x
Giải phương
y  2xx2  y  1   3 x 
 trình:
x

Câu 95:

x

[0D1.1-4] (VICTORY-10T3-2018)
Giải phương trình: 3

Câu 96:

x

2x 2

1

1

x 1

3x

8 2x 2


1

[0D1.1-4] (10-Nguyễn Tất Thành-10T3-2018)
2
2

 x  y  xy  4 y  1  0
Giải hệ phương trình sau  2

 x  1  x  y  2   y  0.

Câu 97:

[0D1.1-4]

(10-CƯMGA-10T3-2018)

Giải

phương

trình

sau:



2  2 1  x2  1  x2   1  x 4  3x2  1 .



Câu 98:

[0D1.1-4] (10-Lí Tự Trọng-10T3-2019)
2
3

 xy  y  3x  6 y  0
1. Giải hệ phương trình  2

 x  xy  3  0

2. Giải phương trình 18x  16  4 2 x 2  5x  3  7 4 x 2  2 x  2  7 2 x 2  8x  6
Câu 99:

[0D1.1-4] (10-Phan Đình Phùng-10T3-2017)
Giải phương trình x  16 x  71  2  3  x  2 x  9
2

Câu 100: [0D1.1-4] (10-Tôn Đức Thắng-10T3-2018)

(2 x  3) 4 x  1  (2 y  3) 4 y  1  2 (2 x  3)(2 y  3)
a) Giải hệ phương trình: 

 y  x  4 xy
b) Giải phương trình 2 3x  7  5 3 x  6  4 .

1  x 3 y3  19x 3
Câu 101: [0D1.1-4] (TRẦN ĐẠI NGHĨA-10T3-2019) Giải hệ phương trình 
2
2

 y  xy  6x
2

x  y  x  2 y  y  2
Câu 102: [0D1.1-4] (10-CAO NGUYÊN-10T3-2018) Giải hệ phương trình 
2

 y  x  3xy  y  10

Câu 103: [0D1.1-4] (10-HAI BÀ TRƯNG-10T3-2018)
a) Giải phương trình sau:

3x  1  6  x  3x2  14 x  8  0.


 2x  y 1  x  y  1
b) Giải hệ phương trình: 

3x  2 y  4

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

9|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
Câu 104: [0D1.1-4] (10-HUỲNH THÚC KHÁNG-10T3-2019)
Giải hệ phương trình sau:




 



 2 x3  y 3 3 x 2  y 2


 5  x  y   8 xy

xy
xy


5x  y
 5x 1  2  y 
2

Câu 105: [0D1.1-4] (10-NGUYỄN DU-10T3-2017) Giải phương trình:
x  3 x3  x 2  3 x3  x  3 x 2  x 

1 3 2 1 3
1
 x   x
3
3
3


 x  x  y 1  1

[0D1.1-4] (10-LÊ DUẨN-10T3-2017) Giải hệ phương trình sau: 
2
2

y  x  2y x  y x  0
Câu 106:
Câu 107: [0D1.1-4]

(10-VIỆT

ĐỨC-10T3-2018)

5 x 2  x  3  2 5 x  1  x 2  3x  3  0

Giải

phương

trình:

1

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

10 | P a g e


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
TOÁN 10 PHẦN 2. BẤT ĐẲNG THỨC
Câu 1:


[0D2.1-4] (10-Lê Hữu Trác-10T3-2019)
Cho 3 số dương a, b, c thỏa a  b  c  1. Chứng minh rằng:

ab  bc  ca  6

.
Câu 2:

[0D2.1-4] (10-Ngô Gia Tự-10T3-2018)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh bất đẳng thức:

1
1
1
1



(a  1)(a  2) (b 1)(b 2) (c 1)(c 2) 2
Câu 3:

[0D2.1-4] (10-Phan Bội Châu -10T3-2019)
Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
2

1
1
1
2 1

1
1 
a b
c


 





.

bc
ca
ab 3  a
b
c  bc ca ab
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 4:

[0D2.1-4] (TRẦN ĐẠI NGHĨA- 10T3-2018) Cho các số dương x, y, z thõa xyz = 1. Tìm giá
1  x3  y 3
1  y3  z3
1  z 3  x3
trị nhỏ nhất của biểu thức: P 


xy

yz
zx

Câu 5:

[0D2.1-4] (10-BUÔN HỒ-10T3-2019) Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn: a 2  b2  c 2 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  8abc 

Câu 6:

1 1 1
 
a 2 b2 c 2

[0D2.1-4] (10-HỒNG ĐỨC-10T3-2017) a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và
Chứng minh rằng:

1
2x + y + z

+

1
x + 2y + z

b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x

2017

+


1
x + y + 2z

+y

2017

2
2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x + y + z
Câu 7:

[0D2.1-4]

ĐỨC-10T3-2018)

(10-HỒNG

3
4

+z
2

1
x

+


1
y

+

1
z

= 4.

1

2017

Cho

= 3.

a  1; b  1 .

Chứng

minh:

a. b  1  b. a  1  ab .
Câu 8:

[0D2.1-4] (TRẦN QUANG KHẢI-10T3-2017) a1 , a2 ,..., an , A là những số cố định đã cho
trước


và

x1, x2 ,..., xn

là

những

số

thay

đổi,

nhưng

thỏa

mãn

điều

kiện:

a1x1  a2 x2  ...  an xn  A . Với giá trị nào của x1, x2 ,..., xn thì biểu thức x12  x22  ...  xn2
đạt giá trị nhỏ nhất?
Câu 9:

[0D2.1-4] (10- VIỆT ĐỨC-10T3-2019)


a) Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn 4  a  b  c   3abc .Chứng minh rằng:

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

1|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
1 1 1 3
   .
a 3 b3 c 3 8
b) Các số a, b, c, d thỏa mãn a + d = b + c. Chứng minh rằng nếu lấy một số m sao cho 2𝑚 >

ad  bc thì ta có với mọi x:
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) + m2 ≥ 0
Câu 10:

[0D2.1-4] (10-Phú Xuân-10T3-2018) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c =
3
Chứng minh rằng:

Câu 11:

a



b




c

1  b2 1  c2 1  a 2



3
2

[0D2.1-4] (10-Lê Quý Đôn-10T3-2017) Cho n số dương a1, a2 , a3 , ..., an thỏa mãn

a1  a2  a3  ...  an  1 . Chứng minh rằng
2
2


1 
1  
1
1   n  1
 a1     a2     a3    ...   an   
a2  
a3  
a4 
a1 
n


2


Câu 12:

2

a  0, b  0, c  0
.

a  b  c  6

S  a2 

Tìm

giá

trị

nhỏ

nhất

của

biểu

thức

1
1

1
 b2 
 c2 
bc
ac
ab

[0D2.1-4] (10-Phú Xuân-10T3-2019)
Chứng minh:

Câu 15:

bc
ac
ab
3


 .
a(3b  a)
b(3c  b)
c(3a  c) 2

[0D2.1-4] (10-Phan Bội Châu Đăk Nông-10T3-2018)
Cho

Câu 14:

2


[0D2.1-4] (10-Nguyễn Bỉnh Khiêm-10T3-2018)
Cho a, b, c là các số thực dương.
Chứng minh rằng

Câu 13:

2

a  1  b  1  c  1  c(ab  1) với mọi số thực dương a; b; c  1 .

[0D2.1-4] (TRẦN HƯNG ĐẠO ĐĂK NÔNG-2018) Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng
minh rằng:

2a 2  2bc
2b2  2ca
2c 2  2ab


0
2a 2  b2  c 2 2b2  c 2  a 2 2c 2  a 2  b 2
Câu 16:

[0D2.1-4] (10-CHU VĂN AN-10T3-2018) Cho x, y  0 thỏa mãn đk:

x y xy
 
 3 . Tìm
2 3 6

GTNN của biểu thức


P  27 x3  8 y3
Câu 17:

[0D2.1-4] (10-ĐÔNG DU-10T3-2018) (3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P  3 x  8 y trong đó x, y là hai số không âm thỏa mãn 17 x2  72 xy  90 y 2  9  0 .
Câu 18:

[0D2.1-4] (10-HÙNG VƯƠNG-10T3-2017) Cho các số x, y thỏa mãn 0  x  1; 0  y  1 . Tìm

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

2|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
giá trị nhỏ nhất của biểu thức. F 
Câu 19:

x5  y  4 y 4  2 y 3  x
.

x
y2

[0D2.1-4] (10-HÙNG VƯƠNG-10T3-2018) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn
1 1 1
   a  b  c.
a b c


Tìm giá trị lớn nhất: T 
Câu 20:

1
1
1


.
2
2
2  a 2  b 2  c2

[0D2.1-4] (TRẦN QUỐC TOẢN-10T3-2017)
3
Cho x, y  R thỏa mãn ( x  y)  4 xy  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  3  x4  y 4  x2 y 2   2  x2  y 2   1
Câu 21:

[0D1.1-4] (10-Nguyễn Bỉnh Khiêm-10T3-2019)
a
b
c


 3 (*)
Chứng minh rằng: Trong tam giác ABC:
bca c a b a bc


Câu 22:

[0D2.1-4] (10-Nơ Trang Lơng-10T3-2018) Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn:
3
a 2  b2  c 2 
4
1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  8abc  2  2  2
a b c

Câu 23:

[0D2.1-4] (10-Nguyễn Bỉnh Khiêm-10T3-2019)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa ab  bc  ca  1
Chứng minh rằng:

a2
b2
c2
3



2b  c 2c  a 2a  b
3

Câu 24:

[0D2.1-4] (10-Quang Trung-10T3-2019): Cho  ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c. Chứng minh

abc
rằng: (p-a)(p-b)(p-c) 
8
abc
Với p 
.
2

Câu 25:

[0D2.1-4] (10-CHU VĂN AN-10T3-2019) Cho a, b là hai số thực dương có tổng bằng 1. Chứng
minh rằng:

Câu 26:

1
1

 6.
2
a  b ab
2

9
[0D2.1-4] (10-Lê Quý Đôn-10T3-2018) Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa  2  x 1  y   .
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  16  x 4  4 1  y 4 .
Câu 27:


[0D2.1-4] (10-Phan Chu Trinh Đăk Nông-10T3-2018)



Cho a, b, c không âm thỏa mãn a  b  2c

 b  c  2a  c  a  2b   1 chứng minh rằng

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

3|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
a
b
c
1



2
2
2
3
b  4c  15 b  2c 
c  4a  15 c  2a 
a  4b  15 a  2b 
Câu 28:


[0D2.1-4] (10-Quang Trung-10T3-2019) Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh:

a2
b2
c2 1 1 1


  
b 2 c c 2 a a 2b a b c
[0D2.1-4] (TRẦN QUANG KHẢI-10T3-2019) Cho ba số thực x  1, y  2, z  3 thõa mãn

Câu 29:

x2  y 2  z 2  2 x  4 x  6 z  13  0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P
Câu 30:

xy  2 x  y yz  3 y  2 z xz  3x  z


z 3
x 1
y2

[0D2.1-4] (10-DTNT TÂY NGUYÊN-10T3-2017) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn
a


P

Câu 31:

b

a

3.

c
3

a
b2

Tìm
c

b

3

giá

b
c2

a


trị
c

3

c
a2

lớn
b

nhất

của

biểu

thức:

.

[0D2.1-4] (10-KRONG ANA-10T3-2019) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn

x  y  2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
Câu 32:

x
y

2019  x

2019  y

[0D2.1-4] (10-HÙNG VƯƠNG-10T3-2019) Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn

x  y  z  3 . Chứng minh rằng
Câu 33:

1
1
1
3


 .
1  ab 1  bc 1  ca 2

[0D2.1-4] (TRƯỜNG CHINH-10T3-2017)
Cho

 a, b, c  0

.
a  2b  3c  20

Tìm GTNN của biểu thức
Câu 34:

S  abc

3

9
4


a 2b c

[0D2.1-4] (10-Phạm Văn Đồng -10T3-2018) Cho x, y là hai số dương thay đổi, có tổng bằng

1 2 x  11
3y
17
2

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x  11x  2 
.
y
xy  1
y
4
Câu 35:

[0D1.1-4] (10-Quang Trung -10T3-2018)
Giải bất phương trình: 2 3x  2  x  2  3 4  3x  2  x  2  (1)

Câu 36:

[0D2.1-4] (10-Lê Hữu Trác-10T3-2017)
Cho 3 số dương a, b, c thỏa a  b  c  1. Chứng minh rằng:

ab  bc  ca  6


.
Câu 37:

[0D2.1-4] (10-Nơ Trang Lơng-10T3-2017) Cho các số x, y thỏa mãn 0  x  1; 0  y  1 . Tìm

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

4|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
giá trị nhỏ nhất của biểu thức. F 
Câu 38:

x5  y  4 y 4  2 y 3  x
.

x
y2

[0D2.1-4] (10-Nguyễn Tất Thành Đăk Nông-10T3-2018)
Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  1, chứng minh rằng:

a 3  b3  c 3 

1
3

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 39:

[0D2.1-4] (10-Phan Bội Châu-10T3-2017)
Chứng minh rằng:

9  2016 16  2016 25 2017 12  2017 15  2017 20

2016
12  2016 15  2016 20 2017 9  2017 16  2017 25
2016

Câu 40:

[0D2.1-4] (10-NGUYỄN BỈNH KHIÊM-10T3-2017) Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn
1 1 1
1 và thoả mãn điều kiện    2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z x y z
1).

Câu 41:

[0D2.1-4] (10- BUÔN ĐÔN-10T3-2019)

1
a
b
3


 (*)
a  b 1 b 1 a 2


Cho a , b là hai số dương bất kỳ. Chứng minh rằng:
Câu 42:

[0D2.1-4] (10-BUÔN HỒ-10T3-2017) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ac  12 và
 1
1 1 8
.
bc  8 . Tìm giá trị nhỏ nhất có thể được của biểu thức D  a  b  c  2     
 ab bc ca  abc

Câu 43:

[0D2.1-4] (10-CAO NGUYÊN-10T3-2017) Cho các số thực a, b, c, x, y, z  0 và thỏa mãn
ax  by  cz  xyz .

Chứng minh rằng
Câu 44:

ab  bc  ca  x y  z

[0D2.1-4] (10-CƯMGA-10T3-2019) Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a + b + c =
1.



Chứng minh rằng: 2 a  b  c
Câu 45:

3


3

3

  3abc  a

2

 b2  c 2

[0D2.1-4] (10-CƯMGAR-10T3-2017) (3 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất của: P  ab c  2  bc a  3  ca b  4 với a  3, b  4, c  2
abc

Câu 46:

[0D2.1-4] (10-HAI BÀ TRƯNG-10T3-2019) Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn
xy  yz  zx  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P
Câu 47:

x3
y3
z3


1 y 1 z 1 x


[0D2.1-4] (VICTORY-10T3-2017)
Cho x, y, z, t là bốn số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1

1

1

1

𝑥

𝑦

𝑧

𝑡

P = (𝑥𝑦𝑧𝑡 + 1) (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 ) + 𝑦𝑧𝑡 + 𝑥𝑧𝑡 + 𝑥𝑦𝑡 + 𝑥𝑦𝑧 − (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡)
FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

5|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
Câu 48:

[0D2.1-4] (TRƯỜNG CHINH-10T3-2018)
Cho các số dương a, b, c thỏa abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
bc

ca
ab
P 2
 2
 2
2
2
a b  a c b c  b a c a  c 2b

Câu 49:

[0D2.1-4] (10-Nguyễn Đình Chiểu Đăk Nông-10T3-2018)
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2  y2  z 2  1 . Tìm giác trị nhỏ nhất của
biểu thức P 

Câu 50:

x
y
z
 2
 2
.
2
2
y z
z x
x  y2
2


[0D2.1-4] (10-CHU VĂN AN-10T3-2018 ĐĂKNÔNG) Cho hai số thực dương a và b thỏa
mãn: a+b=1.
Chứng minh rằng:

Câu 51:

a2
b2
1


a 1 b 1 3

[0D2.1-4] (10-Lê Quý Đôn-10T3-2019)
Cho n số dương x1, x2 , x3 , ..., xn thỏa mãn x1  x2  x3  ...  xn  1. Chứng minh rằng
2
2


1 
1  
1
1   n  1
 x1     x2     x3    ...   xn   
x2  
x3  
x4 
x1 
n



2

Câu 52:

2

2

[0D2.1-4] (10-Phan Đăng Lưu-10T3-2017)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx  1 . Chứng minh rằng:

x
1 x
Câu 53:

2

2



y
1 y

2



z

1 z

2



1
1
1 21
 2 2
2
x
y
z
2

[0D2.1-4] (10-Quang Trung -10T3-2018)
Cho k là số thực thuộc (-1; 2) và a, b, c là 3 số thực đôi một khác nhau. CMR:
 1
1
1  92  k 
.
 a 2  b2  c 2  k  ab  bc  ca  



2
2
2
4

  a  b   b  c   c  a  

Câu 54:

[0D2.1-4] (TRẦN QUỐC TOẢN-10T3-2018) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn:
2

2

2

a  b  c  1.
Chứng minh rằng:
Câu 55:

1
2

a  bc



1
2

b  ac



1

2

c  ab



9
2

.

[0D2.1-4] (10-BUÔN MA THUỘT-10T3-2019) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh
rằng:

a  3c a  3b
2a


5
ab
a c bc

Câu 56:

1
5
11
[0D2.1-4] (10-EAROK-10T3-2018) Cho a  , b  , c  . Chứng minh rằng:
2
3

4
1
1
1
T  abc 
3
4
9
2a  1
3b  5
4c  11

Câu 57:

[0D2.1-4] (10-KRÔNG NÔ-10T3-2018) Cho ba số thực dương

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

x, y, z thỏa mãn

6|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
x

y

P  x2 
Câu 58:


3
.
2

z

Tìm

giá

trị

nhỏ

nhất

của

biểu

thức

1 4
1 4
1
4
 2  y2  2  2  z2  2  2 .
2
y

z
z
x
x
y

[0D2.1-4] (10-HUỲNH THÚC KHÁNG-10T3-2017) Cho các số thực a, b, x, y thoả mãn điều
kiện ax  by  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  a  b  x  y  bx  ay
2

Câu 59:

2

a
b
c
3


 .
2
2
2
1 b 1 c 1 a
2

[0D2.1-4] (TRƯỜNG CHINH ĐĂK NÔNG-10T3-2018)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z 


P  ( x  y )( y  z )( z  x ) 
Câu 61:

2

[0D2.1-4] (10-Phạm Văn Đồng -10T3-2019)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 .
Chứng minh rằng

Câu 60:

2

3
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4

1 1 1
 
x y z

[0D2.1-4] (10-Nguyễn Du Đăk Nông-10T3-2018)
Cho các số thực dương x, y, z



a) Chứng minh rằng: 2  x

2


 2  y   169 2  x  y 
2

2

 7 .


b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 2  x  2  y  2  z 
P
2

2

3  x  y  z

Câu 62:

2

[0D2.1-4] (10-NGUYỄN CHÍ THANH-10T3-2018 ĐĂKNÔNG) Chứng minh rằng với mọi
số dương a, b, c ta đều có:

ab
3

Câu 63:


2

a  abc
3



bc
3

b  abc
3



ac
3

c  abc
3

 33 4

[0D2.1-4] (10-LÊ HỒNG PHONG-10T3-2019) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều
kiện: x  y  z  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T 

Câu 64:

x3
y3

z3


y 2  z z 2  x x2  y

[0D2.1-4] (10-Lê Quý Đôn Đăk Nông-10T3-2018) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn

a  b  c  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  3 a  b  3 b  c  3 c  a .
Câu 65:

[0D2.1-4] (10-Phan Đăng Lưu-10T3-2018) Cho x, y   0; 2 thỏa x  y  4 xy . Tìm giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của biểu thức
P  2x 2  2 y 2  5 y  5 y  1 .

Câu 66:

[0D2.1-4] (10-Tây Nguyên -10T3-2019)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a

b

c

3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

7|Page



CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
P

Câu 67:

a

3

a
b2

c

b

3

b
c2

a

c

3

c
a2


b

.

3
[0D2.1-4] (TRẦN QUỐC TOẢN-10T3-2019) Cho x, y  R thỏa mãn ( x  y)  4 xy  2 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  3  x4  y 4  x2 y 2   2  x2  y 2   1

Câu 68:

[0D2.1-4] (10-CAO BÁ QUÁT-10T3-2017) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác của một
tam giác. Chứng minh rằng: a 2b  a  b   b2c  b  c   c 2 a  c  a   0

Câu 69:

[0D2.1-4] (10-HAI BÀ TRƯNG-10T3-2017) Cho các số thực thay đổi x,y,z không âm. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức

P
Câu 70:

 yz  12 y  6 z  72

x   xz  12 x  2 z  24  3 y  ( xy  6 x  2 y  12) 4 z
 x  2  y  6  z  12 

[0D2.1-4] (10-HUỲNH THÚC KHÁNG-10T3-2018) Cho hai số dương x, y thỏa mãn:


x  y  5.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 
Câu 71:

4x  y 2x  y

xy
4

[0D2.1-4] (10-ĐÔNG DU-10T3-2019) Cho các số thực dương

x, y, z thỏa mãn:

yz zx xy
1
1
1
.
 
 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A 


x
y
z
1 x 1 y 1 z
Câu 72:

[0D2.1-4] (VICTORY-10T3-2019)


Cho x, y là các số thực và thỏa mãn 2  x 2  y 2   xy  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P  4  x 4  y 4    x  y   3 x2 y 2  1
2

Câu 73:

[0D2.1-4] (10-Lê Hữu Trác-10T3-2018) Cho các số x, y thỏa mãn 0  x  1; 0  y  1 . Tìm giá
x5  y  4 y 4  2 y 3  x
trị nhỏ nhất của biểu thức. F 
.

x
y2

Câu 74:

[0D2.1-4] (10-Ngô Gia Tự-10T3-2018) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

a 2  b2  ab  b2  c2  bc  a 2  c 2  ac
Câu 75:

[0D2.1-4] (10-Nguyễn Thái Bình-10T3-2019) Cho x, y, z  0 thỏa mãn

1 1 1
   4 . Chứng
x y z

minh:

1
1
1


1
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z
Câu 76:

[0D2.1-4] (10-Phan Bội Châu-10T3-2018)
a) Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng: 3x  2 y  4 z  xy  3 yz  5 zx
b) b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

8|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
thức P 
Câu 77:

2( x 2  6 xy )
1  2 xy  2 y 2

[0D2.1-4] (10-Phan Đình Phùng-10T3-2018)
Cho a,b,c>0 a+b+c=3. Chứng minh rằng
a
b
c

3



2
2
2
1 b c 1 c a 1 a b 2

Câu 78:

[0D2.1-4] (TÔN ĐỨC THẮNG – 10T3-2019) Cho các số thực x, y thỏa mãn

 x  y

3

Câu 79:



 



 4 xy  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A  3 x 4  y 4  x 2 y 2  2 x 2  y 2  1 .

[0D2.1-4] (10-BUÔN HỒ-10T3-2018) Cho x>0,y>0,x2+y2=1. Chứng minh rằng:
 1
 1

S  1  x  1    1  y  1    3 2  4
y
 x


Câu 80:

[0D2.1-4] (10-CAO NGUYÊN-10T3-2019) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn

x2  y 2  z 2  xyz .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P
Câu 81:

x
y
z
 2
 2
.
x  yz y  zx z  xy
2

[0D2.1-4]

(10-ĐĂKMIL-10T3-2018)

Cho


các

số

thực

dương

a, b, c thỏa mãn

3 a 4  b4  c 4   7  a 2  b2  c 2   12  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P

a2
b2
c2


.
b  2c c  2a a  2b

[0D2.1-4] (10-LÊ DUẨN-10T3-2017) Cho x, y, z , là các số dương thỏa mãn điều kiện x. y.z  1
Câu 82:
. Chứng minh rằng:
Câu 83:

1
1
1
1

 2 2
 2
 .
2
2
2x  y  3 2 y  z  3 2z  x  3 2
2

[0D2.1-4] (TRẦN NHÂN TÔNG-10T3-2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 

1
1

x 1 x

,với 0  x  1 .
Câu 84:

[0D2.1-4] (10-VIỆT ĐỨC-10T3-2018) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức:
P=

Câu 85:

ab
bc
ca


c  ab

a  bc
b  ca

[0D2.1-4] (10-Phạm Văn Đồng Đăk Nông-10T3-2019)
Cho a, b, c  0, a  b  c 

Câu 86:

3
. Chứng minh:
2

a2 

1
1
1 3 17
 b2  2  c 2  2 
2
b
c
a
2

[0D2.1-4] (VICTORY-10T3-2018)
Cho a, b, c là 3 số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

9|Page



CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
a2

bc b

a b2

Câu 87:

c2

ca c
b c2

a
2016a 2  504b2  504c 2

c2

a

a2

ab a
c a2

b


3 2

b2



b
2016b2  504a 2  504c 2



c
2016c 2  504b2  504a 2

.

[0D2.1-4] (10-CƯMGA-10T3-2018) Cho a, b, c  1 thỏa mãn a  b c  abc . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P 

Câu 89:

b2

[0D2.1-4] (10-Nguyễn Tất Thành-10T3-2018)
Cho ba số dương a, b, c tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P
Câu 88:

c


b2 c2 a2
 2  2 .
a2
b
c

[0D2.1-4] (10-Lí Tự Trọng-10T3-2019)
Cho các số dương a, c, b thỏa mãn
3

3

a  b  c  3 . Chứng minh rằng

3

a
b
c
1 2



  ab  bc  ca 
b3  8 c3  8 a 3  8 9 27
Câu 90:

[0D2.1-4] (10-Tôn Đức Thắng-10T3-2018)
Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  2b  3c  20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


3 9 4
L  abc   
a 2b c
Câu 91:

1





[0D2.1-4] (TRẦN ĐẠI NGHĨA-10T3-2019) Cho a, b là các số thực thỏa mãn: a, b   ;2 
4
và a  b  4ab . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P   a  b   2  a  b  .
2

Câu 92:

[0D2.1-4] (10-HAI BÀ TRƯNG-10T3-2018)
a) Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng: 3x  2 y  4 z  xy  3 yz  5 zx
b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhõ nhất của biểu thức
P

Câu 93:

2( x 2  6 xy )
1  2 xy  2 y 2

[0D2.1-4] (10-NGUYỄN DU-10T3-2017) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3 . Chứng

minh rằng:
x3  2 y 3
y3  2 z3
z 3  2 x3


3
x( y  2 z ) y ( z  2 x) z ( x  2 y )

Câu 94:

[0D2.1-4] (10-HUỲNH THÚC KHÁNG-10T3-2019)
1 1 1
Cho các số x,y,z là các số dương thỏa mãn    2019
x y z

1
1
1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  2 x  y  z  x  2 y  z  x  y  2 z
Câu 95:

[0D2.1-4] (10-Phan Đình Phùng-10T3-2017)

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

10 | P a g e


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.

Cho ba số dương x, y, z thõa mãn x+y+z=1 chứng minh rằng

1
1
1
(1  )4  (1  )4  (1  )4  768
x
y
z

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

11 | P a g e


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
TOÁN 10 PHẦN 3. SỐ HỌC
2017

Câu 1:

[0D3.1-4] (10-Lê Hữu Trác-10T3-2018) Chứng minh 220

 1192018  692019 chia hết cho

102 .
Câu 2:

[0D3.1-4] (10-Ngô Gia Tự-10T3-2018) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 7 thì
3 p  2 p  1 chia hết cho 42p.


Câu 3:

[0D3.1-4] (10-Nguyễn Thái Bình-10T3-2019) Cho số tự nhiên

A thỏa mãn: nếu đổi chỗ ít nhất
một cặp vị trí các chữ số của số A , thì ta được số B gấp 3 lần số A . Chứng minh rằng B 27
.

Câu 4:

[0D3.1-4] (10-Phan Bội Châu-10T3-2018)
Tìm số dư trong phép chia 20182017 cho 13 .

Câu 5:

[0D3.1-4] (10-Phan Đình Phùng-10T3-2018)
3
3
Cho x,y là hai số nguyên khác -1sao cho x  1  y  1 là một số nguyên.

y 1

Chứng minh rằng: x
Câu 6:

2016

x 1


 1 chia hết cho y+1

[0D3.1-4] (TÔN ĐỨC THẮNG – 10T3-2019) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho

n5  n4  1 là lũy thừa của một số nguyên tố
Câu 7:

[0D3.1-4]

(10-BUÔN

HỒ-10T3-2018)

m1  m2  m3  ...  m2017  m2018 30
5
5
m15  m25  m35  ...  m2017
 m2018
30

Câu 8:

Chứng

minh

rằng:

Nếu


thì
Với

mi  N ; i  1;2;...;2018

[0D3.1-4] (10-CAO NGUYÊN-10T3-2019) Tìm tất cả các số tự nhiên n để cả hai số n  1 và

n5  n4  n3  13n2  13n  14 đều là các số chính phương.
Câu 9:

[0D3.1-4] (10-ĐĂKMIL-10T3-2018) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta luôn có:

 3x  5 y,8x  13 y    x, y .
100

Câu 10:

[0D3.1-4] (10-HOÀNG VIỆT-10T3-2019) Tìm số dư trong phép chia: 512002 cho 41 .

Câu 11:

[0D3.1-4] (TRẦN NHÂN TÔNG-10T3-2017) Tìm số nguyên n để: (n5  1) (n 3  1) .

Câu 12:

[0D3.1-4] (10-VIỆT ĐỨC-10T3-2018) Chứng minh rằng: 20152017  20172015 chia hết cho 7

Câu 13:

[0D3.1-4] (10-Nguyễn Thái Bình-10T3-2019) Trong mặt phẳng cho 100 điểm phân biệt sao

cho không có 3 điểm nào thẳng
hàng.Chứng minh rằng trong số các tam giác được tạo thành từ 100 điểm đó, có không quá 70%
các tam giác nhọn.

Câu 14:

[0D3.1-4]
(TRẦN
NHÂN
2
3
n
*
S  1  p  p  p  ...  p (p  N , p  1) .

Câu 15:

[0D1.1-4] (10-VIỆT ĐỨC-10T3-2018) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z
+ t = xyzt (1)

TÔNG-10T3-2017)

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

Tính

tổng

1|Page



CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
Câu 16:

[0D3.1-4] (TRẦN NHÂN TÔNG-10T3-2017) Cho hàm f : N *  N * \ 1 thõa mãn:

f (n)  f (n  1)  120  f(n  2)  f(n  3),  n  N * .
Tính f(2006).
Câu 17:

[0D3.1-4] (10-Nguyễn Trãi-10T3-2019) Chứng minh 220119  11969  69220
102

Câu 18:

[0D3.1-4] (10-Phú Xuân-10T3-2018) Cho 3 số nguyên dương a, b, c đôi một không có cùng số
dư trong phép chia cho 5.
Đặt A = 3a + b + c
B = a + 3b + c
C = 2a + 2b + c
Chứng minh rằng trong 3 số A, B, C có một và chỉ một số chia hết cho 5.

Câu 19:

[0D3.1-4] (10-CHU VĂN AN-10T3-2017) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

69

y


Câu 20:

220

119

chia hết cho

x2  x  1
.
x2  x  1

[0D3.1-4] (10-ĐÔNG DU-10T3-2017) Cho x, y là hai số thực dương thoả mãn điều kiện
x  1  x 2  2015





1  y 2  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x  y .

Câu 21:

[0D3.1-4]
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số B = 42n+1 + 3n+2 luôn chia hết cho 13.

Câu 22:

[0D3.1-4] (10-Ngô Gia Tự-10T3-2018)
Tìm các số nguyên dương x và y thỏa mãn 2xy -1 chia hết cho (x-1)(y-1)


Câu 23:

[0D3.1-4] (10-Nguyễn Trãi-10T3-2019) Chứng minh rằng không thể biểu diễn số 2n (n 

*

)

thành tổng của hai hay nhiều số tự nhiên liên tiếp.
Câu 24:

[0D3.1-4] (10-Phan Bội Châu -10T3-2019)
Tìm số dư của phép chia số 310

2017

cho số 7.

Câu 25:

[0D3.1-4] (TRẦN ĐẠI NGHĨA- 10T3-2018)
Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2 p  p 2 cũng là số nguyên tố

Câu 26:

[0D3.1-4] (10-BUÔN HỒ-10T3-2019) Chứng minh rằng tổng S  12017  22017  32017  42017
chia hết cho số 5.

Câu 27:


[0D3.1-4] (10-CHU VĂN AN-10T3-2017) Chứng minh rằng tổng S  12017  22017  32017  42017
chia hết cho số 5.

Câu 28:

[0D3.1-4] (10-ĐÔNG DU-10T3-2017) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x3  2 y 3  4 z 3  0

Câu 29:

[0D3.1-4] (10-HỒNG ĐỨC-10T3-2017) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì

n 2 + n + 2 không chia hết cho 3.
2

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n +17 là một số chính phương.
Câu 30:

[0D3.1-4] (10-HỒNG ĐỨC-10T3-2018) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2 số n + 26

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

2|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.
và n – 11 đều là lập phương của 2 số nguyên dương nào đó.
Câu 31:


[0D3.1-4] (TRẦN QUANG KHẢI-10T3-2017) Cho

m, n là các số tự nhiên. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

f  m, n   36m  5n
Câu 32:

[0D2.1-4] (10- VIỆT ĐỨC-10T3-2019) Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n có dạng 4k
+ 3, k  N , đều có ít nhất một ước số nguyên tố có dạng 4k + 3.

Câu 33:

[0D3.1-4] (10-Ngô Gia Tự-10T3-2018)
Cho 2019 tập hợp, mỗi tập hợp có 45 phần tử và hai tập bất kì có đúng một phần tử chung. Chứng
minh rằng tồn tại một phần tử thuộc tất cả 2019 tập hợp trên

Câu 34:

[0D3.1-4] (TRẦN ĐẠI NGHĨA- 10T3-2018)
Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 2018 chia hết cho 2 hoặc 3 hoặc 7.

Câu 35:

[0D3.1-4] (TRẦN QUANG KHẢI-10T3-2017) Gọi

A là tập tất cả các số tự nhiên lẻ không
chia hết cho 5 và nhỏ hơn 30. Tìm số k nhỏ nhất sao cho mỗi tập con của A gồm k phần tử đều
tồn tại hai số chia hết cho nhau.

2009

 1 chia hết cho

Câu 36:

[0D3.1-4] (10-Nguyễn Bỉnh Khiêm-10T3-2019) Chứng minh rằng: 1110
102010

Câu 37:

[0D3.1-4] (10-Lê Quý Đôn-10T3-2017) Chứng minh rằng (19611962  19631964  19651966  2) 7

Câu 38:

[0D3.1-4] (10-Phan Bội Châu Đăk Nông-10T3-2018)
Chứng minh rằng số: 70.271001  31.51101 chia hết cho 13.

Câu 39:

[0D3.1-4] (10-Phú Xuân-10T3-2019)
Cho p là số nguyên tố bất kỳ khác 2 và khác 5. Chứng minh rằng trong dãy 9,99,999,9999,...
có vô số số hạng chia hết cho p .

Câu 40:

[0D1.1-4] (TRẦN HƯNG ĐẠO ĐĂK NÔNG-2018) Giải phương trình nghiệm nguyên

x 2  y 4  2019
Câu 41:


[0D3.1-4] (10-CHU VĂN AN-10T3-2018) Chứng minh rằng tổng S  12017  22017  32017  42017
chia hết cho số 5.

Câu 42:

[0D3.1-4] (10-ĐÔNG DU-10T3-2018) (3 điểm) Tìm phần dư khi chia 32 cho 2n3 , trong đó

n

n là số nguyên dương.
Câu 43:

[0D3.1-4] (10-HÙNG VƯƠNG-10T3-2017) Cho p là số nguyên tố khác 2 và a,b là hai số tự
nhiên lẻ sao cho a  b chia hết cho p và a  b chia hết cho p  1 . Chứng minh rằng ab  ba chia
hết cho
2p .

Câu 44:

Câu 45:

[0D3.1-4] (10-HÙNG VƯƠNG-10T3-2018) Tìm bốn chữ số cuối cùng của số:

a  19761976  19741974  19761975  19741973 .

[0D2.1-4] (TRẦN QUỐC TOẢN-10T3-2017)

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70


3|Page


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HGS TOÁN. NH 2019-20120.

Cho n là số nguyên dương và ký hiệu U (n)  d1 , d2 ,....., dm  là tập hợp tất cả các ước số nguyên
dương của n.Chứng minh rằng: d12  d22  ......  dm2  n2 n

Câu 46:

[0D3.1-4] (10-BUÔN MA THUỘT-10T3-2017) Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của n. Tìm số
nguyên dương n sao cho:
S(n) = n2 – 2016n + 9

Câu 47:

[0D1.1-4] (10-Y JUT-10T3-2018)
Tìm n  sao cho  n  5 n  6  6n

Câu 48:

[0D3.1-4] (10-Nơ Trang Lơng-10T3-2018) Chứng minh rằng 35
chính phương

Câu 49:

[0D3.1-4] (10-Nguyễn Bỉnh Khiêm-10T3-2019)
Cho hai số nguyên dương a và b. Chia a 2  b2 cho a  b được thương là q và dư là r. Xác định

2018


 4 không thể là một số

tất cả các cặp số a, b sao cho q 2  2r  1  2019 .
Câu 50:

[0D3.1-4] (10-CHU VĂN AN-10T3-2019) Giải phương trình: x4  7 x  4  0(mod 9) .

Câu 51:

[0D3.1-4] (10-Phan Chu Trinh Đăk Nông-10T3-2018)







  

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: n  1 n  2 n  3 ... 2n

2n

Câu 52:

[0D3.1-4] (10-Quang Trung-10T3-2019) Tìm số dư của A = 776776 + 777777 + 778778 khi chia
cho 3?

Câu 53:


[0D3.1-4] (TRẦN QUANG KHẢI-10T3-2019) Cho

m, n là các số tự nhiên. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

f  m, n   36m  5n
Câu 54:

[0D3.1-4] (10-BUÔN MA THUỘT-10T3-2018) Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2
chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.

Câu 55: [0D3.1-4] (10-DTNT TÂY NGUYÊN-10T3-2017) Cho p là số nguyên tố bất kỳ, chứng
minh p p

1

p

1

p

không phải là số chính phương.

22 p  1
Câu 56: [0D3.1-4] (10-KRONG ANA-10T3-2019) Với p là số nguyên tố, đặt n 
. Tìm tất cả
3

các số nguyên tố p sao cho 2n  2 không chia hết cho n.
Câu 57:

4 n1

[0D3.1-4] (10-HÙNG VƯƠNG-10T3-2019) Chứng minh rằng 32

4 n1

 23

 5 chia hết cho 22

với mọi số tự nhiên n .
Câu 58:

[0D3.1-4] (TRƯỜNG CHINH-10T3-2017)
Chứng minh rằng: n 

Câu 59:

4 n1

thì số: T  32

4 n1

 23

 5 luôn chia hết cho 22


[0D3.1-4] (TRẦN QUANG KHẢI-10T3-2019) Gọi

A là tập tất cả các số tự nhiên lẻ không
chia hết cho 5 và nhỏ hơn 30. Tìm số k nhỏ nhất sao cho mỗi tập con của A gồm k phần tử đều
tồn tại hai số chia hết cho nhau.

FILE WORD, ĐÁP ÁN CHI TIẾT, LIÊN HỆ 034.982.60.70

4|Page