Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
A- Đặt vấn đề
I - Lý do chọn đề tài
1. Cơ sở lí luận:
Định lý Talet là một trong những định lý hình học cổ điển giữ vai trò quan
trọng trong chơng trình toán THCS. Dịnh lý Talet đợc sử dụng nhiều trong giải
toán, đặc biệt là những bài toán có liên quan đến đoạn thẳng và tỉ số hai đoạn
thẳng.
Thông qua việc vận dụng định lý Talet vào giải toán ta có thể ôn lại cho học
sinh các tính chất về tỷ lệ thức các kỹ năng biến đổi đại số, chứng minh đẳng thức,
giải phơng trình, chứng minh đờng thẳng song song, diện tích đa giác...
Vận dụng định lý Talet vào giải toán ngoài việc học sinh đợc rèn luyện các kỹ
năng toán học, chủ yếu còn đợc nâng cao về mặt t duy toán học. Các thao tác t duy
nh: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt hoá, thờng xuyên đợc
rèn luyện và phát triển.
2. Cơ sở thực tiễn.
Từ năm học 2001 2002 đến nay, tôi đã đợc giao nhiệm vụ giảng dạy bộ
môn Toán 8. Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy khả năng vận dụng định lý Talet
vào giải bài toán của học sinh còn hạn chế. Khi học về phần này, học sinh còn khó
khăn:
- Việc sử dụng các kỹ năng về biến đổi đại số vào hình còn lúng túng hay
mắc sai lầm.
- Kỹ năng phân tích giả thiết, kết luận của bài toán để vẽ thêm yếu tố phụ,
tìm lời giải cho bài toán còn chậm và hạn chế.
- Khả năng vận dụng bài toán này cho bài toán khác, kỹ năng chuyển đổi
bài toán, khai thác bài toán theo hớng đặc biệt hoá, khái quát hoá cha cao.
- Học sinh cha có thói quen tổng hợp và ghi nhớ những tri thức phơng pháp
qua từng bài toán, dạng toán.
3. Kết luận khái quát.
Nhận thức rõ đợc vị trí và tầm quan trọng của chuyên đề: Một số dạng bài
tập ứng dụng định lí Talet trong chơng trình Toán THCS. Thông qua thực tế

giảng dạy kết hợp với một số sách viết chuyên đề của các nhà giáo khác, tôi
nghiên cứu và thực hiện đề tài này.
II - Mục đích nghiên cứu.
Từ thực tế giảng dạy môn Toán cho đối tợng học sinh khá, giỏi tôi đã rút ra
đợc một số kinh nghiệm khi giảng dạy chuyên đề: Một số dạng bài tập ứng
Trang: 1
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
dụng định lý Talet với mục đích áp dụng kinh nghiệm này trong giảng dạy để
giúp học sinh :
- Nắm vứng nội dụng định lý Talet trong tam giác và định lý Talet tổng
quát.
- Trang bị cho học sinh một cách có hệ thống các dạng bài tập và phơng
pháp giải. Qua đó rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tính toán, vẽ hình, phân
tích, tổng hợp,
- Rèn luyện và phát triển cho học sinh các phẩm chất trí tuệ, các thao tác t
duy: So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hoá,
III - Đối tợng nghiên cứu và phạm vi nghiên
cứu:
1. Đối tợng:
Đối tợng nghiên cứu và thực hiện đề tài này là học sinh lớp 8.
2. Phạm vi nghiên cứu:
Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, ở đây tôi nêu ra một số dạng bài tập
vận dụng địng lí Talet mà học sinh thờng gặp trong giải toán.
Trong mỗi dạng bài tập đều có định hớng chung về cách giải, ở mỗi ví dụ
đều có bớc hớng dẫn tìm lời giải.
Do trong điều kiện thực tế khi học về chuyên đề này học sinh đã đợc học
một số chuyên đề có liên quan: Tỉ lệ thức, diện tích đa giác, bất đẳng thức hình
học, nên trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này tôi không nhắc lại về các kiến
thức cơ bản để giải các dạng toán đó mà học sinh đợc vận dụng các kiến thức đó
vào giải tóan.

IV. Phơng pháp nghiên cứu:
Phơng pháp nghiên cứu chủ yếu là:
- Phơng pháp thực nghiệm.
- Phơng pháp phân tích tổng hợp.
- Phơng pháp đặc biệt hoá - Khái quát hoá.
B Nội dung và ph ơng pháp
I - Kiến thức cơ bản.
1. Đoạn thẳng tỉ lệ.
a) Tỉ số hai đoạn thẳng.
- Tỉ số hai đoạn thẳng là tỉ số các độ dài của chúng với cùng một đơn vị đo.
Nh vậy tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn.
Trang: 2
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
b) Đoạn thẳng tỉ lệ:
- Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB và CD nếu
ta có hệ thức:
AB và CD tỉ lệ với AB và CD
Tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng cũng có các tính chất nh của tỉ lệ thức giữa
các số.
*1. Tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ.

AB . CD = AB . CD
*2. Có thể hoán vị các trung, ngoại tỉ:
=>

*3. Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
2. Định lý Talet trong tam giác.
2.1. Định lý thuận:
Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại
thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ.

ABC. BC//BC =>

Trang: 3
D'C'
B'A'
CD
AB
=
D'C'
B'A'
CD
AB
=
D'C'
B'A'
CD
AB
=
D'C'
CD
B'A'
AB
=
CD
D'C'
AB
B'A'
=
AB
CD

B'A'
D'C'
=
)'(
D'C'CD
B'A' AB
D'C'
D'C' B'A'
CD
CD AB
D'C'
B'A'
CD
AB
CDCD



=

=

=>=
AC
AC'
AB
AB'
=
A
C

C
B
B
D'C'
B'A'
CD
AB
=
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
2.2 Định lý đảo.
Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh này
những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ thì đờng thẳng đó song song với cạnh còn lại của
tam giác.
ABC, => BC//BC
Tóm tắt: ABC, BC//BC
Chú ý: Định lí Talet thuận và đảo đúng trong cả ba trờng hợp hình vẽ sau:
2.3. Hệ quả :
Một đờng thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó
tạo thành một tam giác mới có 3 cạnh tơng ứng tỉ lệ với 3 cạnh còn lại của tam
giác đã cho.
ABC, BC//BC =>
3. Định lý Talet tổng quát:
3.1. Định lý thuận:
Nhiều đờng thẳng song song định ra trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn
thẳng tơng ứng tỷ lệ.
a//b//c =>

Ta có thể chứng minh định lý này bằng cách qua A kẻ một đờng thẳng song
song với d. Đờng thẳng này cắt b, c theo thứ tự tại B,C. Dễ dàng chứng minh
đợc AB=AB, BC = BC. Sau đó áp dụng định lý Talet trong tam giác vào

ACC để có:
từ đây suy ra kết luận.
Trang: 4
AC
AC'
AB
AB'
=
AC
AC'
AB
AB'
=
A
C
C

B

B
A
C

C
B
B

A
C
C


B

B
A
AC
A C
'
BC
C'B'
B
AB'
==
C'B'
B'A'
BC
AB
=
'C'B"
'AB'
BC
AB
=
d
d

A
A

a

b
c
B

C

B
C
B
C
C'B'
B'A'
BC
AB
=
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
3.2 . Định lý đảo.
Cho 3 đờng thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến d, d tại các điểm theo thứ tự; A,
B, C và A, B, C thoả mãn đẳng thức tỉ lệ:
mà 2 trong 3 đờng thẳng a, b, c là song song với nhau thì 3 đờng thẳng a, b, c song
song với nhau.
và a//b => a//b//c
3.3 Hệ quả (các đờng thẳng đồng quy cắt hai đờng thẳng song song)
- Nhiều đờng thẳng đồng quy định ra trên hai đờng thẳng song song những
đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ.
a//b =>
Ng ợc lại : Nếu nhiều đờng thẳng không song song định ra trên hai đờng
thẳng song song các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy tại một điểm .
=> AA, BB, CC đồng quy tại điểm O.
II Các dạng bài tập ứng dụng định lý Talet.

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng - tỉ số hai đoạn thẳng.
Định lý Talet cho ta mối quan hệ về độ dài giữa các đoạn thẳng:
Cho nên muốn vận dụng định lý Talet vào tính toán độ dài đoạn thẳng hay tỉ số
hai đoạn thẳng ta thờng:
+ Ghép đoạn thẳng cần tính độ dài vào hệ thức của định lý Talet.
Trang: 5
C'B'
B'A'
BC
AB
=
a
b
c
A
A

B

B
C
C

C'A'
AC
C'B'
BC
BC
AB
==

O
A
b
B
C
C
B

A

O
a
b
A
B
C
A
B

C

AC
AC'
AB
AB
=
1
AB'
AB


d
c
b
a
=
C'B'
B'A'
BC
AB
=
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
+ Sử dụng định lý Talet chuyển các tỉ số cần tính về các tỉ số hai đoạn thẳng đã
biết hoặc có thể tính đợc nhờ tính chất của tỉ lệ thức.
Ví dụ 1: ABC nhọn có AC>AB, AC=45cm
Đờng cao AH. Đờng trung trực của BC cắt cạnh AC tại N,
biết HB = 15 cm;HC = 27 cm .
Tính CN = ?
* H ớng dẫn tìm lời giải :
Theo giả thiết của bài toán có hai đờng thẳng nào song song cha?
áp dụng định lý Talet CN đợc ghép vào hệ thức nào?
Trong hệ thức đó: CI, CA, CH đã biết cha?
Giải (tóm tắt):
Gọi I là trung điểm của BC, NI là trung trực BC
AH BC
Suy ra:
Trong đó: AC = 45; HC = 27; IC =
* Nhận xét: Từ giả thiết của bài toán ta suy ra đợc hai đờng thẳng song
song: NI //AH bằng cách áp dụng định lý Talet thuận ta đã tính đợc NC.
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD), điểm M thuộc cạnh AD sao cho
, vẽ đờng thẳng MN song song với AB biết AB = 28, CD = 70.

* H ớng dẫn tìm lời giải :
Giả thiết của bài toán có các đờng song song: AB//MN//DC
Yêu cầu của bài toán tính MN = ?. Trên hình vẽ MN cha đợc ghép vào định
lí nào của định lý Talet.
Trang: 6
CH
CI
CA
CN
=
=> NI//AH
HC
IC
C
NC
=
A
21
2
=
BC
cmCN
CN
35
27
21
45
==>=
5
2

MD
=
MA
A B
C
D
I
O
P
M
N
H
A
B
C
I
N
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
Ta hãy tìm cách tạo ra các tam giác để vận dụng định lý Talet.
H ớng 1 : Nối AC cắt MN tại O. áp dụng định lý Talet vào trong các tam
giác ADC, ABC thì MO, ON tính đợc. Từ đó tính đợc MN.
H ớng 2 : Qua A kẻ đờng thẳng AI//BC, I DC.
AI cắt MN tại P. PM = AB = 28
áp dụng định lý Talet vào tam giác ADI ta tính đợc PM.
Lời giải: (tóm tắt theo hớng 2)
Kẻ AI//BC, I DC, AI cắt MN tại P.
Tứ giác ABNP là hình bình hành nên AB = PN
AB = 28
Trong ADI: PM//AD. áp dụng hệ quả định lý Talet ta có:
Theo giả thiết:

Mặt khác DI = DC AB = 42
Suy ra: (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MN = 40 cm
Nhận xét: Vẽ thêm đờng phụ để vận dụng định lý Talet trong tam giác.
Ví dụ 3: ABC có AC = 3 AB. Lấy D AB, E AC sao cho CE = BD, DE
cắt BC tại K. Tính .
* H ớng dẫn tìm lời giải :
Bài toán yêu cầu tình tỉ số . Giả thiết của bài toán cha cho ta có thể tính
đợc trực tiếp tỉ số . Vậy ta phải tìm cách chuyển tỉ số về các tỉ số đã biết.
Muốn làm đợc điều đó ta cần vận dụng định lý Talet. Nhng vấn để đặt ra là
phải có đờng thẳng song song mới mong muốn vận dụng đợc định lý Talet, nhng
vẽ nh thế nào? Vẽ thêm đờng thẳng song song ở bài này cần đạt đợc 2 yêu cầu:
+ Tỉ số đợc chuyển thành một tỉ số mới mà tỉ số này có liên hệ với tỉ số
đã biết ( ).
+ Sử dụng đợc giả thiết: BD = EC.
Cách 1: Qua E kẻ EF // AB, F BC.
Trang: 7
=> PN = 28 (1)
AD
AMPM
=
DI
7
2
AD5
2
MD
==
AMAM
7

2
DI
=
PM
1242.
7
2
==
PM
KD
KE
KD
KE
KD
KE
KD
KE
KD
KE
3
1
=
AC
AB
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
Cách 2: Qua D kẻ DI // AC, I BC.
Cách 3: Qua D kẻ DK // BC, K AC.
Cách 4: Qua E kẻ EH // BC, H AB.
* Lời giải tóm tắt (theo cách 1):
Kẻ EF //AB, F BC.

áp dụng hệ quả của định lý Talet vào các tam giác:
+ KDB: có tỉ số: mà BD = CE nên suy ra: (1)

+ ABC (có EF //AB): (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Nhận xét: ở Ví dụ 3 ta đã vẽ thêm đờng thẳng song song để có thể vận
dụng đợc định lý Talet và hệ quả.
Ví dụ 4: ABC, lấy D BC, E AC, sao cho
AD cắt BE tại I. Tính
* H ớng dẫn tìm lời giải :
Từ tỉ số cần tính và các tỉ số đã biết Ta vẽ thêm đờng
thẳng song song: Qua D kẻ DM //BE, với M AC.
Lời giả i :
Vẽ DM//BE, M AC, BEC có DM//BE (theo giả thiết).
áp dụng định lý Talet ta có:
ADM có: IE//DM theo định lý Talet trong tam giác ta có:
Mà
Do đó:
Trang: 8
BDKD
EFKE
=
CEKD
EFKE
=
3
1
ACECACAB
===
ABEFCEEF

3
1
KD
=
KE
.
5
2
EC
,
7
3
BC
==
AEBD
.
ID
AI
.
ID
AI
.
5
2
EC
,
7
3
BC
==

AEBD
7
3
BC
BD
EC
EM
==
EM
AE
ID
AI
=
15
14
7
3
:
5
2
EC
EM
:
EC
AE
EM
AE
===
15
14

ID

=
AI
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
Ví dụ 5: ABC có BAC = 120
o
, AB = 6 cm, AC = 12cm, phân giác
BAC cắt BC tại D. Tính AD.
* H ớng dẫn tìm lời giả i :
AD là phân giác góc BAC, mà BAC = 120
o
nên BAD =DAC = 60
o
.
Sử dụng tính chất đờng phân giác ta đợc: , nên ta vẽ thêm đờng
phụ để tạo tam giác đều : DE//AB thì ADE đều, ta chuyển từ việc tính AD về
tính AE.
* Lời giải tóm tắt:
Kẻ DE //AB, với E AC. ADE đều, đặt AD = DE = AE = x (x>0).
ABC có DE//AB =>
Kết luận 1: Nh vậy để vận dụng định lý Talet vào tính toán độ dài đoạn
thẳng, tỉ số đoạn thẳng ta cần chú ý:
+ Từ giả thiết phát hiện các đờng thẳng song song, ghép các đoạn thẳng hay
các tỉ số cần tính vào hệ thức của định lý Talet.
+ Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
+ Vẽ thêm đờng phụ để vận dụng định lý Talet trong tam giác.
+ Vẽ thêm đờng thẳng song song tạo thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
+ Trong thực hành đôi khi ta cần đặt một đại lợng cần tính là x, sau đó dùng
các biến đổi đại số để tìm x.

Trang: 9
2
1
A
AB
DC

==
C
DB
cmx
C
DE
4
12
x-12
6
x
A
CE
AB

===
A
B
C
B
E
D
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet

Dạng 2: Chứng minh hệ thức đoạn thẳng.
Dạng bài tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng là dạng bài tập hay và khó.
Nếu nh ở lớp 7, các hệ thức về đoạn thẳng còn đơn giản: Chứng minh đoạn thẳng
bằng nhau, chứng minh đoạn thẳng này bằng tổng hai đoạn thẳng khác, thì lên
lớp 8, học sinh sau khi học song về diện tích đa giác, nhất là định lý Talet thì lớp
bài tập về chứng minh hệ thức đoạn thẳng trở lên đa dạng và phong phú.
2.1. Chứng minh a = b, b + d = mc(a,b,c,d là độ dài các đoạn thẳng, m là
hằng số)
Để chứng minh a = b hay b + d = mc chúng ta đã biết khá nhiều cách làm:
Tam giác bằng nhau, tính chất cộng đoạn thẳng, ở đây chúng ta phân tích việc
chứng minh hệ thức này theo lối sử dụng định lý Talet.
+ Để chứng minh a = b ta chứng minh bằng cách chọn đoạn thẳng c một
cách hợp lý.
+ Để chứng minh b + d = mc ta chứng minh . Sử dụng định lý Talet
chuyển các tỉ số về các tỉ số mới để có thể thực hiện phép cộng và rút
gọn.
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD), AC cắt BD tại O. Qua O kẻ
đờng thẳng d// AB, d cắt AD tại M, d cắt BC tại N. Chứng minh OM=ON.
* H ớng dẫn tìm lời giải :
Giả thiết của bài toán cho ta MN//AB//DC, chứng minh OM = ON. Ta có
thể chọn AB (hoặc DC) để lập tỉ số và chứng minh
* Lời giải tóm tắt :
Ta có OM//AB, ON//AB (giả thiết), áp dụng hệ quả của định lý Talet vào
các tam giác:
+ ABD: (1)
+ ABC: (2)
ABCD là hình thang: AB//CD, áp dụng hệ quả của định lý Talet vào DOC:
Trang: 10
c
b

c
a
=
m
=+
c
d
c
b
c
d
,
c
b
AB
ON
,
AB
OM
AB
ON
AB
OM
=
DB
DO
AB
OM
=
CA

CO
AB
ON
=
A
B
C
D
M
N
O
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: (Đpcm)
* Khai thác bài toán: Ta có thể chứng minh bài toán tổng quát hơn.
ABCD là hình thang, có MN//AB//DC, M AD, N BC. MN cắt BD, AC
lần lợt tại P và Q. Chứng minh PM = QN.
Chứng minh bài toán này hoàn toàn tơng tự nh VD1.
Ví dụ 2: ABC, trung tuyến AD, điểm P di động trên cạnh BC, qua P
kẻ đờng thẳng d // AD, d cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh:
PM + PN = 2. AD
* H ớng dẫn tìm lời giải :
Hệ thức cần chứng minh: PM + PN = 2. AD đợc chuyển về hệ thức dới dạng
tỉ số đoạn thẳng:
Giả thiết của bài toán cho PN//AD, nh vậy ta có thể sử dụng định lý Talet để
chuyển các tỉ số về các tỉ số mới và thực hiện phép cộng:
, với BD = DC ta đợc Đpcm.
* Lời giải:
Theo giả thiết PM//AD, PN//AD. áp dụng hệ quả của định lý Talet vào các
tam giác:

+ ABD:
+ CNP: (vì D là trung điểm của BC)
Vậy PM + PN = 2.AD (Đpcm)
Trang: 11
CA
CO
DB
DO
=
ONOM
==
AB
ON
AB
OM
2
AD
PN
AD
PM
=+
AD
PN
,
AD
PM
DC
BC
AD
PN

,
BD
BP
AD
PM
==
BD
BP
AD
PM
=
DC
BC
AD
PN
=
2
BD
BC
BD
PCBP
DC
PC
BD
BP
AD
PN
AD
PM
==

+
=+=+
M
N
A
C
D
P
B
A
B
C
D
M
N
P
Q
O
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
* Nhận xét: Hệ thức cần chứng minh khá quen thuộc với học sinh , nhng
nếu làm theo các cách quen thuộc đã biết thì rất khó khăn, còn nếu vận dụng định
lý Talet một cách hợp lý thì vấn đề đợc giải quyết khá đơn giản và gọn gàng.
2.2. Chứng minh hệ thức dạng và các dạng biến đổi a.d = b.c, a
2
= bc
(với a, b, c, d là độ dài các đoạn thẳng).
Định lý Talet cho ta hệ thức: nên ngời ta thờng sử dụng định lý
Talet vào chứng minh các hệ thức đoạn thẳng dạng : , a.d = b.c, a
2
= bc,

nhất là khi trong giả thiết cho ta các đờng thẳng song song.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD, F AC, kẻ EF//DC, FG//BC , E AD,
G AB. Chứng minh rằng AE.BG = DE.AG
* H ớng dẫn tìm lời giải :
Hệ thức cần chứng minh EA.BG = DE.AG
giả thiết cho EF//DC nên:
GF//BC nên:
Kết hợp các điều trên ta đợc Đpcm.
* Lời giải:
ADC có: EF//DC =>
ABC có: FG//BC =>
nên suy ra (1) => AE . GB = DE . AG (Đpcm)
* Nhận xét: Từ (1) theo định lý Talet đảo => EG//BD.
Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy, trên Ox lấy 2 điểm D và E, một đờng thẳng
d
1
qua D cắt cạnh Oy tại F. Đờng thẳng d
2
qua E và song song với d
1
cắt Oy
tại G. Đờng thẳng d
3
qua G và song song với EF cắt Ox tại H. Chứng minh
rằng OE
2
= OD.OH.
* H ớng dẫn tìm lời giải :
Chuyển hệ thức cần chứng minh về dạng: , sử dụng định lý Talet
ta có thể chuyển đợc các tỉ số về cùng một tỉ số không?

Trang: 12
d
c
b
a
=
d
c
b
a
=
d
c
b
a
=
BG
AG
ED
EA
=
FC
AF
ED
EA
=
FC
AF
GB
AG

=
FC
AF
ED
EA
=
FC
AF
GB
AG
=
GB
AG
ED
AE
=
OE
OH
OD
OE
=
OE
OH
,
OD
OE
;
OF
OG
OD

OE
=
OF
OG
OE
OH
=
D
A
G
A
B
C
F
E
O
D
E
H
x
d
2
d
3
d
1
F
G
y
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet

* Lời giải:
áp dụng định lý Talet vào OEG:
DF//GE => (1)
áp dụng định lý Talet vào OGH:
EF//GH => (2)
Từ (1) và (2) suy ra: => OE
2
= OH.OD
2.3 . Chứng minh hệ thức dạng (a,b,c,d là độ
dài đoạn thẳng, m là hằng số).
Sử dụng định lý Talet chuyển các tỉ số về các tỉ số của các đoạn thẳng trên
cùng một đờng thẳng rồi tìm cách cộng các tỉ số mới này. Muốn vận dụng đợc
định lý Talet thì phải có các đờng thẳng song song. trong nhiều trờng hợp ta phải
vẽ thêm đờng thẳng song song một cách hợp lý.
Ví dụ 1: Tứ giác ABCD trong đó B = D = 90
o.
. Từ một điểm M trên đ-
ờng chéo AC kẻ MN AB, MP CD (N AB, P CD). Chứng minh :
* H ớng dẫn tìm lời giải :
Nếu thực hiện phép biến đổi đại số ta đợc hệ thức:
MN. AD + MP. BC = AD. BC
Rõ ràng các tích MN. AD, MP. BC cha nói nên một đại lợng hình học nào
để ta có thể làm trung gian cho việc chứng minh hệ thức.
Giả thiết của bài toán đã cho ta đờng thẳng song song, nếu có, ta hãy tìm
cách chuyển các tỉ số về các tỉ số trên cùng một đờng thẳng.
Lời giải tóm tắt :
Từ giả thiết suy ra: MN//BC, MP//AD
Trong ABC, MN//BC =>
Trong ACD, MP//AD =>
Suy ra: => Đpcm

Trang: 13
OF
OG
OD
OE
=
OE
OH
OF
OG
=
OE
OH
OD
OE
=
q
p
.
d
c
b
a
;
d
c
b
a
mm
=+=+

d
c
,
b
a
1
AD
MP
BC
MN
=+
AD
MP
,
BC
MN
AC
AM
BC
MN
=
AC
CM
AD
MP
=
1
AC
CMAM
AD

AP
BC
MN
=
+
=+
A
N
B
C
P
M
D
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
Nhận xét: Trong bài toán trên nếu bỏ điều kiện B = D = 90
o
thì các giả
thiết khác phải thay đổi nh thế nào để hệ thức trên vẫn đúng?
Ví dụ 2: ABC, G là trọng tâm. d là một đờng thẳng qua G cắt cạnh
AB, AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng
* H ớng dẫn tìm lời giả i :
Ta phải tìm cách cộng các tỉ số bằng cách chuyển chúng về các tỉ
số mới có cùng mẫu, muốn vậy ta phải sử dụng định lí Talet. Nhng vấn đề đặt ra là
cha có các đờng thẳng song song.
Vậy ta phải vẽ thêm các đờng thẳng song song.
H ớng 1 : Qua C vẽ đờng thẳng song song với d, đờng thẳng này cắt AB tại I,
khi đó:

đến đây ta chỉ cần chứng minh AI + AB = 3. AM.
H ớng 2 : Qua B, C vẽ các đờng thẳng song song với d, chúng cắt AG lần lợt

tại E và F. Khi đó:
và ta phải chứng minh AE + AF = 3. AG
Lời giải (theo hớng 2)
Qua B và C kẻ các đờng thẳng song song với d, các đờng thẳng này cắt AG
theo thứ tự tại E và F.
Gọi D là giao điểm của AG với BC thì D là trung điểm của BC.
Ta có DEC = DFB (G.C.G)
=> DE = DF => AE+AF = 2AD
mà G là trọng tâm của ABC => AD = 3/2 AG
AEC có: GN//CE =>
Trang: 14
3
AN
AC
AM
AB
=+
AN
AC
,
AM
AB
AM
ABAI
AM
AI
AM
AB
AN
AC

AM
AB
+
=+=+
AG
AEAF
AG
AE
AG
AF
AN
AC
AM
AB
+
=+=+
=> AE + AF = 3.AG (1)
AG
AE
AN
AC
=
=>
)2(
AG AN AM
AB AFAEAC
+
=+
A
B

C
N
G
E
D
F
M
I