CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

TOÁN 10
0D3-2

ĐT:0946798489

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI
TRUY CẬP ĐƯỢC NHIỀU
HƠN

MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 2
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .......................................................... 2
DẠNG 1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ................................................................................................................ 2
DẠNG 1.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ......................................................................................................................... 3
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU .......................................................................................................... 3
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI CĂN ................................................................................................... 4
DẠNG 4. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ET GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI ....................................................... 7
DẠNG 5. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ ..................................................................... 7
DẠNG 5.1 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ n NGHIỆM .................................................................... 7
DẠNG 5.1.1 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ............................................................. 7
DẠNG 5.1.2 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI................................................................. 8
DẠNG 5.1.3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI................................................................... 9
DẠNG 5.1.4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MẪU...................................................................................................... 10
DẠNG 5.1.5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN ...................................................................................................... 11
DẠNG 5.1.6 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO .......................................................................................................... 12
DẠNG 5.2 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA MÃN YÊU CẦU CHO TRƯỚC .... 13
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 16
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ........................................................ 16
DẠNG 1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT .............................................................................................................. 16

DẠNG 1.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ....................................................................................................................... 17
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU ........................................................................................................ 18
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI CĂN ................................................................................................. 20
DẠNG 4. ĐỊNH LÍ VI-ET VÀ ỨNG DỤNG ................................................................................................................ 28
DẠNG 5. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ ................................................................... 29
DẠNG 5.1 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ n NGHIỆM .................................................................. 29
DẠNG 5.1.1 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ........................................................... 29
DẠNG 5.1.2 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI............................................................... 29
DẠNG 5.1.3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI................................................................. 32
DẠNG 5.1.4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MẪU...................................................................................................... 34
DẠNG 5.1.5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN ...................................................................................................... 36
DẠNG 5.1.6 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO .......................................................................................................... 41
DẠNG 5.2 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA MÃN YÊU CẦU CHO TRƯỚC .... 45
Nguyễn Bảo Vương:  />
1


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

 
PHẦN A. CÂU HỎI 
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
DẠNG 1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 

Câu 1.

 (THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Phương trình  x - 1  2  có nghiệm là:
A. x  1 .


Câu 2.

B. x  3 . 

C. x  3; x  -1 .

D. x  2 . 

  Cho phương trình  3x - 1  2 x - 5 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phương trình  1  vô nghiệm. 
B. Phương trình  1  có đúng một nghiệm. 
C. Phương trình  1  có đúng hai nghiệm phân biệt. 
D. Phương trình  1  có vô số nghiệm. 

Câu 3.

  Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm  x  - x ?  
A. 0 . 

Câu 4.

B. x0   0; 2  .

C. x0   4;6  . 

D. x0   3; 4  . 

B. 1 . 


C. 2 . 

D. Vô số. 

  Phương trình  x + 1  2 x + 1 có tập nghiệm là 
 
A. S  0 .

Câu 7.

D. Vô số. 

 Phương trình  2 x - 4 + x - 1  0  có bao nhiêu nghiệm? 
A. 0.  

Câu 6.

C. 2 . 

  Giả sử  x0  là một nghiệm lớn nhất của phương trình  3x - 4  6 . Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG?
A. x0   -1;0  .

Câu 5.

B. 1 . 

ì
î

2

3

B. S  í0; -  .

ì 2
î 3

C. S  í-  .

D. S   . 

  Phương trình  3 - x  2 x - 5  có hai nghiệm  x1 , x2 . Tính  x1 + x2
A. -

14
.
3

B. -

28
. 
3

C.

7
. 
3


D.

14
. 
3

Câu 8.

 (HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình  | 5 x + 4 | x + 4
. 
4
4
A. .
B. 0 . 
C. - .
D. 4 . 
3
3

Câu 9.

 (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Tập nghiệm của phương trình  x - 2  2 x - 1  
là: 
A. S  1 . 
B. S  -1 . 
C. S  -1;1 . 
D. S  0 . 

Câu 10.  Gọi  a, b  là hai nghiệm của phương trình  3 x - 2  x - 4  sao cho  a < b . Tính  M  3a + 2b .
A. M  5 . 


B. M  0 .

C. M  -5 .

D. M 

5
. 
2

Câu 11.  Phương trình  3 x - 2  x  có bao nhiêu nghiệm nguyên? 
Nguyễn Bảo Vương:  />
2


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A. 3. 

ĐT:0946798489

B. 0. 

C. 2. 

D. 1. 

C. 3 . 


D. 1. 

Câu 12.   Số nghiệm của phương trình  x 2 - 1  x - 2  là 
A. 0 . 
B. 2 . 
DẠNG 1.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 
 

Câu 13.   (HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Tổng các nghiệm của phương trình sau  x - 2  3 x 2 - x - 2  là: 
A. 0 .

B.

2 3
.
3

C. 1.

D. -

2 3
.
3

Câu 14.  Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình  2 x 2 - 3 x - 2  x + 2 .
A.

3
.

2

B. 1. 

C. 3.

D. 2. 

Câu 15.  Tổng tất cả các nghiệm của phương trình  x 2 - 2x - 1  x 2 - 2  bằng:
A.

1
. 
2

B.

3
.
2

3
D. - . 
2

C. 1 .

Câu 16.  Phương trình  x 2 + 2 x - 8  x - 2  có số nghiệm là: 
A. 0 . 


C. 3 . 

B. 2 . 

D. 1. 

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 
 
x -1
4
 là 
 2
x-2 x -4
B. 2 . 
C. 3 . 

Câu 17.  Số nghiệm của phương trình 
A. 0 . 
Câu 18.  Biết phương trình 

x -1
4
a+ b
 có một nghiệm là 
, với  a ,  b ,  c  nguyên dương và 
 -3 +
2x - 3
x +1
c


a
 tối giản. Tính  T  2 a - b + 3c . 
c
A. T  5 . 
B. T  -1 .
Câu 19.   Tích tất cả các nghiệm của phương trình 
A. 1 . 

D. 1. 

B. 0 .

C. T  1 .

D. T  -5 . 

1
1
- 2
 1  là
x + x+2 x + x-2
2

C. -1 .

5
D. - . 
2

x2 - 2 x + 2

1
1
+
 2+
Câu 20.   Số nghiệm của phương trình
 là 
x -1
x-2
x-2
A. 2. 

B. 3. 

C. 1. 

Câu 21.   (THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Cho phương trình 
đó  a  thuộc tập: 
1 
A.  ;3  . 
3 

 1 1
B.  - ;  . 
 2 2

1 
C.  ;1 . 
3 

Nguyễn Bảo Vương:  />

D. 0. 
x 2 - 3x - 2
 - x có nghiệm  a . Khi 
x -3
D.  . 

3


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 22.  (THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Một xe hơi khởi hành từ Krông Năng đi đến Nha Trang 
cách nhau  175  km. Khi về xe tăng vận tốc trung bình hơn vận tốc trung bình lúc đi là  20  km/giờ. 
Biết rằng thời gian dùng để đi và về là  6  giờ, vận tốc trung bình lúc đi là:
A. 60  km/giờ.
B. 45  km/giờ.
C. 55  km/giờ.
D. 50  km/giờ. 
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI CĂN 
 
Câu 23.  Tập nghiệm  S  của phương trình  2 x - 3  x - 3  là
A. S   .
B. S  2 .
C. S  6; 2 . 

D. S  6 . 

Câu 24.   Tìm số giao điểm giữa đồ thị hàm số  y  3x - 4  và đường thẳng  y  x - 3 .

A. 2  giao điểm.
B. 4  giao điểm.
C. 3  giao điểm. 
D. 1 giao điểm. 
Câu 25.  Tổng các nghiệm (nếu có) của phương trình:  2 x - 1  x - 2  bằng: 
A. 6 .
B. 1 . 
C. 5 .

D. 2 . 

Câu 26.  Số nghiệm của phương trình  3 x - 2  x  là
A. 2 .
B. 1 .

D. 0 . 

C. 3 .

Câu 27.  Nghiệm của phương trình  5 x + 6  x - 6 bằng 
A. 15 .
B. 6 .
C. 2  và  15 .

D. 2 . 

Câu 28.  Tập nghiệm của phương trình  4 x + 7  2 x - 1  là 
ïì 2 - 10 2 + 10 ï
ïì 2 + 10 ï
A. í

;
 .  B. í
 . 
2 ï
îï 2
îï 2 ï
ïì 2 - 10 ï
C. í
 . 
îï 2 ï

D. Một phương án khác. 

Câu 29.  Phương trình  - x 2 + 4 x  2 x - 2  có bao nhiêu nghiệm? 
A. 3 . 
B. 0 . 
C. 2 . 

D. 1 . 

Câu 30.  (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Số nghiệm của phương trình 

x 2 - 2 x + 5  x 2 - 2 x + 3 là 
A. 2 . 
B. 3 . 

C. 1. 

D. 0 . 


Câu 31.  Tích các nghiệm của phương trình  x 2 + x + 1  x 2 + x - 1  là
A. 3 . 
B. -3 .
C. -1 .

D. 0 . 

Câu 32.  Phương trình  2 x 2 + 3x - 5  x + 1  có nghiệm: 
A. x  1 . 
B. x  2 . 
C. x  3 . 

D. x  4 . 

Câu 33.  Số nghiệm của phương trình  3x 2 - 9 x + 7  x - 2  là 
A. 3 . 
B. 1 . 
C. 0 . 

D. 2 . 

Câu 34.  Số nghiệm của phương trình  x 2 + 3  3x - 1.  là 
A. 0 . 
B. 1 . 
C. 2 . 

D. 3 . 

Câu 35.   Phương trình:  x 2 - x - 12  7 - x  có bao nhiêu nghiệm? 
A. 0 .

B. 2 . 
C. 1 .
D. Vô Số. 
Nguyễn Bảo Vương:  />
4


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489
2

Câu 36.  (HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Số nghiệm của phương trình sau  x - 2 x - 3x + 1  1  là: 
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 37.  Số nghiệm của phương trình  x 2  3 x  86 19 x 2  3 x  16  0  là. 
A. 4 . 
B. 1 . 
C. 3 . 

D. 2 . 

Câu 38.   Tổng các bình phương các nghiệm của phương trình   x - 1 x - 3 + 3 x 2 - 4 x + 5 - 2  0  là: 
A. 17 . 

C. 16 . 

B. 4 . 


D. 8 . 

Câu 39.   Tổng bình phương các nghiệm của phương trình  x 2 + 5 x + 2 + 2 x 2 + 5 x + 10  0  là: 
A. 5 . 
B. 13 . 
C. 10 . 
D. 25 . 
Câu 40.  Tập nghiệm của phương trình  x - 2  x 2 - 3 x + 2   0  là
A. S  .

B. S  {1}.  

C. S  {2}.

D. S  {1;2}.  

Câu 41.  (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Phương trình  x2 - 1
bao nhiêu nghiệm? 
A. 1 . 

C. 3. 

B. 4 . 





2x + 1 - x  0  có tất cả 


D. 2 . 

Câu 42.  Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:   x 2 - 4 x + 3 x - 2  0
A. 3 . 

C. 0 . 

B. 1 . 

D. 2

Câu 43.   Tập nghiệm của phương trình   x 2 - x - 2  . x - 1  0  là 
A. {1; 2}.  

C. 1; 2.  

B. {-1;1; 2}.  

D. {-1; 2}.  

Câu 44.  Tập nghiệm của phương trình  x - 2  x 2 - 4 x + 3   0  là 
A. S  2;3 .

B. S  2 .



C. S  1;3 .


D. S  1; 2;3 .



Câu 45.  Tập nghiệm của phương trình  x 2 - x - 2 . x - 1  0  là 
A. {1; 2} .

B. {-1; 1; 2} .

C. éë1; 2  .

D. {-1; 2} . 

Câu 46.  (KSNLGV  -  THUẬN  THÀNH  2  -  BẮC  NINH  NĂM  2018  -  2019)  Phương  trình 

x

2

- 6 x  17 - x 2  x 2 - 6 x  có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A. 2. 

B. 1. 

C. 3. 

D. 4. 

Câu 47.  (KSCL  lần  1  lớp  11  Yên  Lạc-Vĩnh  Phúc-1819)  Số  nghiệm  của  phương  trình 

 x - 2  2 x + 7  x 2 - 4  bằng: 
A. 1. 

B. 2 . 

C. 3 . 

Câu 48.   Tập nghiệm của phương trình  3 - x  x + 2  là
1
ì
ì1 
A. S   .
B. S  í-2;  . 
C. S  í  .
2
î
î2
Câu 49.  Nghiệm của phương trình  2 x - 1  3 - x  là 
3
2
4
A. x  . 
B. x  . 
C. x  . 
4
3
3

D. 0 . 


ì 1
D. S  í -  .
î 2

D. x 

3
. 
2

Câu 50.   Số nghiệm của phương trình  x x - 2  2 - x là 
Nguyễn Bảo Vương:  />
5


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A. 3 . 

ĐT:0946798489

B. 0 . 

C. 1 . 

D. 2 . 

Câu 51.  (THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Tìm tập hợp nghiệm của phương trình 
3 - x  x + 2 +1.
A. 2 .

B. 1; -2 .
C. -1; 2 . 
D. -1 . 
Câu 52.  (HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Số nghiệm nguyên của phương trình sau  x + 3 - 2 x - 1  1  là: 
A. 0 .
B. 2 .
C. 1.
D. 3 .
Câu 53.   Số nghiệm của phương trình  3 x + 1 - 2 - x  1  là
A. 3 .
B. 0 . 
C. 1.

D. 2 . 

Câu 54.  Số nghiệm của phương trình  x 2 + 2 x + 2 x x + 3  6 1 - x + 7  là 
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .

D. 3 . 

Câu 55.  Phương trình  x 2 + 4 x + 3   x + 1 8 x + 5 + 6 x + 2  có một nghiệm dạng  x  a + b  với  a, b > 0
. Khi đó:  a + b   
A. 7. 
B. 5. 
C. 4. 
D. 6. 
Câu 56.   Biết  phương  trình 


x - 1 + 3x - 3  x 2 - 1   có  hai  nghiệm  x1 , x2 .  Tính  giá  trị  biểu  thức 

 x1 - 1 .  x2 - 1 .
A. 1. 

B. 0 .

2.

C.

Câu 57.   Phương trình  x - 2 + x 2 - x + 1  2 x - 1 + x - 2  có số nghiệm là:
A. 1.
B. 3 .
C. 2 . 

D.

3 . 

D. 0 . 

Câu 58.  Với bài toán: Giải phương trình  4 + x - 4 - x + 16 - x 2  4 . Một học sinh giải như sau: 
Bước  1.  Điều kiện:  -4  x  4 . 
8 - t2
Đặt  t  4 + x - 4 - x  t 2  8 - 2 16 - x 2  16 - x 2 
. 
2
ét  0
8 - t2

Bước  2.  Ta được phương trình  t +
 4 Û t 2 - 2t  0 Û ê
. 
2
ët  2
Bước  3.  Với  t  0  ta có  16 - x 2  4 Û 16 - x 2  16 Û x  0 . 
Với  t  2  ta có  16 - x 2  2 Û 16 - x 2  4 Û x  2 3 . 





Vậy phương trình có tập nghiệm  S  0; -2 3;2 3 . 
Hãy chọn phương án đúng. 
A. Lời giải trên sai ở bước 2.
C. Lời giải trên sai ở bước 1.

B. Lời giải trên đúng hoàn toàn. 
D. Lời giải trên sai ở bước 3. 

Câu 59.  Giải phương trình trên tập số thực: 
A. x  1 . 

Câu 60.

B. x  4 . 

x
 Số nghiệm của phương trình 
A. 1.


B. 2 .

2

5x - 4 x2 - x
 2.  
x -1
éx  1
C. ê
. 
ëx  4

- 3x + 2  x - 3
x -1

D. x   .

 0 

C. 3 .

Nguyễn Bảo Vương:  />
D. 0 . 
6


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489


Câu 61.   (HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Số nghiệm của phương trình  2 - x +
A. 3 . 

B. 2 . 

C. 1. 

2- x
 0  là 
x-3
D. 0 . 

Câu 62.  (THPT  Phan  Bội  Châu  -  KTHK  1-17-18)  Số  nghiệm  nguyên  của  phương  trình 

x  x + 5  2 3 x 2 + 5 x - 2 - 2  là
A. 0 . 

B. 1 . 

C. 2 . 

Câu 63.  (LẦN  01_VĨNH  YÊN_VĨNH  PHÚC_2019)  Phương  trình 
nghiệm   ,  . Khi đó tổng   +   thuộc đoạn 
nào sau đây ? 
A. [2;5].  

B. [ -1;1].  

C. [ - 10; -6].  


D. 3  

x 2 + 481 - 3 4 x 2 + 481  10 có  hai 

D. [ - 5; - 1].  

Câu 64.   (Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Phương trình:  2 x 2 + 5 x - 1  7 x3 - 1  có nghiệm là 
a  b  thì  2a - b  bằng 
A. 2.  
B. 1.  

C. 3.  

D. 4.  

Câu 65.  (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Giải phương trình:  x  x -

1
1
+ 1 -  ta được một 
x
x

a+ b
,  a, b, c   , b < 20 . Tính giá trị biểu thức  P  a 3 + 2b 2 + 5c . 
c
A. P  61 . 
B. P  109 . 
C. P  29 . 

D. P  73 . 

nghiệm  x 

DẠNG 4. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ET GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI 
 
Câu 66.   Cho phương trình:  x 2 - 3 x + 2  0  có hai nghiệm  x1 ,  x2 . Biết rằng  x1  1 . Hỏi  x2  bằng bao nhiêu? 
A. 2 . 
B. 3 . 
C. 1 . 
D. 0 . 
Câu 67.   (HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Gọi  x1 ,  x2  là hai nghiệm của phương trình  x 2 - 3 x - 9  0 . Chọn 
đáp án đúng. 
A. x1 x2 + x1 + x2  6 . 
B. x1 x2  x1 + x2   27 .  C. x1 x2  9 . 
D. x1 + x2  3 . 
Câu 68.   Phương trình  -2 x 2 + 3x - 1  0  có tổng hai nghiệm bằng 
1
3
A. không tồn tại 
B. - . 
C. . 
2
4

D.

3
. 
2


Câu 69.   Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình  x 2 - 2 x - 13  0
A. -22 .
B. 4 . 
C. 30.
D. 28 . 
Câu 70.   Gọi  x1 ; x2  là các nghiệm của phương trình  4 x2 - 7 x - 1  0 . Khi đó giá trị biểu thức  M  x12 + x22  
là
41
41
57
81
A.
.
B.
. 
C.
.
D.
. 
64
16
64
16
DẠNG 5. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 
DẠNG 5.1 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ n NGHIỆM 
DẠNG 5.1.1 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 
 
Nguyễn Bảo Vương:  />
7



CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 71.   Gọi  m0  là giá trị của tham số  m  để phương trình   m + 2  x -  x + 1  0  vô nghiệm. Khẳng định 
nào sau đây là đúng?
A. m0  . 
B. m0   -2;0  .
C. m0   0;1 .
D. m0   -1;1 . 
Câu 72.  (THPT  Nhữ  Văn  Lan  -  Hải  Phòng  -  Học  kỳ  I  -  2019)  Với  m  bằng  bao  nhiêu  phương  trình 
mx + m - 1  0  vô nghiệm?
A. m  0 và  m  1.
B. m  1 . 
C. m  0 .
D. m  -1 . 
Câu 73.  (HKI  -  Sở  Vĩnh  Phúc  -  2018-2019)  Với  giá  trị  nào  của  tham  số  m   thì  phương  trình 
m2 - 1 x + m2 + 2m - 3  0  vô nghiệm?





A. m  1 . 

B. m  -1 .

C. m  -2 .


D. m  -3 . 

Câu 74.   Phương trình   m 2 - 4  x  3m + 6  có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 
A. m ¹ 2; m ¹ -3 . 

B. m ¹ -2 . 

C. m ¹ 2 .

D. m ¹ 2 . 

Câu 75.  Tìm  m  để phương trình sau có nghiệm   m - 1 x - 2  0 . 
A. m  1 . 

B. m  -1 . 

C. m  0 . 

Câu 76.   Phương trình  m 2 x + 2  x + 2 m  có tập nghiệm  S    khi và chỉ khi:
A. m ¹  1 .
B. m   1 .
C. m  - 1 . 

D. m ¹ 1 . 
D. m  1 . 

Câu 77.  (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho  S  là tập hợp tất cả các giá trị nguyên 
của tham số  m  thuộc đoạn   -5;10  để phương trình   m + 1 x  - x + m - 1  có nghiệm duy nhất. 
Tổng các phần tử trong  S  bằng 

A. 42 . 
B. 39 . 
C. 48 . 
DẠNG 5.1.2 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
 
Câu 78.   Phương trình  x 2 - 3 x + m + 1  0  ( ẩn  x ) có nghiệm khi và chỉ khi 
5
5
-5
A. m ¹  
B. m 
C. m 
4
4
4

D. 15 . 

D. m 

4
 
5

Câu 79.  Tìm tất cả các giá trị của tham số  m để phương trình  2 x 2 -  m - 2  x + m - 4  0  có hai nghiệm 
phân biệt.
A. m > 6 . 
B. m < 6 . 
C. m ¹ 6 . 
D. m . 

Câu 80.  Tìm tất cả các giá trị của  m  để phương trình  x 2 - x + m - 2  0  có nghiệm là
9
9
9
9
A. m < .
B. m  .
C. m > .
D. m  . 
4
4
4
4
Câu 81.   Cho phương trình bậc hai:  x 2 - 2  m + 1 x + 2 m 2 - m + 8  0 , với  m  là tham số. Mệnh đề nào sau 
đây là mệnh đề đúng? 
A. Phương trình luôn vô nghiệm với mọi  m   .
B. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi  m   .
C. Phương trình có duy nhất một nghiệm với mọi  m   .
D. Tồn tại một giá trị  m  để phương trình có nghiệm kép.
Câu 82.  (THI  HK1  LỚP  11  THPT  VIỆT  TRÌ  2018  -  2019)  Cho  phương  trình 
 m - 3 x2 - 2  m - 3 x + 1 - m  0 1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  m  để phương trình 

1  vô nghiệm? 
A. 1 . 

B. 2 . 

C. 0 . 

Nguyễn Bảo Vương:  />

D. 3 . 
8


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

2

Câu 83.  Phương trình  mx - (2m + 3) x + m - 4  0  vô nghiệm khi:
9
9
A. m >
. 
B. m < - .
C. m  0 .
28
28

D. m  0 . 

Câu 84.  (THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Tìm  m  để phương trình  mx 2 - 2  m + 1 x + m + 1  0  
vô nghiệm. 
ém 1
A. m < -1 . 
B. ê
. 
C. m  0  và  m < -1 . D. m  0  và  m > -1 . 
ëm  0

Câu 85.   Tập  hợp  các  giá  trị  của  tham  số  m   để  phương  trình  x 2 -  m + 3 x + 2m + 2  0   có  đúng  một 
nghiệm thuộc   -;3  là 
A.  -; 2  1 . 

B. 1   2; +  . 

C. 1   2; +  . 

D.  2; +  . 

Câu 86.   Tìm tất cả các giá trị của  m  để phương trình  x 2 - 2 x - 3 - m  0  có nghiệm  x   0; 4 . 
A. m   -;5 . 

B. m   -4; -3 . 

C. m   -4;5 . 

D. m  3; +   

Câu 87.  Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x 2 - 4 x + 6 + 3m  0   có đúng hai nghiệm thuộc 
đoạn  1;5 ?  
2
2
A. -1  m  - . . 
B. -1  m < - . . 
3
3
11
2
11

C. -  m  - . . 
D. -  m  -1.  
3
3
3
DẠNG 5.1.3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 

Câu 88.  Phương trình   m 2 - 4  x + 2  2018  vô nghiệm khi và chỉ khi 
A. m  2 .

B. m  2 .

C. m  -2 .

D. -2 < m < 2 . 

Câu 89.  Tìm tất cả các giá trị của tham số  m  để phương trình  2 x - 5m  2 x - 3m  có nghiệm.
B. m   0; +  .

A. m   0; +  . 

C. m   -;0  .

D. m   -; +  . 

2

Câu 90.  Cho phương trình  m x - 6  4 x - 3m . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 
A. Khi  m  2 , phương trình đã cho có tập nghiệm là   . 
B. Khi  m  -2 , phương trình đã cho vô nghiệm. 

C. Khi  m ¹ 2 , phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. 
D. Khi  m  -2 , phương trình có nghiệm duy nhất. 
Câu 91.   Điều kiện cần và đủ để phương trình  x + 1 + x - 2 - x - 3  m  ( với  m  là tham số thực) có hai 
nghiệm phân biệt là:
A. m > 2 .
B. m > 1 . 
C. m > -1 .
D. m > -2 . 
Câu 92.   Có bao nhiêu giá trị nguyên của  m  để phương trình  x 2 - 6 x + 5  m  có  8  nghiệm phân biệt? 
A. 3 . 

B. 4 . 

C. 2 . 

D. 1 . 

Câu 93.  Số giá trị nguyên của  m  để phương trình  x 2 - 4  m + 1  có bốn nghiệm phân biệt là:
A. 4 .

B. 2 . 

C. 3 .

Nguyễn Bảo Vương:  />
D. 5 . 

9



CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489
2

Câu 94.   (KSCL  lần 1  lớp  11 Yên  Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Phương trình  x - 4 x + 3 - m  0 *   có bốn 
nghiệm phân biệt khi. 
ém > 3
A. -1 < m  3  
B. -1 < m < 3 . 
C. -1  m  3 . 
D. ê
 
.
ë m < -1 .
Câu 95.  Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình  x 2 - 2 x + 3 x - x 2  m  có nghiệm
A. m  ( - ; 0]  [2; + ) .B. m  [0; + ) . 

C. m   .

D. m   0; 2 . 

Câu 96.  Hàm số  y  x 2 + 4 x - 1  có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của  m  để 
phương trình  - x 2 - 4 x + 1  m  có  4  nghiệm phân biệt. 

A. 3 .
B. Vô số. 
DẠNG 5.1.4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MẪU 
 


C. 4 .

D. 0 . 

Câu 97.   (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Tìm giá trị của tham số  m  m   để phương trình 
1
1

-  m 2 + m + 2   x +  + m 3 + 2m + 2  0  có nghiệm thực. 
2
x
x

A. 0  m  2 .
B. m  2 . 
C. m   .
x2 +

Câu 98.   (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Phương trình 

D. m 2 .
2mx - 1
 3  có nghiệm duy nhất 
x +1

khi 
A. m ¹ 0 . 

B. m ¹


3
. 
2

C. m ¹ 0 và  m ¹

3
. 
2

D. m ¹

-1
3
và  m ¹ . Lời 
2
2

giải 
2 x - 3m x + 2
+
 3  vô nghiệm. Tính bình phương 
x-2
x -1

Câu 99.   Gọi  S  là tập các giá trị của  m  để phương trình 
của tổng các phần tử của tập  S.  
121
49
A.

B.
. 
. 
9
9

C.

65
. 
9

D.

16
.
9

x +1
x

 vô nghiệm? 
x - a +1 x + a + 2
C. 2 . 
D. 3 . 

Câu 100.  Có bao nhiêu giá trị tham số  a  để phương trình 
A. 4 . 
Câu 101.  Hàm số  y 


B. 5 . 

3x 2 + 2 x + 1
 có tập giá trị  S   a; b  . Tính giá trị biểu thức  a 2 + b 2 + ab
x 2 - 2x + 3

Nguyễn Bảo Vương:  />
10


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

A. 35 .
B. 25 .
DẠNG 5.1.5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 
 

C. 45 .

D. 55 . 

Câu 102.   Cho phương trình  2 x 2 - 6 x + m  x - 1 . Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất
A. m > 4 .
B. 4 < m < 5 .
C. 3 < m < 4 .
D. m < 4 . 
Câu 103.  Tìm  m  để phương trình  2x 2 - x - 2m  x - 2  có nghiệm. Đáp số nào sau đây đúng?
25

25
A. m  - . 
B. m  3 .
C. m  0 .
D. m  - . 
4
8
Câu 104.  (HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Tìm  m để phương trình  2 x 2 - 2 x - 2m  x - 2 có nghiệm. 
A. m  1 .
B. m  1; +  .  
C. m > 2 .
D. m  2  .
Câu 105.  Với mọi giá trị dương của  m  phương trình  x2 - m2  x - m  luôn có số nghiệm là
A. 2. 
B. 1. 
C. 3. 
D. 0. 
Câu 106.   Cho phương trình  x 2 - 8 x + m  2 x - 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình đã cho 
vô nghiệm. 
15 
1
é 1 15 
 1 15 


A. m  ê - ;  .
B. m   - ;  . 
C. m   -;  .
D. m   -; -  . 
4

3
ë 3 4
 3 4


Câu 107.  Tập hợp các giá  trị  thực của tham số  m  để  phương trình  x 2 + 2 x + 2m  2 x + 1  có  hai nghiệm 
phân biệt là  S   a; b  . Khi đó giá trị  P  a.b  là
A.

1
.
3

B.

1
. 
6

C.

1
.
8

D.

2
. 
3


Câu 108.   Cho  phương  trình - x 2 + 4 x - 3  2m + 3x - x 2 1 .  Để  phương  trình  1   có  nghiệm  thì 

m   a; b  . Giá trị  a 2 + b2  bằng 
A. 4.
B. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 109.   Số các giá trị nguyên của  m  để phương trình  x 2 - 2 x - m - 1  2 x - 1  có hai nghiệm phân biệt 
là
A. 0 . 
B. 3 . 
C. 1 . 
D. 2 . 
Câu 110.   Cho  phương  trình:  2 - x + 2 + x + 2 4 - x 2 + m  0 .  Có  bao  nhiêu  giá  trị  nguyên  của  m   để 
phương trình đã cho có nghiệm?
A. 4 . 
B. 5 .
C. vô số.
D. 10 . 
Câu 111.  Tìm tất cả giá trị  m  để phương trình  3 x - 1 - m x + 1  2 4 x 2 - 1  có nghiệm là
1
1
1
1
A. m < - .
B. - < m  1 . 

C. -  m < 1 .
D. - < m < 1 . 
3
3
3
3

m 2018 + x + (m2 - 2) 2018 - x
 có đồ thị là  (Cm ) , ( m  là tham số). Số 
(m2 - 1) x
giá trị của  m để đồ thị  (Cm )  nhận trục  Oy  làm trục đối xứng là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3. 

Câu 112.   Cho hàm số  y  f ( x) 

Nguyễn Bảo Vương:  />
11


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 113.   Tìm tất cả các giá trị của tham số  m để phương trình 
A. m   -; -1 . 

B. m   -1; +  .


2  x - m - x - m

x+3
C. m   -1; +  .

 0  có nghiệm.
D. m  R . 

Câu 114.  Số các giá trị nguyên của tham số  m   -2018; 2018 để phương trình: 
x2 +  2 - m  x + 4  4 x3 + 4 x  

có nghiệm là 
A. 2020 . 

B. 2019 . 

Câu 115.   Tìm  m   để  phương  trình 



C. 2018 . 



D. 2021 . 

3

5m 2 - 2m - 2 + m - 1  x + 1 + x 2 - x - 3  0   có  ít  nhất  một  nghiệm 


thuộc khoảng   -1; 0  , ta được điều kiện  m   a ; b . Giá trị của biểu thức  P  a 2 + 2b  bằng 
A. P  10 . 

C. P  20 . 

B. P  12 . 

Câu 116.   Cho phương trình  x - 1 + 5 - x + 3.

D. P  15 . 

 x - 1 5 - x   m . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của 

tham số m để phương trình trên có nghiệm?
A. 6 .
B. 8 . 
DẠNG 5.1.6 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 
 

C. 7 .

D. Vô số. 

Câu 117.   Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình:  x 4 - 2(m - 1) x 2 + 4m - 8  0  có 4 nghiệm 
phân biệt. 
A. m > 2  và  m ¹ 3 . 
B. m > 2 . 
C. m > 1 và  m ¹ 3 . 
D. m > 3 . 

Câu 118.  (HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị nguyên thuộc   -2019;2019  của tham 
số  m  để phương trình  x 4 - 2mx 3 + x 2 - 2mx + 1  0  có nghiệm. 
A. 2019 .
B. 3039 . 
C. 4038 .

D. 4041 . 

Câu 119.  Số giá trị nguyên không dương của tham số  m  để phương trình  x4 - 4 x2 - 6 - m3  0  có đúng  2  
nghiệm phân biệt là
A. 0 .
B. 1 . 
C. 2 .
D. 2018 . 
Câu 120.  Số các giá trị nguyên âm của  m để phương trình  x4 + 2 x3 + 3x2 + 2 x - m  0  có nghiệm là 
A. 0 . 
B. 1 . 
C. 2018 . 
D. 2019 . 
Câu 121.  (Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị của tham 
số  m  để phương trình sau có nghiệm dương:  x 4 + 2 x3 + (m - 1) x 2 + 2 x + 1  0 (1)
A. m  -5 . 
B. m  5 . 
C. m  -4 . 
D. m  4 . 
2

2

Câu 122.   Có bao nhiêu giá trị nguyên của  m  để phương trình   x 2 - 4 x  - 3  x - 2  + m  0  có  4 nghiệm 

phân biệt? 
A. 30.

B. vô số.

C. 28.

D. 0.  

Câu 123.  Cho hàm số  f ( x)  ax 2 + bx + c  có đồ thị như hình bên. 

Nguyễn Bảo Vương:  />
12


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489
y

3

O

1 2

3

x


-1

 
Hỏi với những giá trị nào của tham số  m   thì phương trình  f  x  - 1  m có đúng 3 nghiệm phân 
biệt? 
A. m  3.  
Câu 124.   Tìm 

x

2

B. -2 < m < 3.  

tất 

cả 

giá 

trị 

thực 

C. m  2 . 
của 

tham 

D. m > 3. . 


m 

số 

để 

phương 

trình 

2

+ 2 x + 4  - 2m  x 2 + 2 x + 4  + 4m - 1  0   1  có đúng hai nghiệm thực phân biệt. 





A. m   4; +    2 + 3 . 
C. m   3; 4  . 



 



B. m  -; 2 - 3  2 + 3; +  . 


D. m   . 

Câu 125.   Biết  phương  trình  x 4 - 3mx 2 + m 2 + 1  0   có  bốn  nghiệm  phân  biệt  x1 , x2 , x3 , x4 .  Tính 

M  x1 + x2 + x3 + x4 + x1.x2 .x3 .x4  được kết quả là: 
A. M  m 2 + 1.

B. M  -3m.

D. M  - m 2 - 1.  

C. M  3m.

Câu 126.  Có bao nhiêu giá trị nguyên của  m  để phương trình  x ( x + 1)( x + 2)( x + 3)  m  có 4 nghiệm phân 
biệt? 
A. 0 . 
B. 2 . 
C. 3 . 
D. 1. 
DẠNG 5.2 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA MÃN YÊU CẦU CHO 
TRƯỚC 
 





Câu 127.   Tìm tất cả các giá trị của tham số  m  để phương trình   m - 1 x 2 - m2 + 1 x - 3  0  có hai nghiệm 
trái dấu? 
A. m > 1


B. m > 0

C. m < 0

D. m < 1

Câu 128.  Tìm tất cả các giá trị của tham số  m  để phương trình  x 2 - 2 x + m - 1  0  có hai nghiệm trái dấu. 
A. m  2 . 
B. m < 1 . 
C. m  1 . 
D. m < 2 . 
Câu 129.   Phương trình  ( m + 1) x 2 - 2( m - 1) x + m - 2  0  có hai nghiệm trái dấu khi nào? 
A. -1 < m < 3 . 
B. -1 < m < 2 . 
C. -2 < m < 1 . 
D. 1 < m < 2 . 
Câu 130. Tìm tất cả các giá trị của  m  để phương trình   m - 2  x 2 - 2  m - 1 x + m - 7  0  có hai nghiệm trái 
dấu.
m7
m>7
A. éê
.
B. 2  m  7 . 
C. 2 < m < 7 .
D. éê
. 
m
<
2

ë
ëm < 2
Câu 131.   Phương trình  x 2 - 2mx + m 2 - 3m + 2  0  có hai nghiệm trái dấu khi 
A. m  1; 2   
B. m   -;1   2; +    
é2

C. m  ê ; +    
ë3


2

D. m   ; +    
3


Câu 132.  Phương trình  ax 2 + bx + c  0  a ¹ 0   có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi: 
Nguyễn Bảo Vương:  />
13


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ì > 0
A. í
. 
îP > 0

ì > 0

ï
B. í P > 0 . 
ïS > 0
î

ĐT:0946798489

ì > 0
ï
C. í P > 0 . 
ïS < 0
î

ì > 0
D. í
. 
îS < 0

Câu 133.  (TH&TT  LẦN  1  –  THÁNG  12)  Giá  trị  nào  của  m   làm  cho  phương  trình 
mx 2 - 2  m - 1 x + m - 1  0  có hai nghiệm phân biệt dương? 
A. m < 1  và  m ¹ 0 . 

B. 0 < m < 1 . 

é m < -1
C. ê
. 
ë0 < m < 1

D. m < 0 . 


Câu 134.  Với giá trị nào của  m  thì phương trình  mx 2  2 m  2 x  m  3  0  có  2  nghiệm dương phân 
biệt? 
m  0
A. 3  m  4 . 
B. m  4 . 
C. 
. 
D. m  0 . 
3  m  4
Câu 135.  Phương trình  x 2 + 2  m + 1 x + 9m - 5  0  có hai nghiệm âm phân biệt khi 

5 
A. m   ;1   6; +  .  B. m  -2;6  . 
9 

C. m   6; +  . 

D. m   -2;1 . 

Câu 136.  Giá trị của m làm cho phương trình   m - 2  x 2 - 2mx + m + 3  0  có 2 nghiệm dương phân biệt là
A. m > 6.  
2 < m < 6 . 

B. m < 6  và  m ¹ 2 . 

C. 2 < m < 6  hoặc  m < -3 . 

D.


m < 0   hoặc 

Câu 137.  Tìm  m  để phương trình   m - 1 x 2 - 2mx + 3m - 2  0  có hai nghiệm dương phân biệt.
A. m < 0;1 < m < 2 . 

B. 1 < m < 2 .

C. m > 2 .

D. m <

Câu 138.  Phương trình  x 2 - 6 x + m - 2  0  có hai nghiệm dương phân biệt khi 
A. 2 < m < 11 . 
B. 0 < m < 11 . 
C. 2 < m < 11 . 

1
. 
2

D. 2  m  11 . 





Câu 139.  Có bao nhiêu giá trị của tham số  m để phương trình   m + 2  x 2 - 2 m2 - 1 mx + m - 1  0  có hai 
nghiệm phân biệt và là hai số đối nhau? 
A. 0 .
B. 1 . 


C. 3 .

D. 2 . 

Câu 140.   Cho phương trình  x 2 - 2  m - 2  x + m2 + m + 6  0 . Tìm tất cả giá trị m để phương trình có hai 
nghiệm đối nhau? 
A. Không có giá trị m.  B. m < -3  hoặc  m > 2 . 
C. -3 < m < 2 . 
D. m  2 . 
Câu 141.   Có bao nhiêu giá trị  m sao cho phương trình  x 2 + 2 mx + 4  0  có 2 nghiệm phân biệt  x1 , x2  thỏa 
mãn  x12 - x1 x2 + x22  4 ?  
A. 2. 
B. 0.

C. 4.

D. 1. 

Câu 142.   Giả sử  x1 , x 2  là nghiệm của phương trình  x 2 -  m + 2  x + m 2 + 1  0 . Khi đó giá trị lớn nhất của 
biểu thức  P  4  x1 + x 2  - x1 x 2  bằng 
A.

95
. 
9

B. 11 . 

C. 7 . 


D.

-1
. 
9

Câu 143.  Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  m  để phương trình   m + 2  x 2 - 2  m 2 - 1 mx + m - 1  0  
có hai nghiệm phân biệt và là hai số đối nhau? 
Nguyễn Bảo Vương:  />
14


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A. 0.  

B. 1.  

ĐT:0946798489

C. 3.  

D. 2.

Câu 144.  Gọi  m1 ; m2  là hai giá trị khác nhau của  m  để phương trình  x 2 - 3 x + m 2 - 3m + 4  0  có hai nghiệm 
phân biệt  x1 ; x2  sao cho  x1  2 x2 . Tính  m1 + m2 + m1m2 .
A. 4 .
B. 3 . 
C. 5 .


D. 6 . 

Câu 145.   Có bao nhiêu giá trị của tham số  m  để phương trình  x 2 + 2  m - 1 x + 3m - 2  0  có hai nghiệm 

1
1
-3 
? 
x1
x2
B. 2 .

trái dấu  x1 , x2  và thỏa mãn 
A. 1.

C. 0 .

D. 3 . 

Câu 146.  (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho phương trình  x 2 - 2  m + 1 x + m 2 + 2  0
,  với  m   là  tham  số.  Giá  trị  m   để  phương  trình  có  2  nghiệm  x1; x2   sao  cho 

A  2  x12 + x2 2  + 16 - 3x1 x2 biểu  thức  đạt  giá  trị  lớn  nhất  là  một  phân  số  tối  giản  có  dạng 
 
a
 a, b  , b > 0  . Khi đó  2a - 3b  bằng : 
b
A. -6 . 
B. -4 . 

C. -5 . 
D. -7 . 
Câu 147.   Cho phương trình  x2 + 2(m + 1) x + 2m + 3  0  ( m là tham số) có hai nghiệm là  x1 và  x2 . Phương 
trình nào dưới đây có hai nghiệm là  -3x1 và  -3x 2 ?
A. t 2 + 6(m + 1) x + 9  2m + 3  0 .
B. t 2 - 6(m + 1) x + 9  2m + 3  0 .
C. t 2 + 6(m + 1) x + 6  2m + 3  0 .
D. t 2 - 6(m + 1) x + 6  2m + 3  0 . 
Câu 148.   Cho phương trình:  (m - 1) x 2 - 2(m + 2) x + m + 1  0 , với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên 
của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt  x1 , x2  sao cho  A  x1 + x2 - x1 x2  là số một 
nguyên? 
A. 3 . 
B. 4 . 
C. 5 . 
D. 6 . 
Câu 149.   Gọi  x1 , x2  là hai nghiệm thực của phương trình  x 2 - mx + m - 1  0  ( m  là tham số). Tìm giá trị 
2 x1 x2 + 3
nhỏ nhất của biểu thức  P  2
. 
x1 + x22 + 2  x1 x2 + 1
1
A. Pmin  - . 
2

B. Pmin  -2 . 

C. Pmin  0 . 

D. Pmin  1 . 


Câu 150.   Tìm  m  để phương trình  x 2 - mx + m 2 - 3  0  có hai nghiệm  x1 , x2  là độ dài các cạnh góc vuông 
của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng  2 .
A. m  2 .
B. m   3 .
C. m   2 . 
D. không có giá trị nào của  m . 
 

Nguyễn Bảo Vương:  />
15


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO 
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
DẠNG 1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 
Câu 1.  Chọn C 
é x -1  2
éx  3
Ûê
Ta có:  x - 1  2 Û ê
. 
ë x - 1  -2 ë x  -1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm  x  3; x  - 1 . 
Câu 2.  Chọn A
1
Với  x  :  1 Û 3x - 1  2 x - 5 Û x  -4  (loại). 

3
1
6
Với  x < :  1 Û 1 - 3x  2 x - 5 Û x   (loại). 
3
5
Vậy phương trình  1  vô nghiệm. 
Câu 3.
 
Câu 4.

Câu 5.

 Chọn D
 x < 0  luôn thỏa mãn phương trình.
 Chọn D 
Ta có: 
10
é
x
ê
é3 x - 4  6
3
3x - 4  6 Û ê
Ûê
 
3
x
4


6
ë
êx  - 2
êë
3
10
Suy ra  x0  . 
3
 Chọn A
Bảng khử giá trị tuyệt đối 

 
5
Trường hợp 1:  x  1   (1) Û -  2 x - 4  -  x - 1  0 Û x  > 1  loại. 
3
Trường hợp 2:  1 < x  2 (1) Û -  2 x - 4  +  x - 1  0 Û x  3  1; 2 loại. 

Trường hợp 3:  x > 2 (1) Û  2 x - 4  +  x - 1  0 Û x 

5
< 2 loại. 
3

Câu 6.

 Chọn A

Câu 7.

1

ì
xï
ì2 x + 1  0
2
ï
ï
x + 1  2 x + 1 Û í é x + 1  2 x + 1 Û í é x  0 Û x  0 . 
ï ê x + 1  -2 x - 1 ï ê
2
îë
ïê x  3
îë
 Chọn D 
2

2

Phương trình  3 - x  2 x - 5 Û  3 - x    2 x - 5 Û  x - 2  -3x + 8  0  

Nguyễn Bảo Vương:  />
16


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 8.

Câu 9.

ĐT:0946798489


é x1  2
14
Ûê
 x1 + x2  . 
8
ê x2 
3
3
ë
 Chọn C
Trường hợp 1:  5 x + 4  x + 4 Û x  0  ( thỏa mãn ) 
4
Trường hợp 2:  5 x + 4  -( x + 4) Û 6 x + 8  0 Û x  -  (Thỏa mãn ) 
3
éx  0
Vậy phương trình có 2 nghiệm  ê
 
êx  - 4
3
ë
 Chọn A 

1
ì
ì2 x - 1  0
ïx  2
ï
ï
Ta có  x - 2  2 x - 1 Û í é x - 2  2 x - 1 Û í

Û x  1 . 
x  -1
ï ê x - 2  -2 x + 1 ï é
îë
ïî êë x  1
Câu 10.  Chọn B 
é x  -1
é3x - 2  x - 4
 
3x - 2  x - 4 Û ê
Ûê
3
x
2

x
4

 êx  3
ë
ë
2
3
Vậy  a  -1, b  . Do đó  M  3a + 2b  0  
2
Câu 11.  Chọn D
Ta có: 

é
2


3
x
2

x
x

éx 1


ê
3

3x - 2  x Û ê
Ûê
1 
êx 
ê
2

ë
2
ê 2 - 3x  x  x < 3 


ë
Vậy số nghiệm nguyên của phương trình là 1. 
Câu 12.  Chọn A
ìï x - 2  0

ìx  2
ïì x  2
x2 -1  x - 2   Û í 2
 
Û
 Û í 2
 
2
í 2
2
2
x
x
+
1
x
+
x
3

0
x
+
x
3

0
x
1


x
2







î
ï
ïî
î
ìx  2
ï
ïï é x  13 - 1
Û íê
Vô nghiệm. 
2
ê
ïê
ï ê x  - 13 - 1
ïî ë
2
(Giải thích: Phương trình x 2 - x + 1  0 vô nghiệm).
 
DẠNG 1.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 
Câu 13. Chọn A
x - 2  3 x 2 - x - 2 . 
Nguyễn Bảo Vương:  />

17


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

éì x - 2  0
éì x  2
êí
êí 2
2
2 3
ê î x - 2  3x - x - 2
ê î3x - 2 x  0
Ûê
Ûê
Ûx
. 
3
x-20
x2
ì
ì
êí
êí
êë î- x + 2  3x 2 - x - 2
êë î3x 2 - 4  0
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là  0 . 
Câu 14.  Chọn C

2
2
2 x 2 - 3x - 2  x + 2 Û  2 x 2 - 3x - 2    x + 2   
Û 4 x 4 + 9 x 2 + 4 - 12 x 3 - 8 x 2 + 12 x  x 2 + 4 x + 4  
Û 4 x 4 - 12 x 3 + 8 x  0 Û x  4 x 3 - 12 x 2 + 8   0  

Û 4 x  x - 1  x 2 - 2 x - 2   0  

éx  0
ê
x  1- 3
Û êê
 
x

1
+
3
ê
êë x  1
 S  0 + (1 + 3) + (1 - 3) + 1  3 . 

Câu 15.  Chọn B 
1
é
x
é x2 - 2x - 1  x2 - 2
ê
2
Ta có  x - 2 x - 1  x - 2 Û ê 2

Û
2
ê 2
x
2
x
1

x
+
2
ë
êë 2 x - 2 x - 3  0
2

2

*

 

**

Phương trình  * *   có tổng hai nghiệm là  1 , phương trình  *  có nghiệm là  x 

1
 nên tổng các 
2

3

nghiệm của phương trình đã cho là  .  
2
Câu 16.  Chọn D
ìx  2
x-20
ì
ï
ï
Ta có  x 2 + 2 x - 8  x - 2 Û í 2
Û íé x2 + 2 x - 8  x - 2  
ïî x + 2 x - 8    x - 2 
ïê 2
îë x + 2 x - 8  - x + 2

éì x  2
éì x  2
êí 2
êí
î x  2, x  -3
êî x + x - 6  0
Ûê
Ûê
Û x  2 . 
êì x  2
x2
ì
êí
êí
êë î x 2 + 3x - 10  0
ëê î x  2, x  -5

 
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 
Câu 17.  Chọn D
ìx ¹ 2
Điều kiện xác định:  í
. Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với phương trình 
î x ¹ -2
é x  -3
( x - 1)( x + 2)
4
 2
Û ( x - 1)( x + 2)  4 Û x 2 + x - 6  0 Û ê
 
2
x -4
x -4
ëx  2
So sánh điều kiện xác định, PT có 1 nghiệm  x  -3 . 
Nguyễn Bảo Vương:  />
18


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 18.  Chọn B

3
ì

ïx ¹
Điều kiện xác định:  í
2  
ïî x ¹ -1
x -1
4
Û x 2 - 1  -3  2 x - 3 x + 1 + 4  2 x - 3
Khi đó, phương trình 
 -3 +
2x - 3
x +1
é
11 + 65
êx 
14
Û 7 x 2 - 11x + 2  0 Û ê
 
ê
11 - 65
êx 
ë
14
11 + 65
11 - 65
Vậy phương trình có hai nghiệm  x 
 và  x 
. Từ đó suy ra  a  11 ,  b  65 , 
14
14
c  14 . Vậy  T  -1 . 

Câu 19.  Chọn B 
2
ìx ¹ 1
ïì x + x + 2 ¹ 0
Điều kiện:  í 2
. 
Ûí
î x ¹ -2
îï x + x - 2 ¹ 0
Đặt  t  x 2 + x  với  t ¹ 2  
1
1
 1    t - 2 -  t + 2    t + 2  t - 2  Û t 2  0 Û t  0 . 
t+2 t -2
éx  0
Khi đó:  x 2 + x  0 Û ê
 ( Thỏa mãn đk). Vậy tích các nghiệm là  0 . 
ë x  -1
Câu 20.  Chọn D
ìx ¹ 1
Điều kiện xác định  í
. 
îx ¹ 2

Phương trình trở thành: 

x2 - 2 x + 2
1
1
+

 2+
 
x -1
x-2
x-2
x2 - 2 x + 2
Û
 2 
x -1
Û x2 - 4x + 4  0  

Û x  2 (loại) 
Vậy số nghiệm của phương trình bằng 0. 
Câu 21.  Chọn B
ĐK  x ¹ 3 . 
é
3 + 13
x
 3,3
ê
x 2 - 3x - 2
2
. 
 - x Û x 2 - 3 x - 2  - x  x - 3 Û 2 x 2 - 6 x - 2  0 Û ê
x -3
ê x  3 - 13  -0, 3
êë
2
3 - 13  1 1 
x

  - ;  . 
2
 2 2
Câu 22.  Chọn D
Gọi  x  km/giờ là vận tốc trung bình lúc đi  ( x  0)  
175
Khi đó thời gian lúc đi là 
 giờ 
x
Nguyễn Bảo Vương:  />
19


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Thời gian lúc về là 

ĐT:0946798489

175
 
x  20

 x  50

175
175
2

 6    6 x  230 x  3500  0    

Theo đề bài ta có 
35  
x  
x
x  20

3
Vậy vận tốc trung bình lúc đi là  50  km/giờ. 
 

DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI CĂN 
Câu 23.  Chọn D
ìï x - 3 > 0
ìx > 3
ìx > 3
2x - 3  x - 3 Û í
Û
 
í 2
2 Û í
2
ïî2 x - 3   x - 3
î2 x - 3  x - 6 x + 9
î x - 8 x + 12  0
ìx > 3
ï
Û í é x  6 Û x  6 . 
ïê x  2
îë
Câu 24.  Chọn D 

Số giao điểm giữa đồ thị hàm số  y  3x - 4  và đường thẳng  y  x - 3  là số nghiệm của phương 
trình hoành độ giao điểm: 
x -3 0
ì
x3
x3
ì
ì
ï
3x - 4  x - 3 Û í
Ûí 2
 
2
2 Û í
2
3
x
4

x
6
x
+
9
x
9
x
+
13


0
3
x
4

x
3


î
î
ïî
x3
ì
ï
ïï é x  9 - 29
9 + 29
Ûx
Û íê
. 
2
ê
2
ïê
ï ê x  9 + 29
2
îï ë






Vậy đồ thị hàm số  y  3x - 4  và đường thẳng  y  x - 3  có 1 giao điểm chung. 
Câu 25.  Chọn C
+) Với điều kiện  x - 2  0 Û x  2  ta có phương trình đã cho tương đương với phương 
é x  1( L)
trình:  2 x - 1  ( x - 2) 2 Û x 2 - 6 x + 5  0 Û ê
. 
ë x  5(t / m)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất  x  5 . 
Câu 26.  Chọn A
ìx  0
ìx  0
ìx  0
éx  1
ï
Ta có  3 x - 2  x Û í
Ûí 2
Û íé x  2 Û ê
2
 
ëx  2
î3 x - 2  x
î x - 3x + 2  0
ïê x  1
îë
Vậy phương trình đã cho có  2  nghiệm. 
Câu 27.  Chọn A
ìï x  6
x -6  0

x6
5x + 6  x - 6 Û
Û 2
Û x  2 Û x  15 . 
5x + 6  x 2 - 12 x + 36
x - 17 x + 30  0 íéê x  15
ïîë
Vây phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x  15 . 





Câu 28.  Chọn B
Nguyễn Bảo Vương:  />
20


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

1
ì
x
1
ì
ï
2
x

1

0
ìï
2
ï
ïx 
Ûí
Ta có  4 x + 7  2 x - 1 Û í
 
2
2 Û í
2

10
2
ïî4 x + 7   2 x - 1
ï
ï4 x - 8 x - 6  0
x
î
ïî
2
Ûx

2 + 10
2 + 10
. Vậy  x 
. 
2

2

 
Câu 29.  Chọn D
ìï2 x - 2  0
- x2 + 4 x  2 x - 2 Û í 2
2
ïî- x + 4 x   2 x - 2 

ìx  1
ï
ìx  1
ïé x  2  n 
Ûí 2
. 
Û íê
2
î5 x - 12 x + 4  0
ïê
ïî êë x  5  l 

Vậy  x  2  là nghiệm của phương trình. 
Câu 30.  Chọn C 
Ta có:  x 2 - 2 x + 5 > 0,  x    
Đặt  t  x 2 - 2 x + 5 , ta có phương trình trở thành  t  t - 2  
ìt2
ìï t  2
t2
ì
ï

t t -2Û í
Û í é t  1  t  4 . 
2 Ûí 2
ît - 5t + 4  0 ï ê
ïît   t - 2 
î ët  4
2

Khi đó  4  x 2 - 2 x + 5 Û  x - 1  0 Û x  1 . Thử lại ta thấy  x  1  thỏa mãn. 
Suy ra phương trình đã cho có một nghiệm. 
Câu 31.  Chọn B
Ta có:  x 2 + x + 1 > 0, x    
x2 + x + 1  x2 + x - 1 Û x2 + x + 1 - x2 + x + 1 - 2  0 Û





2

x2 + x + 1 - x2 + x + 1 - 2  0  

é x 2 + x + 1  -1  vn 
 
Ûê
ê x 2 + x + 1  2 (1)
ë

(1) Û x 2 + x + 1  2 Û x 2 + x - 3  0  
-3

Do đó:  x1.x2 
 -3 . 
1
Câu 32.  
Lời giải
Chọn B

ìï x + 1  0
ì x  -1
Ta có :  2 x 2 + 3x - 5  x + 1 Û í 2
Û x  2 . 
2 Û í 2
x
+
x
6

0
2
x
+
3
x
5

x
+
1



ïî
î
Câu 33.  Chọn C
ìï x - 2  0
3x 2 - 9 x + 7  x - 2 Û í 2
2  
3
x
9
x
+
7

x
2


ïî

Nguyễn Bảo Vương:  />
21


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

ìx  2
ï
ìx - 2  0

ï x 1
Ûí 2
Û í éê
Û x  .  
3
î2 x - 5 x + 3  0
ïê x 
ïî ë
2
Vậy phương trình vô nghiệm. 
Câu 34.  Chọn B
Điều kiện xác định:  x    
ìï3x - 1  0
x 2 + 3  3x - 1 Û í 2
2  
ïî x + 3   3x - 1
1
ì
x

ï
1
3
ì
ï
ïx 
Ûí
Û íé x  1 Û x  1 
3
ï8 x 2 - 6 x - 2  0

ïê
1
î
ïê x  4
îë
Kết luận. 
Câu 35.  Chọn C 
ìx  7
ìï7 - x  0
ìx  7
ï
Ta có:  x - x - 12  7 - x Û í 2
. 
Ûí
61
2 Û í
î13 x  61 ï x   tm 
îï x - x - 12   7 - x 
13
î
61
Vậy phương trình có nghiệm là  x 
. 
13
Câu 36. Chọn B
2

x - 2 x 2 - 3x + 1  1 . 
ìï x - 1  0
ìx  1

Û 2 x 2 - 3x + 1  x - 1 Û í 2
Û
Û x  1 
í
2
2
îx - x  0
îï2 x - 3 x + 1   x - 1
Vậy số nghiệm của phương trình là  1. 
 
Câu 37.  Chọn
A.
Phương trình  x 2  3 x  86 19 x 2  3 x  16  0  x 2  3 x  16 19 x 2  3 x  16  70  0 *  
t  14 n
Đặt  t  x 2  3 x  16 ,  t  0 . Khi đó  *  t 2 19t  70  0  
 
t  5 n
 x  15
Với  t  14  x 2  3x 16  14  x 2  3x 180  0  
. 
 x  12

x  33 5

2
Với  t  5  x 2  3 x  16  5  x 2  3 x  9  0  
. 

3


3
5
x 

2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. 
Câu 38.  Chọn B
Ta có   x - 1 x - 3 + 3 x 2 - 4 x + 5 - 2  0  

Û x2 - 4 x + 5 + 3 x2 - 4 x + 5 - 4  0 Û

x2 - 4x + 5  1  

Nguyễn Bảo Vương:  />
22


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
2

ĐT:0946798489

2

Û x - 4 x + 5  1 Û x - 4 x + 4  0 Û x  2 . 
Câu 39.  Chọn B
Điều kiện xác định  x 2 + 5 x + 10  0 Û x   . 
Khi đó phương trình  Û x 2 + 5 x + 10 + 2 x 2 + 5 x + 10 - 8  0  
é x 2 + 5 x + 10  2
é x1  -3

  Û x 2 + 5 x + 10  2 Û x 2 + 5 x + 6  0 Û ê
. 
Ûê
êë x 2 + 5 x + 10  -4
ë x2  -2
Vậy  x12 + x22  22 + 32  13 . 
 
Câu 40.  Chọn C 
ìx  2
ìx - 2  0
ï
ï
ïé x  2
Ta có  x - 2  x 2 - 3 x + 2   0 Û í é x - 2  0
Û íê
Û x  2.  
x

1
ê
ï 2
ïê
î êë x - 3 x + 2  0
ï êë x  2
î
Vậy tập nghiệm của phương trình là  S  {2}.  
Câu 41.  Chọn D
ì x2 - 1  0
Û x  1 . 
+) Điều kiện  í

î2x + 1  0

é x2 - 1  0 1
é x2 - 1  0
Ûê
+)  x - 1 2x + 1 - x  0 Û ê
 
êë 2x + 1 - x  0 êë 2x + 1  x  2
é x  1 n
Giải  1 :  x2 - 1  0 Û ê
 
êë x  -1 l 
é x  1 + 2  n
Giải   2 :  2x + 1  x  2x + 1  x2  do x  1 Û x2 - 2x - 1  0 Û ê
êë x  1 - 2  l 
Vậy số nghiệm của phương trình là  2.  
2





 
Câu 42.
Lời Giải
Chọn D
Điều kiện:  x - 2  0 Û x  2
 x 2 - 4 x + 3 x - 2  0
é x  1(l ) . 
é x2 - 4x + 3  0

Ûê
Û êê x  3( n)
êë x - 2  0
êë x  2( n)
Câu 43.  Chọn A
ĐKXĐ:  x  1.
 

é x  -1
2
é
x
x
2

0
Û êê x  2
Biến đổi:   x 2 - x - 2  . x - 1  0 Û ê
 
ë x -1  0
êë x  1.
Đối chiếu điều kiện ta được  x  1, x  2  

Nguyễn Bảo Vương:  />
23


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 44.


ĐT:0946798489

Chọn A 
Điều kiện  x - 2  0 Û x  2 . 
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với 
éx - 2  0
éx  2
Ûê
. So với điều kiện chỉ có  x  2 ,  x  3  thỏa. 
ê 2
ë x  1, x  3
ë x - 4x + 3  0
Vậy tập nghiệm của phương trình là  S  2;3 . 

Câu 45.  Chọn A
Điều kiện:  x  1 . 

é x  -1
2
é
x
x
2

0
ê
x2 - x - 2 . x - 1  0 Û ê
Û êx  2  
êë x - 1  0

êë x  1
So sánh điều kiện kết luận phương trình có nghiệm  x  1; x  2 .
 
Câu 46.  Chọn C 



x



2

- 6 x  17 - x 2  x 2 - 6 x Û  x 2 - 6 x 





17 - x 2 - 1  0  

é ì é x  0(TM )
é ìï x 2 - 6 x  0
êïê
êí
éx  0
ê í ë x  6( L)
2
 
Û ê ïî17 - x  0 Û ê ï

Ûê
x


4
x

17
ë
ê
êî
2
êë 17 - x  1
ê17 - x 2  1
ë
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt. 
Câu 47.  
Lời giải
Chọn B
7
+)  Điều kiện:  2 x + 7  0 Û x  - . 
2
2
 x - 2  2 x + 7  x - 4 Û  x - 2  2 x + 7   x - 2  x + 2   
éx - 2  0
Û  x - 2  éë 2 x + 7 -  x + 2    0   Û ê
. 
2
x
+

7

x
+
2
ë
+)   x - 2  0 Û x  2  ( thỏa mãn ). 
ìï x + 2  0
ì x  -2
+)   2 x + 7  x + 2 Û í
. 
2 Û í 2
îx + 2x - 3  0
îï2 x + 7   x + 2 
ì x  -2
ï
Û í é x  1 Û x  1  ( thỏa mãn ). 
ï ê x  -3
îë

éx  2
Vậy phương trình có hai nghiệm  ê
. 
ëx  1
 
Câu 48. Chọn C
ì3 - x  0
Û -2  x  3 . 
Điều kiện:  í
îx + 2  0

Nguyễn Bảo Vương:  />
24


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Phương trình tương đương:  3 - x  x + 2 Û 1  2 x Û x 

1
 (thỏa mãn điều kiện). 
2

ì1 
Vậy phương trình có tập nghiệm  S  í  . 
î2
Câu 49.  Chọn C
Thay các nghiệm  x  vào phương trình thấy  x 

4
 là nghiệm. 
3

 
Câu 50.  Chọn C
Phương trình  x x - 2  2 - x chỉ xác định khi  x  2 . 
Thử lại, ta thấy là nghiệm phương trình. 
Vậy phương trình chỉ có 1 nghiệm. 
Câu 51.  Chọn D

Đk: -2  x  3  
3 - x  x + 2 + 1 Û 3 - x  x + 3 + 2 x + 2 Û 3 - x - x - 3  2 x + 2 Û -2 x  2 x + 2  
ìx  0
ìx  0
ï
Ûí 2
Û í é x  -1  
îx  x + 2
ïê x  2
îë
Câu 52. Chọn C
x + 3 - 2x -1  1  
ìx + 3  0
1
Điều kiện  í
Û x  . 
2
î2 x - 1  0
Khi đó phương trình  Û x + 3  1 + 2 x - 1  
ìï- x + 3  0
Û x + 3  1 + 2 2x -1 + 2x -1 Û 2 2x -1  - x + 3 Û í
2  
ïî4  2 x - 1   - x + 3
ìx  3
Ûí 2
Û x  1 . 
î x - 14 x + 13  0
Vậy số nghiệm nguyên của phương trình là  1. 
Câu 53.  Chọn C 
1

ì
ì3 x + 1  0 ï x  1
- Điều kiện:  í
Ûí
3 Û -  x  2.  
3
î2- x  0
ïî x  2
2

2

- PT  Û 3x + 1  1 + 2 - x Û éë 3 x + 1  éë1 + 2 - x  Û 3 x + 1  1 + 2 2 - x + 2 - x  
1
ì
ìï2 x - 1  0
ïx 
Û 2 2 - x  4x - 2 Û 2 - x  2x -1 Û í
2
 
2  Û í
ïî2 - x   2 x - 1
ï2 - x  4 x 2 - 4 x + 1
î
1
ì
x

ï
1

ì
2
ï
ïx 
Ûí
2
í é x  1 Û x  1  (thỏa mãn điều kiện). 
ï4 x 2 - 3 x - 1  0 ï ê
1
î
ïê x  4
îë
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm  x  1 . 
Nguyễn Bảo Vương:  />
25