KINH TẾ LƯỢNG
Chương 3

TS Nguyễn Minh Đức

Nguyen Minh Duc 2009

1

( )

( )

Phân phối của hệ số ướcn lượng E βˆ 2 = β 2 E βˆ 1 = β 1
Phương sai

∑X

( )

var βˆ 1 =

i =1
n

2
i

n∑ x
i =1

σ2

2
i

i =1

n

∑X
 ^ 
se β1  = i =1n
σ
 
n∑ xi2
2
i

Sai số chuẩn

( )

σ2
var βˆ 2 = n
∑ x i2

 
se β 2  =
 


Phân phối

Hiệp phương sai của hệ số ước lượng

n

∑x
i =1

i =1

n


X i2


∑
2
βˆ 1 ~ N β1 , i =1n
σ 


2
 n∑ x i

i =1




σ

^



2
ˆβ ~ N β , σ
2
2
n

x i2

∑
i =1


2
i











 2 
σ 

ˆ
ˆ
ˆ
cov β1 , β2 = − X var β2 = − X n


2
 ∑ xi 
 i=1 

(

)

( )

Trong các biểu thức trên

σ 2 = var (u i )

với giả định
Nguyen Minh Duc 2009

ui ~ N (0, σ 2 )
2



Hệ số xác định R2
(coefficient of determination)
n
n

R2 thể hiện mức độ giải thích của mô hình
ˆthể
=Y
+ ehiện mức độ phù hợp (goodness of fit) của mô hình
Yhay
i

i

ˆ −Y+e
Y i −Y = Y
i
ˆ
yi = yi + ei

Với

và

y i =Y i − Y
n

∑y

Vậy


i =1

2
i

n

∑y
i =1

2
i

ˆ −Y
yˆ i = Y

n

n

n

i =1

i =1

i =1

= ∑ yˆ i2 + ∑ e i2 + 2∑ yˆ i e i

n

n

i =1

i =1

= ∑ yˆ i2 + ∑ e i2

TSS = ESS + RSS
Nguyen Minh Duc 2009

3

Y
SRF
Yi
Yi

Yi - Yi
Yi - Y

Yi -Y

Y

Xi

Nguyen Minh Duc 2009


X

4


Hệ số xác định R2
R2 =

ESS
RSS
= 1−
TSS
TSS

 n 2

∑ xi

 i =1

n
n
n − 1

2
2
2
ˆ
xi

∑ yˆ i β 2 ∑


2
 = βˆ 2 S x
= ni =1
= βˆ 22  n
R 2 = i =n1
2
S 2y


y i2
y i2
 ∑ y i2

∑
∑
i =1
i =1
 i =1

n − 1






n


βˆ 2 =

∑y x
i =1
n

i

∑x
i =1

i

2
i

2

 n

 ∑ x i yi 
R 2 = ni=1 n  = rX2 ,Y
∑ x i2 ∑ y i2
i =1

i =1

Nguyen Minh Duc 2009


5

Hàm hồi quy hai biến
Thuộc tính của R2
1.
Không là số âm
2.
0≤ R2 ≤1:
n
Nếu R2=0 X và Y không liên hệ với nhau
^
^
^
n
R2 =1 X và Y phụ thuộc tuyến tính hoàn hảo.
β 2 = 0;Yi = β1 = Y
Hệ số tương quan r2
n
Đo lường mức độ kết hợp tuyến tính giữa 2 biến

r = ± R2

r=

∑x y = n∑X Y − (∑X )(∑Y )
(∑x )(∑y ) [n∑X − (X ) ][n∑Y − (∑Y ) ]
i i

2
i


i i

2
i

2
i

i

i

2

2

2

i

Nguyen Minh Duc 2009

i

6


Hệ số tương quan r
n

n

n
n
n

Thuộc tính của hệ số tương quan
Có thể là số âm hoặc dương

−1 ≤ r ≤ 1

r giữa X và Y đồng nghĩa với r giữa Y và X
r=0: không có nghĩa là X và Y độc
r không nhất thiết là mối quan hệ nhân quả

(

)


^

∑ Yi − Y  Yi − Y 


r2 = 
^
2
∑ Yi − Y ∑ (Yi − Y ) 2


(

)

Nguyen Minh Duc 2009

7

Dự báo bằng mô hình hồi quy hai biến
ˆ = βˆ + βˆ X
Y
0
1
2
0

Ước lượng của Yo là

E(Yo X = X0 )

Dự báo giá trị trung bình

(

( )

)

( )


( )

(

ˆ = var βˆ + βˆ X = var βˆ + X 2 var βˆ + 2X cov βˆ , βˆ
var Y
0
1
2
0
1
0
2
0
1
2

)



 1 (X − X ) 2 
ˆ = σ2  + 0

var Y
0
n

n
2

x
∑
i


i =1

( )

Dự báo giá trị cụ thể của Yo

(

) (

)

ˆ = β − βˆ + β − βˆ X + e
Y0 − Y
0
1
1
2
0
0

(

) (


)

(

)

ˆ = E β − βˆ + X E β − βˆ + E(e ) = 0
E Y0 − Y
0
1
1
0
2
0
Nguyen Minh Duc 2009

8


Dự báo bằng mô hình hồi quy hai biến
ˆ ) = var(βˆ ) + X var(βˆ ) + 2X cov(βˆ , βˆ ) + var(e )
var(Y − Y
0

0

2
0

1


2

0

1

2

0

( )

var e 0 = σ 2

(

ˆ
var Y 0 − Y
0

)



1 (X 0 − X ) 2
= σ 1 + +
n
n


x i2
∑

i =1
2

Sai số chuẩn của dự báo









2
ˆ = σ1 + 1 + (X 0 − X )
se Y
0
n
 n
x i2

∑
i =1


( )


Khoảng tin cậy cho dự báo








1

2

ˆ ±t
ˆ
Y
o
( n − 2 ,1− α / 2 ) se( Yo )

Nguyen Minh Duc 2009

9

Khoảng tin cậy của các hệ số hồi quy
∑e
n

σˆ

2


=

i =1

2
i

n − 2

se(β 2 ) =

Sai số chuẩn của hệ số hồi quy

σˆ
n

∑x
i =1

Ta có

(

βˆ 2 ~ N β 2 , σ β2ˆ

2

)


σβˆ =
2

σ2
n

∑x
i=1

σˆ
σ
n − 2

(n − 2)

2
2

~

Z=

βˆ 2 − β 2
~ N (0,1)
σ β2

σˆ 2
( n − 2) 2 ~ χ 2( n − 2 )
σ


Phương sai mẫu
βˆ 2 − β 2
σ β2

2
i

2
i

Z
χ 2n − 2
n − 2

~ t (n −2)

Nguyen Minh Duc 2009

10


Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy
H 0 : β 2 = β*2
H1 : β 2 ≠ β*2



βˆ − β 2
P t (n −2,α / 2) ≤ 2
≤ t ( n −2,1−α / 2)  = 1 − α



se(βˆ 2 )


*
ˆ
βˆ 2 − β*2
Bác bỏ Ho nếu : β 2 − β 2 < t
> t ( n −2,1−α / 2 )
( n − 2 ,α / 2 )
se(βˆ 2 )
se(βˆ )
2

Không thể bác bỏ Ho nếu:

t(n−2,α/ 2) ≤

βˆ 2 −β*2
≤ t(n−2,1−α/ 2)
se(βˆ )
2

Nguyen Minh Duc 2009

11

Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy


Khi thực hiện hồi quy chúng ta kỳ vọng β 2 ≠ 0
Mức ý nghĩa được dùng trong phân tích hồi quy :
α=5% , α=10%, α=1%
Giả thiết

H0 : β2 = 0
H1 : β 2 ≠ 0
^

t =
*

β2
 ^ 
se  β 2 
 

Nếu t* > t(n-2,97,5%) thì bác bỏ Ho
Nếu t* ≤ t(n-2,97,5%) thì không thể bác bỏ H0
Dựa vào bảng phân phối Student, tìm giá trị t97,5% thông
thường khi bậc tự do n trên 20 thì t ≈ 2
Nguyen Minh Duc 2009

12


Khoảngˆ tin cậy của các hệ số hồi quy
↔

β2 − β2

σ β2

σˆ
σ2
n−2

(n − 2)

↔

2

=

βˆ 2 − β 2
σˆ
σ2
σ 2 β2
2

=

βˆ 2 − β 2
σˆ
σ
* n
σ2
2

βˆ 2 − β 2

~ t ( n − 2)
se(βˆ )

βˆ 2 − β 2
se (βˆ )
2

∑x
i =1

=

2
2
i

βˆ 1 − β1
~ t ( n −2)
se(βˆ )

Tương tự

1

2

Hệ số hồi quy với mức ý nghĩa α

βˆ 1 − t ( n −2,1−α / 2 ) se(βˆ 1 ) ≤ β1 ≤ βˆ 1 + t ( n − 2,1−α / 2 ) se(βˆ 1 )


βˆ 2 − t ( n −2,1−α / 2) se(βˆ 2 ) ≤ β 2 ≤ βˆ 2 + t ( n − 2,1−α / 2 ) se(βˆ 2 )
Nguyen Minh Duc 2009

Variable
Constant

Coefficient

Standard
Error

13

t-ratio

P[|T|>t]

Mean of
X

1.36672993

0.67162349

2.035

0.0446

LIC


-0.08016897

0.06971172

-1.15

0.253

9.597595

LPC

-0.0876261

0.01896464

-4.62

0

2.076691

LACPO

0.00060108

0.00575787

0.104


0.9171

2.256096

D1

0.02240741

0.01279163

1.752

0.083

0.078261

D2

-0.0844334

0.01440102

-5.863

0

0.078261

Nguyen Minh Duc 2009


14


Một số dạng hàm thông dụng
Dạng hàm Double log
n Thích hợp với dữ liệu của nhiều lĩnh vực khác nhau.
Ví dụ: đường cầu với độ co dãn không đổi hoặc hàm sản xuất
Cobb-Douglas

Y = β1 X β2 e ε
n

Không thể ước lượng mô hình trên theo OLS vì không tuyến tính, có
thể biến đổi

ln(Y) = ln(β1) + β2 ln X + ε

Y * = β1* + β 2 X + ε
n

Độ co giãn:

∂Y * X
= β2
∂X Y *
Nguyen Minh Duc 2009

Y

0


Y = β1Xβ2

ln(Y)

X

0

Nguyen Minh Duc 2009

15

ln(Y) = ln(β1) + β2ln(X)

ln(X)

16


Một số dạng hàm thông dụng
Dạng hàm semilog: Log-linear; Linear-Log
n

Log-Lin được áp dụng trên dữ liệu về tốc độ tăng trưởng: tiêu dùng
cá nhân, dân số, cung tiền tệ, năng suất, thiếu hụt thương mại

ln(Yt ) = t ln (1 + r ) + ln (Yo )

Yt = (1 + r ) t Y0


LnYt = β1 + β 2 t + ε

n

β

2

=

∂ ln Y
∂t

Lin-Log thường áp dụng khi quan tâm về % tăng Y khi giá trị tuyệt
đối của X thay đổi
β2 =

Y = β1 + β 2 ln(X) + ε

∂Y
∂ ln X

Nguyen Minh Duc 2009

Y

0

Y


X

0

Nguyen Minh Duc 2009

17

Y = β1 + β2ln(X)

ln(X)

18


Một số dạng hàm thông dụng
Dạng hàm nghịch đảo (Hyperbol)

Y = β1 + β 2

1
+ε
X

n

Đường chi phí đơn vị, đường cong Philip hoặc đường tiêu dùng
theo thu nhập Engel


n

Ý nghĩa β2
Y

Y

β1>0

β2 >0

Y

β1>0

β2<0

X

β1<0

X

Đường chi phí đơn vị

Đường tiêu dùng
Nguyen Minh Duc 2009

β2>0


X

Đường Philip
19

Lựa chọn dạng hàm số
1.
2.
3.
4.
5.

Dựa vào lý thuyết
Nắm được hệ số co giãn của biến phụ thuộc tương ứng với biến
giải thích để so sánh các dạng hàm
Những hệ số ước lượng cho giá trị thích hợp và thoả mãn những
điều mong đợi
Kết hợp so sánh ý nghĩa thống kê, dấu (±) hay mối tương quan
của hệ số ước lượng và r2
Không quá chú trọng đến r2 cao thì mô hình tốt hơn (vì khi thêm
biến, tăng r2)

Nguyen Minh Duc 2009

20