ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II
NĂM HỌC
Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 90 phút ( không kể phát đề)

Câu 1. (3,0 điểm)
1.

Giải hệ phương trình sau:

 x  2 y 5

 x  y 2

2
1
3
Cho hàm số y  f ( x)   x 2 . Tính f ( ); f ( ); f ( 1); f (2).
3
2
2
3.
Giải phương trình sau: x 4  3x 2  4  0 .
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho phương trình x 2  6 x  2m  3  0 (1), với m là tham số.
1. Giải phương trình (1) khi m  2 .
2. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 x2  x1x22  24

2.

.

Câu 3. (1,5 điểm)
Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc xác định. Khi đi từ B về A
người ấy đi với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h. Vì vậy, thời gian về ít hơn thời gian
đi là 1 giờ. Tính vận tốc của người đó khi đi từ A đến B, biết quãng đường AB dài 60 km.
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD vuông góc với AB tại H. Trên tia đối
của tia CD, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn (O). Kẻ MB cắt đường tròn tại điểm E, AE
cắt CD tại điểm F.
1. Chứng minh tứ giác BEFH nội tiếp một đường tròn.
2. Gọi K là giao điểm của BF với đường tròn (O). Chứng minh rằng EA là tia phân giác
của HEK .
3. Chứng minh rằng: MD.FC = MC.FD
Câu 5. (0,5 điểm) Cho phương trình (m  1) x 2  (2m  1) x  m  1  0, m là tham số (1).
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả
mãn x12  x22  2010 x1x2  2013 .
-----------------------------Hết-----------------------------


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC KÌ II
MÔN THI: TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC

Lưu ý khi chấm bài:
Dưới đây chỉ là sơ lược các bước giải và thang điểm. Bài giải của học sinh cần chặt chẽ,
hợp logic toán học. Nếu học sinh làm bài theo cách khác hướng dẫn chấm mà đúng thì chấm và
cho điểm tối đa của bài đó. Đối với bài hình học (câu 4), nếu học sinh vẽ sai hình hoặc không vẽ
hình thì không được tính điểm.
Hướng dẫn giải


Điểm
(3 điểm)

Câu 1
1
(1 điểm)

 x  2 y  5 3 y  3
y 1
x  3



x  y  2
x  y  2
x  y  2
y 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y )  (3; 1) .

Ta có: 

2
3  2 
3 4
2
)   .    .  
3
2  3 
2 9

3

0,75
0,25

2

f(

0,25

2

2
(1 điểm)

3
(1 điểm)

1
3 1
3 1
3
f ( )   .    .  
2
2 2
2 4
8
3
3

3
2
f (1)   .  1   .1  
2
2
2
3 2
3
f (2)   .2   .4  6
2
2
2
Đặt: x  t, t  0.

0,25
0,25
0,25

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: t 2  3t  4  0
Vì a  b  c 1 3  4  0 nên pt trên có nghiệm t1  1, t 2  4 .
Vì t  0 nên t1  1 không thỏa mãn điều kiện.
Với t  t 2  4 . Khi đó: x 2  4  x  2 .

0,5

0,5

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = -2;2
Câu 2
1

(2 điểm)

Thay m  2 vào phương trình (1), ta được pt:
x 2  6 x  7  0 (2)
Vì a  b  c 1 6  7  0 nên pt (2) có nghiệm x1  1, x 2  7 .
Vậy với m  2 thì pt (1) có nghiệm x1  1, x 2  7 .
Ta có:  '  (3)  1.(2m  3)  9  2m  3  12  2m
Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 khi và chỉ khi:
12  2m  0  2m  12  m  6
 x1  x2  6
Theo hệ thức Vi – ét, ta có: 
(3)
 x1.x2  2m  3

(2 điểm)
0,5
0,25
0,25

2

2
(1 điểm)

0,25

0,25

Theo đề bài, ta có: x12 x2  x1x22  24  x1x2 ( x1  x2 )  24 (4)
Thay (3) vào (4) , ta được:

6(2m  3)  24  2m  3  4  2m  7  m 

7
(thỏa mãn ĐK m  6 )
2

0,25


Vậy m 

7
là giá trị cần tìm.
2

0,25
(1,5 điểm)

Câu 3
Gọi vận tốc của người đó khi đi từ A đến B là x (km/h), với x > 0.
Khi đó, vận tốc lúc về của người đó là x + 5 (km/h)
Thời gian của người đó đi từ A đến B là

(1,5 điểm)

Thời gian lúc về của người đó là

60
(giờ)
x


0,25
0,25

60
(giờ)
x5

0,25

60 60

 1 (5)
x x5
Giải phương trình (5) tìm được x1  15, x2  20 .

Lập phương trình:

0,5

Vì x  0 nên x2  20 không thoả mãn điều kiện của ẩn.
Vậy vận tốc của người đó khi đi từ A đến B là 15 (km/h).

0,25
(3 điểm)

Câu 4
Hình vẽ:
B


E
O

M

C

F
K

H

D

A

Xét (O) có: AEB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay FEB = 900
0,25

Mặt khác: AB  CD (gt) nên BHF = 900
1
(1 điểm)

2
(1 điểm)

Xét tứ giác BEFH có:
FEB + BHF = 900  900  1800 , mà FEB, BHF là hai góc ở vị trí đối diện
nhau.


0,5

Suy ra, tứ giác BEFH nội tiếp một đường tròn đường kính BF (đpcm)

0,25

Vì tứ giác BEFH nội tiếp một đường tròn (cm trên) nên HBF = HEF ( 2 góc
nội tiếp cùng chắn cung HF) hay ABK = HEA (6)

0,25

Xét (O) có: ABK = AEK ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AK) (7)

0,25

Từ (6) và (7) , suy ra: HEA = AEK => EA là tia phân giác của HEK .
Vậy tia EA là tia phân giác của HEK .

(đpcm)

0,5

Xét ADC có: AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến => ADC
cân tại A => AC = AD => AC = AD => sđ AC = sđ AD
Xét (O) có: DEA = CEA (2 góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

0,25

=> EA là tia phân giác của DEC.
3


Xét CDE có:

0,25


(1 điểm)

Vì EA là tia phân giác của DEC (cm trên) nên EF là đường phân giác trong
của tam giác CDE. (8)
FC EC
=
Suy ra:
(9)
FD ED
Vì AEB = 900 (cm phần a) nên AE  MB (10)
Từ (8) và (10) , suy ra: EM là đường phân giác ngoài của tam giác CDE.
MC EC
=
Suy ra:
(11)
MD ED
FC MC
=
 FC.MD = FD.MC (đpcm)
Từ (9) và (11) , suy ra:
FD MD

0,25


0,25
(0,5 điểm)

Câu 5

Xét m=-1, pt (1) là phương trình bậc nhất không có hai nghiệm phân
biệt.
Xét m  1
Phương trình: (m  1) x2  (2m  1) x  m  1  0 (12)
Ta có:
   (2m  1)   4.(m  1)(m  1)  4m 2  4m  1  4m 2  4  4m  5
2

0,25

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khi và chỉ khi:
4m  5  0  m  

(0,5 điểm)

5
4

(*)

Khi đó, theo hệ thức Vi-ét ta có: x1  x2 

m 1
2m  1
và x1 x2 

.
m 1
m 1

Mặt khác: x12  x22  2010 x1 x2  2013
  x1  x2   2012 x1.x2  2013
2

m 1
 2m  1 

 2013
  2012.
m 1
 m 1 
 4021m2  4022m  0
2

0,25

 m  0 (thoả mãn (*)) hoặc m  

Vậy m  0 hoặc m  

4022
(thoả mãn (*)).
4021

4022
là giá trị cần tìm.

4021
Tổng điểm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG

10

KIỂM TRA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2010 - 2011

MÔN TOÁN
LỚP 9
Thời gian làm bài: 90 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0 điểm)

Cho hàm số y =


2
1

x2 có đồ thị (P).
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.
b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (P) và đường thẳng  có phương trình
y = x + 4.
Bài 2 (2,5 điểm)
Cho phương trình x2  2mx  2m  2  0 (1), (m là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi m = 1.
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 . Với các giá trị

nào của tham số m thì x12 + x22= 12.
c) Với x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1), tìm giá trị lớn nhất của biểu
6(x1+ x2 )
.
thức A = 2
x1 + x22+ 4(x +1 x )2
Bài 3 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình x  x + 6.
x+1
b) Giải phương trình
+ 3  x = 4.
x2
x
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có góc ACB tù, H là chân đường cao vẽ từ A. Đường
tròn đường kính BH cắt AB tại điểm thứ hai là D. Đường tròn đường kính CH cắt
AC tại điểm thứ hai là E.
a) Chứng minh tứ giác ADEH là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh EBH  EDC.
ABC  450. Tính diện tích hình quạt tròn
c) Cho BH = a 3 , CH = a, góc
giới hạn bởi cung EC và hai bán kính đi qua E và C của đường tròn đường kính
CH.
--- HẾT ---


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG


KIỂM TRA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2010 - 2011

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
Trên đây là sơ lược biểu điểm đề kiểm tra học kì II, tổ chuyên môn của các trường THCS
thảo luận thống nhất thêm chi tiết lời giải và biểu điểm. Tổ chuyên môn có thể phân chia điểm nhỏ
đến 0,25 điểm cho từng ý, từng câu của đề kiểm tra. Tuy nhiên, điểm từng bài, từng câu không được
thay đổi. Nội dung thảo luận hướng dẫn chấm được ghi vào biên bản của tổ chuyên môn.
Học sinh có lời giải khác lời giải do tổ chuyên môn thống nhất, nhưng lập luận và kết quả
chính xác, bài làm đúng đến ý nào thì có thể cho điểm tối đa ý đó.
Việc làm tròn số điểm bài kiểm tra được thực hiện theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào
tạo tại Quyết định số 40/2006/BGD-ĐT.
Bài
Nội dung
Điểm
1 2
Cho hàm số y = x có đồ thị (P).
2
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.
b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (P) và đường thẳng  có phương trình y = x + 4.
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số. (1,0 điểm)
Xác định được năm điểm đặc biệt
0,50
Bài 1
0,50
Đồ thị
(2,0 điểm) b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (P) và đường thẳng  (1,0 điểm)
1
Phương trình Hoành độ giao điểm x2  x  4  x2  2x  8  0
0,25

2
 x = 4; x =  2
0,25
x = 4  y  8; x =  2  y  2
0,25
Hai giao điểm là (4 ; 8), (-2; 2)
0,25
Cho phương trình x2  2mx  2m  2  0 , (m là tham số) (1).
a) Giải phương trình (1) khi m = 1.
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x 2 . Với các giá trị nào của
tham số m thì x21 + x22= 12.
c) Với x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1), tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
6(x1+ x2 )
.
A=
2
x + x2 + 4(x + x )
1

2

1

2

a) Giải phương trình (1) khi m = 1. (0,75 điểm)
Khi m = 1 ta có pt : x2  2x  0
x(x  2)  0
Suy ra pt có hai nghiệm là 0 và 2


0,25
0,25
0,25

Bài 2
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 . Với các giá trị nào của
(2,5 điểm)
tham số m thì x2 + x2 = 12. (1,0 điểm)
1

2

' = m – 2m + 2 = (m 1)2 + 1 > 0, m
Kết luận phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo định lí Vi-et: x1  x2  2m ; x1x2  2m  2
x2 + x2 = 12  4m2  4m  4 12
2

1

2

 m  1; m  2
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A (0,75 điểm)
3m
A 2
m  m 1
(m 1)2
A  1
 1 dấu bằng xảy ra khi và chỉ m = 1  Kết luận

m2  m 1
1

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,50


Bài 3
a) Giải phương trình x  x + 6. (1,0 điểm)
(2,0 điểm)
x  x + 6  x 6  x

x2 13x  36  0

x = 9; x = 4
Thử lại x = 4 không thỏa, x = 9 thỏa.
Vậy x = 9
x+1 3x
b) Giải phương trình
+
= 4. (1,0 điểm)
x2
x
Điều kiện x  2 và x  0.
Phương trình trở thành (x +1)x + (3  x)(x  2) = 4x(x 2)


2x2  7x  3  0
1
Giải ra ta được x = 3; x = (thỏa điều kiện)  Kết luận:
1
2
2

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

Tam giác ABC có góc ACB tù, H là chân đường cao vẽ từ A. Đường tròn đường kính BH
cắt AB tại điểm thứ hai là D. Đường tròn đường kính CH cắt AC tại điểm thứ hai là E.
a) Chứng minh tứ giác ADEH là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh EBH  EDC .
0
c) Cho BH = a 3 , CH = a, góc ABC  45 . Tính diện tích hình quạt tròn giới

hạn bởi cung EC và hai bán kính đi qua E và C trên đường tròn đường kính CH.
A
D
E
B


Bài 4
(3,5 điểm)

H

C

(phục vụ câu a và b)
a) Chứng minh tứ giác ADEH là tứ giác nội tiếp (1,0 điểm).
BDH  900  ADH  900

0,50

HEC  900  AEH  900

ADEH nội tiếp
b) Chứng minh EBH  EDC (1,0 điểm).

0,25
0,50

0,25

DEA = DHA (cùng chắn DA của đường tròn qua A, D, E, H)

0,25

DHA = ABC (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)


0,25

CED + CBD = CED + DEA = 180 nên BDEC nội tiếp

0,25

0

 EBH = EDC (cùng chắn CE của đường tròn qua B, D, E, C)
c) Tính diện tích hình quạt (1,0 điểm).
Từ giả thiết suy ra ABH vuông cân, nên AH = a 3 .
AH
a 3
tanACH =
=
= 3  ACH = 600  sđ EH  120  sđ EC  60
HC
a
2
2
πR 60 πa .
Squat 

360
24
----- HẾT ----2

0,25
0,25
0,50

0,25