TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ

Sinh viên thực hiện
Giảng viên hướng dẫn

Nguyễn Văn Nhân

PGS TS. Nguyễn Phú Lộc

Mssv: B1300407
Lớp: Sư phạm Toán K39

Cần Thơ - 2017


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này ngoài sự nỗ lực của bản thân em cần phải trang bị
đầy đủ những kiến thức cần thiết và sự giúp đỡ của thầy cô trong quá trình nghiên cứu.
Đầu tiên em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy Nguyễn Phú Lộc, người đã
tận tình chỉ dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn này. Và cũng chính thầy là người
cho em thêm động lực hoàn thành luận văn.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Khoa Sư phạm, thầy cô Bộ môn Sư
phạm Toán học đã tận tình dạy dỗ, trang bị cho em những kiến thức cần thiết trong suốt

bốn năm đại học. Cuối cùng, em xin gửi đến quý thầy cô Khoa Sư phạm nói chung và
quý thầy cô Bộ môn Sư phạm Toán học nói riêng lời chúc sức khỏe, thành công trong sự
nghiệp cũng như trong cuộc sống.
Cần Thơ, ngày tháng năm 2017
Sinh viên thực hiện



PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đứng trước sự phát triển và đi lên của đất nước đòi hỏi ngành giáo dục phải đổi
mới và nâng cao chất lượng dạy và học . Giáo dục phải tạo nên những con người năng
động, sáng tạo có năng lực làm chủ vấn đề và giải quyết vấn đề. Trong đó toán học có
vai trò rất quan trọng trong ngành giáo dục. “Dù các bạn phục vụ ngành nào, trong
công tác nào thì các kiến thức và phương pháp toán học cũng cần cho các bạn” (Phạm
Văn Đồng). Hơn thế khi học giỏi toán sẽ giúp cho tư duy học sinh trở nên nhạy bén và
cách hệ thống kiến thức của học sinh logic, chặt chẽ và mạch lạc hơn. Giúp học sinh
thu nhận tri thức một cách khoa học biến nó trở thành của bản thân và có thể vận dụng
chúng một cách linh hoạt và hiệu quả hơn trong đời sống.
Bài tập toán cũng là một phần rất quan trọng trong việc giảng dạy môn toán.
Trong quá trình giải bài tập bắt buộc học sinh phải vận dụng các định nghĩa, tính chất,
khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp,… đã được học để có thể phân tích, nhận
dạng và vận dụng các kiến thực và kĩ năng một cách hợp lý bằng hoạt động tri thức
phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến, các thao tác tư duy cơ bản, … để hoàn thành
việc giải bài tập toán.
Song thực trạng dạy học hiện nay, còn tồn tại nhiều vấn đề dẫn đến việc không
ít học sinh tỏ ra chán nản và không có hứng thú trong việc học toán dẫn đến học lực
toán yếu kém mất căn bản, ngồi nhằm lớp, không có khả năng vận dụng kiến thức kĩ
năng vào việc giải các dạng bài tập toán cơ bản, yếu kĩ năng tính toán…. Đây là mối
lo ngại cho nhiều Trường Trung học cơ sở (THCS) và Trường Trung học phổ thông

(THPT) nói chung, làm ảnh hưởng đến chất lượng giáo dục và đào tạo của nhà trường.
Ở chương trình Toán trung học phổ thông, ngoài các dạng toán về khảo sát hàm
số, đồ thị, giới hạn, đạo hàm, tích phân, lượng giác, phương trình vô tỉ,…. Thì các bài
tập về phương trình mũ và bất phương trình mũ sẽ theo học sinh trong suốt các kì thi
từ học kì, kì thi tốt nghiệp và kì thi tuyển siunh đại học, cao đẳng,… Tuy nhiên việc
giải toán các bài toán về phương trình mũ và bất phương trình mũ yêu cầu học sinh
phải nắm vững nhiều kiến thức cơ bản về mũ lũy thừa và hàm số mũ,… Và vận dụng
4


chúng một cách linh hoạt. Vì vậy người giáo viên cần xây dựng những biện pháp phù
hợp có thể giúp hợp sinh nắm vững các kiến thức cơ bản, các dạng phương trình mũ
và bất phương trình mũ cơ bản, dưa ra nhiều ví dụ và phương pháp giải phù hợp giúp
học sinh giải quyết bài toán một cahs dễ dàng. Từ đó, học sinh có lòng say mê, yêu
thích và học toán tốt hơn.
Do đó chúng tôi quyết định chọn đề tài “Dạy học hàm số mũ” để làm luận văn
tốt nghiệp. Thông qua đề tài tôi muốn xây đựng một hệ thống nội dung phương trình
và bất phương trình mũ một cách tổng quát , tổng hợp các dạng toán cũng như đưa ra
các dạng toán cụ thể. Mặt khác, việc nghiên cứu đề tài giúp tôi nắm vững kiến thức và
rút ra kinh nghiệm quý báu khi giảng dạy về sau.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm hệ thống hóa lại kiến thức và cách giải các dạng toán có liên
quan cũng như các dạng bài tập áp dụng kiến thức hàm số mũ từ đó đề xuất một số
biện pháo giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản và có kĩ năng giải toán phương
trình mũ và bất phương trình mũ, rèn luyện khả năng lập luận và tư duy logic.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trên cơ sở mục đích nghiên cứu, đề tài có các nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể sau:
- Tìm hiểu nội dung chương trình Toán Trung học phổ thông về hàm số mũ

- Tìm hiểu các dạng toán, cách giải về phương trình và bất phương trình mũ và
hệ thống chúng một cách hợp lý logic.
- Đề xuất một số biện pháp dạy học hiệu quả nội dung hàm số mũ, phương
trình và bất phương trình mũ ở trường phổ thông.
- Soạn một số giáo án giảng dạy kiến thức hàm số mũ, phương trình và bất
phương trình mũ.
- Khảo sát thực tiễn.

4. Đối tượng nghiên cứu
Hàm số mũ, phương trình, bất phương trình mũ trong chương trình Toán THCS
và Toán THPT.
5


5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu thuộc các lĩnh vực : Toán học,
phương pháp dạy học toán, giáo dục học, tâm lí học, các tài liệu và bài viết có liên
quan đến đề tài luận văn.
- Phân tích nội dung chương trình sách giáo khoa đại số lớp 6, lớp 7, giải tích
lớp 12 liên quan đến kiến thức mũ – lũy thừa dựa trên cơ sở Chuẩn kiến thức, kĩ năng
môn Toán.
- Phân loại và hệ thống hóa các dạng toán áp dụng kiến thức mũ – lũy thừa,
hàm số mũ dựa trên cơ sở Chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán.
- Khảo sát thực tiễn: Tổ chức khảo sát ở trường trung học phổ thông để xem xét
tính khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu.

6


PHẦN NỘI DUNG

Chương 1
KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1.1

Mũ – lũy thừa
Trong phần này, chúng tôi trình bày nội dung định nghĩa, tính chất mũ – lũy

thừa trong chương trình Toán THCS và chương trình Toán THPT và tổng hợp một số
dạng toán và phương pháp thường gặp.

1.1.1

Định nghĩa, tính chất mũ – lũy thừa trong

chương trình Toán THCS
a) Lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ tự nhiên ( Toán lớp 6 tập 1)
• Định nghĩa
Theo ([1], trang 26) Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi
thừa số bằng a :
a n = a14.a2.....
43a

n ≠0

n

Trong đó a là cơ số n là số mũ
a1 = a

Quy ước:


a0 = 1

( a ≠ 0)

• Tính chất
Theo ([1], trang 27,29) Cho a là số tự nhiên và m,n là số tự nhiên lơn hơn 1 ta
có:
o

a m ×a n = a m+ n
a m : a n = a m −n

( a ≠ 0, m ≥ n )

o
b) Lũy thừa của số hữu tỉ với số mũ tự nhiên ( Toán lớp 7 tập 1)
7


• Định nghĩa
Theo ([2], trang 17) Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu

xn

, là tích của

n thừa số x (n là một số tự nhiên lớn hơn 1).

xn = 1

x4.x2.x...
43x ( x ∈ ¤ , n ∈ ¥ , n > 1)
n

x1 = x
x0 = 1

Quy ước:

( x ≠ 0)

Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng

a
( a, b ∈ ¢, b =/ 0 )
b

ta có:

}n
n
 a  a a a a.a...a a
=
×
×
×
×
=
=
 ÷

b b2 43b b{
.b...b b n
 b  14
n

n

b

• Tính chất
Theo ([2], trang 18) Cho x là số hữu tỉ và m,n là số tự nhiên lơn hơn 1 ta có:
o

x m ×x n = x m + n
x m : xn = x m−n

o

( x ≠ 0, m ≥ n )

(x )

m n

o

1.1.2

Các dạng toán mũ – lũy thừa trong chương trình


Toán THCS
a) Các dạng toán ở lớp 6
Dạng 1: Biểu diễn kết quả dưới dạng lũy thừa
• Phương pháp

8


a n = a14.a2.....
43a

n ≠0

n

Sử dụng định nghĩa

, tính chất

a m ×a n = a m +n

,

a m ×a n = a m+ n
• Ví dụ
Bài toán 1: Viết gọn các tích sau bằng cách dùng lũy thừa
a)
c)

5.5.5.5.5.5.5


b)

2.2.2.3.3.4

d)

a.a.a.a

e)
Giải :
a)

f)

5.5.5.5.5.5.5 = 57

2.2.2.3.3.4 = 2.2.2.3.3.2.2 = 2 .3

c)

a.a.a.a = a

100.10.10

a.a.b.b.b

b)
5


6.6.6.2.3

2

d)

6.6.6.2.3 = 2.3.2.3.2.3.2.3 = 24.34

100.10.10 = 10.10.10.10 = 10 4

a.a.b.b.b = a 2 .b3

4

e)
f)
Bài toán 2: Viết mỗi số sau về dạng bình phương của một số tự nhiên
a) 64
b) 169
c) 144
d) 25
Giải :
64 = 82

169 = 132

144 = 122

a)
b)

c)
Bài toán 3: Viết kết quả dưới dạng lũy thừa
23.24.27
x.x5
22.42
a)
b)
c)
6
3
x : x ( x ≠ 0)
712 : 7 4
210 : 27
e)
f)
g)
Giải :
23.24.27 = 23+ 4+7 = 214
a)
d)

a 3 .a 2 .a 5 = a 3+2+5 = a10

g)

10 −7

2 :2 = 2
10


7

=2

b)
e)

x.x5 = x1+5 = x6

6−1

a n = a14.a2.....
43a

n ≠0

h)

a :a = a

=a

d)
h)

c)

712 : 7 4 = 712− 4 = 78
6


3

d)

f)

25 = 52

a 3 .a 2 .a5
a6 : a ( a ≠ 0)

42.46 = 4 2+6 = 48

x 6 : x 3 = x 6 −3 = x 3

5

Dạng 2. Tính giá trị các lũy thừa
• Phương pháp
Sử dụng định nghĩa
• Ví dụ
Tính giá trị các lũy thừa sau

n

9


a)


23 , 25 , 2 6 , 28

b)

34 ,37 , 45 , 46

c)

52 ,54 ,55

d)

102 ,113 ,122

Giải
a)

23 = 2.2.2 = 8; 25 = 2.2.2.2.2 = 32;

26 = 2.2.2.2.2.2 = 64;28 = 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256

b)

34 = 3.3.3.3 = 81; 37 = 3.3.3.3.3.3.3 = 2187

45 = 4.4.4.4.4 = 1024;4 6 = 4.4.4.4.4.4 = 4096

c)
d)


52 = 5.5 = 25; 54 = 5.5.5.5 = 625; 55 = 5.5.5.5.5 = 625
10 2 = 10.10 = 100;113 = 11.11.11 = 1331;12 2 = 12.12 = 144

Dạng 3: So sánh
• Phương pháp
Thực hiện các phép tính rồi so sánh đáp án
• Ví dụ:
So sánh hai số sau
a)
c)

23
25

và
và

32

b)

52

d)

24
210

và
và


42

100

Giải
a) Ta có
b) Ta có

23 = 8

và

24 = 16

32 = 9

và

mà

42 = 16

9 > 8 ⇒ 32 > 23

suy ra

24 = 4 2

10



25 = 32

c) Ta có
d)

210 = 1024

và

và

52 = 25

100

suy ra

mà

32 > 25 ⇒ 25 > 52

210 > 100

Dạng 4: Biểu diễn một số tự nhiên dưới dạng tổng các lũy thừa của 10
• Ví dụ:
Viết các số tự nhiên sau dưới dạng tổng các lũy thừa của 10
2475; 64; 9; 987;


abcd

Giải

2475 = 2000 + 400 + 70 + 5 = 2.103 + 4.10 2 + 7.101 + 5.100
64 = 60 + 4 = 6.101 + 4.100
9 = 9.100
abcd = a.1000 + b.100 + c.10 + d = a.103 + b.10 2 + c.101 + d .100
b) Các dạng toán ở lớp 7
Dạng 1: Thực hiên các phép tính lũy thừa thông thường
• Phương pháp
Sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy lũy thừa để thực hiện
phép tính.
• Ví dụ
Bài toán 1: Thực hiện các phép tính sau
2

1)

 3
− ÷
 4

3

2)

 2
− ÷
 5


3

3)

 1
 −2 ÷
 4

11


Giải :
2

1)

3

9
 3
− ÷ =
 4  16

2)

3

8
 2

− ÷ = −
125
 5

 1  729
 −2 ÷ =
64
 4

3)

Bài toán 2: Thực hiện các phép tính sau

1)

4)

108.28

2)

42.43
210

5)

108 : 28

3)


5

 −6 
× ÷
 5 

5

10 −2560
 −6 
× ÷ = −28. =
3
3
 5 

 −10 

÷
 3 

4

63 + 3.62 + 33
−13

Giải :

1)

4)


108.28 = 208

2)

4 2.43
=1
210

5)

108 : 28 = 58

3)

 −10 

÷
 3 

4

63 + 3.6 2 + 33
= −33 = −27
−13

Bài toán 3: Thực hiện các phép tính sau
2

1)


5

3 1
 + ÷
7 2

2)
2

3)

 7 1
1 + − ÷
 4 4

3

4 3
. − ÷
5 4

3 5
 − ÷
4 6

3

4)


1 2
2: − ÷
2 3

Giải :
2

1)

 3 1  169
 + ÷ =
 7 2  196

5

2)

5

1
3 5  1 
 − ÷ = − ÷ = − 5
12
 4 6   12 

12


2


3)

 7 1
1 + − ÷
 4 4

3

2

4 3 5
. − ÷ =  ÷
5 4 2

3

3

1
 1 
. ÷ =
 20  1280

4)

1 2
2 :  − ÷ = −432
2 3

Dạng 2: So sánh

• Phương pháp
o Bước 1: Thực hiện đưa về cùng cơ số (đưa về cùng số mũ
m>n⇒a >a
m

n

o Bước 2: Nếu
o Bước 3: Kết luận
• Ví dụ

a>b⇒a >b
m

(

a > 0, b > 0

)

n

)

Tính và so sánh:

(2 )

2 3


1)

và

26

2)

37

và

92

3)

227

và

318

Giải :

(2 )

2 3

1)


=

26

2)

37 >  92

3)

2 27 < 318

Dạng 3: Tìm số chưa biết
• Phương pháp
o Bước 1: Nếu giá trị cần tìm là số mũ thực hiện đưa về cùng cơ số
Nếu giá trị cần tìm là cơ số thực hiện đưa về cùng số mũ
Nếu giá trị cần tìm không là cơ số và không là số mũ thực hiện
giải như những bài tìm x bình thường
o Bước 2: Tìm giá giá trị cần tìm
Tìm giá giá trị cần tìm

am = an ⇒ m = n

a m = bm ⇒ a = b

Tìm giá giá trị cần tìm (giải tìm x bình thường)
o Bước 3: Kết luận giá trị cần tìm
• Ví dụ
13



Bài toán 1: Tìm số n trong các biểu thức sau

1)

( −3 )

16
=2
2n

2)

n

81

= −27

3)

n10 = 45

Giải :
1)

n=3

2)


n=7

3)

n=2

Bài toán 2: Tìm x, biết:
3

1)

5

 −1  −1
x: ÷ =
2
 2 

2)

7

3
3
 ÷ .x =  ÷
4
4

Giải :
x=


1)

1.1.3

1
16

x=

2)

9
16

Định nghĩa, tính chất mũ – lũy thừa trong chương

trình Toán THPT
Trong chương trình Toán THPT, mũ – lũy thừa được giảng dạy qua “Chương
II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit” trong Giải tích 12.
Trong phần này chúng tôi trình những định nghĩa tính chất của mũ lũy thừa
trong Giải tích 12 – cơ bản và trong Giải tích 12 – nâng cao.
a) Lũy thừa với số mũ nguyên ( Giải tích 12)
• Định nghĩa
Trong sách giáo khoa Giải tích 12 – cơ bản lũy thừa với số mũ nguyên được
định nghĩa như sau:
Theo ([3], trang 49) Cho n là một số nguyên dương.
Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a
a n = a14.a2.....
43a

n

14


Với

a≠0
a0 = 1
1
an

a −n =

Trong biểu thức
−10

1
 ÷
3
Ví dụ:

=

an

, ta gọi a là cơ số, số nguyên n là số mũ.

1
10


1
 ÷
 3

= 310
2−5 =
;

1
25

.

Trong sách giáo khoa Giải tích 12 – nâng cao lũy thừa với số mũ nguyên được
định nghĩa từ hai định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương và lũy thừa với số mũ
0 và số mũ nguyên âm như sau:
• Lũy thừa với số mũ nguyên dương
o Định nghĩa
Theo ([4], trang 69) Nhắc lại rằng với mỗi số nguyên dương n, lũy thừa bậc n
của một số a (còn gọi là lũy thừa của a với số mũ n) là số
a n = a14.a2.....
43a

an

xác định bởi

n >1


n

a1 = a

a được gọi là cơ số, n là được gọi là số mũ của lũy thừa

an

.

3

Ví dụ

8
2
,
 ÷ =
27 34 = 81
3

.

• Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm
o Định ngĩa
15


Theo ([4], trang 69) Với
n của a là


an

a ≠ 0, n = 0

hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc

được xác định bởi

a 0 = 1, a n =

( −3) −3 =
Ví dụ:

1

( −3)

=−

3

1
a−n
1
27

;

( − 2)


0

=1
([4], trang 69).

o Chú ý

00 0 n
 Các kí hiệu ,
(n nguyên âm) không có nghĩa.
1
an = −n
a≠0
a
 Với
và n nguyên, ta có
.
 Người ta thường dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên
để biểu thị các số rất lớn và những số rất bé.
• Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên
a ≠ 0, b ≠ 0
o Theo ([4], trang 70) Với
và các số nguyên m, n, ta có
m n
m+n
a .a = a

;
m

a
= a m −n
n
a

;

(a )

n

( ab )

n

m




= a mn
;
n

= a .b

n

;


n

an
a
 ÷ = n.
b
b


o Theo ([4], trang 71) cho m, n là những số nguyên. Khi đó
am > an
a >1
m>n
 Với
thì
khi và chỉ khi
;
m
n
a >a
0 < a <1
m Với
thì
khi và chỉ khi
.
0o Theo ([4], trang 71) Với
và m là số nguyên thì
16



a m < bm
m

a >b

khi và chỉ khi

m>0

;

m

m<0
khi và chỉ khi
.
a < b, n
o Theo ([4], trang 72) Với
là số tự nhiên lẻ thì


a n < bn
o Theo ([4], trang 72) Với a,b là những số dương, n là những số
nguyên khác 0 thì

an = bn

khi và chỉ khi

a=b

b) Căn bậc n
• Định nghĩa

Theo ([3], trang 51) Cho số thực b và số nguyên dương n
gọi là căn bậc n của b nếu

( n ≥ 2)

. Số a được

an = b

Ví dụ: 2 và -2 là các căn bậc 4 của 16;

−1
3

−
là căn bậc 5 của

1
243

([3], trang

51)
Theo ([4], trang 72) Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b
sao cho

bn = a

.
5

Ví dụ : số 32 chỉ có một căn bậc năm là
6

64 = 2

và

− 6 64 = −2

32 = 2

; số 64 có hai căn bậc sáu là

([4], trang 72)

• Nhận xét ([4], trang 73)
o Căn bậc 1 của số a chính là số a
17


o Căn bậc n của số 0 là 0

o Số âm không có căn bậc chẵn vì lũy thừa bậc chẵn của một số
thực bất kì là số không âm.
o Với n nguyên dương lẻ ta có
n
a > 0 khi a > 0;
n

a < 0 khi a < 0.

 a
an = 
 a

n

o
• Tính chất

Theo ([3], trang 51) ta có:
n

a . n b = n ab ;

n

a na
=
;
b
b

o
n

o

( a)
n

o

n

o

m

= n am ;

 a
an = 
 a

n k

o

a = nk a

Theo ([4], trang 73) Cho hai số không âm a,b, hai số nguyên dương m,n và hai

số nguyên p,q tùy ý, ta có:
n

ab = n a . n b ;

n

a na
=
( b > 0) ;
b nb

n

ap =

o

o
o

m n

o

( a)
n

p

( a > 0) ;

a = mn a ;

18


o Nếu

p q
=
m n
n

n

thì

( a > 0)

a p = m aq

.

a = mn a m .

o Đặt biệt
c) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

r=

Theo ([3], trang 52) Cho số thực a dương và số hữu tỉ
n ∈ ¥ , n ≥ 2.

Lũy thừa của a với số mũ r là số

ar

m
,
n

trong đó

m ∈ ¢,

xác định bởi

m
n

a = a = n am
r

1

−3

1
1
 1 3 3 1 1

4 2 = 4 −3 =
= ;
=
 ÷ =
8 2
4 2
8
Ví dụ:
;
1
an

=na

( a > 0, n ≥ 2 ) .

([3], trang 52)

Theo ([4], trang 74) Cho a là một số thực dương và r là một số hữu tỉ. Giả sử
r=

m
n

, trong đó m là một số nguyên còn n là một số nguyên dương. Khi đó, lũy thừa

của a với số mũ r được xác định bởi
m
n

a = a = n am
r

Ví dụ:

2
83

= 8 = 64 = 4;

1
an

=na

3

2

3

−1
27 3

= 3 27 −1 =

.
3

1 1

= .
27 3

(a dương, n nguyên dương). ([4], trang 75)

19


d) Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Theo ([3], trang 54) Cho a là một số dương,

rằng luôn có một dãy số hữu tỉ

( rn )

có giới hạn là

giơi hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số

( ar )

α

α

là một số vô tỉ. Ta thừa nhận
n

và dãy số thương ứng

là lũy thừa của a với số mũ

aα = lim a rn
x →∞

có

( rn )

n

Ta gọi giới hạn của dãy số

( ar )

α

, kí hiệu là

aα

.

α = lim rn
với

x →+∞

e) Lũy thừa với số mũ thực
• Định nghĩa

Bao gồm định nghĩa của lũy thừa với số mũ hữu tỉ và định nghĩa của lũy thừa
với số mũ vô tỉ.
• Tính chất
Theo ([3], trang 54) Lũy thừa với mũ số thực có các tính chất tương tự lũy thừa
với số mũ nguyên dương

1.1.4

Các dạng toán mũ – lũy thừa trong chương trình

Toán THPT
a) Dạng 1: Thực hiên các phép tính lũy thừa với số mũ thực
• Phương pháp
Sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy lũy thừa để thực hiện
phép tính.
• Ví dụ
Thực hiện phép tính sau

20


1)

2
2
5
5
9 .27

2)

−0,75

3)

−5
+ 0, 25 2

 1
 ÷
 16 

4)

3
144 4

3
: 94

( 0,04 )

− ( 0,125 )

−1,5

−2
3

Giải

1)

2
2
5
9 .27 5

=

4 6
3 5.3 5

−0,75

3)

4)

( 0,04 )

= 32 = 9

−5
+ 0, 25 2

1
 ÷
 16 

−1,5

3
144 4

3
4
:9

= ( 3.4 )

2)
−3

6
4

6
4
:3

=

6
4
4

−5

1

1
=  ÷ +  ÷ = 8 + 32 = 40
 2
 2

− ( 0,125 )

−2
3

= ( 0, 2 )

−3

− ( 0,5 )

−2

= 121

b) Dạng 2: Rút gọn biểu thức
• Phương pháp
Sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy lũy thừa để thực hiện
rút gọn biểu thức.
• Ví dụ
Rút gọn biểu thức
1)

(

4

a3b 2

3

1.
1
b5
2
b3

5)

3

4. 5 −8

5

)

2)
4

a12b 6

(

5

(

3

)
)

4)

b 4 − 5 b −1
b − 3 b −2

3 3

1
a3

7
− a3

1
a3

4
− a3

1
a3

a

1
3

2
a3

5
− a3

+a

−

1
3

1
+ b3

6

6)

−

−

b

a
6
a+ b

Giải
21


4. 5 −8 = 5 −22.23 = 5 −25 = −2

5

1)
3

2)

(

3 3 = 3.2 32.3 = 6 33 = 3

4

a 3b 2

a 3b 2
= 2 = ab
12 6
ab
a b

3

3)
1
a3

7
− a3

1
a3

4
3
−a

1
b5

(

4)

2
b3

5)
1
a3

6)

)

4

5

(

3

−

a

−

2
a3

1
3

5
− a3

+a

b 4 − 5 b −1
3

b− b

1
+ b3

−2

−

1
3

)=
)

=

1
a3

1
a3

(1− a)

5

b5 − 5 b 0

3

b3 − 3 b 0

(

1
3

( 1 − a ) − a ( 1 − a ) = 2a
2

−

a

−

1
3

2

(1+ a)

=1

)

3
ab 6 a + 6 b
b
a
=
= 3 ab
6
6
6
6
a+ b
a+ b

c) Dạng 3: So sánh
• Phương pháp
o Bước 1: Thực hiện đưa về cùng cơ số (cùng số mũ)
o Bước 2:
a >1
m > n ⇒ am > an
 Nếu
thì
0 < a <1
m > n ⇒ am < an
 Nếu
thì
a > b > 0 ⇒ a m > bm
 Nếu
/ 2 ⇒ a m < bm
a < b < 0, m M

 Nếu
o Bước 3: Kết luận
• Ví dụ

22


So sánh các số sau
2 5

1)

1
 ÷
 3
2

3)

3 2

và
3

và

1
 ÷
3

3

2)
4)

76

3

và

73

3 + 3 30

6

3

và

63

Giải
2 5

1)
3)

1

 ÷
3

3 2

1
> ÷
3

2<33

2)
4)

76

3

> 73

6

3 + 3 30 > 3 63

23


1.1.5 Sơ đồ phát triển mũ – lũy thừa
Lớp 12
Cơ số: Số thực

Số mũ: Số thực

Trung học cơ sở
Lớp 12
Cơ số: Số thực
Số mũ: Số vô tỉ

Trung học phổ thông
Lớp 12
Cơ số: Số thực
Số mũ: số hữu tỉ

Lớp 12
Cơ số: Số thực
Số mũ: Số nguyên

Lớp 7
Cơ số: Số hữu tỉ
Số mũ: Số tự nhiên

Lớp 6
Cơ số: số tự nhiên
Số mũ: số tự nhiên

24


1.2 Hàm số mũ
1.2.1 Định nghĩa
Theo ([4], trang 71) Giả sử a là một số thực dương khác 1.

Hàm số

y = ax

được gọi là hàm số mũ
x

 2
y =5 ;y = ÷ ;y=
9
x

Ví dụ:

( 3)

x

1.2.2 Các tính chất
Hàm số mũ

y = ax (0 < a ≠ 1)

• Tập xác định là R và tập giá trị là

có các tính chất sau

(0; +∞)

• Liên tục trên R.

•
•

x1

a

a > 1⇒

x2

>a

hàm đồng biến, tức là

0 < a < 1⇒

x1

a

⇔ x1 > x2
x2

>a

1

• Giới hạn :

⇔ x1 < x2

hàm nghịch biến, tức là

1
lim (1 + )x = lim(1 + x)x = e
x
x →±∞
x→ 0

( )

• Đạo hàm:

và

.

ex − 1
=1
x→ 0 x
lim

và

( a ) ' = a .u 'lna
u

(ax ) ' = ax ln a ⇒ ex ' = ex

.

u

• Tập xác định : D = R

ax > 0

T = R+

• Tập giá trị :

∀x∈ R

• Tính đơn điệu:

*a>1

:

*0Đồ thị hàm số mũ :

y = ax
y = ax

đồng biến trên

¡

nghịch biến trên

¡

y = ax

y

1

x

25

a >1