PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNGGIAN
***
A. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
1. Trong KG cho ba trục Ox, Oy, Oz phân biệt
và vuông góc từng đôi một. Trên Ox có véc tơ
đơn vị
i
r
, trên Oy có véc tơ đơn vị
j
r
và trên
Oz có véc tơ đơn vị
k
r
. Hệ Oxyz hay (O,
i
r
,
j
r
,
k
r
) như trên là hệ tọa độ không gian.
2. Gốc tọa độ O, truc hoành Ox, trục tung Oy,
trục cao Oz, các mặt tọa độ Oxy, Oyz,Ozx.
3. Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không
gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz.
4. Chú ý:
2 2 2

2
2
1
0
i j k
a a
i j ik jk
= = =
=
= = =
r r r
r r
rr rr rr
5. Tọa độ véc tơ:
( ; ; ) ( ; ; )u x y z u x y z u xi y j zk
= ⇔ ⇔ = + +
r r r r r r
6. Tọa độ điểm:
( ; ; )M x y z OM xi y j zk
⇔ = + +
uuuur r r r
7. Các công thức tọa độ cần nhớ:
Cho
( ; ; ), ( ; ; )u a b c v a b c
′ ′ ′
= =
r r
a)
a a
u v b b

c c
′
=


′
= ⇔ =


′
=

r r
b)
( )
; ;u v a a b b c c
′ ′ ′
= ± ± ±
r r
m
c)
( ; ; )ku ka kb kc=
r
d)
. . .cos( , )u v u v u v aa bb cc
′ ′ ′
= = + +
rur r r urr
e)
.

cos( , )
. .
u v aa bb cc
u v
u v u v
′ ′ ′
+ +
= =
rur
urr
r r r r
f)
2
2 2 2
u u a b c
= = + +
r r
g)
. 0u v u v
⊥ ⇔ =
r r r r
h)
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur
i)
2 2 2

( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB AB x x y y z z
= = − + − + −
uuur
8. Chú ý: góc của 2 véc tơ
( )
,u v
r r
là góc hình
học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị
trong
[ ]
0;
π
. Suy ra
( ) ( )
2
sin , 1 cos , 0u v u v
= − ≥
r r r r
9. Chia tỉ lệ đoạn thẳng: M chia AB theo tỉ số k
nghĩa là
MA kMB=
uuur uuur
, công thức tọa độ của M
là :
1
1
1

A B
M
A B
M
A B
M
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z
k
−

=

−

−

=

−

−

=


−

10. M là trung điểm AB:
0MA MB+ =
uuur uuur r
2
2
2
A B
M
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
z z
z
+

=


+

=



+

=


11. G là trọng tâm tam giác ABC:
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
+ +

=


+ +


=


+ +

=


12. G là trọng tâm tứ diện ABCD:
0GA GB GC GD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
4
4
4
A B C D
G
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y
y
z z z z
z
+ + +

=



+ + +

=


+ + +

=


13. Các ví dụ:
VD1: Tọa độ của các véc tơ
, ,i j k
r r r
?
VD2: Điểm M(a;b;c) thuộc (Oxy)? thuộc (Oyz)?
thuộc (Ozx)?
VD3: Điểm M(a;b;c) thuộc Ox? thuộc Oy? thuộc Oz?
VD4: Cho
( )
; ;u x y z=
r
. Tính
. , . , .u i u j u k
rr r r r r
1
VD5: Trong không gian (O,
i

r
,
j
r
,
k
r
) cho I, J, K là các
điểm sao cho
, , i OI j OJ k OK= = =
r uur uur uuur r uuur
. M là trung
điểm JK và G là trọng tâm tam giác IJK. Tính tọa độ
của G và
MG
uuuur
.
VD5:
Trong không gian Oxyz cho A(5;3;−1) B(2;3;−4)
C(1;2;0) D(2;1;−2)
a) Chứng minh 4 điểm ABCD không đồng
phẳng
b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cạnh đối
vuông góc nhau
c) Chứng minh D.ABC là hình chóp đều.
d) Tìm toạ độ chân đường cao H của hình chóp
D.ABC
HD:
a)
DA

uuur
và
DB
uuur
không cùng phương
(A,B,C,D đồng phẳng)
⇔
, : . .m n DC m DA n DB∃ = +
uuur uuur uuur
Ta giải hệ pt trên tìm ra m,n.
b) Tính độ dài 6 cạnh để suy ra kết quả
c) H chính là trọng tâm tam giác ABC
14. Định nghĩa tích có hướng 2 véc tơ: Cho 2 véc
tơ
( ; ; )u a b c=
r
và
( ; ; )v a b c
′ ′ ′
=
r
ta định
nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một
véc tơ, kí hiệu
,u v
 
 
r r
hay
u v∧

r r
có toạ độ:
, ; ;
b c c a a b
u v
b c c a a b
 
 
=
 ÷
 
′ ′ ′ ′ ′ ′
 
r r
tức là:
( )
, ; ;u v bc b c ca ac ab ba
 
′ ′ ′ ′ ′ ′
= − − −
 
r r
VD6: Tính tích có hướng của 2 véc tơ
(1;0; 1)u = −
r
và
(2;1;1)v =
r
VD7: Tính
,i j

 
 
r r
,
,j k
 
 
r r
;
,k i
 
 
r r
VD8: So sánh
,u v
 
 
r r
và
,v u
 
 
r r
(→ tích có hướng của 2 véc tơ không có tính chất
“giao hoán”- khí thay đổi thứ tự 2 véc tơ thành phần
thì kết quả cho 2 véc tơ đối nhau.
15. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ:
a.
,u v
 

 
r r
vuông góc với
u
r
và
v
r
b.
, . .sin( , )u v u v u v
 
=
 
r r r r r r
c.
, 0u v
 
=
 
r r r
⇔
,u v
r r
cùng phương
16. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ:
a. Diện tích hình bình hành ABCD:
,S AB AD
 
=
 

uuur uuur
b. Diện tích tam giác ABC:
1
. ,
2
S AB AC
 
=
 
uuur uuur
c. Ba véc tơ
, ,u v w
r r ur
đồng phẳng:
, . 0u v w
 
=
 
r r ur
d. Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành
ABCD và cạnh bên AA’:
, .V AB AD AA
 
′
=
 
uuur uuur uuur
e. Thể tích khối tứ diện S.ABC:
1
. , .

6
V AB AC SA
 
=
 
uuur uuur uur
VD9: Cho 4 điểm A(0;1;1), B(−1;0;2), C(−1;1;0) và
D(2;1;−2)
a) Chứng minh 4 điểm đó không đồng phẳng suy
ra sự tồn tại tứ diện ABCD
b) Chứng minh tồn tại tam giác ABC
c) Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC
d) *Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
e) *Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
f) *Tính góc CBD
g) *Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD
h) Tính thể tích khối chóp ABCD
17. Phương trình mặt cầu
a) Phương trình theo tâm và bán kính: Mặt cầu
tâm I(x
0
;y
0
;z
0
) và bán kính R có phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2

2
0 0 0
x x y y z z R
− + − + − =
b) Phương trình dạng khai triển:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
+ + + + + + =
Trong đó :
tâm I(−a;−b;−c) và
2 2 2 2
R a b c d= + + −
với điều
kiện
2 2 2
0a b c d+ + − >
VD10: Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm
A(0;0;0), B(1;0;0), C(0;1;0) và D(0;0;1)
2
BÀI TẬP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
1. Cho các véc tơ
2u i j= −
r r r
,
3 5( )v i j k= + −
r r r r
,
2 3w i k j= − +
ur r r r
a. Tìm toạ độ các véc tơ trên

b. Tìm cosin của các góc
( )
,v i
r r
,
( )
,v j
r r
c. Tính tích vô hướng
.u i
rr
và
.v w
r ur
2. Cho
0u ≠
r r
. Chứng minh
( ) ( ) ( )
2 2 2
cos , cos , cos , 1u i u j u k+ + =
r r r r r r
3. Tính góc giữa hai véc tơ
u
r
và
v
r
trong các trường
hợp:

a.
(1;1;1)u =
r
và
(2;1; 1)v = −
r
b.
3 2u i j= +
r r r
và
2 3v j k= − +
r r r
4. Biết
2u =
r
và
5v =
r
góc giữa 2 véc tơ đó là
2
3
π
. Tìm k để
. 17.p k u v= +
ur r r
vuông góc
3.q u v= −
r r r
5. Cho M(a;b;c)
a. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M

lên các mp toạ độ. Tính khoảng cách từ M
đến các mp toạ độ.
b. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M
lên các trục toạ độ. Tính khoảng cách từ
M đến các trục toạ độ.
c. Tìm toạ độ các điểm đối xứng với M qua
các mp toạ độ.
d. Tìm toạ độ các điểm đối xứng với M qua
các trục toạ độ.
6. Cho A(x
1
;y
1
;z
1
) và B(x
2
;y
2
;z
2
). Tìm toạ độ
M(x;y;z) chia AB theo tỉ số k≠1.
7. Cho các điểm A(−3;−2;0), B(3;−3;1), C(5;0;2).
a. Chứng minh A,B,C không thẳng hàng.
b. Viết phương trình mp(ABC).
c. Tìm đỉnh D của hình bình hành ABCD.
d. Tính diện tích hình bình nành ABCD.
e. Tính khoảng cách các đường thẳng AB và
CD.

f. Tính khoảng cách B và đường thẳng AD.
g. Tính góc giữa 2 véc tơ
AC
uuur
và
BD
uuur
8. Cho A(1;2;3) và B(−3;−3;2). Tìm phương trình
tập hợp điểm M cách đều A và B. Tìm toạ độ
điểm M thuộc Oz và cách đều A,B.
9. Cho A(2;0;4), B(4;
3
,5) và C(sin5t;cos3t;sin3t).
Định t để AB vuông góc OC.
10. Cho A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1)
a. Chứng minh A,B,C không thẳng hàng.
b. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
c. Tính độ dài đường cao tam giác ABC kẻ
từ A
d. Tính các góc của tam giác ABC
11. Cho A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(−2;1;−2)
a. Chứng minh tồn tại tứ diện ABCD
b. Tính góc giữa các cạnh đối của ABCD
c. Tính thể tích ABCD và chiều cao tứ diện
đó kẻ từ A
12. Cho hình chóp SABC có đường cao SA=h, đáy là
tam giác ABC vuông tại C, AC=b, BC=a. Gọi M
là trung điểm AC và N là điểm sao cho
1
3

SN SB=
uuur uur
a. Tính độ dài MN
b. Tìm sự liên hệ a,b,h để MN vuông góc
SB.
13. Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu có phương
trình:
a. x
2
+y
2
+z
2
−8x+2y+1=0
b. 3x
2
+3y
2
+3z
2
+6x−3y+15z−2=0
c. 9x
2
+9y
2
+9z
2
−6x+18y+1=0
14. Viết phương trình mặt cầu qua A(0;8;0), B(4;6;2),
C(0;12;4) và có tâm thuộc mp(Oyz)

15. Viết phương trình mặt cầu có bán kính R=2, tiếp
xúc mp(Oyz) và có tâm thuộc tia Ox.
16. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) và tiếp
xúc mp(Oyz).
3
B-PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.
n
r
khác
0
r
và có giá vuông góc mp(P) được gọi là
véc tơ pháp tuyến của (P).
2. Nếu
n
r
là véc tơ pháp tuyến của (P) thì
( 0)kn k ≠
r
cũng là véc tơ pháp tuyến của
(P).
3. Phương trình tổng quát của mp(P): qua
0 0 0
( ; ; )M x y z
và có véc tơ pháp tuyến
( ; ; )n A B C=
r
là:
0 0 0

( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z
− + − + − =
4. Khai triển của phương trình tổng quát:
0Ax By Cz D
+ + + =
(A,B,C không đồng thời bằng 0)
VD1: Viết phương trình mp có véc tơ pháp tuyến
n
r
=(2;1;−3) và đi qua điểm M(3;−1;2)
VD2: Viết phương trình mp qua 3 điểm A(1;2;0),
B(0;1;2) và C(1;0;2).
VD3: Viết phương trình mp qua A(1;2;4) và vuông
góc đường thẳng BC (với B(1;6;0) và C(6;0;1))
VD4: Viết phương trình mp(P) qua M(1;1;−2) và
song song mp(Q):x+y+z−1=0.
5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng
quát:
 (P) qua gốc tọa độ ⇔ D=0
 (P) song song hoặc trùng (Oxy) ⇔
A=B=0
 (P) song song hoặc trùng (Oyz) ⇔ B=C=0
 (P) song song hoặc trùng (Ozx) ⇔ A=C=0
 (P) song song hoặc chứa Ox ⇔ A=0
 (P) song song hoặc chứa Oy ⇔ B=0
 (P) song song hoặc chứa Oz ⇔ C=0
 (P) cắt Ox tại A(a;0;0), cắt Oy tại B(0;b;0)
và cắt Oz tại C(0;0;c) ⇔ (P) có phương trình
1
x y z

a b c
+ + =
VD5: Cho M(30;15;6). Viết phương trình mp(P) qua
các hình chiếu của M trên các trục tọa độ. Tìm tọa độ
H, hình chiếu gốc tọa độ trên mp(P).
(quy ước “hình chiếu” là “hình chiếu vuông góc”)
6. Bộ số tỉ lệ:
 Xét những bộ số dạng
( )
1 2
( ) , ,...,
i n
x x x x=

trong đó các xi không đồng thời bằng 0.
 Hai bộ số (xi) và (yi) gọi là tỉ lệ với nhau
nếu có hằng số t sao cho y
i
=t.x
i
(với mọi giá trị i
từ 1 tới n).
 Khi đó ta viết:
1 2 1 2
1 2
1 2
: :...: : :...:
...
n n
n

n
x x x y y y
x x x
y y y
=
= = =
 Với quy ước đó:
1:0:4=2:0:8
3 0 1
6 0 2
= =
7. Vị trí tương đối của 2 mp:
Cho 2 mp:
( ) : 0
( ) : ' ' ' ' 0
P Ax By Cz D
Q A x B y C z D
+ + + =
+ + + =
 (P) ≡ (Q) ⇔
' ' ' '
A B C D
A B C D
= = =
 (P) // (Q) ⇔
' ' ' '
A B C D
A B C D
= = ≠
 (P) cắt (Q) ⇔

: : ': ': 'A B C A B C≠
 (P) ⊥ (Q) ⇔
' ' ' 0AA BB CC+ + =
VD6: Cho hai mặt phẳng
( ) : 2 10 1 0
( ) : 2 (3 1) 10 0
P x my z m
Q x y m z
− + + + =
− + + − =
Hãy tìm giá trị của m để:
a) Hai mp trùng nhau
b) Hai mp song song
c) Hai mp cắt nhau. Suy ra phương trình đường
thẳng giao tuyến
d) Hai mp vuông góc nhau.
8. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng:
Cho M(x
0
;y
0
;z
0
) và (P):Ax+By+Cz+D=0
0 0 0
2 2 2
( ,( ))
Ax By Cz D
d M P
A B C

+ + +
=
+ +
VD7: Cho tứ diện OABC có OA=a, OB=b, OC=c và
đôi một vuông góc nhau. Tính độ dài đường cao OH
của tứ diện.
VD8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
Trên các cạnh AA’,BC,C’D’ lần lượt lấy M,N,P sao
cho AM=CN=D’P=t với 0<t<a. Chứng minh
mp(MNP) song song mp(ACD’) và tính khoảng cách
2 mp đó.
4
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Lập phương trình mặt phẳng
1. Lập phương trình mặt phẳng (P) biết:
a) (P) đi qua điểm M(1;3;-2) và nhận
(2;3;1)n =
r
làm VTPT
b) (P) đi qua M(1;3;-2) và song song
(Q):x+y+z+1=0
c) (P) đi qua M(1;2;3) và song song với
giá của các vectơ
(2; 1;2), (3; 2;1)a b− −
r
r
d) (P) đi qua 2 điểm A(4;-1;1), B(3;1;-1)
và song song Ox
e) (P) đi qua 3 điểm A(1;1;0), B(1;0;0),
C(0;1;1)

2. Lập phương trình mp(P) biết :
a) (P) đi qua 3 điểm A(-1;2;3) ,B(2;-
4;3),C(4;5;6)
b) (P) đi qua
0
(1;3; 2)M −
và vuông góc Oy
c) (P) đi qua
0
(1;3; 2)M −
và vuông góc
BC, với B(0;2;-3),C(1;-4;1)
d) (P) đi qua
0
(1;3; 2)M −
và song song với
mp(Q):2x-y+3z+4=0
e) (P) đi qua A(3;1;-1),B(2;-1;4) và vuông
góc mp 2x-y+3z+4=0
f) (P) đi qua
0
(2; 1;2)M −
,song song Oy
và vuông góc mp 2x-y+3z+4=0
g) (P) đi qua
0
( 2;3;1)M −
và vuông góc với
2 mặt phẳng 2x+y+2z+5=0,3x+2y+z-
3=0

3. Cho A(1;2;3), B(3;4;-1) trong không gian
Oxyz.
a) Viết phương trình mp(P) là mặt phẳng
trung trực của AB.
b) Viết phương trình mp(Q) qua A, vuông
góc (P) và vuông góc (Oyz)
c) Viết phương trình mp(R) qua A và song
song (P)
4. Lập phương trình mp(P) qua M(1;1;1) và
song song các trục
a) Ox,Oy
b) Ox,Oz
c) Oy,Oz
5. Lập phương trình mp đi qua 2 điểm A(1;-
1;1), B(2;1;1) và song song với
a) Ox
b) Oy
c) Oz
6. Lập phương trình mp(P)
a) Chứa Ox và đi qua A(1;-2;3)
b) Chứa Oy và đi qua B(-1;3;-2)
c) Chứa Oz và đi qua C(1;0;-2)
7. Lập phương trình mp(P) qua M(a;b;c) (với
abc≠0) và song song với một mp tọa độ.
8. Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3), B(1;6;2),
C(5;0;4), D(4;0;6)
a) Viết phương trình các mp (ABC),
(ACD), (ABD), (BCD)
b) Viết phương trình mp (P) đi qua cạnh
AB và song song với cạnh CD

9. Viết phương trình mp(P) qua các điểm là
hình chiếu của điểm M(2;-3;4) lên các trục
toạ độ.
10. Lập phương trình mp(P) qua G(1;2;3) và
cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C sao
cho G là trọng tâm tam giác ABC.
11. Lập phương trình mp(P) qua H(2;1;1) và
cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C sao
cho H là trực tâm tam giác ABC.
12. Cho A(-1;6;0), B(3;0;-8), C(2;-3;0)
a) Viết phương trình mp(P) qua 3 điểm
A,B,C
b) Mp(P) cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại
K,M,N. Tính thể tích tứ diện OKMN
Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:
10. Cho 2 mặt phẳng: (P):2x-my+3z-6+m=0,
(Q):(m+3)x-2y+(5m+1)z-10=0.Với giá trị
nào của m thì (P)và (Q)
a) Song song với nhau
b) Trùng nhau
c) Cắt nhau
11. Tìm
α
để 2 mặt phẳng
3
1
5 0, sin +ycos sin 2 0
4
x y z x z
α α α

− − + = + + =
vuông góc với nhau
12. Viết phương trình mặt phẳng trong các
trường hợp sau:
a) Đi qua điểm
0
(2;1; 1)M −
và qua giao
tuyến của 2 mặt phẳng: x-y+z-4=0, 3x-
y+z-1=0
5