– Website chuyên tài liệu đề thi file word

Trang 1

Lượng giác – ĐS và GT 11


– Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số y = sin x
• Tập xác định: D = R
• Tập giác trị: [ − 1;1] , tức là −1 ≤ sin x ≤ 1 ∀x ∈ R
π
π
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (− + k 2π ; + k 2π ) , nghịch biến trên mỗi khoảng
2
2
π
3π
( + k 2π ;
+ k 2π ) .
2
2
• Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
• Hàm số y = sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π .
• Đồ thị hàm số y = sin x .

2. Hàm số y = cos x

• Tập xác định: D = R
• Tập giác trị: [ − 1;1] , tức là −1 ≤ cos x ≤ 1 ∀x ∈ R
• Hàm số y = cos x nghịch biến trên mỗi khoảng ( k 2π ; π + k 2π ) , đồng biến trên mỗi khoảng
(−π + k 2π ; k 2π ) .
• Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
• Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π .
• Đồ thị hàm số y = cos x .
Đồ thị hàm số y = cos x bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x
r
π
theo véc tơ v = (− ;0) .
2

3. Hàm số y = tan x
π

• Tập xác định : D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢ 
2

• Tập giá trị: ¡
• Là hàm số lẻ
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π
π
 π

• Hàm đồng biến trên mỗi khoảng  − + kπ ; + kπ ÷
2
 2



Trang 2


– Website chuyên tài liệu đề thi file word
• Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x =
• Đồ thị

π
+ kπ , k ∈ ¢ làm một đường tiệm cận.
2

4. Hàm số y = cot x
• Tập xác định : D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢}
• Tập giá trị: ¡
• Là hàm số lẻ
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π
• Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng ( kπ ; π + kπ )
• Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x = kπ , k ∈ ¢ làm một đường tiệm cận.
• Đồ thị

Trang 3

Lượng giác – ĐS và GT 11


– Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHẦN I: ĐỀ BÀI

DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, XÉT TÍNH CHẴN LẺ,
CHU KỲ CỦA HÀM SỐ
Phương pháp.
• Hàm số y =

f ( x) có nghĩa ⇔ f ( x) ≥ 0 và f ( x ) tồn tại
1
• Hàm số y =
có nghĩa ⇔ f ( x) ≠ 0 và f ( x ) tồn tại.
f ( x)
• sin u ( x) ≠ 0 ⇔ u ( x) ≡ kπ , k ∈ ¢
π
• cos u ( x) ≠ 0 ⇔ u( x) ≠ + kπ , k ∈ ¢ .
2
Định nghĩa: Hàm số y = f ( x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0 sao
cho với mọi x ∈ D ta có
x ± T ∈ D và f ( x + T ) = f ( x ) .
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn
với chu kì T .
• Hàm số f ( x ) = a sin ux + b cos vx + c ( với u , v ∈ ¢ ) là hàm số tuần hoàn với chu kì T =

là ước chung lớn nhất).
• Hàm số f ( x) = a.tan ux + b.cot vx + c (với u , v ∈ ¢ ) là hàm tuần hoàn với chu kì T =

π
.
(u , v)

• y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2


Thì hàm số y = f1 ( x) ± f 2 ( x) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
y = sin x : Tập xác định D = R; tập giá trị T = [ −1, 1] ; hàm lẻ, chu kỳ T0 = 2π .
2π
* y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 =
a
* y = sin(f(x)) xác định ⇔ f ( x ) xác định.
y = cos x : Tập xác định D = R; Tập giá trị T = [ −1, 1] ; hàm chẵn, chu kỳ T0 = 2π .
2π
* y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 =
a
* y = cos(f(x)) xác định ⇔ f ( x) xác định.

π

y = tan x : Tập xác định D = R \  + kπ , k ∈ Z  ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = π .
2

π
* y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 =
a

Trang 4

2π
( (u , v)
(u , v)


– Website chuyên tài liệu đề thi file word


Lượng giác – ĐS và GT 11

π
+ kπ ( k ∈ Z )
2
y = cot x : Tập xác định D = R \ { kπ , k ∈ Z } ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = π .
π
* y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 =
a
* y = cot(f(x)) xác định ⇔ f ( x) ≠ kπ ( k ∈ Z ) .
*

y = tan(f(x)) xác định ⇔ f ( x) ≠

TẬP XÁC ĐỊNH
Câu 1: Tập xác định của hàm số y =
A. x ≠ kπ .

B. x ≠ k 2π .

Câu 2: Tập xác định của hàm số y =
A. x ≠

1
là
sin x − cos x

π
+ kπ .
2


π

A. ¡ \  + kπ , k ∈ Z  .
4

π
π

C. ¡ \  + k , k ∈ Z  .
2
4


π
+ kπ .
2

D. x ≠

C. x ≠

kπ
.
2

D. x ≠ kπ .

1 − 3cos x
là

sin x

B. x ≠ k 2π .

Câu 3 : Tập xác định của hàm số y=

C. x ≠

3
là
sin x − cos 2 x

π
+ kπ .
4

2

cot x
là
cos x − 1
 π

π

A. ¡ \ k , k ∈ Z 
B. ¡ \  + kπ , k ∈ Z 
 2

2


2sin x + 1
Câu 5: Tập xác định của hàm số y =
là
1 − cos x

π

B. ¡ \  + kπ , k ∈ Z  .
2

 3π

D. ¡ \  + k 2π , k ∈ Z  .
 4


Câu 4: Tập xác định của hàm số y =

A. x ≠ k 2π

B. x ≠ kπ

π

Câu 6: Tập xác định của hàm số y = tan  2x − ÷ là
3

π kπ
5π

+ kπ
A. x ≠ +
B. x ≠
6 2
12
Câu 7: Tập xác định của hàm số y = tan 2x là
−π kπ
π
+
A. x ≠
B. x ≠ + kπ
4
2
2
1 − sin x
Câu 8: Tập xác định của hàm số y =
là
sin x + 1
π
A. x ≠ + k 2π .
B. x ≠ k 2π .
2
Câu 9: Tập xác định của hàm số y = cos x là
Trang 5

C. ¡ \ { kπ , k ∈ Z }

D. ¡

C. x ≠


π
+ kπ
2

D. x ≠

π
+ k 2π
2

C. x ≠

π
+ kπ
2

D. x ≠

5π
π
+k
12
2

C. x ≠

π kπ
+
4 2


D. x ≠

π
+ kπ
4

C. x ≠

3π
+ k 2π .
2

D. x ≠ π + k 2π .


– Website chuyên tài liệu đề thi file word
A. x > 0 .

B. x ≥ 0 .

1 − 2 cos x
Câu 10: Tập xác định của hàm số y =
là
sin 3x − sin x

Lượng giác – ĐS và GT 11

C. ¡ .


D. x ≠ 0 .

A. ¡ \ kπ ; π + kπ , k ∈ ¢ 
4



B. ¡ \  π + kπ , k ∈ ¢  .
4 2


C. ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .

π kπ


, k ∈ ¢ .
D. ¡ \ kπ ; +
4 2



Câu 11: Hàm số y = cot 2x có tập xác định là
π
π

 π

π


A. kπ
B. ¡ \  + kπ ; k ∈ ¢  C. ¡ \ k ; k ∈ ¢ 
D. ¡ \  + k ; k ∈ ¢ 
2
4

 2

4

Câu 12: Tập xác định của hàm số y = tan x + cot x là
π

 π

A. ¡
B. ¡ \ { kπ ; k ∈ ¢}
C. ¡ \  + kπ ; k ∈ ¢  D. ¡ \  k ; k ∈ ¢ 
2

 2

2x
Câu 13: Tập xác định của hàm số y =
là
1 − sin 2 x
5
π

A. − .

B. D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
2
2

π kπ
.
C. y = sin x − x − sin x + x .
D. x = ± +
3 2
Câu 14: Tập xác định của hàm số y = tan x là
π

A. D = ¡ .
B. D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
2

π

C. D = ¡ \  + k 2π , k ∈ ¢  .
D. D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .
2

Câu 15: Tập xác định của hàm số y = cot x là
π

π

A. D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
B. D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
4


2

C. D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .
D. D = ¡ .
1
Câu 16: Tập xác định của hàm số y =
là
sin x
A. D = ¡ \ { 0} .
B. D = ¡ \ { k 2π , k ∈ ¢} .
C. D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .

Câu 17: Tập xác định của hàm số y =
π

A. D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
2

 π

C. D = ¡ \ k , k ∈ ¢ .
 2


Câu 18: Tập xác định của hàm số y =
π

A. D = ¡ \  + k 2π , k ∈ ¢  .
6



Trang 6

D. D = ¡ \ { 0; π } .

1
là
cot x

B. D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .
3π 
 π
D. D = ¡ \ 0; ; π ;  .
2 
 2

1
là
cot x − 3
π

B. D = ¡ \  + kπ , kπ , k ∈ ¢  .
6



– Website chuyên tài liệu đề thi file word

π

π

C. D = ¡ \  + kπ , + kπ , k ∈ ¢  .
2
3

Câu 19: Tập xác định của hàm số: y =

x +1
là:
tan 2 x

A. ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .
π

C. ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
2


Câu 20: Tập xác định của hàm số y =
π

A. D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
2

C. D = ¡ \ { π + kπ , k ∈ ¢} .

3x + 1
là:
1 − cos 2 x


Câu 21: Tập xác định của hàm số: y =
π

A. ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
2


x +1
là:
cot x

C. ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .
Câu 22: Tập xác định của hàm số y = tan ( 3x − 1) là:

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
 2π

D. D = ¡ \  + kπ , + kπ , k ∈ ¢  .
2
 3

 π

B. ¡ \  k , k ∈ ¢  .
4



 kπ

D. ¡ \  , k ∈ ¢  .
 2


 π

B. D = ¡ \  − + kπ , k ∈ ¢  .
 2

D. D = ∅.

 kπ

B. ¡ \  , k ∈ ¢  .
 2

π


D. ¡ \  + k 2π , k ∈ ¢  .
2


π
π 1

A. D = ¡ \  + + k , k ∈ ¢  .
3

6 3

π
1
π


C. D = ¡ \  − + k , k ∈ ¢  .
3
6 3


π
1

B. D = ¡ \  + k , k ∈ ¢  .
3
3

π
1
π


D. D =  + + k , k ∈ ¢  .
3
6 3


A. D = ¡ .


B.

π

C. D = R\  + kπ , k ∈ Z}.
12


D. D = R \ { kπ } .

π

Câu 23: Tập xác định của hàm số y = tan  3 x + ÷ là
4


Câu 24: Tập xác định của hàm số y = sin ( x − 1) là:
A. ¡ .
π

C. ¡ \  + k 2π | k ∈ ¢  .
2

x −1
Câu 25: Tập xác định của hàm số y = sin
là:
x +1
A. ¡ \ { −1} .


A. ¡ .
Trang 7

D. ¡ \{kπ } .

B. ( −1;1) .
π

D. ¡ \  + kπ | k ∈ ¢  .
2


π

C. ¡ \  + k 2π | k ∈ ¢  .
2


Câu 26: Tập xác định của hàm số y =

B. ¡ \{1} .

x2 + 1
là:
sin x

B. ¡ \ { 0} .


– Website chuyên tài liệu đề thi file word


π

D. ¡ \  + kπ | k ∈ ¢  .
2


C. ¡ \ { kπ | k ∈ ¢} .
Câu 27: Tập xác định của hàm số y =
π

A. ¡ \  + kπ | k ∈ ¢  .
2

C. ¡ .

Câu 28: Tập xác định của hàm số y =
A. ¡ \ { π + k 2π , k ∈ ¢} .

Lượng giác – ĐS và GT 11

2 sin x
là:
1 + cos x

B. ¡ \ { π + k 2π | k ∈ ¢} .
D. ¡ \ { 1} .

1 − sin x
là

1 + cos x

B. ¡ \ { k 2π , k ∈ ¢} .

π

π

C. ¡ \  + k 2π , k ∈ ¢  .
D. ¡ \  + k 2π , k ∈ ¢  .
4

2

Câu 29: Tập xác định D của hàm số y = sinx + 2. là

B. [ −2; +∞ ) .

A. ¡ . .

D. arcsin ( −2 ) ; +∞ ) .

C. ( 0; 2π ) .
Câu 30: Tập xác định của hàm số y = 1 − cos 2 x là
A. D = ¡ . .
B. D = [ 0;1] .

D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .

Câu 31: Hàm số nào sau đây có tập xác định ¡ .

2 + cos x
A. y =
.
2 − sin x
1 + sin 2 x
C. y =
.
1 + cot 2 x

C. D = [ −1;1] .

B. y = tan 2 x + cot 2 x .
D. y =

Câu 32: Tập xác định của hàm số y =

sin 3 x
.
2 cos x + 2

1 − sin x
là
sin 2 x
π

B. D = ¡ \  + k 2π , k ∈ ¢  .
2

D. D = ¡ .


A. D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .
C. D = ¡ \ { k 2π , k ∈ ¢} .
Câu 33: Tập xác định của hàm số y =

1 − cos x
là:
cos 2 x

π

A. D = ¡ \  + k 2π , k ∈ ¢  .
B. D = ¡ .
2

π

C. D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
D. D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .
2

2 − sin 2 x
Câu 34: Hàm số y =
có tập xác định ¡ khi
m cos x + 1
A. m > 0 .
B. 0 < m < 1 .
C. m ≠ −1 .
tan x
Câu 35: Tập xác định của hàm số y =
là:

cos x − 1

Trang 8

D.

D. −1 < m < 1 .


– Website chuyên tài liệu đề thi file word

A. x ≠ k 2π .

B. x =

π
+ k 2π .
3

Câu 36: Tập xác định của hàm số y =
A. x =

π
+ kπ .
2

A. x ≠

π
+ k 2π .

2

A. x ≠

π
+ kπ .
2

C. x = kπ .

D. x ≠

3
là
sin x

3π
+ k 2π .
2

D. x ≠ π + k 2π .

C. x ≠

kπ
.
2

D. x ≠ kπ .


A. D = ¡ .

B. D = ¡ \ { k 2π , k ∈ ¢} .

π

C. D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
2


D. D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .

A. D = ¡ .

 π kπ

, k ∈¢ .
B. D = ¡ \  +
12 3


π

Câu 40: Tập xác định của hàm số y = tan  3x + ÷ là
4


π

C. D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .

12

Câu 41: Chọn khẳng định sai
A. Tập xác định của hàm số y = sin x là ¡ .

D. D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .

π

B. Tập xác định của hàm số y = cot x là D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
2

y
=
cos
x
C. Tập xác định của hàm số
là ¡ .
π

D. Tập xác định của hàm số y = tan x là D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
2

sin x
Câu 42: Tập xác định của hàm số y =
là
1 − cos x
π

A. ¡ \ { k 2π , k ∈ ¢} .

B. ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
2

π

C. ¡ .
D. ¡ \  + k 2π , k ∈ ¢  .
2


Câu 43: Tìm tập xác định của hàm số y =

Trang 9

1 − cos 3 x
1 + sin 4 x

kπ
.
2

C. x ≠

1 − 3cos x
là
sin x

B. x ≠ k 2π .

Câu 39: Tập xác định của hàm số y =


π

 x ≠ 2 + kπ
D. 
.
 x ≠ π + kπ

3

1 − sin x
là:
sin x + 1

B. x ≠ k 2π .

Câu 38: Tập xác định của hàm số y =

π

 x ≠ + kπ
2
C. 
.
 x ≠ k 2π

cot x
là:
cos x


B. x = k 2π .

Câu 37: Tập xác định của hàm số y =

Lượng giác – ĐS và GT 11


– Website chuyên tài liệu đề thi file word

π
 π

A. D = ¡ \ − + k , k ∈ ¢ 
2
 8

π
 π

C. D = ¡ \ − + k , k ∈ ¢ 
2
 4


π
 3π

+ k , k ∈¢
B. D = ¡ \  −
2

 8

π
 π

D. D = ¡ \ − + k , k ∈ ¢ 
2
 6


Câu 44: Tìm tập xác định của hàm số sau y =

π n 2π


; k, n ∈ ¢
A. D = ¡ \ kπ , +
6
3


π n 2π


; k, n ∈ ¢ 
C. D = ¡ \ kπ , +
6
5



Câu 44: Tìm tập xác định của hàm số sau

π π
π
π

A. D = ¡ \  + k , + k ; k ∈ ¢ 
2 12
2
4

π π
π
π

C. D = ¡ \  + k , + k ; k ∈ ¢ 
2 3
2
4

Câu 45: Tìm tập xác định của hàm số sau

π
 3π

A. D = ¡ \  + kπ , + kπ ; k ∈ ¢ 
3
4

π

π

C. D = ¡ \  + kπ , + kπ ; k ∈ ¢ 
3
4

Câu 46: Tìm tập xác định của hàm số sau
π nπ
π

; k, n ∈ ¢ 
A. D = ¡ \  + k ,
3 5
6

π
π
n
π


; k, n ∈ ¢
C. D = ¡ \  + k ,
4 5
6


Trang 10

Lượng giác – ĐS và GT 11


1 + cot 2 x
1 − sin 3 x

 π π n 2π

; k, n ∈ ¢
B. D = ¡ \ k , +
3
 3 6

π n2π


; k, n ∈ ¢
D. D = ¡ \ kπ , +
5
3


tan 2 x
y=
3 sin 2 x − cos 2 x
π π
π
π

B. D = ¡ \  + k , + k ; k ∈ ¢ 
2 5
2

3

π π
π
π

D. D = ¡ \  + k , + k ; k ∈ ¢ 
2 12
2
3

π
π
y = tan( x − ).cot( x − )
4
3
π
 3π

B. D = ¡ \  + kπ , + kπ ; k ∈ ¢ 
5
4

π
 3π

D. D = ¡ \  + kπ , + kπ ; k ∈ ¢ 
6
5


y = tan 3 x.cot 5 x
π nπ
π

; k, n ∈ ¢
B. D = ¡ \  + k ,
3 5
5

π
π
n
π


; k, n ∈ ¢
D. D = ¡ \  + k ,
3 5
4



– Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

TÍNH CHẴN LẺ, CHU KỲ CỦA HÀM SỐ
Câu 1:
Khẳng định nào sau đây sai?
A. y = tan x là hàm lẻ.

B. y = cot x là hàm lẻ.
y
=
cos
x
C.
là hàm lẻ.
D. y = sin x là hàm lẻ.
Câu 2:
Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = sin 2 x .
B. y = cos3 x .
C. y = cot 4 x .
D. y = tan 5 x .
Câu 3:
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn
tan x
.
sin x
Câu 4:
Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số là hàm chẵn trên tập xác định của nó?
y = cot 2 x ; y = cos( x + π ) ; y = 1 − sin x ; y = tan 2016 x .

A. y = sin 3 x .

B. y = x.cos x .

A. 1 .
B. 2 .
Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn.

A. y = sin 3 x .

B. y = x.cos x .

C. y = cos x.tan 2 x .

D. y =

C. 3 .

D. 4 .

C. y = cos x.tan 2 x .

D. y =

Câu 6: Cho hàm số f ( x ) = cos 2 x và g ( x ) = tan 3 x , chọn mệnh đề đúng

tan x
.
sin x

A. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số lẻ.
B. f ( x ) là hàm số lẻ, g ( x ) là hàm số chẵn.

C. f ( x ) là hàm số lẻ, g ( x ) là hàm số chẵn.

D. f ( x ) và g ( x ) đều là hàm số lẻ.
Câu 7:
Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số y = x 2 + cos x là hàm số chẵn.

B. Hàm số y = sin x − x − sin x + x là hàm số lẻ.
sin x
C. Hàm số y =
là hàm số chẵn.
x
D. Hàm số y = sin x + 2 là hàm số không chẵn, không lẻ.
Câu 8:
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn
A. y = sin 2 x + sin x .
B. [ 2;5] .
C. y = sin 2 x + tan x .
D. y = sin 2 x + cos x .
Câu 9: Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số là hàm chẵn trên tập xác định của nó y = cot 2 x,
y = cos( x + π ), y = 1 − sin x, y = tan 2016 x ?
A. 2 .
B. 1 .
C. 4 .
Câu 10: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số y = s inx + 2 là hàm số không chẵn, không lẻ.
s inx
B. Hàm số y =
là hàm số chẵn.
x
C. Hàm số y = x 2 + cos x là hàm số chẵn.
D. Hàm số y = sin x − x − sin x + x là hàm số lẻ.
Trang 11

D. 3 .



– Website chuyên tài liệu đề thi file word
Câu 11: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ?
A. y = 2 x + cos x .
2
C. y = x sin ( x + 3) .

Lượng giác – ĐS và GT 11

B. y = cos 3x .
cos x
D. y = 3 .
x

Câu 12: Hàm số y = tan x + 2 sin x là:
A. Hàm số lẻ trên tập xác định.
B. Hàm số chẵn tập xác định.
C. Hàm số không lẻ tập xác định.
D. Hàm số không chẵn tập xác định.
3
Câu 13: Hàm số y = sin x.cos x là:
A. Hàm số lẻ trên ¡ .
B. Hàm số chẵn trên ¡ .
C. Hàm số không lẻ trên ¡ .
D. Hàm số không chẵn ¡ .
y
=
sin
x

+
5
cos
x
Câu 14: Hàm số
là:
A. Hàm số lẻ trên ¡ .
B. Hàm số chẵn trên ¡ .
C. Hàm số không chẵn, không lẻ trên ¡ .
D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 15: Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ ?
sin x + tan x
A. y =
.
B. y = tan x − cot x .
2 cos 2 x
C. y = sin 2 x + cos 2 x .
D. y = 2 − sin 2 3 x .
Câu 16: Hàm số y = sin x + 5 cos x là:
A. Hàm số lẻ trên ¡ .
B. Hàm số chẵn trên ¡ .
C. Hàm số không chẵn, không lẻ trên ¡ .
D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 17: Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ ?
sin x + tan x
A. y =
.
B. y = tan x − cot x .
2 cos 2 x
C. y = sin 2 x + cos 2 x .

D. y = 2 − sin 2 3 x .
Câu 18: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn:
A. y = 5sin x.tan 2 x .
B. y = 3sin x + cos x .
C. y = 2sin 3x + 5 .
D. y = tan x − 2 sin x .
Câu 19: Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ:
sin x + tan x
A. y =
.
B. y = tan x + cot x .
2 cos3 x
C. y = sin 2 x + cos 2 x .
D. y = 2 − sin 2 3 x .
Câu 20: Trong các hàm số sau đây hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y = sin 2 x .
B. y = cos x .
C. y = − cos x .
D. y = sin x .
Câu 21: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = − sin x .
B. y = cos x − sin x .
C. y = cos x + sin 2 x .
D. y = cos x sin x .
Câu 22: Trong các hàm số dưới đây có bao nhiêu hàm số là hàm số chẵn:
y = cos3 x ( 1) ;
y = sin ( x 2 + 1) ( 2 ) ;
y = tan 2 x   ( 3) ;

y = cot x  ( 4 ) .

A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
Câu 24: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y = sin x .

B. y = x + 1 .

C. y = x 2 .

D. 4 .
D. y =

x −1
.
x+2

D. y =

x2 + 1
.
x

Câu 25: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y = sin x − x .

B. y = cos x .
Trang 12

C. y = x sin x



– Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 26: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y = x cos x .

B. y = x tan x .

C. y = tan x .

Câu 27: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
sin x
A. y =
.
B. y = tan x + x .
C. y = x 2 + 1 .
x
Câu 29: Chu kỳ của hàm số y = sin x là:
π
A. k 2π , k ∈ ¢ .
B. .
C. π .
2
Câu 30: Chu kỳ của hàm số y = cos x là:
2π
A. k 2π .
B.

.
C. π .
3
Câu 31: Chu kỳ của hàm số y = tan x là:
π
A. 2π .
B. .
C. kπ , k ∈ ¢ .
4
Câu 33: Chu kỳ của hàm số y = cot x là:
π
A. 2π .
B. .
C. π .
2

Trang 13

D. y =

1
.
x

D. y = cot x .

D. 2π .
D. 2π .
D. π .
D. kπ , k ∈ ¢ .



– Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

DẠNG 2: SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Phương pháp.
Cho hàm số y = f ( x) tuần hoàn với chu kì T
* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cầnrkhảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn
r
có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ k .v (với v = (T ;0), k ∈ ¢ ) ta được toàn bộ đồ thị của
hàm số.
* Số nghiệm của phương trình f ( x) = k , (với k là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị
y = f ( x) và y = k .
* Nghiệm của bất phương trình f ( x) ≥ 0 là miền x mà đồ thị hàm số y = f ( x) nằm trên trục Ox .
Câu 1:

Hàm số y = sin x :

π

A. Đồng biến trên mỗi khoảng  + k 2π ; π + k 2π ÷ và nghịch biến trên mỗi khoảng ( π + k 2π ; k 2π )
2

với k ∈ ¢ .
5π
 3π


+ k 2π ;
+ k 2π ÷ và nghịch biến trên mỗi khoảng
B. Đồng biến trên mỗi khoảng  −
2
 2

π
π


 − + k 2π ; + k 2π ÷ với k ∈ ¢ .
2
 2

3π
π

+ k 2π ÷ và nghịch biến trên mỗi khoảng
C. Đồng biến trên mỗi khoảng  + k 2π ;
2
2

π
 π

 − + k 2π ; + k 2π ÷ với k ∈ ¢ .
2
 2

π

 π

D. Đồng biến trên mỗi khoảng  − + k 2π ; + k 2π ÷ và nghịch biến trên mỗi khoảng
2
 2

3π
π

+ k 2π ÷ với k ∈ ¢ .
 + k 2π ;
2
2

Câu 2: Hàm số y = cos x :
π

A. Đồng biến trên mỗi khoảng  + k 2π ; π + k 2π ÷ và nghịch biến trên mỗi khoảng ( π + k 2π ; k 2π )
2

với k ∈ ¢ .
B. Đồng biến trên mỗi khoảng ( −π + k 2π ; k 2π ) và nghịch biến trên mỗi khoảng ( k 2π ; π + k 2π ) với
k ∈¢ .
3π
π

+ k 2π ÷ và nghịch biến trên mỗi khoảng
C. Đồng biến trên mỗi khoảng  + k 2π ;
2
2


π
 π

 − + k 2π ; + k 2π ÷ với k ∈ ¢ .
2
 2

D. Đồng biến trên mỗi khoảng ( k 2π ; π + k 2π ) và nghịch biến trên mỗi khoảng ( π + k 2π ;3π + k 2π )

với k ∈ ¢ .
Câu 3: Hàm số: y = 3 + 2 cos x tăng trên khoảng:
Trang 14


– Website chuyên tài liệu đề thi file word
 π π
A.  − ; ÷.
 6 2

 π 3π
B.  ;
2 2


÷.


 7π


; 2π ÷ .
C. 
 6


 π π
Hàm số nào đồng biến trên khoảng  − ; ÷:
 3 6
y
=
cos
x
A.
.
B. y = cot 2 x .
C. y = sin x .

Lượng giác – ĐS và GT 11
π π 
D.  ; ÷.
6 2

Câu 4:

Câu 5:

Mệnh đề nào sau đây sai?

 π
A. Hàm số y = sinx tăng trong khoảng  0; ÷

 2
 π
B. Hàm số y = cotx giảm trong khoảng  0; ÷.
 2
 π
C. Hàm số y = tanx tăng trong khoảng  0; ÷.
 2
 π
D. Hàm số y = cosx tăng trong khoảng  0; ÷.
 2

Câu 7:

D. y = cos2 x .

.

Hàm số y = sin x đồng biến trên:

A. Khoảng ( 0; π ) .
π

C. Các khoảng  + k 2π ; π + k 2π ÷, k ∈ ¢ .
2

y
=
cos
x
Câu 9: Hàm số

:

π
 π

B. Các khoảng  − + k 2π ; + k 2π ÷, k ∈ ¢ .
4
 4

π
3
π


D. Khoảng  ; ÷ .
2 2 

 π
π 
B. Tăng trong 0;  và giảm trong  ; π  .
 2
2 
C. Nghịch biến [ 0; π ] .
D. Các khẳng định trên đều sai.
Câu 10: Hàm số y = cos x đồng biến trên đoạn nào dưới đây:
 π
A. 0;  .
B. [ π ; 2π ] .
C. [ −π ; π ] .
D. [ 0; π ] .

 2
 π
Câu 12: Hàm số nào sau đây có tính đơn điệu trên khoảng  0; ÷ khác với các hàm số còn lại ?
 2
y
=
cos
x
A. y = sin x .
B.
.
C. y = tan x .
D. y = − cot x .
y
=
tan
x
Câu 13: Hàm số
đồng biến trên khoảng:
 π
 π
 3π 
 3π π 
A.  0; ÷.
B.  0;  .
C.  0; ÷ .
D.  − ; ÷.
 2
 2
 2 

 2 2
Câu 14: Khẳng định nào sau đây đúng?
 π 3π 
A. Hàm số y = sin x đồng biến trong khoảng  ; ÷ .
4 4 
 π 3π 
B. Hàm số y = cos x đồng biến trong khoảng  ; ÷ .
4 4 
 3π π 
C. Hàm số y = sin x đồng biến trong khoảng  − ; − ÷.
4
 4
 3π π 
D. Hàm số y = cos x đồng biến trong khoảng  − ; − ÷.
4
 4

A. Tăng trong [ 0; π ] .

Trang 15


– Website chuyên tài liệu đề thi file word
 π
Câu 15: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng  0; ÷ ?
 2
A. y = sin x .
B. y = cos x .
C. y = tan x .
 π 3π 

Câu 16: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng  ; ÷ ?
2 2 
y
=
cos
x
A. y = sin x .
B.
.
C. y = cot x .

Trang 16

Lượng giác – ĐS và GT 11

D. y = − cot x .

D. y = tan x .


– Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

DẠNG 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 3sin 2 x − 5 lần lượt là:
A. −8 và − 2 .
B. 2 và 8 .
C. −5 và 2 .
D. −5 và 3 .

π
Câu 2: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 7 − 2 cos( x + ) lần lượt là:
4
A. −2 và 7 .
B. −2 và 2 .
C. 5 và 9 .
D. 4 và 7 .
Câu 3: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 4 sin x + 3 − 1 lần lượt là:
A. 2 và 2 .
B. 2 và 4 .
C. 4 2 và 8 .
D. 4 2 − 1 và 7 .
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 2 x − 4sin x − 5 là:
A. −20 .
B. −8 .
C. 0 .
D. 9 .
2
Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 − 2 cos x − cos x là:
A. 2 .
B. 5 .
C. 0 .
D. 3 .
Câu 6: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 + 3sin 3 x
A. min y = −2; max y = 5
B. min y = −1; max y = 4
C. min y = −1; max y = 5
D. min y = −5; max y = 5
Câu 7: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 − 4sin 2 2 x
A. min y = −2; max y = 1

B. min y = −3; max y = 5
C. min y = −5; max y = 1
D. min y = −3; max y = 1
π
Câu 8: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 cos(3x − ) + 3
3
A. min y = 2 , max y = 5
B. min y = 1 , max y = 4
C. min y = 1 , max y = 5
D. min y = 1 , max y = 3
Câu 9: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 − 2sin 2 2 x + 4
A. min y = 6 , max y = 4 + 3
B. min y = 5 , max y = 4 + 2 3
C. min y = 5 , max y = 4 + 3 3

D. min y = 5 , max y = 4 + 3

Câu 10: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2sin x + 3
A. max y = 5 , min y = 1

B. max y = 5 , min y = 2 5

C. max y = 5 , min y = 2

D. max y = 5 , min y = 3

Câu 11: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 − 2 cos 2 x + 1
A. max y = 1 , min y = 1 − 3
B. max y = 3 , min y = 1 − 3
C. max y = 2 , min y = 1 − 3


D. max y = 0 , min y = 1 − 3
π

Câu 12: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 3sin  2 x − ÷
4

A. min y = −2 , max y = 4
B. min y = 2 , max y = 4
C. min y = −2 , max y = 3
D. min y = −1 , max y = 4
Câu 13: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 − 2 cos 2 3 x
A. min y = 1 , max y = 2
B. min y = 1 , max y = 3
C. min y = 2 , max y = 3
D. min y = −1 , max y = 3
Trang 17


– Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 14: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 2 + sin 2 x
A. min y = 2 , max y = 1 + 3
B. min y = 2 , max y = 2 + 3
C. min y = 1 , max y = 1 + 3
D. min y = 1 , max y = 2
4
Câu 15: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y =

1 + 2sin 2 x
4
4
A. min y = , max y = 4
B. min y = , max y = 3
3
3
4
1
C. min y = , max y = 2
D. min y = , max y = 4
3
2
Câu 16: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2sin 2 x + cos 2 2x
3
A. max y = 4 , min y =
B. max y = 3 , min y = 2
4
3
C. max y = 4 , min y = 2
D. max y = 3 , min y =
4
Câu 17: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3sin x + 4 cos x + 1
A. max y = 6 , min y = −2
B. max y = 4 , min y = −4
C. max y = 6 , min y = −4
D. max y = 6 , min y = −1
Câu 18: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3sin x + 4 cos x − 1
A. min y = −6; max y = 4
B. min y = −6; max y = 5

C. min y = −3; max y = 4 D. min y = −6; max y = 6
Câu 19: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2sin 2 x + 3sin 2 x − 4 cos 2 x
A. min y = −3 2 − 1; max y = 3 2 + 1

B. min y = −3 2 − 1; max y = 3 2 − 1

C. min y = −3 2; max y = 3 2 − 1

D. min y = −3 2 − 2; max y = 3 2 − 1

Câu 20: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = sin 2 x + 3sin 2 x + 3cos 2 x
A. max y = 2 + 10; min y = 2 − 10

B. max y = 2 + 5; min y = 2 − 5

C. max y = 2 + 2; min y = 2 − 2
D. max y = 2 + 7; min y = 2 − 7
Câu 21: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2sin 3 x + 1
A. min y = −2, max y = 3
B. min y = −1, max y = 2
min
y
=
−
1,
max
y
=
3
C.

D. min y = −3, max y = 3
Câu 22: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 − 4 cos 2 2 x
A. min y = −1, max y = 4
B. min y = −1, max y = 7
C. min y = −1, max y = 3
D. min y = −2, max y = 7
Câu 23: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 2 4 + cos 3x
A. min y = 1 + 2 3, max y = 1 + 2 5

B. min y = 2 3, max y = 2 5

C. min y = 1 − 2 3, max y = 1 + 2 5
D. min y = −1 + 2 3, max y = −1 + 2 5
Câu 24: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 4sin 6 x + 3cos 6 x
A. min y = −5, max y = 5 B. min y = −4, max y = 4
C. min y = −3, max y = 5 D. min y = −6, max y = 6
3
Câu 25: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y =
1 + 2 + sin 2 x
−3
3
3
4
, max y =
, max y =
A. min y =
B. min y =
1+ 3
1+ 2
1+ 3

1+ 2
Trang 18


– Website chuyên tài liệu đề thi file word

3
3
, max y =
1+ 3
1+ 2
3sin 2 x + cos 2 x
Câu 26: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y =
sin 2 x + 4 cos 2 x + 1
−6 − 3 5
−6 + 3 5
−4 − 3 5
−4 + 3 5
A. min y =
B. min y =
, max y =
, max y =
4
4
4
4
−7 − 3 5
−7 + 3 5
−5 − 3 5
−5 + 3 5

C. min y =
D. min y =
, max y =
, max y =
4
4
4
4
Câu 27: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = sin x + 2 − sin 2 x
A. min y = 0 , max y = 3
B. min y = 0 , max y = 4
C. min y = 0 , max y = 6
D. min y = 0 , max y = 2
C. min y =

2
3
, max y =
1+ 3
1+ 2

Lượng giác – ĐS và GT 11

D. min y =

Câu 28: Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = tan 2 x − 4 tan x + 1
A. min y = −2
B. min y = −3
C. min y = −4
D. min y = −1

Câu 29: Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = tan 2 x + cot 2 x + 3(tan x + cot x) − 1
A. min y = −5
B. min y = −3
C. min y = −2
D. min y = −4
Câu 30: Tìm m để hàm số y = 5sin 4 x − 6 cos 4 x + 2m − 1 xác định với mọi x .
61 − 1
61 + 1
61 + 1
C. m <
D. m ≥
2
2
2
Câu 31: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 3 + 2sin x

A. m ≥ 1

B. m ≥

A. min y = −2; max y = 1 + 5

B. min y = 2; max y = 5
C. min y = 2; max y = 1 + 5
D. min y = 2; max y = 4
Câu 32: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 4sin 3 x − 3cos 3 x + 1
A. min y = −3; max y = 6
B. min y = −4; max y = 6
C. min y = −4; max y = 4
D. min y = −2; max y = 6

Câu 33: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 cos x + sin x + 4
A. min y = 2; max y = 4
B. min y = 2; max y = 6
min
y
=
4;
max
y
=
6
C.
D. min y = 2; max y = 8
sin 2 x + 2 cos 2 x + 3
Câu 34: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y =
2sin 2 x − cos 2 x + 4
2
2
A. min y = − ; max y = 2
B. min y = ; max y = 3
11
11
2
2
C. min y = ; max y = 4
D. min y = ; max y = 2
11
11
2sin 2 3 x + 4sin 3 x cos 3 x + 1
Câu 35: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y =

sin 6 x + 4 cos 6 x + 10
11 − 9 7
11 + 9 7
22 − 9 7
22 + 9 7
A. min y =
B. min y =
; max y =
; max y =
83
83
11
11
33 − 9 7
33 + 9 7
22 − 9 7
22 + 9 7
C. min y =
D. min y =
; max y =
; max y =
83
83
83
83
Câu 36: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3cos x + sin x − 2
A. min y = −2 − 5; max y = −2 + 5

B. min y = −2 − 7; max y = −2 + 7


C. min y = −2 − 3; max y = −2 + 3

D. min y = −2 − 10; max y = −2 + 10

Trang 19


– Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

sin 2 2 x + 3sin 4 x
2cos 2 2 x − sin 4 x + 2
5 − 97
5 + 97
5 − 97
5 + 97
A. min y =
B. min y =
, max y =
, max y =
4
4
18
18
5 − 97
5 + 97
7 − 97
7 + 97
C. min y =

D. min y =
, max y =
, max y =
8
8
8
8
Câu 38: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y = 3(3sin x + 4 cos x) 2 + 4(3sin x + 4cos x) + 1
1
1
A. min y = ; max y = 96
B. min y − ; max y = 6
3
3
1
C. min y = − ; max y = 96
D. min y = 2; max y = 6
3
Câu 39: Tìm m để các bất phương trình (3sin x − 4 cos x) 2 − 6sin x + 8cos x ≥ 2m − 1 đúng với mọi x ∈ ¡
A. m > 0
B. m ≤ 0
C. m < 0
D. m ≤ 1
3sin 2 x + cos 2 x
≤ m + 1 đúng với mọi x ∈ ¡
Câu 40: Tìm m để các bất phương trình
sin 2 x + 4 cos 2 x + 1
3 5
3 5 +9

3 5 −9
3 5 −9
A. m ≥
B. m ≥
C. m ≥
D. m ≥
4
4
2
4
4sin 2 x + cos 2 x + 17
≥ 2 đúng với mọi x ∈ ¡
Câu 41: Tìm m để các bất phương trình
3cos 2 x + sin 2 x + m + 1
15 − 29
15 − 29
A. 10 − 3 < m ≤
B. 10 − 1 < m ≤
2
2
15 + 29
C. 10 − 1 < m ≤
D. 10 − 1 < m < 10 + 1
2
 π
Câu 42: Cho x, y ∈  0; ÷ thỏa cos 2 x + cos 2 y + 2sin( x + y ) = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
 2
4
4
sin x cos y

.
P=
+
y
x
3
2
2
5
A. min P =
B. min P =
C. min P =
D. min P =
π
π
3π
π
k sin x + 1
Câu 43: Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
lớn hơn −1 .
cos x + 2
Câu 37: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y =

A. k < 2

B. k < 2 3

Trang 20

C. k < 3


D. k < 2 2


– Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI:
DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, XÉT TÍNH CHẴN LẺ,
CHU KỲ CỦA HÀM SỐ
Phương pháp.
• Hàm số y =

f ( x) có nghĩa ⇔ f ( x) ≥ 0 và f ( x ) tồn tại
1
• Hàm số y =
có nghĩa ⇔ f ( x) ≠ 0 và f ( x ) tồn tại.
f ( x)
• sin u ( x) ≠ 0 ⇔ u ( x) ≡ kπ , k ∈ ¢
π
• cos u ( x) ≠ 0 ⇔ u( x) ≠ + kπ , k ∈ ¢ .
2
y
=
f ( x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0 sao
Định nghĩa: Hàm số
cho với mọi x ∈ D ta có
x ± T ∈ D và f ( x + T ) = f ( x ) .
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn

với chu kì T .
• Hàm số f ( x ) = a sin ux + b cos vx + c ( với u , v ∈ ¢ ) là hàm số tuần hoàn với chu kì T =

là ước chung lớn nhất).
• Hàm số f ( x) = a.tan ux + b.cot vx + c (với u , v ∈ ¢ ) là hàm tuần hoàn với chu kì T =

π
.
(u , v)

• y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2

Thì hàm số y = f1 ( x) ± f 2 ( x) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
y = sin x : Tập xác định D = R; tập giá trị T = [ −1, 1] ; hàm lẻ, chu kỳ T0 = 2π .
2π
* y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 =
a
* y = sin(f(x)) xác định ⇔ f ( x ) xác định.
y = cos x : Tập xác định D = R; Tập giá trị T = [ −1, 1] ; hàm chẵn, chu kỳ T0 = 2π .
2π
* y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 =
a
* y = cos(f(x)) xác định ⇔ f ( x) xác định.

π

y = tan x : Tập xác định D = R \  + kπ , k ∈ Z  ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = π .
2

π

* y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 =
a

Trang 21

2π
( (u , v)
(u , v)


– Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
+ kπ ( k ∈ Z )
2
y = cot x : Tập xác định D = R \ { kπ , k ∈ Z } ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = π .
π
* y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 =
a
* y = cot(f(x)) xác định ⇔ f ( x) ≠ kπ ( k ∈ Z ) .
*

y = tan(f(x)) xác định ⇔ f ( x) ≠

TẬP XÁC ĐỊNH
Câu 1: Tập xác định của hàm số y =
A. x ≠ kπ .


1
là
sin x − cos x

B. x ≠ k 2π .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Do điều kiện sin x − cos x ≠ 0 ⇔ tan x ≠ 1 ⇔ x ≠
Câu 2: Tập xác định của hàm số y =

D. x ≠

C. x ≠

kπ
.
2

D. x ≠ kπ .

1 − 3cos x
là
sin x

π
+ kπ .
B. x ≠ k 2π .
2
Hướng dẫn giải:

Chọn D.
Do điều kiện sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ
π

A. ¡ \  + kπ , k ∈ Z  .
4

π
π

C. ¡ \  + k , k ∈ Z  .
2
4

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

π
+ kπ .
2

3
là
sin x − cos 2 x
2

2
2
2
Do điều kiện sin x − cos x ≠ 0 ⇔ tan x ≠ 1 ⇔ x ≠ ±


cot x
là
cos x − 1
π

B. ¡ \  + kπ , k ∈ Z 
2


π

B. ¡ \  + kπ , k ∈ Z  .
2

 3π

D. ¡ \  + k 2π , k ∈ Z  .
 4


π
+ kπ .
4

Câu 4: Tập xác định của hàm số y =
 π

A. ¡ \ k , k ∈ Z 
 2


Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có
sin x ≠ 0
Hàm số xác định ⇔ 
cos x ≠ 1

Trang 22

π
+ kπ .
4

π
+ kπ
4

A. x ≠

Câu 3 : Tập xác định của hàm số y=

C. x ≠

C. ¡ \ { kπ , k ∈ Z }

D. ¡


– Website chuyên tài liệu đề thi file word


Lượng giác – ĐS và GT 11

⇔ sin x ≠ 0
⇔ x ≠ kπ ( k ∈ ¢ )

Vậy tập xác định là D = ¡ \ { kπ , k ∈ Z }
2sin x + 1
Câu 5: Tập xác định của hàm số y =
là
1 − cos x
A. x ≠ k 2π

B. x ≠ kπ

C. x ≠

π
+ kπ
2

D. x ≠

π
+ k 2π
2

C. x ≠

π

+ kπ
2

D. x ≠

5π
π
+k
12
2

C. x ≠

π kπ
+
4 2

D. x ≠

π
+ kπ
4

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có
Hàm số xác định ⇔ 1 − cos x ≠ 0
⇔ cos x ≠ 1
⇔ x ≠ k 2π ( k ∈ ¢ )


Vậy tập xác định x ≠ k 2π ( k ∈ ¢ )

π

Câu 6: Tập xác định của hàm số y = tan  2x − ÷ là
3

π kπ
5π
+ kπ
A. x ≠ +
B. x ≠
6 2
12
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có
π

Hàm số xác định ⇔ cos  2 x − ÷ ≠ 0
3

π π
⇔ 2 x − ≠ + kπ
3 2
5π kπ
⇔x≠
+
( k ∈¢)
12 2

5π
π
+ k ( k ∈¢)
Vậy tập xác định x ≠
12
2
Câu 7: Tập xác định của hàm số y = tan 2x là
−π kπ
π
+
A. x ≠
B. x ≠ + kπ
4
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có
Hàm số xác định ⇔ cos 2 x ≠ 0
π
⇔ 2 x ≠ + kπ
2
π kπ
⇔x≠ +
( k ∈¢)
4 2
π kπ
Vậy tập xác định x ≠ +
( k ∈¢)
4 2

1 − sin x
Câu 8: Tập xác định của hàm số y =
là
sin x + 1

Trang 23


– Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
3π
+ k 2π .
+ k 2π .
B. x ≠ k 2π .
C. x ≠
D. x ≠ π + k 2π .
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có
Hàm số xác định ⇔ sin x + 1 ≠ 0
⇔ sin x ≠ −1
3π
⇔x≠
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
2

3π
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
Vậy tập xác định: x ≠
2
Câu 9: Tập xác định của hàm số y = cos x là
A. x > 0 .
B. x ≥ 0 .
C. ¡ .
D. x ≠ 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có
Hàm số xác định ⇔ x ≥ 0
Vậy x ≥ 0
1 − 2 cos x
Câu 10: Tập xác định của hàm số y =
là
sin 3x − sin x
A. ¡ \ kπ ; π + kπ , k ∈ ¢ 
B. ¡ \  π + kπ , k ∈ ¢  .
4


4 2

A. x ≠

π kπ



, k ∈ ¢ .
D. ¡ \ kπ ; +
4 2



C. ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có
Hàm số xác định ⇔ sin x + 1 ≠ 0

 x ≠ kπ
3 x ≠ x + k 2π

⇔ sin 3 x ≠ sin x ⇔ 
⇔
π kπ ( k ∈ ¢ )
x
≠
+
3 x ≠ π − x + k 2π

4 2
π kπ


,k ∈¢
Vậy tập xác định: D = ¡ \  kπ ; +
4 2



Câu 11: Hàm số y = cot 2x có tập xác định là
π
π

 π

π

A. kπ
B. ¡ \  + kπ ; k ∈ ¢  C. ¡ \ k ; k ∈ ¢ 
D. ¡ \  + k ; k ∈ ¢ 
4
2
4
2






Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có
Hàm số xác định ⇔ sin 2 x ≠ 0
kπ
⇔ 2 x ≠ kπ ⇔ x ≠
( k ∈¢)

2
 π

Vậy tập xác định: D = ¡ \ k ; k ∈ ¢ 
 2

y
=
tan x + cot x là
Câu 12: Tập xác định của hàm số
Trang 24


– Website chuyên tài liệu đề thi file word

π

 π

C. ¡ \  + kπ ; k ∈ ¢  D. ¡ \  k ; k ∈ ¢ 
2

 2


B. ¡ \ { kπ ; k ∈ ¢}

A. ¡

Lượng giác – ĐS và GT 11


Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có
sin x ≠ 0
Hàm số xác định ⇔ 
cos x ≠ 0
⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ kπ ⇔ x ≠
 π
Vậy tập xác định: ⇒ D = ¡ \ k  với k ∈ ¢ .
 2
2x
Câu 13: Tập xác định của hàm số y =
là
1 − sin 2 x
5
A. − .
2

C. y = sin x − x − sin x + x .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2x
Hàm số y =
xác định khi và chỉ khi
1 − sin 2 x
1 − sin 2 x ≠ 0 ⇔ cos 2 x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

Câu 14: Tập xác định của hàm số y = tan x là
A. D = ¡ .

π

C. D = ¡ \  + k 2π , k ∈ ¢  .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

kπ
( k ∈¢)
2

π

B. D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
2

π kπ
.
D. x = ± +
3 2

π
+ kπ , k ∈ ¢.
2
π

B. D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
2



D. D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .

Hàm số y = tan x xác định khi và chỉ khi cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π
+ k π , k ∈ ¢.
2

Câu 15: Tập xác định của hàm số y = cot x là
π

π

A. D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
B. D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  .
4

2

C. D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .
D. D = ¡ .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Hàm số y = cot x xác định khi và chỉ khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ¢.
1
Câu 16: Tập xác định của hàm số y =
là
sin x
A. D = ¡ \ { 0} .

B. D = ¡ \ { k 2π , k ∈ ¢} .
C. D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} .

Trang 25

D. D = ¡ \ { 0; π } .