Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

CHUYÊN ĐỀ
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
(SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CÔ
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC)

Câu 1.

Cho

VABC có a = 12 , b = 15 , c = 13 .

a. Tính số đo các góc của

VABC .

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của

Câu 2.

c. Tính

S , R ,r .

d. Tính

ha , hb , hc

Cho

VABC có AB = 6 , AC = 8 , góc A = 120° .

a. Tính diện tích

VABC .

BC

b. Tính cạnh
Câu 3.

VABC .

và bán kính r .

∆ ABC có a = 8, b = 10, c = 13
a) ∆ ABC có góc tù hay không?
Cho

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
c) Tính diện tích

∆ ABC .

∆ ABC .
µ


µ = 45° , b = 2 . Tính độ dài cạnh a, c , bán kính đường tròn

Câu 4.

Cho ∆ ABC có các góc A = 60° , B
ngoại tiếp và diện tích tam giác.

Câu 5.

Cho tam giác

· = 60° . Tính BC, S∆ ABC , ha , R.
ABC có AC = 7, AB = 5, BAC

Câu 6.

Cho tam giác

ABC

có

mb = 4, mc = 2, a = 3 . Tính độ dài các cạnh AB, AC.

Câu 7.

Cho tam giác

ABC


có

AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3 3 . Tính cạnh BC .

Câu 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp
Câu 9. Tínhh góc A của

∆ ABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4.

2
2
2
2
∆ ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn hệ thức b( b − a ) = c( a − c ).

Câu 10. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

tanA c2 + a2 − b2
=
a. tanB c2 + b2 − a2

c2 = (a − b)2 + 4S.

b.

c. S =
d.

S=

e. a =
f.

1− cosC
sinC

2R2.sinA.sinB.sinC
1 uuur2 uuur2 uuur uuur 2
AB .AC − (AB.AC)
2

b.cosC + c.cosB

sinA =

2
p(p − a)(p − b)(p − c)
Cho ….
bc

Câu 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. CMR

a. MA 2 + MB2 + MC2 = GA 2 + GB2 + GC2 + 3GM 2
b. 4(ma +
2

Câu 12. Cho
a.

m2b + mc2) = 3(a2 + b2 + c2) .

∆ ABC có b + c = 2a . Chúng minh rằng

sin B + sin C = 2sin A .

2 1 1
= +
b. ha hb hc .
Câu 13. Cho

∆ ABC biết A ( 4 3; − 1) , B ( 0;3) , C ( 8 3;3) .

a. Tính các cạnh và các góc của

∆ ABC .

b. Tính chu vi và diện tích của ∆ ABC
Câu 14. Cho

∆ ABC biết a = 40 , Bµ = 36° 20′ , C¶ = 73° . Tính µA

Câu 15. Cho


∆ ABC biết a = 42,4 m , b = 36,6 m , C¶ = 33° 10′ . Tính µA , Bµ

, cạnh

b , c của tam giác đó.
và cạnh c .

Câu 16. Để lập đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh một ngọn núi
nên người ta phải
nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài

10

km rồi nối từ vị trí C thẳng

đến vị trí B dài 8 km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 75° . Hỏi so với
việc nối thẳng từ A đến người ta tốn thêm bao nhiêu km dây?
Câu 17. Hai vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

· = 87° , ·

CAB
CBA = 62° . Hãy tính khoảng cách AC

ABC

Câu 18. Cho tam giác
Tính
Câu 19.

BC = a , µA = α

BC .

và hai đường trung tuyến

BM , CN

vuông góc với nhau.

S ABC .

ABC . Gọi la , lb , lc lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C . Chứng

Cho tam giác
minh rằng

a)

có


và

la =

2bc
A
cos
b+ c
2.

A
B
C
cos
cos
2+
2+
2 = 1+1+1
lb
lc
a b c.
b) la
cos

1 1 1 1 1 1
+ + > + +
c) la lb lc a b c .
Câu 21. Cho tứ giác

ABCD


( p − a) ( p − b) ( p − c) ( p − d )

rằng: S ABCD =

Cho tam giác

Câu 23.

Cho tam giác

với

p=

a+b+c+ d
.
2

a 2 + b2 + c2 cos µA cos Bµ cos Cµ
=
+
+
.
có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng
2abc
a
b
c


ABC

Câu 22.

AB = a , BC = b , CD = c , DA = d . Chứng minh

nội tiếp đường tròn có

ABC

có ba cạnh là

a, b, c

và

a = x 2 + x + 1, b = 2 x + 1, c = x 2 − 1

chứng minh

rằng tam giác có một góc bằng 120° .
Câu 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác

a.

b.

Câu 25. Tam giác

cot A + cot B + cot C =


sin

A
=
2

ABC

ABC

ta có

a 2 + b2 + c 2
R
.
abc

( p − b) ( p − c)
bc

có tính chất gì khi

.

S ∆ABC =

1
( a + b − c) ( a + c − b) .
4


Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

ABC . Gọi R , r

Câu 26. Cho tam giác

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

r 1
≤
Chứng minh rằng : R 2 .
Câu 27. Cho tam giác

ABC . Chứng minh rằng:

cos 2 A + cos 2 B 1
≤ ( cot 2 A + cot 2 B )
a. sin 2 A + sin 2 B 2
.
b.


3S ≤ 2 R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3C ) .

p < p − a + p − b + p − c ≤ 3p .

c.

d.

S2 ≤

Câu 29. Cho

1 4 4 4
(a +b +c )
16

∆ ABC . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≤ 2ab + 2bc + 2ca
ABC

Câu 30. Trong các tam giác
cạnh bé nhất.

có chu vi là

2p

không đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương các

1 1 1 1
+ + ≤

Câu 31. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng a 2 b 2 c 2 4r 2 .
Câu 32. Cho tam giác

ABC. Chứng minh rằng:

a
b
c
+
+
≥ 3.
a. b + c − a c + a − b a + b − c

1 1 1 1
+ + = .
b. ha hb hc r
hb hc ha 1
+ 2+ 2≥ .
2
c. ha hb hc r
Câu 33. Cho tam giác
Câu 34. Cho tam giác
Câu 35. Tam giác

ABC

ABC

ABC


có

có

sin 2 B + sin 2 C = 2sin 2 A. Chứng minh rằng A ≤ 60° .
4
3

4
3

có a + b = c

4
3.

Chứng minh rằng tam giác có một góc tù.

a 2 + b2 + c 2 = 36r 2 thì có tính chất gì?

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-


GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
(SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CÔ
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC)

Câu 1.

a = 12 , b = 15 , c = 13 .
Tính số đo các góc của VABC .

Cho
a.

VABC

có

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của
c. Tính

VABC .

S , R ,r .

d. Tính ha , hb , hc

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy
a. Áp dụng định lí cosin trong


VABC

ta có:

cos A =

b 2 + c 2 − a 2 152 + 132 − 122 25 µ
=
= ⇒ A ≈ 50° 7′
.
2bc
2.15.13
39

cos B =

a 2 + c 2 − b 2 122 + 132 − 152 11 µ
=
= ⇒ B ≈ 73° 37′
.
2ac
2.12.13
39

a 2 + b 2 − c 2 122 + 152 − 132 5 µ
cos C =
=
= ⇒ C ≈ 56° 16′
.
2ab

2.12.15
9
b. Xét

ma =
2

mb =
2

mc =
2

ta có:

2. ( b 2 + c 2 ) − a 2
4

2. ( a 2 + c 2 ) − b2
4

2. ( a 2 + b 2 ) − c 2

c. Xét

p=

VABC

4


VABC

=
=
=

2. ( 152 + 132 ) − 122
4

2. ( 122 + 132 ) − 152
4

2. ( 122 + 152 ) − 132
4

= 161 ⇒ ma = 161

.

=

401
401
⇒ ma =
4
2 .

=


569
569
⇒ ma =
4
2 .

ta có:

a + b + c 12 + 15 + 13
=
= 20
.
2
2

S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = 20.8.5.7 = 20 14

(đvdt).

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

S = pr ⇔ r =

Mà


Ta có

S=

d. Xét

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

S 20 14
=
= 14
.
p
20

abc
abc 12.15.13 117
⇔ R=
=
=
4R
4S 4.20 14 4 14 .

VABC

ta có:

1
2S 2.20 14 10 14

S = a.ha ⇔ ha = =
=
2
a
12
3 .
1
2S 2.20 14 8 14
S = b.hb ⇔ hb = =
=
2
b
15
3 .
1
2S 2.20 14 40 14
S = c.hc ⇔ hc = =
=
2
c
13
13 .
Câu 2.

VABC có AB = 6 , AC = 8 , góc A = 120° .
Tính diện tích VABC .
Tính cạnh BC và bán kính r .

Cho
a.

b.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy
a. Xét

VABC

ta có:

1
1
3
S = bc.sin A = .6.8. = 12 3
(đvdt).
2
2
2
b.

Áp dụng định lí cosin trong

VABC

ta có:

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2. AB. AC.cos A = 62 + 82 − 2.6.8.
S=

−1

= 148 ⇒ BC = 148 = 2 37
.
2

AB. AC.BC
AB. AC.BC 6.8. 148 2 111
⇔ R=
=
=
4R
4S
3 .
4.12 3

Ta có

Câu 3.

∆ ABC có a = 8, b = 10, c = 13
a) ∆ ABC có góc tù hay không?
Cho

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
c) Tính diện tích

∆ ABC .

∆ ABC .
Lời giải
Tác giả: Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân.


a) Vì

a < b < c nên µA < Bµ < Cµ

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

a2 + b2 − c2
1
cos C =
= − ⇒ Cµ ≈ 910 47 '
Ta có
2ab
32

∆ ABC

Vậy

b) Gọi


có góc

là góc tù.

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC .

Theo định lý

2R =

Cµ

sin :

c
c
c
⇒ R=
=
=
sinC
2sinC 2 1 − cos 2 C

13
2

 1
2 1−  − ÷
 32 


=

208
≈ 6,5
1023
(đvđd)

c) Áp dụng công thức Hê - rông, ta có:

S∆ ABC = p( p − a)( p − b)( p − c)
Với

p=

Do đó
Câu 4.

a + b + c 31
=
2
2

S∆ ABC =

31  31   31
25575 5 1023
  31

=

≈ 40
 − 8 ÷ − 10 ÷ − 13 ÷ =
2  2  2
16
4
(đvdt)
 2


µ

µ = 45° , b = 2 . Tính độ dài cạnh a, c , bán kính đường tròn

Cho ∆ ABC có các góc A = 60° , B
ngoại tiếp và diện tích tam giác.

Lời giải
Tác giả: Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân.
Ta có:

Cµ = 180° − ( µA + Bµ ) = 75°

a
b
c
=
=
= 2R
Từ định lí sin: sinA sinB sin C


a=

b sin A 2sin 60°
b sinC 2sin 75°
=
= 6 c=
=
= 1+ 3
;
sinB
sin 45°
sinB sin 45°

R=

b
2
=
= 2
2sinB 2sin 45°

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta có:

1
1
2 3+ 3
S∆ ABC = ac sin B = 6 1 + 3
=
2
2

2
2

(

)

(đvdt).
,
Câu 5.

Cho tam giác

· = 60° . Tính BC, S∆ ABC , ha , R.
ABC có AC = 7, AB = 5, BAC
Lời giải

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn
°


· = 72 + 52 − 2.7.5.cos60° = 39 ⇒ BC = 39.
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos BAC

1
35 3
1
·
S∆ABC = . AB. AC.sin BAC
= .5.7.sin 60° =
.
°
2
2
4
2.S
35 13
1
S∆ ABC = .BC.ha ⇔ ha = ∆ ABC =
.
°
2
BC
26

BC
BC
= 2R ⇔ R =
° sin A
2sin A = 13.
Câu 6.


Cho tam giác

ABC

có

mb = 4, mc = 2, a = 3 . Tính độ dài các cạnh AB, AC.
Lời giải
Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn

Có

AB = c, AC = b

mb2 =

2(a2 + c2 ) − b2
2(9 + c2 ) − b2
⇔ 16 =
⇔ 2c2 − b2 = 46 (1)
4
4

2(a 2 + b2 ) − c 2
2(32 + b2 ) − c2
m =
⇔ 4=
⇔ 2b2 − c2 = − 2
4

4
2
c

(2)

b2 = 14 b = 14
⇒
 2
c = 30 c = 30

Giải hệ gồm 2 phương trình (1), (2) được
 AC = 14

 AB = 30

Vậy
.

Câu 7.

Cho tam giác

ABC

có

AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3 3 . Tính cạnh BC .
Lời giải
Tác giả: Lê Bá Phi; Fb: Lee Bas Phi


·
 BAC
= 60°

3⇒
1
·
·
⇔ sin BAC
=
⇔ AB.AC .sin BAC
·
 BAC
= 120° .
Ta có S = 3 3
=3 3
2
2
+ TH1:

·
BAC
= 60°

Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:

BC = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos60 ° = 9 + 16 − 12 = 13 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!


Trang 8 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

·
BAC
= 120°

+ TH2:

BC = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos120 ° = 9 + 16 + 12 = 37 .
Vậy

BC = 13 hoặc BC = 37 .

,
Câu 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp

∆ ABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4.
Lời giải
Tác giả:Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui

Ta có

p=


a + b + c 4+ 3+ 2 9
=
= ,
2
2
2

S = p( p − a )( p − b )( p − c ) =

S = pr ⇒ r =

9  9   9   9  3 15
. − 4 . − 3 . − 2  =
2 2 2 2 
4 .

S 3 15 9
15
=
: =
.
p
4 2 6

Câu 9. Tínhh góc A của

∆ ABC có các cạnh a, b, c

thỏa mãn hệ thức


(

) (

)

b b2 − a 2 = c a 2 − c2 .

Lời giải
Tác giả: Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui
Ta có

(

) (

)

b b 2 − a 2 = c a 2 − c 2 ⇔ b3 − ba 2 − ca 2 + c 3 = 0

(

)

(

)

⇔ ( b + c ) b 2 − bc + c 2 − a 2 ( b + c ) = 0 ⇔ ( b + c ) b 2 − bc + c 2 − a 2 = 0
⇔ b 2 − bc + c 2 − a 2 = 0 ⇔ b 2 + c 2 − a 2 = bc

1
⇔ 2bc cos A = bc ⇔ cos A = ⇒ A = 600.
2

Câu 10. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

tanA c2 + a2 − b2
=
a. tanB c2 + b2 − a2
b.

c2 = (a − b)2 + 4S.

c. S =

1− cosC
sinC

2R2.sinA.sinB.sinC

1 uuur2 uuur 2 uuur uuur 2
S=
AB .AC − (AB.AC)
d.
2
e. a =

b.cosC + c.cosB

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!


Trang 9 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

f.

sinA =

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

2
p(p − a)(p − b)(p − c)
Cho ….
bc
Lời giải
Tác giả: Dung Phuong; Fb: Dung Phuong.

2ac cos B a cos B 2 R sin A cos B tanA
=
=
=
a. VP= 2bc cos A b cos A 2 R sin B cos A tanB = VT
1
(1− cosC)
a2 + b2 − 2ab + 4. absinC
2
2

2
b.VP=
2
sinC = a + b − 2ab cos C = c = VT .

1
1
S = ab sin C = .2R sin A.2 R sin B.sin C = 2 R 2 .sin A sin B sin C.
c. Ta có
(Điều phải chứng
2
2
minh)

d.

S=

1 uuur2 uuur 2 uuur uuur 2
1
AB .AC − (AB.AC) ⇔ S =
AB2.AC2 − (AB.AC.cosA )2
2
2
1
1
AB2.AC2(1− cos2 A) ⇔ S = AB.AC.sinA
(luôn đúng) ⇒ Điều phải chứng minh.
2
2


⇔ S=

b(a2 + b2 − c2) c(a2 + c2 − b2)
+
e. VP=
= a = VT . Suy ra điều phải chứng minh
2ab
2ac
f.

VP =

2
2 1
.S = . bc sin A = sin A = VT .
Điều phải chứng minh.
bc
bc 2

Câu 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. CMR
a. MA 2 + MB2 + MC2 = GA 2 + GB2 + GC2 + 3GM 2
b. 4(ma +
2

m2b + mc2) = 3(a2 + b2 + c2) .
Lời giải
Tác giả: Dung Phuong; Fb: Dung Phuong.

a.


uuur uuuur
uuur uuuur
uuur uuuur
uuuur uuur uuur uuur
VT = (GA − GM)2 + (GB − GM)2 + (GC − GM)2 = GA 2 + GB2 + GC2 + 3GM 2 − 2GM(GA + GB + GC)
uuuur r
2
2
2
2
= GA + GB + GC + 3GM − 2GM.0 = GA 2 + GB2 + GC2 + 3GM 2 = VP
VT = 2b2 + 2c2 − a2 + 2a2 + 2c2 − b2 + 2b2 + 2a2 − c2

b.

= 3(a2 + b2 + c2) = VP

,

∆ ABC có b + c = 2a . Chúng minh rằng
a. sin B + sin C = 2sin A .

Câu 12. Cho

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 10 Mã đề 0108



Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

2 1 1
= +
b. ha hb hc .
Lời giải
Tác giả:Lê Thị Liên ; Fb:LienLe

a. Áp dụng định lí Sin cho

a
b
c
=
=
= 2R
ta có: sin A sin B sin C
.

∆ ABC

a = 2 R.sin A , b = 2R.sin B , c = 2R.sin C

Suy ra:

Theo giả thiết ta có:


b + c = 2a ⇔ 2 R.sin B + 2 R.sin C = 2.2 R.sin A ⇔ sin B + sin C = 2sin A (điều phải chứng

minh)

b. Gọi

S

Suy ra:

∆ ABC

tính diện tích

1
1
1
S = a.ha = b.hb = c.hc
ta có:
2
2
2

2S
2S
2S
b=
c=
ha ,
hb ,

hc .

a=

Theo giả thiết ta có:

⇔

b + c = 2a
Câu 13. Cho

∆ ABC

2S 2S
2S
2 1 1
+
= 2.
⇔ = +
hb hc
ha
ha hb hc (điều phải chứng minh)

biết

(

)

(


A 4 3; − 1 , B ( 0;3) , C 8 3;3

).

∆ ABC .
b. Tính chu vi và diện tích của ∆ ABC
a. Tính các cạnh và các góc của

Lời giải
Tác giả:Lê Thị Liên ; Fb:LienLe
a. Ta có:

uuur
AB = − 4 3;4

(

( −4 3)

Suy ra: AB =

cos A =
Do

b +c −a
=
2bc
2


2

2

2

),

uuur
uuur
AC = 4 3;4 , BC = 8 3;0

(

+ 42 = 8 , AC =

( )

82 + 8 2 − 8 3
2.8.8

AB = AC = 8 nên ∆ ABC

b. Chu vi

∆ ABC

bằng

)


cân tại

(

( 4 3)

2

)

+ 42 = 8 , BC =

( 8 3)

2

+ 02 = 8 3

2

=−

1
2

⇒ µA = 120°

A suy ra: Bµ = Cµ = 30° .


AB + AC + BC = 16 + 8 3 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 11 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

1
1
S = .bc.sin A = .8.8.sin120° = 16 3
bằng
.
2
2

Diện tích ∆ ABC

Câu 14. Cho

∆ ABC

biết

a = 40 , Bµ = 36° 20′ , C¶ = 73° . Tính µA
Lời giải


, cạnh

b , c của tam giác đó.

Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật
Ta có

(

)

µ
µ ¶
µA + Bµ + C¶ = 180° ⇔ A = 180° − B + C ⇔ µA = 180° − ( 36° 20′ + 73° ) ⇔ µA = 70° 40′ .
 a sin B  40sin 36°20′
b = sin A
b = sin 70°40′ ≈ 25,12
a
b
c
=
=
⇔
⇔
a
sin
C
sin A sin B sin C
c =

c = 40sin 73° ≈ 40,68
Theo định lý sin ta có
.
sin A

 sin 70°40′
Câu 15. Cho

∆ ABC

biết

a = 42,4 m , b = 36,6 m , C¶ = 33° 10′ . Tính µA , Bµ

và cạnh

Lời giải

Áp dụng định lý côsin trong tam giác

ABC

có

c.

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

⇔ c 2 = 42,42 + 36,6 2 − 2.42,4.36,6.cos33°10′ c 2 ≈ 539,28 ⇒ c ≈ 23,22 .
a

c
a sin C
42,4sin 33°10′ µ
=
⇔ sin A =
⇔ sin A =
⇒ A = 87°40′
Ta có sin A sin C
.
c
23,22
Mặt khác ta lại có

(

)

µ
µ ¶
µA + Bµ + C¶ = 180° ⇔ B = 180° − A + C ⇔ Bµ = 180° − ( 87° 40′ + 33° 10′ ) ⇔ Bµ = 59° 10′


Câu 16. Để lập đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh một ngọn núi nên người ta
phải
nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km rồi nối từ vị trí C thẳng đến vị trí B
dài 8 km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là
người ta tốn thêm bao nhiêu km dây?

75° . Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến


Lời giải
Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 12 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Ta có

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

AC = 10, BC = 8, ·ACB = 75° .
Áp dụng định lý

cos trong tam giác ABC:

AB 2 = BC 2 + CA2 − 2 BC.CA.cos C ⇒ AB = BC 2 + CA2 − 2BC .CA.cos C
= 82 + 102 − 2.8.10.cos75° ≈ 11,072 km .
Số dây tốn thêm là: 10 + 8 − 11,072 ≈
Câu 17.

6,928 km .

Hai vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết

· = 87° , ·

CAB
CBA = 62° . Hãy tính khoảng cách AC

và

BC .

Lời giải
Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa

Ta có

Cµ = 180° − 87° − 62° = 31° .

Áp dụng định lý

sin

trong tam giác ABC:

AB
AC
BC
500
AC
BC ⇒  AC ≈ 857,167 m

=
=
⇔

=
=
sin C sin B sin A sin 31° sin 62° sin 87°  BC ≈ 969, 472 m .


Câu 18.

Cho tam giác
nhau. Tính

ABC

có

BC = a , µA = α

và hai đường trung tuyến

BM , CN

vuông góc với

S ABC .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 13 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

Lời giải
Tác giải: Đinh Văn Vang; fb:Tuan Vu

Hai đường trung tuyến

BM , CN

vuông góc với nhau tại trọng tâm

G

nên ta có

2
2
4  c 2 + a 2 b2 b2 + a 2 c2  2
2
 2

2
− +
− ÷= a
⇔  BM ÷ +  CN ÷ = BC ⇔ 
9 2
4
2

4
GB 2 + GC 2 = BC 2  3   3 

⇔ b 2 + c 2 = 5a 2 .
Mặt khác

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ⇒ 2bc cos A = 4a 2 ⇒ 4S cot α = 4a 2 ⇒ S = a 2 .tan α

Vậy diện tích tam giác
Câu 19.

Cho tam giác
minh rằng

a)

la =

ABC

là

S∆ ABC = a 2 .tan α

.

.

ABC . Gọi la , lb , lc lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C . Chứng


2bc
A
cos
b+ c
2.

A
B
C
cos
cos
2+
2+
2 = 1+1+1
lb
lc
a b c.
b) la
cos

1 1 1 1 1 1
+ + > + +
c) la lb lc a b c .
Lời giải
Tác giải: Đinh Văn Vang; fb:Tuan Vu

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 14 Mã đề 0108



Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

A

B

D

C

A A
sin A = 2 sin cos
a) Ta chứng minh được
2
2.
Mặt khác

S∆ABC = S∆ABD + S∆ACD

1
1
A 1
A
⇔ bc sin A = la c sin + bla sin
2
2

2 2
2

1
A
A 1
A
2bc
A
⇔ bc.2sin cos = la sin . ( b + c ) ⇒ la =
cos
2
2
2 2
2
b+ c
2
A
2 = b+c = 1 + 1
la
2bc 2b 2c

cos
b)

B
C
cos
2 = 1 + 1
2 = 1 + 1

lb
2a 2c và lc
2b 2a

cos
Tương tự ta có

A
B
C
cos
cos
2+
2+
2 = 1+1+1
la
lb
lc
a b c (dpcm).

cos
Suy ra

A
B
C
cos
cos
2+
2+

2 <1+1+1
la
lb
lc
la lb lc

cos
c) Ta có

A
B
C
cos
cos
2+
2+
2 = 1+1+1 ⇒ 1 + 1+1 > 1+1+1
la
lb
lc
a b c la lb lc a b c (đpcm)

cos
Mà


Bài 20.

Cho tam giác


,

m=

ABC . Gọi ma , mb , mc

lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua

A, B, C

ma + mb + mc
4
S∆ ABC = m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc )
. Chứng minh rằng:
.
2
3
Lời giải

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 15 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

D là điểm đối xứng của A qua trọng tâm G . P là trung điểm của BC , suy ra tứ giác

GCDB là hình bình hành (do hai đường chéo GD và BC cắt nhau tại trung điểm P của mỗi

Gọi

đường).

1
S∆ GBD = 2S ∆ GBP = S ∆ GBC = S ∆ ABC
Ta có:
.
3
Mà

∆ GBD

2
2
2
BG = mb GD = AG = ma BD = GC = mc
có độ dài các cạnh
3 ,
3 ,
3 .

1 2
2
p = . ( ma + mb + mc ) = m
Nửa chu vi
2 3
3 .

2

⇒ S∆ GBD

 2
= ÷
 3

m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc )

⇒ S∆ ABC = 3S∆ GBD =
Câu 21. Cho tứ giác

rằng:

S ABCD =

ABCD

( công thức Hê-rông ) .

4
m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc )
( ĐPCM).
3
nội tiếp đường tròn có

( p − a) ( p − b) ( p − c) ( p − d )

AB = a , BC = b , CD = c , DA = d . Chứng minh

với

p=

a+b+c+ d
.
2

Lời giải

Do tứ giác

ABCD nội tiếp đường tròn nên sin ·ABC = sin ·ADC , cos ·ABC = − cos ·ADC .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 16 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

S ABCD = S ABC + S ADC =

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

1
1
·
·

= ( ab + dc ) 1 − cos 2 ABC
( ab + dc ) sin ABC
.
2
2

Trong

∆ ABC

ta có:

· .
AC 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos ABC

Trong

∆ ADC

ta có:

AC 2 = c 2 + d 2 − 2cd cos ·ADC .

⇒ a 2 + b 2 − 2ab cos ·ABC = c 2 + d 2 − 2cd cos ·ADC

(a
⇒ cos ·ABC =

2


+ b2 ) − ( c 2 + d 2 )
2 ( ab + cd )

 ( a2 + b2 ) − ( c2 + d 2 ) 
1
÷
= ( ab + dc ) 1 − 

÷
2
2 ( ab + cd )

 .
2

S ABCD
Do đó:

(

1
2
4 ( ab + cd ) − ( a 2 + b2 ) − ( c 2 + d 2 )
=4
=

)

2


.

1
 2 ( ab + cd ) − ( a 2 + b 2 ) + ( c 2 + d 2 )   2 ( ab + cd ) + ( a 2 + b 2 ) − ( c 2 + d 2 ) 

.
4 

1 
2
2
2
2
c + d ) − ( a − b)   ( a + b) − ( c − d ) 
(

.
=4 
 a + b + c − d   a + b − c + d   a − b + c + d   −a + b + c + d 
= 
÷
÷
÷
÷
2
2
2
2





.

=

(

p − d ) ( p − c ) ( p − b ) ( p − a ) với p =


Câu 22.

Cho

tam

ABC

giác

có

a+ b+ c+ d
( ĐPCM).
2

ba

cạnh


là

a, b, c

chứng

minh

rằng

a 2 + b2 + c2 cos µA cos Bµ cos Cµ
=
+
+
.
2abc
a
b
c
Lời giải

uuur uuur uuur 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2
2
2
AB
+
BC

+
CA
=
0
⇔
AB
+
BC
+
CA
+
2
AB.BC + 2 BC.CA + 2 AB.CA = 0 .
Ta có:

(

)

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
⇔ AB + BC + CA = 2 BA.BC + 2CB.CA + 2 AB. AC .
2

2

2

⇔ a 2 + b2 + c2 = 2ac cos Bµ + 2ab cos Cµ + 2bc cos Aµ .
a 2 + b2 + c 2 cos µA cos Bµ cos Cµ
⇔

=
+
+
.
2abc
a
b
c
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 17 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10
Câu 23.

Cho tam giác

ABC

có ba cạnh là

a, b, c

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

và

a = x 2 + x + 1, b = 2 x + 1, c = x 2 − 1


chứng minh

rằng tam giác có một góc bằng 120° .
Lời giải

a, b, c

Điều kiện
Với

 x2 −1 > 0

⇔ x >1
2 x + 1 > 0
 2
2
là ba cạnh của tam giác khi và chỉ khi:  x − 1 + 2 x + 1 > x + x + 1
.

x > 1 thì a > b

và

a> c

nên a là cạnh lớn nhất.

2
2

b 2 + c 2 − a 2 ( 2 x + 1) + ( x − 1) − ( x + x + 1)
µ
cos A =
=
2bc
2 ( 2 x + 1) ( x 2 − 1)
Tính
.
2

2

2

( 2x + 1) + ( x − 1+ x + x + 1) ( x − 1− x − x − 1)
=
2( 2x + 1) ( x − 1)
.
2

2

2

2

2

2


( 2x + 1) − ( 2x + x) ( x + 2) ( 2x + 1)  2x + 1− x( x + 2)  = − x − 1 = − 1
=
=
2.
2( x − 1)
2( 2x + 1) ( x − 1)
2( 2x + 1) ( x − 1)
2

2

2

2

2

2

⇒ µA = 120° .

GV PB: ,
Câu 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác

ABC

ta có

a2 + b2 + c2
cot A + cot B + cot C =

R
a.
.
abc
b.

sin

A
=
2

( p − b) ( p − c)
.

bc

Lời giải
FB: Nguyễn Ngọc Diệp

a 2 + b2 + c 2
cot A + cot B + cot C =
R
a. Chứng minh:
abc
a
a
= 2 R ⇒ sin A =
Theo định lí sin : sin A
2 R (1)

b2 + c2 − a2
a = b + c − 2bc.cos A ⇒ cos A =
Theo định lí cosin :
(2)
2bc
2

2

2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 18 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

2
2
2
cos A R ( b + c − a )
⇒ cot A =
=
Từ (1) và (2)
.
sin A

abc

cot B =

Tương tự:

R ( a 2 + c2 − b2 )
,

abc

cot C =

R ( a2 + b2 − c2 )
.

abc

Khi đó:

cot A + cot B + cot C =

b. Chứng minh:

Gọi

sin

R ( b2 + c 2 − a 2 )


A
=
2

abc

+

R ( a 2 + c2 − b2 )
abc

+

AOE

vuông tại

abc

a 2 + b2 + c2
=
R.
abc

( p − b) ( p − c)
.

bc

O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có:


Tam giác

R ( a 2 + b2 − c2 )

E

OE = r , AE =

AB + AC − BC
= p− a
.
2

A OE
r
A
tan =
=
⇒ r = ( p − a ) tan
nên:
2 AE p − a
2 .

1
A
A
S∆ ABC = pr = bc sin A = bc sin cos
Mặt khác
2

2
2
⇒ ( S∆ ABC )

2

2

A
A
A
A
A
 A
= pr.bc sin cos = p ( p − a ) tan bc sin cos = p ( p − a ) bc  sin ÷
2
2
2
2
2
 2  (1)

S∆ ABC = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ⇒ ( S ∆ ABC ) = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) (2)
2

Công thức Hê rông:

2

A

 A
⇒ p ( p − a ) bc  sin ÷ = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ⇒ sin =
Từ (1) và (2)
2
 2
Câu 25. Tam giác

ABC

có tính chất gì khi

S ∆ABC =

( p − b) ( p − c) .
bc

1
( a + b − c) ( a + c − b) .
4
Lời giải

Ta có:

p=

S∆ABC =

a+ b+ c
2


1
( a + b − c ) ( a + c − b ) ⇔ 4S∆ ABC = ( a + b − c ) ( a + c − b )
4

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 19 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

⇔ 4 p ( p − a) ( p − b) ( p − c) = ( a + b − c) ( a + c − b)

⇔ 16 p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = ( a + b − c ) ( a + c − b )
2

⇔ 16.

2

a+ b+ c  a+ b+ c  a+ b+ c  a+ b+ c 
2
2
.
− a ÷
− b ÷
− c ÷ = ( a + b − c) ( a + c − b)

2
 2
 2
 2


⇔ ( a + b + c) ( b + c − a ) ( a + c − b) ( a + b − c ) = ( a + b − c ) ( a + c − b )
2

2

⇔ ( a + b + c) ( b + c − a) = ( a + b − c) ( a + c − b)
⇔ ( b + c ) − a 2 = a 2 − ( b − c ) ⇔ b2 + c 2 = a 2 .
2

2

Vậy tam giác ABC vuông tại

Câu 26. Cho tam giác

A.

ABC . Gọi R , r

lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

r 1
≤
Chứng minh rằng : R 2 .

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Thùy Linh

S
abc r 4S 2 4 p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) 4 ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )
r=
R=
⇒ =
=
=
Ta có
.
p,
4S R pabc
pabc
abc
Mà

( p − a) ( p − b) ≤

( p − a) ( p − c) ≤

2p− a − b c
=
2
2.

2p − a − c b
=
2

2 ;

⇒ ( p − a) ( p − b) ( p − c) ≤

( p − b) ( p − c) ≤

2p− b− c a
= .
2
2

abc r 1
⇒ ≤ .
8
R 2

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c .
PB: Fb Bích Ngọc Đặng
Câu 27. Cho tam giác

ABC . Chứng minh rằng:

cos 2 A + cos 2 B 1
≤ ( cot 2 A + cot 2 B )
a. sin 2 A + sin 2 B 2
.
b.
c.

3S ≤ 2 R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3C ) .


p < p − a + p − b + p − c ≤ 3p .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 20 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

d.

S2 ≤

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

1 4 4 4
(a +b +c )
16
Lời giải


cos 2 A + cos 2 B 1
≤ ( cot 2 A + cot 2 B )
a. sin 2 A + sin 2 B 2
1 − sin 2 A + 1 − sin 2 B 1
⇔
≤ ( 1 + cot 2 A + 1 + cot 2 B − 2 )
2

2
sin A + sin B
2
⇔

⇔

2 − ( sin 2 A + sin 2 B )
sin A + sin B
2

2

2
−1≤
sin 2 A + sin 2 B

1 1
1 
≤  2 + 2 ÷− 1
2  sin A sin B 

1 1
1 
+

÷− 1
2  sin 2 A sin 2 B 

1 

 1
⇔ 4 ≤  2 + 2 ÷( sin 2 A + sin 2 B )
 sin A sin B 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

sin 2 A + sin 2 B ≥ 2 sin 2 A.sin 2 B 
1 
  1
2
2
1
1
1
1  ⇒  sin 2 A + sin 2 B ÷ ( sin A + sin B ) ≥ 4
+
≥2
.

sin 2 A sin 2 B
sin 2 A sin 2 B 

Dấu

=

 sin 2 A = sin 2 B

⇔ 1
1 ⇔ A= B
=

 2
xảy ra
.
 sin A sin 2 B

a
b
c
2
3
3
3
=
=
3
S
≤
2
R
sin
A
+
sin
B
+
sin
C
(
) , áp dụng định lí sin sin A sinB sinC = 2R
b.

3
3abc
b3
c3 
2 a
⇔
≤ 2R  3 + 3 + 3 ÷
4R
 8R 8 R 8 R 

3 3 3
⇔ 3abc ≤ a3 + b3 + c3 (luôn đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số a , b , c

được

a3 + b3 + c3 ≥ 3 3 a 3 .b3 .c 3 = 3abc )
Dấu

=

xảy ra

c. + Ta có

⇔ a 3 = b3 = c 3 ⇔ a = b = c .

( x + y + z)

2


= x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx > x 2 + y 2 + z 2 , ∀ x, y, z > 0 ( *)

+ Áp dụng bất đẳng thức

( *)

cho 3 số

p − a, p − b, p − c

được

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 21 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

(

) (

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

) (

2


) (

2

p − a + p −b + p −c >

2

p−a +

p −b +

)

2

p − c = 3p − ( a + b + c) = p

⇔ p− a + p− b + p− c > p .
+ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki được

(

)

p − a + p − b + p − c ≤ ( 12 + 12 + 12 ) ( p − a + p − b + p − c ) = 3 p
2

⇔ p − a + p − b + p − c ≤ 3p
Dấu


=

⇔ p− a = p− b= p− c ⇔ a = b= c.

xảy ra

S2 =
d. Ta có

(

p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

)

2

= p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

 a + b + c   a + b − c   a − b + c   −a + b + c 
=
÷
÷
÷
÷
2
 2  2  2 

=


1
2
2
( b + c ) − a 2   a 2 − ( b − c ) 
16

≤

1
1
1
1
2
( b + c ) − a 2  a 2 = ( b 2 + 2bc + c 2 − a 2 ) a 2 ≤ ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 ) a 2 = ( 2b 2a 2 + 2c 2a 2 − a 4 )
16
16
16
16

≤

1 4 4 4 4 4 1 4 4 4
( b + a + c + a − a ) = 16 ( b + c + a ) .
16

Dấu

Bài 28.


Cho

=

b = c

⇔ a = b ⇔ a = b = c
a = c
xảy ra
.


∆ ABC . Chứng minh rằng

S∆ ABC =

1 2
(4 a sin 2B + b2 sin 2 A)
Lời giải
Tác giả:; Fb: thanhhoa Nguyễn

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 22 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Gọi


C′

là điểm đối xứng với

Trường hợp 1: Nếu góc

C

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

qua đường thẳng

B ≤ 90°

.

Khi đó

S ACBC′ = 2S∆ABC , mà S ACBC ' = S∆CBC′ + S∆ACC ′

Suy ra

S∆ ABC =

Khi đó

=

1 2

(2 a sin 2B + b2 sin 2 A )

1 2
(4 a sin 2B + b2 sin 2 A) .

Trường hợp 2: Nếu góc

S∆ ABC =

AB , H = CC ′ ∩ AB

B > 90° .

1
( S∆ ACC ' − S∆ C′BC )
2

(

)

1 1
1
 1 2
1 2
·
=  b2 sin 2 A − a 2 sin 2CBH
÷ = b sin 2 A + a sin 2 B .
2 2
2

 4
2
Câu 29. Cho

∆ ABC . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≤ 2ab + 2bc + 2ca
Lời giải

Ta có

a − b < c ⇒ ( a − b ) < c ⇔ a 2 + b 2 − c 2 < 2ab ( 1)

Tương tự

2

a 2 + c 2 − b2 < 2ac ( 2 ) ; c 2 + b2 − a 2 < 2bc ( 3) .

Cộng các vế của

( 1) , ( 2) , ( 3)

ta được

a 2 + b 2 + c 2 ≤ 2ab + 2bc + 2ca .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 23 Mã đề 0108



Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

,
Câu 30. Trong các tam giác
các cạnh bé nhất.

ABC

có chu vi là

2p

không đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương
Lời giải

Tác giả:Bùi Văn Huấn; Fb: />Tam giác

ABC

với ba cạnh

a , b , c có chu vi là a + b + c = 2 p

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai bộ số

(1 +1 +1 ) ( a
2


2

2

2

( 1;1;1)

không đổi.

và

( a; b; c )

+ b2 + c 2 ) ≥ ( a + b + c )

ta có:

2

⇔ ( a + b + c ) ≤ 3( a2 + b2 + c2 )
2

⇔ ( a + b + c ) ≤ 9 ( a 2 + b2 + c 2 )
4

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai bộ số

( a + b + c) ( a

Suy ra
Dấu

a 3 + b3 + c3

(a
≥

3

2

+b +c ) ≥
3

3

+ b2 + c2 )

a+b+c

(

(

2

a ; b; c

a. a + b. b + c. c

3

3

( a + b + c)
≥
9( a + b + c)
4

=

.

3

)

2

) và (

a 3 ; b3 ; c 3

= ( a 2 + b2 + c2 )

) ta có:

2

.


1
8
3
( a + b + c ) = p3 .
9
9

" = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .

Vậy tam giác có tổng lập phương các cạnh đạt giá trị bé nhất khi đó là tam giác đều.

1 1 1 1
+ + ≤
Câu 31. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng a 2 b 2 c 2 4r 2 .
Lời giải
Tác giả: Bùi Văn Huấn; Fb: />
Ta có:

a ≥ a − ( b − c)

Tương tự:

1
1
≤
b2 b2 − ( c − a ) 2

2


2

2

⇒

1
1
≤ 2
2
a a − ( b − c) 2 .

1
1
≤
c2 c2 − ( a − b ) 2 .
Nên ta có:

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 24 Mã đề 0108


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.
L10

Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-

1 1 1
1

1
1
+ 2+ 2≤ 2
+ 2
+ 2
2
2
2
a b c a − ( b − c) b − ( c − a) c − ( a − b) 2

=

1

+

1

1

+

( a − b + c) ( a + b − c) ( b − c + a) ( b + c − a) ( c − a + b) ( c + a − b)

=

1
1
1
+

+
4 ( p − b) ( p − c) 4 ( p − c) ( p − a ) 4 ( p − a ) ( p − b)

=

p
p2
p2
1
=
=
=
4 ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) 4 p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) 4 S 2 4r 2 .


Câu 32. Cho tam giác

ABC. Chứng minh rằng:

a
b
c
+
+
≥ 3.
a. b + c − a c + a − b a + b − c

1 1 1 1
+ + = .
b. ha hb hc r

hb hc ha 1
+ 2+ 2≥ .
2
c. ha hb hc r
Lời giải
Tác giả : Nguyễn Chí Thìn, FB: Nguyễn Chí Thìn
a. Ta có:

( b + c − a) ( a + c − b) ≤

b+ c− a+ a+ c− b
=c
2

( a + c − b) ( a + b − c ) ≤

a+ c−b+ a+ b− c
=a
2

( a + b − c) ( b + c − a) ≤

a+ b− c+ b+ c− a
=b
2

Nhân theo vế ta có:

( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) ≤ abc
⇒


abc
≥ 1.
( a + b − c) ( b + c − a) ( c + a − b)

Ta lại có:

a
b
c
abc
+
+
≥ 33
≥ 3.
b+c−a c + a −b a +b−c
( b + c − a) ( c + a − b) ( a + b − c)
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 25 Mã đề 0108