ĐIỂM
I . Điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
1. Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu trong không gian

Hình 2.1
Trong không gian lấy hai mặt phẳng hình chiếu Π1 và Π2 vuông góc với nhau (hình
2.1):
- Π1 vị trí thẳng đứng gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng, Π2 vị trí nằm ngang gọi
là mặt phẳng hình chiếu bằng.
- Giao tuyến x của Π1 và Π2 gọi là trục hình chiếu.
- Hướng chiếu thẳng góc lên Π1 gọi là hướng chiếu đứng, hướng chiếu thẳng góc
lên Π2 gọi là hướng chiếu bằng.
- Π1 và Π2 chia không gian ra làm bốn góc phần tư, tên gọi qui ước I, II, III, IV
như hình 2.1.
- Trục hình chiếu x chia Π1 và Π2 ra làm hai nửa:
+ Π1: Nửa trên và nửa dưới.
+ Π2: Nửa trước và nửa sau.
- Qui ước:
+ Mặt phẳng chứa trục x và chia đôi góc phần tư I và góc phần tư III gọi là mặt
phẳng phân giác thứ nhất.
+ Mặt phẳng chứa trục x và chia đôi góc phần tư II và góc phần tư IV gọi là mặt
phẳng phân giác thứ hai.

1


2. Biểu diễn điểm trong không gian của hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

Hình 2.2
Giả sử trong không gian của bốn góc phần tư I, II, III, IV tương ứng có bốn điểm A,
B, C, D tại các vị trí như hình 2.2. Chiếu các điểm này lên:

- Mặt phẳng hình chiếu Π1 được các hình chiếu đứng A1, B1 ,C1, D1.
- Mặt phẳng hình chiếu Π2 được các hình chiếu bằng A2, B2 ,C2, D2.
Các cặp hình chiếu A1 và A2, B1 và B2, C1 và C2, D1 và D2 có hình chiếu trên trục
hình chiếu x tương ứng là các điểm Ax, Bx, Cx, Dx.
Các khoảng cách AA2, BB2, CC2, DD2 gọi là độ cao của các điểm A, B, C, D tương
ứng.
Các khoảng cách AA1, BB1, CC1, DD1 gọi là độ xa của các điểm A, B, C, D tương
ứng.

2


3. Lập đồ thức

Hình 2.3
Nếu giữ nguyên Π1 rồi quay Π2 quanh trục hình chiếu x về sao cho nửa trước của Π 2
trùng với nửa dưới Π1, nửa sau của Π2 trùng với nửa trên của Π1. Khi đó Π2≡Π1 tạo
thành một mặt phẳng, các hình chiếu đứng A1,B1,C1,D1 và các hình chiếu bằng A2, B2,
C2, D2 cùng trên một mặt phẳng Π 2≡Π1 biểu diễn các điểm A, B, C, D (hình 2.3).
Trong đó:
- Mặt phẳng được tạo thành do Π2≡Π1 gọi là mặt phẳng đồ thức.
- Khoảng cách từ hình chiếu đứng của một điểm đến trục hình chiếu (A1Ax, B1Bx,
C1Cx, D1Dx) biểu diễn độ cao của điểm đó.
- Khoảng cách từ hình chiếu bằng của một điểm đến trục chiếu (A2Ax, B2Bx, C2Cx,
D2Dx) biểu diễn độ xa của điểm đó.
- Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm nằm trên cùng một đường gióng
vuông góc với trục hình chiếu (A1A2⊥x, B1B2⊥x, C1C2⊥x, D1D2⊥x).
Vậy: Một cặp hai hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm biểu diễn trên
mặt phẳng đồ thức, là đồ thức của điểm đó trong hệ thống hai mặt phẳng hình
chiếu.

Qui ước:
* Điểm trong không gian phía trên Π2 có độ cao dương (trên đồ thức điểm này có hình
chiếu đứng phía trên trục hình chiếu). Điểm trong không gian phía dưới Π 2 có độ cao
âm (trên đồ thức điểm này có hình chiếu đứng phía dưới trục hình chiếu).
* Điểm trong không gian phía trước Π 1 có độ xa dương (trên đồ thức điểm này có hình
chiếu bằng phía dưới trục hình chiếu). Điểm trong không gian phía sau Π 1 có độ xa âm
(trên đồ thức điểm này có hình chiếu bằng phía trên trục hình chiếu).
Ví dụ ứng dụng: Cho điểm A có đồ thức như hình vẽ (hình 2.4). Hãy dựng đồ thức
của điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng Π1?

3


Hình 2.4

Hình 2.5

Tóm tắt biện luận:
- A1Ax >0 (A1 phía trên trục hình chiếu x) →A nằm phía trên Π2.
- A2Ax <0 (A2 phía trên trục hình chiếu x) →A nằm phía sau Π1.
Vậy điểm A trong không gian góc phần tư II. Suy ra điểm B phải dựng nằm
trong góc phần tư I, hai điểm A và B nằm cùng trên một mặt phẳng vuông góc
với trục chiếu x. Có:
- B1Bx = A1Ax và cùng dấu
- B2Bx = A2Ax và trái dấu
- A và B cùng nằm trên một mặt phẳng vuông góc với trục chiếu x. Do đó đồ
thức của A và B cùng nằm trên một đường gióng.
Tóm tắt cách dựng:
Từ các nhận xét trên ta dựng điểm B như sau:
- B1≡A1 và qua B1 dựng đường gióng vuông góc với trục x được Bx≡Ax

- Lấy Bx làm tâm quay cung tròn bán kính A 2Ax sao cho cắt đường gióng qua
B1Bx tại vị trí có độ xa B2Bx dương (hình 2.4).

II. Điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
1. Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu trong không gian

4


Hình 2.6
Trong không gian lấy ba mặt phẳng hình chiếu Π 1,Π2,Π3 vuông góc với nhau từng đôi
một (hình 2.6) :
- Các mặt phẳng hình chiếu Π 1,Π2 đã được trình bày trong phần 2.1, mặt phẳng
hình chiếu Π3 nằm bên phải gọi là mặt phẳng hình chiếu cạnh.
- Các giao tuyến x=Π1∩Π2, y=Π2∩Π3, z=Π1∩Π3 gọi là các trục hình chiếu.
- Không gian các bài toán hình học họa hình giới hạn trong bốn góc phần tư bên
trái của Π3.
- Qui ước: Các trục hình chiếu x, y, z có chiều dương, âm như hình 2.6.
2. Biểu diễn điểm trong không gian của hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

Hình 2.7
Giả sử các điểm A, B, C, D trong không gian các góc phần tư của hệ thống như hình
2.7. Chiếu các điểm này lên Π1, Π2, Π3:
- Các hình chiếu đứng A1,B1,C1,D1 trên Π1 và các hình chiếu bằng A2,B2,C2,D2
trên Π2 đã được trình bày trong phần 2.1.2.
- Các hình chiếu A3, B3, C3, D3 trên Π3 gọi là hình chiếu cạnh của các điểm A,
B, C, D tương ứng.
5



- Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng hình chiếu cạnh Π 3 gọi là độ xa
cạnh của điểm đó (AA3, BB3, CC3, DD3).
- Các cặp hình chiếu A2 và A3, B2 và B3, C2 và C3, D2 và D3 có hình chiếu lên
trục hình chiếu y tương ứng là Ay, By, Cy, Dy.
- Các cặp hình chiếu A1 và A3, B1 và B3, C1 và C3, D1 và D3 có hình chiếu lên
trục hình chiếu z tương ứng là Az, Bz, Cz, Dz.
3. Xây dựng đồ thức

Hình 2.8
Giữ nguyên Π1, quay Π2 như đã làm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu và quay
Π3 quanh trục hình chiếu z sao cho nửa sau của nó trùng với Π 1. Ba mặt phẳng hình
chiếu Π1≡ Π2≡ Π3 tạo thành một mặt phẳng đồ thức (hình 2.8). Trên đó:
-

-

-

Bán trục ₊yO xem như bị tước làm đôi. Một nửa của ₊yO theo nửa trước của
Π2 trùng với bán trục -zO, một nửa theo nửa trước của Π3 nằm sang phải của
trục z.
Bán trục -Oy xem như bị tước làm đôi. Một nửa theo nửa sau của Π 2 trùng với
bán trục ₊zO, và một nửa theo nửa sau của Π3 trùng lên bán trục ₊xO.
Khi các bán trục +Oy và – Oy bị tước ra thì các điểm Ay,By,Cy,Dy nằm trên
chúng cũng được xem là bị tước làm đôi cùng với trục hình chiếu mang nó
theo Π2 và Π3 trùng lên Π1 thành mặt phẳng đồ thức (Π1≡ Π2≡ Π3).
Các hình chiếu đứng, hình chiếu bằng, hình chiếu cạnh của các điểm A,B,C,D
được biểu diễn trên mặt phẳng đồ thức theo các tính chất sau:
1. Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm nằm trên cùng một
đường gióng vuông góc với trục hình chiếu x .

6


2. Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của một điểm nằm trên cùng một
đường gióng vuông góc với trục hình chiếu z.
3. Khoảng cách từ hình chiếu cạnh của một điểm đến trục hình chiếu z, bằng
khoảng cách từ hình chiếu bằng của điểm đó đến trục hình chiếu x.
Vậy: Một tập ba hình chiếu đứng, hình chiếu bằng, hình chiếu cạnh của một điểm
biểu diễn trên mặt phẳng đồ thức, là đồ thức của điểm đó trong hệ thống ba mặt
phẳng hình chiếu.
Một điểm trong không gian có tọa độ x,y,z. Trên đồ thức:
- Giá trị x bằng độ xa cạnh (ví dụ: OAx).
- Giá trị y bằng độ xa (ví dụ: OAy).
- Giá tri z bằng độ cao (ví dụ: OAz) .
Ví dụ ứng dụng : Dựng đồ thức của điểm H(30,-20,35)?
+z

H1

H3

Hy = -20

H2

+x

-y

Hx = 30


Hz=35

Hy = -20

O

-z

+y

+y

Hình 2.9
Cách dựng (hình 2.9):
- Dựng Hx= 20, Hy= -20, Hz= 35 ( một trong hai Hy = -20. Hy còn lại dựng bằng cách
quay cung tròn tâm O, bán kính R=O Hy, OHy=-20 ) .
- Qua Hx dựng đường gióng vuông góc với trục x, qua H z dựng đường gióng vuông
góc với trục z. Giao điểm của hai đường là hình chiếu đứng H1.
- Qua Hy trên bán trục -Oy≡+Oz dựng đường gióng vuông góc với bán
trục –Oy. Đường này cắt đường gióng qua H 1Hx tại hình chiếu bằng
H2.
7


- Qua Hy nằm trên bán trục -Oy nằm ngang dựng một đường gióng vuông góc với bán
trục –Oy mang nó, đường này cắt đường gióng qua H1Hz tại hình chiếu cạnh H3.
Tập các hình chiếu H1,H2,H3 là đồ thức của điểm H phải dựng.
Câu hỏi ôn tập:
1. Nêu cách xây dựng và tính chất đồ thức của điểm trong hệ thống ba mặt phẳng

hình chiếu?
2. Trình tự lập đồ thức của điểm?
3. Trình bày phương pháp tìm hình chiếu thứ ba?
4. Bài tập: 1 - 7 (Bài tập Hình họa – Đoàn Hiền – NXB Giáo dục).

8


A. ĐƯỜNG THẲNG
I. Đường thẳng có vị trí bất kỳ trong không gian các mặt phẳng hình chiếu
Hình chiếu của đường thẳng d lên Π1 là d1, lên Π2 là đường thẳng d2 (theo tính
chất ). Do vậy trên mặt phẳng đồ thức Π1≡Π2 đường thẳng d được biểu diễn bởi một
cặp hai hình chiếu đứng d1 và hình chiếu bằng d2. Ví dụ hình 3.1 là đồ thức biểu diễn
đường thẳng d.
Mặt khác yếu tố hình học xác định một đường thẳng trong không gian là hai điểm
phân biệt. Do vậy đồ thức của hai điểm phân biệt A và B là đồ thức của một đường
thẳng qua hai điểm AB. Trong đó hình chiếu đứng là đường thẳng qua A 1B1, hình
chiếu bằng là đường thẳng qua A2B2 (hình 3.2 ).

Hình 3.1

Hình 3.2

Tóm lại:
- Hai hình chiếu đứng và bằng của một đường thẳng trên mặt phẳng đồ thức là
đồ thức của đường thẳng đó.
- Đồ thức của hai điểm phân biệt là đồ thức của một đường thẳng qua hai điểm
phân biệt đó.
II. Các đường thẳng có vị trí đặc biệt với các mặt phẳng hình chiếu
1. Đường thẳng đồng mức

Đường thẳng chỉ song song với một mặt phẳng hình chiếu được gọi là đường đồng
mức.
a. Đường mặt
Đường thẳng chỉ song song với mặt phẳng hình chiếu đứng gọi là đường mặt (hình
3.3).
Mọi điểm trên cùng một đường mặt có độ xa bằng nhau (cùng mức độ xa).

9


Hình 3.3
Hình 3.4
Trên mặt phẳng đồ thức (hình 3.4):
- Hình chiếu bằng là một đường thẳng song song với trục hình chiếu.
- Hình chiếu đứng là đường thẳng hợp với trục hình chiếu một góc (góc α) bằng góc
của đường mặt với mặt phẳng hình chiếu bằng.
Ví dụ đường mặt d (hình 3.3 và hình 3.4): d2//x ; ∠(d, Π2) = ∠(d1,x) = α.
b. Đường bằng
Đường thẳng chỉ song song với mặt phẳng hình chiếu bằng gọi là đường bằng
(hình 3.5).
Mọi điểm trên cùng một đường bằng có độ cao bằng nhau (cùng mức độ cao).

Hình 3.5
Hình 3.6
Trên mặt phẳng đồ thức (hình 3.6):
- Hình chiếu đứng là một đường thẳng song song với trục hình chiếu.
Hình chiếu bằng là đường thẳng hợp với trục hình chiếu một góc (góc β) bằng
góc của đường bằng với mặt phẳng hình chiếu đứng.
Ví dụ đường bằng g (hình 3.5 và hình 3.6): g1//x ; ∠(g, Π1) = ∠(g2,x) = β.
c. Đường cạnh

Đường thẳng chỉ song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh gọi là đường cạnh (hình
3.7) .
Mọi điểm trên cùng một đường cạnh có độ xa cạnh bằng nhau (cùng mức xa cạnh).
10


Trên mặt phẳng đồ thức (hình 3.8): Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường
cạnh là những thẳng vuông góc với trục hình chiếu.
z

E1

Ez
E3

E

Fz

F1
x

Ex Fx

F3

F

Ey


E2
F2

Fy y

Hình 3.7
Hình 3.8
2. Đường thẳng chiếu
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu gọi là đường thẳng chiếu.
a. Đường thẳng chiếu đứng:
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng gọi là đường thẳng
chiếu đứng (hình 3.9).

Hình 3.9
Hình 3.10
Trên mặt phẳng đồ thức (hình 3.10:
- Hình chiếu đứng bị suy biến thành một điểm.
- Hình chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu.
b. Đường thẳng chiếu bằng
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng gọi là đường thẳng
chiếu bằng (hình 3.11).
11


Hình 3.11
Hình 3.12
Trên mặt phẳng đồ thức (hình 3.12).:
- Hình chiếu bằng bị suy biến thành một điểm.
- Hình chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu
c. Đường thẳng chiếu cạnh

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh gọi là đường thẳng chiếu
cạnh (hình 3.13).

f1

fz

f

f3

x

f2

fy

Hình 3.13
Hình 3.14
Trên mặt phẳng đồ thức: Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng là những đường thẳng
song song với trục hình chiếu (hình 3.14).

III. Điểm thuộc đường thẳng
Mệnh đề 1: Trong không gian nếu một điểm thuộc một đường thẳng, thì trên mặt
phẳng đồ thức, các hình chiếu của điểm phải thuộc hình chiếu cùng tên với hình chiếu
của đường thẳng.
12


Mệnh đề 2: Nếu đồ thức của một điểm và đồ thức của một đường thẳng không phải

là đường cạnh thỏa mãn điều kiện:
Hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng, và hình chiếu
bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng, thì đồ thức này biểu diễn điểm
thuộc đường thẳng trong không gian (hình 3.15).

d1

A1

AX

A2

d2

Hình 3.15
Mệnh đề 3: Trên mặt phẳng đồ thức nếu một điểm E và một đường cạnh AB thỏa mãn
các điều kiện: E1∈A1B1, E2∈A2B2, A1B1/B1E1 = A2B2/B2E2 thì trong
không gian điểm E thuộc đường cạnh AB.
Bài toán ví dụ ứng dụng: Cho đường thẳng IJ và hình chiếu đứng K 1 của điểm K. Hãy
dựng K2 để K∈IJ (hình 3.16).

Hình 3.16
Hình 3.17
Cách dựng (hình 3.17):
- Qua I1, K1, J1 dựng các tia chiếu song song phương t, và qua I 2, J2 dựng các tia chiếu
song song phương g (t và g bất kỳ), sao cho các tia chiếu theo phương t và g cắt nhau.
13



Các tia qua I1 và I2 cắt nhau tại I', các tia qua J 1 và J2 cắt nhau tại J'. Đường thẳng qua
I'J' cắt tia chiếu qua K1 tại K'.
- Qua K' dựng tia chiếu phương g. tia này cắt I2J2 tại K2.
K2 là hình chiếu bằng phải dựng của điểm K.

VI. Vết của đường thẳng
1. Các khái niệm về vết của đường thẳng
- Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng gọi là vết đứng, ký hiệu
là M.
- Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng gọi là vết bằng, ký hiệu
là N.

d

M

N

Hình 3.18
1. Dựng vết cho một đường thẳng
1. Trường hợp đường thẳng không phải là đường cạnh:
Ví dụ đường thẳng d trong hình 3.19 :

Hình 3.19

14


M1 M


d

d1

N1 Nx
d2

M2 Mx

N2 N

Hình 3.20
Tóm tắt biện luận:
- Vết đứng M∈Π1→ M1≡M→ M2Mx= 0 → M2≡Mx.
- Vết bằng N∈Π2→N2≡N→ N1Nx= 0 → N1≡Nx.
- Mặt khác N1∈d1 và M1∈d1, N2∈d2 và M2∈d2 Từ đó suy ra d1∩x=N1, và
d2∩x = M2 (hình 3.20).
Tóm tắt cách dựng:
- Hình chiếu bằng d2∩x tại M2≡Mx. Qua Mx dựng đường gióng vuông
góc với trục hình chiếu x, đường này cắt hình chiếu đứng d 1 tại
M1≡ M.
- Hình chiếu đứng d1∩x tại N1≡Nx. Qua Nx dựng đường gióng vuông
góc với trục hình chiếu x, đường này cắt hình chiếu bằng d2 tại
N2≡ N.
M và N là các vết của d.
M1 M

d1

N1 Nx

d2

M2 Mx

N2 N

Hình 3.21
15


Lưu ý : Các trường hợp đường thẳng có vị trí đặc biệt (trừ trường hợp
đường cạnh) đều được suy từ cách dựng trên.

2. Trường hợp đường thẳng là đường cạnh:
Ví dụ : Dựng vết đứng và vết bằng cho đường cạnh EF như hình 3.22 ?
- Ta có N1≡Nx≡M2≡Mx (hình 3.23).
- Từ N1, M2 và các dữ kiện đầu bài dựng được vết đứng M và vết bằng N như hình
3.24.
E1

F1
x

N1 Nx

M2 Mx

E2

F2


Hình 3.22

Hình 3.23

Hình 3.24

V. Một số mệnh đề về vị trí tương đối của hai đường thẳng
1. Hai đường thẳng cắt nhau
Mệnh đề 1: Trong không gian, nếu hai đường thẳng cắt nhau, thì trên đồ thức các
hình chiếu cùng tên của chúng cũng phải đôi một cắt nhau, và giao điểm của các hình
16


chiếu cùng tên đó nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu (hình
3.25 và hình 3.26).

Hình 3.25
Hình 3.26
Mệnh đề 2: Trên đồ thức, nếu các hình chiếu cùng tên của hai đường thẳng trong đó
không có đường nào là đường cạnh mà đôi một cắt nhau, và giao điểm của các hình
chiếu cùng tên đó nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu, thì
trong không gian hai đường thẳng đó cắt nhau.
2. Hai đường thẳng song song
Mệnh đề 1: Trong không gian nếu hai đường thẳng song song, thì trên đồ thức các
hình chiếu cùng tên của chúng cũng phải đôi một song song với nhau (các hình 3.27,
hình 3.28).

g1


t2

g2

f1

e1

t1

x
x

e2

f2

Hình 3.27

Hình 3.28
17


Mệnh đề 2: Trên đồ thức, nếu các hình chiếu cùng tên của hai đường thẳng không
phải là đường cạnh, đôi một song song với nhau, thì trong không gian hai đường
thẳng đó song song với nhau.
3. Hai đường thẳng vuông góc
Mệnh đề 1: Trong không gian, nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau, mà trong đó
có ít nhất một đường thẳng song song với môt mặt phẳng hình chiếu nào đó, thì hình
chiếu của chúng trên mặt phẳng hình chiếu đó phải vuông góc với nhau.

ví dụ 1: a ⊥b và a//Π1 → a1⊥b1 (hình 3.29).
ví dụ 2: e ⊥f và e// Π2 →e2⊥f2 (hình 3.30).
ví dụ 3: h⊥g, h// Π1 và g// Π1 →h1 ⊥g1 (hình 3.31).

Hình 3.29
Hình 3.30
Hình 3.31
Mệnh đề 2: Trên đồ thức, nếu các hình chiếu cùng tên của hai đường thẳng trên một
mặt phẳng hình chiếu nào đó vuông góc với nhau, và ít nhất một trong hai đường
thẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu đó, thì trong không gian hai đường
thẳng đó vuông góc với nhau.
Ví dụ 1: Đồ thức của các đường thẳng a và b trong hình 3.29 có hình chiếu bằng a 2//x,
suy ra trong không gian đường thẳng a// Π1. Mặt khác a 1⊥b1. Vậy trong không gian
đường thẳng a⊥b.
Ví du 2: Đồ thức của các đường thẳng e và f trong hình 3.30 có hình chiếu đứng e 1//x,
nên suy ra trong không gian đường thẳng e song song Π 2. Mặt khác e2⊥f2. Vậy trong
không gian e ⊥f.
Bài toán ví dụ ứng dụng: Cho hai đường thẳng a và b (hình 3.32). Hãy dựng đường
vuông góc chung k của a và b?

18


b1

a1

x

a2


b2

Hình 3.32
b1

a1

F1

k1

E1

x

k2
E2

a2

F2

b2

Hình 3.33
Tóm tắt biện luận:
- k∩b=E mà b⊥ Π2→E2≡b2.
- k⊥b mà b⊥ Π2 →k// Π2→k1//x.
- a⊥k, k// Π2→k2⊥a2, mặt khác k∩a=F→ k2∩a2=F2.

Tóm tắt cách dựng:
- Qua E2 dựng k2⊥a2, k2∩a2=F2.
- Từ F2 dựng được F1 trên a1.
- Qua F1 dựng k1//x, k1∩b1=E1.

19