ĐỀ THI ONLINE – NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mục tiêu đề thi:
- Sử dụng thành thạo công thức tính nguyên hàm từng phần.
- Biết được các đối tượng ưu tiên khi tính nguyên hàm từng phần.
- Xử lý tốt các bài toán nguyên hàm quay đầu.
Cấu trúc đề thi:
Đề thi gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm được phân thành 4 cấp độ.
Nhận biết
6

Thông hiểu
6

Vận dụng
6

Vận dụng cao
2

Câu 1 (Nhận biết). Nguyên hàm của hàm số f  x   xe x là:
A. xex  ex  C

B. ex  C

C.

x2 x
e C
2

D. xex  ex  C

Câu 2 (Nhận biết). Kết quả  ln xdx là:
B. Đáp án khác

A. xlnx + x + C
Câu 3 (Nhận biết).

 x sin x cos xdx

C. xlnx + C

D. xlnx – x + C

bằng:

A.

11
x

 sin 2x  cos 2x   C
24
2


11
x

B.   sin 2x  cos 2x   C
22

4


C.

11
x

 sin 2x  cos 2x   C
22
2


11
x

D.   sin 2x  cos 2x   C
22
4


Câu 4 (Nhận biết). Tính I   cos xdx ta được:
A. 2





C.


x sin x  cos x  C

x sin x  cos x  C

Câu 5 (Nhận biết). Ta có 
A. a = 2

B. 2





D.

x sin x  cos x  C

x sin x  cos x  C

xa
x
là một họ nguyên hàm của hàm số f  x   x , khi đó:
x
e
e
B. a = -1

C. a = 0

D. a = 1


x
Câu 6 (Nhận biết). Tính I   x sin dx ta được:
3

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


A. 9sin

x
x
 3x cos  C
3
3

B. 9sin

x
x
 3x cos  C
3
3

C. 9cos

x
x
 3x sin  C

3
3

D. 9cos

x
x
 3x sin  C
3
3

Câu 7 (Thông hiểu). Tìm họ nguyên hàm F  x    x 2 e x dx ?
A. F  x    x 2  2x  2  e x  C

B. F  x    2x 2  x  2  e x  C

C. F  x    x 2  2x  2  e x  C

D. F  x    x 2  2x  2  e x  C

Câu 8 (Thông hiểu). Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số y  x.cos x mà F(0) = 1. Phát iểu nào sau đây
đúng:
A. F(x) là hàm chẵn.
B. F(x) là hàm lẻ.
C. F(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 2 .
D. F(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.
Câu 9 (Thông hiểu). Một nguyên hàm

  x  2 sin 3xdx  


 x  a  cos3x  1 sin 3x  2017
b

c

thì tổng S = a.b + c

bằng:
A. S = 14

B. S = 15

C. S = 3

Câu 10 (Thông hiểu). Một nguyên hàm của f  x  
A. xtanx – ln|cosx|
Câu 11 (Thông hiểu). Tính
A.

B. xtanx + ln(cosx)

x

3

x
là:
cos2 x
C. xtanx + ln|cosx|


D. xtanx – ln|sinx|

ln 3xdx

1 4
x ln 3x  C
4

1
1
B.  x 4 ln 3x  x 4  C
4
16

1
1
C.  x 4 ln 3x  x 4  C
4
16

D.

1 4
1
x ln 3x  x 4  C
4
16

Câu 12 (Thông hiểu). Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f  x  


F   ?
A. F     1

D. S = 10

B. F   

1
2

x
thỏa mãn F  0   0. Tính
cos2 x

C. F     1

D. F     0

Câu 13 (Vận dụng). Nguyên hàm của hàm số I   cos 2x ln  sin x  cos x  dx là:
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


A. I 

1
1
1  sin 2x  ln 1  sin 2x   sin 2x  C
2
4


B. I 

1
1
1  sin 2x  ln 1  sin 2x   sin 2x  C
4
2

C. I 

1
1
1  sin 2x  ln 1  sin 2x   sin 2x  C
4
4

D. I 

1
1
1  sin 2x  ln 1  sin 2x   sin 2x  C
4
4





Câu 14 (Vận dụng). Tính I   ln x  x 2  1 dx ta được:



C. x ln  x 


x  1 

A. x ln x  x 2  1  x 2  1  C
2

x2 1  C


D. ln  x 


x  1 

B. ln x  x 2  1  x 2  1  C
2

x2 1  C

Câu 15 (Vận dụng). Tính I   x tan 2 xdx ta được:

1
A.  x 2  x tan x  ln cos x  C
2
C.


1 2
x  x tan x  ln cos x  C
2

1
B.  x 2  x tan x  ln cos x  C
2
D.

1 2
x  x tan x  ln cos x  C
2

Câu 16 (Vận dụng). Tìm hàm số F(x) của f  x  

2x  1
biết F(0) = 1.
ex

A. F  x  

2x  ln 2  1
e x  ln 2  1

B. F  x  

C. F  x  

2x  ln 2
e x  ln 2  1


2
D. F  x    
e

x

x

1  2 1
1
    
ln 2  1  e   e  ln 2  1
x

Câu 17 (Vận dụng). Cho F  x     x  1 f '  x  dx Tính I   f  x  dx theo F(x).
A. I   x  1 f  x   2F  x   C

B. I  F  x    x  1 f  x 

C. I   x  1 f  x   C

D. I   x  1 f  x   F  x   C

Câu 18 (Vận dụng). Tính I   e 2x cos 3xdx ta được:
A.

e2x
 2sin 3x  3cos3x   C
13


B.

e2x
 3sin 3x  2cos3x   C
13

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


C.

e2x
 2sin 3x  3cos3x   C
13

D.

e2x
 3sin 3x  2cos3x   C
13

Câu 19 (Vận dụng cao). Nguyên hàm của hàm số y  

x

2

 x  ex


x  e x

dx là:

A. F  x   xe x  1  ln xe x  1  C

B. F  x   e x  1  ln xe x  1  C

C. F  x   xe x  1  ln xe  x  1  C

D. F  x   xe x  1  ln xe x  1  C

Câu 20 (Vận dụng cao). Tính

A.

x
C
x 1



B.

2

x2 1

 x 2  1


2

dx ?

2x
C
x2 1

C.

x
C
x2 1

D.

2x
C
x2 1

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
1D
11D

2D
12D

3A

13C

4B
14A

5D
15A

6B
16B

7A
17D

8A
18D

9C
19A

10C
20C

Câu 1.
Phương pháp:
Đặt u  x, dv  ex dx
Cách giải:

u  x
du  dx


  f  x  dx   xe x dx  x.e x   e x dx  xe x  e x  C
Đặt 

x
x
dv  e dx
v  e
Chọn D.
Chú ý và sai lầm: Khi có hàm đa thức và hàm số mũ ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức.
Câu 2.
Phương pháp:
Đặt u  ln x, dv  dx.
Cách giải:

1

u  ln x
du  dx

Đặt 
x   ln xdx  x ln x   dx  x ln x  x  C.
dv  dx
 v  x
4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Chọn D.
Chú ý và sai lầm: Khi xuất hiện hàm loga và hàm đa thức ta ưu tiên đặt u là hàm loga.

Câu 3.
Phương pháp:

1
Sử dụng công thức nhân đôi sin x cos x  sin 2x , sau đó dùng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt
2
.
u  x, dv  sin 2xdx
Cách giải:

I   x sin x cos xdx 

1
x sin 2xdx
2

du  dx
u  x
1
cos 2x 1
1  x cos 2x sin 2x 



  cos 2xdx   C   

Đặt 
cos 2x  I    x.
C.
2

2
2
2
2
4 

dv  sin 2xdx
 v   2
Chọn A.
Chú ý và sai lầm: Khi có hàm đa thức và hàm lượng giác, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức.
Câu 4.
Phương pháp:
Trước hết ta nên đặt t  x để đưa nguyên hàm về dạng đơn giản hơn, sau đó áp dụng phương pháp nguyên
hàm từng phần.
Cách giải:
Đặt

x  t  x  t 2  dx  2tdt  I  2 t cos tdt.

u  t
du  dt

 I  2 t sin t   sint dt  C  2  t sin t  cos t  C  2
Đặt 
dv  cos tdt  v  sin t










x sin x  cos x  C.

Chọn B.
Chú ý và sai lầm: Khi có hàm đa thức và hàm lượng giác, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức.
Câu 5.
Phương pháp:
u  x
Đặt 
, sau đó tính nguyên hàm và suy ra a.
x
dv  e dx

Cách giải:

F x  

x
dx   xe x dx
x
e

5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


u  x

du  dx
x 1

 F  x    xe  x   e  x dx  C   xe  x  e  x  C    x  1 e  x  C   x  C.
Đặt 
x
x
e
dv  e dx  v  e


a  1
x
xa
.
là một họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  
x
e
e
C  0

Chọn D.
Chú ý và sai lầm: Khi xuất hiện hàm đa thức và hàm mũ, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức.
Câu 6.
Phương pháp:

x
Đặt u  x,dv  sin dx.
3
Cách giải:


x
F  x    x sin dx , đặt
3
u  x
du  dx
x
x
x
x


x 
x  F  x   3x cos  3 cos dx  C  3x cos  9sin  C.

3
3
3
3
dv  sin 3 dx  v  3cos 3

Chọn B.
Chú ý và sai lầm: Khi có hàm đa thức và hàm lượng giác, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức.
Câu 7.
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần.
Cách giải:
2

du  2xdx

u  x
Đặt 

 F  x   x 2e x  2 xe x dx  x 2e x  2I  C1

x
x
dv  e dx v  e


u  x
du  dx

 I  x.e x   e x dx  xe x  e x  C 2
Đặt 

x
x
dv  e dx
v  e
Do đó F  x   x 2e x  2  xe x  e x  C 2   C1  x 2e x  2xe x  2e x  C   x 2  2x  2  e x  C.
Chọn A.
Câu 8.
Phương pháp:

6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


u  x

, sau đó sử dụng giả thiết F(0) = 1 để
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần bằng cách đặt 
dv  cos xdx
tìm hằng số C và xét tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn của hàm số F(x) tìm được.

Cách giải:
Ta có F  x    x.cos xdx
u  x
du  dx

 F  x   x sin x   sin xdx  C  x sin x  cos x  C.
Đặt 
dv  cos xdx  v  sin x

F  0   1  0sin 0  cos 0  C  1  1  C  1  C  0  F  x   x sin x  cos x
Ta có: F   x     x  sin   x   cos   x   x sin x  cos x  F  x   F  x  là hàm chẵn.
Chọn A.
Chú ý và sai lầm: Khi có hàm đa thức và hàm lượng giác, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức.
Câu 9.
Phương pháp:
Đặt u  x  2, dv  sin 3xdx, sau đó đồng nhất hệ số 2 vế của phương trình để tìm ra các hệ số a, b, c, C.
Cách giải:
Đặt

du  dx
u  x  2


cos 3x


dv  sin 3xdx  v  
3

1
1
1
1
   x  2  sin 3xdx    x  2  cos 3x   cos 3xdx  C    x  2  cos 3x  sin 3x  C.
3
3
3
9
Một nguyên hàm

  x  2 sin 3xdx  

 x  a  cos3x  1 sin 3x  2017 , khi đó ta có:
b

c

a  2
b  3

 S  ab  c  2.3  9  15.

c

9


C  2017
Chọn C.
Chú ý và sai lầm: Khi có hàm đa thức và hàm lượng giác, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức.
Câu 10.
Phương pháp:
7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Nhận thấy

1

 cos

2

x

dx  tan x nên ta đặt u  x, dv 

1
dx .
cos2 x

Cách giải:

F  x    f  x  dx  

x

dx
cos2 x

Đặt

u  x
du  dx


1

dv  cos 2 x dx  v  tan x
 F  x   x tan x   tan xdx  C  x tan x  
Khi C  0  F  x   x tan x  ln cos x .

d  cos x 
sin x
dx  C  x tan x  
 C  x tan x  ln cos x  C.
cos x
cos x

Chọn C.
Câu 11.
Phương pháp:
 u  ln 3x
Đặt 
.
3
dv


x
dx


Cách giải:

1

du

dx

u  ln 3x
1 4
1 3
1 4
x4
x


I

x
ln
3x

x
dx


C

x
ln
3x

C
Đặt 


3
4
4
4
4
16
dv

x
dx
x

v 

4
Chọn D.
Chú ý và sai lầm: Khi xuất hiện hàm đa thức và hàm ln ta ưu tiên đặt u là hàm ln.
Câu 12.
Phương pháp:
Nhận thấy


1

 cos

2

x

dx  tan x nên ta đặt u  x, dv 

1
dx .
cos2 x

Cách giải:

8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


u  x
du  dx


1

dv  cos 2 x dx  v  tan x
 F  x   x tan x   tan xdx  C  x tan x  
 F  0  C  0  F    0


d  cos x 
sin x
dx  C  x tan x  
 C  x tan x  ln cos x  C.
cos x
cos x

Chọn D.
Câu 13.
Phương pháp:
Dùng công thức nhân đôi cos 2x  cos 2 x  sin 2 x   cos x  sin x  cos x  sin x  , bằng cách đặt ẩn phụ

t  sin x  cos x ta đưa nguyên hàm ban đầu về dạng đơn giản hơn, sau đó áp dụng phương pháp tính nguyên
hàm từng phần. Lưu ý khi trong nguyên hàm có hàm ln và hàm đa thức ta ưu tiên đặt u bằng hàm ln.
Cách giải:
Ta có:

cos 2x ln  sin x  cos x    cos x  sin x  cos x  sin x  ln  sin x  cos x 
 I    cos x  sin x  cos x  sin x  ln  sin x  cos x  dx
Đặt t  sin x  cos x  dt   cos x  sin x  dx , khi đó ta có: I   t ln tdt

1

du  dt

u  ln t

t


Đặt 
2
dv  tdt  v  t

2

I

1 2
1
1
t2
t ln t   tdt  C  t 2 ln t   C1
2
2
2
4

 sin x  cos x   C
1
2
  sin x  cos x  ln  sin x  cos x  
1
2
4
1
1  sin 2x
  sin 2 x  cos 2 x  sin 2x  ln  sin x  cos x  
 C1
2

4
1
sin 2x 1
2
 1  sin 2x  ln  sin x  cos x  
  C1
4
4
4
1
sin 2x
 1  sin 2x  ln 1  sin 2x  
 C.
4
4
2

Chọn C.
Câu 14.
Phương pháp:
9 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!






u  ln x  x 2  1


Đặt 
.
dv  dx
Cách giải:


x

x  x2 1
1



u  ln x  x  1
x 2  1 dx 


x 2  1 dx  dx
Đặt 
 du 
 du 
2
x  x 1
x  x2 1
x2 1
dv  dx


 v  x
v  x







2





 I  x ln x  x 2  1  

x
x2 1

dx  C1.

Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  tdt  xdx  

x
x 1
2

dx  

tdt
  dt  t  C2  x 2  1  C 2
t






Khi đó ta có:  I  x ln x  x 2  1  x 2  1  C.
Chọn A.
Câu 15.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tan 2 x 

1
1, sau đó tách thành 2 nguyên hàm và sử dụng phương pháp nguyên hàm
cos 2 x

từng phần.
Cách giải:
1
 1

I   x tan 2 xdx   x 
 1 dx   x.
dx   xdx  I1  I 2
2
cos 2 x
 cos x 

Ta có: I2   xdx 

x2

1
 C2 , I1   x
dx
2
cos2 x

u  x
du  dx


Đặt 
1
dv  cos 2 x dx  v  tan x

d  cos x 
sin x
dx  C1  x tan x  
 C1  x tan x  ln cos x  C1.
cos x
cos x
x2
x2
 I  x tan x  ln cos x  C1   C 2  x tan x  ln cos x   C.
2
2
 I1  x tan x   tan xdx  C1  x tan x  

Chọn A.
Câu 16.
10 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –

GDCD tốt nhất!


Phương pháp:
Tách nguyên hàm ban đầu thành F  x   

2x  1
dx    2x  1 e x dx   2x e x dx   e x dx.
ex

u  2 x

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm thứ nhất, bằng cách đặt 
, lưu ý
x

dv  e dx
đây là nguyên hàm quay đầu.
Cách giải:

F x  

2x  1
dx    2x  1 e x dx   2x e x dx   e x dx   2x e  x dx  e  x  C1  I  e  x  C1.
ex

u  2 x
du  2x ln 2dx



Đặt 


x
x
dv  e dx 
v  e

 I  2 x e  x  ln 2  2 x e  x dx  C 2  2 x e  x  ln 2.I  C 2   ln 2  1 I  C 2  2 x e  x  I 
 Fx 

2x e x
2x
1
 e x  C 
 x C
x
ln 2  1
 ln 2  1 e e

 F  0 

1
1
1 C  1  C  
ln 2  1
ln 2  1
x

2x e x

 C2.
ln 2  1

x

2x
1
1
1 2 1
1
 Fx 
 x

.
    
x
 ln 2  1 e e ln 2  1 ln 2  1  e   e  ln 2  1
Chọn B.
Câu 17.
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt u = x + 1 và dv = f’(x)dx.
Cách giải:



u  x  1
du  dx
Đặt 

dv  f '  x  dx 

v  f  x 

 F  x    x  1 f  x    f  x  dx  C  I   f  x  dx   x  1 f  x   F  x   C.

Chọn D.
Câu 18.
Phương pháp:
Đây là nguyên hàm quay đầu, sau khi nguyên hàm từng phần 2 lần ta thấy xuất hiện đúng nguyên hàm cần tìm
ban đầu.
11 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Cách giải:
du  2e2x dx
u  e 2x
1 2x
2 2x

Đặt 

sin 3x  I  2 sin 3x   e sin 3xdx  C1.
3
3
dv  cos 3xdx  v 
3


Xét nguyên hàm  e2x sin 3xdx , đặt
da  2e 2x

a  e 2x
1 2x
2 2x
1 2x
2

2x


cos 3x   e sin 3xdx   e cos 3x   e cos 3x  C1   e cos 3x  I  C 2
3
3
3
3
b  sin 3 xdx db  
3


Do đó ta có

1
2 1
2

I  e 2x sin 3x    e 2x cos 3x  I  C 2   C1
3
3 3
3

13

1
2
 I  e 2x sin 3x  e 2x cos 3x  C
9
3
9
1
 I  e 2x  3sin 3x  2 cos 3x   C.
13
Chọn D.
Câu 19.
Phương pháp:

u  xex

Quy đồng mẫu, biến đổi biểu thức, ta có nhận xét  xe x  1 '   x  1 e x nên đặt 
 x  1 ex dx
dv


xex  1

Cách giải:
Ta có: I  

x

2

 x  ex


x  e x

dx  

x

2

 x  ex

xe x  1
ex

dx  

x

2

 x  e 2x

xe x  1

xe x  x  1 e x
dx  
dx.
xe x  1

u  xe x

du   e x  xe x  dx   x  1 e x dx


x
Đặt 
d  xe  1  
x  1 e x

x
dx 
dv 
 v  ln xe  1
x
x

xe  1
xe  1

Khi đó ta có: I  xe x ln xe x  1   ln xe x  1  x  1 e x dx  C.
Đặt t  xe x  1  dt   ex  xex  dx   x  1 ex dx   ln xex  1  x  1 ex dx   ln t dt

12 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


1

u  ln t
du  dt
x

x
x

t   ln t dt  ln t .t   dt  C  ln t .t  t  C   xe  1 ln xe  1   xe  1  C.

dv  dt
 v  t

Vậy I  xe x ln xe x 1  xe x 1 ln xe x 1  xe x 1 C xe x 1 ln xe x 1 C.
Chọn A.
Câu 20.
Phương pháp:

x 2 1

Nhận xét

x

2

 1

2



x

2x 2

2

 1



2

1
x 2 1
2x 2
1

dx

dx   2 dx.
2
2
2


x 1
x 1
 x 2  1
 x 2  1

u  x

d  x 2  1 .
Sử dụng phương pháp tích phần từng phần để tính tích phân thứ nhất, đặt 

dv

2

 x 2  1


Cách giải:
Ta có:

Ta tính

x2 1

x


2

 1

2



2x 2

 x 2  1

2


x

2x 2
2

 1

dx  

2



1
x 2 1
2x 2
1

dx

dx   2 dx 1
2
2
2


x 1
x 1
 x 2  1

 x 2  1

xd  x 2  1

 x 2  1

2

bằng phương pháp tích phân từng phân như sau:

u  x
du  dx

xd  x 2  1
2
x
dx

d
x

1


Đặt 


 2
 2
 C  2

1
2
2
x 1
x 1
2
x  1
dv  2
 v   x 2  1

 x  1


Từ (1) và (2) suy ra



x2 1

x

2

 1

2

dx  

x

dx
1
x
 2
 C   2 dx   2
 C.
x 1
x 1
x 1
x 1
2

Chọn C.
Chú ý và sai lầm: Ta không thể chia cả tử và mẫu cho x 2 do x = 0 vẫn thuộc vào tập xác định của hàm số.

13 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!