Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (459.44 KB, 30 trang )
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
TOÁN 11
BÀI 2
ĐT:0946798489
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
TRUY CẬP ĐỂ ĐƯỢC
NHIỀU HƠN
Mục lục
Dạng 1. Phương trình sinx=a............................................................................................................................................ 1
Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm .......................................................................................................................... 1
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm ..................................................................................................................................... 3
Dạng 2. Phương trình cosx=a ........................................................................................................................................... 6
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm .......................................................................................................................... 6
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ..................................................................................................................................... 8
Dạng 3. Phương trình tanx=a ......................................................................................................................................... 10
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 10
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 11
Dạng 4. Phương trình cotx=a ......................................................................................................................................... 12
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 12
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 12
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp .................................................................................................................................. 12
Dạng 1. Phương trình sinx=a.......................................................................................................................................... 15
Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 15
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 15
Dạng 2. Phương trình cosx=a ......................................................................................................................................... 21
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 21
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 22
Dạng 3. Phương trình tanx=a ......................................................................................................................................... 24
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 24
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 25
Dạng 4. Phương trình cotx=a ......................................................................................................................................... 26
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 26
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 27
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp .................................................................................................................................. 27
Dạng 1. Phương trình sinx=a
Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm
Nguyễn Bảo Vương: />
1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
(ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình sin
Câu 1.
A. x k 4 , k .
Câu 2.
ĐT:0946798489
B. x k 2 , k .
x
1 là
2
C. x k 2 , k . D. x
2
k 2 , k .
(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Phương trình sin x 1 có nghiệm là
3
5
5
k .
k 2 .
A. x k 2 .
B. x
C. x
D. x 2 .
3
6
6
3
Câu 3.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình sin 2 x 1 .
k
A. x k 2 .
B. x k .
C. x k 2 .
D. x
.
2
4
4
2
Câu 4.
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình 2sin x 3 0
.
3
x arcsin 2 k 2
B.
k .
3
x arcsin k 2
2
A. x .
3
x arcsin 2 k 2
C.
k .
3
x arcsin k 2
2
D. x .
Câu 5.
(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Phương trình sin x 1 có một nghiệm là
A. x .
B. x .
C. x .
D. x .
2
2
3
Câu 6.
(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x
A. x
Câu 7.
3
k 2 .
B. x
3
k .
x k
6
C.
.
5
x k
6
3
có nghiệm là:
2
x k 2
3
D.
.
2
x k 2
3
(THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Tập nghiệm của phương trình
sin x sin 30 là
A. S 30 k 2 | k 150 k 2 | k .
B. S 30 k 2 | k .
C. S 30 k 360 | k .
D. S 30 360 | k 150 360 | k .
Câu 8.
(THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Nghiệm của phương trình sin x 1 là
A.
Câu 9.
2
k , k .
B.
2
k , k .
C.
2
k 2 , k . D.
2
k 2 , k .
(SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin x 1 .
6
Nguyễn Bảo Vương: />
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
A. x
C. x
3
3
ĐT:0946798489
k k . B. x
k 2 k . D. x
6
k 2 k .
5
k 2 k .
6
Câu 10. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình
2sin x 1 0 có tập nghiệm là:
5
2
A. S k 2 ;
B. S k 2 ;
k 2 , k .
k 2 , k .
6
3
6
3
1
C. S k 2 ; k 2 , k .
D. S k 2 , k .
6
6
2
Câu 11.
(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Phương
trình 2sin x 1 0 có nghiệm là:
x
k
2
x
k 2
6
6
A.
B.
x 7 k 2
x 7 k 2
6
6
x 6 k 2
x 6 k
C.
D.
x 5 k 2
x 7 k
6
6
Câu 12. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Phương trình
2sin x 3 0 có tập nghiệm là:
A. k 2 , k . B. k 2 , k .
6
3
5
2
C. k 2 ,
D. k 2 ,
k 2 , k .
k 2 , k .
6
3
6
3
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 13.
(THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm
biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm
M, N ?
A. 2sin2x 1.
B. 2cos2x 1.
C. 2sin x 1.
Nguyễn Bảo Vương: />
D. 2cos x 1.
3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
3
Câu 14. Cho phương trình sin 2 x sin x
4
4
phương trình trên.
7
A.
.
B. .
2
Câu 15.
. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng 0; của
C.
3
.
2
D.
4
.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3sin 2 x m 2 5 0 có nghiệm?
A. 6.
B. 2.
C. 1.
D. 7.
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: 3sin x m 1 0 có nghiệm?
A. 7
B. 6
C. 3
D. 5
Câu 17.
(CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm số nghiệm của phương trình
sin cos 2 x 0 trên 0; 2 .
A. 2 .
Câu 18.
B. 1 .
C. 4 .
3
Phương trình sin 3 x
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
3
2
A. 3 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 3 .
0; ?
2
D. 2 .
Câu 19.
(GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Số nghiệm của phương trình
2sin x 3 0 trên đoạn đoạn 0; 2 .
A. 3.
B. 1.
C. 4.
D. 2.
Câu 20.
(THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Số nghiệm thực của phương trình 2 sin x 1 0
3
trên đoạn ;10 là:
2
A. 12 .
B. 11 .
C. 20 .
D. 21 .
Câu 21.
3
(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2 x sin x
có tổng các
4
4
nghiệm thuộc khoảng 0; bằng
A.
Câu 22.
7
.
2
B. .
C.
3
.
2
D.
4
.
(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S của các nghiệm của phương trình
1
sin x trên đoạn ; .
2
2 2
5
A. S
.
B. S .
C. S .
D. S .
6
3
2
6
Câu 23. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Phương trình
3
sin 3x
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0; ?
3
2
2
A. 3 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 24.
(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình 2 sin x 3 0 .
Tổng các nghiệm thuộc 0; của phương trình là:
A. .
B.
3
.
C.
2
.
3
Nguyễn Bảo Vương: />
D.
4
.
3
4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 25.
3
có hai
2
công thức nghiệm dạng k , k k với , thuộc khoảng ; . Khi đó,
2 2
bằng
(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2 x
A.
Câu 26.
2
.
2
C. .
.
D.
3
.
B. S
3
.
C. S
2
.
D. S
6
1
2
.
(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
2 sin x 1 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
A. Điểm D , điểm C .
C. Điểm C , điểm F .
Câu 28.
B.
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S của các nghiệm của phương trình sin x
trên đoạn ; .
2 2
5
A. S
.
6
Câu 27.
ĐT:0946798489
B. Điểm E , điểm F .
D. Điểm E , điểm D .
(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình sin x 1
4
thuộc đoạn ; 2 là:
A. 3 .
B. 2 .
C. 0 .
D. 1 .
Câu 29.
(THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Phương trình 2sin x 1 0 có bao nhiêu nghiệm
x 0; 2 ?
A. 2 nghiệm.
B. 1 nghiệm.
C. 4 nghiệm.
D. Vô số nghiệm.
Câu 30.
(SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Phương trình sin 5 x sin x 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc
đoạn 2018 ; 2018 ?
A. 20179 .
Câu 31.
Câu 32.
B. 20181 .
C. 16144 .
D. 16145 .
5
(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thuộc đoạn 0;
2
của phương trình 2sin x 1 0 là:
A. 3 .
B. 1.
C. 4 .
D. 2 .
(THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho phương trình 2sin x 3 0 . Tổng
các nghiệm thuộc 0; của phương trình là:
Nguyễn Bảo Vương: />
5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
A.
4
.
3
B. .
ĐT:0946798489
C.
3
.
D.
2
.
3
Câu 33.
(Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Tính tổng S của các nghiệm của phương
1
trình sin x trên đoạn ; .
2
2 2
5
A. S .
B. S .
C. S .
D. S
.
6
3
2
6
Câu 34.
(Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thực của phương trình 2sin x 1 0
3
trên đoạn ;10 là:
2
A. 12 .
B. 11 .
C. 20 .
D. 21 .
Câu 35.
(THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Phương trình: 2 sin 2 x 3 0
3
có mấy nghiệm thuộc khoảng 0;3 .
A. 8 .
B. 6 .
C. 2 .
D. 4 .
Dạng 2. Phương trình cosx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 36.
(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình
2
là:
cos x
4 2
x k 2
x k
A.
(k Z )
k Z B.
x k
x k
2
2
x k
x k 2
C.
D.
(k Z )
(k Z )
x k 2
x k 2
2
2
Câu 37.
(THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Nghiệm của phương trình cos x
1
2
là
A. x
Câu 38.
Câu 39.
2
k 2
3
B. x k
6
C. x
k 2
3
D. x
k 2
6
(THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giải phương trình cos x 1 .
k
A. x
, k .
B. x k , k .
2
C. x k 2 , k . D. x k 2 , k .
2
(CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình cos x cos
3
có tất
cả các nghiệm là:
Nguyễn Bảo Vương: />
6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
A. x
2
k 2 k B. x k k
3
3
C. x
Câu 40.
ĐT:0946798489
3
k 2 k
D. x
3
k 2 k
(KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Phương trình cos x 0 có
nghiệm là:
A. x k k .
B. x k 2 k .
2
C. x k 2 k .
D. x k k .
2
Câu 41. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
2
cos x
là
4 2
x k 2
x k
A.
B.
k .
k .
x k
x k
2
2
x k
x k 2
C.
D.
k .
k .
x k 2
x k 2
2
2
Câu 42.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos
x
0.
3
k , k .
2
3
3
k 6 , k . D. x
k 3 , k .
C. x
2
2
A. x k , k .
Câu 43.
B. x
(XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình 2 cos x 1 0 có nghiệm là:
A. x
C. x
6
6
k 2 , k .
2 , k . D. x
B. x
3
3
k 2 , k .
k , k .
Câu 44.
(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Phương trình 2 cos x 2 0 có tất cả các nghiệm
là
3
x
k
2
x
k 2
4
4
A.
,k .
B.
,k .
x 3 k 2
x k 2
4
4
7
x 4 k 2
x 4 k 2
C.
,k .
D.
,k .
x 3 k 2
x 7 k 2
4
4
Câu 45.
(THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Giải phương trình 2 cos x 1 0
Nguyễn Bảo Vương: />
7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
x k 2
3
A. x k , k . B.
, k .
3
x 2 k 2
3
x 3 k
C. x k 2, k . D.
, k .
3
x 2 k
3
Câu 46.
(THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình cos x 1 là:
A. x
2
k , k . B. x k 2 , k .
C. x k 2 , k . D. x k , k .
Câu 47.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Phương trình cos x
A. x k 2 ; k .
3
3
C. x
k 2 ; k .
4
Câu 48.
B. x k ; k .
4
D. x k ; k .
3
(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Khẳng định nào sau đây
là khẳng định sai?
A. cos x 1 x k 2 .
C. cos x 1 x k 2 . D. cos x 0 x
Câu 49.
2
có tập nghiệm là
2
B. cos x 0 x
2
2
k .
k 2 .
(THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình lượng giác:
2 cos x 2 0 có nghiệm là
3
7
x 4 k 2
x 4 k 2
x 4 k 2
x 4 k 2
A.
.
B.
. C.
.
D.
.
x k 2
x 3 k 2
x 3 k 2
x 7 k 2
4
4
4
4
Câu 50. (THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHÒNG - 2018) Tìm công thức nghiệm của phương trình
2 cos x 1 (với ).
x 3 k 2
A.
k .
x 2 k 2
3
x
k 2
3
C.
k
x k 2
3
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
x k 2
B.
k .
3
x k 2
x
k 2
3
D.
k .
x k 2
3
Nguyễn Bảo Vương: />
8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 51. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trình cos x m 0 vô nghiệm.
A. m ; 1 1;
B. m ( ; 1] [1; )
C. m 1;
D. m ( ; 1)
Câu 52.
(THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Tổng các nghiệm thuộc khoảng
2
; của phương trình 4 sin 2 x 1 0 bằng:
2 2
A. .
B. .
C. 0 .
D. .
3
6
Câu 53.
(CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình
2cos x 1 có số nghiệm thuộc đoạn 0; 2 là
3
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
Câu 54.
(KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Biết các nghiệm của phương trình cos 2 x
dạng x
m
A. 4.
Câu 55.
Câu 56.
Câu 57.
k , k ; với m, n là các số nguyên dương. Khi đó m n bằng
n
B. 3.
C. 5.
D. 6.
k và x
Phương trình 2cos x 1 có số nghiệm thuộc đoạn 0; 2 là
3
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình cot x 3
3
k
k
có dạng x
, k , m , n * và là phân số tối giản. Khi đó m n bằng
m n
n
A. 5 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 3 .
(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2 x 1 0 trong đoạn
0; là:
A. x .
Câu 58.
1
có
2
B. x
11
.
12
C. x
2
.
3
D. x
5
.
6
(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hai phương trình cos 3 x 1 0 (1); cos 2 x
1
(2). Tập các
2
nghiệm của phương trình (1) đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là
A. x
3
C. x
Câu 59.
k 2 , k . B. x k 2 , k .
3
k 2 , k D. x
2
k 2 , k .
3
(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một
1
góc là nghiệm của phương trình cos 2 x .
2
2
2
A. , , .
B. , , ; , , .
3 6 6
3 3 3 3 6 6
Nguyễn Bảo Vương: />
9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
C. , , ; , , .
3 3 3 4 4 2
ĐT:0946798489
D. , , .
3 3 3
Câu 60.
(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình
5
2 cos x 3 trên đoạn 0; là
2
A. 2 .
B. 1.
C. 4 .
D. 3 .
Câu 61.
(CTN - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình cos x
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
1
thuộc đoạn 2 ; 2 là?
2
D. 1 .
Câu 62. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Phương trình cos 2 x cos x 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc
khoảng ; ?
B. 3 .
A. 2 .
Câu 63.
D. 4 .
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 x cos x 0
trên khoảng 0; 2 bằng T . Khi đó T có giá trị là:
A. T
Câu 64.
C. 1.
7
.
6
B. T 2 .
C. T
4
.
3
D. T .
(THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương trình
5
2 cos x 3 trên đoạn 0; là
2
A. 2 .
B. 1.
C. 4 .
D. 3 .
Dạng 3. Phương trình tanx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 65.
(THPT KIẾN AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
tan x m , m .
A. x arctan m k hoặc x arctan m k , k .
B. x arctan m k , k .
C. x arctan m k 2 , k .
D. x arctan m k , k .
Câu 66. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Phương trình tan x 3 có tập nghiệm là
A. k 2 , k . B. .
C. k , k . D. k , k .
3
3
6
Câu 67.
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
tan 3 x tan x là
k
k
, k .
, k .
A. x
B. x k , k .
C. x k 2 , k .
D. x
2
6
Câu 68. Phương trình tan 3x 15 3 có các nghiệm là:
A. x 60 k180 .
B. x 75 k180 .
C. x 75 k 60 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. x 25 k 60 .
10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 69. Phương trình lượng giác: 3.tan x 3 0 có nghiệm là:
A. x k .
B. x k 2 .
C. x k .
3
3
6
Câu 70. Giải phương trình: tan 2 x 3 có nghiệm là:
A. x k .
B. x k .
3
3
Câu 71. Nghiệm của phương trình 3 3 tan x 0 là:
A. x k .
B. x k .
6
2
C. x
C. x
3
3
D. x
k .
k .
D. x
Câu 73.
Tính tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình: tan x tan 3x (1)
171
.
2
k .
2
k 2 .
3 tan 2 x 3 0 .
(THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Giải phương trình
A. x k k . B. x k k .
6
3
2
C. x k k . D. x k k .
3
6
2
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
B.
3
D. vô nghiệm.
Câu 72.
A. 55 .
C. 45 .
D.
190
.
2
Câu 74. Trong các nghiệm dương bé nhất của các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm dương nhỏ
nhất?
A. tan 2 x 1 .
B. tan x 3 . C. cot x 0 .
D. cot x 3 .
4
Câu 75.
(THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
3
tan x
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
3
y
B
D
A'
C
O
A
x
F
E
B'
A. Điểm F , điểm D .
B. Điểm C , điểm F .
Nguyễn Bảo Vương: />
11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
C. Điểm C , điểm D , điểm E , điểm F .
Câu 76. Số nghiệm của phương trình tan x tan
A. 4.
B. 1.
D. Điểm E , điểm F .
3
trên khoảng ; 2 là?
11
4
C. 2.
D. 3.
Câu 77. Tổng các nghiệm của phương trình tan 5x tan x 0 trên nửa khoảng 0; bằng:
A.
5
.
2
B. .
C.
3
.
2
D. 2 .
Câu 78. Tính tổng các nghiệm của phương trình tan 2 x 150 1 trên khoảng 900 ;900 bằng.
0
A. 0 .
0
B. 30 .
0
0
C. 30 .
D. 60 .
Dạng 4. Phương trình cotx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 79. Phương trình lượng giác 3cot x 3 0 có nghiệm là:
A. x k 2 .
B. Vô nghiệm.
C. x k .
3
6
Câu 80.
D. x
3
k .
(Sở GD Kiên Giang-2018-BTN) Phương trình 2 cot x 3 0 cónghiệmlà
x 6 k 2
A.
B. x k 2 k Z
k Z .
3
x k 2
6
C. x arccot
3
k k Z .
2
D. x
6
k k Z .
Câu 81. Giải phương trình cot 3x 1 3.
1 5
A. x
k k Z .
3 18
3
5
C. x
k k Z .
18
3
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
1
B. x k k Z .
3 18
3
1
D. x k k Z .
3 6
Câu 82. (THPT Hồng Quang - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Nghiệm của phương trình
k
k
, k , m , n * và là phân số tối giản. Khi đó m n
cot x 3 có dạng x
m n
n
3
bằng
A. 3 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 5 .
Câu 83. Hỏi trên đoạn 0; 2018 , phương trình
A. 2018.
B. 6340.
3 cot x 3 0 có bao nhiêu nghiệm?
C. 2017.
D. 6339.
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp
Nguyễn Bảo Vương: />
12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 84.
ĐT:0946798489
(GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Trong các phương trình sau,
phương trình nào vô nghiệm?
2
3
A. tan x 99 .
B. cos 2 x
. C. cot 2018 x 2017 . D. sin 2 x .
4
2
3
Câu 85. Trong các phương trình sau, phương trình nào nhận x
A. sin 3x sin 2 x .
4
C. cos 4 x cos 6 x.
Câu 86.
6
k
2
3
k
làm nghiệm
B. cos x sin 2 x.
D. tan 2 x tan
4
.
(CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình sin x cos x có số nghiệm
thuộc đoạn ; là:
A. 3
Câu 87.
B. 5
(TRƯỜNG THPT LƯƠNG
x
x
2 cos 1 sin 2 0
2
2
2
k 2 , k
A. x
3
C. x
3
k 4 , k
C. 2
TÀI
SỐ
2
D. 4
NĂM
2018-2019)
Giải
phương
trình
k 2 , k
3
2
k 4 , k
D. x
3
B. x
Câu 88.
(THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình
8.cos 2 x.sin 2 x.cos 4 x 2 có nghiệm là
x 32 k 4
x 16 k 8
A.
B.
k .
k .
x 5 k
x 3 k
32
4
16
8
x 8 k 8
x 32 k 4
C.
D.
k .
k .
x 3 k
x 3 k
8
8
32
4
Câu 89.
(CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm số nghiệm của phương trình
sin cos 2 x 0 trên 0; 2 .
A. 2 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 3 .
Câu 90.
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. tan x 3 .
B. sin x 3 0 .
C. 3sin x 2 0 .
D. 2 cos 2 x cos x 1 0 .
Câu 91.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong khoảng 0; , phương trình cos 4 x sin x 0 có
tập nghiệm là S . Hãy xác định S .
2 3 7
A. S ;
; ; .
3 3 10 10
3
B. S ; .
6 10
Nguyễn Bảo Vương: />
13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
7
C. S ; ; .
6 10 10
ĐT:0946798489
5 3 7
D. S ; ; ; .
6 6 10 10
Câu 92.
(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Phương trình cos3x.tan 5x sin 7 x nhận những giá trị sau của x
làm nghiệm
A. x .
B. x 10 ; x .
C. x 5 x .
D. x 5 x
2
10
10
20
Câu 93.
(THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2 x cos x có nghiệm là
k
k
x 6 3
x 6 3
A.
B.
k .
k .
x k 2
x k 2
3
2
k 2
x 6 k 2
x 6 3
C.
D.
k .
k .
x k 2
x k 2
2
2
Câu 94.
(THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Số nghiệm của phương trình 4 x 2 sin 2 x 0 là
A. 2 .
B. 5 .
C. 4 .
D. 3 .
Câu 95.
(THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Phương trình
sin x cos x có bao nhiêu nghiệm x 0;5 ?
B. 4 .
A. 3 .
Câu 96.
D. 6 .
(SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Nghiệm của phương trình sin 3 x cos x là
A. x k ; x k
C. x k 2 ; x
Câu 97.
C. 5 .
2
2
.
B. x
k 2 .
8
k
2
; x
4
k .
D. x k ; x
4
k .
(THPT HÒA VANG - ĐÀ NẴNG - 2018) Phương trình sin 2 x cos x 0 có tổng các nghiệm
trong khoảng 0; 2 bằng
A. 2 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 6 .
Câu 98.
(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Số nghiệm chung của hai phương trình 4 cos 2 x 3 0 và
3
2 sin x 1 0 trên khoảng ; bằng
2 2
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 1 .
Câu 99.
(THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Giải phương trình sin x sin 7 x sin 3x sin 5 x .
k
k
k
A. x k , k .
B. x
C. x
D. x
,k .
,k .
,k .
6
4
2
Câu 100. (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Tìm số nghiệm của phương trình sin x cos 2 x thuộc
đoạn 0; 20 .
A. 20 .
B. 40 .
C. 30 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. 60 .
14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Dạng 1. Phương trình sinx=a
Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 1.
Câu 2.
x
x
1 k 2 x k 4 , k
2
2 2
5
k 2 k .
sin x 1 x k 2 x
3 2
6
3
Phương trình tương đương sin
k 2 x
Câu 3.
Ta có: sin 2 x 1 2 x
Câu 4.
Ta có: 2 sin x 3 0 sin x
Câu 5.
Ta có sin x 1 x
2
4
k .
3
1 nên phương trình vô nghiệm.
2
k 2 k .
2
là một nghiệm của phương trình sin x 1 .
2
x k 2
3
3
Ta có sin x
, với k .
x 2 k 2
2
3
x 30 k 360
x 30 k 360
Ta có sin x sin 30
k .
x 180 30 k 360
x 150 k 360
Do đó x
Câu 6.
Câu 7.
Câu 8.
Ta có sin x 1 x
2
k 2 , k .
Ta có sin x 1 x k 2 x k 2 k .
6 2
3
6
x 6 k 2
1
Câu 10. Ta có: 2sin x 1 0 sin x sin x sin
k .
2
6
x 5 k 2
6
Câu 11. Chọn B
1
Ta có: 2 sin x 1 0 sin x sin
2
6
x 6 k 2
k
x 7 k 2
6
Câu 9.
x k 2
3
3
Câu 12. 2 sin x 3 0 sin x
k .
2
x 2 k 2
3
2
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S k 2 ,
k 2 , k
3
3
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 13. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: />
15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
1
với
2
đường tròn lượng giác ⇒ M và N là các điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình lượng giác
1
cơ bản: sin x 2sin x 1 ⇒ Đáp án.
C.
2
Câu 14. Chọn B
3
2
x
x
k 2
x k 2
3
4
4
Ta có: sin 2 x sin x
k .
x k 2
3
4
4
2x x
k 2
6
3
4
4
+ Xét x k 2 k .
Ta thấy 2 điểm M và N là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm
Do 0 x 0 k 2
2
k .
6
3
2
1
5
Do 0 x 0 k
k . Vì k nên có hai giá trị k là: k 0; k 1 .
6
3
4
4
+ Xét x
1
k 0 . Vì k nên không có giá trị k .
2
k
Với k 0 x
.
6
5
.
Với k 1 x
6
5
.
6
6
5
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng 0; là:
.
6 6
Câu 15. Chọn B
m2 5
Phương trình đã cho tương đương với phương trình sin 2 x
3
2 2 m 2
m2 5
1;1 m2 2;8
Vì sin 2 x 1;1 nên
3
2 m 2 2
Vậy có 2 giá trị.
1 m
1 m
Câu 16. 3sin x m 1 0 sin x
, để có nghiệm ta có 1
1 2 m 4
3
3
Nên có 7 giá trị nguyên từ 2; đến 4 .
Do đó trên khoảng 0; phương trình đã cho có hai nghiệm x
Câu 17.
và x
Ta có sin cos2x 0 cos 2x k k
Vì cos 2 x 1;1 k 0 cos 2 x 0 2 x
2
k1 x
4
k1
2
k1 .
x 0; 2 k1 0;1; 2;3 .
Vậy phương trình có 4 nghiệm trên 0; 2 .
Câu 18.
3 x k 2
3
3
3
Ta có sin 3x
sin 3 x sin
k
3
3
2
3
3 x k 2
3
3
Nguyễn Bảo Vương: />
16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
2
2
x 9 k 3
k .
x k 2
3
3
2
2
2
2
1
13
k
0; 0
k
k . Do k k 1 . Suy
+) TH1: x
9
3 2
9
3
2
3
12
4
ra trường hợp này có nghiệm x
thỏa mãn.
9
2
2
1
1
0; 0 k
k . Do k k 0 . Suy ra
+) TH2: x k
3
3 2
3
3
2
2
4
trường hợp này có nghiệm x thỏa mãn.
3
Vậy phương trình chỉ có 2 nghiệm thuộc khoảng 0; .
2
Câu 19. Chọn D
Tự luận
x k 2
x k 2
3
3
3
2sin x 3 0 sin x
sin x sin
,k
2
3
x k 2
x 2 k 2
3
3
- Xét x k 2
3
5
1
5
0 x 2 0 k 2 2 k 2
k k 0
3
3
3
6
6
Chỉ có một nghiệm x 0; 2
3
2
- Xét x
k 2
3
2
2
4
1
2
0 x 2 0
k 2 2
k 2
k k 0
3
3
3
3
3
2
Chỉ có một nghiệm x
0; 2
3
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn 0; 2 .
x
k 2
1
6
Câu 20. Phương trình tương đương: sin x
, (k )
2
x 7 k 2
6
3
2
61
k 2 10 , k
k , k
+ Với x k 2 , k ta có
6
2
6
3
12
0 k 5 , k . Do đó phương trình có 6 nghiệm.
7
3 7
4
53
+ Với x
, k
k 2 , k ta có
k 2 10 , k
k
6
2
6
3
12
1 k 4 , k . Do đó, phương trình có 6 nghiệm.
+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu
Nguyễn Bảo Vương: />
17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
7
2
k 2 k k (vô lí, do k , k ).
6
6
3
3
Vậy phương trình có 12 nghiệm trên đoạn ;10 .
2
3
2x x
k 2
x k 2
3
4
4
Câu 21. Ta có sin 2 x sin x
2 k , l .
x l
4
4
2 x x l 2
6
3
4 4
Họ nghiệm x k 2 không có nghiệm nào thuộc khoảng 0; .
x
6
l
ĐT:0946798489
k 2
2
2
0; 0 l
l 0; 1 .
3
6
3
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng 0; là x
6
và x
5
. Từ đó suy ra tổng các
6
nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình này bằng .
Câu 22.
Câu 23.
Câu 24.
Câu 25.
x 2 k
1
6
Ta có: sin x
k .
5
2
x 2 k
6
Vì x ; nên x S .
6
6
2 2
3x k 2
3
3
3
Ta có: sin 3x
k
4
3
2
3 x
k 2
3
3
2
2
2
x
k
3x
k 2
9
3
k
k .
3
2
x k
3 x k 2
3
3
4
Vì x 0; nên x , x
.
3
9
2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng 0; .
2
x
k 2
3
3
sin
.
2 sin x 3 0 sin x
2
3
x 2 k 2
3
2
2
.
Các nghiệm của phương trình trong đoạn 0; là ;
nên có tổng là
3 3
3 3
2 x k 2
x k
x k
3
3
6
6
Ta có: sin 2 x
sin
.
2
3
2 x 4 k 2
x 2 k
x k
3
3
3
Nguyễn Bảo Vương: />
18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Vậy
6
và
3
ĐT:0946798489
. Khi đó
2
.
x 2 k
1
6
Câu 26. Ta có: sin x
k .
2
x 5 2k
6
Vì x ; nên x S .
6
6
2 2
x k 2
1
6
Câu 27. Ta có 2 sin x 1 0 sin x
2
x 7 k 2
6
7
Với k 0 x hoặc x
.
6
6
Điểm biểu diễn của x
Câu 28.
6
là F , điểm biểu diễn x
k
7
là E .
6
Ta có sin x 1 x k 2 x k 2 , k .
4
4 2
4
Suy ra số nghiệm thuộc ; 2 của phương trình là 1 .
x 6 k 2
1
Câu 29. Ta có: 2sin x 1 0 sin x
k .
2
x 5 k 2
6
5
Do x 0; 2 nên ta có x ; x
.
6
6
Câu 30. Ta có
xk
5 x x k 2
2
sin 5 x sin x 0 sin 5 x sin x
(*)
5 x x k 2
x k
6
3
k
x k 2
5
x
m m .
6
x n
n
6
2018 k 2 2018
4036 k 4036
5
12103
12113
Vì x 2018 ; 2018 nên 2018
m
.
m 2018
6
6
6
12107
12109
2018 6 n 2018
6 n 6
Do đó có 8073 giá trị k , 4036 giá trị m , 4036 giá trị n , suy ra số nghiêm cần tìm là 16145 .
nghiệm.
Nguyễn Bảo Vương: />
19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 31.
ĐT:0946798489
Chọn A
x k 2
1
6
+ Phương trình tương đương sin x sin x sin
, k .
5
2
6
k 2
x
6
+ Với x k 2 , k .
6
5
5
1
7
Vì x 0; nên 0 k 2
, k k , k k 0;1 .
2
6
2
12
6
3
Suy ra: x ;
.
6 6
5
+ Với x
k 2 , k .
6
5
5
5
5
5
Vì x 0; nên 0
, k k , k k 0.
k 2
2
6
2
12
6
5
Suy ra: x
.
6
5 3
Do đó x ; ;
.
6 6 6
Vậy số nghiệm của phương trình là 3 .
Câu 32. Chọn B
x k 2
3
3
2 sin x 3 0 sin x
.
sin
2
3
x 2 k 2
3
2
2
.
Các nghiệm của phương trình trong đoạn 0; là ;
nên có tổng là
3 3
3 3
Câu 33. Chọn A
x
2k
1
6
Ta có: sin x
k .
2
x 5 2k
6
Vì x ; nên x S .
6
6
2 2
Câu 34. Chọn A
x
k 2
1
6
Phương trình tương đương: sin x
, ( k )
2
x 7 k 2
6
3
2
61
+ Với x k 2 , k ta có
k 2 10 , k
k , k
6
2
6
3
12
0 k 5 , k . Do đó phương trình có 6 nghiệm.
7
3 7
4
53
+ Với x
, k
k 2 , k ta có
k 2 10 , k
k
6
2
6
3
12
Nguyễn Bảo Vương: />
20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
1 k 4 , k . Do đó, phương trình có 6 nghiệm.
+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu
7
2
k 2
k 2 k k (vô lí, do k , k ).
6
6
3
3
Vậy phương trình có 12 nghiệm trên đoạn ;10 .
2
Câu 35. Chọn B
2 x k 2
3
3 3
Ta có 2 sin 2 x 3 0 2sin 2 x
3 2
3
2 x k 2
3
3
x 3 k
4 7 3 5
, k . Vì x 0;3 nên x ;
;
; ; ; .
3 3 3 2 2 2
x k
2
Dạng 2. Phương trình cosx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 36. Chọn D
x k 2
2
Phương trình cos x
cos x cos
(k Z ) .
x k 2
4
2
4
4
2
Câu 37. Chọn A
2
1
2
Ta có: cos x cos x cos x
k 2 k .
3
2
3
Câu 38. Chọn
D.
Ta có cos x 1 x k 2 , k .
Câu 39. Chọn C
Phương trình cos x cos
Câu 40.
3
x
3
k 2 k
Chọn A
Theo công thức nghiệm đặc biệt thì cos x 0 x
Câu 41.
Câu 42.
Câu 43.
Câu 44.
2
k k . Do đó Chọn
A.
x k 2
2
Phương trình cos x
cos x cos
k .
4 2
4
4 x k 2
2
x
x
3
cos 0 k x
3k , k .
3
3 2
2
1
Phương trình 2 cos x 1 0 cos x x k 2 , k .
2
3
x k 2
2
4
,k .
2 cos x 2 0 cos x
2
x k 2
4
Nguyễn Bảo Vương: />
21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
1
x k 2 , k .
2
3
Câu 46. Phương trình cos x 1 x k 2 , k .
3
2
3
k 2 , k .
Câu 47. cos x
cos x cos x
4
2
4
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S x
k 2 ; k .
4
Câu 48. Ta có: cos x 1 x k 2 k .
Câu 45.
TXĐ: D . Ta có 2 cos x 1 0 cos x
k k .
2
cos x 1 x k 2 k .
cos x 0 x
Câu 49.
Câu 50.
2
3
3
cos
x
k 2
2
4
4
x k 2
1
3
2 cos x 1 cos x x k 2
k .
2
3
x k 2
3
Phương trình tương đương với cos x
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 51. Chọn A
Do cos x 1 , x nên phương trình: cos x m 0 cos x m
có nghiệm khi m 1 và vô nghiệm khi m 1 .
Câu 52.
Ta có: 4 sin 2 2 x 1 0 2 1 cos 4 x 1 0 cos 4 x
1
x k
2
12
2
k .
x1 12
x
2
12 x x x x 0 .
Do x k ;
1
2
3
4
12
2 2 2
x3 5
12
5
x4
12
Câu 53. Phương trình:
2
2cos x 1 cos x
3
3
2
x 3 2 k 2
x 6 k 2
k
k
x k 2
x 5 k 2
3
2
6
7
Vì x 0;2 nên x ,
. Vậy số nghiệm phương trình là 2
6 6
Câu 54. Chọn
D.
Nguyễn Bảo Vương: />
22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
2
2x
k 2
x k
1
2
3
3
cos 2 x cos 2 x cos
k
2
3
2 x 2 k 2
x k
3
3
m n 33 6 .
Câu 55. Chọn B
Phương trình:
2
2cos x 1 cos x
3
3
2
x 3 2 k 2
x 6 k 2
k
k
x k 2
x 5 k 2
3
2
6
7
Vì x 0;2 nên x ,
. Vậy số nghiệm phương trình là 2
6 6
Câu 56. Ta có cot x 3 cot x cot x k x k , k .
3 6
6
3
3
6
m 6
Vậy
mn 5.
n 1
2 x k 2
x k
1
3
6
Câu 57. Phương trình 2cos 2 x 1 0 cos 2 x
.
2
2 x k 2
x k
3
6
5
1
x
0 6 k
6 k 6
k 0
6
Xét x 0;
mà k suy ra
.
k 1
0 k
1 k 7
x 5
6
6
6
6
5
Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2 x 1 0 trong đoạn 0; là x
.
6
2
Câu 58. Ta có cos 3 x 1 0 cos 3 x 1 x k
, k .
3
1
2
cos 2 x 2 x
k 2 x k , k .
2
3
3
Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác ta có tập các nghiệm của phương trình (1) đồng
2
thời là nghiệm của phương trình (2) là x
k , k .
3
1
2
Câu 59. Ta có: cos 2 x 2 x
k 2 x k , k .
2
3
3
2
Do số đo một góc là nghiệm nên x hoặc x
thỏa mãn.
3
3
2
Vậy tam giác có số đo ba góc là: , , hoặc , , .
3 3 3
3 6 6
Câu 60.
2 cos x 3 cos x
3
x k 2 , k .
2
6
Nguyễn Bảo Vương: />
23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
5
11 13
Mà x 0; và k nên x ;
;
.
6
2
6 6
Câu 61.
x k 2
1
3
Ta có cos x
, k .
2
x k 2
3
Xét x
3
Xét x
k 2 , do x 2 ; 2 và k nên 2
3
3
k 2 2 k 1 ; k 0 .
k 2 , do x 2 ; 2 và k nên 2
3
k 2 2 k 1 ; k 0 .
Vậy phương trình có 4 nghiệm trên đoạn 2 ; 2 .
x k 2
Câu 62. Ta có cos 2 x cos x 0 cos 2 x cos x
k
x k 2
3
3
x 3
Vì x
.
x
3
Câu 63. Ta có: cos 2 x cos x 0 cos 2 x cos x
x k 2
2 x x k 2
k 2
x
;k .
k
2
x
3
2 x x k 2
3
k 2
2 0 k 3 .
Vì x 0; 2 nên 0
3
2
4
Do k nên k 1; 2 x
; x
.
3
3
2 4
2 .
Vậy T
3
3
Câu 64. Chọn D
3
2 cos x 3 cos x
x k 2 , k .
2
6
5
11 13
Mà x 0; và k nên x ;
;
.
6
2
6 6
Dạng 3. Phương trình tanx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 65. Ta có: tan x m x arctan m k , k .
Câu 66.
Ta có tan x 3 tan x tan
Câu 67.
Ta có tan 3 x tan x 3 x x k x
3
x
3
k , k .
k
, k .
2
Trình bày lại
Nguyễn Bảo Vương: />
24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
k
x
cos3x 0
6 3
ĐK:
*
cosx 0
x k
2
Ta có tan 3 x tan x 3 x x k x
Câu 68.
k
, k . Kết hợp điều kiện * suy ra x k , k
2
Chọn D
Ta có: tan 3x 15 3 tan 3 x 15 tan 60 3x 15 60 k180
x 25 k 60 k .
Câu 69.
Chọn D
3.tan x 3 0 tanx 3 x
Câu 70.
3
k , k .
3
x k k .
3
6
Chọn D
3 tan 2 x 3 0 tan 2 x 3 2 x
Câu 73.
k .
Chọn A
3 3 tan x 0 tan x
Câu 72.
3
Chọn C
tan 2 x 3 tanx 3 x
Câu 71.
3
k x
6
k
2
k .
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Chọn C
x k
cos x 0
2
Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa
*
cos3
x
0
k
x
6 3
k
Khi đó, phương trình (1) 3x x k x
so sánh với đk (*)
2
x k 2
x k 2 , x 0;30 k 0;...; 4 x 0; ; 2 ;....;9
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình (1) là: 45 .
Câu 74. Chọn A
A. tan 2 x 1 tan 2 x tan
4
2x
4
k x
8
(Với k 0 nên nghiệm dương bé nhất là x
k
8
2
k .
)
7
k k .
B. tan x 3 x k x
4
4 3
12
7
Nghiệm dương bé nhất là x
.
12
C. cot x 0 cos x 0 x
2
k k Nghiệm dương bé nhất là x
Nguyễn Bảo Vương: />
2
.
25
