✣❸■ ❍➴❈ ◗❯➮❈ ●■❆ ❍⑨ ◆❐■
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❚Ü ◆❍■➊◆
❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ✲ ❈❒ ✲ ❚■◆ ❍➴❈

◆●❯❨➍◆ ✣Ù❈ ◆●⑨
❳❹❨ ❉Ü◆● ❙■◆●❊❘ ❱⑨ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❍■❚

▲✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣

❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ✣↕✐ sè ✈➔ ❧þ t❤✉②➳t sè
▼➣ sè✿ ✻✵✹✻✵✶✵✹

❍➔ ◆ë✐ ✲ ✷✵✶✽


✣❸■ ❍➴❈ ◗❯➮❈ ●■❆ ❍⑨ ◆❐■
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❚Ü ◆❍■➊◆
❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ✲ ❈❒ ✲ ❚■◆ ❍➴❈

◆●❯❨➍◆ ✣Ù❈ ◆●⑨
❳❹❨ ❉Ü◆● ❙■◆●❊❘ ❱⑨ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❍■❚

▲✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣

❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ✣↕✐ sè ✈➔ ❧þ t❤✉②➳t sè
▼➣ sè✿ ✻✵✹✻✵✶✵✹

❈→♥ ❜ë ❤÷î♥❣ ❞➝♥✿ ●❙✳❚❙❑❍ ◆●❯❨➍◆ ❍Ú❯ ❱■➏❚ ❍×◆●

❍➔ ◆ë✐ ✲ ✷✵✶✽

▲❮■ ❈❷▼ ❒◆
❚r÷î❝ t✐➯♥✱ tæ✐ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ✤➳♥ ❚❤➛②✱ ●❙✳ ❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ❍ú✉ ❱✐➺t
❍÷♥❣ ✈➲ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ t➟♥ t➻♥❤✱ ♥❣❤✐➯♠ ❦❤➢❝ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ♠è✐ q✉❛♥
t➙♠ ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ ❝✉ë❝ sè♥❣✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ tæ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❝→♥ ❜ë tr♦♥❣ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❈ì✲❚✐♥
❤å❝✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝→❝ t❤➛② ❝æ t❤✉ë❝ ♠æ♥ ✣↕✐ sè✲❍➻♥❤ ❤å❝✲❚æ♣æ✱ ✈➲ sü ❣✐ó♣ ✤ï
❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ tæ✐ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ tr÷í♥❣✳
❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ tæ✐ ❝↔♠ ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ❧✉æ♥ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ tæ✐ tr♦♥❣ ❤å❝
t➟♣ ✈➔ ❝✉ë❝ sè♥❣✳

✶


ỵ
A

F2
Ps
F (k )
Rs M
GLs
Ds

số tr
rữớ ỗ tỷ
số tự tr trữớ F2 s s tỷ
ổ ổ ờ s ởt tỷ k
ỹ r ừ ổ ổ ờ M
õ t t tờ qt ợ số tr trữớ F2

số s




▼ö❝ ❧ö❝
▲❮■ ❈❷▼ ❒◆
❇↔♥❣ ❦þ ❤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲❮■ ▼Ð ✣❺❯
■ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶
✷
✸

✣↕✐ sè ❙t❡❡♥r♦❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼æ✤✉♥ ❦❤æ♥❣ ê♥ ✤à♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❳➙② ❞ü♥❣ ❙✐♥❣❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶
✷

✹
✽

✽
✶✹
✷✵

■■ ❚→❝ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ✤↕✐ sè ❙t❡❡♥r♦❞ ❧➯♥ R3F (k)


✷✺

■■■❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ ❝❤➼♥❤

✸✷

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✹✷

✶
✷

✶
✷

◗✉② ✈➲ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ s = 3 ✈➔ ♠æ✤✉♥ F (k ) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚→❝ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ✤↕✐ sè ❙t❡❡♥r♦❞ ❧➯♥ R3 F (k ) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ ❝❤➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❇ê ✤➲ ✶✳✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✷✺
✷✼

✸✷
✸✼



é
ử ừ tr t q ừ ữ
P ữ r ởt ự ỵ ừ õ
õ ớ õ ừ st ở ớ õ ừ
t tr
ỗ r

( X ) H ( X ; F2 )



tứ õ ỗ ờ ừ ổ õ ố X ỗ
ừ ổ ỏ ổ QX := X ữủ tổổ số
t q t ợ X = S 0 (QS 0 ) t ỗ ờ ừ
ờ t tt ờ ợ t r õ tỷ
ừ (QS 0 ) ợ t t rr tr
ừ ỗ r
ỵ Q0 X t tổ ừ ố tr QX
ữ ữ r tt s

tt tt tờ qt ợ ỵ X ởt
ự õ ố õ ỗ r (Q0X ) H(Q0X ) trt t
tr ợ ừ (Q0X ) ợ ồ s ợ ỡ 2

t r ợ X = S 0 ổ tỗ t ợ ữỡ ợ ồ s
tỷ t õ ồ s tỷ
t rr õ ồ s
ữ ữ r tt số ừ ợ ởt
ừ tt õ t tt t

ỗ r ỗ srt tt
Pử ử
ợ s ởt số ữỡ ỵ Ps số tự F2 [x1 . . . , xs ]
tr õ ộ xi (1 i s) số tự Ps ữủ tr
ởt trú số ổ ờ t tr số tr A ữ
Ps ợ H (BZs
2 ) ữ ởt số ổ ờ




ệ ệ
ợ ộ số ữỡ s tỗ t ởt tỷ r Rs ởt tỷ
ợ tr trũ ổ ổ ờ s ợ ộ ổ
ổ ờ M Rs M ởt ổ ừ Ps M
s rt ỹ ởt ỗ
s
F2 A Rs M TorA
s (F2 , M ).

ố t t ừ
ExtsA (s M, F2 ) (F2 A Rs M )



ữủ ồ ỗ srt õ tữỡ ự ợ ởt t
ừ r M ố ỗ t ồ ừ ởt ổ
õ ố X ự ừ t q ữủ tr tr
tỷ r t ỗ t H (QX ) t H (X )
ữ ữ r số s ừ tt tờ qt

ợ tt ợ M = F2 tr tt ợ M
ởt ổ ổ ờ t ý tr

tt số ừ tt tờ qt ợ ỗ
srt trt t t ố ữỡ ợ s > 2 ợ ồ A ổ ổ
ờ M

tt rt ự t tợ ữợ t ỹ ừ
ố ỗ ừ số tr ữ ũ ở sỹ
ự tt trữớ ủ M = F2 ợ s = 3, 4 ữủt
tr ổ tr ỗ srt trt t ợ
ồ s > 2 M = F2 tr tỷ t ữủ ừ ExtsA (F2 , F2 ) ữủ
ự tr
ớ t tr ỗ r
sỷ N ởt A ổ ỗ r ố ừ
tỹ
s
sN : TorA
s (F2 , N ) F2 A (Ps N ).
N ởt ổ ổ ờ M õ ố ừ ủ t ừ
ỗ r ợ ỗ srt ủ t

Rs M Ps M

F2 A (Ps M )

ừ ú t ố tỷ A ổ t
ữủ ợ M = F2 = H (S 0 ) t q
ữủ r ự t tr ổ tr ỵ




ệ ệ
ớ tr tt ữợ tữỡ ữỡ ợ sỹ ỗ
srt trt t tr ừ ỗ r ợ ồ s > 2
tt t ởt ừ tt s ữ ừ õ
ổ ũ ố ỗ ừ số tr t tt


tt M ởt A ổ ổ ờ s ởt số
ợ ỡ 2 õ ồ tỷ ữỡ tr ỹ r RsM A
t ữủ tr Ps M

tt ữủ ự tr trữớ ủ M = F2
M = F2 [x1 , . . . , xk ] k ởt số ổ ữ
ữủt tr tt ổ ỏ ú ợ s {1, 2}
ỵ s ừ sỹ t t tứ sỹ tỗ t ừ ợ t
t t rr tt
ữủ ự t ữ P

ỵ ợ s > 2
Rs M F2 A (Ps M )

t tữớ tr tỷ ữỡ ợ ồ ổ ổ ờ M
ử ừ ữ r ởt ự ỵ tr
ỹ r ự õ ổ t ợ ữủ ỗ ừ ự õ
tr ử t ú tổ r r ợ ởt số t ờ tt
ổ ữủ ỗ tr t õ t sỷ ử
ự ỵ
ữ P t õ t q ự

ỵ trữớ ủ s = 3 M ổ ổ ờ tỹ F (k ) ữủ
ỗ ự ỵ ừ ữ s ộ tỷ R R3 F (k )
ữủ t tữỡ ự ợ ởt số ổ t (R) ữỡ
s
i

Sq2 (Hi ) +

R=

T,



i0

tr õ Hi T tỷ tr P3 F (k ) tọ (T ) < (R)
i (R) + 1




ệ ệ
q ũ t t ự

R A (P3 F (k )),
ợ (R) = 0 ữỡ ờ ữ t ộ tự R tr R3 F (k )
i
ỷ ữủ t tỷ tr Sq2 ợ i ổ ữủt q (R) + 1
ú ỵ ự t tú sỷ ử t tỷ tr ổ

ũ t tỷ r Q0 Q1 ữ tr
r ự ừ ữ P ữủ ờ tứ
(R) t f (R) t ỳ ự
f (R) = 0 ữ P ỷ R ũ t tỷ Q0 Q1
ỏ tr trữớ ủ (R) = 0 ú tổ ũ t tỷ Sq1 Sq2
ỗ ữỡ ữỡ õ ử ởt số tự
é ữỡ s tr q ỵ trữớ ủ
s = 3 M ổ ổ ờ F (k ) ú tổ ữ r t ở ừ số
tr A R3 F (k ) ố ũ ữỡ ữủ ự ừ
ỵ ũ ợ ờ q




ữỡ
tự
r t ở t t số trữớ F2 ỗ
tỷ ổ t t t ỵ ũ t tỡ
tr trữớ F2

số tr
ử ừ ử số tr t
ũ ử
ợ ồ số i, q 0 ợ ồ ổ tổổ X tỗ t
t ởt F2 ỗ
Sqi : H q (X ) H q+i (X )
tọ
Sqi ởt ờ tỹ ỳ tỷ H q (.) H q+i (.)
Sq0 = id
deg(x) = q t Sqq (x) = x2

i > deg(x) t Sqi (x) = 0
ổ tự rt
k
k

Sqi (x) Sqki (y );

Sq (xy ) =
i=0

Sq1 ỗ st tữỡ ự ợ ợ õ số
à



0 Z2 Z4 Z2 0,

tr õ Zn = Z/n à(x) = 2x (y ) = y (mod 2)




❈❤÷ì♥❣ ■✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✼✳ ❈→❝ q✉❛♥ ❤➺ ❆❞❡♠✿ ◆➳✉ 0 < a < 2b t❤➻
a
2

a

b−1−k

Sqa+b−k Sqk .
a − 2k

b

Sq Sq =
k=0

❇ê ✤➲ ✶✳✶ ✭❬✶✾✱

❇ê ✤➲ ✷✳✹❪✮

✳ ◆➳✉ deg x = 1 t❤➻
k k+i
x .
i

Sqi (xk ) =

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❇ê ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ k ✳
❱î✐ k = 0 t❛ ❝â Sq0 (1) = 1 ✈➔ Sqi (1) = 0 ✈î✐ ♠å✐ i > 0✳ ●✐↔ sû ❜ê ✤➲ ✤÷ñ❝
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈î✐ k − 1 ✈î✐ k ≥ 1✳ ❚❛ ❝â
˙ i (xk−1 ) + Sq1 x Sqi−1 (xk−1 )
Sqi (xk ) = Sqi (xxk−1 ) = Sq0 xSq
=

k−1
k−1

+
i
i−1

xk+i =

k k+i
x .
i

❇ê ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❇ê ✤➲ ✶✳✷ ✭❬✶✾✱

❇ê ✤➲ ✷✳✼❪✮

✳ ◆➳✉ deg x = 1 t❤➻
k

Sqi (x2 ) =

♥➳✉ i = 0,
♥➳✉ i = 0, 2k ,
♥➳✉ i = 2k .

 k
2


x

0



x2k+1

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✱
k

Sqi (x2 ) =

❚❛ ❝â
2k

i

=

2k

i

k

xi+2 .

1


♥➳✉ i = 0, 2k ,

0

♥➳✉ i = 0, 2k .

❇ê ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸ ✭❬✶✾✱ tr❛♥❣ ✼❪✮✳ ✣↕✐ sè ❙t❡❡♥r♦❞ ✭♠æ✤✉❧æ 2✮ ❧➔ ✤↕✐ sè ♣❤➙♥ ❜➟❝

❦➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ✤ì♥ ✈à tr➯♥ F2 s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ Sqi ✈î✐ i ≥ 0✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ q✉❛♥ ❤➺
❆❞❡♠ ✈➔ Sq0 = 1✳
❈❤♦ ❞➣② I = (i1 , . . . , is )✱ tr♦♥❣ ✤â s ≥ 1 ✈➔ i1 , . . . , is ≥ 0✳ ❚➼❝❤ SqI =
Sqi1 · · · Sqis ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ✤ì♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ A ✳ ❇➟❝ ❝õ❛ ✤ì♥ t❤ù❝ Sqi1 · · · Sqis
✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔ i1 + · · · + is ✳
✾


ữỡ tự

ử Sq1 Sq1 = 0 t t q
0
Sq2 Sq0 = 0.
1

Sq1 Sq1 =

Sq1 Sq2k = Sq2k+1 . t ử q
Sq1 Sq2k =


2k 1
Sq2k+1 = Sq2k+1 .
1

số tr A ổ t Sq1 Sq2 = Sq3 = Sq2 Sq1 .
t r ộ tỷ tr A tờ ừ ỡ tự
t ổ t Sq1 Sq1 = 0
õ I = (i1 , . . . , is ) ữủ is > 0 ik1 2ik ợ
ồ 2 k s õ SqI ữủ I ữủ q
ữợ Sq0 ởt ỡ tự ữủ

ữỡ ỵ ủ tt ỡ tự

ữủ ởt ỡ s ừ A ữ ởt F2ổ tỡ
ự t t s ự ỡ tự ữủ

ởt s ừ A ử t t r r ộ ỡ tự ổ
ữủ tờ ừ ỡ tự ữủ
t ởt số ổ I = (i1 , . . . , is ) ổ
ừ I ỵ m(I ) ữủ ữợ
s

m(I ) =

kik .
k=1

t ổ ừ ởt số ổ ổ tr ổ

ỵ I = (i1 , . . . , is ) ởt ổ ữủ ỗ t số ữỡ

õ tỗ t r s n = ir < 2ir+1 = 2m q
SqI = SqN Sqn Sqm SqM =

j SqN Sqn+mj Sqj SqM ,

tr õ j F2 .
ỵ J = (N, n + m j, j, M ) õ

m(J ) m(I ) = r(n + m j ) + (r + 1)j rn (r + 1)m = j m < 0.
r SqI ữủ t t tờ ừ ỡ tự õ ổ ọ ỡ
ổ ừ ởt tr ổ q tr ứ s ỳ
ữợ



ữỡ tự
t ổ t ồ ỡ tự tờ ừ ỡ tự
ữủ
t ự t r r ỡ tự
ữủ ở t t
t w = u1 ã ã ã un H n ((RP )n )
s ự q t n s ợ ồ q n
{SqI (w) : deg SqI = q, I ữủ} ở t t
ợ n = 1 t õ {Sq0 (x)} {Sq1 (x)} ở t t
sỷ tr ú n 1
t ởt r ở t t ỳ tỷ SqI (w)

aI SqI (w) = 0,
tr õ aI F2 .
ự r aI = 0 ợ ồ I sỷ aI = 0 ợ ồ I tọ

l(I ) > m
õ
aI SqI (w) +
aI SqI (w) = 0.

l(I )=m

l(I )
ổ tự t

H q+n (P n )
=

H s (P ) H q+ns (P n1 ).
s

ỵ g t s = 2m t w = x1 y tr õ
y = x2 ã ã ã xn
ổ tự rt
SqI (w) = SqI (x1 y ) =

SqJ (x1 ) SqIJ (y ),
JI

tr õ J I 0 jr ir ợ ồ r ỵ Jm = (2m1 , 2m2 , . . . , 21 , 20 )
õ
0,
l(I ) < m
g SqI (w) =

m
x21 SqIJm (y ), l(I ) = m.
t l(I ) < m t l(J ) < m õ

g SqI (w) = 0.
l(I ) = m t SqJ (x1 ) = 0 trứ trữớ ủ J = Jm ữủ
ự



❈❤÷ì♥❣ ■✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚→❝ ✤ë♥❣ g ✈➔♦ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✭■✳✶✮ ✈➔ sû ❞ö♥❣ ✭■✳✷✮ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

x21

m

aI SqI−Jm (y ) = 0 =⇒
l(I )=m

aI SqI−Jm (y ) = 0.
l(I )=m

◆❤➟♥ ①➨t r➡♥❣✱ ❦❤✐ I ❝❤↕② tr➯♥ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❞➣② ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✤ë ❞➔✐ m
t❤➻ I − Jm ❝❤↕② tr➯♥ t➟♣ ❝→❝ ✤ì♥ t❤ù❝ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝â ✤ë ❞➔✐ ≤ m ✈î✐ ❜➟❝
q − 2m + 1 ≤ n − 1✱ ✈➔ t÷ì♥❣ ù♥❣ ♥➔② ❧➔ s♦♥❣ →♥❤✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣ t❛ ❝â aI = 0 ✈î✐ l(I ) = m✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤♦➔♥ t♦➔♥✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻ ✭❬✶✾✱ ❈❤÷ì♥❣ ■✱ ✣à♥❤ ❧þ ✹✳✸❪✮✳ ❈→❝ ♣❤➛♥ tû Sq2
♠ët ❤➺ s✐♥❤ tè✐ t✐➸✉ ❝õ❛ A ①❡♠ ♥❤÷ ♠ët F2✲✤↕✐ sè✳

n

(n ≥ 0)

❧➟♣ t❤➔♥❤

✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠➺♥❤ ✤➲ tr➯♥ t❛ ❝➛♥ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ✈➲ sè ❤å❝✳
❱î✐ a ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠✱ ❣✐↔ sû a = 2j1 + 2j2 + · · · + 2jr ❧➔ ❦❤❛✐ tr✐➸♥
♥❤à ♣❤➙♥ ❝õ❛ a✱ tr♦♥❣ ✤â j1 > j2 > · · · > jr ✳
❑þ ❤✐➺✉
bin(a) = {2j1 , 2j2 . . . , 2jr }.

❇ê ✤➲ ✶✳✼✳ ❱î✐ a, b ≥ 0✱

a
b

= 1 (mod 2)

♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ bin(b) ⊂ bin(a).

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❳➨t ✤❛ t❤ù❝ (1 + x)a tr♦♥❣ ✈➔♥❤ F2 [x]✳
❚❤❡♦ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✱
a
a

(1 + x) =
k=0

a k
x
k

✭■✳✸✮

●✐↔ sû

a = 2j1 + 2j2 + · · · + 2jr
❧➔ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♥❤à ♣❤➙♥ ❝õ❛ a✳ ❚❛ ❝â
r

r

a

(1 + x) =

(1 + x)
i=1

❙♦ s→♥❤ ✭■✳✸✮ ✈➔ ✭■✳✹✮ t❛ t❤➜②

a
b

2ji

ji

(1 + x2 )

=
i=1

= 1 ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ bin(b) ⊂ bin(a).

✶✷

✭■✳✹✮


❈❤÷ì♥❣ ■✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❇➙② ❣✐í t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❱➻ Sq0 = 1 ♥➯♥ A ✤÷ñ❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû Sqk ✈î✐ k ≥ 1✳ ●✐↔ sû
k ❦❤æ♥❣ ❧➔ ♠ët ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ 2✱ tù❝ ❧➔ k = 2r (2s + 1) ✈î✐ r ≥ 0 ✈➔ s ≥ 1✳
❚❤❡♦ ❝→❝ q✉❛♥ ❤➺ ❆❞❡♠
r

r +1

Sq2 Sq2

s

2r+1 s − 1
Sqk +
2r

=

2r−1

Sqk−j Sqj .
j =1

❚❛ ❝â
2r+1 s − 1 = 2r+1 s − 2r+1 + 2r+1 − 1
= 2r+1 (s − 1) + 2r + 2r−1 + · · · + 2 + 1.

❚ø ✤➙② s✉② r❛ 2r ∈ bin(2r+1 s − 1)✳ ❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✼✱
2r+1 s − 1
2r

= 1.

◆❤÷ ✈➟②✱ Sqk ♥➡♠ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè ❝♦♥ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû Sq1 , Sq2 , . . . , Sqk−1 ✳
n
▲➦♣ ❧↕✐ q✉→ tr➻♥❤ ♥➔②✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❦➳t q✉↔ A ✤÷ñ❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû Sq2
✈î✐ n ≥ 0✳
✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ tè✐ t✐➸✉ ❝õ❛ ❤➺ s✐♥❤ ♥â✐ tr➯♥✱ ❞♦ t➼♥❤ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ❝õ❛ A ,
n
t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ Sq2 ❦❤æ♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè ❝♦♥ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû

m
Sq2 ✈î✐ m < n✳ ●✐↔ sû ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ tù❝ ❧➔ t❛ ❝â ♣❤➙♥ t➼❝❤
n

Sq2 =

❙✉② r❛

n

n

Sq2 (x2 ) =

m1

Sq2

m2

· · · Sq2

m1

Sq2

m2

· · · Sq2 (x2 )

Sq2

Sq2

mt

mt

✈î✐ x ∈ H ∗ (X ) ❝â deg x = 1✳
❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✱
n

n

Sq2 (x2 ) = x2

n+1

mt

n

, Sq2 (x2 ) = 0.

❉➝♥ ✤➳♥ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤♦➔♥ t♦➔♥✳

✶✸

n

ữỡ tự

ổ ổ ờ

r sỷ M ởt A ổ Z

õ M ởt A ổ

ổ ờ Sqi x = 0 ợ i > deg(x)

ồ t s t ổ ổ ờ t A ổ ổ ờ
t A ổ ởt ổ ổ ờ
Sq1 Sq0 = Sq1 = 0.

ố ỗ ừ ởt ổ X ởt ổ ổ ờ
x H X i > deg(x) t Sqi x = 0
ợ X = RP t

H (RP , F2 )
= F2 [u] ợ deg u = 1.
Sqi (xn ) =

n i+n
x .
i

ợ X = (RP )k t

H ((RP )k , F2 )
= F2 [u1 , u2 , . . . , uk ],
tr õ deg ui = 1 ợ ồ i 1 i k
t r ộ ổ ổ ờ M t tữớ t
t x = Sq0 x = 0 ợ ồ x M tọ deg(x) < 0 X Y
ổ ổ ờ t X Y ụ tổ q ữớ
ử t
j =i

i

Sqj (x) Sqij (y ).

Sq (x y ) =
j =0

õ i > deg(x) + deg(y ) t j > deg(x) i j > deg(y ) r
Sq (x y ) = 0
t I = (i1 , . . . , is ) tr õ i1 , . . . , is số ổ
trở ừ I ỵ e(I ) ữủ ữợ
i

e(I ) := (i1 2i2 ) + ã ã ã + (is1 2is ) + is = i1 (i2 + ã ã ã + is ).

sỷ SqI = Sqi1 ã ã ã Sqis ởt ỡ tự trở ừ SqI ỵ
e(SqI ) trở ừ I trở ừ ởt ỡ tự
ữủ ổ tr ữỡ
ợ ộ số ổ k ỵ B (k ) ổ tỡ ừ A
s ỡ tự ữủ õ trở ợ ỡ k

ữỡ tự

r ợ ồ số ổ k

tỗ t t s ởt ởt ổ ổ ờ F (k) s
ởt tỷ k ỵ k õ tở t s ợ ồ ổ ổ ờ
M ợ ồ x M k tỗ t t ởt A ỗ f : F (k) M
tọ f (k ) = x
ữớ t ồ F (k ) ổ ổ ờ tỹ s ởt tỷ k
ự t
sỷ F (k ) F (k ) ổ ữủt s k k tọ
r r F (k ) ợ F (k )
tỗ t t ởt ỗ f : F (k ) F (k )
tọ f (k ) = k
ữỡ tỹ tỗ t t ởt ỗ g : F (k ) F (k ) s
g (k ) = k
õ f g = idF

(k )

g f = idF (k)

ữ F (k ) ợ F (k )


ỹ tỗ t
A ổ F (k ) ữ s F (k )i ừ Aik tr
A /B (k )

rữợ t t ự F (k ) ởt ổ ổ ờ
sỷ SqI = Sqi1 ã ã ã Sqis Aik ởt ỡ tự ữủ m
ởt số tọ m > i ự r
Sqm SqI B (k ).

m 2i1 t ỡ tự Sqm SqI ữủ ợ trở
e(Sqm SqI ) = m (i1 + ã ã ã + is ) = m (i k ) = (m i) + k > k.

õ Sqm SqI B (k )
t trữớ ủ m < 2i1 ỷ ử q t õ
[m/2]

m

at Sqm+i1 t Sqt SqI ,

I

Sq Sq =
t=0

tr õ at F2 I = (i2 , . . . , is )



❈❤÷ì♥❣ ■✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚rë✐ ❝õ❛ ❞➣② (m + i1 − t, t, i2 , . . . , is ) (0 ≤ t ≤ [m/2]) ❧➔
(m + i1 − t) − (t + i2 + · · · + is ) = 2i1 − 2t + m + k − i > m + k − i = e(I ).

❑þ ❤✐➺✉ It = (t, i2 , . . . , is )✳ ✣ì♥ t❤ù❝ SqIt ❝â t❤➸ ✈✐➳t ❞÷î✐ ❞↕♥❣

SqIt =

SqJt,u ,
u

tr♦♥❣ ✤â ♠é✐ ✤ì♥ t❤ù❝ SqJt,u ❧➔ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✈➔ |Jt,u | = t + i2 + · · · + is ✳
❚rë✐ ❝õ❛ ❞➣② (m + i1 − t, Jt,u ) ❜➡♥❣ trë✐ ❝õ❛ ❞➣② (m + i1 − t, t, i2 , . . . , is )✱
❧î♥ ❤ì♥ e(I )✳
◆➳✉ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❞➣② ❞↕♥❣ (m + i1 − t, Jt,u ) ❧➔ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ t❤➻ Sqm SqI ∈
B (k )✳ ◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ t❛ t✐➳♣ tö❝ →♣ ❞ö♥❣ q✉❛♥ ❤➺ ❆❞❡♠ ❝❤♦ Sqm+i1 −t SqJt,u ♥❤÷
tr➯♥✳
◗✉→ tr➻♥❤ ♥➔② ❞ø♥❣ ❧↕✐ s❛✉ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❜÷î❝✱ ✈➻

l(Jt,u ) = t + i2 + · · · + is < i1 + i2 + · · · + is = l(I ).
❑þ ❤✐➺✉ ιk ❧➔ ↔♥❤ ❝õ❛ Sq0 = 1 tr♦♥❣ A /B (k )✳ ❑❤✐ ✤â✱ ιk ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥
tû s✐♥❤ ❜➟❝ k ❝õ❛ F (k )✳
❱î✐ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❦❤æ♥❣ ê♥ ✤à♥❤ M ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ M k ✱ ①➨t t÷ì♥❣ ù♥❣

f : F (k ) −→ M
rιk → rx ∀r ∈ A .
❚❛ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣ tr➯♥ ❧➔ ✤ó♥❣ ✤➢♥✱ ❝ö t❤➸ ♥➳✉ rιk = sιk t❤➻ rx =
sx.
❚❤➟t ✈➟②✱ tø ❣✐↔ t❤✐➳t rιk = sιk t❛ ❝â (r − s)ιk = 0 ❤❛② ❧➔ r − s ∈ B (k )✳
❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ M k t❛ ❝â
(r − s)x = 0 ⇐⇒ rx = sx.

❚➼♥❤ ✤ó♥❣ ✤➢♥ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❚❛ ❝â ✈î✐ ♠å✐ q, r, s ∈ A

f (rιk + sιk ) = f (r + s)ιk

= (r + s)x
= rx + sx = f (rιk ) + f (sιk ),

f q (rιk ) = f (qr)ιk
= (qr)x
= q (rx) = qf (ιk ).

✶✻


ữỡ tự
r f ởt A ỗ
ớ sỷ g : F (k ) M ụ ởt A ỗ tọ
g (k ) = x ự g = f
ợ ồ r A

g (rk ) = rg (k )
= rx
= rf (k ) = f (rk ).

ữủ ự t

ử õ F (0) = F2 t ợ ồ i 0 F (0)i ừ Ai tr
A /B (0) = A /A
= F2

ử õ F (1) ợ A ổ ừ H (RP ) = F2[u] s

u
t t A ỗ

h : F (1) F2 [u]
h(n ) = u.
s ự h ởt ỡ ử t t r r r A tọ
ru = 0 t r B (1)
t r ữợ
r=
SqI +
SqI ,
e(I )1

e(I )>1

tr õ ộ ỡ tự SqI ữủ
s1
ữ ỵ r ợ l(I ) = s e(I ) 1 t SqI = Sq2 ã ã ã Sq1
õ
SqI = 0 t
e(I )1

SqI u +

ru = 0

SqI u = 0
e(I )1

e(I )>1

I

Sq u = 0
e(I )1

u2



l(I )

= 0 ( t).

e(I )1

ữ

SqI = 0 t õ
e(I )1

SqI B (1).

r=
e(I )>1




ữỡ tự

ờ qt t õ t q s

ợ ồ số ữỡ k F (k) ợ ổ ừ

H ((RP )k )
= F2 [u1 , . . . , uk ]

ự

s u1 ã ã ã uk

tỗ t ởt A ỗ

f : F (k ) F2 [u1 , . . . , uk ] k u1 ã ã ã uk .
s r r f ởt ỡ
t

f (rk ) = 0 r(u1 ã ã ã uk ) = 0
bI SqI (u1 ã ã ã uk ) = 0

aI SqI (u1 ã ã ã uk ) +


e(I )k

e(I )>k

aI SqI (u1 ã ã ã uk ) = 0.

e(I )k

ự ừ t õ aI = 0 ợ ồ I ữủ
ợ e(I ) k õ
rk =
k = 0.
e(I )>k

f ởt ỡ t õ

F (k )
= Im(f ) = A (u1 ã ã ã uk ).

tr ổ t s trú ừ F (k )

ợ ồ số ữỡ k ộ tỷ ừ F (k) õ
j1

s

jk

u21 ã ã ã u2k ,

tr õ j1, . . . , jk số ổ
ự ỵ I = (i1, . . . , im) ởt số ổ ợ
l(I ) = m s ự q t l(I ) r
SqI (u1 ã ã ã uk ) =

j1

s

jk

u21 ã ã ã u2k .

ợ l(I ) = 1 t ổ tự rt t õ
Sqa1 u1 ã ã ã Sqak uk .

Sqi1 (u1 ã ã ã uk ) =
a1 +ããã+ak =i1




ữỡ tự
ú ỵ r




u
Sqa u = u2


0

a = 0,
a = 1,

a > 1.

ữủ ự trữớ ủ l(I ) = 1
sỷ ú l(I ) = m 1(m > 2) s ự õ ụ
ú ợ l(I ) = m
t
SqI (u1 ã ã ã uk ) = Sqi1 (
=
=

s

s

j1

jk

j1

jk

u21 ã ã ã uk2 ) ( tt q )

Sqi1 (u21 ã ã ã uk2 )
j1

s l +ããã+lk =i
1

õ

jk

Sql1 (u21 ) ã ã ã Sqlk (uk2 )

(ổ tự rt).

1

j

u2


j
j +1
Sql (u2 ) = u2


0

l = 0,
l = 2j ,
ỏ .

ữủ ự trữớ ủ l(I ) = m
ổ ổ ờ tỹ ữủ t tr tố ứ õ
t õ s

ồ ổ ổ ờ

r

ổ tữỡ ừ ởt ổ ổ ờ tỹ
ự sỷ M ởt ổ ổ ờ S M

s ừ M ỗ tỷ t t
t r ợ ồ x S tỗ t t ởt ỗ

fx : F (deg(x)) M

deg(x) x


ồ ỗ fx , x S s r ỗ

F (deg(x)) M.

fx :
xS

xS



ởt

ữỡ tự
õ

xS Im fx S.

Im
xS

ứ õ S ởt s ừ M
ữủ ự

xS

fx ởt t

ỹ r
ớ t tr ỹ r ừ ởt ổ ổ ờ
õ t t tờ qt GLs = GL(s, F2 ) t ở số tự Ps
t ữ s
ợ A = (aij )sìs GLs f (x1 , . . . , xs ) Ps t

Af (x1 , . . . , xs ) = f (Ax1 , . . . , Axs ),
tr õ Axj = a1j x1 + ã ã ã + asj xs ợ ồ 1 j s ỵ

Ds = F2 [x1 , . . . , xs ]GLs
t ủ tt tự t ữợ t ở ừ õ GLs õ
s ự r

Ds = F2 [Qs,0 , . . . , Qs,s1 ],

tr õ Qs,k t s 2s 2k ữủ ữ ữợ


Qs,k = Q2s1,k1 + Vs Qs1,k ,



Qs,s = 1; Qs,k = 0 ợ k < 0,



(a1 x1 + ã ã ã + as1 xs1 + xs ).
Vs =
a1 ,...,as1 F2

ỵ Sts : M Ps M t t ữủ ởt
q ữ s

n

St1 (x1 ; u) =
xni
Sqi u,
1
i=0


Sts (x1 , . . . , xs ; u) = St1 (x1 ; Sts1 (x2 , . . . , xs ; u)) (s > 1),
tr õ u M õ n q ữợ St0 (u) = u ợ ồ u M
ồ t s ỵ Sts (x1 , . . . , xs ; u) Sts (u)

ữợ t Sts ợ ồ ỗ ỳ
ổ ổ ờ



❈❤÷ì♥❣ ■✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳ ●✐↔ M ✈➔ N ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❦❤æ♥❣ ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ f :

❧➔
♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ s ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❛ ❝â Sts ◦ f = (1 ⊗ f ) ◦ Sts✳ ◆â✐ ❝→❝❤
❦❤→❝✱ ❜✐➸✉ ✤ç s❛✉ ❧➔ ❣✐❛♦ ❤♦→♥
Ps ⊗O M

1⊗f

/

Ps ⊗O N .

Sts

Sts

f

M

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

M −→ N

/

N

❚❛ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣
Sts (f (u)) = (1 ⊗ f )(Sts (u))

✈î✐ ♠å✐ u ∈ M.

✣✐➲✉ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ s✳ ❉♦ t➼♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝
→♥❤ ①↕ Sts , f ✈➔ 1 ⊗ f ♥➯♥ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤➺ t❤ù❝ tr➯♥ ✈î✐ u ∈ M ❧➔ ♠ët
♣❤➛♥ tû t❤✉➛♥ ♥❤➜t✳
❱î✐ s = 1 t❛ ❝â
n

xn−i
⊗ Sqi (f (u)) (n = |u| = |f (u))|
1

St1 (f (u)) =
i=0
n

xn−i
⊗ f (Sqi u) (✈➻ f ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉)
1

=

i=0

n

xn−i
⊗ Sqi u
1

= (1 ⊗ f )
i=0

= (1 ⊗ f )(St1 (u)).

◆❤÷ t❤➳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈î✐ s = 1✳
●✐↔ sû ▼➺♥❤ ✤➲ ✤ó♥❣ ✤➳♥ s − 1✳ ❚❛ ❝â
Sts (f (u)) = St1 (Sts−1 (f (u)))
= St1 (1 ⊗ f )(Sts−1 (u)

(t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣)

= (1 ⊗ f )(St1 (Sts−1 (u)))

(t❤❡♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ s = 1)

= (1 ⊗ f )Sts (u).

❱➟② ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤♦➔♥ t♦➔♥✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✷✳ ▼ët A ✲✤↕✐ sè ❦❤æ♥❣ ê♥ ✤à♥❤ ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❦❤æ♥❣ ê♥ ✤à♥❤
K ❝ò♥❣ ✈î✐ ❝→❝ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ µ : K ⊗ K −→ K ✈➔ η : F2 −→ K s❛♦ ❝❤♦

✭✐✮ ❈→❝ →♥❤ ①↕ µ ✈➔ η ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❝➜✉ tró❝ F2✲✤↕✐ sè tr➯♥ K ❀
✷✶


❈❤÷ì♥❣ ■✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✭✐✐✮ P❤➨♣ ♥❤➙♥ tr➯♥ K t❤ä❛ ♠➣♥ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❈❛rt❛♥
n
n

Sqk (x) Sqn−k (y )

Sq (xy ) =
k=0

✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ K ;

✭✐✐✐✮ ❱î✐ ♠å✐ x ∈ K

Sq|x| = x2 .

▼➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ✤➙② ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ →♥❤ ①↕ Sts ❜↔♦ t♦➔♥ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ tr➯♥ ♠ët A ✲✤↕✐
sè ❦❤æ♥❣ ê♥ ✤à♥❤✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✸✳ ●✐↔ sû K ❧➔ ♠ët A ✲✤↕✐ sè ❦❤æ♥❣ ê♥ ✤à♥❤✳ ❑❤✐ ✤â✱
Sts (ab) = Sts (a)Sts (b)

✈î✐ ♠å✐ a, b ∈ K ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ s✳ ❉♦ t➼♥❤ t✉②➳♥

t➼♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ Sts ♥➯♥ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠➺♥❤ ✤➲ tr➯♥ ✈î✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû
t❤✉➛♥ ♥❤➜t✳

✐✮ ❳➨t tr÷í♥❣ ❤ñ♣ s = 1✳ ❚❛ ❝â
deg(ab)
deg(ab)−i

St1 (ab) =

x1

⊗ Sqi (ab)

i=0
deg(ab)
deg(a)+deg(b)−i

x1

=

Sqi1 (a) Sqi2 (b)

⊗

i=0

i1 +i2 =i

deg(ab)
deg(a)+deg(b)−i

x1

=
i=0

⊗ Sqi1 (a) Sqi2 (b)

i1 +i2 =i

deg(ab)
deg(a)−i1

x1

=
i=0

deg(b)−i2

⊗ Sqi1 (a))(x1

⊗ Sqi2 (b)

i1 +i2 =i

= St1 (a)St1 (b).

✐✐✮ ●✐↔ sû ♠➺♥❤ ✤➲ ✤ó♥❣ ✤➳♥ s − 1✳ ❚❛ ❝â
Sts (ab) = St1 (Sts−1 (ab))
= St1 (Sts−1 (a)Sts−1 (b))

(t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣)

= St1 (Sts−1 (a))St1 (Sts−1 (b))
= Sts (a)Sts (b).

✷✷

✐✮

(t❤❡♦ ✭ )


❈❤÷ì♥❣ ■✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

❱➼ ❞ö ✸✳✹✳ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ö ♥➔②✱ t❛ t➼♥❤ St1(u) ✈➔ St2(u) ✈î✐ deg(u) = 1✳
✶✳ ❚❛ ❝â

St1 (u) = x1 ⊗ Sq0 u + x01 ⊗ Sq1 u
= x 1 ⊗ u + 1 ⊗ u2 .

✷✳ ❚❛ ❝â
St2 (u) = St1 (St1 (u))
= St1 (x2 ⊗ u + 1 ⊗ u2 )
= St1 (x2 ⊗ u) + St1 (1 ⊗ u2 ).

❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ♣❤➛♥ ✶✱

St1 (x2 ⊗ u) = x21 ⊗ Sq0 (x2 ⊗ u) + x1 ⊗ Sq1 (x2 ⊗ u) + 1 ⊗ Sq2 (x2 ⊗ u)
= x21 ⊗ x2 ⊗ u + x1 ⊗ x22 ⊗ u + x1 ⊗ x2 ⊗ u2 + 1 ⊗ x22 ⊗ u2 ,
St1 (1 ⊗ u2 ) = x21 ⊗ Sq0 (1 ⊗ u2 ) + x1 ⊗ Sq1 (1 ⊗ u2 ) + 1 ⊗ Sq2 (1 ⊗ u2 )
= x21 ⊗ 1 ⊗ u2 + 1 ⊗ 1 ⊗ u4 .

❚ø ✤â s✉② r❛
St2 (u) = (x21 ⊗ x2 + x1 ⊗ x22 ) ⊗ u + (x21 ⊗ 1 + 1 ⊗ x22 + x1 ⊗ x2 ) ⊗ u2 + 1 ⊗ 1 ⊗ u4 .

❇➙② ❣✐í✱ ♥➳✉ t❛ ①➨t M ❧➔ ✤↕✐ sè ✤❛ t❤ù❝ t❤➻ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❧↕✐
❞÷î✐ ❞↕♥❣
St1 (u) = x1 u + u2 = (x1 + u)u,
St2 (u) = (x21 x2 + x1 x22 )u + (x21 + x22 + x1 x2 )u2 + u4
= (x1 + x2 + u)(x1 + u)(x2 + u)u.

❱î✐ ♠é✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ s✱ ❦þ ❤✐➺✉
(a1 x1 + · · · + as xs + u).

Vs+1 (u) =
a1 ,...,as ∈F2

❑❤✐ ✤â✱ ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ r➡♥❣
Sts (u) = Vs+1 (u).

❙❛✉ ✤➙②✱ t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ①➙② ❞ü♥❣ ❙✐♥❣❡r✱ ♠ët ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛
♠ö❝ ♥➔②✳
✷✸