ĐỀ THI ONLINE: TÌM MIN MAX CỦA SỐ PHỨC – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (NB). Xác định số phức z thỏa mãn | z  2  2i | 2 mà | z | đạt giá trị lớn nhất.
A. z  1  i

B. z  3  i

C. z  3  3i

D. z  1  3i

Câu 2 (NB). Cho số phức z có | z | 2 thì số phức w  z  3i có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là
A. 2 và 5

B. 1 và 6

C. 2 và 6

D. 1 và 5

Câu 3 (NB). Cho số phức z thoả | z  3  4i | 2 và w  2 z  1  i . Khi đó | w | có giá trị lớn nhất là:
A. 16  74 .

B. 2  130 .

C. 4  74 .

D. 4  130 .

Câu 4 (NB). Cho số phức z thỏa mãn | z 2  i | 1 . Tìm giá trị lớn nhất của | z | .
A. 2

5

B.

C. 2 2

D.

2

Câu 5 (NB). Cho số phức z thỏa mãn | z  3  4i | 1 . Môđun lớn nhất của số phức z là:
A. 7

B. 6

C. 5

D. 4

Câu 6 (NB). Cho số phức z thỏa mãn | z  2  3i | 1 . Tìm giá trị lớn nhất của | z | .
A. 1  13

B. 13

C. 2  13

D. 13  1

Câu 7 (TH). Cho số phức z thỏa mãn | z  2  3i | 1 . Giá trị nhỏ nhất của | z  1  i | là:
A. 13  1


B. 4

C. 6

D. 13  1

Câu 8 (TH). Cho số phức z thỏa mãn | z  1  2i | 4 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
| z  2  i | . Tính S  M 2  m2 .

A. S  34

B. S  82

C. S  68

D. S  36

Câu 9 (TH). Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 3x  4 y  3  0 , z nhỏ nhất bằng.

1
A. .
5

B.

3
.
5


4
C. .
5

2
D. .
5

Câu 10 (TH). Trong các số phức z thỏa mãn | z  2  4i || z  2i | . Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất.
A. z  2  2i

B. z  1  i

C. z  2  2i

D. z  1  i

Câu 11 (TH). Cho z là một số phức thỏa mãn điều kiện | z  1| 2 . Tìm GTLN của biểu thức
T | z  i |  | z  2  i | .

A. max T  8 2.

B. max T  4 .

C. max T  4 2 .

D. max T  8 .

Câu 12 (TH). Cho số phức z thỏa mãn | z  3 |  | z  3 | 10 . Giá trị nhỏ nhất của | z | là:
B. 4


A. 3

1

C. 5

D. 6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 13 (VD). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện | z  1|| (1  i) z | . Đặt m | z | , tìm giá trị lớn nhất của m .
A.

2 1

B. 1

C.

2 1

D.

2

Câu 14 (VD). Với các số phức z thỏa mãn | z  3  4i | 1 . Tìm giá trị lớn nhất của | z | .
B. 4


A. 6

C. 5

D. 7

Câu 15 (VD). Cho z1 , z2 thỏa mãn | z1  z2 | 1 và | z1  z2 | 3 . Tính max T | z1 |  | z2 |
A. 8

C. 4

B. 10

D. 10

Câu 16 (VD). Cho số phức z  x  yi thỏa mãn | z  2  4i || z  2i | đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính

N  x2  y 2
A. N  8

B. N  10

C. N  16

D. N  26

Câu 17 (VDC). Xét các số phức z thỏa mãn | z  1  2i | 5 . Tìm số phức w có mô đun lớn nhất, biết rằng
w  z 1 i
A. w  4  2i


B. w  2  4i

C. w  4  3i

D. w  4  3i

Câu 18 (VDC). Cho số phức z thỏa mãn | z  4 |  | z  4 | 10 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z là:
A. 10 và 4

B. 5 và 4

C. 4 và 3

D. 5 và 3

Câu 19 (VD). Tìm giá trị nhỏ nhất của | z | , biết rằng z thỏa mãn điều kiện
A. 2

1 i

C. 1

B. 0

Câu 20 (VD). Tìm giá trị lớn nhất của | z | , biết rằng z thỏa mãn điều kiện
B. 1

A. 2

| 4  2i z 1| 1 .

D. 3 .

| 2  3i z  1| 1 .
3  2i

C. 2

D. 3

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1C

2D

3D

4D

5B

6A

7A

8C

9B

10C


11B

12B

13A

14A

15D

16A

17A

18D

19B

20C

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
Câu 1.
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: A  B  A  B  A  B

Cách giải:
Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:
2 | z  2  2i || z |  | 2  2i || z | 2 2 | z | 3 2

Suy ra max | z | 3 2 .
Kiểm tra các đáp án đã cho chỉ có đáp án C thỏa mãn.
Chọn C
Sai lầm thường gặp:
- Áp dụng sai bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Tính sai mô đun số phức.
Câu 2.
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: A  B  A  B  A  B .
Đặc biệt A  B  A  B  A  B
Cách giải:
Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

| z |  | 3i | | z  3i | | z |  | 3i | | 2  3 || w || 2  3 | 1 | w | 5
Chọn D
Sai lầm thường gặp:
Đánh giá sai w như sau:

| z |  | 3i || z  3i | | z |  | 3i |  2  3 | w || 2  3 | 1 | w | 5
Sau đó học sinh sẽ kết luận min w  1 mà không kiểm tra dấu  có xảy ra hay không.
Câu 3.
Phương pháp:

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!



Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: A  B  A  B  A  B .
Cách giải:
Ta có | z  3  4i | 2 | 2 z  6  8i | 4.
Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có
4 | 2 z  6  8i || (2 z  1  i)  (7  9i) || 2 z  1  i |  | 7  9i || w |  130
| w |  130  4 | w | 4  130

Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Áp dụng sai bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Tính sai mô đun số phức.
Câu 4.
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: A  B  A  B  A  B .
Cách giải:
Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có 1  z 2  i  z 2  i  z  1  z  2  z  z  2
2

2

Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Áp dụng sai bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Tính sai mô đun số phức.
Câu 5.
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: A  B  A  B  A  B .
Cách giải:

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có
1 | z  3  4i || z |  | 3  4i || z | 5 | z | 6

Chọn B
Sai lầm thường gặp:
- Áp dụng sai bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


- Tính sai mô đun số phức.
Câu 6.
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: A  B  A  B  A  B .
Cách giải:
Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có
| z || ( z  2  3i)  (2  3i) || z  2  3i |  | 2  3i | 1  13

Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Áp dụng sai bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Tính sai mô đun số phức.
Câu 7.
Phương pháp:
Nhận xét: đề bài cho | z  2  3i | 1 nhưng yêu cầu tìm GTNN của biểu thức | z  1  i | nên cần đánh giá:
| z  1  i || z  1  i | .

Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: A  B  A  B  A  B .

Cách giải:
Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có
| z  1  i || z  1  i || ( z  2  3i)  (3  2i) ||| z  2  3i |  | 3  2i |||1  13 | 13 1

Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Áp dụng sai bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Tính sai mô đun số phức.
Câu 8.
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: A  B  A  B  A  B .
Đặc biệt A  B  A  B  A  B
Cách giải:

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có
| z  2  i || ( z  1  2i)  (3  3i) ||| z 1  2i |  | 3  3i ||| 4  3 2 | 3 2  4  m
| z  2  i || ( z 1  2i)  (3  3i) || z 1  2i |  | 3  3i | 4  3 2  M

Suy ra M 2  m2  (3 2  4)2  (4  3 2)2  2(42  (3 2) 2 )  68
Chọn C
Sai lầm thường gặp:
- Áp dụng sai bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Tính sai mô đun số phức.
Câu 9.
Phương pháp:

Áp dụng phương pháp thế:
Gọi z  x  yi , thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ x, y , biểu diễn y qua x hoặc x qua y rồi
thế vào biểu thức của z và tìm GTNN.
Cách giải:
Giả sử z  x  yi , ta có 3x  4 y  3  0 , suy ra y 
Ta có | z | x 2  y 2  x 2 

3
 x  1
4

9
1
( x  1)2 
16 x 2  9( x  1) 2
16
4
2

1
1 
9  144 1 12 3

25 x 2  18 x  9 
 . 
 5x   
4
4 
5
25 4 5 5

Chọn B
Sai lầm thường gặp:
- Tính toán nhầm lẫn.
- Xác định sai công thức tính mô đun số phức.
Câu 10.
Phương pháp:
Áp dụng phương pháp thế:
Gọi z  a  bi , thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ a, b , biểu diễn b qua a hoặc a qua b rồi
thế vào biểu thức của z và tìm GTNN.
Cách giải:

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Giả sử z  a  bi , ta có

| a  bi  2  4i || a  bi  2i | (a  2) 2  (b  4) 2  a 2  (b  2) 2

 4a  4  8b  16  4b  4  4a  4b  16  0  a  b  4  b  4  a
Ta có
| z | a 2  b 2  a 2  (4  a) 2  2a 2  8a  16  2(a 2  4a  4)  8  2( a  2) 2  8  2 2

 min z  2 2  a  2, b  2  z  2  2i .
Chọn C
Sai lầm thường gặp:
- Xác định sai công thức tính mô đun số phức.
- Tính toán nhầm lẫn a, b .
Câu 11.

Phương pháp:
Gọi z  a  bi , thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ a, b .
Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki  ax  by    a 2  b2  x 2  y 2  để đánh giá biểu thức cần tìm GTLN.
2

Cách giải:
Giả sử z  a  bi , theo giả thiết ta có (a  1)2  b 2  2 .
Ta có
T | a  bi  i |  | a  bi  2  i | a 2  (b  1) 2  (a  2) 2  (b  1) 2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

a 2  (b  1)2  (a  2)2  (b  1)2  12  12  . a 2  (b  1)2  (a  2)2  (b 1)2 





2
 2.(2a 2  4a  4  2b2  2)  2. 2  a  1  b2  4  2.  2.2  4   4



Chọn B
Sai lầm thường gặp:
- Xác định sai mô đun số phức.
- Áp dụng sai bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Câu 12.
Phương pháp:


7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Gọi z  a  bi , thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ a, b .
Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki  ax  by    a 2  b2  x 2  y 2  để đánh giá z  a 2  b2 .
2

Cách giải:
Giả sử z  a  bi , theo giả thiết ta có
| a  bi  3 |  | a  bi  3 | 10  ( a  3) 2  b 2  ( a  3) 2  b 2  10

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
10  (a  3) 2  b 2  (a  3) 2  b 2  (12  12 )[(a  3) 2  b 2  (a  3) 2  b 2 ]

 2.[2a 2  2b 2  18]  2 a 2  b 2  9

a 2  b 2  9  5  a 2  b 2  9  25  a 2  b 2  16

Suy ra

Do đó | z | a 2  b2  4
Chọn B
Sai lầm thường gặp:
- Xác định sai mô đun số phức.
- Áp dụng sai bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Câu 13.
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: A  B  A  B  A  B .

Chú ý: z1.z 2  z1 . z 2 .
Cách giải:
Theo giả thiết | z  1|| (1  i ) z | có
| z  1||1  i | .| z || z 1| 2.| z |

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có

2. z  z 1  z  1 





2 1 z  1  z  2  1

Chọn A.
Sai lầm thường gặp:
- Chưa áp dụng được công thức z1.z 2  z1 . z 2 .
- Áp dụng sai bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 14.
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: A  B  A  B  A  B .
Chú ý: z1  z2  z1  z2
Cách giải:

Ta có 1 | z  3  4i || z  3  4i |
Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có
| z || ( z  3  4i)  (3  4i) || z  3  4i |  | 3  4i | 1  5  6

Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Áp dụng sai bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.
- Tính sai mô đun số phức.
Câu 15.
Phương pháp:
Gọi z1  x1  y1i , z2  x2  y2i , thay vào biểu thức đề bài tìm mối liên hệ x1 , x 2 , y1 , y2 .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki  ax  by    a 2  b2  x 2  y 2  để đánh giá z1  z 2 .
2

Cách giải:
Giả sử z1  x1  y1i , z2  x2  y2i .
Theo giả thiết | z1  z2 | 1 có
( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  1  x12  x22  2 x1 x2  y12  y22  2 x1 y2  1 (1)

Theo giả thiết | z1  z2 | 3 có
( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  9  x12  x22  2 x1 x2  y12  y22  2 x1 y2  9 (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có
x12  x22  y12  y22  5

Ta có

T  x12  y12  x22  y22
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có


9

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


T  2.( x12  x22  y12  y22 )  10
Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Áp dụng sai bất đẳng thức Bunhiacopxki.
- Tính sai mô đun số phức.
Câu 16.
Phương pháp:
Gọi z  x  yi , thay vào điều kiện bài cho tìm mối liên hệ x, y rồi biểu diễn y theo x hoặc x theo y .
Áp dụng phương pháp thế: thay biểu thức của x hoặc y vừa có được vào z  x 2  y 2 để tìm GTNN
 x, y  N .

Cách giải:
Từ điều kiện | z  2  4i || z  2i | ta có

| x  yi  2  4i || x  yi  2i | ( x  2) 2  ( y  4)2  x 2  ( y  2)2
 4 x  4  8 y  16  4 y  4  4 x  4 y  16  0  x  y  4  x  4  y

Ta có
| z | x 2  y 2  (4  y ) 2  y 2  2 y 2  8 y  16  2( y  2)2  8  2 2

Vậy min z  2 2 khi y  2  0 hay y  2 . Suy ra x  2 . Do đó N  x 2  y 2  8
Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai mô đun số phức.
- Đánh giá sai GTNN của z dẫn đến tìm sai x, y .

Câu 17.
Phương pháp:
Áp dụng phương pháp hình học.
Cách giải:
Các điểm M  x; y  biểu diễn z  x  yi có khoảng cách đến điểm I 1; 2  biểu diễn 1  2i bằng
đường tròn tâm I bán kính bằng

10

5 nên thuộc

5.

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Từ đó các điểm biểu diễn w thay đổi trên đường tròn tâm J biểu diễn 1  2i  1  i  2  i , bán kính bằng

5.

Do 2  i  5 nên đường tròn này đi qua gốc O .
Điểm P biểu diễn w có mô đun lớn nhất khi P là điểm xuyên tâm đối của O trên đường tròn đó tức là
w  2  2  i   4  2i .
Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Chưa xác định được mối quan hệ của các điểm biểu diễn những số phức z, w trên mặt phẳng phức.
Câu 18.
Phương pháp:
Áp dụng phương pháp hình học.
Cách giải:

Đặt z  x  yi với x, y  R . Điều kiện đã cho trở thành
( x  4) 2  y 2  ( x  4) 2  y 2  10 (1)

Gọi M ( x, y) là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi
Từ (1)  MA  MB  10 (với A(4, 0), B(4, 0) )
Suy ra tập hợp điểm M ( x, y) nằm trên elip có: a  5, b  3, c  4
Vì M nằm trên elip nên z min  OM min  M  A ;
z max  OM max  M  B .

Vậy giá trị lớn nhất của z là 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của z là 3 .
Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai mô đun các số phức.
- Chưa tìm được mối quan hệ giữa số phức và điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức.
Câu 19.
Phương pháp:
Gọi z  x  yi , thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ x, y .
Áp dụng phương pháp hình học để tìm điều kiện cho z đạt GTNN.

11

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Cách giải:
Có

4  2i
 1  3i . Đặt z  x  yi thì

1 i

4  2i
z  1  (1  3i)( x  yi)  1  ( x  3 y  1)  (3x  y)i
1 i
Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành

( x  3 y  1)2  (3x  y ) 2  1
 ( x  3 y)2  2( x  3 y)  1  (3x  y) 2  1
 10 x 2  10 y 2  2 x  6 y  0

1  
3 

  x2  x    y 2  y   0
5  
5 

2

2

1 
3
1

(*)
 x   y  
10  10
 10  


Điểm biểu diễn M ( x, y) của z chạy trên đường tròn (*). Cần tìm điểm M ( x, y) thuộc đường tròn này để OM
nhỏ nhất.
Vì đường tròn này qua O nên min OM  0 khi M  O hay M  0, 0  , do đó z  0 hay min z  0 .
Chọn B
Sai lầm thường gặp:
- Xác định sai mô đun các số phức.
- Tìm sai mối liên hệ x, y .
- Không đưa được bài toán từ dạng đại số về hình học.
Câu 20.
Phương pháp:
Gọi z  x  yi , thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ x, y .
Áp dụng phương pháp hình học để tìm điều kiện cho z đạt GTLN.
Cách giải:
Có

2  3i
 i . Đặt z  x  yi thì
3  2i

2  3i
z  1  i( x  yi)  1  ( y  1)  xi
3  2i

12

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành ( y  1) 2  x 2  1

Điểm biểu diễn M ( x, y) của z chạy trên đường tròn (*) có tâm I  0, 1 , bán kính bằng 1 .
Cần tìm điểm M ( x, y) thuộc đường tròn này để OM lớn nhất.
Vì O nằm trên đường tròn nên OM lớn nhất khi OM là đường kính của (*)  I là trung điểm của OM
 x  2 xI
x  0


 M (0, 2) . Suy ra z  2i | z | 2
 y  2
 y  2 yI
Vậy max z  2
Chọn C
Sai lầm thường gặp:
- Không chuyển được bài toán từ dạng đại số về dạng hình học.
- Không tìm được điều kiện để | z | đạt GTLN.
- Tính sai mô đun các số phức.

13

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!