ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

DƯƠNG THỊ NGỌC OANH

VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU
CỦA SIÊU MẶT KIỂU VÔ HẠN TRONG C2

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

DƯƠNG THỊ NGỌC OANH

VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU
CỦA SIÊU MẶT KIỂU VÔ HẠN TRONG C2

Chuyên ngành:

Toán giải tích

Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NINH VĂN THU

Hà Nội - 2016


1

LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ dạy tận tình
của TS. Ninh Văn Thu. Nhân dịp này, tôi xin được kính gửi tới Thầy lời cảm
ơn chân thành và sâu sắc nhất.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà
Nội đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Tôi cũng
xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học của nhà trường đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi để tôi sớm hoàn thành luận văn của mình.
Nhân dịp này tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân và
bạn bè. Những người luôn bên cạnh ủng hộ, động viên, giúp đỡ tôi cả về vật
chất và tinh thần trong cuộc sống và học tập.
Mặc dù bản thân tôi đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn này vẫn khó
tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của quý thầy, cô và các bạn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2016

Dương Thị Ngọc Oanh



Mục lục

LỜI CẢM ƠN

1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

3

MỞ ĐẦU

4

1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

5

1.1

Một số khái niệm trong giải tích phức . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Tính chất địa phương của ánh xạ bảo giác . . . . . . . . . . . . . .

6


1.3

Khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo . . . . . . . . .

9

1.4

Khái niệm trường vector chỉnh hình tiếp xúc . . . . . . . . . . . . 10

1.5

Một số kết quả về hàm triệt tiêu cấp vô hạn . . . . . . . . . . . . 10

1.6

Định lý bông hoa Leau-Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7

Đặc trưng của trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt
dạng ống trong C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Nhóm CR tự đẳng cấu của một số lớp các siêu mặt kiểu vô hạn
trong C2
16
2.1

Nhóm con G2 (MP , 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


2.2

Nhóm các CR tự đẳng cấu của MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3

Nhóm các CR tự đẳng cấu của siêu mặt dạng ống trong C2 . . . . 22

2.4

Đặc trưng của trường vector chỉnh hình tiếp xúc với MP

TÀI LIỆU THAM KHẢO

. . . . . 25
36

2


3

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
• N, Z, Q, R, C: tương ứng là tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỷ,

tập số thực, tập số phức.
• υ0 (f ): Ký hiệu cấp triệt tiêu của hàm f tại 0 dùng trong định nghĩa loại

điểm vô hạn D’Angelo.

• Ký hiệu ≈ kết hợp với ký hiệu

và

: Dùng cho ký hiệu bất đẳng thức

sai khác một hằng số dương.
• C∞ -trơn: Dùng chỉ hàm khả vi liên tục cấp vô hạn.
• P (z) = Pz (z) =
•

r

∂P
(z): Đạo hàm theo biến z của hàm P .
∂z

= {z ∈ C : |z| < r} với r > 0 và ký hiệu

• ∆ 0 = {z ∈ C : |z| <

0}

:=

1

và ∆∗0 = ∆ 0 \ {0}.

• Giả sử M là một mầm siêu mặt quanh điểm p ∈ C2 . Khi đó, nhóm tự


đẳng cấu của M (kí hiệu bởi Aut(M )) là tập hợp các song chỉnh hình
f : U → f (U )) thỏa mãn f (U ∩ M ) ⊂ M , trong đó U là một lân cận nào đó
của p trong C2 .
• Aut(M, p) = {f ∈ Aut(M ) : f (p) = p} là nhóm ổn định của M tại p.
• aut(M, p) = H = h1 (z1 , z2 ) ∂z∂ 1 + h2 (z1 , z2 ) ∂z∂ 2 . Ở đây, H tiếp xúc với M , H

là trường vector chỉnh hình và h1 , h2 là các hàm chỉnh hình trong một lân
cận của p.
• aut0 (M, p) = H ∈ aut(M, p) : H(p) = 0
• MP := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : Re(z1 ) + P (z2 ) = 0}, trong đó P ∈ C ∞ (C) và
ν0 (P ) = +∞.
• S∞ (P ) = {z2 ∈ ∆ 0 : νz2 (P ) = +∞}, trong đó νz2 (P ) là cấp triệt tiêu của

hàm P (z2 + ξ) − P (z2 ) tại ξ = 0.
• P∞ (MP ) là tập hợp các điểm có kiểu vô hạn của MP .


4

MỞ ĐẦU
Giả sử (M, p) là một mầm siêu mặt trong Cn sao cho p là điểm kiểu vô hạn
theo nghĩa D’Angelo (gọi tắt là kiểu vô hạn). Nhóm tự đẳng cấu của M (kí hiệu
bởi Aut(M )) là nhóm tất cả các song ánh chỉnh hình trong lân cận của M và
biến M vào M . Nhóm ổn định của M tại p (kí hiệu bởi Aut(M, p)) là nhóm tất cả
các tự đẳng cấu của M biến p thành p. Tập hợp tất cả các trường vector chỉnh
hình trong Cn tiếp xúc với M và triệt tiêu tại p được kí hiệu là aut0 (M, p). Bài
toán được đặt ra là hãy mô tả nhóm các CR tự đẳng cấu Aut(M, p) và mô tả
các trường vector chỉnh hình tiếp xúc aut0 (M, p) của mầm siêu mặt (M, p).
Trong luận văn này, chúng tôi xét các siêu mặt đặc biệt. Cụ thể, chúng tôi

xét các mô hình kiểu vô hạn MP được định nghĩa như sau
MP := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : Re z1 + P (z2 ) = 0},

trong đó P ≡ 0 là hàm C ∞ -trơn, triệt tiêu cấp vô hạn tại z2 = 0. Nội dung
chính của luận văn này là tìm hiểu các kết quả về nhóm các CR tự đẳng
cấu Aut(MP , 0) và mô tả các trường vector chỉnh hình tiếp xúc aut0 (MP , 0)
của mô hình kiểu vô hạn MP . Luận văn được trình bày dựa theo bài báo
“Infinitesimal CR automorphisms and stability groups of models in C2 " của
Atsushi Hayashimoto và Ninh Văn Thu ([1]).
Bố cục của luận văn gồm hai chương:
Chương I: Những kiến thức chuẩn bị.
Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích
phức như khái niệm hàm chỉnh hình, ánh xạ bảo giác, khái niệm trường vector
chỉnh hình tiếp xúc, khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo, Định lý
bông hoa Leau -Fatou. Đặc trưng của trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu
mặt dạng ống trong C2 .
Chương II: Nhóm các CR tự đẳng cấu của một số lớp các siêu mặt kiểu vô
hạn trong C2 .
Trong chương này, chúng ta sẽ mô tả nhóm các CR tự đẳng cấu của một số
lớp các siêu mặt kiểu vô hạn trong C2 và mô tả các trường vector chỉnh hình
tiếp xúc của MP . Nội dung chủ yếu là chứng minh Định lý 2.2.1, 2.3.1 và 2.4.1.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số khái niệm trong giải tích phức

Giả sử Ω là miền của mặt phẳng phức C và f là hàm biến phức z = x + iy xác

định trong Ω.
Định nghĩa 1.1.1. Hàm f được gọi là C - khả vi tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại
giới hạn
f (z0 + h) − f (z0 )
.
h
h→0
lim

Khi đó, ta nói rằng giới hạn trên là đạo hàm phức của f tại điểm z0 và kí hiệu
là f (z0 ).
Định nghĩa 1.1.2. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 nếu nó là C khả vi tại một lân cận nào đó của điểm z0 . Hàm f được gọi là chỉnh hình trong
miền Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của miền ấy.
H n1 ∈ C∗ . Đạo hàm theo t tại t = αP (z2 ) hai vế của
phương trình (2.12) và chú ý rằng ν0 (P ) = +∞ ta nhận được
Re im1 αi − 1

m1 −1

P (z2 )

m1 −1

+ j1 aj1 k1 z2k1 + o(|z2 |k1 ) αi − 1

bm1 n1 z2n1 + o(|z2 |n1 ) Pz2 (z2 )
j1 −1

P (z2 )


j1 −1

(2.14)

=0

với mỗi z2 ∈ ∆ 0 , trong đó j1 , n1 ∈ N và aj1 k1 ∈ C.
Theo Bổ đề 1.5.1 và Hệ quả 1.5.3, ta có m1 = n1 = 1 và b1 (z2 ) ≡ −β1 z2 1 +
O(z2 ) với β1 ∈ R∗ nào đó. Bây giờ, ta sẽ chứng minh b1 (z2 ) ≡ −β1 z2 . Thật vật,
giả sử ngược lại, từ phương trình (2.14) ta có
Re iz2 Pz2 (z2 ) ≡ Re az 1 + O(|z2 |) Pz2 (z2 ) + O(P (z2 ))

trên ∆ 0 với a ∈ C∗ nào đó và
vào phương trình (2.12) ta có

(2.15)

≥ 2. Mặt khác, do ν0 (P ) = +∞ nên thay t = 0

Re iz2 1 − iβ1 1 + O(|z2 |) P (z2 ) Pz2 (z2 ) + a10 + o(1) P (z2 ) ≡ 0

(2.16)

trên ∆ 0 . Vì vậy, từ phương trình (2.15) và (2.16) ta có
Re iaz2 1 + O(|z2 |) Pz2 (z2 ) + a10 + o(1) P (z2 ) ≡ 0

(2.17)

trên ∆ 0 . Điều này mâu thuẫn với Bổ đề 1.5.1. Vậy, b1 (z2 ) ≡ −β1 z2 .
Bằng quy nạp, ta chứng minh được bm (z2 ) = βm im+1 z2 với mỗi m ∈ N∗ , trong

đó βm ∈ R∗ với mỗi m ∈ N∗ .
Thay t = αP (z2 ) vào phương trình (2.12), ta có
Re iz2 1 + iβ1 (iα − 1)P (z2 ) + · · · + im βm (iα − 1)m P m (z2 ) + · · · Pz2 (z2 )

(2.18)
+ a10 + o(1) P (z2 ) ≡ 0


29

trên ∆ 0 . Đạo hàm hai vế của phương trình (2.12) theo t tại t = αP (z2 ), ta có
Re iz2 i2 β1 + i3 2β2 (iα − 1)P (z2 ) + · · · + im+2 mβm (iα − 1)m−1 P m (z2 ) + · · · Pz2 (z2 )
1
+
2

∞

∞

jajk iα − 1

j−1

P j−1 (z2 )z2k ≡ 0,

j=1 k=0

hay
Re iz2 1 + i2

1
−
2β1

∞

β2
βm
(iα − 1)P (z2 ) + · · · + im m (αi − 1)m−1 P m (z2 ) + · · · Pz2 (z2 )
β1
β1
∞

jajk iα − 1

j−1

P j−1 (z2 )z2k ≡ 0

j=1 k=0

(2.19)
trên ∆ 0 .
Từ phương trình (2.18)và (2.19) ta suy ra
2β2 /β1 = β1 , 3β3 /β1 = β2 , . . . , mβm /β1 = βm−1 , . . .

vì nếu ngược lại, thay phương trình (2.19) vào (2.18), ta nhận được phương
trình phụ thuộc vào biến α, mâu thuẫn với Bổ đề 1.5.1 với α ∈ R nào đó. Vì vậy,
(β1 )m
βm = m!

với mỗi m ∈ N∗ . Vì thế,
h2 (z1 , z2 ) = iz2 1 + iβ1 z1 + i2

β12 2
βm
z1 + · · · + im 1 z1m + . . .
2!
m!

= iz2 eiβ1 z1

với mỗi z2 ∈ ∆ 0 . Hơn nữa, (2.12) trở thành
1
Re
2

∞
j

ajk it − P (z2 ) z2k + iz2 Pz2 (z2 ) exp iβ1 it − P (z2 )

=0

(2.20)

j,k=0

với mỗi (z2 , t) ∈ ∆ 0 × (−δ0 , δ0 ).
Đặt f (z2 , t) := Re


∞
j,k=0 ajk

j

it − P (z2 ) z2k

với (z2 , t) ∈ ∆ 0 × (−δ0 , δ0 ). Từ

phương trình (2.20) ta có
f (z2 , t) = −2Re iz2 Pz2 (z2 ) exp iβ1 it − P (z2 )

, ∀ (z2 , t) ∈ ∆ 0 × (−δ0 , δ0 ).

Điều này suy ra rằng f (z2 , t) triệt tiêu cấp vô hạn tại z2 = 0 với mỗi t vì Pz2 (z2 )
triệt tiêu cấp vô hạn tại z2 = 0 và ft (z2 , t) = −β1 f (z2 , t). Hệ quả là ajk = 0 với
mỗi k ∈ N∗ và j ∈ N. Từ đó,
∞

aj0 it − P (z2 )

f (z2 , t) = Re
j=0

j

.


30


Hơn nữa, phương trình ft (z2 , 0) = −β1 f (z2 , 0) kéo theo
Re(ia10 ) + 2Re(ia20 )(−P (z2 )) + o(P (z2 )) = −β1 Re(a10 )(−P (z2 )) + o(P (z2 )) .

Điều này suy ra rằng Re(ia10 ) = 0, 2Re(ia20 ) = −β1 Re(a10 ) = −β1 a10 . Tương tự,
từ ftt (z2 , 0) = −β1 ft (z2 , 0) = β12 f (z2 , 0) ta có
2Re(i2 a20 ) + 3!Re(i2 a30 )(−P (z2 )) + o(P (z2 )) = β12 Re(a10 )(−P (z2 )) + o(P (z2 )) .

Phương trình suy ra Re(i2 a20 ) = 0, 3!Re(i2 a30 ) = β12 Re(a10 ) = β12 a10 .
Tiếp tục quá trình này, ta kết luận rằng am0 =
vì vậy,

(iβ1 )m−1
a10
m!

với mỗi m ∈ N∗ và

eiβ1 z1 − 1
h1 (z1 , z2 ) ≡ a10
.
iβ1

Hơn nữa, do h1 không triệt tiêu đồng nhất nên a10 = 0.
Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng a10 < 0. Trường hợp a10 > 0
được chứng minh tương tự.
Bây giờ, phương trình (2.20) với t = 0 tương đương với
2Re iz2 Pz2 (z2 ) exp

− iβ1 P (z2 )


= a10

sin(β1 P (z2 ))
β1

(2.21)

với mỗi z2 ∈ ∆ 0 .
Do P liên tục tại z2 = 0 nên ta có thể giả sử rằng |P (z2 )| < |βπ1 | với mỗi
|z2 | < 0 . Hơn nữa, theo giả thiết thành phần liên thông của điểm 0 trong tập 0
điểm của P là {0} nên tồn tại một số thực r ∈ (0, 0 ) sao cho 0 < |P (r)| < |βπ1 | và
reπ/|a10 | < 0 .
Cố định r và gọi γ : (−∞, +∞) → ∆∗0 là đường cong thỏa mãn
dγ(t)
= iγ(t) exp
dt

− iβ1 P (γ(t)) , γ(0) = r.

Đặt u(t) := P (γ(t)) với −∞ < t < +∞. Đạo hàm hàm u theo t và sử dụng (2.21)
ta có
u (t) = a10

sin(β1 u)
.
β1

Bằng tính toán đơn giản, phương trình trên có nghiệm là
P (γ(t)) = u(t) =


2
arctan
β1

tan(β1 P (r)/2)ea10 t , −a < t < b.

(2.22)


31

Với −a < t < b, ta có
t

ie−iβ1 P (γ(s)) ds

γ(t) = r exp
0
t

= r exp

tan(β1 P (r)/2)ea10 s

− 2i arctan

i exp

ds .


0

Vì vậy,
t

|γ(t)| = r exp

sin 2 arctan

tan(β1 P (r)/2)ea10 s

ds .

0

Do đó, chúng ta có
−∞
+

r := lim |γ(t)| = r exp

sin 2 arctan

t→−∞

tan(β1 P (r)/2)ea10 s

ds


0
−∞

= r exp
0

e−a10 s
sin π − 2 arctan
tan(β1 P (r)/2)

−∞

= r exp

sin 2 arctan
0

e−a10 s
tan(β1 P (r)/2)

+∞

= r exp −

sin 2 arctan
0

= r exp − 2
0


2
= r exp −
a10

ea10 s
tan(β1 P (r)/2)

1+
+∞
0

d
1+

ds

ea10 s
tan(β1 P (r)/2)

ea10 s
tan(β1 P (r)/2)

+∞

2

ds

ds


ds

ea10 s
tan(β1 P (r)/2)
ea10 s
tan(β1 P (r)/2)

2

2
1
arctan
a10
tan(β1 P (r)/2)
π
≤ r exp(
) < 0.
|a10 |

= r exp

Vì vậy, tồn tại dãy {tn } ⊂ R sao cho tn → −∞ và γ(tn ) → r+ eiθ0 khi n → ∞ với
θ0 ∈ [0, 2π) nào đó. Hơn nữa, |P (r+ eiθ0 )| < | βπ1 |. Tuy nhiên, do a10 < 0 và P liên
tục trên ∆ 0 nên theo phương trình (2.22) ta có
|P (r+ eiθ0 )| = |P ( lim γ(tn ))| = | lim P (γ(tn ))| = |
n→∞

n→∞

Điều này là mâu thuẫn. Vậy, ta kết luận được h1 ≡ 0.

Trường hợp 2. h1 ≡ 0.

π
|.
β1


32

Trong trường hợp này, phương trình (2.12) tương đương với
∞

it − P (z2 )

Re Pz2 (z2 )

m

bm (z2 ) = 0

(2.23)

m=0

với mỗi (z2 , t) ∈ ∆ 0 × (−δ0 , δ0 ), trong đó

0

> 0 và δ0 > 0 đủ bé.


Do h2 ≡ 0 nên tồn tại số nguyên nhỏ nhất m0 sao cho bm0 ≡ 0. Khi đó, ta có
thể viết phương trình đó như sau
bm0 (z2 ) = bm0 n0 z2n0 + o(z2n0 ),

trong đó n0 = ν0 (bn0 ) và bm0 n0 ∈ C∗ . Hơn nữa, do P (z2 ) = o(|z2 |n0 ) nên thay
t = αP (z2 ) (α ∈ R được chọn sau) vào phương trình (2.23) ta có
Re

iα − 1

m0

bm0 n0 z2n0 + o(|z2 |n0 ) Pz2 (z2 ) = 0

với mỗi z2 ∈ ∆∗0 . Trong trường hợp m0 > 0, ta chọn α sao cho
Re bm0 n0 iα − 1

m0

= 0.

Do đó, theo Hệ quả 1.5.3 ta có m0 = 0, n0 = 1 và Re(bm0 n0 ) = Re(b01 ) = 0. Bằng
cách đổi biến theo z2 , ta có thể giả sử rằng b0 (z2 ) ≡ iz2 .
Ta sẽ chứng minh bm ≡ 0 với mỗi m ∈ N∗ . Thật vậy, giả sử ngược lại.
Khi đó, bằng cách lập luận tương tự như trường hợp 1.1, ta kết luận được
(β1 )m
bm (z2 ) ≡ im+1 m!
z2 for every m ∈ N∗ . Do đó, h2 (z2 ) ≡ iz2 eiβ1 z1 .
Thay t = 0 vào phương trình (2.23) ta có
2Re iz2 Pz2 (z2 ) exp


− iβ1 P (z2 )

=0

(2.24)

với mỗi z2 ∈ ∆ 0 . Gọi γ : (−a, b) → ∆∗0 là đường dòng của phương trình
dγ(t)
= iγ(t) exp
dt

trong đó 0 < r <

0

− iβ1 P (γ(t)) , γ(0) = r,

thỏa mãn P (r) = 0.

Đặt u(t) := P (γ(t)) với −a < t < b. Khi đó, phương trình (2.24) tương đương
với
u (t) = 0, −a < t < b.


33

Vì thế, u(t) ≡ u(0) và P (γ(t)) = P (r) với mỗi t ∈ (−a, b). Hơn nữa, ta có
γ(t) = r exp ie−iβ1 P (r) t


với mỗi t ∈ ( − a, b). Từ đó, ta cũng có
|γ(t)| = r exp sin β1 P (r) t .

(2.25)

Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng β1 P (r) < 0. Khi đó, ta có thể
chọn b = +∞, từ phương trình (2.25) suy ra γ(t) → 0 khi t → +∞. Vậy,
P (r) = P (γ(t)) = lim P (γ(t)) = P (0) = 0.
t→+∞

Điều này là mâu thuẫn. Vì vậy, h2 (z2 ) ≡ iz2 .
Hệ quả là, phương trình (2.23) trở thành
Re iz2 P (z2 ) = 0

với mỗi z2 ∈ ∆ 0 . Do đó, P (z2 ) = P (|z2 |) hay P là đối xứng. Định lý được chứng
minh.
Ví dụ 2.4.2. Cho MP là siêu mặt được cho bởi công thức
MP := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : Re z1 + P (z2 ) = 0}

và các hàm số P1 , P2 được xác định bởi

exp − 1 α
|z2 |

P1 (z2 ) =

P2 (z2 ) =

nếu z2 = 0


0
nếu z2 = 0,

exp − 1 α + Re(z m )
nếu z2 = 0
2
|z2 |
nếu z2 = 0,

0

trong đó α > 0 và m ∈ N∗ . Ta thấy S∞ (P1 ) = S∞ (P2 ) = {0}. Hơn nữa, P1 , P2
không âm, P1 đối xứng và P2 không đối xứng. Vì vậy, theo Định lý 2.2.1, 2.3.1
và 2.4.1, Hệ quả 2.2.2 và 2.2.3, ta có
aut0 (MP1 , 0) = {iβz2 ∂z2 : β ∈ R},
aut(MP1 , 0) = g−1 ⊕ aut0 (MP1 , 0)
= {iβ1 ∂z1 + iβ2 z2 ∂z2 : β1 , β2 ∈ R},

aut0 (MP2 , 0) = 0,
aut(MP2 , 0) = g−1 = {iβ∂z1 : β ∈ R}


34

và
Aut(MP1 , 0) = {(z1 , z2 ) → (z1 , eit z2 ) : t ∈ R},
Aut(MP1 ) = Aut(MP1 , 0) ⊕ T1 (MP1 )
= {(z1 , z2 ) → (z1 + is, eit z2 ) : s, t ∈ R},
Aut(MP2 , 0) = {(z1 , z2 ) → (z1 , e2kπi/m z2 ) : k = 0, . . . , m − 1},
Aut(MP2 ) = Aut(MP2 , 0) ⊕ T1 (MP2 )

= {(z1 , z2 ) → (z1 + it, e2kπi/m z2 ) : t ∈ R, k = 0, . . . , m − 1}.


Kết luận
Đóng góp chính của luận văn bao gồm:
1. Tìm hiểu và trình bày lại các kiến thức cơ bản về giải tích phức, khái niệm
trường vector chỉnh hình tiếp xúc, khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa
D’Angelo, Định lý bông hoa Leau -Fatou, Đặc trưng của trường vector
chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt dạng ống trong C2 .
2. Trình bày chi tiết Định lý 2.2.1, 2.3.1 và 2.4.1 về việc mô tả nhóm các CR
tự đẳng cấu và mô tả các trường vector chỉnh hình tiếp xúc của mô hình
kiểu vô hạn MP ⊂ C2 .

35


Tài liệu tham khảo
[1] Atsushi Hayashimoto and Ninh Van Thu, Infinitesimal CR automorphisms
and stability groups of infinite type models in C2 , Kyoto Jourmal of Mathematics 56 (2016), no. 2, 441–464.
[2] Kang-Tae Kim and Ninh Van Thu, On the tangential holomorphic vector
fields vanishing at an infinite type point, Trans. Amer. Math. Soc. 367
(2015), 867–885.
[3] M. Abate, Discrete holomorphic local dynamical systems. Holomorphic
dynamical systems, 155, Lecture Notes in Math., no. 1998, Springer, Berlin,
2010.
[4] F. Bracci, Local dynamics of holomorphic diffeomorphisms, Boll. Unione
Mat. Ital. Sez. B Artic. Ric. Mat. (8) 7 (2004), no. 3, 609–636.
[5] Ninh Van Thu, On the existence of tangential holomorphic vector fields
vanishing at an infinite type point, arXiv: 1303.6156.
[6] Ninh Van Thu, On the CR automorphism group of a certain hypersurface

of infinite type in C2 , Complex Variables and Elliptic Equations 60 (2015),
977–991.
[7] Ninh Van Thu, Chu Van Tiep and Mai Anh Duc, On the real-analytic
infinitesimal CR automorphism of hypersurfaces of infinite type, arXiv:
1404.4914.

36