BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------

HỒNG VIỆT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Hà Nội - Năm 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------

HỒNG VIỆT

Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số:
9.46.01.02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Nguyễn Văn Trào
GS. TSKH. Đỗ Đức Thái

Hà Nội - Năm 2018


▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥

❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ▲✉➟♥ →♥ ♥➔② ❞♦ ❝❤➼♥❤ t→❝ ❣✐↔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t↕✐ ❑❤♦❛
❚♦→♥✲❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ữ ở ữợ sỹ ữợ ừ
P ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❚r➔♦ ✈➔ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ✣é ✣ù❝ ❚❤→✐❀ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛
▲✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠ỵ✐✱ ✤➲ t➔✐ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ❦❤ỉ♥❣ trị♥❣ ❧➦♣ ✈➔ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣
❜è tr♦♥❣ ❜➜t ❝ù ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❛✐ ❦❤→❝✳

❚→❝ ❣✐↔

❍♦➔♥❣ ❱✐➺t


ớ ỡ
ữủ t ữợ sỹ ữợ ❞➝♥ ❝õ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥
❱➠♥ ❚r➔♦ ✈➔ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ✣é ✣ù❝ ❚❤→✐✳ ❇➡♥❣ t➜t ❝↔ sü ❦➼♥❤ trå♥❣ ❝õ❛
♠➻♥❤✱ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t tỵ✐ t
t ữợ tổ tr ữớ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳ ❚æ✐ ❝↔♠ t❤➜②
r➜t ♠❛② ♠➢♥✱ ✈✐♥❤ ❞ü ✈➔ ❤↕♥❤ ♣❤ó❝ ❦❤✐ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❚❤➛② ❞➻✉ ❞➢t✱ ữợ

ổ ụ ữủ ỷ ớ ỡ s s tợ ỗ
ữợ õ ỵ r➜t t➾ ♠➾ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ tæ✐ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ✈➔ s♦↕♥ t❤↔♦ ❧✉➟♥ →♥ ♥➔② t↕✐ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷
♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳
❚ỉ✐ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❑❤✉➯✱
●❙✳ ❚❙❑❍✳ ▲➯ ▼➟✉ ❍↔✐✱ ●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐➺✉✱ ●❙✳ ❚❙❑❍✳
P❤↕♠ ❍♦➔♥❣ ❍✐➺♣✱ P●❙✳ ❚❙✳ P❤ị♥❣ ❱➠♥ ▼↕♥❤ ✲ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ❚❤➛② ✤➣
❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳
❚ỉ✐ ổ ũ ỡ t ổ ỗ ♥❣❤✐➺♣ ❝õ❛ ♥❤â♠
❙❡♠✐♥❛r ▲➼ t❤✉②➳t ❤➔♠✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✱ ✤â ❧➔ ♠ët
t➟♣ t❤➸ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❧➔♠ tú õ ỵ trỹ t
ú tỉ✐ tr❛♥❣ ❜à ❝❤♦ ♠➻♥❤ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ❤✐➸✉

❜✐➳t s➙✉ s➢❝ ❤ì♥ ✈➲ ♥❤✐➲✉ ✈➜♥ ✤➲ t♦→♥ ❤å❝✳ ◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔②✱ tỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥
t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❚❙✳ ❚➠♥❣ ❱➠♥ ▲♦♥❣✱ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❑❤✐➯♠✱ ❚❙✳ P❤↕♠
◆❣✉②➵♥ r õ ỳ õ ỵ rt õ þ ♥❣❤➽❛ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣
q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳


❚ỉ✐ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❚ê ❜ë ♠ỉ♥ ▲➼ t❤✉②➳t ❤➔♠✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❚✐♥✱ P❤á♥❣
s❛✉ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝
❱✐➺t ◆❛♠ ✈➔ ❝→❝ ✤ì♥ ✈à ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ✤➣ t↕♦ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❝❤♦
tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ tỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ tr✐ ➙♥ ố ợ ỳ ữớ t ỳ
ỗ ❜↕♥ ❜➧ t❤➙♥ t❤➼❝❤ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ tỉ✐
tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳

❍➔ ◆ë✐✱ ♥➠♠ ✷✵✶✽

◆❈❙✳ ❍♦➔♥❣ ❱✐➺t


▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉

✾

❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ tr♦♥❣ ▲✉➟♥
F ỏ ữợ
F ỏ ữợ ỹ
t tỷ r ự








F tổổ F ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✶✳✷

❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳





F ỏ ữợ ỹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✷ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ
ỹ



ỹ ữỡ ừ F ỏ ữợ
tử ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✷


✸✼

❚➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

F ữợ











ợ E0 ừ F ỏ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✷

✸✳✷

▲ỵ♣ Fp ❝õ❛ F ỏ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✵

✸✳✸


❳➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✼

❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ ♥❣❤à

✼✷

❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥

✼✹

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✼✺


✼

❑➑ ❍■➏❯
• N∗ ✿ ❚➟♣ ❝→❝ sỉ tü ♥❤✐➯♥ ❦❤→❝ ✵✳
• Cn ✿ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ♣❤ù❝ ♥ ❝❤✐➲✉✳
• B(z0 , r) = {z ∈ Cn : z − z0 < r}✿ ❍➻♥❤ ❝➛✉ ♠ð t➙♠ z0 ❜→♥ ❦➼♥❤
r > 0
ã QB(Cn ) số tr Cn ữủ s ❜ð✐ ❝→❝ t➟♣ ❇♦r❡❧ ✈➔ ❝→❝ t➟♣
❝♦♥ ✤❛ ❝ü❝ ❝õ❛ Cn ✳
F

• G ✿ ❇❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ ● tr♦♥❣ F ✲tỉ♣ỉ✳
• ∂F G ✿ ❇✐➯♥ ❝õ❛ G tr♦♥❣ F ✲tỉ♣ỉ✳

• χ ◦ u ✿ ❍ñ♣ t❤➔♥❤ ✭t➼❝❤✮ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ u ✈➔ χ✳
• SH(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ tr
ã SH () ỏ ữợ tr
ã PSH() ỏ ữợ tr
ã PSH () ỏ ữợ tr
ã F PSH() F ỏ ữợ tr➯♥ Ω✳
• F ✲PSH− (Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ F ỏ ữợ tr
ã F MPSH F ỏ ữợ F ỹ tr➯♥ Ω✳
• L∞ (Ω) ✿ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ Ω✳
• L∞
loc (Ω) ✿ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω✳


✽

• (ddc u)n = ddc u ∧ · · · ∧ ddc u ✿ ✣ë ✤♦ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ❝õ❛ u✳
• C(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ Ω✳
• C ∞ (Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ✈æ ❤↕♥ tr➯♥
ã uj

u {uj } ở tử t tợ u

ã uj

u {uj } ở tử tợ u

ã 1A trữ ừ t A
ã ✿ ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐✳



▼ð ✤➛✉
✶✳ ▲➼ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ t♦➔♥ ❜ë ❧✉➟♥ →♥ ♥➔② ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ❧ỵ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t
ỏ ữợ õ ỏ ữợ r t
s t F ỏ ữợ sỷ ừ ữ r ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
①✉➜t ♣❤→t tø ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❍✳ ❈❛rt❛♥ ỳ ừ t
trữợ õ ✤➸ ❦❤➢❝ ♣❤ư❝ t➼♥❤ ❦❤ỉ♥❣ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ỏ
ữợ tr C rt ữ r tổổ tr➯♥ C ♥❤÷ ❧➔ tỉ♣ỉ ②➳✉ ♥❤➜t
tr➯♥ C ♠➔ ❧➔♠ ồ ỏ ữợ tử tt
ữủ ởt số t q ú ỵ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ♥â✐ tr➯♥ ✭❬✶✹❪✮✳ ❙❛✉ ✤â
✈➔♦ ♥❤ú♥❣ ừ t trữợ ữ r ❝→❝ ❤➔♠ ✤✐➲✉
❤á❛ ❢✐♥❡ ✈➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❢✐♥❡ ✈➔ t❤✐➳t ❧➟♣ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣ ♥❤÷
♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ ✈➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❝→❝ ❣✐→♦ tr➻♥❤
❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✳ ❚ê♥❣ q✉→t ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ tr➯♥ ❧➯♥ Cn ✱ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ✈➔ ❝→❝
❝ë♥❣ sü ✤➣ ①➙② ❞ü♥❣ tæ♣æ ♣❧✉r✐❢✐♥❡ ✭t❛ s➩ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ F ✲tæ♣æ✮ tr➯♥ Cn ✈➔
①→❝ ✤à♥❤ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ ồ t tr t
tt t ♣❧✉r✐❢✐♥❡ ♠➔ t❛ ✈✐➳t ❧➔ F ✲✤❛ t❤➳ ✈à ✭❬✹✼❪✮✳
▼ët ✈➜♥ ✤➲ tü ♥❤✐➯♥ ✤÷đ❝ ✤➦t r❛ tr♦♥❣ ▲➼ t❤✉②➳t F ✲✤❛ t❤➳ ✈à ❧➔ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ t÷ì♥❣ tỹ ừ tt t tổ tữớ
ợ F ỏ ữợ
ữ t t tr số ỏ ữợ tr t
tr Cn tỗ t ởt ợ ỳ ✈❛✐ trá r➜t q✉❛♥ trå♥❣✱
❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à✱ ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ ❣✐↔✐ ❜➔✐


✶✵

t♦→♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t tê♥❣ q✉→t✱ ✤â ❧➔ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ỏ ữợ ỹ
t ự t ỹ ừ ỏ ữợ tr t ♠ð
❊✉❝❧✐❞❡❛♥ tr♦♥❣ Cn ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛

t❤➳ ✈à✳ ❉♦ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ữỡ ừ ỏ ữợ
t ỡ tr trữớ ủ ởt ỵ tữ tỹ ♥❤✐➯♥ ❧➔ ❝❤✉②➸♥
✈✐➺❝ ①➨t t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✭t♦➔♥ ❝ö❝✮ ❝õ❛ ỏ ữợ t
t ỹ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ✤â✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝❤♦ ✤➳♥ ♥❛②✱ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐
q✉②➳t tr✐➺t ✤➸ ❣✐ú❛ t➼♥❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛ t➼♥❤ ỹ ữỡ ừ
ởt ỏ ữợ tũ ỵ tr t t ỹ ✤↕✐ ❝õ❛

✉ tr➯♥ Ω ✈➝♥ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ♠ð✳
▼ët ✈➜♥ ✤➲ ❦❤→❝ ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥
❣➛♥ ✤➙② ❧➔ ①➜♣ ①➾ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ t
ỏ ữợ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ rë♥❣ ❤ì♥✳ ❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❈❡❣r❡❧❧✱ ❍❡❞✱
❆❧❡✈✐♥✱ P❡rss♦♥✱ ✳✳✳ ✤➣ t❤✉ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ s➙✉ s➢❝ ✈➲ tr
tr tr
ữợ t✐➳♣ ❝➟♥ tr➯♥✱ ▲✉➟♥ →♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t➟♣ tr✉♥❣
ự ợ F ỏ ữợ ỹ ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠

F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ

ử ự ừ
rữợ t ▲✉➟♥ →♥ t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ừ
F ỏ ữợ ử t ❝ù✉ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t➼♥❤
❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ t♦➔♥ ử ừ F ỏ ữợ tổ
q ✈✐➺❝ ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ❝→❝ F ỏ ữợ ỹ
F ỏ ữợ F ỹ F ữỡ tr ♠ët sè t➻♥❤


✶✶

❤✉è♥❣ ♥❤➜t ✤à♥❤✳ ❙❛✉ ✤â ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ①➜♣ ừ F
ỏ ữợ t ỏ ữợ tổ tữớ


ố tữủ ự

ỏ ữợ F ỏ ữợ F
ỏ ữợ ❝ü❝ ✤↕✐✳

◦ ❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❤➔♠ F ỏ ữợ ỳ


ởt số ợ F ỏ ữợ tr E0 () , Fp (Ω)✳
◦ ❱➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ỏ ữợ

Pữỡ ự
ỷ ử ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➼ t❤✉②➳t tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
t♦→♥ ❤å❝ ❝ì ❜↔♥ ✈ỵ✐ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✈➔ ❦➽ t❤✉➟t tr✉②➲♥ t❤è♥❣ ❝õ❛ ▲➼ t❤✉②➳t
✤❛ t❤➳ ✈à✱ ▲➼ t❤✉②➳t F ✲✤❛ t❤➳ ✈à✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✳

◦ ❚❤❛♠ ❣✐❛ s❡♠✐♥❛r ♥❤â♠✱ s❡♠✐♥❛r tê ❜ë ♠ỉ♥ ✤➸ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ tr❛♦
✤ê✐✱ t❤↔♦ ❧✉➟♥✱ ❝æ♥❣ ❜è ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ♥❤➡♠ t❤✉ ♥❤➟♥ ❝→❝
t❤æ♥❣ t✐♥ ✈➲ t➼♥❤ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ừ t q ự
tr ở ỗ ồ tr
ữợ

ỳ õ õ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥
▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ ♠ư❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ r❛ ✈➔ ❝â ♥❤ú♥❣ ✤â♥❣
❣â♣ ♥❤➜t ✤à♥❤✱ ❝ö t❤➸✿


✶✷


◦ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝❤➾ r❛ sü t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❣✐ú❛ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ t♦➔♥
❝ư❝ ✈ỵ✐ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛
ỏ ữợ tử tr t F ừ Cn ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷✮✳

◦ ▼ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ✈➔ ❜➡♥❣ ❦➽ t❤✉➟t ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ỵ✐✱ ▲✉➟♥ →♥
✤➣ ❝❤➾ r❛ sü t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❣✐ú❛ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ t♦➔♥ ử ợ t
t F ỹ F ữỡ ừ F ỏ ữợ

tr t➟♣ F ✲♠ð ❝õ❛ Cn ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✷✮✳
❑➳t q✉↔ ♥➔② õ ỵ ồ õ ú F
ỏ ữợ tr t F

▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ỗ ữ r ợ Fp ()
ợ ỳ t❤➼❝❤ ❤đ♣ ♥❤÷ ✈➟②✱ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
t➼♥❤ ❝❤➜t ữủ ừ F ỏ ữợ t
ỏ ữợ tr s ỗ rở
ỡ

Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥
◦ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✤÷đ❝ ♥➯✉ r❛ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥ ❧➔ ợ õ t tớ sỹ õ
ỵ ồ ✤➣ ✤â♥❣ ❣â♣ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛
❝→❝ F ỏ ữợ

t ữỡ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❧➔♠ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó t❤➯♠
❝→❝ ❝ỉ♥❣ ❝ö ✈➔ ❦➽ t❤✉➟t ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛
t❤➳ ✈à✳


✶✸


✼✳ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥
❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ữủ tr t ú q ử t ố
ợ ❧✉➟♥ →♥ t✐➳♥ s➽ ❝õ❛ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ở trú
ỗ ✤➛✉✱ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥
✭❚ê♥❣ q✉❛♥✮✱ ❝→❝ ❈❤÷ì♥❣✱ ❑➳t ❧✉➟♥✱ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ▲✉➟♥
→♥✱ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ỗ ữỡ õ t ở tõ
tt ữ s



ữỡ F ỏ ữợ F ỏ ữợ
ỹ t tỷ r ự
ữỡ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥ t❤✐➳t ✈➲ F ✲tæ♣æ✱ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ F ỏ ữợ t tỷ
r ự F ỏ ữợ ỹ ụ ữ
ởt số t q✉↔ ✭❬✸✾❪✱ ❬✹✵❪✱ ❬✹✻❪✮ s➩ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳

◦

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛
ỏ ữợ ỹ
ữỡ tr ở ✈➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤➡♠ ❣✐↔✐
q✉②➳t ❱➜♥ ✤➲ t❤ù ♥❤➜t ✭❬✹✵❪✱ ❬✸✾❪✮ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥➯✉ r❛ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ❚ê♥❣
q✉❛♥✳ ❈ö t❤➸✱ tr♦♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥ tö❝ ❤♦➦❝ ❜à ❝❤➦♥ ừ F
ỏ ữợ tr t F ❝õ❛ Cn ✱ ✤➣ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔
✤õ ởt F ỏ ữợ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❧➔

F ✲❝ü❝ ✤↕✐ t♦➔♥ t❤➸✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ t❤✉ ✤÷đ❝ ❧➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ✈➔
✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✷✳







ữỡ F ữợ
ữỡ ✸ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤➡♠ ❣✐↔✐
q✉②➳t ❱➜♥ ✤➲ t❤ù ❤❛✐ ✭❬✹✻❪✮ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥➯✉ r❛ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ❚ê♥❣ q✉❛♥✳
❈ö t❤➸✱ ✤➣ ❝❤➾ r❛ t F ỏ ữợ u tr♦♥❣

F ✲♠✐➲♥ Ω✱ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ởt t ừ
ỏ ữợ ữủ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ Ω✳ ❑➳t
q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ❧➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳✶✳
❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ❑➳t ❧✉➟♥✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤✐➸♠ ❧↕✐ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❝❤➼♥❤ ✤➣ tr tr ỵ tữ ❦❤♦❛ ❤å❝
❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ▲✉➟♥ →♥ ✤➦t r❛ ❧➔ ✤ó♥❣✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ ♠ư❝ ✤➼❝❤ ✤➲ r❛✳ ❉♦ ✤â✱ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝â ♥❤ú♥❣ õ
õ ồ õ ỵ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥
♥❤÷ ✤➣ ♥➯✉✳
❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ❑✐➳♥ ♥❣❤à✱ ❝❤ó♥❣ tổ ữ r ởt ỵ tữ
ự t t ✤➸ ♣❤→t tr✐➸♥ ✤➲ t➔✐ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ❤✐ ✈å♥❣✱
s➩ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ sü q✉❛♥ t➙♠ ✈➔ ❝❤✐❛ s ừ ồ
ỗ ú t❤✐➺♥ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳


✶✺

❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥
◆❤÷ ✤➣ tr tr ỏ ữợ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ✤è✐

t÷đ♥❣ tr✉♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛ t ự
ữợ ♠➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ♥â ❧➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲
❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✤➣ t❤✉ ❤ót sü q✉❛♥ t➙♠ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❧ỵ♥ tø
t❤➟♣ ♥✐➯♥ ✸✵ ❝õ❛ t❤➳ ❦➾ ❳❳ ✈➔ ✤➣ t❤✉ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ s➙✉ s➢❝✳
◆❤ú♥❣ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❑✳ ❖❦❛✱ ❍✳ ❈❛rt❛♥✱ P✳ ▲❡❧♦♥❣✱ ❊✳
❇❡❞❢♦r❞✱ ❇✳❆✳ ❚❛②❧♦r✱ ❯✳ ❈❡❣r❡❧❧✱ ❙✳ ❑♦❧♦❞③✐❡❥✱ ✳✳✳ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾ ↔♥❤ ❤÷ð♥❣
s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ sü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ ♥â✐ r✐➯♥❣ ♠➔
❝á♥ t❤ó❝ ✤➞② sü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝ tr♦♥❣ ❚♦→♥ ❤å❝ ❤✐➺♥
✤↕✐✳
❚❤❡♦ tỉ♣ỉ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✱ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ữợ õ
ổ tử tr t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❧↕✐ ❣✐ú ✈❛✐ trá t❤❡♥ ❝❤èt
tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ▲➼ t❤✉②➳t ❤➔♠✳ ❱➻ t❤➳✱ ✈✐➺❝ ✤÷❛ r❛ ♥❤ú♥❣ tỉ♣ỉ ♠ỵ✐
♥❤➡♠ ♠ỉ t↔ tèt ❤ì♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ữợ ữủ
q t tứ t ừ t trữợ
rt ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤✐➸♠ ♠ä♥❣ ❝õ❛ ♠ët t➟♣
❤đ♣✳ ➷♥❣ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✿ ❚➟♣ E ❧➔ ♠ä♥❣ t↕✐ a ♥➳✉ ❤♦➦❝ a ❦❤ỉ♥❣
❧➔ ✤✐➸♠ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ♠ët ừ E tỗ t ởt
ữợ tr ởt ừ a s

lim

sup ϕ(z) < ϕ(a).

z→a,z∈E\{a}

❙❛✉ ✤â ❍✳ ❈❛rt❛♥ ✤➣ ♥❤➟♥ ①➨t tr♦♥❣ ♠ët ❧→ t❤÷ ❣û✐ ❝❤♦ ❇r❡❧♦t r➡♥❣
✤✐➲✉ ♥➔② t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈ỵ✐ E\ {a} ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a tr♦♥❣ tỉ♣ỉ ②➳✉ ♥❤➜t





tt ữợ tư❝✳ ❚ø ✤â ❍✳ ❈❛rt❛♥ ✤➣ ①➙②
❞ü♥❣ F ✲tỉ♣ỉ tr➯♥ C✳ ▼ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ tr➯♥ ❝❤♦ Cn ✱ t❛ ❤✐➸✉ F ✲tæ♣æ
tr➯♥ ♠ët t➟♣ ♠ð Ω ⊂ Cn ❧➔ tổổ t
ỏ ữợ ❧✐➯♥ tư❝✳

F ✲tỉ♣ỉ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t✐➳♣ t❤❡♦ ❤ì♥ ❇❡❞❢♦r❞ ✈➔ ❚❛②❧♦r tr♦♥❣
❬✽❪✳ Ð ✤➙② ❤❛✐ æ♥❣ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❞➣② ❝→❝ ❞á♥❣ tr♦♥❣
♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ✈ỵ✐ F ✲tỉ♣ỉ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ ỳ
F tổổ ữủ ự s➙✉ s➢❝ ❜ð✐ ▼❛r③❣✉✐♦✉✐ ✈➔ ❲✐r❣❡♥r✐♥❝❦
tr♦♥❣ ❬✷✹❪✱ ❬✷✺❪✳
❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ợ F tổổ ữủ r ợ t ✤➛✉ ♥❣ú F ✳
❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ F ✲♠ð ❧➔ ♠ð tr♦♥❣ F ✲tæ♣æ❀ F ✲❜❛♦ ✤â♥❣ ❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ tr♦♥❣

F ✲tæ♣æ❀ F ✲❜✐➯♥ ❧➔ ❜✐➯♥ tr♦♥❣ F ✲tæ♣æ❀ ✳✳✳
❇➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ư♥❣ F ✲tỉ♣ỉ✱ t❛ ❝â t❤➸ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠ët ❝→❝❤ tỹ
F ỏ ữợ ❤➔♠ F ✲❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔
tr♦♥❣ ❬✶✾❪✱ ❬✷✵❪✱ ❬✷✺❪✱ r r tỗ t ủ ❧➼ ✤➸ ♠ð
rë♥❣ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ F
F ỏ ữợ ữủ ✤á✐ ❤ä✐
❤↕♥ ❝❤➳ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ tr➯♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ự F ỏ ữợ
tữỡ ự F F ỏ ữợ ữủ
tt ❧➟♣ ♥❤í sü ①➜♣ ①➾ ❝→❝ ❤➔♠ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➔♠ ỏ ữợ tữỡ
ự tổ t❤÷í♥❣✮ tr➯♥ ❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥ t❤➼❝❤ ❤đ♣ tr♦♥❣

F ✲tỉ♣ỉ✳
▼ët ❝➙✉ ❤ä✐ tü ♥❤✐➯♥ ✤÷đ❝ ✤➦t r❛ ❧➔✿ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ừ
ỏ ữợ tổ tữớ õ t❤➸ ❝❤✉②➸♥ tỵ✐ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠ỵ✐





tữỡ ự ợ ố ợ F ỏ
ữợ
õ ỳ ự t ữợ t tr
❑❛❞✐r✐ ❬✶✾❪ ✤➣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ
tr ởt t F ừ Cn ✈➔ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝
❤➔♠ ✤â✳ ❈→❝ ❤➔♠ ♥➔② ✤➣ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲♥û❛ ❧✐➯♥
tư❝ tr➯♥ ♠➔ ❤↕♥ ❝❤➳ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t ự F ỏ ữợ
õ ởt F ỏ ữợ tr ởt F ✲♠✐➲♥ ✤÷đ❝ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ❧➔ ❤➔♠ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❣✐→ trà tr✉♥❣
❜➻♥❤✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥➔② ❧➔ ♠ð rë♥❣ tü ♥❤✐➯♥ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ
F ỏ ữợ
r ✈➔ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥
tö❝ ❝õ❛ ❝→❝ F ỏ ữợ tr t F ồ ự
r F ỏ ữợ ❧➔ F ✲❧✐➯♥ tö❝ ✭❬✷✻❪✱ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✶✮✳
◆➠♠ ✷✵✶✶✱ ❊❧ ❑❛❞✐r✐✱ ❋✉❣❧❡❞❡ ✈➔ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ❬✷✵❪ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥❤✐➲✉
t➼♥❤ ❝❤➜t q trồ ừ F ỏ ữợ
✷✵✶✹✱ ❊❧ ❑❛❞✐r✐ ✈➔ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ❬✷✷❪ ✤➣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t♦→♥ tỷ
r tr F ỏ ữợ ❤ú✉ ❤↕♥ tr♦♥❣ ❝→❝ t➟♣ F ✲♠ð
✈➔ ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ♥â ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❧➔ ✤ë ✤♦ ❞÷ì♥❣✳ ❊❧ ❑❛❞✐r✐ ✈➔ ❙♠✐t
❬✷✶❪ ✤➣ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤→✐ ừ F ỏ
ữợ F ỹ F ỏ ữợ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
✣â ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ừ ữợ ỹ tr ởt
❊✉❝❧✐❞❡❛♥ tỵ✐ ♠ët F ✲♠✐➲♥ ❝õ❛ Cn ♠ët ❝→❝❤ tü ♥❤✐➯♥✳ ❍å ✤➣ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ r➡♥❣ ♠é✐ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ F ỹ F ữỡ


✶✽


①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ ❤å ✤➣ ✤÷❛ r❛ ✈➼
❞ư✱ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❦❤↔ t❤✐ ❦❤✐ ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ ỳ
ữợ ự t ừ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝
t→❝ ❣✐↔ tr➯♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ F ỏ ữợ ử t ú tỉ✐
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤➸ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ t➼♥❤ F ỹ ừ F
ỏ ữợ tr t➟♣ F ✲♠ð tø t➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣✳
❚✐➳♣ ✤➳♥ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ①➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ỏ ữợ
t ỏ ữợ sỷ ừ ữ s❛✉✿
❑➳t q✉↔ ✤➛✉ t✐➯♥ t❤✉ë❝ ✈➲ ❋♦r♥æss ✈➔ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ❬✷✼❪ ♥â✐ r➡♥❣ ♥➳✉

Ω ❧➔ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ✈ỵ✐ C 1 ✲❜✐➯♥ ✈➔ u ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ Ω t❤➻ u ❝â t❤➸ ✤÷đ❝
①➜♣ ①➾ ✤➲✉ tr➯♥ Ω ❜ð✐ ♠ët ❞➣② ừ ỏ ữợ trỡ ữủ
tr➯♥ ❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ Ω✳ ●➛♥ ✤➙② ❆✈❡❧✐♥✱ ❍❡❞ ❛♥❞
P❡rss♦♥ ❬✺❪ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥➔② tỵ✐ ợ ữỡ ữủ
ỗ t ừ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ t❤❡♦ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛
ỗ ỏ ữợ u ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾ ✤ì♥
✤✐➺✉ tø ❜➯♥ ♥❣♦➔✐ t ỏ ữợ ♠✐➲♥ Ω
❝â t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲①➜♣ ①➾ ✈➔ u t❤✉ë❝ ✈➲ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❧ỵ♣ ❈❡❣r❡❧❧ tr♦♥❣

Ω✳
◆❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥â✐ tr➯♥ ❞➝♥ ✤➳♥ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ●✐↔ sû u ❧➔ ởt

F ỏ ữợ tr F Ω✳ ❑❤✐ ♥➔♦ t❤➻ u ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ①➜♣
①➾ ❜ð✐ ởt t ừ ỏ ữợ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥
❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ Ω❄
❉♦ ✤â tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❤❛✐ ✈➜♥
✤➲ s❛✉ ✤➙②✳


✶✾


❱➜♥ ✤➲ t❤ù ♥❤➜t✿ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ừ
F ỏ ữợ ỹ
ự r ởt ỏ ữợ ❝❤➦♥
✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ u ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉ ✈➔
❝❤➾ ♥➳✉ (ddc u)n = 0✱ t ỏ ữợ ①→❝ ✤à♥❤
tr➯♥ ♠ët t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ♥â ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛
♣❤÷ì♥❣✳ ◆❤÷ t❤➳ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✤è✐ ợ
ỏ ữợ ữỡ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥
❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳
▼➦❝ ❞ị ✤è✐ ợ ởt F ỏ ữợ u ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤
tr➯♥ ♠ët t➟♣ F ✲♠ð Ω t❤➻ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✕❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ (ddc u)n ❝â t❤➸
✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠ët ❝→❝❤ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω ♥❤÷♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦➽ t❤✉➟t q✉❡♥
t❤✉ë❝ ❝õ❛ ❑❧✐♠❡❦ ❬✹✸❪ ✈➔ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ →♣ ❞ư♥❣ ✤÷đ❝ ❝❤♦ t➻♥❤
❤✉è♥❣ u ❧➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ tr t t➻♠
♥❤ú♥❣ ❦➽ t❤✉➟t ❦❤→❝ ✤➸ tê♥❣ q✉→t ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ợ

F ỏ ữợ
ữ tr➻♥❤ ❜➔② ð tr➯♥✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤÷❛ r❛ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ t➼♥❤
❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ F ỏ ữợ tr ởt t F

tr Cn ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ tø t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω✳ ❈ư
t❤➸✿ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ ố ợ ởt F ỏ ữợ

tử tr➯♥ Ω t❤➻ ❤➔♠ ✤â ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❧➔ F ✲❝ü❝
✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ tr➯♥✱ t❤❛② t❤➳ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥


✷✵


tư❝ tr♦♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ❜ð✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ②➳✉ ❤ì♥ ừ F
ỏ ữợ tr ♠ët t➟♣ F ✲♠ð Ω tr♦♥❣ Cn ✳ ❑➳t q✉↔ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❧➔
✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✷✱ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t F ỹ tữỡ ữỡ ợ t
t F ỹ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

❱➜♥ ✤➲ t❤ù ❤❛✐✿ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈✐➺❝ F
ỏ ữợ ỏ ữợ
ú tổ ữ r ỳ ừ ởt F ỏ ữợ

u tr ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ Ω ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ởt t
ỏ ữợ é ✈✐➺❝ ①➜♣ ①➾ ❤➔♠ u ✤÷đ❝ ❤✐➸✉ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛✱

u ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾ ✤➲✉ tr➯♥ Ω ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t ỏ
ữợ trỡ tr ❧➙♥ ❝➟♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ Ω✳
❇➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ❦❤→✐ F s ỗ ợ

F ỏ ữợ E0 () Fp () ú tổ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧➼
✸✳✸✳✶✱ tr♦♥❣ ✤â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ ♠é✐ ❤➔♠ u ∈ Fp (Ω) ✭p > 0✮ ✤➲✉ ①➜♣
①➾ ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ tr ừ


✷✶

❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤÷đ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐ ❤ë✐ ♥❣❤à✱
❤ë✐ t❤↔♦ s❛✉✿
❬✶❪ ❍ë✐ ♥❣❤à ✭✵✶✴✷✵✶✼✮✱ ✧❳➜♣ ①➾ ừ F ỏ ữợ
ở ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳
❬✷❪ ❍ë✐ ♥❣❤à ✭✶✷✴✷✵✶✼✮✱ ✧❈ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ừ F ỏ
ữợ ❍ë✐ ♥❣❤à ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣

✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳
❬✸❪ ❍ë✐ ♥❣❤à ❑❤♦❛ ❤å❝ ✭✽✴✷✵✶✽✮✱ ✧❚➼♥❤ t ữỡ ừ

F ỏ ữợ ❝ü❝ ✤↕✐✧✱ ❇→♦ ❝→♦ ❚✐➸✉ ❜❛♥ ●✐↔✐ t➼❝❤ ✲ ✣↕✐ ❤ë✐ ❚♦→♥
❤å❝ ❱✐➺t ◆❛♠ ❧➛♥ t❤ù ■❳ ✲ ◆❤❛ ❚r❛♥❣✳


ữỡ

F ỏ ữợ
F

ỏ ữợ ❝ü❝ ✤↕✐

✈➔ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲

F ✲tỉ♣ỉ tr Cn F ỏ ữợ t tỷ r
ự F ỏ ữợ F ỏ ữợ ỹ
ữ r ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➣ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥✳

✶✳✶ F ✲tæ♣æ ✈➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ữợ
t ởt số tự ❝ì ❜↔♥ ✈➲ F ✲tỉ♣ỉ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥➯✉
tr♦♥❣ ❬✽❪✱ ❬✷✹❪✱ ❬✷✺❪✱ ❬✷✸❪✱ ❬✹✼❪✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ F ✲tæ♣æ

tr➯♥ t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ Ω ⊂ Cn ❧➔ tæ♣æ

②➳✉ ♥❤➜t tr➯♥ Ω ❧➔♠ ❝❤♦ ồ ỏ ữợ tr tử

ứ ỏ ữợ ổ ỷ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥✱ ♠ët ❝ì sð ❝♦♥
✷✷


✷✸

✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ ❜➜t ❦➻ a ∈ Ω ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝→❝ t➟♣

U (a, B, ϕ) = {z ∈ B : ϕ(z) > 0}
ð ✤â B ⊂ Ω ❧➔ ♠ët ❤➻♥❤ ❝➛✉ t➙♠ a ✈➔ ϕ ∈ PSH(B) ✈ỵ✐ ϕ(a) > 0✳
▼➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ✤➙② ♠æ t↔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤✐➸♠ ❛✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✷✳ ●✐↔ sû F ✲tæ♣æ F tr➯♥ ♠ët t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ Ω ⊂
Cn ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ t➟♣ U (a, B, ϕ) t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët ❝ì sð ữỡ ố
ợ F tổổ F
s tr♦♥❣ ❬✹✼❪ ✈➲ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ F ✲tæ♣æ F ✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✸✳ ●✐↔ sû F ✲tæ♣æ F tr➯♥ ♠ët t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ Ω ⊂ Cn✳
✐✮ F ❧➔ tü❛✲▲✐♥❞❡❧☎
♦❢✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔✱ ộ ủ tũ ỵ ừ t F
ủ ❝õ❛ ♠ët ❤đ♣ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ✤➳♠ ✤÷đ❝ ✈➔ ♠ët t➟♣ ✤❛ ❝ü❝✳
✐✐✮ F ❧➔ ❝❤➼♥❤ q✉✐ ✤➛②✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ t➟♣ F ✲✤â♥❣ A ⊂ Ω
✈➔ a ∈ \A tỗ t ởt F tử f s ❝❤♦ f |A = 0 ✈➔

f (a) = 0✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✹✳ ✭✐✮ ◆➳✉ u ∈ PSH (Cn) , c ∈ R t❤➻ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
tr➯♥✱ ❝→❝ t➟♣ {u < c} , {u > c} ❧➔ ❝→❝ t➟♣ F ✲♠ð tr♦♥❣ Cn ✳
✭✐✐✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ a ∈ Cn ✱ ❤➔♠ z → z − a ∈ PSH (Cn ) ♥➯♥


B (a, r) = {z ∈ (Cn ) : z − a < r} ❧➔ F ✲♠ð✳
❱➟② ♠å✐ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ Cn ✤è✐ ✈ỵ✐ tỉ♣ỉ s✐♥❤ ❜ð✐ ♠➯tr✐❝ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥✿ z =
n

|zj |2 ✈ỵ✐ z = (z1 , z2 , ..., zn ) ❧➔ F ✲♠ð✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❧➜② G ❧➔ ♠ët t➟♣

j=1

♠ð ố ợ tổổ ợ ồ x G tỗ t↕✐ r > 0 s❛♦ ❝❤♦


✷✹

B (x, r) ⊂ G✳ ❉♦ B (x, r) ❧➔ F ✲♠ð ♥➯♥ G ❧➔ F ✲♠ð✳
❱➟② tæ♣æ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ②➳✉ ❤ì♥ F ✲tỉ♣ỉ✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ♠➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ❜✐➳t✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺ ✭❬✹✼❪✮✳ ❍➔♠ f ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ F ✲♠ð U ⊂ Rn
✤÷đ❝ ồ F ỏ ữợ

(i) f F ✲♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥❀
U \V

(ii) f (z)

∂F V

f dδz

✈ỵ✐ ❱ tr♦♥❣ ♠ët ❝ì sð ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛


F ✲tỉ♣ỉ t↕✐ z ❀
(iii) f ≡ −∞ tr➯♥ ♠é✐ F ✲t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ U ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻ ✭❬✹✼❪✮✳ ❈❤♦ Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ F ✲♠ð ❝õ❛ Cn✳ ❍➔♠
f : Ω −→ [, +) ủ ồ F ỏ ữợ ♥➳✉ f ❧➔ F ✲♥û❛
❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ✈➔ ✈ỵ✐ ♠é✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♣❤ù❝ l tr♦♥❣ Cn ✱ ❤↕♥ ❝❤➳ ❝õ❛ f
tỵ✐ ❜➜t ❦➻ F ✲t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♥ F l ừ l F ỏ
ữợ ỗ t

ử ồ ỏ ữợ tr t tr
Cn F ỏ ữợ tr

✭❬✷✶❪✮✳ ●✐↔ sû ● ✈➔ ❯ ❧➔ ❝→❝ t➟♣ F ✲♠ð tr♦♥❣ Cn
s❛♦ ❝❤♦ G ⊆ U ✳ ●✐↔ sû u ∈ F ✲PSH(U )✱ v ∈ F ✲PSH(G)
✈➔ F ✲ lim sup v (z)

u (ζ) ✈ỵ✐ ♠å✐ ζ ∈ ∂F G ∩ U ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❤➔♠

G z→ζ

✇ (z) =
t❤✉ë❝ F ✲PSH(U )✳


max (u (z) , v (z))

♥➳✉ z ∈ G,

u (z)


♥➳✉ z ∈ U \G,