–
–

Phần 1. Cấp số cộng………………………………………………………………………………………
Phần 2. Cấp số nhân ……………………………………………………………………………….…..
Phần 3. Ứng dụng trong hình học ………………………………………………..……….
Phần 4. Ứng dụng của CSC –CSN để tìm số hạng tổng quát ……...


Phần 1. Cấp số cộng

Câu 1. Cho hai cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số có 100 số hạng: un  : 4;7;10;13;... và

vn  : 1;6;11;16;21;... Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai cấp số cộng nói

trên?
A. 10.

B. 19.
C. 20.
D. 33.
*
un  4  n 1 3  3n  1


n, m  
Lời giải. Dễ dàng ta có 
với 
.





1

n
,
m

100
v

1

m

1
5

5
m

4




m


Cho un  v m 

 3n  1  5m  4  3n  5 m 1. Suy ra

1
2 

• n chia hết cho 5 tức là n  5t . Do 1  n  100 nên 1  5t  100  1  t  20.
• m  1 chia hết cho 3 tức là m  3k  1. Do 1  m  100 nên 0  k  33.
Từ 1 và 2  suy ra có 20 số hạng chung. Chọn C.

Câu 2. Cho cấp số cộng un  với u1  3, công sai bằng 2 và cấp số cộng vn  có v1  2, công
sai bằng 3. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt đồng thời trong 2018 số hạng đầu tiên của cả
hai cấp số cộng nói trên?
A. 335.
B. 673.
C. 674.
D. 1009.
*

n, m  
un  3  n  1 2  2 n  1

Lời giải. Dễ dàng ta có 
với 
.







1  n, m  2018
vm  2  m 13  3m 1
Cho un  v m 
 2n  1  3m 1  3m  2 n  1. Suy ra
• n  1 chia hết cho 3 tức là n  3t 1. Do 1  n  2018 nên 1  t  673.
• m chia hết cho 2 tức là m  2 k. Do 1  m  2018 nên 1  k  1009.
Từ 1 và 2  suy ra có 673 số hạng chung. Chọn B.

1
2 

Câu 3. Cho un  là một cấp số cộng có tổng n số hạng đầu tính được theo công thức

S n  5n 2  3n với n   * . Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng đó.
u1  8
u1  8
u1  8
u1  8
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.





d  10
d  10
d  10
d  10
S1  5.12  3.1  8
u1  8
u1  8



Lời giải. Có 
 
 
 d  u2  u1  10. Chọn C.

2

S 2  5.2  3.2  26 
u1  u2  26 
u2  18

Câu 4. Cho dãy số an  có tổng n số hạng đầu tiên là S n  2n 2  3n . Khi đó
A. an  là một cấp số cộng với công sai bằng 4.

B. an  là một cấp số nhân với công bội bằng 4.
C. an  là một cấp số cộng với công sai bằng 1.

D. an  là một cấp số nhân với công bội bằng 1.
Lời giải. Ta có số hạng thứ n của dãy là:


an  S n  S n1  2 n 2  3n  2 n 1  3n 1  4 n  1.
2

Suy ra an 1  4 n  5.

Khi đó an 1  an  4 
 an  là một cấp số cộng với công sai bằng 4. Chọn A.
2


Câu 5. Cho un  là một cấp số cộng với u5  18 và 4S n S 2 n . Tìm số hạng đầu tiên u1 và công
sai d của cấp số cộng.
A. u1  2; d  4. B. u1  2; d  3.
Lời giải. Ta có: u5  18  u1  4 d  18.

C. u1  2; d  2.

D. u1  3; d  2.

 2u  n 1 d  2u1  2n 1 d
Lại có: 4S n S2 n  4  1
.n  
.2n  2u1  d  0.
2
2


Từ 1 và 2  suy ra u1  2; d  4. Chọn A.

1


2 

Câu 6. Cho un  là một cấp số cộng với các số hạng dương và S n là tổng n số hạng đầu tiên.
Giả sử

S2018 20182
u
a
a

thì 2018  với là phân số tối giản và a, b là các số nguyên dương.
2
S2019 2019
u2019 b
b

Tổng a  2b bằng
A. 6055.
B. 6056.
C. 12107.
D. 12109.
Lời giải. Gọi u1 và d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng un .

 2u1  2017d 

.2018

S2018 2018
2u  2017d 2018


20182
2
Theo đề:



 1

 d  2u1 .
2
2


2
u

2018
d
S2019 2019
2u1  2018d 2019
 2019 2019
 1


2
u
u  2017d u1  2017.2u1 4035
a  4035
Khi đó 2018  1




 
. Chọn D.
b  4037
u2019 u1  2018d u1  2018.2u1 4037
2

Câu 7. Cho hai cấp số cộng un  và vn  có tổng n số hạng đầu tiên là S n và Tn . Biết rằng

Sn 6n  1
u

. Tỉ số 11 bằng
Tn 9n  1
v11
A.

u11
77

.
v11 100

Lời giải. Ta có

B.

u11 121


.
v11 181

C.

u11 127

.
v11 190

D.

u11 133

.
v11 199

u11
u  10d
 1
với d và d  lần lượt là công sai của un  và vn .
v11 v1  10d 

n

2u1  n 1 d  6 n  1
2u  n  1 d
Sn 6n  1
6n  1

2
Theo giả thiết:



 1

.
n

Tn 9n  1
2v1  n 1 d
9n  1
2v1  n 1 d   9 n  1

2
u
6.21  1 2u1  20d
127 u1  10d
127
Thay n  21, ta được



hay 11 
. Chọn C.


9.21  1 2v1  20d
190 v1  10d

v11 190
Câu 8. Cho cấp số cộng un  có S m  Sn m  n . Giá trị của S m n bằng
A. 0.

B. 2Sn .

C. 4S n .

2u1  m  n 1 d 
 .m  n .
Lời giải. Ta có S m n  
2
2u  m 1 d
2u  n  1 d
Theo giả thiết: S m  Sn  1
.m  1
.n
2
2

D. S n2 .


 2m.u1  m m 1.d  2n.u1  n n 1.d
 2u1 m  n   m  n m  n 1 d  0
 m  n   2u1  m  n 1 d   0.

Vì m  n nên 2u1  m  n 1 d  0 suy ra S m n  0. Chọn A.

Câu 9. Cho cấp số cộng un  thỏa mãn 5S7  7S5  70. Công sai của cấp số cộng bằng

A. 2.

B. 3.

D. 70.

C. 37,5.

Lời giải. Gọi u1 và d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng un .
Ta có 5S7  5 7u1  21d   35u1  105d và 7S5  7 5u1  10d   35u1  70 d .

Theo đề: 5S7  7S5  70  35u1  105d  35u1  70d   70  35d  70  d  2. Chọn A.

4355
. Giá trị của biểu thức
2017
1
1
1
S

 ... 
bằng
u1  u2
u2  u3
u2017  u2018

Câu 10. Cho cấp số cộng un  với u1  1, công sai d 

A.


1950
.
67

B.

2017
.
67

u2  u1

Lời giải. Ta có S 

u2  u1



u2018  u1

D.

u3  u2
u3  u2

 ... 

2338
.

2017

C.

2017
.
4355

u2018  u2017
u2018  u2017

u1  2017d  u1

2017
. Chọn D.
67
3
Câu 11. Cho cấp số cộng un  với u1  1, công sai d 
. Giá trị của biểu thức
2018
1
1
1
S

 ... 
bằng
u1 u2  u2 u1 u2 u3  u3 u2
u2018 u2019  u2019 u2018



A.

d

1
.
2

B.

Lời giải. Ta có


Do đó S 





1
.
3

C.

1
un un 1  un 1 un
1
un un 1


.

d



un 1  un
un 1  un

un .un 1






1009
.
3

1
un  un 1

D.

2018
.
3




un 1  un
1
1  1
1 
.
 

.
un 1  un
d  un
un un 1
un 1 

1  1
1
1
1
1
1  1  1
1 





...









d  u1
u2
u2
u3
un
un 1  d  u1
u2019 

 1009
1  1
1
 


. Chọn C.
d  u1
3
u1  2018d 

Câu 12. Cho cấp số cộng un  với u1  1, công sai d  5. Giá trị của biểu thức

S

1

1
1
1

 ... 

bằng
u1u2 u2 u3
u48 u49 u49 u50
4


9
49
.
C.
.
D. 123.
246
246
1
1
1
1
1
1
1
1
Lời giải. Ta có S 


 ... 



 ... 

u1u2 u2 u3
u48 u49 u49 u50 1.6 6.11
231.236 241.246
1 1 1 1 1
1
1
1
1  1 
1  49
      ... 



. Chọn C.
  1 


5 1 6 6 11
231 236 241 246  5  246  246
Câu 13. Một cấp số cộng có số hạng đầu u1  2018 và công sai d  5. Hỏi bắt đầu từ số
hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm?
A. u403 .
B. u404 .
C. u405 .

D. u406 .
A.

4
.
23

B.

Lời giải. Số hạng tổng quát của CSC là un  2018  5 n 1.

2023
 404,6. Chọn C.
5
Câu 14. Cho cấp số cộng un  có công sai d  3 và u22  u32  u42 đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng
Để un  0  2018  5 n 1  0  n 

100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng
A. 14250.
B. 14400.
C. 14650.

D. 15480.

Lời giải. Ta có P  u  u  u  u1  3  u1  6  u1  9  3u  36u1  126.
2
2

2
3


2
4

2

2

Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất khi u1  6.

2

2
1

2.6  99.3
2u1  99d
.100 
.100  14250. Chọn A.
2
2
Câu 15. Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên dương n; k  biết n  20 và các số C nk 1 ; C nk ; C nk 1
Vậy S100 

theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng?
A. 2.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
n   * , k   *

Lời giải. Điều kiện: 
.

n  k  1
Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 2C nk  C nk 1  C nk 1



2.n !
n!
n!
2


 n  2 k   n  2.
n  k ! k ! n  k  1!k 1! n  k 1!k  1!

* 

Do n  20  n  2  22, mà n  2 là số chính phương và n, k nguyên dương nên ta có các
trường hợp sau:
 
• n  2  4  n  2 
 k  2 loaïi .
*

k  2
*
• n  2  9  n  7  
.

k  5

k  5
 *
• n  2  16  n  14  
.
k  9

Vậy có 4 bộ số thỏa mãn. Chọn B.

Phần 2. Cấp số nhân


Câu 1. Cho cấp số nhân un  với u1  1, công bội q  2 và cấp số cộng vn  có v1  2, công
sai d  2. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt đồng thời trong 1000 số hạng đầu tiên của cả hai
cấp số cộng nói trên?
A. 9.
B. 10.
C. 11.
D. 12.
n 1
*

n, m  
un  2

Lời giải. Dễ dàng ta có 
với 
.







1  n, m  1000
vm  2  m 1 2  2m
Cho un  v m 
 2 n1  2m  m  2 n 2.
Do m  1000 nên suy ra 2 n2  1000  n  2  log 2 1000  9,9.

Suy ra có 11 giá trị n nên có 11 phần tử bằng nhau. Chọn C.
Câu 2. Cho các số a, b, c theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1; đồng thời
theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.
148
Biết tổng a  b  c 
, giá trị biểu thức T  a  b  c bằng
9
20
52
20
52
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

3
3
9
9
Lời giải. Gọi m là công sai, khi đó theo giả thiết ta có b  a  3m và c  a  7m.
148
Suy ra a  b  c  3a  10m 
. 1
9
Theo tính chất cấp số nhân, ta có b 2  ac  a  3m   a a  7 m   m a  9m   0.
2

• m  0 : suy ra a  b  c : không thỏa mãn (do cấp số nhân với công bội khác 1 ).
a  4

16
64
52
• a  9m  0 : kết hớp với 1, ta được 

T  . Chọn D.

4 b ; c 
m 
3
9
9

9
Câu 3. Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân ;

cũng có thể coi là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu
số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820 ?
A. 17.
B. 20.
C. 21.
D. 42.
Lời giải. Gọi ba số đó là x , y, z . Do ba số là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp
số cộng nên ta có: y  x  7d và z  x  42d (với d là công sai của cấp số cộng).
Theo giả thiết, ta có: x  y  z  217 
 3 x  49d  217.
Mặt khác, do x , y, z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên
d  0
2
y 2  xz   x  7d   x  x  42 d   d 4 x  7d   0  
.
4 x  7d  0

217
217 2460
● Với d  0, ta có: x  y  z 
. Suy ra n  820 :

 .
3
3
217
4 x  7d  0
 x  7
● Với 4 x  7d  0, ta có: 
 

. Suy ra u1  7  4  3.

3 x  49 d  217 d  4

 n  20
2u1  n 1 d  n
 2.3  4 n 1 n



Khi đó S n  820 
 820 
 820  
41 . Chọn A.
n  
2
2

2
6


Câu 4. Cho bốn số thực a, b, c , d thỏa mãn a  d  14 và b  c  12. Biết rằng a, b, c theo
thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q  1; còn b, c , d theo thứ tự đó lập thành
cấp số cộng. Tìm q.

19  73
3
5
B. q  .

C. q  2.
D. q 
.
2
24
3
Lời giải. Do a, b, c theo thứ tự đó lập thành một CSN với công bội q nên b  aq, c  aq 2 .
A. q 

a  d  14
a  d  14


b  aq , c  aq 2 .
Theo giả thiết ta có b  c  12  
 aq  aq 2  12


b  d  2c
aq  d  2aq 2

1
2.
3

12
. Thay vào 3 ta được
q  q2

3

 q   loaïi
12q
14 q 2  14 q 12
24 q 2
2




5
q

13
q

6

0

. Chọn C.
5

q  q2
q  q2
q  q2
 q  2
Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Biết độ dài cạnh đáy BC , đường cao AH và cạnh bên
AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q. Giá trị của q 2 bằng
Vì q  1 nên từ 1 và 2 , ta có d  14  a và a 


2 1
2 1
2 2
.
B.
.
C.
.
2
2
2
Lời giải. Vì BC , AH , AB theo thứ tự lập thành CSN
A.

D.

2 2
.
2



AH 2  BC .AB


  AB
.

 q2




 BC
Ta có: AH 2  AB 2 

 AB 
BC 2
AB
AB
2 1
 AB.BC  4 
 1  0 


. Chọn C.
  4

 BC 
4
BC
BC
2
2

Câu 6. Cho cấp số nhân un  có tổng n số hạng đầu tiên là S n 

3n  1
. Tìm số hạng thứ 5
3n1


của cấp số nhân đã cho.
2
1
5
A. u5  4 .
B. u5  5 .
C. u5  35.
D. u5  5 .
3
3
3

35  1
S5  4
35  1 3 4  1 2
3
Lời giải. Ta có 
 u5  S5  S 4  4  3  4 . Chọn A.

4

3
3
3
3 1
S 4  3
3


Câu 7. Cho x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2  4 x  a  0; x 3 , x 4 là hai nghiệm của

phương trình x 2  36 x  b  0. Biết x1 , x 2 , x 3 , x 4 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?
A. a 3 và b 3.
B. a 5 và b 5.
C. a 3 và b 5.
D. a 5 và b 3.
 x 3  x 4  36
 x1  x 2  4

Lời giải. Theo định lí Vi-et, ta có 
và 
.


 x1 .x 2  a


 x 3 .x 4  b


Gọi q là công bội của CSN x1 , x 2 , x 3 , x 4 . Suy ra q 2 

x 3  x 4 36

 9 
 q  3.
x1  x 2
4

● Với q  3 thì x1  1; x 2  3; x 3  9; x 4  27 

 a  3, b  243.

● Với q  3 thì x1  2; x 2  6; x 3  18; x 4  54 
 a  12, b  972.
Thử lại, ta nhận được hai cặp a, b  là: 3;243 và 12, 972 . Chọn B.


u1  u2  u3  ...  un  2017



Câu 8. Cho cấp số nhân un  có các số hạng đều dương và  1
.
1
1
1

   ...   2018

un


 u1 u2 u3
Tính tích P  u1 .u2 .u3 .....un .
 2017 
 2017 
A. P  
. B. P  
 .
 2018 

 2018 
n

 2018 
C. P  
.
 2017 

 2018 
D. P  
.
 2017 

n

n

Lời giải. Ta có P  u1 .u1 .q .....u1 .q n1   u1n .q

1 2 3...n 1

Theo giả thiết, ta có A  u1  u2  u3  ...  un  u1 .

 u1n .q

n

n  n1

q n 1

q 1

1
1
1
1
1  1 1
1  1
Và B     ...   .1   2  ...  n 1   .

u1 u2 u3
un u1 
q q
q  u1

2

n 1 

 u1.q 2  .


n

1
1 q n 1 1
qn
 .
.
.

1
u1 q 1 q n1
1
q

1

n
n
n 1 

 A
 2017 
A
 u12 .q n1  u1 .q 2  . Vậy P     
. Chọn A.

 B 


 2018 
B

2

Suy ra

Câu 9. Xét các cấp số nhân có 2n  1 số hạng dương ( n là số nguyên dương) thỏa tổng tất cả
các số hạng của nó bằng 400 và tổng tất cả các nghịch đảo của các số hạng của nó bằng 4. Giá
trị lớn nhất của n là

A. 17.
B. 18.
C. 19.
D. 20.
Lời giải. Ta có 400  u1  u2  ...  u2 n 1  2n  1 2 n 1 u1 .u2 ...u2 n 1 .
Lại có 4 

2n  1
1
1
1
  ... 

.
2
n

1
u1 u2
u2 n 1
u1 .u2 ...u2 n 1

Nhân vế theo vế, ta được 1600  2n  1 . Suy ra 2n  1  40  n 
2

39
.
2

Vậy n  19 là giá trị lớn nhất của n thỏa mãn. Chọn C.

Câu 10*. Cho cấp số nhân un  với u1  sin x , u2  cos x , u3  tan x lần lượt là ba số hạng đầu
tiên. Tìm n để số hạng un  1  cos x .
A. n  7.

B. n  8.

C. n  9.
u
cos x
Lời giải. Từ giả thiết suy ra công bội của CSN là q  2 
.
u2
sin x

D. n  10.

Theo tính chất CSN ta có u1 .u3  u22  sin x .tan x  cos 2 x  cos 3 x  cos 2 x 1  0. 1
Đặt t  cos x , 1  t  1. Khi đó 1 trở thành t 3  t 2  1  0.
8

2 


 cos x 
Ta có 1  cos x  un  u1.
 sin x 

n 1

Suy ra 1  cos x  

2

 1  t  
2



cos n1 x
.
sin n 2 x

cos 2 n 2 x
cos 2 n2 x

2 n 4
sin
x 1  cos 2 x n 2

t 2 n 2

 1  t  1  t 2 
2

n 2

 t 2 n 2  1  t  t 4 1  t 2 
2

1  t 
2

n 2
2
n 2
2
 1  t  t 2  1  t 2   t 2 n  2  t 2  t 3  1  t 2   t 2 n 2
n 2
 t 3   t 2 n  2  t 3 n 6  t 2 n 2  t n8  1.
2 n 2

n 2

 t 2n2

Suy ra n  8  0  n  8. Chọn B.

Phần 3.

Ứng dụng của CSC – CSN
trong hình học

Câu 1. Cho dãy hình vuông H 1 ; H 2 ;...; H n ;.... Với mỗi số nguyên dương n, gọi un , Pn và S n
lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích cảu hình vuông H n . Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A. Nếu un  là cấp số cộng với công sai khác 0 thì  Pn  cũng là cấp số cộng.
B. Nếu un  là cấp số nhân với công bội dương thì  Pn  cũng là cấp số nhân.
C. Nếu un  là cấp số cộng với công sai khác 0 thì S n  cũng là cấp số cộng.

D. Nếu un  là cấp số nhân với công bội dương thì S n  cũng là cấp số nhân.

Lời giải. Giả sử dãy u1 ; u2 ;...; un là cấp số cộng có công sai d  0.

Suy ra un  u1  n 1 d , suy ra 4 un  4u1  n  1 4 d .

Do đó dãy  Pn  có dạng 4 u1 ;4 u2 ;...;4un là cấp số cộng có công sai 4 d  0. Vậy A đúng.
Giả sử dãy u1 ; u2 ;...; un là cấp số nhân có công bội q  0. Suy ra un  u1 .q n 1 , suy ra
• un2  u12 .q 2 n2  u12 .q 2 

n 1

bội q 2  0. Vậy D đúng.

. Do đó dãy S n  có dạng u12 ; u22 ;...;4 un2 là cấp số nhân có công

• 4 un  4u1 .q n 1 . Do đó dãy  Pn  có dạng 4 u1 ;4 u2 ;...;4un là cấp số nhân với công bội

q  0. Vậy B đúng.
Bằng phương pháp loại trừ, ta Chọn C.
Câu 2. Một hình vuông ABCD có cạnh AB  a, diện tích S1 . Nối bốn trung

điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự của bốn cạnh AB, BC , CD, DA ta được
hình vuông thứ hai là A1 B1C1 D1 có diện tích S 2 . Tiếp tục như thế ta được
hình vuông thứ ba là A2 B2C 2 D2 có diện tích S3 , ... và cứ tiếp tục làm như
vậy mãi mãi, ta được các hình vuông lần lượt có
diện tích S 4 , S5 , ..., S n , ... Khi đó, tổng diện tích S của tất cả các hình vuông đó bằng
A. S  2a 2 .

B. S 

3a 2
.
2


C. S  2 a 2 .

D. S  3a 2 .


Lời giải. Ta tính được S1  a 2 ; S 2 

a2
a2
a2
; S3  ; ...; Sn  n1 ; ...
2
4
2

1
Ta thấy S n  là một cấp số nhân, có số hạng đầu S1  a 2 và công bội q  .
2
Suy ra S n  là cấp số nhân lùi vô hạn, nên

S1
a2

 2a 2 . Chọn C.
1 q 1 1
2
Câu 3. Cho hình vuông A1 B1C1 D1 có cạnh bằng 1. Gọi Ak 1 ; Bk 1 ; C k 1 ;
S  S1  S2  ...  Sn  ... 


Dk 1 thứ tự là trung điểm các cạnh Ak Bk ; Bk C k ; C k Dk ; Dk Ak (với

k  1; 2... ). Chu vi của hình vuông A2018 B2018C 2018 D2018 bằng

A.

2
1006

.

B.

2
1007

.

C.

2
2017

.

D.

2
2
2

2
Lời giải. Hình vuông A1 B1C1 D1 có cạnh bằng 1 nên có chu vi bằng u1  4.
Gọi chu vi hình vuông Ak Bk C k Dk là uk , suy ra Ak Bk 
Suy ra Ak 1 Bk 1 

2
2018

.

uk
.
4

u 2
2
Ak Bk  k
.
2
8

Do đó hình vuông Ak 1 Bk 1C k 1 Dk 1 có chu vi uk 1  4 Ak 1 Bk 1 

uk 2
u
 k .
2
2

u1  4

1

Xét dãy số un  thỏa 
nên có số hạng tổng
u là một cấp số nhân có công bội q 
uk 1  k
2

2
quát un  u1 .q n 1 

4

 2

n 1

. Suy ra u2018 

4

 2

2017



4. 2
2
 1007 . Chọn B.

21009
2

Câu 4. Với hình vuông A1 B1C1 D1 như hình vẽ bên, cách tô màu như
phần gạch sọc được gọi là cách tô màu '' đẹp '' . Một nhà thiết kế tiến
hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:
Bước 1: Tô màu '' đẹp '' cho hình vuông A1 B1C1 D1 .
Bước 2: Tô màu '' đẹp '' cho hình vuông A2 B2C 2 D2 là hình vuông ở chính giữa khi chia hình
vuông A1 B1C1 D1 thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ.
Bước 3: Tô màu '' đẹp '' cho hình vuông A3 B3C 3 D3 là hình vuông ở chính giữa khi chia hình
vuông A2 B2C 2 D2 thành 9 phần bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu
bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm 49,99% .
A. 4 bước.
B. 7 bước.
C. 8 bước.

10

D. 9 bước.


Lời giải. Gọi diện tích được tô màu ở mỗi bước là un , n   . Dễ thấy dãy các giá trị un là một

4
1
và công bội q  .
9
9

cấp số nhân với số hạng đầu u1 


q k 1
.
q 1

Gọi S k là tổng của k số hạng đầu trong cấp số nhân đang xét thì S k  u1
Để tổng diện tích phần được tô màu chiếm 49,99% thì

u1 q k 1
q 1

 0, 4999  k  3,8.

Vậy cần ít nhất 4 bước. Chọn A.
Câu 5. Để trang hoàng cho căn hộ của mình, An quyết định tô màu một
miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Bạn ấy tô màu đỏ các hình vuông
nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, ..., n, ..., trong đó cạnh của hình
vuông kế tiếp bằng một nửa hình vuông trước đó (như hình bên). Giả
sử quy trình tô màu của An có thể tạo ra vô hạn. Hỏi bạn An tô màu
đến hình vuông thứ mấy thì diện tích

1
?
1000

của hình vuông được tô nhỏ hơn

A. 3.
B. 4.
C. 5.

D. 10.
Lời giải. Gọi diện tích các hình vuông được tô lần 1, 2, 3, ..., n, ..., lần lượt là

S1 , S 2 , S3 , ..., S n , ...
1
1
1
1
Khi đó diện ta tính được S1    , S 2   2  , S3   3  , ..., S n   n  , ...
 2 
 2 
 2 
 2 
2

2

2

2

1
1
n  *
Theo đề S n   n  
 4 n  1000 
 n  5.
 2 
1000
Vậy tối thiểu An phải tô đến hình vuông thứ 5 thì diện tích của hình vuông được tô nhỏ hơn

1
. Chọn C.
1000
Câu 6. Cho hình vuông C1 có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi
cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm
chia một cách thích hợp để có hình vuông C 2 (hình vẽ). Từ hình
2

vuông C 2 lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình
vuông C1 , C 2 , C 3 ,..., C n . Gọi Si là diện tích của hình vuông

C i i  1,2,3,..., n.

Giá trị của lim S1  S 2  ...  Sn  bằng
n 

A. a 2 2.

B. 2a 2 2.

C.

Tương tự ta có S3 

D.

8a 2
.
3


 3a   a 
      a 10 . Do đó S 2  10 S1 .
 4   4 
4
16
2

Lời giải. Cạnh của hình vuông C 2 là

5a 2
.
2

10
10
S 2 ; ... ; Sn  Sn 1 .
16
6

2


n 1
 10  10 2 10 3
10  
Khi đó S1  S 2  ...  Sn  S1 1           ...     .
16  16  16 
16 




8
8a 2
Suy ra lim S1  S2  ...  S n   S1 
. Chọn D.
n 
3
3

Câu 7. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh
của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam
giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1 B1C1 ,

A2 B2C 2 , A3 B3C 3 , ... sao cho A1 B1C1 là một tam giác đều cạnh

bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n  2, tam giác An BnC n

là tam giác trung bình của tam giác An1 Bn 1C n1 . Với mỗi số
nguyên dương n, kí hiệu S n tương ứng là diện
tích hình tròn ngoại tiếp tam giác An BnC n . Tính tổng S  S1  S 2  ...  Sn  ...

15
9
.
B. S  4 .
C. S 
.
D. S  5.
4
2

Lời giải. Dễ dàng tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác A1 B1C1 là R1  3
A. S 

nên S1  3.

Tam giác A2 B2C 2 có được qua phép biến hình
Ta tính được S3 

V

1
 O ; 
2


nên suy ra S2 

3
.
4

3
3
; ...; S n  n 1 ; ... Ta thấy S n  là một cấp số nhân, có S1  a 2 và công
2
4
4

1
bội q  . Do đó, S n  là cấp số nhân lùi vô hạn, nên

4
S
3
S  S1  S2  ...  Sn  ...  1 
 4 . Chọn B.
1 q 1 1
4
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi A1 B1C1 D1 là tứ diện với
các đỉnh lần lượt là trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC và có
thể tích V1 . Gọi A2 B2C 2 D2 là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm
tam giác B1C1 D1 , C1 D1 A1 , D1 A1 B1 , A1 B1C1 và có thể tích V2 ... cứ như
vậy cho tứ diện An BnC n Dn có thể tích Vn với n là số tự nhiên lớn hơn

1.
Giá trị của biểu thức lim V V1  ... Vn  bằng
n 

9V
27V
V
.
B.
.
C.
.
8
26
27
Lời giải. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BD , BC .
A.


12

D.

82V
.
81



C1 D1  2 MN
1
V

3
Ta có 
 C1 D1  CD. Suy ra V1  3 .


1
3
3
 MN  CD
2


V
V
V

; V3  9 ; ...; Vn  3 n .
36
3
3

1
1
1
1 
Ta có V V1  ... Vn  V 1  3  6  9  ...  3 n .
 3
3
3
3 
1 1 1
1
1
Để ý rằng 1; 3 ; 6 ; 9 ; ...; 3n là một cấp số nhân có n số hạng với u1  1 và q  . Do
3 3 3
3
27
Tương tự, ta tính được V2 

1
1   
n
 27 
1
1
1

1
27   1  
đó 1  3  6  9  ...  3 n 
 . 1     .
1
3
3
3
3
26   27  
1
27
n
27V   1  
27V
Vậy V V1  ... Vn 
. 1     nên lim V V1  ... Vn  
. Chọn B.
n 
26   27  
26
n

Câu 9. Cho hình cầu C1  có bán kính R1 , bên trong C1  ta dựng một
hình nón nội tiếp  N 1  có góc đỉnh bằng 60 . Bên trong hình nón

N 1  ta dựng một mặt cầu C 2  nội tiếp  N 1 ; và cứ tiếp tục như thế
ta dựng đến hình cầu thứ n là C n . Gọi V1 ,V2 ,...,Vn là thể tích của
các khối cầu C1 , C 2 ,.., C n .
Tính I  lim V1 V2  ... Vn .

n 

8 R13
16 R13
16 R13
32 R13
.
B. I 
.
C. I 
.
D. I 
.
21
21
7
7
Lời giải. Gọi bán kính của các khối cầu C1 , C 2 , ..., C n  lần lượt là R1 , R2 , ..., Rn .
A. I 

R1
R
R
R
. Tương tự, ta có R3  2  21 ; ...; Rn  n 11 .
2
2
2
2
2

3
n 1
3 
 1  
4  R1 
1  1   1 

Ta có V1 V2  ... Vn 
1




...

   
   .
8 
3 
8  8   8 

2
3
n1
 1 
1  1   1 
1
Để ý rằng 1; ;  ;  ;...;  là một cấp số nhân có n số hạng với u1  1 và q  .




8 
8 8  8
8
Dễ thấy R2 

1
1   
 8 

n

 1
1 1 1
Do đó 1         ...   



 8
8 8 8
2

Vậy V1 V2  ... Vn 

3

n 1




n
8  1 
 . 1     .
1
7   8  
1
8

n
32 R13   1  
32 R13
. 1     nên lim V1 V2  ... Vn  
. Chọn D.
n 
21
21   8  


Câu 10. Cho khối nón có góc ở đỉnh của thiết diện qua trục là

. Một khối cầu S1  nội tiếp trong khối nón. Gọi S 2 là khối
3
cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với S1 ; S 3 là
khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
S2 ; ...; Sn là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của
nón và với S n1 . Gọi V1 , V2 , ..., Vn lần lượt là thể tích của khối
cầu S1 , S2 , ..., Sn và V là thể

V1 V2  ... Vn
.

V
1
3
7
6
A. T  .
B. T  .
C. T  .
D. T  .
2
5
9
13
Lời giải. Gọi bán kính của các khối cầu S1 , S2 , ..., Sn lần lượt là R1 , R2 , ..., Rn .
tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức T  lim

n 

R1
R
R
R
. Tương tự, ta có R3  21 ; R4  31 ; ...; Rn  n11 .
3
3
3
3
2
3
n 1

n
 1   18 R13   1  
4  R13 
1  1   1 


Ta có V1 V2  ... Vn 
1




...


.
1

.







 27  
3 
27  27   27 
13   27  


Dễ thấy R2 

R 
 R13
1
Thể tích khối nón V  .3 R1 .  1  
.
 3 
3
3
2

Vậy suy ra T  lim

n 

Phần 4.

V1 V2  ... Vn
6
 . Chọn D.
V
13

Ứng dụng của CSC – CSN
để tìm số hạng tổng quát của dãy số
Dạng 1. un1  aun  f n  với f n  là một đa thức

u1  5

Câu 1. Cho dãy số un  xác định 
. Giá trị nhỏ nhất của n để tổng

un 1  3un  4 , n   *

3
2n
u1  u2  ...  un  5100 
là
3
A. 144.
B. 145.
C. 146.
D. 147.


4
2
2
Lời giải. Ta có un 1  3un 
 un 1   3 un  .

3
3
3
2
? Ta làm thế này, coi như chưa biết số đó là bao nhiêu và
3
2
đặt là , khi đó ta cần có un 1    3 un   . Từ đó suy ra   .

3
Câu hỏi đặt ra là sao biết con số

14




17
v1  17
v 
2


3

 vn  là cấp số nhân với  1
3 nên có tổng


3
*
q  3
vn 1  3vn , n  
n
n
q 1 17 3 1 17 n
v1  v2  ...  vn  v1 .
 .
 3 1.

q 1
3 3 1
6




2
2
2
Suy ra u1  u2  ...  un  v1    v2    ...  vn  




3 
3
3
Đặt vn  un 

2n 17 n
2n
 3  1  .
3
6
3
17 n
2n
2n
17

CASIO
Yêu cầu bài toán:
 n  145,55.
3 1  3  5100  3  6 3n 1  5100 
6
Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn bài toán là n  146. Chọn C.
u1  11
Câu 2. Cho dãy số un  xác định 
. Hỏi u2018 bằng

un 1  10un  1  9n, n   *

A. 2018.
B. 10 2018.
C. 10 2018  2018.
D. 20182018.
Lời giải. Ta thấy 1  9n là đa thức bậc nhất. Do đó ta cần có sự phân tích



un 1  a n  1  b  10 un   an
 b  .



 baäc nhaát theo n

baäc nhaát theo n 1
Đồng nhất với giả thiết, ta tìm được a  1, b  0. Khi đó
 v1  v 2  ...  vn  


un 1  10un  1  9 n  un 1  n  1  10 un  n .

v1  10
v  10
Đặt vn  un  n 
 

 v n  là một CSN có  1
nên có số hạng
vn 1  10vn , n   *
q  10

tổng quát v n  v1 .q n1  10 n , suy ra un  10 n  n. Vậy u2018  10 2018  2018. Chọn C.
u1  2
Câu 3. Cho dãy số un  xác định 
. Hiệu u2018  2u2017 bằng

un 1  4un  4  5n, n   *

A. 2015  3.4 2017. B. 2015  3.4 2017.
C. 2016  3.4 2018.
D. 2016  3.4 2018.



Lời giải. Ta phân tích: un 1  a n  1  b  4 un   an
 b  .




 baäc nhaát theo n


baäc nhaát theo n 1
Đồng nhất với giả thiết, ta tìm được a  1, b  1. Khi đó

un 1  4un  4  5n  un 1  n  4 un  n 1.

v1  2
v  2
Đặt vn  un  n 1 
 

 v n  là một CSN có  1
nên có số
*
vn 1  4v n , n  
q  4

hạng tổng quát vn  2.4 

n 1

Vậy u2018  2u2017  2.4 

2017

, suy ra un  2.4 


n 1

 2017  2  2.4 

2016

 n  1.

 2016   2015  3.4 2017. Chọn A.


3


u1 
Câu 4. Cho dãy số un  xác định 
2
. Tổng 10 số hạng đầu tiên của

*

u

2
u

n

1,
n




n

 n 1
dãy số đã cho bằng


1023
1133
.
B.
.
C. 1023.
2
2
Li gii. Tng t nh trờn, ta cú un 1 n 1 2 un n .
A.

D. 1078.


v1 1
1
t vn un n

2

v n .2 n 1 2 n 2

un 2 n2 n.

2
*
vn 1 2v n , n
Vy tng cn tớnh bng 21 2 0 21 ... 28 1 2 ... 10

1133
. Chn B.
2

u1 1
Cõu 5. Cho dóy s un xỏc nh
. Hi u50 bng

un 1 un 2n 1, n *

A. 2401.
B. 2402.
C. 2500.
D. 2501.




Li gii. Nu ta phõn tớch nh cỏc bi trc l un 1 a n 1 b un an

b
thỡ khụng


baọ

c nhaỏt theo n

baọc nhaỏt theo n 1
tỡm c a, b. Lớ do l bi ny h s ca un 1 v un bng nhau.
Ta phi phõn tớch nh th ny

2
un 1 a n 1 b n 1 un an
bn .


nhử treõn vaứ nhaõn theõm n
2

nhử treõn vaứ nhaõn theõm n +1

ng nht vi gi thit, ta tỡm c a 1, b 2. Khi ú

un 1 un 2n 1 un 1 n 1 2 n 1 un n 2 2n.
2

v1 2
t vn un n 2 2 n


vn 2.
vn 1 vn , n *



Suy ra un n 2 2n 2 n 1 1. Vy u50 49 2 1 2402. Chn B.
2

u1 1
Cõu 6. Cho dóy s un xỏc nh
. Hi u50 bng

un 1 un n 2 2, n *

A. 38119.
B. 40522.
C. 40524.
D. 42811.
Li gii. Bi ny h s ca un 1 v un bng nhau nờn ta phõn tớch
3
un 1 a n 1 b n 1 c n 1 un an

bn2 cn

.

3

2

1
1
13
ng nht vi gi thit, ta tỡm c a , b , c . Khi ú

3
2
6
1
1
13
1
1
13
3
2
un 1 un n 2 2 un 1 n 1 n 1 n 1 un n 3 n 2 n.
3
2
6
3
2
6

v1 3
1
1
13
t vn un n 3 n 2 n


v n 3.

*


3
2
6

vn 1 vn , n
1
1
13
Suy ra un n 3 n 2 n 3. Vy u50 40522. Chn B.
3
2
6

16


u1  1

Câu 7. Cho dãy số un  được xác định bởi công thức truy hồi 
. Tính

2
*

u

3
u

2,

n



n

1
n


2
tổng S  u12  u22  ...  u2018
 2018 bằng
A. 32018  2019.

B. 32018  2018.

C. 32018  1.

D. 32018.

Lời giải. Ta có un 1  3un2  2  un21  3.un2  2.

Ta cần tìm  sao cho un21    3 un2   . Đồng nhất ta được   1. Khi đó

un21  3.un2  2  un21  1  3 un2  1.

v1  2
Đặt vn  un2  1 
 


 vn  là cấp số nhân với
vn 1  3vn , n   *

tổng quát v n  2.3n 1. Suy ra un2  v n  1  2.3n1  1.

v1  2
nên có số hạng

q  3

Khi đó S  2 1  31  32  ...  32017   32018  1. Chọn C.

u1  1

Câu 8. Cho dãy số un  xác định 
. Hỏi u50 thuộc khoảng nào

un 1  2 un2  n  2 , n   *
2

3
n n
sau đây?
A. 0; 0,1225.
B. 0,1225; 0,245.
C. 0,245; 0,3675.
D. 0,3675; 0,5.
Lời giải. Ta có un 1 


2 2
n2
2
n2
un  2
 un21  un2 
.
3
n n
3
n n  1


2

 un2  . Đồng nhất ta tìm được   3. Khi đó

n 1 3 
n
2
n

2
3
2
3
un21  un2 
 un21 
 un2  .


3
n n  1
n 1 3 
n

Ta cần phân tích un21 

v1  2
v1  2

3

Đặt vn  u  


 vn  là cấp số nhân với 
nên có số
2
*
vn 1  v n , n  
q  2
n


3
3

2
n


2
hạng tổng quát vn  2 . 
 3 

n 1

Suy ra u50  0,2449. Chọn B.

2
3 3
. Suy ra u  vn    2. 
 3 
n n
2
n

n 1

2
3
 un 
 2. 
 3 
n

n 1

.



u1  1



Câu 9. Cho dãy số un  xác định bởi 
. Hỏi u2018 thuộc
n 3

un 1  2un  2
, n  *


n  3n  2


khoảng nào sau đây?
A. 2 2015 ; 2 2016 . B. 2 2016 ; 2 2017 .
C. 2 2017 ; 2 2018 .
D. 2 2018 ; 2 2019 .
Lời giải. Do


n 3
n 3

 
 2 un 

. Ta cần phân tích un 1 
.



n  3n  2 n  1n  2 
n2
n  1
2

Đồng nhất ta tìm được   1. Khi đó



1
1 
 2 un 
.

n 2
n  1

1

v1  1
v1 
1

Đặt vn  un 



 vn  là cấp số nhân với 

2
2 nên có số hạng tổng


n 1
q  2
vn 1  2vn
un 1  2un 

n 3
n 2  3n  2

 un 1 

1
1
1
quát vn  .2 n 1  2 n 2. Suy ra un  2 n 2 
. Vậy u2018  2 2016 
. Chọn B.
2
n 1
2019

u1  1



Câu 10. Cho dãy số un  xác định 
. Hỏi u2018 bằng

1
n 1 
*

un 1  2un  2
, n  



3
n  3n  2 



2 2016
1

.
2017
3
2018
2 2017
1
 2018 
.
3
2018

2 2016
1


.
2017
3
2019
2 2017
1
C. u2018
D. u2018  2018 
.
3
2019

2
 
Lời giải. Tương tự như bài trên, ta cần phân tích un 1 
 un 
.

n2 3
n  1
Đồng nhất ta tìm được   1. Khi đó
1
n 1 
1
2
1 
un 1  2un  2
 un 
  un 1 

.





3
n  3n  2
n2 3
n  1
1

v1 

1
1
2

2
Đặt vn  un 

 

 v n  là cấp số nhân với v1  , q  nên có số

2
n 1
2
3
vn 1  v n

3

n 1
n 1

1 2
1 2
1
hạng tổng quát vn  v1 .q n1  .  . Suy ra un  .  
.
2  3 
2  3 
n 1
A. u2018 

1 2
Vậy u2018  . 
2  3 

2017



B. u2018 

1
2 2016
1
 2017 
. Chọn B.

2019 3
2019

Dạng 2. un1  un  f n . n với f n  là một đa thức


u1  1
Câu 1. Cho dãy số un  xác định bởi 
. Số hạng thứ 10 của dãy

n


un 1  3un  2 , n  1;2;3;...
bằng
A. 19171.
B. 20195.
C. 58025.
D. 60073.
Lời giải. Ta phân tích: un 1  a.2 n 1  3 un  a.2 n .
Đồng nhất với giả thiết, ta tìm được a  1. Khi đó

un 1  3un  2 n  un 1  2 n 1  3 un  2 n .

v1  3
Đặt vn  un  2 n 
 

 vn  là một cấp số nhân với công bội q  3
vn 1  3vn , n   *


nên có số hạng tổng quát v n  3.3n 1  3n , suy ra un  3n  2 n.
18


Vậy u10  310  210  58025. Chọn C.

u1  2019

Câu 2. Cho dãy số un  xác định bởi 
. Số hạng thứ 2020 của

n 1


un 1  7un  7 , n  1;2;3;...
dãy có dạng 7 2019.M , khẳng định nào sau đây đúng?
A. M  12121.
B. M  12128.
C. M  16152.
D. M  16159.
Lời giải. Ta phân tích: un 1  a.7 n 1  7 un  a.7n . Khi đó tự triệt tiêu tham số a.
Do đó ta phải phân tích: un 1  a n  17 n 1  7 un  an7 n .
Đồng nhất với giả thiết, ta tìm được a  1. Khi đó

un 1  7un  7 n 1  un 1  n  17 n 1  7 un  n7 n .

v1  2012
Đặt vn  un  n7 n 
 


 vn  là một cấp số nhân với công bội q  7
vn 1  7v n , n   *

nên có số hạng tổng quát v n  2012.7 n1 , suy ra un  2012.7 n 1  n7 n.
Vậy u2010  2012.7 2019  2010.7 2020  7 2019.2012  2020.7  7 2019.16152. Chọn C.

u1  3
Câu 3. Cho dãy số un  xác định bởi 
. Hỏi dãy số đã cho có bao

un 1  1 un  2 n2 , n   *

2
nhiêu số hạng là số nguyên?
A. 3.
B. 4.
C. 19.
D. Vô số.
Lời giải. Từ hệ thức truy hồi, ta có 2un 1  un  2n1.
Ta phân tích: 2 un 1  a.2 n   un  a.2 n1.

1
Đồng nhất với giả thiết, ta tìm được a   . Khi đó
3

1
1 
1
n 2

un 1  un  2
 2 un 1  .2 n   un  .2 n 1.



2
3
3
8

1
v1 
Đặt vn  un  .2 n 1 

3

 v n  là một cấp số nhân với công bội

3
*
2
v

v
,
n


 n 1
n


1
8 1
4 n  32 2 2 n  32
q  nên có số hạng tổng quát vn  .  , suy ra un 

.
2
3  2 
6.2 n
3.2 n 1
Cuối cùng un   khi và chỉ khi 4 n  32 chia hết cho 3.2 n1. Do 2n  n  1 nên suy ra 32
n 1

chia hết cho 2 n1 , suy ra n  1  5 hay n  4.
Thử trực tiếp ta có u1  3, u2  2, u3  2, u4  3. Chọn B.
u1  2

u
Câu 4. Cho dãy số un  xác định bởi 
. Giới hạn lim nn

n
n
*

7

un  5un1  2.3  6.7  12, n  
bằng

A. 21.
B. 1.
C. 3.
D. 157.



3n  k.3n  5k.3n 1
Lời giải. Ta có 
, cho n  1 ta được
 n
n
n 1


7  l .7  5l .7
Hơn nữa 12  3  5.3.


k   3

2
.


7
l 
2



Từ 1 và 2 , suy ra công thức truy hồi của dãy được viết lại như sau

1
2 

un  3.3n  21.7 n  3  5 un 1  3.3n1  21.7 n1  3.

v1  157

Đặt vn1  un 1  3.3n1  21.7 n 1  3 


 v n  là một cấp số nhân

*


vn  5vn1 , n  
với công bội q  5 nên có số hạng tổng quát v n  157.5n 1.
Suy ra un  157.5n 1  3n 1  3.7 n 1  3 nên lim

un
 21. Chọn A.
7n

u1  1

u
Câu 5. Cho dãy số un  xác định bởi 
. Giới hạn lim nn bằng


n
*

3

un  2un1  3  n, n  
11
A. 11.
B.  .
C. 1.
D. 3.
2
Lời giải. Xem vế trái là 0, vế phải là 3n. Ta phân tích a.3n  2a.3n 1 và tìm được a  3.
Xem vế trái là 0, vế phải là n. Ta phân tích bn  c  2 b n  1  c  và tìm được
b  1, c  2.
Do đó công thức truy hồi của dãy được viết lại như sau
un  2un1  3n  n  un  3.3n  n  2  2 un 1  3.3n1  n 1  2  .
v1  11
Đặt vn  un  3.3n  n  2 
 

 vn  là một cấp số nhân với công bội
vn  2vn1 , n   *

q  2 nên có số hạng tổng quát vn  11.2 n1.
un
 3. Chọn D.
3n


u1  19
u
Câu 6. Cho dãy số un  xác định bởi 
. Giới hạn lim n n

n
*

u


5
u

n

1
2
,
n




5
n

 n 1
bằng
955

191
191
955
A. 
.
B. 
.
C.
.
D.
.
49
49
49
49
Lời giải. Ta cần phân tích n  1 2 n và đồng nhất. Cụ thể
Suy ra un  11.2 n 1  3n 1  n  2 nên lim

a n  1  b  2 n 1  5 an  b  2 n  .




1
5
Khai triển và đồng nhất, ta được a   , b   .
7
49
Do đó công thức truy hồi của dãy được viết lại như sau


 n  1 5  n 1
n
5 
un 1  5un  n  1 2 n  un 1  
  2  5 un     2 n  .

 7
 7 49  
49 
20



v1   955
n
5
Đặt vn  un     2 n 

49

 v n  là một cấp số nhân với công

 7 49 
*
vn 1  5v n , n  
955 n 1
bội q  5 nên có số hạng tổng quát vn  
.5 .
49
n

u
191
5
191
n
Suy ra un 
. Chọn C.
5     2 n nên lim n n 


49
7 49
49
5
u1  2020

Câu 7. Cho dãy số un  xác định bởi 
. Số hạng u10 bằng

n
*


un 1  un  2  2019, n  
A. 21212.
B. 21213.
C. 21214.
D. 21215.
n



un 1  un  2  2019




un  un1  2 n 1  2019


Lời giải. Ta có 
 un 1  u1  2  2 2  ...  2 n   2019n
...



u3  u2  2 2  2019



u  u1  2  2019


 2
 un 1  2020  2 2 n 1  2019 n  2 n 1  2019n  2018.
Suy ra un  2 n  2019n  1 nên u10  210  2019.10 1  21213. Chọn B.

u1  1




Câu 8. Cho dãy số un  xác định bởi 
. Giới hạn lim un bằng

1

un 1  un2  n , n   *


2


3
A. 1.
B. 2.
C. .
D. 2.
2
1
Lời giải. Từ hệ thức truy hồi, ta có un21  un2  n .
2
 2
un  un21  n11

2

u 2  u 2  1
1 1

1 
2

2
2
2
n 1
n 2
Ta có 
2 n2  un  u1    2    n 1   1  1  n   2  n .


2 2
 2 
2 
2


u 2  u 2  1
1
 2
2
Suy ra un  2 

1
2

n 1

. Do đó lim un  2. Chọn B.


u1  1


2
Câu 9. Cho dãy số un  xác định bởi 
. Giới hạn lim un bằng


n
*
u

u

,
n


 n 1
n
2n

A.

1
.
2

B.

5
.

2

C. 5.

D. .


Lời giải. Từ hệ thức truy hồi, ta có
Đặt x n  2 n un , ta được

2 n 1.un 1
 2 n.un  n.
2

 x1  1
 x1  1




.


*
*


 x n 1  2 x n  2 n, n  

x n 1  2 n  1  2  2  x n  2n  2, n  

v1  5
Đặt vn  x n  2n  2 
 

 v n  là một cấp số nhân với công bội
vn 1  2v n , n   *

q  2 nên có số hạng tổng quát vn  5.2 n1 , suy ra x n  5.2 n 1  2n  2.
5.2 n1  2n  2
5
. Do đó lim un  . Chọn C.
n
2
2
u1  1



Câu 10. Cho dãy số un  xác định 
. Giới hạn lim un bằng

2n  1

un 1  un2 
, n  *

n

2



1
A. .
B. 1.
C. 6.
D. 7.
2
2n  1
Lời giải. Từ hệ thức truy hồi, ta có un21  un2 
2n
n 1 2
2 un 1

 2 n un2  2n  1.
2
4n  6
Đặt v n  2 n un2 và làm tương tự như bài trên, ta được un  6 
. Chọn C.
2n
Suy ra un 

Dạng 3. un1  g n .un  f n  với g n , f n  là các đa thức


u1  1

3
Câu 1. Cho dãy số un  xác định bởi 
.



n 1
*
un , n  
un 1 
3n


u
u2 u3
  ...  10 bằng
2
3
10
1
3280
25942
29524
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
243
6561
59049
59049

u
1 u
Lời giải. Từ hệ thức truy hồi, ta có n 1  . n .
n 1 3 n

1
v1 
un
1

3
Đặt vn 

 

 vn  là một cấp số nhân với công bội q  .

1
n
3
*
vn 1  v n , n  
3

u
u2 u3
Do đó S  u1    ...  10
2
3
10

Tổng S  u1 

22


1
1  10
1  q 10 1
29524
3
 v1  v2  v3  ...  v10  v1 .
 .

. Chọn D.
1 q
3 1 1
59049
3

u1  1



2

Câu 2. Cho dãy số un  xác định bởi 
. Số hạng thứ 2019 của
n  1 un

u


, n  1;2;3;...

n 1

n n  2 


dãy số bằng
2018
2019
2  2018
2  2019
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2019
2020
2020
2020
n2
n 1
Lời giải. Từ hệ thức truy hồi, ta có
un 1 
un .

n 1
n
v1  2
n 1
Đặt vn 
un 
 

 vn  là dãy số không đổi nên có số hạng tổng
vn 1  vn , n   *
n

2n
quát vn  2, suy ra un 
. Chọn D.
n 1

un  1
Câu 3. Cho dãy số un  xác định bởi 
. Tính lim un bằng

2
*


un1  n un1  un , n  
1
1
A. .
B. .

C. 1.
D. 2.
4
2
Lời giải. Từ hệ thức truy hồi, ta có n 2 un  n 2  1 un1

 n 2 un  n  1n  1 un 1 

n
n 1
un 
un1 .
n 1
n


v1  1
n 1
Đặt vn1 
un1 


 vn  là dãy số không đổi nên có số hạng tổng
2

n
*
vn  vn1 , n  
1
n 1

n 1 1
quát vn  , suy ra un 
. Khi đó lim un  lim u
 . Chọn B.
2
2n
2n
2

2


u1 


3
Câu 4. Cho dãy số un  xác định bởi 
.


2nun

un 1 
, n  *


n 3


u

u
u 
u
Tính L  lim  1  22  33  ...  nn .
2 2
n  
2
2 
1
3
3
A. L  .
B. L  .
C. L  .
2
2
4
Lời giải. Từ hệ thức truy hồi, ta có n  3un 1  2nun .
Nhân hai vế cho n  1n  2, ta được

n  1n  2n  3un 1  2n n  1n  2 un .

D. L  1.


v1  4
Đặt vn  n n  1n  2 un 
 

 vn  là một cấp số nhân với công bội

vn 1  2v n , n   *

2 n 1
q  2 nên có số hạng tổng quát vn  4.2 n1  2 n 1 , suy ra un 
.
n n  1n  2 
Từ đó

un
2
1
1
1
2
1



 

.
n
2
n n  1n  2  n n  1 n  1n  2 n n  1 n  2

Ta có

u1
2
u2

22
u3
23
u4
24


1
1
1

2
1

3
1

4



2
2
2

3
2

4
2


5


1
3
1

4
1

5
1

6


un
1
2
1



2n
n
n 1
n 2
u
u

u
u
1
1
1
Suy ra 1  22  33  ...  nn  

nên
2 2
2
2
2 n 1 n  2
u
1
u
u 
u
1
1  1
L  lim  1  22  33  ...  nn   lim  

  . Chọn A.


2 2
n  
n




2 n  1 n  2  2
2
2
u1  1
2018

Câu 5. Cho dãy số un  xác định bởi 
.
Đặt
S

ui . Khẳng định

n

un 
.un 1  n, n   *
i 1

n 1
nào sau đây đúng?
A. S  20183.
B. S  20183.
C. S  20183.
D. S  20183.
u
u
Lời giải. Từ hệ thức truy hồi, ta có n  n1  1.
n
n 1

v1  1
u
Đặt vn  n 
 

 v n  là một cấp số cộng với công sai d  1 nên có số
vn  vn1  1
n
hạng tổng quát vn  1  n 1.1  n, suy ra un  n 2 .
Khi đó S   ui  12  2 2  ....  20182 
2018

2018 2018  12.2018  1
6

i 1

 20183. Chọn A.

u1  0


Câu 6. Cho dãy số un  xác định bởi 
. Số hạng thứ 2019 của

n

un 1 
1  un , n  1;2;3;...



n 1


dãy số bằng
2018
2019
2020
2021
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2
2
2
24


Lời giải. Từ hệ thức truy hồi, ta có n  1 un 1  nun  n.

Ta phân tích: n  1 un 1  a n  1  b   n un  an  b .

* 


1
1
Đồng nhất với giả thiết, ta tìm được a   , b  . Khi đó * tương đương với
2
2


1
1
1
1
n  1 un 1  n  1    n un  n   .


2
2 
2
2 
v1  0
1
1
Đặt vn  un  n  
 

 vn  là dãy số không đổi và các số hạng đều bằng
vn 1  nvn
2
2
n 1
0 nên suy ra un 

. Chọn A.
2
u1  1

Câu 7. Cho dãy số un  biết 
. Giá trị nhỏ nhất của n
u  3 n  1 u  2n 3  3n 1, n   *
n 1
n

n
3
2018
để un  n  n.3
là
A. n  2017.

B. n  2018.
C. n  2019.
D. n  2020.
un 1
3un
Lời giải. Từ hệ thức truy hồi, ta có

 2 n 2  2n 1
n 1
n
u
u
2

 n 1  n  1  3. n  3n 2 .
n 1
n

v

2
1
u
Đặt vn  n  n 2 
 

 v n  là một cấp số nhân với công bội q  1 nên có số
vn 1  3v n
n
hạng tổng quát v n  2.3n 1.

un
 n 2  32018  vn  32018
n
1
1
1
 2.3n1  32018  3n2019   n  2019  log 3  n  2019  log 3 .
2
2
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 2019. Chọn C.



u1  3
Câu 8. Cho dãy số un  xác định bởi 
. Tìm n để n.un là số

2n
1

un 1 
un 
, n  *


n 1
n 1


chính phương.
A. n  2.
B. n  3.
C. n  5.
D. n  6.
Yêu cầu bài toán: un  n 3  n.32018 

Lời giải. Từ hệ thức truy hồi, ta có n  1 un 1  2nun 1

 n  1 un 1 1  2 nun 1.

v1  2
Đặt vn  nun 1 
 


 v n  là một cấp số nhân với công bội q  2 nên có số
vn 1  2vn
2n  1
hạng tổng quát v n  2.2 n 1  2 n , suy ra un 
.
n
Khi đó P  n.un  2 n  1. Giả sử P là số chính phương khi đó tồn tại m   * sao cho