ĐỂ THI ONLINE - TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (NB) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2x  1.
A.  f  x  dx 

2
 2x 1 2x 1  C.
3

C.  f  x  dx  

1
2x 1  C.
3

Câu 2 (NB). Cho





dx

x 1 x

A.  0; 2  .



2



B.  f  x  dx 

1
 2x 1 2x 1  C.
3

D.  f  x  dx 

1
2x  1  C.
2

m
 C, với m  Q . Giá trị m thuộc khoảng nào dưới đây ?
1 x

B.  3;7  .

C.   5;  3 .

D.   3;1 .

Câu 3 (NB): Nguyên hàm của hàm số f  x   x 5 x 3  3 khi đặt t  x3  3 là:

2t 5 2t 3
A.

 C.
15

3

2t 5 t 3
B.
  C.
5
2

t5 t3
C.   C.
5 3

2t 5 2t 3
D.

 C.
15
3

 
Câu 4 (NB): Cho nguyên hàm I   1  x 2 dx, x  0;  , nếu đặt x  sin t thì nguyên hàm I tính theo biến t
 2
trở thành:

A. I  t  sin 2t  C.
C. I 

t sin 2t

 C.

2
4

B. I 

t
 cos 2t  C.
2

D. I 

t cos 2t

 C.
2
4

Câu 5 (NB): Cho hàm số f  x   3  2x  x 2 , nếu đặt x  2sin t  1, khi đó  f  x  dx bằng:
A.  f  x  dx  4 cos 2 t dt.

B.  f  x  dx  t  sin 2t  C.

C.  f  x  dx   1  cos 2t  dt.

D.  f  x  dx  2t  sin 2t  C.

Câu 6 (NB): Một nguyên hàm của hàm số f  x  

1
x

A.  f  x  dx  arcsin  C.
2
2

1
4  x2

là

B.  f  x  dx  arcsin

x
 1.
2

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!


C.  f  x  dx   arccos

1
x
D.  f  x  dx   arccos  1.
2
2

x
 C.
2


Câu 7 (TH): Nếu đặt x  sin t thì nguyên hàm

x

1  x 2 dx có dạng

2

t sin 4t

 C với a, b Z .
a
b

Tính tổng S  a  b.
A. 24.

B. 28.

C. 32.

Câu 8 (TH): Nếu đặt x  tan t thì nguyên hàm I  

1 x2

bằng

1 1  cos t
 C.

B. I  ln
2 1  cos t

1 1  sin t
 C.
A. I  ln
2 1  sin t



dx

D. 40.





1
C. I  ln cos2 t  C.
2



1
D. I  ln sin 2 t  C.
2

Câu 9 (TH): Cho nguyên hàm I  


x2 1
1
 
với t   ;  thì
dx. Nếu đổi biến số x 
3
x
sin t
4 2

A. I    cos 2 t dt.

B. I   sin 2 t dt.

C. I   cos 2 t dt.

D. I   1  cos 2t  dt.

Câu 10 (TH): Nguyên hàm
A. 10.

sin 2x

 1  sin x dx  m.ln sin x  1  n.sin x  C, với m, n Q.

B. 13.

C. 5.

D. 8.


C. 2.

D. 3.

Tính m2  n 2 .

Câu 11 (TH): Xét các mệnh đều sau, với C hằng số
1)

 tan x dx   ln  cos x   C.

1
.sin x dx   e3 cos x  C.
3
cos x  sin x
dx  2 sin x  cos x  C.
3) 
sin x  cos x
Số các mệnh đề đúng là
A. 0.
B. 1.
2)

e

3cos x

Câu 12 (TH): Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số y 
A. F  x  


ln 2 x
 C.
2

ln x
. Nếu F  e2   4 thì
x

B. F  x  



ln x
dx bằng
x

ln 2 x
 2.
2

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!


C. F  x  

ln 2 x
 2.
2


D. F  x  

Câu 13 (VD): Biết rằng F  x   

ln 2 x
 x  C.
2

dx
 f  x   C và F   2   1, giá trị của C gần với giá trị nào sau đây
1 2  x

nhất ?
A.

1
.
2

B.

Câu 14 (VD): Cho F  x   
A.   2; 1 .

3
.
2

C. 1.


ln x  2
dx. Giá trị của biểu thức F  e   F 1 thuộc khoảng?
x  ln x  1

B.  1;0  .

C.  0;1 .

Câu 15 (VD): Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
A.  f  x  dx   ln

ex  1
 C.
ex

D. 1; 2  .

1
.
e 1
x

B.  f  x  dx  ln

ex  1
 C.
ex

1

ex  1
D.  f  x  dx  .ln x  C.
2
e

1
ex  1
C.  f  x  dx   .ln x  C.
2
e
Câu 16 (VD): Nguyên hàm

D. 2.

x3
x 2  ex  2x 2ex
có
dạng
 b ln 2e x  1  C với a, b Q. Tính giá trị biểu
dx
 1  2ex
a

thức P  a  2b  4ab.
A. P = 7

B. P = – 1

C. P = 10


Câu 17 (VD): Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  

D. P = – 5

x sin x   x  1 cos x
. Biết F  0  1, Tính giá
x sin x  cos x


trị biểu thức F   .
2

A.

2

 ln .
2
2

B.

2

 ln  1.
4
2

Câu 18 (VD): Đặt t  2  ln x và
 1 

A.   ;0  .
 2 



 1
B.  0;  .
 2

C.

2
.
8

D.



 ln  1.
2
2

ln x 2  ln x
dx  F  t   C, giá trị của F 1 thuộc khoảng
2x

1 
C.  ;1 .
2 


 3
D.  1;  .
 2

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!


Câu 19 (VDC): Đặt t  1  x thì nguyên hàm của hàm số f  x  

A. t 3  t 2  C.

B.

2t 3 2
 t  C.
3

C.

x
theo biến t là:
1 1 x

t3 t 2
  C.
3 2

D. 2t 2  2t  C.


 
Câu 20 (VDC): Cho hàm số f  x   1  2x 1  x 2 với x  0;  . Biết rằng F  x  là một nguyên hàm của
 4

hàm số f  x  . F(x) bằng ?
A.

t sin 2 t  cos 2 t

C
2
4

C. t 

B.

sin 2 t cos 2 t
C
4

t sin 2 t  cos 2 t

C
2
4

t sin 2 t  cos 2 t
D.  

C
2
4

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN BỞI BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

1

2D

3A

4C

5A

6B

7D

8C

9A

10D

11C

12B


13C

14A

15B

16C

17D

18A

19B

20B

Câu 1.
Hướng dẫn giải chi tiết
Đặt t  2 x  1  t 2  2 x 1  2t dt  2 dx  t dt  dx.
Khi đó

2
 f  x  dx   t dt 

t3
1
 C   2x  1 2x  1  C.
3
3


Chọn B.
Câu 2.
Hướng dẫn giải chi tiết
Đặt t  x  t2  x  2t dt  dx.
4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!


Khi đó





dx

x 1 x



2

 2

t
t 1  t 

2


dt  2

dt

1  t 

2



2
2
C 
C
1 t
1 x

 m   2.
Chọn D.
Câu 3.
Hướng dẫn giải chi tiết
Đặt t  x 3  3  t 2  x 3  3  2t dt  3x 2 dx  x 2 dx 

Khi đó

 f  x  dx   x

3

2t

dt và x 3  t 2  3
3

2 2 2
2t 5 2t 3
2 4
2
x  3.x dx   t  t  3 dt    t  2t  dt 

 C.
3
15
3
3

3

2

Chọn A.
Câu 4.
Hướng dẫn giải chi tiết
Đặt x  sin t  dx  cos t dt và 1  x 2  1  sin 2 t  cos 2 t
Suy ra



1  x 2 dx   cos 2 t cos t dt   cos 2 t dt  

1  cos 2t

dt
2

t sin 2t
1 1

    cos 2t  dt  
 C.
2
4
2 2

 
(Vì x  0;   cos x  0  cos 2 x  cos x )
 2

Vậy I 

t sin 2t

 C.
2
4

Chọn C.
Câu 5.
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có f  x   3  2x  x 2  4  1  2x  x 2   4   x  1 .
2


5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!


Đặt x  1  2sin t  dx  2 cos t dt và 4   x  1  4  4sin 2 t  4 cos 2 t
2

Khi đó

 f  x  dx  

4cos2 t.2cos t dt  4 cos2 t dt  2 1  cos 2t  dt .

Chọn A.
Câu 6.
Hướng dẫn giải chi tiết
Đặt x  2sin t  dx  2 cos t dt và 4  x 2  4 1  sin 2 t   4 cos 2 t
Khi đó



dx
4x

2



2 cos t
2


4 cos t

dt  

2 cos t
x
dt   dt  t  C  arcsin  C.
2 cos t
2

Chọn B.
Câu 7.
Hướng dẫn giải chi tiết
Đặt x  sin t  dx  cos t dt và 1  x 2  1  sin 2 t  cos2 t.
Khi đó I   x 2 1  x 2 dx   sin 2 t. cos2 t.cos t dt   sin 2 t.cos 2 t dt.

1
1
1 1  cos 4t 1  cos 4t
Mặt khác sin t.cos t  sin 2t  sin 2 t.cos 2 t  sin 2 2t  .

.
2
4
4
2
8
Vậy I 


a  8
1
t sin 4t
t sin 4t
C  
C 
 S  40.
1  cos 4t  dt  

8
8
32
a
b
b  32

Chọn D.
Câu 8.
Hướng dẫn giải chi tiết
Đặt x  tan t  dx 

Khi đó



dx
1 x2

dt
và

cos2 t

  cos t.

1
1 x2



1
1  tan 2 t

 cos t.

d  sin t 
dt
cos t

dt  
2
2
cos t
1  sin t
1  sin 2 t

6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!


du

1  1
1 
 

 du
2
1 u
2 1 u 1 u 
1
 ln 1  u 1  u   C
2
1
 ln 1  u 2  C
2
1
 ln 1  sin 2 t  C
2
1
 ln cos 2 t  C
2
1
 ln  cos 2 t   C
2


với u  sin t.
Vậy nguyên hàm




1
 ln  cos 2 t   C .
1 x2 2
dx

Chọn C.
Câu 9.
Hướng dẫn giải chi tiết.
Đặt x 

Và

1
cos t
 1 
 dx  
 dt  dx   2 dt
sin t
sin t
 sin t 

x2 1
1
1  sin 2 t
cos t
3
3

sin
t.


1

sin
t.
 sin 3 t.
 sin 2 t.cos t.
3
2
2
x
sin t
sin t
sin t

1
 cos t 
Khi đó I   sin 2 t.cos t.   2  dt    cos 2 t dt    1  cos 2t  dt.
2
 sin t 
Chọn A.
Câu 10.
Hướng dẫn giải chi tiết
Đặt t  sin x  dt  cos x dx  2t dt 2sin x cos x dx sin 2x dx.

Khi đó

2  t  1  2
sin 2x
2t

2 

dx

dt

 1  sin x  t  1  t  1 dt    2  t  1  dt  2t  2ln t  1  C

Với t  sin x suy ra

sin 2x

m   2

 1  sin x dx  2sin x  2 ln sin x  1  C  n  2

 m 2  n 2  8.

Chọn D.
Câu 11.
Hướng dẫn giải chi tiết
7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!


Dựa vào đáp án, ta có
1)

 tan x dx  


2)

e

3)

3cos x



d  cos x 
sin x
dx   
  ln cos x  C  1) sai.
cos x
cos x

.sin x dx  

1 3cos x
1
e
d  3cos x    e3 cos x  C  2) đúng.

3
3

d  sin x  cos x 
cos x  sin x
dx  

 2 sin x  cos x  C  3) đúng.
sin x  cos x
sin x  cos x

Chọn C.
Câu 12.
Hướng dẫn giải chi tiết

dx
Đặt t  ln x  dt 
suy ra
x

ln x
t2
ln 2 x
 x dx   t dt  2  C  2  C

ln 2  e2 
 ln e2   4  C  22  4  C  2.
 ln 2 x

Suy ra F  e   
 C
 4  C
 4  C
2
2
2
 2

 x  e2
2

2

Vậy F  x  

ln 2 x
 2.
2

Chọn B.
Câu 13.
Hướng dẫn giải chi tiết
Đặt t  2  x  t 2  2  x  x  2  t 2  dx   2t dt
Khi đó

 1

2 1  t   2
dx
2t
 2

 
dt   
dt   
 2  dt  2ln 1  t  2t  C
1 t
1 t

2x
 1 t


Với x   2  t  2 suy ra
F   2   1   2ln 1  t  2t  C 

t 2

 1  2ln 3  4  C  1  C  3  2ln 3  0,8

Chọn C.
Câu 14.
Hướng dẫn giải chi tiết

8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!


Đặt t  ln x  dt 

ln x  2
t 2
3 
dx

dx  
dt   1 
, khi đó F  x   
 dt

x  ln x  1
t 1
x
 t 1 

 t  3ln t  1  C  ln x  3ln ln x  1  C
 F  x   ln x  3ln ln x  1  C.
Khi đó F  e   1  3ln 2  C và F 1  C suy ra F  e   F 1  1  3ln 2  1, 08
Chọn A.
Câu 15.
Hướng dẫn giải chi tiết

dx
e x dx

.
Ta có I   f  x  dx   x
e  1  e x  e x  1
Đặt t  e x  dt  e x dx.
Khi đó I  

t   t  1
dt
t 1
ex 1
 1 1

dt   
  dt  ln
 C  ln x  C.

t  t  1
t  t  1
t
e
 t 1 t 

Chọn B.
Câu 16.
Hướng dẫn giải chi tiết
x 2 1  2e x   e x
x 2  e x  2x 2e x
ex
2
dx

dx

x
dx

Ta có 
 1  2ex

 2ex  1 dx
1  2e x
x
a  3
x 3 1 d  2e  1 x 3 1
x3


x
x
  .
  .ln 2e  1  C   b ln 2e  1  C  
1.
x
3 2
2e  1
3 2
a
b


2
1
1
P  3  2.  4.3.  3  1  6  10
2
2

Chọn C.
Câu 17.
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có f  x  

x sin x  cos x  x cos x
x cos x
 1
.
x sin x  cos x

x sin x  cos x

9 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!


Khi đó



x cos x



x cos x

 f  x  dx   1  x sin x  cos x  dx   dx   x sin x  cos x dx.

Đặt t  x sin x  cos x  dt   x sin x cos x 'dx  sin x x cos x sin x dx cos
x x dx.
Suy ra

x cos x

 x sin x  cos x dx  

dt
 ln t  C  ln x sin x  cos x  C.
t


Do đó

F  x    f  x  dx  x  ln x sin x  cos x  C.

 F  0   C  1  F  x   x  ln x sin x  cos x  1.

 
 F     ln  1.
2
2 2
Chọn D.
Câu 18.
Hướng dẫn giải chi tiết
Đặt t  2  ln x  t2  2  ln x  2t dt 

Khi đó

dx
dx
và ln x  t 2  2
 t dt 
x
2x

ln x 2  ln x
t 5 2t 3
2
2
4
2

dx

t
t

2
dt

t

2t
dt


 C.







2x
5
3

Suy ra F  t  

t 5 2t 3
1 2

7  1 

 F 1        ;0  .
5 3
5 3
15  2 

Chọn A.
Câu 19.
Hướng dẫn giải chi tiết
Đặt t  1  x  t2  1  x  dx  2t dt và x  t 2  1.

2t  t 2  1
x
2t 3 2
dx  
dt  2 t  t  1 dt  2  t 2  t  dt 
 t  C.
Khi đó 
t 1
3
1 1 x
Chọn B.
Câu 20.
Hướng dẫn giải chi tiết
Đặt x  sin t  dx  cos t dt và 1  x 2  1  sin 2 t  cos t.
10 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!



Khi đó :

 f  x  dx  

1  2sin t.cos t.cos t dt   sin 2 t  2sin t cos t  cos 2 t.cos t dt   sin t  cos t .cos t dt



2
2
 
Ta có : x  0;   t  0;
  sin t  cos t t  0;
  sin t  cos t  0
 4
 2 
 2 





 F  x     cos t  sin t  .cos t dt   cos 2 t  sin t.cos t dt.
1  cos 2t
1
dt   sin 2t dt 
2
2
t sin 2 t  cos 2 t
 

C
2
4
Chọn B.


1  sin 2t  1 cos 2t
C
t 

2
2  2 2

11 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!