20 ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (571.59 KB, 5 trang )
CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN (TỰ LUẬN NẮM CHẮC KIẾN THỨC)
BÀI GIẢNG. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
I. Lý thuyết.
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x , y g x , x a, x b .
b
S | f ( x) g ( x) | dx
a
Trường hợp đặc biệt khi g x 0 (trục hoành) thì diện tích hình phẳng giới
b
hạn bởi các đồ thị hàm số y f x , y 0, x a, x b là S | f ( x) | dx .
a
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số y f x , y g x
Phương pháp: - Xét phương trình hoành độ giao điểm f x g x 0 . Giả sử phương trình có n nghiệm phân
biệt được sắp xếp theo thứ tự a x1 x2 ... xn b . Khi đó diện tích hình phẳng vẫn được tính theo công
b
thức S | f ( x) g ( x) | dx
a
Phương pháp chung cho cả 2 dạng trên
Cách 1: Đại số
-Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm. Suy ra các nghiệm a x1 x2 ... xn b (nếu cho sẵn 2
đường thẳng x a, x b thì chỉ xét các nghiệm thuộc (a, b))
-Bước 2: Diện tích hình phẳng
b
x1
x2
a
a
x1
x1
x2
b
a
x1
xn1
S | f ( x) g ( x) | dx | f ( x) g ( x) | dx | f ( x) g ( x) | dx ...
b
| f ( x) g ( x) | dx
xn1
f ( x) g ( x) dx f ( x) g ( x) dx ... f ( x) g ( x) dx
Cách này dùng khi có sự tham gia của 2 đồ thị hàm số y f x , y g x
Cách 2: Đồ thị.
1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!
Khi hình phẳng bị giới hạn bởi nhiều hơn 2 đường cong.
II. Áp dụng
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x3 – 3x2 , trục hoành (y = 0), trục tung (x = 0) và đường
thẳng x = 4.
Giải
Cách 1.
4
Shp | x3 3x 2 | dx
0
+) Cho: x3 – 3x2 = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 3
3
4
=> I | x 3x | dx | x3 3x 2 | dx
3
2
0
3
3
4
0
3
= | x3 3x 2 dx | | x3 3x 2 dx |
x 4 3x3 3
x 4 3x3 4 27 27 27
=
3 0
3 3
4
4
2
4
4
3
4
0
3
Cách 2: I | x3 3x 2 | dx | x3 3x 2 | dx
3
4
3
4
27 27 27
S 0 ( x 3x ) dx ( x 3x ) 0 dx x 3x dx x3 3x 2 dx
4
4
2
0
3
0
3
3
2
3
2
3
2
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = sin x, y = 1, trục tung, x =
Giải
/2
+) S
| sin x 1| dx
0
Xét sin x – 1 = 0 (x ∈ [0; ])
x=
/2
sin x 1 dx cos x x
=> S
/2
0
2
0
1
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y
1 ln x
, trục hoành, x = 1.
x
Giải
Chú ý: Nếu đề bài không đủ cận thì xét phương trình hoành độ giao điểm.
+) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
1 ln x
0
x
1 ln x 0
ln x 1 x e
e
=> S |
1
Đặt
1 ln x
1 ln x
| dx |
dx |
x
x
1
e
1 ln x t ta có:
=> 1 ln x t 2
1
=> dx 2tdt
x
0
1
t3
=> S t 2t dt 2 t dt 2
3
1
0
1
2
0
2
3
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 – x + 3 và y = 2x + 1
Giải
Cách 1.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x2 – x + 3 = 2x + 1
⟺ x2 – 3x + 2 = 0
3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!
⟺ x = 1 hoặc x = 2
2
2
=> S | ( x 2 x 3) (2 x 1) | dx | x 2 3x 2 | dx
1
1
2
x
2
3x 2 dx
1
2
x3 3x 2
2 5
1 1
=
2x
2
3 6
6 6
3
1
Cách 2.
Vẽ đồ thị
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng:
y x 2 2 x 2(1)
2
y x 4 x 5(2)
y 1(3)
Giải
y x 2 2 x 2 (1)
2
y x 4 x 5 (2)
y 1
(3)
+) Xét phương trình: x2 – 2x + 2 = x2 + 4x + 5
6x = -3 ⟺ x =
=> Shp
1
2
(x
2
2
4 x 5) 1 dx
1
1
2
1
2
1
1
x3
2 x3
x2
x2
9 9 9
2
x
2
x
2
1
dx
4
4
x
2
x
2
2
3
2 3
1 8 8 4
2
Ví dụ 6.Tính diện tích hình phẳng:
y = |x2 – 4 x + 3| và ∆: y = x + 3
4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!
Giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x 2 4 x 3 x 3 ( x 3)
x2 5x 0
x 5
x 4x 3 x 3 2
2
x 0
x 4 x 3 x 3 ( x 3)
x 3x 6 0
2
Dựa vào hình vẽ ta có
Cách 1:
1
3
5
S x 3 x 4 x 3 dx x 3 x 4 x 3 dx x 3 x 2 4 x 3 dx
2
2
0
1
1
3
3
5
x 2 5 x dx x 2 3x 6 dx x 2 5 x dx
0
1
3
1
3
5
x3 5 x 2
x3 3x 2
x3 5x 2
6
x
3
2
3
2
3
2 3
0
1
13 27 29 125 27 109
.
6
2
6
6
2
6
Cách 2:
5
3
5
3
S ( x 3) ( x 4 x 3) dx 2 0 ( x 4 x 3) dx x 5 x dx 2 x 2 4 x 3 dx
2
0
2
1
5
2
0
1
3
x3
x3
x2
x2
125
4 109
5 2 4 3x
2
2 0
2
6
3
6
3
3
1
5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!
