Trang 1
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG TRÒN
1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng a và đường tròn (O,R).
Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng a. Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đ.thẳng a.
1)
d R<
⇔ đường thẳng a cắt đường tròn (O,R) tại hai điểm phân biệt.
2)
d R
=
⇔ đường thẳng a tiếp xúc đường tròn (O,R) tại một điểm.
3)
d R>
⇔ đường thẳng a không cắt đường tròn (O,R).

 Khi đường thẳng a cắt đường tròn (O,R) tại hai điểm phân biệt A, B thì
2 2 2
R d a
= +
.
 Khi đường thẳng a tiếp xúc đường tròn (O,R) tại điểm H thì H gọi là tiếp điểm và
đường thẳng a gọi là tiếp tuyến của đường tròn.
 Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
 Nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại đầu của bán kính thì đường thẳng đó
là tiếp tuyến của đường tròn.
1. Tính chất của hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm.
Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì :
1) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
2) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm của đ.tròn là tia phân giác của
góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
3) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm của đường tròn là tia phân giác

của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm.
Cách dựng hai tiếp tuyến với đường tròn (O), qua điểm M nằm ngoài đường tròn.
 Dựng I là trung điểm của MO.
 Dựng đường tròn tâm I bán kính IO, cắt đường tròn (O) tại A, B.
 Các đường thẳng MA, MB là các tiếp tuyến cần dựng.
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng nếu đường thẳng
xy
cắt đường tròn (O,R) tại hai điểm AB thì
mọi điểm nằm giữa A, B đều nằm trong đường tròn (O) các điểm còn lại trên đường thẳng
xy
nằm ngoài đoạn thẳng AB đều nằm ngoài đường tròn (O).
Bài giải
Giả sử đường thẳng
xy
cắt đường tròn (O,R) tại hai điểm A, B. Gọi H là
hình chiiếu vuông góc của O xuống đường thẳng
xy
.
Với mọi điểm M thuộc về đoạn thẳng AB thì
HM HA OM OA R≤ ⇒ ≤ =
⇔ điểm M nằm phía trong đường tròn (O).
Với mọi điểm M nằm trên đường thẳng
xy
và không thuộc về đoạn
thẳng AB thì :
HM HA OM OA R
> ⇒ > =
⇔ điểm M nằm phía ngoài
đường tròn (O).
Ví dụ 2 : Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm

( )
3;2I −
. Xác định vị trí tương đối giữa đường
tròn
( )
;2I
với các trục tọa độ.
Bài giải
Trang 2
Từ I kẻ IA vuông góc với trục Ox thế thì
2IA R= =
nên đường tròn
( )
;2I
tiếp xúc với trục hoành Ox.
Từ I kẻ IB vuông góc với trục Oy thế thì
3IB R= >
nên đường tròn
( )
;2I
không cắt trục tung Oy.
Ví dụ 3 : Hình thang vuông ABCD, vuông ở A, D biết
4AB cm=
,
13BC cm=
,
9CD cm
=
. a) Tính độ dài AD.
b) Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

Bài giải
a) Từ B kẻ BE//AD thì ABED là hình chữ nhật nên
4DE AB cm= =
;
Xét ∆BCE có
µ
0
90E =
,
13BC cm=
,
( )
9 4 5EC DC DE DC AB cm= − = − = − =
.
⇒
( )
2 2 2 2
13 5 12BE BC EC cm= − = − =
.
b) Gọi I, H lần lượt là trung điểm của BC, AD thế thì
IH AD⊥
và
( )
4 9
6,5
2 2
AB CD
IH cm
+ +
= = =

. Mặt khác
( )
6,5
2
BC
IB IC cm= = =
⇒ AD tiếp xúc với
đường tròn đường kính BC.
Ví dụ 4 : Cho đường tròn (O) đường kính AB, một điểm M sao cho A nằm giữa B, M. Kẻ
đường thẳng MC tiếp xúc đường tròn (O) tại C. Từ O hạ đường thẳng vuông góc với CB
và cắt tia MC tại N. Chứng minh đường thẳng NB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài giải
Vì
,OB OC ON CB= ⊥
nên ∆OBC cân đỉnh O ⇒ ON vừa là
đường cao vừa là đường phân giác ⇒
·
·
NOB NOC=
.
∆ONB, ∆ONC có :
·
·
;OB OC NOB NOC= =
; ON chung nên hai
tam giác đó bằng nhau ⇒
·
·
0
90OBN OCN= =

⇔ OB là tiếp tuyến
của đường tròn (O).
Ví dụ 5 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn,
kẻ tiếp tuyến d với đường tròn. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao các đường vuông góc
kẻ từ A, B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng :
a)
CE CF=
;
b) AC là tia phân giác của
·
BAE
;
c)
2
.CH AE BF=
.
Bài giải
a) Do E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A, B xuống
đường thẳng d nên
AE d⊥
,
BF d⊥
và
//AE BF
.
Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C nên
OC d⊥
⇒
// //OC AE BF
mà

OA OB
=
nên
CE CF
=
.
b) Vì
OA OC
=
nên ∆OAC cân đỉnh O ⇒
·
·
CAO ACO=
.
Mặt khác
//OC AE
⇒
·
·
CAO CAE=
⇒
·
·
CAE CAO=
hay AC là tia
phân giác của
·
BAE
.
c) ∆ CAE = ∆ CAH, (g.c.g) ⇒

AE AH=
, tương tự
BF BH=
.
∆ ABC có
OC OA OB= =
nên
·
0
90ACB =
⇒
2
. .CH HA HB AE BF= =
.
Trang 3
Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao, M và N lần lượt là những điểm
đối xứng của H qua AB và AC.
a) Chứng minh đường tròn đường kính BC tiếp xúc MN tại A.
b) Đường tròn đường kính MN tiếp xúc với BC tại H.
c) Chứng minh đường tròn tâm B, bán kính BM tiếp xúc với MN và AH. Tương tự đường
tròn tâm C tiếp xúc với MN và AH.
Bài giải
a) Vì M đối xứng với H qua AB nên
·
·
BAM BAH=
,
AM AH=
. Tương tự ta có
·

·
CAN CAH=
,
AH AN=
.
mà
·
· ·
0
90BAC BAH CAH= = +
nên
·
·
0
90BAM CAN+ =
⇒
·
· ·
·
0
180BAM BAH CAH CAN+ + + =
⇒ M, A, N thẳng
hàng.
Vì
AM AN=
,
OB OC=
và
·
0

90AMB =
nên
//OA BM
.
Do
·
0
// , 90OA BM BMA =
nên
OA MN⊥
⇒ MN tiếp xúc
với đường tròn đường kính BC tại A.
b) Do
AM AH AN= =
,
AH BC⊥
nên đ.tròn đường kính MN tiếp xúc với BC tại H.
c) Do
AH BC⊥
, (gt) và M đối xứng với H qua AB nên
·
·
0
90 ;AHB AMB BH BM= = =

⇒ đường tròn tâm B bán kính BM tiếp xúc với MN và AH. Tương tự đường tròn tâm C
tiếp xúc với MN và AH.
Ví dụ 7 : Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC và các tiếp điểm trên các cạnh AB,
BC, CA lần lượt là M, N và S.
a) Chứng minh :

2AB AC BC AM
+ − =
, viết các hệ thức tương tự ?
b) Cho
4AB m=
;
7BC m=
và
5CA m=
. Tính các đoạn thẳng AM, BN, CS.
Bài giải
a) Ta có :
; ;AM AS BM BN CN CS= = =
, ( hai tiếp tuyến
cùng ...)
Mà
AB AC BC AM BM AS CS BN CN
+ − = + + + − −
⇔
( ) ( )
2AB AC BC AM BM BN CS CN AM AM+ − = + − + − + =
.
b) Vì
2 4 5 7 2AM AB AC BC
= + − = + − =
⇔
( )
1AM m=
.
Tượng tự tính : BN, CS !

Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Vẽ đường
tròn (O) đường kính AH, chứng minh rằng :
a) Điểm E nằm trên đường tròn (O);
b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài giải
a)Do
BE AC
⊥
nên
·
0
90HEA =
mà
OA OH
=
nên
OE OA OH
= =
⇒
E nằm trên đường tròn (O) đường kính AH.
b) ∆ BEC vuông ở E có ED là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
DE DB= ⇒
µ
µ
1 1
E B=
; ta lại có
¶
¶
¶

2 1 2
E H H= =
;
⇒
µ
¶
µ
¶
0
1 2 1 2
90E E B H+ = + = ⇒
DE OE⊥
nên DE là tiếp tuyến của
đtr(O).
Trang 4
Ví dụ 9 : Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo BD lấy
BI BA=
, ( I nằm giữa B và
D) . Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BD, đường thẳng này cắt AD ở E.
a) So sánh các đoạn AE, EI và ID.
b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BD với đường tròn tâm E bán kính EA.
c) Biết
ID d=
, tính cạnh hình vuông theo d.
Bài giải
a) Ta có
EA EI=
, (1) (hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm).
Do ABCD là hình vuông nên
·

0
45ADB =
.
Do
EI BD⊥
, (gt) nên ∆DIE vuông cân đỉnh I nên
IE ID=
, (2).
Từ (1) và (2) ta được :
AE EI ID= =
.
b) Do
BD EI⊥
nên BD là tiếp tuyến của đ.tròn tâm E bán kính EA.
c) Biết
ID d=
suy ra
EA EI ID d= = =
.
0
: 90 ,EID I IE ID d∆ = = =
$
⇒
2 2ED ID d= =
⇒
( )
2 1 2AD AE ED d d d= + = + = +
.
Ví dụ 10 : Cho đường tròn (O) bán kính
6cm

và một điểm A cách O là
10cm
.
Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O), tính độ dài AB.
Bài giải
Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)
nên
·
0
90AB OB ABO⊥ ⇒ =
.
·
0
: 90 , 6, 10AOB ABO OB OA∆ = = =
⇒
2 2 2 2 2
10 6 8 8AB OA OB= − = − = =
.
Vậy :
8AB cm=
.
Ví dụ 11 : Cho đường tròn tâm O bán kính
OA R
=
, dây BC vuông góc với OA tại trung
điểm M của OA.
a) Từ giác OCAB là hình gì ? vì sao ?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA
tại E, tính độ dài BE theo R.
Bài giải

a) Do M là trung điểm của
OA R=
nên
2
R
MO MA= =
.
Vì
BC OA⊥
, (gt) nên
,BC OA MB MC⊥ =
⇒ OCAB là hình
thoi.
b)
: ,
2
R
MOB OM OB R∆ = =
nên đây là nửa tam giác đều, suy ra ∆OAB là tam giác đều
cạnh R.
·
·
0
30OBM BEO= =
và
OB R
=
nên
2OE R
=

.
∆OEB là nửa tam giác đều cạnh 2R nên
2 3
3
2
R
BE R= =
.
Ví dụ 12 : Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm phiá ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp
tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh
OA BC⊥
.
b) Vẽ đường kính CD, chứng minh
// .BD OA
.
c) Tính độ dài các cạnh của ∆ ABC, biết
2OB cm=
;
4OA cm=
.
Bài giải
Trang 5
a) Do AB, AC là hai tiếp tuyến xuất phát từ A đến đường tròn (O) nên
AB AC=
và OA là phân giác của góc
·
BAC
suy ra : OA
OA BC⊥

, ( đường
phân giác của góc ở đỉnh của tam giác cân cũng là đường cao).
b) Do CD là đường kính nên
·
0
90CBD =
⇔
BD BC
⊥
.
Vì
OA BC⊥
và
BD BC⊥
nên
// .BD OA
.
: 2, 4OAB OB OA∆ = =
⇒
( )
2 2 2 2
4 2 2 3AB OA OB cm= − = − =
.
Vì
2, 4OB OA= =
⇒
1
2
OB OA=
⇒

·
0
30OAB =
⇒
·
0
60BAC =
⇒
( )
2 3BC AB cm= =
.
Ví dụ 13 : Từ một điểm A ở phía ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua M thuộc cung nhỏ BC, kẻ
tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB, AC lần
lượt tại D, E. Chứng minh rằng chu vi ∆ADE bằng 2AB.
Bài giải
Vì
DB DM=
,
EC EM
=
nên chu vi tam giác ADE bằng :
2
ADE
CV AE ED DA AE EC DB DA AC AB AB= + + = + + + = + =
Ví dụ 14 : Cho nửa
đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là đường thẳng vuông góc với AB, M là
một điểm bất kỳ trên cung AB và không trùng với A, B. Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn
nó cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng :
a)

·
0
90COD =
.
b)
CD AC BD= +
.
c) Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
d) Đường tròn qua C, D, O tiếp xúc AB tại O.
Bài giải
a) CA, CM là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ C nên
MC AC=
và
OC là phân giác của góc
·
AOM
, tương tự
MD BD=
và OD là phân
giác của góc
·
BOM
, mặt khác
·
AOM
,
·
BOM
là hai góc kề bù nên
OC OD

⊥
hay
·
0
90COD =
.
b) Vì
MC AC=
và
MD BD=
nên
MC MD AC BD+ = +
⇔
CD AC BD
= +
.
c)
µ
0
: 90 ,COD O OM CD∆ = ⊥
⇒
2
.MC MD OM=
không đổi.
d) Gọi I là trung điểm của CD ⇒
IC ID IO= =
, (1).
Vì O, T lần lượt là trung điểm của AB, CD nên
TO AB
⊥

, (2).
Từ (1) và (2) : AB tiếp xúc đường tròn (T) tại O.
Ví dụ 15 : Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (O) bán kính r. Tính diện tích tam
giác ABC theo r ?
Bài giải
Giả sử ∆ABC đều ngoại tiếp đường tròn (O) bán kính r.
Ta có :
3OD r BD r
= ⇒ =
.
Mà
3
2
AC
BD =
⇔
2 2. 3 2.3 . 3
2 3
3 3
3
BD BD r
AC r= = = =
.