– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHẦN I: ĐỀ BÀI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
Dạng

Đặt

Điều kiện

asin2x + bsin x + c = 0

t = sinx

−1≤ t ≤ 1

a cos2 x + bcos x + c = 0

t = cosx

−1≤ t ≤ 1

a tan2 x + btan x + c = 0

t = tanx

x≠

t = cotx
a cot2 x + bcot x + c = 0
Nếu đặt: t = sin x hoaë
c t = sin x thì ñieà
u kieä
n : 0 ≤ t ≤ 1.
2

π
+ kπ (k ∈ Z)
2

x ≠ kπ (k ∈ Z)

B– BÀI TẬP
Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác
A. 2sin 2 x + sin 2 x − 1 = 0.
B. 2sin 2 2 x − sin 2 x = 0.
C. cos 2 x + cos2 x − 7 = 0.
D. tan 2 x + cot x − 5 = 0.
Câu 2: Nghiệm của phương trình sin 2 x – sin x = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < π .
A. x = π .
B. x = π .
C. x = 0 .
D. x = − π .
2
2
π
Câu 3: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin 2 x − 3sin x + 1 = 0 thỏa điều kiện 0 ≤ x < là:

2
π
π
π
5π
A. x =
B. x =
C. x =
D. x =
3
2
6
6
2
Câu 4: Phương trình sin x + 3sin x − 4 = 0 có nghiệm là:
π
A. x = + k 2π , k ∈ Z
B. x = π + k 2π , k ∈ Z
2
π
C. x = kπ , k ∈ Z
D. x = + kπ , k ∈ Z
2
π
π
Câu 5: Nghiệm của phương trình sin 2 x + sin x = 0 thỏa điều kiện: − < x < .
2
2
A. x = 0 .
B. x = π .

C. x = π .
D. x = π .
3
2
2
Câu 6: Trong [ 0; 2π ) , phương trình sin x = 1 − cos x có tập nghiệm là
π

 π 
 π

A.  ; π ; 2π  .
B. { 0; π } .
C. 0; ; π  .
D. 0; ; π ; 2π  .
2

 2 
 2

Câu 7: Phương trình: 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 2 có nghiệm là:

Trang 1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

π

π


 x = 6 + k 2π
 x = 6 + kπ
,k ∈¢
,k ∈¢
A. 
B. 
 x = π + k 2π
 x = π + kπ


2
2
π
π
C. x = + kπ , k ∈ ¢
D. x = + k 2π , k ∈ ¢
2
2
Câu 8: Nghiệm của phương trình sin 2 x − 4sin x + 3 = 0 là :
π
π
A. x = − + k 2π , k ∈ ¢
B. x = ± + k 2π , k ∈ ¢
2
2
π
C. x = + k 2π , k ∈ ¢

D. x = k 2π , k ∈ ¢
2
Câu 9: Nghiệm của phương trình 5 − 5sin x − 2cos 2 x = 0 là
π
π
A. kπ , k ∈ ¢ .
B. k 2π , k ∈ ¢ .
C. + k 2π , k ∈ ¢ .
D. + k 2π , k ∈ ¢ .
2
6
3
2
Câu 10: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin x − 2sin x + = 0 .
4
π
π
5π
+ kπ ( k ∈ ¢ ) .
A. x = + k 2π (k ∈ ¢ ) .
B. x = + kπ ; x =
6
6
6
π
5π
π
π
+ k 2π (k ∈ ¢ ) .
C. x = + k 2π ; x =

D. x = + kπ ; x = − + kπ (k ∈ ¢ ) .
6
6
6
6
2
Câu 11: Phương trình 2sin x + sin x − 3 = 0 có nghiệm là:
π
π
π
A. kπ , k ∈ ¢ .
B. + kπ , k ∈ ¢ .
C. + k 2π , k ∈ ¢ .
D. − + k 2π , k ∈ ¢
2
2
6
.
Câu 12: Các họ nghiệm của phương trình cos 2 x − sin x = 0 là
π
2π π
−π
2π −π
; + k 2π ; k ∈ ¢ .
+k
;
+ k 2π ; k ∈ ¢ .
A. + k
B.
6

3 2
6
3 2
π
2π −π
−π
2π π
;
+ k 2π ; k ∈ ¢ .
+k
; + k 2π ; k ∈ ¢ .
C. + k
D.
6
3 2
6
3 2
π
Câu 13: Nghiệm của phương trình 2sin 2 x – 3sin x + 1 = 0 thỏa điều kiện: 0 ≤ x < .
2
π
π
π
π
A. x = .
B. x = .
C. x = .
D. x = − .
6
4

2
2
2
Câu 14: Nghiệm của phương trình 2 sin x – 5sin x – 3 = 0 là:
π
7π
π
5π
+ k 2π .
+ k 2π .
A. x = − + k 2π ; x =
B. x = + k 2π ; x =
6
6
3
6
π
π
5π
+ k 2π .
C. x = + kπ ; x = π + k 2π .
D. x = + k 2π ; x =
2
4
4
Câu 15: Nghiêm của pt sin 2 x = – sinx + 2 là:
π
π
−π
+ k2π .

A. x = + k2π .
B. x = + kπ .
C. x =
D. x = kπ .
2
2
2
3
2
Câu 16: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin x − 2sin x + = 0 .
4
π
π
5π
+ kπ ( k ∈ ¢ ) .
A. x = + k 2π (k ∈ ¢ ) .
B. x = + kπ ; x =
6
6
6
Trang 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
5π
π

π
+ k 2π ; x =
+ k 2π (k ∈ ¢ ) .
D. x = + kπ ; x = − + kπ (k ∈ ¢ ) .
6
6
6
6
2
Câu 17: Nghiệm của phương trình cos x + sin x + 1 = 0 là
π
π
A. x = + k 2π , k ∈ ¢ .
B. x = − + kπ , k ∈ ¢ .
2
2
π
π
C. x = − + k 2π , k ∈ ¢ .
D. x = m + k 2π , k ∈ ¢ .
2
2
2
Câu 18: Nghiêm của phương trình sin x = − sin x + 2 là
π
A. x = kπ , k ∈ ¢ .
B. x = + k 2π , k ∈ ¢ .
2
π
π

C. x = − + k 2π , k ∈ ¢ .
D. x = + kπ , k ∈ ¢ .
2
2
2
Câu 19: Phương trình 2sin x + 3sin x − 2 = 0 có nghiệm là
π
A. kπ , k ∈ ¢ .
B. + kπ , k ∈ ¢ .
2
π
π
5π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
C. + k 2π , k ∈ ¢ .
D. + k 2π ;
2
6
6
C. x =

Câu 20: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2 cos 2 x + 3sin x − 3 = 0 thõa điều kiện 0 < x <

π
π
.
B. x = .
C.
3
2

Câu 21: Nghiệm của phương trình 1 − 5sin x + 2 cos 2 x = 0
π

 x = 6 + k 2π
,k ∈¢ .
A. 
B.
 x = − π + k 2π

6
π

 x = 3 + k 2π
,k ∈¢ .
C. 
D.
 x = − π + k 2π

3
Câu 22: Nghiệm của phương trình 5 − 5sin x − 2 cos 2 x = 0
A. x =

x=

π
.
6

D. x =


là
π

 x = 6 + k 2π
,k ∈¢ .

 x = 5π + k 2π

6
π

 x = 3 + k 2π
,k ∈¢ .

 x = 2π + k 2π

3
là:
π
A. kπ , k ∈ ¢ .
B. k 2π , k ∈ ¢ .
C. + k 2π , k ∈ ¢ .
D.
2
Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin 2 2 x − 2s in2x + 1 = 0 là :
π
π
π
A. − + kπ .
B. + kπ .

C. + k 2π .
D.
4
4
4
Câu 24: Một họ nghiệm của phương trình cos 2 2 x + sin 2x − 1 = 0 là
π
π
π
π
A. + kπ .
B. k .
C. − + k .
D.
2
3
2
2
Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2 cos 2 x + 3sin x −1 = 0 là
 1
 1
A. π + arcsin  − ÷+ k 2π .
B. π − arcsin  − ÷+ k 2π .
 4
 4
π 1
π
 1
 1
C. − arcsin  − ÷+ kπ .

D. − arcsin  − ÷+ kπ .
2 2
2
 4
 4
Trang 3

π
là:
2

5π
.
6

π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
6
−

π
+ k 2π .
4

k

π
.
2



– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 26: Nghiệm của phương trình sin 2 2 x + 2sin 2 x + 1 = 0 trong khoảng ( −π ; π ) là :
 π 3π 
 π 3π 
 π 3π 
 π 3π 
A. − ; −  .
B. − ;  .
C.  ;  .
D.  ; −  .
4 
4 
 4
 4 4 
4 4 
4
2
Câu 27: Giải phương trình: sin x + 2sin x − 3 = 0 .
π
π
π
A. kπ .
B. − + kπ .
C. + k 2π .
D. − + k 2π .
2

2
2
Câu 28: Giải phương trình lượng giác 4sin 4 x + 12 cos 2  x − 7 = 0 có nghiệm là:
π
π
π
π
π
A. x = ± + k 2π .
B. x = + k .
C. x = + kπ .
D. x = − + kπ .
4
4
2
4
4
π

π
 5
Câu 29: Phương trình cos 2  x + ÷+ 4 cos  − x ÷ = có nghiệm là:
3

6
 2
π
π
π
π





 x = − 6 + k 2π
 x = 6 + k 2π
 x = − 3 + k 2π
 x = 3 + k 2π
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
 x = 5π + k 2π
 x = π + k 2π
 x = 3π + k 2π
 x = π + k 2π




6
2
2
4
 π 
2

Câu 30: Tìm m để phương trình 2 sin x − ( 2m + 1) sinx + m = 0 có nghiệm x ∈  − ;0 ÷.
 2 
A. −1 < m < 0.
B. 1 < m < 2.
C. −1 < m < 0.
D. 0 < m < 1.
2
Câu 31: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: cos x − 4 cos x + 3 = 0 .
π
A. x = π + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
B. x = + k 2π (k ∈ ¢ ) .
2
x
=
k
2
π
(
k
∈
¢
)
x
=
k
π (k ∈ ¢ ) .
C.
.
D.
Câu 32: Giải phương trình 2cos 2 x − 3cos x + 1 = 0

π
π


A. x = − + k 2π , k ∈ ¢ .
B. k 2π , ± + k 2π , k ∈ ¢  .
3
3


π
C. x = + k 2π , k ∈ ¢ .
D. x = k 2π , k ∈ ¢ .
3
Câu 33: Phương trình cos 2 x + 2cos x − 11 = 0 có tập nghiệm là:
A. x = arccos ( −3) + k 2π , k ∈ ¢ , x = arccos ( −2 ) + k 2π , k ∈¢ .
B. ∅ .
C. x = arccos ( −2 ) + k 2π , k ∈¢ .
D. x = arccos ( −3) + k 2π , k ∈ ¢ .
Câu 34: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. sin x + 3 = 0 .
B. 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0 .
C. tan x + 3 = 0 .
D. 3sin x − 2 = 0 .
x
2 x
Câu 35: Phương trình: sin − 2 cos + 2 = 0 có nghiệm là:
3
3
A. x = kπ , k ∈ ¢

B. x = k 3π , k ∈ ¢
C. x = k 2π , k ∈ ¢
D. x = k 6π , k ∈ ¢
3
2
Câu 36: Phương trình : cos 2 x + cos 2 x − = 0 có nghiệm là
4
2π
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
A. x = ±
B. x = ± + kπ , k ∈ ¢ .
3
3
π
π
C. x = ± + kπ , k ∈ ¢ .
D. x = ± + k 2π , k ∈ ¢ .
6
6
Trang 4


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 37: Nghiệm của phương trình cos 2 x – cosx = 0 thỏa điều kiện 0 < x < π :
A. x =


π
.
6

B. x =

π
.
2

C. x =

π
.
4

Câu 38: Nghiệm của phương trình cos 2 x + cos x = 0 thỏa điều kiện:

π
3π
.
C. x =
.
3
2
Câu 39: Nghiệm của phương trình 3cos 2 x = – 8cos x – 5 là:
A. x = π .

B. x =


A. x = kπ .

B. x = π + k 2π .

D. x = −

π
.
2

D. x = −

3π
.
2

D. x = ±

π
+ k 2π .
2

D. x = ±

π
+ kπ
3

π
3π

.
2
2

C. x = k 2π .

Câu 40: Nghiệm của pt 2 cos 2 x + 2 cos x – 2 = 0

π
π
+ kπ
C. x = ± + k 2π
4
3
2
Câu 41: Phương trình 2 cos x + 3cos x − 2 = 0 có nghiệm là
π
π
A. ± + k 2π , k ∈ ¢ .
B. ± + k 2π , k ∈ ¢ .
A. x = ±

π
+ k 2π
4

B. x = ±

6

3
2π
π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
C. ±
D. + k 2π , k ∈ ¢ .
3
3
2
Câu 42: Phương trình lượng giác: sin x − 3cos x − 4 = 0 có nghiệm là
π
π
A. x = − + k 2π , k ∈ ¢ B. x = −π + k 2π , k ∈ ¢
C. x = + kπ , k ∈ ¢
2
6
2
Câu 43: Phương trình lượng giác: cos x + 2 cos x − 3 = 0 có nghiệm là
π
A. x = k 2π , k ∈ ¢
B. x = 0
C. x = + k 2π , k ∈ ¢
2
3
2
2
Câu 44: Phương trình sin 2 x − 2 cos x + = 0 có nghiệm là
4
π
π

A. x = ± + kπ , k ∈ ¢ .
B. x = ± + kπ , k ∈ ¢ .
6
4
π
2π
+ kπ , k ∈ ¢ .
C. x = ± + kπ ,, k ∈ ¢ .
D. x = ±
3
3
Câu 45: Họ nghiệm của phương trình cos 2 2 x − cos 2x − 2 = 0 là
π
π kπ
−π
+ k 2π .
A. + kπ .
B. − +
.
C.
2
2 2
2
Câu 46: Họ nghiệm của phương trình 3cos 4 x + 2 cos 2 x − 5 = 0 là
π
A. k 2π .
B. + k 2π .
C. kπ .
3
Câu 47: Các họ nghiệm của phương trình 3sin 2 2 x + 3cos 2 x − 3 = 0 là

π
π
π
π
π
A. kπ ; + k .
B. kπ ; − + k .
C. kπ ; + kπ .
4
2
4
2
4

D. Vô nghiệm

D. Vô nghiệm

D.

π
+ k 2π .
2

D. −

π
+ k 2π .
3

π
+ kπ .
4
 3π 3π 
π
π


− ; ÷
2 cos 2  2 x + ÷+ 3cos  2 x + ÷− 5 = 0
Câu 48: Nghiệm của phương trình
trong khoảng  2 2 
3
3


là:

Trang 5

D. kπ ; −


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
 7π π 5π 
; ; .
A. −
 6 6 6 
.

 7π π 5π 
B.  ; − ;  .
6 6 
 6

 7π π 5π 
;− ;−  .
C. −
6
6 
 6

2
Câu 49: Giải phương trình 3cos x + 2 cos x − 5 = 0 .
π
π
A. x = kπ .
B. x = − + kπ .
C. x = + k 2π .
2
2
Câu 50: Phương trình sin 2 x + sin 2 2 x = 1 có nghiệm là:
π
π
π


x
=
+

k
π
x
=
+
k


2
3
2
(k ∈ ¢ ) .
A. 
B. 
.
 x = ± π + kπ
 x = − π + kπ


6
4
π
π

 x = 12 + k 3
C. 
.
D. Vô nghiệm.
 x = − π + kπ


3
Câu 51: Phương trình tan 2 x + 5 tan x − 6 = 0 có nghiệm là:
π
x = arctan( −6) + kπ =
A. x = + kπ ;x
( k ∈¢) x =
4
π
x = arctan(−6) + k 2π =
C. x = + k 2π ;x
( k ∈¢) x =
4
π
x = arctan(−6) + k 2π =
B. x = − + kπ ;x
( k ∈¢)
4
x = arctan(−6) + kπ =
( k ∈¢ ) .
D. x = kπ ;x

Câu 52: Giải phương trình

(

Lượng giác – ĐS và GT 11
 7π π 5π 
;− ; 
D. −
6 6 

 6

D. x = k 2π .

)

3 tan 2 x − 1 + 3 tan x + 1 = 0

π
π
π
π
+ k π , x = + kπ , k ∈ ¢ .
B. x = + k 2π , x = + k 2π , k ∈ ¢ .
4
6
3
4
π
π
π
π
C. x = + k 2π , x = + k 2π , k ∈ ¢ .
D. x = + kπ , x = + kπ , k ∈ ¢ .
4
6
3
6
Câu 53: Phương trình tan x + 3cot x = 4 (với. k ∈ ¢ .) có nghiệm là:
π

π
A. + k 2π , arctan 3 + k 2π .
B. + kπ .
4
4
π
C. arctan 4 + kπ .
D. + kπ , arctan 3 + kπ .
4
Câu 54: Phương trình tan x + 3cot x = 4 (với k ∈ ¢ ) có nghiệm là
π
π
A. + k 2π , arctan 3 + k 2π .
B. + kπ .
4
4
π
C. arctan 4 + kπ .
D. + kπ , arctan 3 + kπ .
4
2
Câu 55: Phương trình 3 tan x − ( 3 + 3 ) tan x + 3 = 0 có nghiệm là
A. x =

π

 x = 4 + kπ
A. 
.
 x = π + kπ


3

π

 x = − 4 + kπ
B. 
.
 x = π + kπ

3
Trang 6

π

 x = 4 + kπ
C. 
.
 x = − π − kπ

3

π

 x = − 4 + kπ
D. 
.
 x = − π + kπ

3

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 56: Phương trình 2 tan 2 x + 3 tan x + 1 = 0 có nghiệm là
π
1
A. kπ (k ∈ ¢ ) .
B. + kπ ; arctan( − ) (k ∈ ¢ ) .
4
2
π
1
π
1
C. + k 2π , arctan( − ) (k ∈ ¢ ) .
D. − + kπ ; arctan(− ) + kπ (k ∈ ¢ ) .
2
2
4
2
2
Câu 57: Một họ nghiệm của phương trình tan 2 x − 3 tan 2x + 2 = 0 là
π
π
π
π
π

π
A. − + kπ .
B. + kπ .
C. − + k .
D. + k .
8
8
8
2
8
2
Câu 58: Họ nghiệm của phương trình 3 tan 2 x + 2 cot 2 x − 5 = 0 là
π
π
π
π
1
2
π
1
2
π
A. − + k .
B. + k .
C. − arctan + k .
D. arctan + k .
4
2
4
2

2
3
2
2
3
2
2
Câu 59: Trong các nghiệm sau, nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2 tan x + 5 tan x + 3 = 0 là :
π
π
π
5π
A. − .
B. − .
C. − .
D. −
.
3
4
6
6
Câu 60: Số nghiệm của phương trình 2 tan x − 2 cot x − 3 = 0 trong khoảng  − π ; π ÷ là :
 2 
A. 2 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 3 .
2
Câu 61: Giải phương trình : tan x + 2 tan x + 1 = 0 .
π

π
π
π
A. + k .
B. − + kπ .
C. + k 2π .
D. kπ .
4
2
4
2
Câu 62: Nghiệm của phương trình tan x + cot x = −2 là
π
−π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
A. x = + k 2π , k ∈ ¢ .
B. x =
4
4
π
−π
+ kπ , k ∈ ¢ .
C. x = + kπ , k ∈ ¢ .
D. x =
4
4
tan x
1
π


= cot  x + ÷ có nghiệm là:
Câu 63: Phương trình
2
1 − tan x 2
4

A. x =

π
+ kπ .
3

B. x =

π
π
+k .
6
2

C. x =

π
π
+k .
8
4

Câu 64: Phương trình 2 2 ( sin x + cos x ) .cos x = 3 + cos 2 x có nghiệm là:

π
+ kπ , k ∈ ¢ .
6
π
C. x = + k 2π , k ∈ ¢ .
3
A. x =

B. x = −

D. x =

π
π
+k .
12
3

π
+ kπ , k ∈ ¢ .
6

D. Vô nghiệm.

sin 3 x + cos 3 x 

Câu 65: Giải phương trình 5  sin x +
÷ = cos 2 x + 3 .
1 + 2sin 2 x 


A. x = ±
C. x = ±

π
3
π
3

+ k 2π , k ∈ ¢ .

B. x = ±

+ kπ , k ∈ ¢ .

D. x = ±

Câu 66: Cho phương trình
phải thỏa mãn điều kiện:
5
A. − ≤ m ≤ 0 .
2

π
6
π
6

+ k 2π , k ∈ ¢ .
+ kπ , k ∈ ¢ .

1
4 tan x
cos 4 x +
= m . Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m
2
1 + tan 2 x
B. 0 < m ≤ 1 .

Trang 7


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
C. 1 < m ≤

3
.
2

Lượng giác – ĐS và GT 11

5
3
D. m < − hay m > .
2
2

1
2
− 2 ( 1 + cot 2 x.cot x ) = 0 có các nghiệm là

4
cos x sin x
π
π
π
π
A. x = + k , k ∈ ¢ .
B. x = + k , k ∈ ¢ .
16
4
12
4
π
π
π
π
C. x = + k , k ∈ ¢ .
D. x = + k , k ∈ ¢ .
8
4
4
4
Câu 68: Phương trình cos 2 x + sin 2 x + 2 cos x + 1 = 0 có nghiệm là
 x = k 2π
A. 
, k ∈¢ .
B. x = π + k 2π , k ∈ ¢ .
 x = π + k 2π
3


π

x
=
+ kπ

π
3
C. x = + k 2π , k ∈ ¢ .
D. 
, k ∈¢ .
3
 x = − π + kπ

3
π
π 3


4
4
Câu 69: Phương trình: cos x + sin x + cos  x − ÷.sin  3 x − ÷− = 0 có nghiệm là:
4
4 2


A. x = k 2π ( k ∈ ¢ ) .
B. x = k 3π ( k ∈ ¢ ) .
Câu 67: Phương trình: 48 −

C. x = k 4π ( k ∈ ¢ ) .

D. x =

π
+ kπ ( k ∈ ¢ ) .
4

Câu 70: Phương trình sin 3 x + cos 2 x = 1 + 2sin x cos 2 x tương đương với phương trình:
sin x = 0
sin x = 0
sin x = 0
sin x = 0

A. 
.
B. 
.
C.
D. 
.
1.

sin x = − 1
sin
x
=
1
sin
x

=
−
1
sin
x
=



2

2
Câu 71: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 5 x + cos 2 x + 2sin 3 x sin 2 x = 0 trên [ 0; 2π ] là
A. 3π .
B. 4π .
C. 5π .
D. 6π .
cos 4 x
 π
= tan 2 x trong khoảng  0; ÷ là :
Câu 72: Số nghiệm của phương trình
cos 2 x
 2
A. 2 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 3 .
Câu 73: Nghiệm phương trình

(

cos x ( cos x + 2sin x ) + 3sin x sin x + 2

) =1

sin 2 x − 1
π
π
A. x = ± + k 2π . k ∈ ¢ .
B. x = − + kπ , k ∈ ¢ .
4
4
3π
π
π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
C. x = − + k 2π , x = −
D. x = − + k 2π , k ∈ ¢ .
4
4
4
Câu 74: Cho phương trình cos5 x cos x = cos 4 x cos 2 x + 3cos 2 x + 1 . Các nghiệm thuộc khoảng
( −π ;π ) của phương trình là:
2π π
π 2π
π π
π π
, .
A. −
B. − ,

.
C. − , .
D. − , .
3 3
3 3
2 4
2 2
π
π 5
4
4
4
Câu 75: Phương trình: sin x + sin  x + ÷+ sin  x − ÷ = có nghiệm là:


Trang 8

4



4

4


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
A. x =

π

π
+k .
8
4

B. x =

π
π
+k .
4
2

C. x =

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
+ kπ .
2

D. x = π + k 2π .

π
π


Câu 76: Phương trình: cos  2 x + ÷+ cos  2 x − ÷+ 4sin x = 2 + 2 ( 1 − sin x ) có nghiệm là:
4
4



π
π
π
π




 x = 6 + k 2π
 x = 3 + k 2π
 x = 12 + k 2π
 x = 4 + k 2π
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
 x = 11π + k 2π
 x = 3π + k 2π
 x = 5π + k 2π
 x = 2π + k 2π





12
4
6
3
sin 3x + cos 3x  3 + cos 2 x

Câu 77: Cho phương trình:  sin x +
. Các nghiệm của phương trình thuộc
÷=
1 + 2sin 2 x 
5

khoảng ( 0;2π ) là:
π 5π
π 5π
π 5π
π 5π
,
A.
.
B. ,
.
C. ,
.
D. ,
.
12 12
6 6
4 4
3 3

2
2
Câu 78: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin x − 2 ( m − 1) sin x cos x − ( m −1) cos x = m có
nghiệm?
A. 0 ≤ m ≤ 1 .
B. m > 1 .
C. 0 < m < 1 .
D. m ≤ 0 .
2
Câu 79: Để phương trình: sin x + 2 ( m + 1) sin x − 3m ( m − 2 ) = 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của
tham số m là:
1
1
 1
 1
− ≤m≤
− ≤m<
 −2 ≤ m ≤ −1
 −1 ≤ m ≤ 1


3
3.
2
2.
A.
B.
C. 
.
D. 

.


0 ≤ m ≤ 1
3 ≤ m ≤ 4
1
≤
m
≤
2
1
≤
m
≤
3


6
Câu 80: Để phương trình sin x + cos6 x = a | sin 2 x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:
1
1
3
1
1
A. 0 ≤ a < .
B. < a < .
C. a < .
D. a ≥ .
8
8

8
4
4
4
4
6
6
2
Câu 81: Cho phương trình: 4 sin x + cos x − 8 sin x + cos x − 4sin 4 x = m trong đó m là tham

(

) (

)

số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:
3
A. −1 ≤ m ≤ 0 .
B. − ≤ m ≤ −1 .
2
3
C. −2 ≤ m ≤ − .
D. m < −2 hay m > 0 .
2
sin 6 x + cos 6 x
Câu 82: Cho phương trình:
= 2m.tan 2 x , trong đó m là tham số. Để phương trình có
cos 2 x − sin 2 x
nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

1
1
1
1
A. m ≤ − hay m ≥ .
B. m ≤ − hay m ≥ .
8
8
4
4
1
1
1
1
C. m < − hay m > .
D. m < − hay m > .
8
8
4
4

Trang 9


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

+ Là phương trình có dạng f (sin x,cos x) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng
lẻ.
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x ≠ 0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là
tan x .
Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)
Cách 1:
• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?
π
Lưu ý: cosx = 0 ⇔ x = + kπ ⇔ sin2 x = 1 ⇔ sin x = ± 1.
2
• Khi cos x ≠ 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ 0 ta được:
a.tan2 x + b.tan x + c = d(1+ tan2 x)
• Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
(a − d)t2 + bt
. + c− d = 0
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1− cos2x
sin2x
1+ cos2x
(1) ⇔ a.
+ b.
+ c.
= d
2
2
2
⇔ b.sin2x + (c − a).cos2x = 2d − a − c (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
B– BÀI TẬP
Câu 1: Phương trình 6sin 2 x + 7 3 sin 2 x − 8cos 2 x = 6 có các nghiệm là:
π

π


 x = 2 + kπ
 x = 4 + kπ
A. 
, k ∈¢ .
B. 
, k ∈¢ .
 x = π + kπ
 x = π + kπ


6
3
π
3π


 x = 8 + kπ
 x = 4 + kπ
C. 
, k ∈¢ .
D. 
, k ∈¢ .
 x = π + kπ
 x = 2π + kπ


3

12
Câu 2: Phương trình

(

)

3 + 1 sin 2 x − 2 3 sin x cos x +

π

x = − + kπ

vôù
i tanα = −2 + 3 , k ∈ ¢ .
4
A.

 x = α + kπ

(

)

π

x
=
−
+ kπ

vôù
i tan α = −1 + 3 , k ∈ ¢ .
8
C. 

 x = α + kπ

(

Câu 3:

)

(

)

3 − 1 cos 2 x = 0 có các nghiệm là:

π

x = + kπ

4
B.

 x = α + kπ

π


x
=
+ kπ
8
D. 

 x = α + kπ

Giải phương trình 3sin 2 2 x − 2sin 2 x cos 2 x − 4 cos 2 2 x = 2.
Trang 10

( vôùi tan α = 2 − 3 ) , k ∈ ¢ .

( vôùi tan α = 1 − 3 ) , k ∈ ¢ .


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

1
kπ
1
kπ
arctan 3 +
, x = arctan(−2) +
, k ∈ ¢.
2
2
2

2
1 + 73 kπ
1 − 73 kπ
B. x = arctan
+
, x = arctan
+
, k ∈ ¢.
12
2
12
2
1
1 + 73 kπ
1
1 − 73 kπ
C. x = arctan
+
, x = arctan
+
, k ∈ ¢.
2
6
2
2
6
2
3 kπ
kπ
, x = arctan(−1) +

, k ∈ ¢.
D. x = arctan +
2 2
2
Câu 4: Phương trình 2sin 2 x + sin x cos x − cos 2 x = 0 có nghiệm là:
π
π
1
A. + kπ , k ∈ ¢ .
B. + kπ , arctan  ÷+ kπ , k ∈ ¢ .
4
4
2
π
π
1
1
C. − + kπ , arctan  ÷+ kπ , k ∈ ¢ .
D. − + k 2π , arctan  ÷+ k 2π , k ∈ ¢ .
4
4
2
2
Câu 5: Một họ nghiệm của phương trình 2sin 2 x − 5sin x cos x − cos 2 x = −2 là
π
π
π
π
A. + kπ , k ∈ ¢ .
B. − + kπ , k ∈ ¢ .

C. + kπ , k ∈ ¢ .
D. − + kπ , k ∈ ¢
6
4
4
6
.
Câu 6: Một họ nghiệm của phương trình 2 3 cos 2 x + 6sin x cos x = 3 + 3 là
3π
π
π
π
+ k 2π , v k ∈ ¢ . B. + kπ , k ∈ ¢ .
A.
C. − + kπ , k ∈ ¢ .
D. − + k 2π ,
4
4
4
4
k ∈¢ .
Câu 7: Một họ nghiệm của phương trình −3sin x cos x + sin 2 x = 2 là
1
π
A. arctan ( −2 ) + kπ , k ∈ ¢ .
B. arctan ( −2 ) + k , k ∈ ¢ .
2
2
1
π

C. − arctan ( −2 ) + k , k ∈ ¢ .
D. arctan ( 2 ) + kπ , k ∈ ¢ .
2
2
Câu 8: Một họ nghiệm của phương trình 2sin 2 x + sin x cos x − 3cos 2 x = 0 là
 3
 3
A. arctan  − ÷+ kπ , k ∈ ¢ .
B. − arctan  − ÷+ kπ , k ∈ ¢ .
 2
 2
3
3
C. arctan  ÷+ kπ , k ∈ ¢ .
D. − arctan  ÷+ kπ , k ∈ ¢ .
2
2
2
Câu 9: Một họ nghiệm của phương trình 3sin x − 4sin x cos x + 5cos 2 x = 2 là
π
π
π
3π
+ k 2π ,
A. − + k 2π , k ∈ ¢ .
B. + kπ , k ∈ ¢ .
C. − + kπ , k ∈ ¢ .
D.
4
4

4
4
k ∈¢ .
Câu 10: Phương trình : sin 2 x − ( 3 + 1) sin x cos x + 3 cos 2 x = 0 có họ nghiệm là
π
3π
+ kπ , k ∈ ¢ .
A. − + kπ , k ∈ ¢ .
B.
4
4
π
π
π
C. ± + kπ , k ∈ ¢ .
D. + kπ , + kπ , k ∈ ¢ .
3
4
3
2
2
Câu 11: Phương trình 3cos 4 x + 5sin 4 x = 2 − 2 3 sin 4 x cos 4 x có nghiệm là:
π
π
π
A. x = − + kπ , k ∈ ¢ .
B. x = − + k , k ∈ ¢ .
6
12
2

A. x =

Trang 11


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
C. x = −

π
π
+ k , k ∈¢ .
18
3

Lượng giác – ĐS và GT 11

D. x = −

π
π
+ k , k ∈¢ .
24
4

 π
Câu 12: Trong khoảng  0 ; ÷, phương trình sin 2 4 x + 3.sin 4 x.cos 4 x − 4.cos 2 4 x = 0 có:
 2
A. Ba nghiệm.
B. Một nghiệm.
C. Hai nghiệm.

D. Bốn nghiệm.
2
2
Câu 13: Phương trình 2 cos x − 3 3 sin 2 x − 4sin x = −4 có họ nghiệm là
π

 x = 2 + kπ
π
A. 
, k ∈¢ .
B. x = + k 2π , k ∈ ¢ .
2
 x = π + kπ

6

π
+ kπ , k ∈ ¢ .
6
2
2
Câu 14: Phương trình 2sin x + sin x cos x − cos x = 0
π
1
A. − + k 2π ,arctan( ) + k 2π .
4
2
π
1
C. + kπ ,arctan( ) + kπ .

4
2
C. x =

D. x =

π
+ kπ , k ∈ ¢ .
2

(với k ∈¢ ) có nghiệm là:

π
+ kπ .
4
π
1
D. − + kπ , arctan( ) + kπ .
4
2
B.

3
3
5
5
Câu 15: Giải phương trình cos x + sin x = 2 ( cos x + sin x )
π
π
1

π
1
A. x = ± + k 2π
B. x = ± + k π
C. x = ± + k π
4
4
2
4
3
2
Câu 16: Giải phương trình sin x + 3 tan x = cos x ( 4sin x − cos x )

π
+ k 2π , x = arctan −1 ± 2 + k 2π
4
π
2
2
C. x = + k π , x = arctan −1 ± 2 + k π
4
3
3
A. x =

(

)

(

)

D. x = ±

π
+ kπ
4

π
1
1
+ k π , x = arctan −1 ± 2 + k π
4
2
2
π
D. ⇔ x = + kπ , x = arctan −1 ± 2 + kπ
4

(

B. ⇔ x =

(

)

)

2
Câu 17: Giải phương trình sin x ( tan x + 1) = 3sin x ( cos x − sin x ) + 3

π
2
π
π
1
π




 x = − 4 + k 2π
x = − 4 + k 2 π
x = − 4 + k 3 π
 x = − 4 + kπ
A. 
B. 
C. 
D. 
x = ± π + k 2 π
 x = ± π + k 2π
x = ± π + k 1 π
 x = ± π + kπ




3

3
2
3
3
3
3
3
2
Câu 18: Giải phương trình 4sin x + 3cos x − 3sin x − sin x cos x = 0
π
π
π
1
π
1
A. x = + k 2π , x = ± + k 2π
B. x = + k π , x = ± + k π
4
3
4
2
3
2
π
1
π
1
π
π
C. x = + k π , x = ± + k π

D. x = + kπ , x = ± + kπ
4
3
3
3
4
3
3
Câu 19: Giải phương trình 2 cos x = sin 3 x
1

 x = arctan(−2) + k 2π
 x = arctan(−2) + k 2 π
A. 
B. 
 x = π + k 2π
x = π + k 1 π

4

4
2

Trang 12


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

2

 x = arctan( −2) + kπ
 x = arctan(−2) + k 3 π
C. 
D. 
 x = π + kπ
π
2
x = + k π

4

4
3
Câu 20: Giải phương trình cos 2 x − 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x
2
1


x
=
k
π
x
=
k
π
 x = k 2π
 x = kπ



3
2

A.
B. 
C. 
D. 
 x = π + k 2π
 x = π + kπ
π
1
π
2
x = + k π
x = + k π
3
3




3
2
3
3
Câu 21: Giải phương trình 2 cos 2 x + 6 sin x cos x + 6sin 2 x = 1
π
π

2
2
 1
 1
A. x = − + k 2π ; x = arctan  − ÷+ k 2π
B. x = − + k π ; x = arctan  − ÷+ k π
4
4
3
3
 5
 5
π
1
1
π
 1
 1
C. x = − + k π ; x = arctan  − ÷+ k π
D. x = − + kπ ; x = arctan  − ÷+ kπ
4
4
4
4
 5
 5

Trang 13

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
Dạng 1: Là phương trình có dạng:
a(sin x + cos x) + bsin x cos x + c = 0 (3)
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

π
Đặt: t = cos x + sin x = 2.cos x + ÷; t ≤ 2.

4
1
⇒ t2 = 1+ 2sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = (t2 − 1).
2
Thay và (3) ta được phương trình bậc hai theo t.
Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sin x − cos x) + bsin xcos x + c = 0
(3’)
t ∈  − 2; 2


π  
Để giải phương trình này ta cũng đặt t = sin x − cos x = 2sin  x − ÷⇒ 
2
4  sin x cos x = 1− t


2

Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.
Lưu ý:


π
π
• cos x + sin x = 2cos x − ÷ = 2sin x + ÷

4

4


π
π
• cos x − sin x = 2cos x + ÷ = − 2sin x − ÷

4

4
Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

π
• Đặt: t = cos x ± sin x = 2. cos x m ÷ ; Ñk : 0 ≤ t ≤ 2.

4
1
⇒ sin x.cos x = ± (t2 − 1).
2
• Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

B– BÀI TẬP

1
Câu 1: Phương trình sin x + cos x = 1 − sin 2 x có nghiệm là:
2
π
π
π


x = 6 + k 2
 x = 8 + kπ
A. 
, k ∈¢ .
B. 
, k ∈¢ .
x = k π
x = k π


4
2
π
π


x = + kπ
x = + k 2π



4
2
C.
, k ∈¢ .
D.
, k ∈¢ .


x
=
k
π
x
=
k
2
π


1
3
3
Câu 2: Phương trình sin x + cos x = 1 − sin 2 x có nghiệm là:
2

Trang 14


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

π

x = + kπ

4
A.
, k ∈¢ .
B.

 x = kπ
3π

 x = 4 + kπ
C. 
, k ∈¢ .
D.
x = k π

2
Câu 3: Giải phương trình 2sin 2 x − ( sin x + cos x ) + 1 = 0

Lượng giác – ĐS và GT 11

π

 x = 2 + k 2π , k ∈ ¢ .

 x = k 2π
3π


x
=
+ kπ

2
, k ∈¢ .

 x = ( 2k + 1) π

π
1 
π

+ kπ hoặc x = ± arccos  −
÷+ k π
4
2
 2 2
π
1 
1
1
π
1

+k π
B. x = k π , x = + k π hoặc x = ± arccos  −
÷
4
3

3
2
3
 2 2
A. x = kπ , x =

π
1 
2
2
π
2

+k π
C. x = k π , x = + k π hoặc x = ± arccos  −
÷
4
3
3
2
3
 2 2
π
1 
π

+ k 2π hoặc x = ± arccos  −
÷+ k 2π
4
2

 2 2
Câu 4: Giải phương trình sin 2 x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0
π
π
2
A. x = + kπ , x = −π + k 2π
B. x = + k 2π , x = −π + k π
2
2
3
π
1
2
π
C. x = + k π , x = −π + k π
D. x = + k 2π , x = −π + k 2π
2
3
3
2
π

Câu 5: Giải phương trình sin 2 x + 2 sin  x − ÷ = 1
4

π
π
π
1
π

1
1
A. x = + kπ , x = + kπ , x = π + k 2π
B. x = + k π , x = + k π , x = π + k π
4
2
4
2
2
2
2
π
2
π
2
π
π
C. x = + k π , x = + k π , x = π + k 2π
D. x = + kπ , x = + k 2π , x = π + k 2π
4
3
2
3
4
2
Câu 6: Giải phương trình 1 + tan x = 2 2 sin x
π
11π
5π
+ kπ , x = −

+ kπ
A. x = + kπ , x =
4
12
12
π
2
11π
2
5π
2
+ k π,x = −
+k π
B. x = + k π , x =
4
3
12
3
12
3
π
11π
1
5π
+ k π,x = −
+ k 2π
C. x = + k 2π , x =
4
12
4

12
π
11π
5π
+ k 2π x =, x = −
+ k 2π
D. x = + k 2π , x =
4
12
12
Câu 7: Giải phương trình cos x − sin x + 2sin 2 x = 1
k 3π
k 5π
k 7π
kπ
A. x =
B. x =
C. x =
D. x =
2
2
2
2
3
3
Câu 8: Giải phương trình cos x + sin x = cos 2 x
π
π
π
2

π
A. x = − + k 2π , x = − + kπ , x = k π
B. x = − + k π , x = − + kπ , x = kπ
4
2
4
3
2
D. x = k 2π , x =

Trang 15


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
1
π
2
π
π
+ k π , x = − + k π , x = k 2π
D. x = − + kπ , x = − + k 2π , x = k 2π
4
3
2
3
4

2
3
3
Câu 9: Giải phương trình cos x + sin x = 2sin 2 x + sin x + cos x
k 3π
k 5π
kπ
A. x =
B. x =
C. x = kπ
D. x =
2
2
2
1
1
10
+ sinx +
=
Câu 10: Giải phương trình cosx +
cos x
sin x 3
π
2 + 19
π
2 + 19
+ k 2π
+ k 2π
A. x = ± arccos
B. x = ± arccos

4
4
3 2
2
π
2 + 19
π
2 − 19
+ kπ
+ k 2π
C. x = ± arccos
D. x = ± arccos
4
4
2
3 2
Câu 11: Cho phương trình sin x cos x − sin x − cos x + m = 0 , trong đó m là tham số thực. Để phương
trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là
1
1
1
1
A. −2 ≤ m ≤ − − 2 .
B. − − 2 ≤ m ≤ 1 .
C. 1 ≤ m ≤ + 2 .
D. + 2 ≤ m ≤ 2 .
2
2
2
2

Câu 12: Phương trình 2sin 2 x − 3 6 sin x + cos x + 8 = 0 có nghiệm là
C. x = −

π

 x = 3 + kπ
A. 
, k ∈¢ .
 x = 5π + kπ

3
π

 x = 6 + kπ
C. 
, k ∈¢ .
 x = 5π + kπ

4

Trang 16

π

x = + kπ

4
B.
, k ∈¢ .


 x = 5π + kπ
π

 x = 12 + kπ
D. 
, k ∈¢ .
 x = 5π + kπ

12


Website chuyờn thi, ti liu file word

Lng giỏc S v GT 11

PHN II: HNG DN GII
PHNG TRèNH BC HAI V QUY V BC HAI VI MT HM S LNG GIC
A Lí THUYT V PHNG PHP
1. Phng trỡnh bc hai vi mt hm s lng giỏc
Dng

t

iu kin

asin2x + bsin x + c = 0

t = sinx

1 t 1

a cos2 x + bcos x + c = 0

t = cosx

1 t 1

a tan2 x + btan x + c = 0

t = tanx

x

t = cotx
a cot2 x + bcot x + c = 0
Nu t: t = sin2 x hoaở
c t = sin x thỡ ủie
u kieọ
n : 0 t 1.


+ k (k Z)
2

x k (k Z)

B BI TP
Cõu 1: Trong cỏc phng trỡnh sau, phng trỡnh no l phng trỡnh bc 2 theo 1 hm s lng giỏc
A. 2sin 2 x + sin 2 x 1 = 0.
B. 2sin 2 2 x sin 2 x = 0.

C. cos 2 x + cos2 x 7 = 0.
D. tan 2 x + cot x 5 = 0.
Hng dn gii:.
Chn B.
Cõu 2: Nghim ca phng trỡnh sin 2 x sin x = 0 tha iu kin: 0 < x < .
A. x = .
B. x = .
C. x = 0 .
D. x = .
2
2
Hng dn gii::
Chn A.
x = k
sin x = 0
2
sin x sin x = 0

( k Â)
x = + k 2
sin
x
=
1


2

Vỡ 0 < x < nờn nghim ca phng trỡnh l x = .
2

Cõu 3: Nghim ca phng trỡnh lng giỏc: 2sin 2 x 3sin x + 1 = 0 tha iu kin 0 x < l:
2



5
A. x =
B. x =
C. x =
D. x =
3
2
6
6
Hng dn gii:
Chn C.

Trang 17


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

t = 1
Đặt t = sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) , phương trình trở thành: 2t − 3t + 1 = 0 ⇔  1
t =
 2
π

Với t = 1 , ta có: sin x = 1 ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2
π
π
π
−1
≤ k < 0. Vì k ∈¢ nên không tồn tại k.
Do 0 ≤ x < nên 0 ≤ + k 2π < ⇔
2
2
2
4
π

x = + k 2π

1
1
π
6
Với t = , ta có: sin x = = sin ⇔ 
.
2
2
6
 x = 5π + k 2π

6
π
π

Do 0 ≤ x < nên x = .
2
6
π
π
Vậy phương trình có nghiệm x = thỏa điều kiện 0 ≤ x < .
6
2
2
Câu 4: Phương trình sin x + 3sin x − 4 = 0 có nghiệm là:
π
A. x = + k 2π , k ∈ Z
B. x = π + k 2π , k ∈ Z
2
π
C. x = kπ , k ∈ Z
D. x = + kπ , k ∈ Z
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
t = 1
Đặt t = sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) , phương trình trở thành: t 2 + 3t − 4 = 0 ⇔ 
.
t = −4 (l )
π
Với t = 1 , ta có: sin x = 1 ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2
π
π
Câu 5: Nghiệm của phương trình sin 2 x + sin x = 0 thỏa điều kiện: − < x < .

2
2
A. x = 0 .
B. x = π .
C. x = π .
D. x = π .
3
2
Hướng dẫn giải::
Chọn A.
 x = kπ
sin x = 0
2
⇔
( k ∈¢)
sin x + sin x = 0 ⇔ 
π
sin x = −1  x = − + k 2π

2
π
π
Vì − < x < nên nghiệm của phương trình là x = 0 .
2
2
Câu 6: Trong [ 0; 2π ) , phương trình sin x = 1 − cos 2 x có tập nghiệm là
π

 π 
 π


A.  ; π ; 2π  .
B. { 0; π } .
C. 0; ; π  .
D. 0; ; π ; 2π  .
2

 2 
 2

Hướng dẫn giải::
Chọn C.
2

Trang 18


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

 x = kπ
sin x = 0
sin x = 1 − cos x ⇔ sin x = sin x ⇔ 
⇔
( k ∈¢) .
 x = π + k 2π
sin
x
=

1


2
 π 
Mà x ∈ [ 0; 2π ) ⇔ x ∈ 0; ; π  .
 2 
2

2

Câu 7: Phương trình: 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 2 có nghiệm là:
π
π


x
=
+
k
2
π
x
=
+ kπ


6
6
,k ∈¢

,k ∈¢
A. 
B. 
 x = π + k 2π
 x = π + kπ


2
2
π
π
C. x = + kπ , k ∈ ¢
D. x = + k 2π , k ∈ ¢
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có :
π
π
1 − cos 2 x

+ 3 sin 2 x = 2 ⇔ 3 sin 2 x − cos 2 x = 1 ⇔ sin  2 x − ÷ = sin
2sin 2 x + 3 sin 2 x = 2 ⇔ 2.
6
6
2


π π

π


π
x = + kπ

 2 x − 6 = 6 + k 2π

2 x = + k 2π
6
⇔
⇔
⇔
( k ∈¢) .
3

π
 2 x − π = 5π + k 2π

x = + kπ
 2 x = π + k 2π


6
6
2
Câu 8: Nghiệm của phương trình sin 2 x − 4sin x + 3 = 0 là :
π
π
A. x = − + k 2π , k ∈ ¢

B. x = ± + k 2π , k ∈ ¢
2
2
π
C. x = + k 2π , k ∈ ¢
D. x = k 2π , k ∈ ¢
2
Hướng dẫn giải::
Chọn C
sin x = 1
sin 2 x − 4sin x + 3 = 0 ⇔ 
sin x = 3
π
Với sin x = 1 ⇔ x = + k 2π , k ∈ ¢
2
Phương trình sin x = 3 > 1 vô nghiêm.
Câu 9: Nghiệm của phương trình 5 − 5sin x − 2cos 2 x = 0 là
π
B. kπ , k ∈ ¢ .
B. k 2π , k ∈ ¢ .
C. + k 2π , k ∈ ¢ .
2
Hướng dẫn giải::
Chọn C.

D.

π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
6

sin x = 1
7
5 − 5sin x − 2cos x = 0 ⇔ 5 − 5sin x + 2 1 − sin x = 0 ⇔ −2sin x − 5sin x + 7 = 0 ⇔ 
sin x = −

2
π
Với sin x = 1 ⇔ x = + k 2π , k ∈ ¢
2

(

2

Trang 19

2

)

2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

7
Phương trình sin x = − < −1 vô nghiêm.

2
3
= 0.
4
π
5π
+ kπ ( k ∈ ¢ ) .
B. x = + kπ ; x =
6
6
π
π
D. x = + kπ ; x = − + kπ (k ∈ ¢ ) .
6
6

2
Câu 10: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin x − 2sin x +

π
+ k 2π (k ∈ ¢ ) .
6
π
5π
+ k 2π (k ∈ ¢ ) .
C. x = + k 2π ; x =
6
6
Hướng dẫn giải::
Chọn C.

1

sin x =

3
2
sin 2 x − 2sin x + = 0 ⇔ 
4
sin x = 3

2
π

x = + k 2π

1
6
k ∈¢
Với sin x = ⇔ 
5
π
2
x =
+ k 2π

6
3
Phương trình sin x = > 1 vô nghiêm.
2
Câu 11: Phương trình 2sin 2 x + sin x − 3 = 0 có nghiệm là:

π
π
π
A. kπ , k ∈ ¢ .
B. + kπ , k ∈ ¢ .
C. + k 2π , k ∈ ¢ .
D. − + k 2π , k ∈ ¢
2
2
6
.
Hướng dẫn giải::
Chọn C.
sin x = 1
2
−3
2sin x + sin x − 3 = 0 ⇔ 
sin x =

2
π
Với sin x = 1 ⇔ x = + k 2π , k ∈ ¢
2
3
Phương trình sin x = − < −1 vô nghiêm.
2
Câu 12: Các họ nghiệm của phương trình cos 2 x − sin x = 0 là
π
2π π
−π

2π −π
; + k 2π ; k ∈ ¢ .
+k
;
+ k 2π ; k ∈ ¢ .
A. + k
B.
6
3 2
6
3 2
π
2π −π
−π
2π π
;
+ k 2π ; k ∈ ¢ .
+k
; + k 2π ; k ∈ ¢ .
C. + k
D.
6
3 2
6
3 2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. x =

Trang 20

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

π

 x = − 2 + k 2π
sin x = −1 
π
2
⇔  x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
Ta có cos 2 x − sin x = 0 ⇔ 1 − 2sin x − sin x ⇔ 
1

sin x =
6


2
 x = 5π + k 2π

6
π
Câu 13: Nghiệm của phương trình 2sin 2 x – 3sin x + 1 = 0 thỏa điều kiện: 0 ≤ x < .
2
π
π
π

π
A. x = .
B. x = .
C. x = .
D. x = − .
6
4
2
2
Hướng dẫn giải::
Chọn A.
π

 x = 2 + k 2π

sin x = 1
π

2
⇔  x = + k 2π ( k ∈ ¢ )
2sin x – 3sin x + 1 = 0 ⇔
1

sin x =
6


2
 x = 5π + k 2π


6
π
π
Vì 0 ≤ x < nên nghiệm của phương trình là x = .
2
6
Câu 14: Nghiệm của phương trình 2sin 2 x – 5sin x – 3 = 0 là:
π
7π
π
5π
+ k 2π .
+ k 2π .
A. x = − + k 2π ; x =
B. x = + k 2π ; x =
6
6
3
6
π
π
5π
+ k 2π .
C. x = + kπ ; x = π + k 2π .
D. x = + k 2π ; x =
2
4
4
Hướng dẫn giải::
Chọn A.

π

sin x = 3 > 1  x = − + k 2π
6
⇔
( k ∈¢) .
2sin 2 x – 5sin x – 3 = 0 ⇔ 
1
sin x = −
7
π
x =
+ k 2π

2

6
Câu 15: Nghiêm của pt sin 2 x = – sinx + 2 là:
π
π
−π
+ k2π .
A. x = + k2π .
B. x = + kπ .
C. x =
D. x = kπ .
2
2
2
Hướng dẫn giải::

ChọnA.
Đặt t = sin x . Điều kiện t ≤ 1

t = 1 ( TM)
2
2
Phương trình trở thành: t = −t + 2 ⇔ t + t − 2 = 0 ⇔ 
t = −2 (L)
Với t = 1⇒ sin x = 1 ⇔ x =

π
+ k2π (k ∈ Z).
2

2
Câu 16: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin x − 2sin x +

Trang 21

3
=0.
4


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

π
+ k 2π (k ∈ ¢ ) .
6
π

5π
+ k 2π (k ∈ ¢ ) .
C. x = + k 2π ; x =
6
6
Hướng dẫn giải::
Chọn C.
3

sin x =

3
2
sin 2 x − 2sin x + = 0 ⇔ 
.
4
sin x = 1

2
3
3
+ sin x = ⇒ vô nghiệm vì > 1 .
2
2
π

x = + k 2π

1
π

6
,( k ∈¢) .
+ sin x = ⇔ sin x = sin ⇔ 
2
6
 x = 5π + k 2π

6
Câu 17: Nghiệm của phương trình cos 2 x + sin x + 1 = 0
π
A. x = + k 2π , k ∈ ¢ .
2
π
C. x = − + k 2π , k ∈ ¢ .
2
A. x =

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
5π
+ kπ ; x =
+ kπ ( k ∈ ¢ ) .
6
6
π
π
D. x = + kπ ; x = − + kπ ( k ∈ ¢ ) .
6
6

B. x =

là

π
+ kπ , k ∈ ¢ .
2
π
D. x = m + k 2π , k ∈ ¢ .
2
B. x = −

Hướng dẫn giải:
Chọn C

 cos 2 x + sin x + 1 = 0 ⇔ 1 − sin 2 x + sin x + 1 = 0 ⇔ − sin 2 x + sin x + 2 = 0
sin x = −1
π
⇔
⇔ x = − + k 2π , k ∈ ¢
2
sin x = 2(vn)
Câu 18: Nghiêm của phương trình sin 2 x = − sin x + 2 là
A. x = kπ , k ∈ ¢ .
C. x = −

π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
2
π

D. x = + kπ , k ∈ ¢ .
2
B. x =

π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn B
sin x = 1
π
⇔ x = + k 2π , k ∈ ¢
sin 2 x = − sin x + 2 ⇔ sin 2 x + sin x − 2 = 0 ⇔ 
2
sin x = −2(vn)
2
Câu 19: Phương trình 2sin x + 3sin x − 2 = 0 có nghiệm là
π
A. kπ , k ∈ ¢ .
B. + kπ , k ∈ ¢ .
2
π
π
5π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
C. + k 2π , k ∈ ¢ .
D. + k 2π ;
2
6

6
Trang 22


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Hướng dẫn giải:
Chọn D

π

1
x = + k 2π


sin x =
6
⇔
,k ∈¢
2
2sin 2 x + 3sin x − 2 = 0 ⇔ 
5π

x=
+ k 2π
sin x = −2(vn)

6

Câu 20: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2 cos 2 x + 3sin x − 3 = 0 thõa điều kiện 0 < x <

π
.
3
Hướng dẫn giải::
Chọn C .
A. x =

B. x =

π
.
2

C. x =

π
.
6

D. x =

π
là:
2

5π
.
6

2
2 cos 2 x + 3sin x − 3 = 0 ⇔ 2 ( 1 − sin x ) + 3sin x − 3 = 0


 x = kπ
sin x = 1


2
 x = π + k 2π , k ∈ ¢ .
⇔
⇔
⇔ 2sin x − 3sin x + 1 = 0
sin x = 1

6

2

5π
x =
+ k 2π
6

π
π
Do 0 < x < nên ta chọn x = .
2
6

Câu 21: Nghiệm của phương trình 1 − 5sin x + 2 cos 2 x = 0 là
π
π


 x = 6 + k 2π
 x = 6 + k 2π
,k ∈¢ .
,k ∈¢ .
A. 
B. 
 x = − π + k 2π
 x = 5π + k 2π


6
6
π
π


 x = 3 + k 2π
 x = 3 + k 2π
,k ∈¢ .
,k ∈¢ .
C. 
D. 
 x = − π + k 2π
 x = 2π + k 2π



3
3
Hướng dẫn giải::
Chọn B .
2
1 − 5sin x + 2cos 2 x = 0 ⇔ 1 − 5sin x + 2 1 − sin x = 0 ⇔ 2sin 2 x + 5sin x − 3 = 0

(

)

π

1

x = + k 2π

sin
x
=
π
6
, k ∈¢ .
⇔
2
⇔ sin x = sin ⇔ 

5
π

6
x =
+ k 2π
sin x = −3 ( VN )

6
Câu 22: Nghiệm của phương trình 5 − 5sin x − 2 cos 2 x = 0 là:
π
A. kπ , k ∈ ¢ .
B. k 2π , k ∈ ¢ .
C. + k 2π , k ∈ ¢ .
2
Hướng dẫn giải::
Chọn C .
Trang 23

D.

π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
6


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

2
5 − 5sin x − 2 cos 2 x = 0 ⇔ 5 − 5sin x − 2 ( 1 − sin x ) = 0 ⇔ 2sin 2 x − 5sin x + 3 = 0 .
sin x = 1

π
⇔
⇔ x = + k 2π , k ∈ ¢ .
3
sin x = ( VN )
2

2
Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin 2 2 x − 2s in2x + 1 = 0 là :
π
π
π
π
A. − + kπ .
B. + kπ .
C. + k 2π .
D. − + k 2π .
4
4
4
4
Hướng dẫn giải::
Chọn B.
π
π
sin 2 2 x − 2sin 2 x + 1 = 0 ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ 2 x = + k 2π ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) .
2
4
2
Câu 24: Một họ nghiệm của phương trình cos 2 x + sin 2x − 1 = 0 là

π
π
π
π
π
A. + kπ .
B. k .
C. − + k .
D. k .
2
3
2
2
2
Hướng dẫn giải::
Chọn D.
sin 2 x = 1
cos 2 2 x + sin 2x − 1 = 0 ⇔ − sin 2 2 x + sin 2x = 0 ⇔ 
.
sin 2 x = 0
π
π
+) sin 2 x = 1 ⇔ 2 x = + k 2π ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) .
2
4
kπ
( k ∈¢) .
+) sin 2 x = 0 ⇔ 2 x = kπ ⇔ x =
2
Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2 cos 2 x + 3sin x − 1 = 0 là

 1
A. π + arcsin  − ÷+ k 2π .
 4
π 1
 1
C. − arcsin  − ÷+ kπ .
2 2
 4
Hướng dẫn giải::
Chọn B.

 1
B. π − arcsin  − ÷+ k 2π .
 4
π
 1
D. − arcsin  − ÷+ kπ .
2
 4

sin x = 1

2 cos 2 x + 3sin x − 1 = 0 ⇔ 2 ( 1 − 2sin 2 x ) + 3sin x − 1 = 0 ⇔ −4sin 2 x + 3sin x + 1 ⇔ 

.
sin x = − 1

4

π
+ k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2

 1
x = arcsin  − ÷+ k 2π

1
 4
( k ∈¢) .
+) sin x = − ⇔ 
4

 1
+ k 2π
 x = π − arcsin  − 4 ÷

Câu 26: Nghiệm của phương trình sin 2 2 x + 2sin 2 x + 1 = 0 trong khoảng ( −π ; π ) là :
 π 3π 
 π 3π 
 π 3π 
 π 3π 
A. − ; −  .
B. − ;  .
C.  ;  .
D.  ; −  .
4 
4 
 4
 4 4 

4 4 
4
+) sin x = 1 ⇔ x =

Hướng dẫn giải::
Chọn B.

Trang 24


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

sin 2 2 x + sin 2 x + 1 = 0 ⇔ sin 2 x = −1
⇔ 2x = −

π
+ k 2π
2

⇔ x=−

.
π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
4

π


x=−

k
=
0

π
3
5
4
⇒
Theo đề ra −π < x = − + kπ < π ⇔ − < k < ⇒ 
.
4
4
4
k = 1
 x = 3π

4
2
Câu 27: Giải phương trình: sin x + 2sin x − 3 = 0 .
π
π
A. kπ .
B. − + kπ .
C. + k 2π .
2
2
Hướng dẫn giải::

Chọn C.
Phương trình:
sin x = 1
sin 2 x + 2sin x − 3 = 0 . ⇔ 
.
sin x = −3
π
+ sin x = 1 ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2
+ sin x = −3 phương trình vô nghiệm.
Câu 28: Giải phương trình lượng giác 4sin 4 x + 12 cos 2  x − 7 = 0 có nghiệm là:
π
π
π
π
A. x = ± + k 2π .
B. x = + k .
C. x = + kπ .
4
4
2
4
Hướng dẫn giải::
Chọn B.
Ta có:
4sin 4 x + 12 cos 2  x − 7 = 0 ⇔ 4sin 4 x − 12sin 2 x + 5 = 0 .

D. −

π

+ k 2π .
2

D. x = −

π
+ kπ .
4

π

 x = 4 + k 2π

1

5
 2
 x = 3π + k 2π
sin
x
=

sin x = 2 ( L )

π kπ
2
4
⇔
⇔
⇔

⇔x= +
,( k ∈¢) .
1
π
1
4
2

sin 2 x =
 x = − + k 2π
sin x = − 2

4
2


5
 x = π + k 2π

4
π

π
 5
Câu 29: Phương trình cos 2  x + ÷+ 4 cos  − x ÷ = có nghiệm là:
3

6
 2
π

π
π
π




 x = − 6 + k 2π
 x = 6 + k 2π
 x = − 3 + k 2π
 x = 3 + k 2π
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
 x = 5π + k 2π
 x = π + k 2π
 x = 3π + k 2π
 x = π + k 2π




6
2
2

4
Hướng dẫn giải::
Chọn A.
π
π
π 
π  5

π
 5

cos 2  x + ÷+ 4 cos  − x ÷ = ⇔ 1 − 2sin 2  x + ÷+ 4 cos  −  x + ÷÷ = .
3
3
3  2

6
 2

2 

Trang 25