BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

PHẠM VĂN VIỆT

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

PHẠM VĂN VIỆT

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN HÌNH

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: TS. ĐÀO VĂN DƯƠNG

Bình Định - Năm 2017

i

Mục lục

MỞ ĐẦU

1

1 MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN TRONG MẶT
PHẲNG

3

1.1

Phép biến hình

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10


1.4

Phép đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5

Phép đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6

Phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7

Phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.8

Phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH

47

2.1

Ứng dụng của phép biến hình vào bài toán quỹ tích . . . . . 47

2.2


Ứng dụng của phép biến hình vào bài toán dựng hình . . . 58

2.3

Ứng dụng của phép biến hình vào bài toán cực trị hình học

73

KẾT LUẬN

86

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

87


1

MỞ ĐẦU

Trong chương trình toán phổ thông, môn hình học luôn thu hút nhiều
sự quan tâm của cả giáo viên và học sinh yêu toán bởi tính đa dạng, độc
đáo trong từng lời giải của chúng. Một trong những vấn đề thường hay
gặp trong hình học sơ cấp mà gây khó khăn cho người học là các bài toán
sử dụng phép biến đổi hình học để giải, cụ thể như: Những bài toán chứng
minh tính chất hình học sử dụng phép biến hình hoặc ứng dụng phép biến
hình vào bài toán quỹ tích, dựng hình, cực trị hình học... Đây cũng là nội
dung thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp.

Để giải quyết những bài toán này, đầu tiên chúng ta phải nắm vững các
kiến thức cơ bản về các phép biến hình và mối liên hệ giữa các phép biến
đổi hình học này. Từ đó mới có thể áp dụng vào việc giải một số bài toán
có liên quan phép biến hình. Trong chương trình hình học ở bậc THPT,
nội dung kiến thức về các phép biến hình rất đơn giản dễ hiểu bởi vì nó
có tính thực tế nên học sinh dễ tưởng tượng và nắm bắt được. Tuy nhiên
việc áp dụng phép biến hình vào giải toán là một vấn đề không dễ làm,
học sinh thường lúng túng và gặp nhiều khó khăn. Với ý nghĩa đó, chúng
tôi chọn đề tài "Giải một số bài toán hình học phẳng bằng phương pháp
biến hình" để tìm hiểu ứng dụng của các phép biến hình vào một số bài
toán quỹ tích, bài toán dựng hình, bài toán cực trị trong hình học phẳng.


2

Nội dung của luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Một số phép biến hình cơ bản trong mặt phẳng.
Chương này chúng tôi trình bày các phép biến hình cơ bản trong mặt
phẳng một cách có hệ thống, cơ sở lí thuyết của các phép biến đổi đó được
trình bày rõ ràng và kèm theo một số ví dụ minh họa.
Chương 2. Một số ứng dụng của phép biến hình
Chương này nghiên cứu ba ứng dụng quan trọng của phép biến hình,
đó là: Ứng dụng của phép biến hình vào bài toán quỹ tích, vào bài toán
dựng hình và vào bài toán cực trị hình học.
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của
thầy hướng dẫn TS. Đào Văn Dương, Trường Đại học Xây Dựng Miền
Trung. Nhân dịp này chúng tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn
sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn. Chúng tôi xin cảm ơn thầy TS. Nguyễn Thái Hòa đã
có nhiều góp ý trong việc chọn lựa tên đề tài và nội dung đề tài. Chúng tôi

cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn,
Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán cùng quý thầy cô giáo giảng dạy
lớp cao học Phương Pháp Toán Sơ Cấp khóa 18 đã tạo điều kiện thuận lợi
cho chúng tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.
Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản
thân, nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận
được những góp ý của quý thầy cô giáo để luận văn được hoàn thiện hơn.
Bình Định, ngày 20 tháng 06 năm 2017
Tác giả
Phạm Văn Việt


3

Chương 1
MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH
CƠ BẢN TRONG MẶT PHẲNG

Trong chương này chúng tôi trình bày một số phép biến hình cơ bản
trong mặt phẳng. Các phép biến hình đều được trình bày có hệ thống từ
phép biến hình tổng quát đến phép dời hình, các phép dời hình cơ bản,
phép vị tự và phép nghịch đảo. Mỗi phép biến hình đều được định nghĩa,
sắp xếp các tính chất thông qua các định lí và một số ví dụ minh họa. Tất
cả các định lí nêu ra được chúng tôi trình bày chi tiết phép chứng minh.
Nội dung chương này chúng tôi tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3], [4],
[5], [6], [8].

1.1

Phép biến hình


Định nghĩa 1.1.1. Phép biến hình f (trong mặt phẳng) là một quy tắc
với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M
thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình
đó và được viết M = f (M ).
Từ định nghĩa ta suy ra phép biến hình f là một ánh xạ từ mặt phẳng


4

P vào chính nó. Nếu f là một song ánh thì ta nói f là một phép biến đổi
1 − 1.
Nhận xét. Nếu thực hiện liên tiếp một số hữu hạn các phép biến hình ta
cũng thu được một phép biến hình. Hay nói cách khác, tích hữu hạn của
các phép biến hình là một phép biến hình.
Nếu phép biến hình f biến điểm M thành chính nó thì ta gọi M là điểm
bất động đối với phép biến hình f . Phép biến hình f mà mọi điểm trong
mặt phẳng đều là điểm bất động được gọi là phép đồng nhất và kí hiệu là

Id.
Ví dụ 1.1.2. Trong mặt phẳng, cho một điểm O cố định.Với mỗi điểm

M = O, ta có điểm M đối xứng với M qua O, điều này cũng có nghĩa
−−→
−−→
là M hoàn toàn được xác định bởi hệ thức véc tơ OM = −OM . Nếu M
trùng với O thì ta lấy M ≡ O.
Rõ ràng ánh xạ f : P → P biến điểm M thành điểm M xác định như
trên là một phép biến hình trong mặt phẳng. Ta gọi f là phép đối xứng
tâm O trong mặt phẳng P .

Ví dụ 1.1.3. Gọi A0 , B0 , C0 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA
và AB của một

ABC cho trước trong mặt phẳng P . Với mỗi điểm M

trong mặt phẳng P , ta lấy lần lượt các điểm A , B , C đối xứng với M
theo thứ tự qua A0 , B0 , C0 . Chứng tỏ rằng các đường thẳng AA , BB , CC
đồng quy tại một điểm M nào đó và ánh xạ f : M → M từ mặt phẳng
vào chính nó là một phép biến hình trong mặt phẳng .
Thật vậy, từ giả thiết ta suy ra điểm M là đỉnh chung thứ tư của
ba hình bình hành BA CM, CB AM, AC BM. Từ đó suy ra các tứ giác

BCB C , CAC A , ABA B đều là những hình bình hành và mỗi hình này


5

nhận hai trong ba đoạn thẳng AA , BB , CC làm các đường chéo. Do đó
ba đoạn thẳng AA , BB , CC đồng quy tại điểm M là trung điểm của
các đoạn AA , BB , CC .

Như vậy, với mỗi điểm M trong mặt phẳng P ta đã chỉ ra một quy tắc

f xác định biến M thành M như trên.
Vậy f : M → M là một phép biến hình trong mặt phẳng.
Hơn nữa, ta cũng có thể chứng minh được f là một phép biến đổi 1 − 1.

1.2

Phép dời hình


Định nghĩa 1.2.1. Phép dời hình là một phép biến hình không làm thay
đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì, nghĩa là nếu M = f (M ), N =

f (N ), với M, N là hai điểm bất kì, thì M N = M N .
Từ định nghĩa, ta dễ dàng suy ra phép đồng nhất, phép biến hình đảo
ngược của một phép dời hình đều là những phép dời hình.
Định lý 1.2.2. Phép dời hình bảo toàn sự thẳng hàng của ba điểm và thứ
tự của chúng.


6

Chứng minh. Giả sử phép dời hình f biến ba điểm thẳng hàng A, B, C
theo thứ tự thành ba điểm A , B , C . Khi đó, ta có

A B = AB, B C = BC, A C = AC.
Nếu A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C thì

AB + BC = AC.
Do đó, ta cũng có A B + B C = A C , tức là A , B , C thẳng hàng và B
nằm giữa A và C .
Hệ quả 1.2.3. Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường
thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn
thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một
góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn có
cùng bán kính.
Định lý 1.2.4. Tích (thực hiện liên tiếp) của hai phép dời hình là một
phép dời hình.
Chứng minh. Giả sử f, g là hai phép dời hình; A, B là hai điểm bất kỳ và


f (A) = A , g(A ) = A , f (B) = B , g(B ) = B . Vì f, g là hai phép dời
hình nên ta có AB = A B , A B = A B . Như vậy phép biến hình g◦ f đã
biến A thành A , biến B thành B và thỏa mãn AB = A B . Do đó g◦ f
là một phép dời hình.
Hệ quả 1.2.5. Tích của n (n ∈ N ∗ ) phép dời hình là một phép dời hình.
Định lý 1.2.6. Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp.


7

Chứng minh. Giả sử f, g, h là các phép dời hình. Ta cần chứng minh

(h◦ g)◦ f = h◦ (g◦ f ).
Thậy vậy, giả sử f (M ) = M , g(M ) = M , h(M ) = M , với M là
điểm bất kì trong mặt phẳng. Ta có h◦ g là phép dời hình biến M thành

M (theo Định lý 1.2.4). Do đó (h◦ g)◦ f biến M thành M . Mặt khác g◦ f
là phép dời hình biến M thành M nên h◦ (g◦ f ) biến M thành M .Vậy

(h◦ g)◦ f = h◦ (g◦ f ).
Định lý 1.2.7. Một phép dời hình trong mặt phẳng có ba điểm bất động
không thẳng hàng là phép đồng nhất.
Chứng minh. Giả sử f là một phép dời hình phẳng có ba điểm bất động
không thẳng hàng A, B, C.
Ta có A ≡ A = f (A), B ≡ B = f (B), C ≡ C = f (C). Do đó, bất kì
điểm nào trên các đường thẳng AB, BC, CA đều là điểm bất động. Từ đó
suy ra mọi điểm M trong mặt phẳng (ABC) đều là điểm bất động, và do
đó f = Id.
Nhận xét . Một phép dời hình f, f = Id, thì hoặc không có điểm bất

động hoặc có một điểm bất động hoặc có một đường thẳng mà mọi điểm
của nó đều là điểm bất động, tức là có một đường thẳng cố định.
Định lý 1.2.8. Cho

ABC và

A B C là hai tam giác bằng nhau với

A B = AB, B C = BC, C A = CA. Khi đó tồn tại duy nhất một phép
dời hình f sao cho f (A) = A , f (B) = B , f (C) = C .
Chứng minh. • Trước hết ta chứng minh tồn tại.
Nếu A và A phân biệt và gọi
đó phép đối xứng qua trục

A B1 C1 .

1

biến

1

là đường trung trực cạnh AA’. Khi

ABC thành

A B1 C1 và

ABC =



8

Nếu B1 = B , ta gọi
2

2

là đường trung trực cạnh B1 B . Khi đó A ∈

( vì A B1 = A B ) và phép đối xứng trục

A B C2 . Do đó

A B C2 =

3

biến

A B1 C1 thành

ABC .

Tiếp tục, nếu C2 = C , ta gọi
phép đối xứng qua trục

2

biến


3

là đường trung trực cạnh C2 C , thì

A B C2 thành

ABC .

Như vậy, thực hiện liên tiếp ba phép đối xứng trục như trên ta được
một phép dời hình f biến

ABC thành

A B C và

ABC =

ABC ,

trong đó f (A) = A , f (B) = B , f (C) = C .
Chú ý. Nếu A ≡ A hoặc B1 ≡ B hoặc C2 ≡ C thì ta không sử dụng
các phép đối xứng trục

1

hoặc

2


hoặc

3.

• Chứng minh tính duy nhất .
Giả sử tồn tại hai phép dời hình f1 và f2 trong mặt phẳng cùng biến

ABC thành

A B C . Khi đó tích f2 −1 ◦ f1 cũng là một phép dời hình

biến các điểm A, B, C thành chính nó, tức là phép dời hình f2 −1 ◦ f1 có ba
điểm bất động. Theo định lý 1.2.7 suy ra f2 −1 ◦ f1 là một phép đồng nhất,
tức là f2 −1 ◦ f1 = Id. Do đó

f2 ◦ f2 −1 ◦ f1 = f2 ◦ Id = f2 .

(1)

Mặt khác, nhờ tính kết hợp của tích các phép dời hình ta lại có

f2 ◦ f2 −1 ◦ f1 = f2 ◦ f2 −1 ◦ f1 = Id ◦ f1 = f1 .

(2)

Từ (1) và (2) suy ra f1 = f2 . Vậy định lý được chứng minh xong.
Nhận xét. Một phép dời hình f có thể phân tích thành tích của không
quá ba phép đối xứng trục. Hay nói cách khác, một phép dời hình f nếu
không phải là phép đồng nhất thì hoặc là một phép đối xứng trục hoặc là
tích của hai phép đối xứng trục hoặc là tích của ba phép đối xứng trục.



9

Ví dụ 1.2.9. Hãy tìm những phép dời hình biến tam giác đều

ABC

thành chính nó.
Giải:

Các phép dời hình biến tam giác đều

ABC thành chính nó gồm :

• Phép đồng nhất Id (Có 1 phép ).
2π
4π
hoặc
(ta xét góc quay là
3
3
góc hình học không phải là góc lượng giác, có 2 phép).
• Phép quay tâm O với góc quay bằng

• Phép đối xứng trục qua các đường trung trực của
Vậy có tất cả 6 phép dời hình biến tam giác đều

ABC (có 3 phép).


ABC thành chính nó.

Ví dụ 1.2.10. (SGK hình học 11 Nâng cao). Trong mặt phẳng Oxy, với

α, a, b là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm M (x, y)
thành điểm M (x , y ), trong đó

 x = xcosα − ysinα + a
 y = xsinα + ycosα + b.
Chứng tỏ rằng F là một phép dời hình.
Giải.
Gọi M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) lần lượt là ảnh của M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) qua
phép biến hình F.


10

Ta có M N =

MN =

(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 và

(x1 − x2 )2 + (y1 + y2 )2

=

[(x1 − x2 ) cos α − (y1 − y2 ) sin α]2 + [(x1 − x2 ) sin α + (y1 − y2 )cosα]2

=


(x1 − x2 )2 cos2 α + (y1 − y2 )2 sin2 α + (x1 − x2 )2 sin2 α + (y1 − y2 )2 cos2 α

=

(x1 − x2 )2 (cos2 α + sin2 α) + (y1 − y2 )2 (sin2 α + cos2 α)

=

(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .

Suy ra M N = M N . Điều này chứng tỏ F là một phép dời hình.

1.3

Phép tịnh tiến

Định nghĩa 1.3.1. Phép tịnh tiến theo vectơ u là một phép biến hình
−−−→
biến điểm M thành điểm M’ sao cho M M = u.

Ta kí hiệu phép tịnh tiến theo vectơ u là Tu , vectơ u được gọi là vectơ tịnh
tiến.
Nhận xét. Nếu u = 0 thì Tu = Id là phép đồng nhất, còn nếu u = 0 thì

Tu không có điểm bất động.
Định lý 1.3.2. Phép tịnh tiến là một phép dời hình.
Chứng minh. Giả sử Tu (M ) = M và Tu (N ) = N , với M, N là hai điểm
phân biệt bất kỳ trong mặt phẳng.



11

−−−→ −−→
Ta có M M = N N = u. Suy ra
−−→ −−−→ −−−→ −−→ −−−→ −−−→
M N = M M + M N = N N + M N = M N ⇒ M N = M N.
Vậy phép tịnh tiến Tu là một phép dời hình.
Hệ quả 1.3.3.
(i) Phép tịnh tiến có đầy đủ các tính chất của một phép dời hình.
(ii) Phép tịnh tiến theo vectơ u biến đường thẳng d thành dường thẳng d’,
với :

• d //d nếu d không cùng phương với giá của u.
• d ≡ d nếu d cùng phương với giá của u.
(iii) Nếu một phép biến hình biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm
−−−→ −−→
M , N sao cho M N = M N thì phép biến hình đó là một phép tịnh
−−−→ −−→
tiến theo vectơ u, với u = M M = N N .
Định lý 1.3.4. Tích của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến.
Chứng minh. Giả sử Tu , Tv là hai phép tịnh tiến và T = Tu ◦ Tv là tích
của Tu , Tv .


12

Với M là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Ta có

−−−→

−−−−→
Tv (M ) = M ⇔ M M = v, Tu (M ) = M ⇔ M M = u.
Do đó

−−−→
T (M ) = (Tu ◦ Tv ) (M ) = Tu (M ) = M ⇔ M M = v + u.
Vậy T là phép tịnh tiến theo vectơ v + u.
Hệ quả 1.3.5. Tích của n (n ∈ N ∗ ) phép tịnh tiến cũng là một phép tịnh
tiến.
Ví dụ 1.3.6. Cho

ABC . Khảo sát tích của các phép tịnh tiến
→ ◦ T−−→ ◦ T−−→ .
T−
AC
BA
CB

Giải.
Vì tích các phép tịnh tiến có tính kết hợp và Tu ◦ Tv = Tu+v , cho nên
→ ◦ T−−→ ◦ T−−→ = (T−→ ◦ T−−→ ) ◦ T−−→ = T−→ −−→ ◦ T−−→ = T−→ −−→ −−→
T−
AC
BA
CB
AC
BA
CB
AC+BA
CB

AC+BA+CB

= T0 = Id.
→ ◦ T−−→ ◦ T−−→ là một phép biến đổi đồng nhất trong mặt phẳng.
Vậy T−
AC
BA
CB

Nhận xét. Một phép tịnh tiến có thể phân tích thành tích của một số
hữu hạn phép tịnh tiến, sự phân tích này tùy thuộc vào sự phân tích một
vectơ thành tổng các vectơ.


13

Ví dụ 1.3.7. Cho hai đường tròn cùng bán kính R tiếp xúc với nhau tại
điểm K . Trên một đường tròn ta lấy điểm A, trên đường tròn kia ta lấy
điểm B sao cho AKB = 900 . Chứng minh rằng độ dài AB = 2R.
Giải.

Giả sử (O) và (O ) là hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vì (O)
−→ ((O)) = (O ). Gọi B = T−−→ (A),
và (O ) có cùng bán kính nên ta có T−
OO
OO

ta có AB = OO = 2R và

AK 2 + B K 2

= (OA2 +OK 2 −2OA.OK.cosAOK)+(O B 2 +O K 2 −2O B .O K.cosB O K)
= (R2 + R2 − 2R2 cosAOK) + (R2 + R2 + 2R2 cosAOK) = 4R2 = AB 2
(vì hai góc AOK và B O K bù nhau).
Do đó AKB = 900 , hay B ≡ B . Vậy AB = 2R.
Ví dụ 1.3.8. Cho

ABC . Một điểm M nằm trong tam giác, chuyển động

song song với cạnh BC cho đến khi cắt cạnh CA, sau đó song song với

AB cho đến khi cắt cạnh BC , rồi song song với AC cho đến khi cắt AB ,...
Chứng minh rằng sau một số bước hữu hạn quỹ đạo chuyển động của điểm

M sẽ được khép kín.
Giải.


14

Kí hiệu các điểm liên tiếp của quỹ đạo chuyển động trên các cạnh của
tam giác là A1 , B1 , B2 , C2 , C3 , A3 , A4 , B4 .

Ta có
−−→ (∆A1 B1 C) = ∆AB2 C2 ;
T−
B1 B2
−−→ (∆AB2 C2 ) = ∆A3 BC3 ;
T−
C2 C3
−−→ (∆A3 BC3 ) = ∆A4 B4 C...

T−
A3 A4
−−→ (∆A3 BC3 ) = ∆A1 B1 C . Do đó A4 ≡ A1 , tức là sau 7 bước
Nhưng vì T−
A A
1

3

quỹ đạo sẽ khép kín. Lưu ý rằng quỹ đạo này cũng có thể khép kín sớm
hơn tùy thuộc vào vị trí của điểm M ban đầu.

1.4

Phép đối xứng trục

Định nghĩa 1.4.1. Phép đối xứng qua đường thẳng d là một phép biến
hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho đường thẳng d là đường
trung trực của đoạn thẳng M M . Phép biến hình như vậy được gọi là phép
đối xứng trục d, kí hiệu là Đd và đường thẳng d gọi là trục đối xứng. Khi
đó ta viết Đd (M ) = M .


15

Nếu một hình biến thành chính nó qua phép đối xứng trục d thì d được
gọi là trục đối xứng của hình đó.
Nhận xét.
(i) Nếu Đd (M ) = M thì Đd (M ) = M.
(ii) Nếu M ∈ d thì Đd (M ) = M.

(iii) Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thành
chính nó.
(iv) Phép đối xứng trục hoàn toàn được xác định nếu cho biết trục đối
xứng của nó.
Định lý 1.4.2. Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
Chứng minh. Giả sử Đd (M ) = M , Đd (N ) = N , với M, N là hai điểm
tùy ý trong mặt phẳng và H, K lần lượt là giao điểm của M M , N N với
trục d.

Ta có

−−→ −−→ −−→ −−→
M N = M H + HK + KN
−−→
−−→ −−→
⇒ M N 2 = M N 2 = M H 2 + HK 2 + KN 2 + 2M H.KN
−−→ −−→ −−→ −−→
(vì M H.HK = HK.KN = 0).
−−−→
−−−→ −−→
Tương tự M N 2 = M N 2 = M H 2 + HK 2 + KN 2 + 2M H.KN


16

−−→
−−→
= M H 2 + HK 2 + KN 2 + 2 −M H . −KN = M N 2 .
Suy ra M N = M N . Vậy phép đối xứng trục là một phép dời hình.
Chú ý. Một phép dời hình f có thể phân tích thành tích của không quá

ba phép đối xứng trục.
Định lý 1.4.3.
(i) Cho hai đường thẳng d1 , d2 song song với nhau. Khi đó Đd2 ◦Đd1 =

T2a , với Ta là phép tịnh tiến biến d1 thành d2 và a có giá vuông góc
với d1 .
(ii) Cho hai đường thẳng d1 , d2 và d3 = Đd1 (d2 ). Khi đó Đd1 ◦Đd2 ◦Đd1 =Đd3
Chứng minh.
(i) Lấy M là điểm bất kì trong mặt phẳng và gọi M1 =Đd1 (M ),

M2 =Đd2 (M1 ), H = M M1 ∩ d1 , K = M1 M2 ∩ d2 .

Vì d1 //d2 nên ba điểm M, M1 , M2 thẳng hàng và

−−−→ −−−→ −−−→
−−−→
−−−→
−−→
M M2 = M M1 + M1 M2 = 2HM1 + 2M1 K = 2HK = 2a.
Vậy Đd2 ◦Đd1 = T2a .
(ii)


17

Nếu hai điểm X, Y đối xứng nhau qua d3 thì các điểm Đd1 (X) và Đd1 (Y )
đối xứng nhau qua d2 (vì d3 =Đd1 (d2 ), tức là Đd1 (X) =(Đd2 ◦Đd1 )(Y ). Do
đó Đd1 ◦Đd3 =Đd2 ◦Đd1 . Suy ra Đd1 ◦Đd2 ◦Đd1 =Đd3 .
Ví dụ 1.4.4. Cho hai đường tròn đồng tâm O. Một đường tròn tâm O
cắt đường tròn nhỏ tại hai điểm A, B và cắt đường tròn lớn tại hai điểm


C, D. Chứng minh rằng nếu đường thẳng AD đi qua tâm O thì đường
thẳng BC cũng đi qua tâm O.
Giải

Ta có OO là đường nối tâm của hai đường tròn, nên OO là đường trung
trực của các đoạn AB và CD. Suy ra B =ĐOO (A), C =ĐOO (D), tức là

BC là ảnh của AD qua phép đối xứng trục OO . Vì vậy nếu đường thẳng
AD cắt trục đối xứng OO tại O thì BC cũng cắt trục đó tại O.


18

Ví dụ 1.4.5. Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng

1
SABCD ≤ (AB.CD + BC.AD).
2
Giải.

Gọi D là ảnh của D qua đường trung trực d của cạnh AC . Khi đó

ACD =

CAD. Do đó

SABCD = SABCD = S∆BAD + S∆BCD ≤ 21 AB.AD + 12 CB.CD
= 12 (AB.CD + BC.AD)


.

Nhận xét. Đẳng thức trong biểu thức trên xảy ra khi và chỉ khi tứ giác
lồi đó là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn và có hai đường chéo
vuông góc.
Ví dụ 1.4.6. (Vô địch toán Max-cơ-va lần thứ XIX) Cho tam giác

ABC

nội tiếp trong đường tròn (O). Đường phân giác trong của góc BAC cắt
đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng AB + AC < 2AD.
Giải. Gọi M là trung điểm của cạnh AB và O là tâm đường tròn ngoại
tiếp

ABC . Phép đối xứng trục OM biến A thành B , biến D thành D .


19

Ta có

AD = BD , BD = DC = AD .
Suy ra

ADC =

DAD ⇒ DD = AC.

Xét hình thang cân ABDD , ta có AD + BD > AB + DD (vì tổng hai
đường chéo luôn lớn hơn tổng hai cạnh đáy). Từ đó suy ra


AB + AC < 2AD.

1.5

Phép đối xứng tâm

Định nghĩa 1.5.1. Trong mặt phẳng, cho điểm A cố định, phép biến hình
biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho A là trung điểm của đoạn M M
gọi là phép đối xứng tâm A và kí hiệu ĐA . Điểm A gọi là tâm đối xứng.

Khi đó ta viết ĐA (M ) = M .
Nếu một hình biến thành chính nó qua phép đối xứng tâm A thì A được


20

gọi là tâm đối xứng của hình đó.
Nhận xét. Từ định nghĩa 1.5.1, chúng ta có một số tính chất đơn giản
như sau:

• ĐA (A) = A, hay nói cách khác A là điểm bất động của phép đối xứng
tâm A và A là điểm bất động duy nhất của ĐA .

• Nếu ĐA (M ) = M thì ĐA (M ) = M. Suy ra tích của một phép đối xứng
tâm với chính nó là một phép đồng nhất.

• Một phép đối xứng tâm hoàn toàn được xác định nếu cho biết tâm đối
xứng của nó.
Định lý 1.5.2. Phép đối xứng tâm A là một phép dời hình.

Chứng minh. Giả sử ĐA (M ) = M và ĐA (N ) = N , với M, N là hai điểm
bất kỳ trong mặt phẳng.

Ta có

−−→ −−→
−−→
−−→
AM = −AM , AN = −AN .
Suy ra

−−→
−−→ −−→ −−−→
−−→ −−→ −−→ −−−→
M N = AN − AM = −AN − (−AM ) = AM − AN = N M .
Do đó

−−−→
−−→
|M N | = |N M |,
hay M N = M N . Vậy phép đối xứng tâm A là một phép dời hình.


21

Nhận xét. Vì phép đối xứng tâm là một phép dời hình nên nó có đầy đủ
các tính chất của một phép dời hình.
Hệ quả 1.5.3. Phép đối xứng tâm A biến đường thẳng qua tâm A thành
chính nó, biến một đường thẳng không đi qua tâm thành đường thẳng song
song với nó, biến một véctơ thành một véctơ đối của nó.

Ví dụ 1.5.4. Cho tam giác

ABC. Chứng minh rằng, nếu

ABC có

một đường trung tuyến mà cũng là đường phân giác thì tam giác ABC
cân.
Giải.

Giả sử

ABC có đường trung tuyến BD cũng là đường phân giác. Gọi

B =ĐD (B). Vì D là trung điểm của đoạn AC nên tứ giác ABCB là hình
bình hành. Suy ra DBC = DB A. Ta lại có BD là đường phân giác nên

ABD = DBC. Tù đó suy ra ABD = DB A, hay
đó AB = AB = BC. Vậy

ABB cân tại A. Do

ABC cân tại B.

Ví dụ 1.5.5. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M . Qua các điểm

A, B, C, D kẻ các đường thẳng song song với các đường thẳng M C, M D,


22


M A, M B tương ứng. Chứng minh rằng các đường thẳng này đồng quy tại
một điểm đối xứng với điểm M qua tâm đối xứng O của hình bình hành

ABCD.
Giải.

Qua phép đối xứng tâm O, các điểm A, B, C, D lần lượt biến thành
các điểm C, D, A, B. Do tính chất của phép đối xứng tâm nên đường
thẳng AM biến thành đường thẳng Cz đi qua C và song song với AM
qua ĐO . Như vậy, qua ĐO các đường thẳng AM, BM, CM, DM lần lượt
sẽ biến thành các đường thẳng Cz, Dt, Ax, By lần lượt song song với
các đường thẳng AM, BM, CM, DM tương ứng. Vì bốn đường thẳng

AM, BM, CM, DM đồng quy tại điểm M nên bốn đường thẳng Cz, Dt,
Ax, By cũng đồng quy tại điểm M đối xứng với M qua O.
Nhận xét. Với bài toán này, chúng ta cũng có thể phát triển các bài toán
khác có cách suy luận tương tự. Chẳng hạn ta có hai bài toán sau:
Bài toán 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn cho
trước. Từ M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA
ta vẽ các đường thẳng vuông góc với các cạnh đối diện tương ứng. Chứng
minh rằng các đường thẳng đó đồng quy.
Bài toán 2. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình bình hành ABCD
lấy các điểm A1 , B1 , C1 , D1 sao cho tứ giác A1 B1 C1 D1 cũng là hình bình