§7: Thế lưu
Bài giảng của TS. Nguyễn Quốc Ý


Ngày 14 tháng 1 năm 2013

Nội dung cần nắm

ng.com

PT Navier-Stokes, Euler
Hàm dòng, hàm thế và các tính chất
Tính chất các dòng thế cơ bản và chồng nhập
/>1 / 25


Bảo toàn động lượng thẳng
PT Navier-Stokes

δF

✏ δm a

✩
✩
✬
✬
✬
✬
✫Fbx
✬

✬
✬
✬
✏ δm g ✏ δm
Fby
✬
✫Lực mặt: δ Fb ✬
✬
✪
δF ✏
Fbz
✬
★
✬
✬
✬
δFn ❑ bề mặt
✬
✬
✬
✪Lực khối: δ Fs ✏ δF
bề mặt

✩
✬
✬
✫gx
gy
✬
✬

✪g
z

1 ,2

δ Fn
δ Fs
δA

a✏

ng.com

dV
dt

✏ ❇❇Vt   u ❇❇Vx   v ❇❇Vy   w ❇❇Vz

δ F2

δ F1
Arbitrary
surface

/>2 / 25


Bảo toàn động lượng thẳng
PT Navier-Stokes


σn

n
✏ δAlimÑ0 δF
δA

τ1, 2
C

C'

τ xz

τ xz
τ xy

y

τ xy

D

D'
σxx

✏ δAlimÑ0 δFδA1, 2
σxx

B


B'
A

A'
(b)

(a)

x

z

ng.com

σx

✏ σxxi   τxy j   τxz k

/>3 / 25


Bảo toàn động lượng thẳng
PT Navier-Stokes

(τ

yx

∂τ yx __
δy δ x δ z

+ ____
∂y 2

(

(τ

zx

∂τ z x __
δ z δx δy
– ____
∂z 2

(

δy

(σ

xx

(τ

∂σ xx δ__x
δ yδ z
– ____
∂x 2

(σ


(

zx +

∂τz x __
δz δx δy
____
∂z 2

∂σxx δ__x
____
δ y δz
∂x 2

(

δz

(

δx

y

xx +

(τ

yx


∂τ yx __
δy δ x δ z
– ____
∂y 2

(

x
z

ng.com

✂

✡
❇
τyx
❇
σxx
❇
τzx
δFsx ✏
❇x   ❇y   ❇z ❇x ❇y ❇z
δmax ✏ />δFsx   δm gx với δm ✏ ρ❇ x ❇ y ❇ z
4 / 25


Bảo toàn động lượng thẳng
PT Navier-Stokes


✂
ρ

❇u   u ❇u   v ❇u   w ❇u ✡ ✏ ❇σxx   ❇τyx   ❇τzx   ρ g
x
❇t ❇x ❇y ❇z
❇x ❇y ❇z

Lưu chất Newton:

✏ ✁p   µ ❇❇ux
✂
❇u   ❇v ✡
τxy ✏ τyx ✏ µ
❇y ❇x
σxx

nên

✂

ρ

ng.com

❇u   u ❇u   v ❇u   w ❇u ✡ ✏ ✁ ❇p   ρg   µ ✂ ❇u   ❇u   ❇u ✡
❇t ❇x ❇y ❇z
❇x x
❇ x ❇ y  ❇ z 

/>5 / 25


Bảo toàn động lượng thẳng
PT Navier-Stokes

Tương tự cho hai phương y, z:

❇u   u ❇u   v ❇u   w ❇u ✏ ✁  ❇p   g   ν ✂ ❇u   ❇u   ❇u ✡
x
❇t ❇x ❇y ❇z
ρ ❇x
❇ x ❇ y  ❇ z 
❇v   u ❇v   v ❇v   w ❇v ✏ ✁  ❇p   g   ν ✂ ❇v   ❇v   ❇v ✡
y
❇t ❇x ❇y ❇z
ρ ❇z
❇ x ❇ y  ❇ z 
✂ 
❇w   u ❇w   v ❇w   w ❇w ✏ ✁  ❇p   g   ν ❇ w   ❇w   ❇w ✡
z
❇t ❇x ❇y
❇z
ρ ❇z
❇ x ❇ y  ❇ z 
Viết cách khác:

Ñ
Ý


DV
Dt

ÝV
Ý∇p   g   ν∇2Ñ
✏ ✁ ρ1 Ñ

PT Navier-Stokes

ng.com

/>6 / 25


Bảo toàn động lượng thẳng
PT Euler

Bỏ qua tính nhớt:

❇u   u ❇u   v ❇u   w ❇u ✏ ✁  ❇p   g
x
❇t ❇x ❇y ❇z
ρ ❇x
❇v   u ❇v   v ❇v   w ❇v ✏ ✁  ❇p   g
y
❇t ❇x ❇y ❇z
ρ ❇z
❇w   u ❇w   v ❇w   w ❇w ✏ ✁  ❇p   g
z
❇t ❇x ❇y

❇z
ρ ❇z
Viết cách khác:

ng.com
PT

Ñ
Ý ❇Ñ
ÝV ✁Ñ
ÝV ✏ ✁ 1 Ñ
Ý∇ ✠ Ñ
Ý∇p   g
✏ ❇t   ÝV ☎ Ñ
ρ

DV
Dt
Euler

/>7 / 25


Bảo toàn động lượng thẳng

Bàn luận:

ng.com

Có bao nhiêu biến trong PT động lượng thẳng?

Cần bao nhiêu PT để giải các biến đó, là các PT nào?
Tại sao hầu như không thể tìm nghiệm tổng quát của PT
Navier-Stokes hay Euler?
Khi nào thì có thể bỏ qua tính nhớt?

/>8 / 25


Nội lưu- Ngoại lưu

U

D

x

Viscous forces
important throughout
Re = UD/v = 0.1
(a)

Viscous
effects
important

Viscosity not
important

Separation
location


U

x

Separation bubble

Re = 50

Boundary layer

U

ng.com

D

Boundary layer

Inviscid core

Viscosity not
important

Fully developed
flow

Entrance region
flow


(b)

Boundary layer separation

r
x

Viscous effects
important

(1)

(2)

(3)

e

Wake
region

δ << D
D

x
Separated region

Re = 105

(6)


(5)

x6 – x5

(c)

Fully developed
flow

(4)

x5 – x4
Developing
flow

/>9 / 25


Dòng 2D, không nén được
Hàm dòng

PT liên tục:

Tìm hàm vô hướng ψ ♣x, y q:

✏ ❇❇ψy
❇ψ
v ✏✁
❇x


❇u   ❇v ✏ 0
❇x ❇y
ψ ♣ r , φ q:
✏ 1r ❇❇ψθ
❇ψ
uθ ✏ ✁
❇r

u

ur

thay vào PT liên tục: OK!
Vậy, có thể mô tả 2 biến u ♣x, y q, v ♣x, y qbằng 1 hàm ψ ♣x, y q
hàm vô hướng ψ ♣x, y q được gọi là hàm dòng
Bàn luận: có hàm dòng 3D?

ng.com

/>10 / 25


Dòng không quay
hàm thế vận tốc

Dòng không quay:
ωz
Tìm hàm vô hướng φ♣x, y q:


✏ ❇❇φx
❇φ
v✏
❇y

✏

1
2

✂

❇v ✁ ❇u ✡ ✏ 0
❇x ❇y
φ ♣r , θ q :
✏ ❇❇φr
1 ❇φ
uθ ✏
r ❇θ

u

ur

thay vào ĐK không quay ωz ✏ 0: satisfied!
vậy có thể mô tả hai biến u ♣x, y q, v ♣x, y q bằng 1 hàm φ♣x, y q
φ♣x, y q được gọi là thế vận tốc
Bàn luận: có hàm thế vận tốc 3D?

ng.com


/>11 / 25


Thế lưu
không nén được + không quay

✩
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✫
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✪

✏ ❇❇φx
❇φ
v✏
❇y
❇u   ❇v ✏ 0
❇x ❇y
u


✩
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✫
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✪

2
2
ñ ❇❇xφ2   ❇❇yφ2 ✏ 0

Vậy φ và ψ đều thỏa PT Laplace

ng.com

✏ ❇❇ψy
❇ψ
v ✏✁
❇vx ❇u
❇

ωz ✏
❇x ✁ ❇y ✏ 0
u

2
2
ñ ❇❇xψ2   ❇❇yψ2 ✏ 0

/>12 / 25


Dòng thế
chồng nhập

Như vậy, cho dòng thế 2D:
có thể dùng φ hoặc ψ để miêu tả
φ1 : thế vận tốc cho dòng thế 1
φ2 : thế vận tốc cho dòng thế 2

φ ✏ φ1   φ2 : thế vận tốc cho dòng thế 1 kết hợp dòng thế 2
tương tự cho ψ

ñ kết hợp (chồng nhập) nhiều dòng thế có φ1, φ2, . . . φn và
ψ1 , ψ2 , . . . ψn :

ng.com

φ✏

n

➳

φi

i

ψ

✏

n
➳
i

ψi

Ñ
ÝV ✏ ➳n Ñ
ÝV

★
i

i

u
v

✏ ➦ni ui
✏ ➦ni vi


/>13 / 25


Như vậy, đã có u và v khi biết φ hoặc ψ,
Làm sao để tìm p?
ñ Dùng Pt Bernoulli cho dòng thế và ổn định::
❇V   ✁V ☎ ∇✠ V ✏ ✁ 1 ∇p,
Từ PT Euler cho dòng lý tưởng:
❇t
ρ
✠
✁
1
1
với V ☎ ∇ V ✏ ∇♣V ☎ V q ✁ V ✂ ♣∇ ✂ V q ✏ ∇♣V ☎ V q cho dòng thế.
2
2
❇
V
✏ 0, vì vậy
Dòng ổn định
❇
t
1
1
∇♣V ☎ V q ✏ ✁ ∇p ♣✝q
2
✑ ρ
✙

Lấy ♣✝q ☎ ds ✏ dx i   dy j , ∇p ☎ ds ✏ dp,
∇♣V ☎ V q ☎ ds ✏ ∇♣V 2 q ☎ ds ✏ d ♣V 2 q
dp dV 2
V2
 
✏
0ñ p ρ
✏ const. cho bất kì ds
ρ
2
2

ng.com

/>14 / 25


Qua hệ giữa φ và ψ?

ng.com

✏ const. là đường dòng (cho dòng ổn định).
Đường với φ ✏ const. là các đường Đẳng Thế.
Đường với φ= const. ❑ với các đường ψ=const.
Đường với ψ

ψ + dψ

C


dq

ψ2

ψ

q
u dy

Equipotential line
( φ = constant)

A

y

d1 > d
d

B
ψ1

– v dx

V
x

V1 < V
d


(a)

(b)

V1

V
V2
d2 < d
V2 > V

Streamline
(ψ = constant)

dq

✏ udy ✁ vdx ✏ ❇❇ψy dy   ❇❇ψx dx ✏ dψ
q

/>
✏

➺ ψ2

dψ
ψ1

✏ ψ2 ✁ ψ1
15 / 25



ng.com

Do đó,
Nơi nào đường dòng dày hơn
vận tốc lớn hơn

ñ

const. ✏ ∆ψ ✏ q ✏
vận tốc ✂ khoảng cách

vận tốc tăng, khoảng cách giảm

/>16 / 25


Một số dòng thế cơ bản và chồng nhập
dòng đều

y

=

y
U

=

1


=

2

=

3

=

4

1

=

φ = φ2

x

và
ψ

✏ Uy

ng.com

4


φ = φ2
φ = φ1

x

(a)

❇φ ✏ U ❇φ ✏ 0
❇x
❇y
vậy, φ ✏ Ux   C or
φ ✏ Ux

3

=

α
φ = φ1

2

=
U

(b)

Dòng đều với phương α so với trục
x: φ ✏ U ♣x cos α   y sin αq
và

ψ

✏ U ♣y cos α ✁ x sin αq

/>17 / 25


Một số dòng thế cơ bản và chồng nhập
điểm nguồn- điểm giếng

ng.com

y
ψ = constant

φ = constant

vr

r
θ

x

q
♣2πr qur ✏ q, hoặc, ur ✏ 2πr
và, uθ ✏ 0 vậy,
❇φ ✏ q 1 ❇φ ✏ 0
❇r 2πr r θy
rồi


→ 0 cho điểm nguồn
q ➔ 0 cho điểm giếng

φ✏

và,

q

ψ

q
ln r
2πr

q
✏ 2πr
θ

/>18 / 25


Một số dòng thế cơ bản và chồng nhập
xoáy tự do

ng.com

y


ψ = constant

Lưu số của xoáy tự do:
vθ
r

Γ✏

θ

x

➽

Ñ
Ý ✏ ➺ 2π u rdθ

V ☎ ds

0

C

✏ 2πr uθ ,

φ = constant

Xoáy tự do:

✏0

uθ ✘ 0
K
uθ Ó khi r Ò, ví dụ, uθ ✏
r
ur

θ

or

Γ
ñ uθ ✏ 2πr
Vậy, φ ✏

Γ
, và ψ
2πθ

Γ
ln r
✏ 2π

/>19 / 25


Một số dòng thế cơ bản và chồng nhập
lưỡng cực

ng.com


một điểm nguồn ở A
một điểm giếng ở B

Lấy AB ✏ 2 Ñ 0 và q
.q ✏ q0 ✏ const.

Ñ ✽ để

bằng cách này, một Lưỡng Cực được
q0 cos θ
định nghĩa: φ ✏
và
r
q0 sin θ
ψ✏✁
r
/>20 / 25


Một số dòng thế cơ bản và chồng nhập
dòng đều + nguồn= dòng qua ’nửa vật rắn’

y

U

ψ = π bU
Stagnation point

Stagnation

point

r

πb

θ

x

πb

Source

b
b
(a)

✏ ψuniform flow   ψsource @ origin
q
✏ U r sin θ   2π
θ
φ ✏ φuniform flow   φsource @ origin
q
✏ U r cos θ   2π
ln r

(b)

@ điểm dừng:


ψ

ng.com

/>
ur ⑤source
q
2πb
b

✏U
✏U

q
✏ 2πU
21 / 25


Một số dòng thế cơ bản và chồng nhập
dòng đều + nguồn + giếng= dòng qua ’vật rắn’

y

Stagnation
point

U
r2
θ2


θ

r

θ1

+m

x
Source

Sink

a

–m

a

a

h
h

a

(a)

ψ


Stagnation
point

ψ=0

r1

(b)

✏ ψuniform flow   ψsource @ ♣✁a,0q   ψsink @ ♣a,0q

@ điểm dừng bên trái ur ⑤source
@

ng.com

✏ U   ur ⑤sink
điểm dừng bên phải ur ⑤sink ✏ U   ur ⑤source
ψ ✏ 0 trên bề mặt vật thể (tìm được bằng phương pháp trial-error)
/>22 / 25


Một số dòng thế cơ bản và chồng nhập
dòng đều + lưỡng cực= dòng qua trụ tròn tĩnh

ng.com

U


2U

Ψ=0

r

θ

a

Cố thể Rankine:
a Ñ 0, nguồn + giếng Ñ
lưỡng cực, oval Ñ trụ!
q0
a2 ✏
U
trên bề mặt trụ:
uθs ✏ ✁2U sin θ, và,
1
p ✏ p✽   ρU 2 ♣1 ✁ 4 sin2 θq
2
(Hãy tự chứng minh các công
thức đó!)

/>23 / 25


Một số dòng thế cơ bản và chồng nhập
dòng qua trụ tròn + xoáy tự do= dòng qua trụ tròn quay đều


ng.com

Thành phần vận tốc tiếp tuyến
Γ
bề mặt: uθs ✏ ✁2U sin θ  
2πa
(U=0, Γ ✏ 2πa uθ ✏ 2πa2 ω)
ở điểm dừng:
uθ

Γ
✏ 0 Ñ sin θ ✏ 4πUa

xem xét 4 trường hợp của

Γ
4πUa

như trên hình!

/>24 / 25


Lực tác dụng lên bề mặt trụ tròn

ng.com

y

trụ tĩnh

ps
dθ

Fx

Fy
θ

Fx

x

✏0

Fy

✏0

trụ quay đều

a

F

dòng

F❑dòng

✏0


F❑dòng

✘0

✏ ✁ρΓ U ♣N ④mq

CT Kutta-Joukowski, hiện
tượng Magnus
Bàn luận: tại sao F❑dòng

✘ 0?

/>25 / 25