Chương 6. Lý thuyết ước lượng
§1. Khái niệm chung về ước lượng.
2

-Ký hiệu  là a,p, hoặc
-Việc dùng kết quả của mẫu để đánh giá 1 tham số  nào
đó của tổng thể được gọi là ước lượng 
1.Ước lượng điểm:
Chọn G=G(W),sau đó lấy   G
E (G )  
1.Không chệch:
2.Vững:
lim G  
n 
D(G )  min
3.Hiệu quả:
4.Ước lượng có tính hợp lý tối đa( ứng với xác suất lớn
nhất-xem SGK)
SinhVienZone.com

/>
1


Kết quả: a  x : có đủ 4 tính chất trên.
p  f : có đủ 4 tính chất trên.
 2  S 2 : Không chệch

2

 S 2 : Hợp lý tối đa

2.Ước lượng khoảng:
Định nghĩa: Khoảng  1 ,  2  được gọi là khoảng ước lượng
của tham số  với độ tin cậy   1 nếu:

 1    2   1
I   2  1 -độ dài khoảng ước lượng hay khoảng tin cậy.
SinhVienZone.com

/>
2


Sơ đồ giải: Chọn G  W,   sao cho G có quy luật
phân phối xác suất đã biết, tìm 2 số g 1 , g 2
sao cho

  g1  G  g2   1

 g1  g  w,   g2
 1    2
§2. Ước lượng khoảng của tỷ lệ tổng thể p.
Bài toán: từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có tỷ
lệ mẫu f. Với độ tin cậy   1 ,hãy tìm khoảng tin
cậy của p.
SinhVienZone.com

/>
3



Giải: Chọn
Xét

f  p n

G U 
   0,1
f 1  f 

neáu n ñuû lôùn

1 ,  2  0 :  1   2  





  u1  U  u1 2  1  
  Z 21  u1

 f 

f



f 1  f 

SinhVienZone.com


n

 p n
f 1  f 

 u1 2  Z 2 2

.Z 2 2  p  f 

f 1  f 
n
/>
.Z 21
4


f 1  f 

1)1   ,  2  0    p  f 
(ước lượng tỷ lệ tối đa)
2)1  0,  2    f 

n

f 1  f 
n

.Z2

.Z2  p  


(ước lượng tỷ lệ tối thiểu)

3) 1   2 


2

 

f 1  f 
n

.Z - độ chính xác

 f    p  f   (Ước lượng đối xứng)
 I  2  (Độ dài khoảng tin cậy)
 f 1  f
n  
2


SinhVienZone.com

 .Z

2





 1

/>
5


   0 : n  f      0

yes

STOP

no
 f 1  f
n  
2

0


 .Z

2




 1



.Quy ước: Nếu đề bài không nói rõ thì ta xét ước lượng
đối xứng.
Ví dụ 2.1:
Để điều tra số cá trong hồ ,cơ quan quản lý đánh bắt 300
con,làm dấu rồi thả xuống hồ,lần 2 bắt ngẫu nhiên 400
con thấy 60 con có dấu. Hãy xác định số cá trong hồ với
độ tin cậy bằng 0.95.
SinhVienZone.com

/>
6


Giải: Gọi N là số cá trong hồ
300
P là tỷ lệ cá bị đánh dấu trong hồ :  
N

n  400, m  60  f  0,15



f .(1  f )
n

.Z 0,05

0,15.0,85


.1,96
400

300
 f    
 f   ?  N  ?
N

SinhVienZone.com

/>
7


Ví dụ 2.2:Cần lập một mẫu ngẫu nhiên với kích
thước bao nhiêu để tỷ lệ phế phẩm của mẫu là
0,2 ;độ dài khoảng tin cây đối xứng là 0,02 và độ
tin cây là 0.95.
Bài giải:

  0,95, I  0, 02, f  0, 2  n
I  0, 02    0, 01
 0, 2.0,8

2
n
. 1,96    1
2 
  0, 01


SinhVienZone.com

/>
8


§3. Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể a
Bài toán: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có trung bình
mẫu x và phương sai điều chỉnh mẫu S 2. Với độ tin cậy
  1 , tìm khoảng ước lượng của trung bình tổng thể a.
Bài giải.Ta xét 3 trường hợp:
2
TH1. Đã biết phương sai tổng thể



G U

Chọn
Xét

x  a





1,2  0: 1  2    x 
SinhVienZone.com


n


n

~ N  0 ,1 

.Z22  a  x 
/>

n

.Z21
9


1. 1   ,  2  0    a  x 


n

.Z 2 

(Ước lượng trung bình tối đa)

2.1  0,  2   ,  x 



n


.Z 2  a  

(Ước lượng trung bình tối thiểu)

3 . 1   2 


2

  


n

. Z  -đ o ä c h ín h x a ùc

 x    a  x   ( ư ơ ùc lư ơ ïn g đ o ái x ư ùn g )
I  2 - độ dài khoản g ước lượn g đối xứn g
2
 
 
n  
.Z     1 .
 
  
SinhVienZone.com

/>
10



TH2. Chưa biết phương sai tổng thể
Chọn:

x  a

G U 
S

n

2

 , n  30

~ N  0,1

S
S
1,2  0;1  2    x  .Z22  a  x  .Z21
n
n
Kết quả tương tự TH1, thay

SinhVienZone.com



bằng S ta có:


/>
11


S
.Z 2 
. 1 . 1   ,  2  0     a  x 
n
(Ước lượng trung bình tối đa)
S
2 . 1  0 ,  2   ,  x 
.Z 2   a   
n
(Ước lượng trung bình tối thiểu)

3 . 1   2 


2

 

S
n

. Z  -đo ä chín h x ác

 x    a  x   (ư ơ ùc lư ơ ïn g đ o ái x ư ùn g )
I  2 - độ dài khoản g ước lượn g đối xứn g

2
 S
 
n  
.Z     1 .
 
  
Khoa Khoa Học
và Máy Tính
SinhVienZone.com

Xác Suất Thống Kê.
Chương 6
/>@Copyright 2010

12


2

, n  30
. TH3.Chưa biết phương sai tổng thể

x  a

C hoïn G  T 

n

S


X eùt

~ T  n  1

 1,2  0;  1   2  



  t1    T  t1 2 
 T21

 n 1

x  a


S



  1
n

 T2 2

 n 1

S
S

n 1
 n 1
 x
T2 2
a x
.T21  
n
n
 n 1
Z
Kết quả tương tự TH2 , thay  bằng T
ta có:
SinhVienZone.com

/>
13


.

S
n 1
1 . 1   ,  2  0     a  x 
.T 2   
n

(Ước lượng trung bình tối đa)

2 . 1  0 ,  2


S
  , x 
.T 2   n  1   a   
n

(Ước lượng trung bình tối thiểu)

3 . 1   2 


2

 

S
n

.T

 n 1

-đ ộ chính xa ùc

 x    a  x   (ư ơ ùc lư ơ ïn g đ o ái x ư ùn g )
I  2 - độ dài khoản g ước lượn g đối xứn g

 S ( n 1)  2 
n   .T    1.
 
 

Khoa Khoa Học
và Máy Tính
SinhVienZone.com

Xác Suất Thống Kê.
Chương 6
/>@Copyright 2010

14


Ví dụ 3.1. Hao phí nguyên liệu cho 1 sản phẩm là 1
đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn vớí
độ lệch chuẩn   0, 03. Người ta sản xuất thử 36
sản phẩm và thu được bảng số liệu:
Mức hao phí
nguyên liệu(gam)
Số sản phẩm

19,5-19,7 19,7-19,9 19,9-20,1 20,1-20,3

6

8

18

4

Với độ tin cậy 0,99,hãy ước lượng mức hao phí

nguyên liệu trung bình cho 1 sản phẩm nói trên.
SinhVienZone.com

/>
15


TH1.

  0, 03, x  19,91111,   0, 01  Z 0,01  2,575


0, 03
 
.Z 
.2,575  0, 012875
n
36
x   a  x 
Cách bấm máy:

.03  2.575 : 36 

 

SH S  VAR x  ANS 

 x 

SH S  VAR x  2  ANS 


 x 

SinhVienZone.com

/>
16


Ví dụ 3.2. Để ước lượng xăng hao phí trung bình
cho 1 loại xe ô tô chạy trên đoạn đường từ A
đến B ,chạy thử 49 lần trên đoạn đường này ta
có bảng số liệu:
Lượng xăng 9,6-9,8 9,8-10,0 10,0-10,2
hao phí(lit)
4

Số lần

8

25

10,2-10,4 10,4-10,6

8

4

Với độ tin cậy 0.95,hãy tìm khoảng tin cậy cho

mức hao phí xăng trung bình của loại xe nói
trên.
SinhVienZone.com

/>
17


Giải
.

TH 2 : n  49  30; x  10,1 ; S  0, 2
  1    0,95  Z 0,05  1,96
S
0, 2

.Z 
1,96  0, 056
7
n
 10, 044  a  10,156

Cách bấm máy

SH STAT VAR x n  1 1.96 : 49  SH STO A  
SH STAT VAR x  ALPHA A 

SH STAT VAR x  ALPHA A 
SinhVienZone.com


 x 

 x 

/>
18


§4. Ước lượng khoảng của phương sai tổng thể

2

Bài toán: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n, có phương
sai hiệu chỉnh mẫu S 2 . Với độ tin cậy  hãy tìm
khoảng ước lượng của phương sai tổng thể  2
Bài giải
2
n

1
.
S


2
G  2 


(n  1),
1,2  0 : 1   2  

Chọn
2

   12 (n  1)   2  2 (n  1)   1  
1

2

 n  1 S 2   2   n  1 S 2
2
2

 (n  1)
2

Quy ước: Ta lấy 1 2 

SinhVienZone.com

1 (n  1)
1


2

(nếu không cho 1 ,  2 )

/>
19



Ví dụ 3.1: Để định mức gia công 1 chi tiết máy,người ta
theo dõi quá trình gia công 25 chi tiết máy,và thu được
bảng số liệu sau:
Thời gian gia
công (phút)
Số chi tiết máy

15-17

17-19

19-21

21-23

23-25

25-27

1

3

4

12

3


2

a)Với độ tin cậy 0,95 , hãy tìm khoảng tin cậy cho thời gian
gia công trung bình 1 chi tiết máy.
b)Với độ tin cậy 0,95 , hãy tìm khoảng tin cậy cho phương
sai.

SinhVienZone.com

/>
20


Giải
a)TH3

n  2 5 ; x  2 1, 5 2 ; S  2, 4
24 )
  0, 9 5  T 0(,05
 t 2 4:0 ,025  2, 0 6 4

S
2, 4
 n 1
 
.T

.2, 0 6 4
5
n

 x  a  x
b)

 02,975 (24)  12, 40 ;  02,025 (24)  39, 36
24.2, 4 2


39, 36
SinhVienZone.com

2

24.2, 4 2

12, 40
/>
21