BÀI GIẢNG: BẤT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở
MẪU VÀ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƢƠNG TRÌNH
MÔN TOÁN LỚP 10
THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM
I. BẤT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH
Tổng quát: f  x   g  x  h  x  ...  0,  0,...
+) Giải g  x   0  x1  ...
h  x   0  x2  ...

 xi  ...
+) Lập bảng xét dấu cho f  x  , quy tắc xét dấu đã học
Ví dụ:

+) Dựa vào BXD đưa ra tập nghiệm phù hợp với yêu cầu bài toán.
+) Chú ý về sự đan dấu của f  x  khi các nghiệm bội lẻ và không đan dấu khi xuất hiện nghiệm bội chẵn.
Chú ý về ngoặc tròn f  x   0, f  x   0 , ngoặc vuông f  x   0, f  x   0 .
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a)  x  3 x  2   0

b)  x2  x  6  0

c)  x  3 2 x  4   x  1  0

d)  x  3 2  2 x 1  x   0

e)  x  1 x  1  4  x 2   0

f)  x  2   x 2  9  x 2  5x  6   0





Giải
a)  x  3 x  2   0

x  3
Đặt f  x   VT , f  x   0  
 x  2

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


Yêu cầu bài toán: f  x   0  x   2;3 .
Vậy S   2;3 .
b) f  x    x 2  x  6  0
f  x     x  3 x  2 

Trục xét dấu:
f  x   0  x   2; 3. .

c) f  x   0  x  3 hoặc x  2 hoặc x  1 .

f  x   0  x   3;1   2;  

d)
f  x   0  x   ; 3  1; 2  .


e) VT  f  x   0  x  1  x  2

f  x   0  x   2; 1  1; 2

f)

f  x    x  2  x  3 x  3 x  3 x  2 
f  x    x  2  x  2  x  3 x  3  0
2

Cách 1: Do x  3  Chia cả 2 vế bất phương trình cho  x  3 .
2

  x  2  x  2  x  3  0

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


f  x   0  x   ; 3   2;2 

Cách 2:

Bài 2: Cho phương trình  x  3 x  1  0 1
+) Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình bằng?
+) Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình bằng?
+) Biết tập nghiệm S   a; b . Khi đó b  a  ?

Giải

Từ BXD: 1   3;1 .
+) x   x 3; 2; 1;0;1
Tổng các nghiệm nguyên của BPT là: 3  2 1  0  1  5
+) Nghiệm nguyên nhỏ nhất của BPT là -3.

a  3
 b  a  1   3  4 .
+) S   3;1  
b  1
Bài 3: Cho bất phương trình  2  x  x  1 3  x   0
+) BPT có bao nhiêu nghiệm nguyên dương.
+) Biết tập nghiệm của BPT có dạng S   ; a   b; c  . Tính a  b  c  ?
Giải

 S   ; 1   2;3

+) x 



3

 x  2, x  3 .
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


BPT có 2 nghiệm nguyên dương.

a  1

+) S   ; 1   2;3  b  2  a  b  c  1  2  3  4 .
c  3


II. BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Tổng quát: f  x  

g  x
...  0   0,  0,  0 
h  x

+) Giải g  x   0  x1  ...
h  x   0  x2  ...

 xi  ...
( g  x  , h  x  thường là tích của các nhị thức bậc nhất)
+) Lập BXD cho f  x  và áp dụng quy tắc xét dấu đã học.

+) Dựa vào BXD đưa ra tập nghiệm phù hợp với yêu cầu bài toán.
+) Chú ý về dấu không xác định tại các nghiệm của mẫu, lấy dấu “=” tại các nghiệm của tử khi
f  x   0,  0 .
+) Chú ý về nghiệm bội và sự đan dấu của f  x  để làm nhanh.
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a)

 3  x  x  2   0
x 1


1

b)

x2  5x  6
 0  2
2 x 2  3x  1

c)

x

2

 4  x  2

4  3  x 1  x 

 0  3

Giải
a) Đặt f  x   VT 1 , ĐKXĐ (1): x  1 .

x  3
Giải  3  x  x  2   0  
x  2
Giải x  1  0  x  1

4


Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


Từ BXD: f  x   0  x   1;2  3;   .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   1;2  3;   .
b) Đặt f  x   VT  2  

ĐKXĐ: x  1, x 

 x  2  x  3
 x  1 2 x  1

1
2

x  2
Giải tử = 0  
x  3

x  1
Giải mẫu = 0  
.
x  1

2

1 
Từ BXD: f  x   0  x   ;1   2;3
2 

1 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;1   2;3 .
2 

 x  2  x  2   0
f  x 
4  3  x 1  x 
2

c) Đặt VT 

(ĐKXĐ: x  3, x  1 )

Do x  2 không là nghiệm  Chia đều 2 vế cho  x  2   0 .
2

BPT 

x2
0
4  3  x 1  x 

BXD:

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!



Tập nghiệm của BPT: S   1; 2    3;   .
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a)

3
 1 1
2 x

b)

c)

3
5

 3
1 x 2x 1

d)

x2  x  3
 1  2
x2  4
1

 x  2

2




1
 4
x4

Giải
a)

3
3
3 2 x
1 x
1
1  0 
0
0
2 x
2 x
2 x
2 x

Vậy tập nghiệm của BPT là S   ; 1   2;  
b)

x2  x  3
 1  2
x2  4

ĐKXĐ: x  2


 2 

x2  x  3
x2  x  3  x2  4
x 1

1

0

0
0
2
2
x 4
x 4
 x  2  x  2 

Vậy tập nghiệm của BPT là S   2; 1   2;  
c) ĐKXĐ: x  1, x  

 3 

1
2

6 x  3  5  5x
11x  2
0
0

1  x  2 x  1
1  x  2 x  1

1  2 

Vậy tập nghiệm của BPT là S   ;     ;1 .
2  11 

d) ĐKXĐ: x  2, x  4

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


 4 

x  4   x  2

2

 x  2  x  4

0

x  4  x2  4x  4

 x  2  x  4
 x  x  5

 x2  5x

0
0
2
2
 x  2  x  4
 x  2  x  4
2

2

0

Vậy tập nghiệm của BPT là S   ; 4   5;   .

x2  x
 0 (1).
Bài 3: Giải bất phương trình sau:
 x2  5x  4
+) Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình trên.
+) Tính tổng các nghiệm nguyên trong tập S của bất phương trình.
+) Biết tập nghiệm có dạng S   a; b    b; c  , a, b, c  . Tính T  a  b  c .
Giải
ĐKXĐ:  x2  5x  4  0  x  1, x  4 .
+) 1 

x  x  1

  x  5x  4

2



x  x  1
x
0
0
  x  1 x  4 
x4

Vậy tập nghiệm của BPT là S  0;1  1; 4  .
+) Các nghiệm nguyên của BPT là x  0; 2;3 .
+) Tổng các nghiệm nguyên là: 0  2  3  5 .
a  0

+) S   0;1  1; 4   b  1  T  a  b  c  5 .
c  4


III. BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phƣơng pháp:
Tổng quát: f  x   g  x   h  x 
+) Trong BPT có 1 giá trị tuyệt đối, ta có thể sử dụng các cách sau:

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!



 A khi A  0
Sử dụng định nghĩa A  
để phá trị tuyệt đối, chia 2 trường hợp.
  A khi A  0
Áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối

f  x   a  a  f  x   a  a  0 
 f  x  a
f  x  a  
 f  x   a

A  B
 A  B

Đặc biệt: A  B   B  A  B, A  B  

A  B  A2  B 2   A  B  A  B   0
A  B  A  B A, B
A  B  A  B  AB  0
A  B  A  B A, B
A  B  A  B   A  B B  0
+) Trong trường hợp có nhiều dấu giá trị tuyệt đối, ta lập 1 BXD các biểu thức trong giá trị tuyệt đối, và chia
trục số thành nhiều khoảng mà dấu các biểu thức đã xác định. Sau đó giải từng trường hợp một và kết hợp
nghiệm.
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) x  3  1 1

x  3  1
x  4


 x  3  1  x  2

1  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S   ; 2    4;   .
b) 1  2 x  2  2 

 2  2  1  2 x  2  3  2 x  1 

3
1
 x
2
2

 1 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S    ;  .
 2 2

c) 2 x  1  3x  3

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!



1

 x  2
 2 x  1  0


1  x
2 x  1  3x

 
 3  
 x  1
2 x  1  0

2
 
 loai 

2
x

1

3
x
 1
 

  x
  5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1;   .
d) BXD:




x

x 1

x2

Chia trục số thành 3 khoảng:

1
0
|

+


2
|
0



+
+

 x   ; 1

 x   ; 1



TH1: 
 x  1  x  2  3 
3  3 Vo li 

 x   1; 2
 x   1; 2 
 x   1; 2 
 x   1; 2


TH2: 



x2
x 1 x  2  3 
2 x  1  3
2 x  4
x  2






 x   2;  
 x   2;  


 x   2;  
TH2: 
3

3
luon
dung
x

1

x

2

3






Vậy tập nghiệm của BPT là S   2;   .
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a) 2 x  5  7  4 x 1

  2 x  5   7  4 x    2 x  5  7  4 x  2 x  5  7  4 x   0
2

2


  2 x  12  6 x  2   0    x  6  3x  1  0

1 
Vậy tập nghiệm của BPT là S   ;6 
3 

b) x  3  2 x  1  2 

2

2 x  1  x  3 3x  2
2
x 
 2 x  1  x  3  2 x  1  


3 x
3
x  3  2x 1
 x  4
 x  4

9

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


2


Vậy tập nghiệm của BPT là S   ;   .
3


c) x 2  3x  2  x 2  2 x  3

 x 2  3x  2   x 2  2 x
 x 2  3x  2   x 2  2 x   2
2
 x  3x  2  x  2 x
2 x2  5x  2  0
2 x2  5x  2  0


 x  2  0
x  2
Trục xét dấu:

 
1
x   ;    2;  

 x   2;  
 3    2 
 x  2
Vậy tập nghiệm của BPT là S   2;   .
d) x 2  1  2 x  8  4 
Chú ý: Đồng nhất thức x  x 2 x .
2


Đặt t  x  t  0 

 4 

t 2  1  t 2  2t  8  t 2  2t  8  t 2  1  t 2  2t  8

t 2  2t  8  t 2  1 2t 2  2t  7  0  luon dung 
9
2


t


2
2
2t  9
t  1  t  2t  8
9
9
9
 x   x
2
2
2

 9 9
Vậy tập nghiệm của BPT là S    ;  .
 2 2

Bài 3: Cho BPT 2 x  1  3x . Có bao nhiêu giá trị x nguyên trong  2017; 2017 thỏa mãn BPT?
Giải

10

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!



1
 x  2
 2 x  1  0


x  1
1  x
2 x  1  3x

2 x  1  3x 
 
 1
 x 1
 2 x  1  0
   x   1  vo li 
 x  1

2
 5
2

 

2
x

1

3
x
 1
 
   x
  5
Vậy tập nghiệm của BPT là 1;   .
Mà x   2017; 2017 . Kết hợp  x  1; 2017 . Vậy có 2016 giá trị x nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

11

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!