Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


CHƯƠNG 5:

HỆ PHƢƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH

Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM

a/ Định nghĩa:
* Hệ thống m phƣơng trình tuyến tính, n ẩn là hệ thống
có dạng:

(1 )

a 11 x 1

a 12 x 2

...

a 1n x n

b1

a 21 x 1

a 22 x 2

...

a 2n x n

b2

a mn x n

bm

...
a m 1x 1

a m 2x 2

...

Trong đó: aij, bi (i=1, … , m; j=1, … , n) là những số

cho trƣớc thuộc trƣờng k còn x1, … , xn là các ẩn của
hệ.
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt)

* Ma trận
A

a11

a12

...

a1 n

a 21

a 22

...

a2n


am 2

...

a mn

...
am1

đƣợc gọi là ma trận của hệ (1)
* Ma trận
AB

a11

a12

...

a1 n

b1

a 21

a 22

...


a2n

b2

a mn

bm

...

...

am1

am 2

...

đƣợc gọi là ma trận mở rộng của hệ (1)
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt)

b/ Chú thích:

* Nếu đặt

X

x1

b1

x2

b2

;

B

...

...

xn

bm

thì hệ (1) đƣợc viết dƣới dạng ma trận nhƣ sau: A.X = B
* Nếu B = 0 thì hệ (1) đƣợc gọi là hệ phƣơng trình thuần
nhất.
Toán 2

CuuDuongThanCong.com


/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt)

b/ Chú thích (tt):
* Hệ (1) đƣợc gọi là hệ tƣơng thích nếu hệ này có ít
nhất một nghiệm; ngƣợc lại hệ không tƣơng thích nếu
hệ này không có nghiệm.

* Hệ thuần nhất AX = 0 luôn luôn tƣơng thích vì nó có
ít nhất một nghiệm là X = 0 và nghiệm này đƣợc gọi là
nghiệm tầm thƣờng.

Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH CRAMER

a/ Định nghĩa:
Hệ phƣơng trình Cramer là hệ phƣơng trình tuyến tính
có số phƣơng trình bằng số ẩn và ma trận của hệ
không suy biến.

Tức là hệ có dạng:

(2)

a11 x1

a12 x 2

...

a1 n x n

b1

a 21 x1

a 22 x 2

...

a2 n xn

b2

...

a nn x n

bn


...
a n 1 x1

Trong đó A = (aij)
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

an 2 x2

Mn(K) và detA 0
/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH CRAMER (tt)

b/ Định lý Cramer:
Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:
A
x

i

(i)

,i

1 , 2 , ... , n


A

Trong đó: A(i) là ma trận nhận đƣợc từ A bằng cách
thay cột thứ i bởi cột
b1
B

...
bn

Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH CRAMER (tt)

Chú thích:
* Nếu B = 0 thì hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất là
X = 0.
* Vậy hệ thuần nhất AX = 0 (Ở đây m = n) có nghiệm
không tầm thƣờng
detA = 0.
Ví dụ: giải hệ phƣơng trình sau

Toán 2


CuuDuongThanCong.com

2 x1

x2

2 x3

5

4 x1

x2

2 x3

1

8 x1

x2

x3

5

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH



2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH CRAMER (tt)

Ví dụ (tt) :
Ta có:
detA

2

-1

-2

4

1

2

8

-1

1

18

Nhận xét: detA 0. Vậy đây là hệ phƣơng trình
Cramer nên có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:
A
xi


Toán 2

CuuDuongThanCong.com

(i)

,

i

1, 2 , 3

A

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH CRAMER (tt)

Ví dụ (tt) :
A

A

(2)

(1 )


2

5

2

4

1

2

8

5

1

5

1

2

1

1

2


5

1

1

Vậy nghiệm của hệ là

Toán 2

CuuDuongThanCong.com

A

18

(3)

x1

1

x2

1

x3

2


18

2

1

5

4

1

1

8

1

5

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

36


3. ĐIỀU KIỆN TƢƠNG THÍCH CỦA HỆ

a/ Định lý Kronecker – Capeli
(Đối với hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát m phƣơng

trình n ẩn)
Hệ phƣơng trình (1) có nghiệm
r(A) = r(AB)
b/ Chú ý:
* Hệ p.trình (1) có nghiệm duy nhất

r(A) = r(AB) = n.

* Hệ p.trình (1) có vô số nghiệm
r(A) = r(AB) < n.
(lúc này số ẩn tự do của hệ là n – r(A))
* Hệ phƣơng trình (1) vô nghiệm
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

r(A) < r(AB).
/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


3. ĐIỀU KIỆN TƢƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)

Ví dụ: Giải và biện luận hệ phƣơng trình sau theo tham
số m
mx

y

x


my

x

y

z

1

z

1

mz

1

Ta có:
det A

Toán 2

CuuDuongThanCong.com

m

1


1

1

m

1

1

1

m

(m

2 )( m

1)

2

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


3. ĐIỀU KIỆN TƢƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)

Ví dụ (tt):
a/ Trƣờng hợp:


m

1
det A

m

0

2

hệ có nghiệm duy nhất
1

x
m

2
1

y
m

1

z
m
Toán 2


CuuDuongThanCong.com

2
2
/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


3. ĐIỀU KIỆN TƢƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)

Ví dụ (tt):
b/ Trƣờng hợp m = 1:
Hệ đã cho tƣơng đƣơng với hệ gồm 1 phƣơng trình
x+y+z=1
Lúc này r(A) = r(AB) = 1
Vậy hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn tự do

Toán 2

CuuDuongThanCong.com

x

1

y

t1

z


t2

t1

t2
,

t1 , t 2

R

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


3. ĐIỀU KIỆN TƢƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)

Ví dụ (tt):
c/ Trƣờng hợp m = – 2:
Hệ đã cho trở thành
2x

Ta tính đƣợc:

x

2y

x


y

y

z

1

z

1

2z

1

r(A) = 2 < r(AB) = 3

Do đó trƣờng hợp: m = – 2 hệ vô nghiệm
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


4. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT


Xét hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất
a 11 x 1

a 12 x

2

...

a 1n x

a

a

2

...

a

...

a

(3)

21

x1


22

x

2n

0

n

x

0

n

...
a

m1

x1

a

m 2

x


2

mn

x

n

0

Hệ này viết lại ở dạng ma trận là: A.X = 0
Với A Mmxn(K), x Mnx1(K)
* Hệ thuần nhất luôn có nghiệm tầm thƣờng là:
x = (0, 0, . . ., 0)T.
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


* Vấn đề ta quan tâm ở đây là khi nào hệ thuần nhất có
nghiệm không tầm thƣờng (X 0)
a/ Định lý:
Hệ thuần nhất (3) có nghiệm không tầm thƣờng
r(A) < n (Số ẩn của hệ)
b/ Hệ nghiệm cơ bản:
Nếu r(A) = r < n thì hệ phƣơng trình (3) có vô số
nghiệm trong đó có n – r ẩn tự do.

Do đó nghiệm tổng quát của hệ là:
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


4. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)

b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt):
x1

1

( t 1 , t 2 ,..., t n

r

)

x2

2

( t 1 , t 2 ,..., t n

r


)

r

( t 1 , t 2 ,..., t n

r

)

...
(*)

xr
xr

; ở đây: t1, t2, …, tn-r tuỳ ý

t1

1

...
xn

Toán 2

tn

CuuDuongThanCong.com


r

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


4. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)

b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt):
Trong (*) lần lƣợt cho:
t1 = 1, t2 = 0, …, tn-r = 0
t1 = 0, t2 = 1, …, tn-r = 0
…
t1 = 0, t2 = 0, …, tn-r = 1
Thì ta sẽ đƣợc (n – r) nghiệm là: x1, x2, …, xn - r

Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


1k
2k

...
rk


Trong đó nghiệm xk có dạng:

xk

0
...
1
...
0

Ở đây: Số 1 nằm ở hàng thứ r + k
1k
Toán 2

= (0, 0, …, 1, …, 0) với vị trí thứ k bằng 1.
CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


4. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)

b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt):
Các nghiệm x1, x2, … , xn – r đƣợc gọi là hệ nghiệm cơ
bản của hệ thuần nhất.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản
của hệ phƣơng trình thuần nhất sau đây


x1

2 x2

4 x3

x1

3x2

2 x1
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

5 x2

3x4

0

x3

x4

0

3 x3

2 x4


0
/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


4. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)

Xét:

A

1

2

4

3

1

3

1

1

2


5

3

2

h3

Toán 2

h3

h2

CuuDuongThanCong.com

h2
h3

1

2

0

1

0

0


h 2 h1
h3 2 h2

4
5
0

1

2

4

3

0

1

5

4

0

1

5


4

3
4
0

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


4. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)

Hệ đã cho tƣơng đƣơng với hệ
x1

2 x2

4 x3

x2

5 x3

3x4
4 x4

Ở đây r(A) = 2 < n = 4 nên hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn
số tự do và nghiệm tổng quát có dạng:
x1


Toán 2

14 t 1

x2

5 t1

x3

t1

x4

t2

CuuDuongThanCong.com

11 t 2
4t2

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


4. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)

Ví dụ 1 (tt):
Lần lƣợt cho t1 = 1, t2 = 0 và t1 = 0, t2 = 1, ta có 2
nghiệm cơ bản của hệ là:

14

11

5
x1

và
1
0

Toán 2

CuuDuongThanCong.com

4
x2

0
1

/>
Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH