Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

MỤC LỤC
         Trang
I – ĐẶT VẤN ĐỀ
...............................................................................................................................
2
II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
...............................................................................................................................
3
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Con lắc lò xo
...............................................................................................................................
3
1.2. Những thay đổi bài toán về con lắc lò xo khi đang dao động.
...............................................................................................................................
4
2. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT
...............................................................................................................................
5
2.1.Bài toán cơ bản về con lắc lò xo nằm ngang.
...............................................................................................................................
5
2.2. Phát triển bài toán.
...............................................................................................................................
5
2.2.1. Thay đổi khối lượng của vật bằng cách đặt thêm (hoặc cất bớt) khối 
lượng  ∆m  mà không làm thay đổi vận tốc tức thời
...............................................................................................................................
5

Châu 4

-1-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

2.2.2. Thay đổi khối lượng bằng cách đặt thêm vật  m '  có làm thay đổi vận 
tốc tức thời của vật.
...............................................................................................................................
8
2.2.3. Khi đang dao động, tại vị trí vật có ly độ x  thay đổi độ cứng của lò xo 
bằng cách giữ một điểm trên lò xo cố định lại.
...............................................................................................................................
11
2.2.4. Khi đang dao động, có thêm lực ma sát không đổi (lực cản) tác dụng 
vào vật.
...............................................................................................................................
14
3. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
...............................................................................................................................
19
III – KẾT LUẬN
...............................................................................................................................
20
TÀI LIỆU THAM KHẢO


I – ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán về con lắc lò xo là một bài toán thông dụng của chương trình  
vật lý 12 trong phần dao động điều hòa. Tuy nhiên khi học sinh làm bài tập  
Châu 4

-2-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

về  con lắc lò xo có thay đổi cấu trúc của hệ  con lắc (thay đổi độ  cứng k;  
thay đổi khối lượng m; thay đổi lực ma sát...) trong lúc vật dao động thì học 
sinh gặp nhiều khó khăn để  giải quyết vấn đề. Một số  bài toán về  con lắc 
lò xo khi thay đổi cấu trúc của hệ con lắc sẽ trở thành bài toán khó, học sinh 
dễ nhầm lẫn dẫn đến sai lầm.
Chúng ta đã biết rằng, các bài toán mới, bài toán khó đều được xuất 
phát từ  các bài toán đơn giản nhưng thay đổi một số  yếu tố, một số  dự 
kiện, hoặc cũng có thể  kết hợp từ  nhiều bài toán đơn giản mà thôi. Vậy,  
làm thế nào để học sinh thấy được mối liên hệ giữa các bài toán cơ bản về 
con lắc lò xo và các bài toán phát triển mở rộng nâng cao hơn. Nếu xây dựng 
được cách phát triển bài toán khó từ  bài toán cơ  bản và xây dựng hệ thống  
bài tập theo sự phát triển đó thì học sinh sẽ không còn bỡ ngỡ, lúng túng khi 
gặp bài toán mới, từ  đó sẽ  có cách giải quyết bài toán dễ  dàng, hiệu quả 
hơn.
       Để giải quyết những vấn đề nêu trên, trong quá trình giảng dạy tôi đã  
nghiên cứu và đúc rút kinh nghiệm thông qua đề tài: “Bài toán thay đổi cấu 
trúc con lắc lò xo nằm ngang khi đang dao động”. Trong giới hạn của 

một đề  tài sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ  nghiên cứu về  con lắc lò xo nằm 
ngang, tìm hiểu về ly độ, vận tốc, gia tốc, lực đàn hồi...khi thay đổi về khối 
lượng m, độ cứng k và lực ma sát trong khi con lắc đang dao động.
       Với đề tài này, tôi đã thực hiện và tiến hành giảng dạy cho học sinh và 
thấy được những hiệu quả  nhất định. Học sinh không còn bỡ  ngỡ  khi gặp 
các dạng bài toán nêu trên. Đồng thời đây cũng là một tài liệu tham khảo  
thiết thực cho các đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy vật lý về phần dao 
động của con lắc lò xo. Nội dung đề tài được áp dụng cho các bài toán nâng  
cao từ  bài toán cơ  bản trong chương trình ôn thi kỳ  thi quốc gia  ở  mức độ 
khá, giỏi.

Châu 4

-3-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Con lắc lò xo.
Xét con lắc lò xo gồm vật m gắn vào đầu lò xo có độ  cứng k (khối  
lượng lò xo không đáng kể), đầu kia của lò xo gắn vào một điểm cố  định,  
vật m có thể trượt trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát. Khi cho vật dao 
động điều hòa thì các đại lượng được xác định:
1­ Tần số góc  ω =
1

1
=
T 2π

k
2π
m
,   chu kỳ:  T =  = 2π
,    tần số: f = 
m
ω
k

k
m

2­ Phương trình dao động:  x = Acos( ωt + ϕ )
3­ Phương trình vận tốc:: v = ­  Asin( t +  )  =  Acos( t +   + ).
2

4­ Phương trình gia tốc: a = ­  2Acos( t +  ) = ­  2x
5­ Liên hệ giữa vận tốc, gia tốc, biên độ và ly độ :
+

v
A = x + ( )2
ω

+


v
a2
+
= A2
2
4
ω
ω

2

2

hay : A =

x

2

v

2

2

6­ Năng lượng trong dao động điều hoà của con lắc lò xo:
1
2

1

2

1
2

1
2

+ Thế năng:  Wt =  kx2 =  k A2cos2( t +  ) 
+ Động năng: Wđ =  mv2 =  m 2A2sin2( t +  )  
1
2

=  kA2sin2( t +  ) ; với k = m

2

+ Thế năng và động năng của vật  biến thiên điều hoà 

Châu 4

-4-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ
T
2


với tần số góc  ’ = 2   và chu kì T’ =  .
1
2

1
2

+ Cơ năng:  W = Wt + Wđ =  k A2 =   m 2A2. = hằng số
7­ Lực kéo về ( lực hồi phục): 

F = ­ kx.

+ Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về chính là lực đàn hồi.
8 – Thay đổi khối lượng m của con lắc lò xo làm thay đổi chu kỳ T :

  

T1 = 2π

m1
k

T2 = 2π

m2
k

+ Với các vật m1 và m2:


m1
k
m
T22 = 4π2 2
k
T12 = 4π2

m3 = m1 + m 2

T3 = 2π

m3
k

T32 = T12 + T22

m 4 = m1 − m 2

T4 = 2π

m4
k

T42 = T12 − T22

+ Với các vật m3 và m4:

9 ­ Thay đổi độ cứng k của lò xo làm thay đổi chu kỳ T :
+ Ghép lò xo: Hai lò xo có độ cứng là k1 và k2 được ghép với nhau thành 
hệ lò xo có độ cứng k:

1 1
1
+ Ghép nối tiếp:      = +
⇒ T2 = T12 + T22
k k1 k 2
+  Ghép song song: k  k1 + k2

⇒

1
1
1
= 2+ 2
2
T
T1 T2

+ Cắt lò xo:  Một lò xo ban đầu có chiều dài l 0 và độ cứng k0 được cắt 
thành hai lò xo có chiều dài lần lượt là l1 và l2 độ cứng tương ứng là k1 và k2 
l0

l0

1

2

thì:   k1l1 = k2l2 = k0l0      =>    k1 = k0 l   và   k2 = k0 l     (  với  l1 + l2 = l0  )
1.2. Những thay đổi của bài toán con lắc lò xo khi đang dao động.
a. Khi đang dao động, tại một vị trí có biên độ x ta đặt thêm (hoặc cất 

bớt đi) khối lượng  ∆m  thì các đại lượng A,  , v, a, thay đổi như thế nào?
Trường THPT Diễn 
-5Châu 4


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

 b. Khi đang dao động, tại một vị trí ly độ x ta thay đổi độ cứng k của lò 

xo bằng cách giữ 1 điểm trên lò xo lại thì các đại lượng A,  , v, a, thay đổi 
như thế nào?
c. Khi đang dao động, có thêm lực ma sát (lực cản) không đổi tác dụng  
vào vật thì các đại lượng A,  , v, a, thay đổi như thế nào?
Thực tế cho thấy, học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn khi gặp phải bài 
toán có những sự thay đổi trên. Một phần, học sinh chỉ quen với các bài toán  
cơ bản, phần khác giáo viên khi giảng dạy cũng không có nhiều thời gian để 
mở  rộng thêm vấn đề  của bài toán. Học sinh, chưa biết cách suy luận theo  
những thay đổi của bài toán từ những kiến thức cơ bản đã học, từ những bài 
toán đã biết. Để  giải quyết vấn đề  này, chúng ta sẽ  tiến hành tìm hiểu và 
nghiên cứu  nội dung vấn đề được giải quyết sau đây.
2. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT
2.1.  Bài toán cơ bản về con lắc lò xo nằm ngang.
Một con lắc lò xo gồm vật m gắn vào đầu lò xo độ cứng k, đầu kia của 
lò xo gắn và giá cố định. Cho con lắc dao động trên mặt phẳng nằm ngang 
không ma sát với biên độ A. 
a.   Tính chu kỳ dao động
b. Tính vận tốc, gia tốc của vật m tại vị trí li độ x
c.   Tính thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí ly độ x1 đến vị trí ly độ  x2
­ Hướng dẫn: Vận dụng lý thuyết cơ bản ta có:

2π
k
m
+ Tần số góc  ω =
,      chu kỳ T =   =  2π
ω
m
k

ϕ2

−A

+ Vận tốc và gia tốc tại ly độ x:  v =  ω A2 − x 2 ;   a = ­  2x

M

∆ϕ

N

x2

ϕ1

O

N'

x1


M'

+ Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí ly đọ x1 đến ly độ x2   
∆t =

∆ϕ ϕ 2 − ϕ1 1
x
x
=
= arccos 2 − arccos 1
ω
ω
ω
A
A

2.2. Phát triển bài toán và biện pháp giải quyết.
Châu 4

-6-

Trường THPT Diễn 

A x


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ


2.2.1. Khi đang dao động, tại vị trí vật có ly độ x  thay đổi khối lượng 
của vật bằng cách đặt thêm (hoặc cất bớt) khối lượng  ∆m  sao cho 
không làm thay đổi vận tốc tức thời của vật.
A­  Phân tích hiện tượng và hướng giải quyết bài toán.
a. Thay đổi khối lượng khi ly độ x =  A   (vận tốc của vật v = 0)
Khi đó, biên độ A của vật dao động không thay đổi nhưng tần số góc 
thay đổi dẫn đến chu kỳ, vận tốc và gia tốc của vật thay đổi.
Tần số góc ban đầu:  ω =

k
m

Sau khi thay đổi khối lượng ta có: 
k
m
 =
ω.
m ∆m
m ∆m

 A = A’    và    ω ' =

Chu kỳ T = 

2π
ω'

=> Vận tốc và gia tốc tại vị trí ly độ x: v =  ω ' A2 − x 2 ;   a = ­  ’2x
b. Thay đổi khối lượng của vật khi vật qua VTCB x = 0 (vận tốc vmax)
Khi đó, tần số góc thay đổi, vận tốc cực đại của vật không thay đổi 

dẫn đến biên độ thay đổi.
Ta có:    vmax = v’max  =>   ω A = ω ' A ' . Biên độ của vật:  A’ = 

ω
m ∆m
A  =
A
ω'
m

c. Thay đổi khối lượng khi vật có ly độ x1 (vật có vận tốc v1)
Vận tốc tức thời của vật không thay đổi:   v1 = v’1.  Tần số góc và biên độ 
thay đổi.
v
+ Ban đầu:    A = x + 1
ω
2

2

2
1

=> v12 = ω 2 ( A2 − x 2 )

+ Ngay sau khi thay đổi khối lượng: 
v
A' = x + 1
ω'
2


2
1

Châu 4

2

v
=> A ' = x + 1
ω'
2
1

2

= x12 +

ω2 2 2
m ∆m 2
( A − x1 ) = x12 +
( A − x12 )
2
ω'
m

-7-

Trường THPT Diễn 



Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

Từ đó, thay các giá trị của A’,  ’ vào bài toán cơ bản để tìm vận tốc, gia tốc  
và thời gian của vật dao động (và các đại lượng khác theo yêu cầu bài toán)
B ­ Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: 
Một lò xo gồm  vật M = 1,6 kg dao động điều hòa theo phương ngang.  
Khi vật qua vị  trí cân bằng thì tốc độ  là 3m/s, sau đó vật đến vị  trí biên  
người ta đặt nhẹ  lên vật M một vật m = 900g để  hai vật dính vào nhau và  
cùng dao động điều hòa. Tốc độ cực đại của hai vật sau đó là bao nhiêu?
A. 2,0 m/s

B. 4,0 m/s

C. 2,5 m/s

D. 2,4 m/s

­ Hướng dẫn:  
+ Vận tốc ban đầu qua VTCB:   vmax =  ω A  = 3 m/s
+ Tại vị trí biên, tốc độ của vật M bằng 0, khi đặt thêm vật m thì biên 
độ của hai vật không thay đổi.
Ta có:  A = A’    và    ω ' =

1, 6
4
k

M
ω= ω
 =
ω  = 
1, 6 + 0,9
5
M +m
M +m
4
5

4
5

4
5

=> v’max =  ω '. A ' = ω A = vmax = .3 = 2, 4  (m/s)   ( Đáp án D )
Ví dụ 2:
 Một con lắc lò xo gồm vật m1 = m gắn với lò xo và vật m2 = 3m đặt 
chồng lên vật m1. Hệ dao động điều hòa theo phương ngang với tốc độ cực 
đại là vmax. Khi 2 vật dao động đến vị trí biên, người ta cất vật m 2 đi, còn lại 
vật m1 dao động điều hòa. Tốc độ  của vật m1 sau đó tại vị trí có ly độ  x = 
A/2 là:
A. 

vmax
3

B. 


vmax
 
2

C.  vmax 3

D.  vmax 2

­ Hướng dẫn: 
Châu 4

-8-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

+ Tần số góc ban đầu:  ω =

k
,    tốc độ cực đại ban đầu: vmax = 
m1 + m2

ωA

+ Khi cất vật m2 tại vị trí biên thì biên độ không đổi
 A = A’    và    ω ' =


k
m +m
m + 3m
 = 1 2 ω  = 
ω = 2ω
m1
m1
m

+ Tại ly độ x = A/2, tốc độ của vật m1 còn lại là: 
v =  ω ' A2 − x 2 = 2ω A2 −

A
2

2

= ω A 3 = vmax 3    ( Đáp án C )

Ví dụ 3: 
Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ  khối lượng m = 100g dao động điều  
hòa không ma sát trên mặt phẳng ngang với biên độ A = 10cm. Lúc t = 0 vật  
đang ở vị trí biên, sau khoảng thời gian 0,75 chu kỳ người ta đặt nhẹ nhàng 
một vật m’ = 100g lên vật m sao cho vận tốc tức thời không thay đổi. Sau đó 
hai vật cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động của hệ 2 vật là:
A. 5cm

B. 5 2 cm


C. 2,5cm

D. 10 2 cm

­ Hướng dẫn:  
+ Sau khoảng thời gian 0,75 chu kỳ vật qua vị trí cân bằng theo chiều 
dương, vận tốc cực đại của vật m là:  vmax =  A 
+ Khi đặt thêm vật m’ mà vận tốc của 2 vật không thay đổi:  
           

Ta có:    vmax = v’max  =>   ω A = ω ' A ' . 

           =>   A’ = 

ω
0,1 + 0,1
m + ∆m
A  =
.10 = 10 2(cm)  ( Đáp án 
A  = 
ω'
0,1
m

D )
Ví dụ 4: 
Một con lắc lò xo có 2 vật dao động khối lượng m bằng nhau, chồng 
lên nhau cùng dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ  5cm.  Lúc 

Châu 4


-9-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

hai vật cách vị trí cân bằng đoạn 1cm, một vật được cất đi chỉ còn một vật  
dao động điều hòa. Biên độ dao động của vật còn lại là bao nhiêu?
A. 7cm

B. 4 3 cm

C.  13 cm

­ Hướng dẫn:  Ban đầu tần số góc:   ω =

D. 10cm

k
2m

­ Tại vị trí 2 vật có ly độ x1 = 1cm, vận tốc của hai vật là:
  v12 = ω 2 ( A2 − x12 )
­ Ngay sau khi cất bớt đi 1 vật m, tần số góc:  ω ' =

k
m


Vận tốc tức thời của vật còn lại không thay đổi. Biên độ dao động là A’:
A'2 = x12 +

v1
ω'

2

=> A ' = x12 +

v1
ω'

2

= x12 +

ω2 2 2
2m − m 2
( A − x1 ) = x12 +
( A − x12 )
2
ω'
2m

1
2

1

2

 =  x12 + ( A2 − x12 )  =  12 + (52 − 12 ) = 13(cm)  (Đáp án C )
2.2.2. Khi đang dao động, tại vị trí vật có ly độ x đặt thêm khối lượng 
m '  làm thay đổi vận tốc tức thời của vật.

A­  Phân tích hiện tượng và hướng giải quyết bài toán.
Nếu tại vị trí x, vận tốc của vật là v, đặt thêm vật m’ mà làm thay đổi 
vận tốc tức thời của vật thì bài toán trở thành bài toán va chạm mềm giữa 2 
vật. Sau khi đặt thêm vật m’ vận tốc tức thời của hai vật thay đổi: 
­ Theo định luật bảo toàn động lượng:  mv = (m + m ')V  => V = 
­ Sau đó hai vật dao động với biên độ A’, tần số góc:  ω ' =

mv
m + m'

k
m
=
ω
m + m'
m + m'

­ Áp dụng công thức liên hệ: 
V
A' = x +
ω'
2

2


m + m' 2
m
v
= x +
V = x2 +
k
m + m ' ω2

2

2

*Cũng có thể tính cơ năng của hệ sau khi có thêm vật m’ để tìm biên độ A’: 

Châu 4

-10-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ
1
2

1
2


1
2

V
m + m' 2
                   kA '2 = kx 2 + (m + m ')V 2 =>  A ' = x 2 + 2 = x2 +
V
2

ω'

k

B ­ Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: 
Con lắc lò xo nằm ngang gồm vật m1 = 900g dao động điều hòa với 
biên độ 4cm. Khi m1 qua vị trí cân bằng, người ta thả vật m 2 = 700g lên vật 
m1 sao cho m2  dính chặt ngay vào vật m1. Biên độ  dao động mới của hệ  2 
vật là:
A.  2 2  cm

B. 3 cm

C. 4 cm

D.  3 2  cm

­ Hướng dẫn: 
­ Khi qua vị trí cân bằng, vật m1 có tốc độ:  vmax = ω A
­ Sau khi thả vật m2 lên m1 thì tần số góc:  ω ' =


k
m1
ω
= 
m1 + m2
m1 + m2

­ Tốc độ của hai vật ngay sau khi thả vật m2 lên m1: 
mv

m

1 max
     V =  ω ' A '  =  m + m = m +1m ω A  =>
1
2
1
2

A' =

m1 ω
m1
0,9
A=
A=
.4 = 3cm       ( Đáp án C )
m1 + m2 ω '
m1 + m2

0,9 + 0, 7

Ví dụ 2: 
Một  con lắc lò xo gồm vật m = 5/9 kg và lò xo có độ  cứng k =  
100N/m đang dao động trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát với biên độ 
A = 2cm. Tại thời điểm vật qua vị trí mà động năng bằng thế năng, một vật 
nhỏ  khối lượng m’ = m/2 rơi thẳng đứng và dính vào vật m và 2 vật cùng  
dao động. Khi qua vị trí cân bằng hệ 2 vật có tốc độ bằng bao nhiêu?
A. . 5 12 cm/s 

.B. 

10
cm/s
3

.

C. 30 4 cm/s

D. 20cm/s

­ Hướng dẫn: 
Châu 4

-11-

Trường THPT Diễn 



Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

+ Tần số góc:  ω =

k
30
=
 (rad/s)
m
5

+ Khi động năng bằng thế năng thì ly độ:  x1 = 
                                              và tốc độ của vật:  v1 = 

A
 = 
2

2  cm 

vmax
ωA
 = 
 = 6 10 cm/s
2
2

+ Tốc độ của hai vật sau khi vật m’ dính vào vật m:  V =


mv1
2
= v1 = 4 10
m + m' 3

cm/s
1
2

1
2

1
2

+ Cơ năng của hệ 2 vật:  W' = (m + m ')vm2 ax = kx12 + (m + m ')V 2
                            =>  vmax =

k
x12 + (m + m ')V 2  = 20 cm/s   (Đáp án D )
m + m'

Ví dụ 3: 
Con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ  cứng k = 100N/m gắn với 
vật m1 = 100g. Ban đầu vật m1 được giữ dao cho lò xo bị nén 4cm, đặt vật 
m2 = 300g tại vị trí cân bằng O của con lắc m 1, sau đó buông nhẹ m1 để nó 
dao động đến va chạm mềm với m2  (hai vật dính vào nhau xem là chất 
điểm). Bỏ  qua mọi ma sát, lấy   π 2 = 10 . Quảng đường hai vật đi được sau 
1,9s kể từ lúc va chạm là bao nhiêu?
A. 38cm


B. 38,58cm

C. 40,58cm

D. 42cm

­ Hướng dẫn: 
+ Tại vị trí cân bằng, vận tốc của vật m1 là:  vmax =  ω A = A
+ Ngay sau va chạm mềm với m2:  v’max  =
=> 

Châu 4

k
m1

m1vmax
k
= ω ' A' = A'
m1 + m2
m1 + m2

m1
k
k
A
= A'
  => A’ = 2cm
m1 + m2

m1
m1 + m2

-12-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

+ Sau khi va chạm mềm, hai vật dao động với chu kỳ:
T = 2π

m1 + m2
= 0, 4 s .
k
T
4

+ Sau khoảng thời gian t = 1,9(s) =  19.  vật đi được quảng đường là:
s = 19.A’ = 19.2 = 38 (cm)        ( Đáp án A )

2.2.3. Khi đang dao động, tại vị trí vật có ly độ x  thay đổi độ cứng của 
lò xo bằng cách giữ một điểm trên lò xo cố định lại.
A­  Phân tích hiện tượng và hướng giải quyết bài toán.
+ Ban đầu lò xo có độ cứng k, chiều dài tự nhiên là  l. 
+ Khi giữ một điểm trên lò xo lại thì độ cứng thay đổi là k’ và chiều 
dài còn lại là l’
a. Giữ một điểm trên lò xo cố định khi con lắc qua vị trí cân bằng (x = 

0)
­ Khi đó, độ cứng của lò xo thay đổi nhưng cơ năng của hệ lò xo – con lắc 
không đổi.
l
l'

+ Ta có:    k.l = k’.l’  => k’ =  k  =>  ’ =  ω
1
2

l
l'

1
2

+ Cơ năng:    W = W’    <=>   kA2 = k ' A '2 => A ' = A

k
l'
=A
k'
l

b. Giữ một điểm trên lò xo cố định khi con lắc qua vị trí ly độ x bất kỳ
­ Khi đó, một phần thế năng của lò xo bị mất đi, cơ năng sau khi giữ nhỏ 
hơn cơ năng ban đầu.
1
2


+ Toàn bộ thế năng của lò xo khi ở ly độ x: Wt =  kx 2  chia đều trên 
chiều dài lò xo l

Châu 4

-13-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

+ Khi giữ một điểm trên lò xo, chiều dài lò xo mất đi đoạn  ∆l , thế năng 

mất đi:    ∆Wt =

∆l
∆l 1
.Wt = . kx 2
l
l 2

+ Cơ năng còn lại của hệ con lắc lò xo: 
1
1
∆l 1
l
k l'
W' = W ­ ∆Wt  =>  k ' A '2 = kA2 − . kx 2     với  k’ =  k  hay  =

2
2
l 2
l'
k' l

=> A’ = 

k
∆l
l ' 2 ∆l 2
A2 − x 2  = 
A − x
k'
l
l
l

Từ những kết quả trên, thay vào bài toán cơ bản để tìm vận tốc, gia tốc và 
thời gian của vật dao động (và các đại lượng khác theo yêu cầu bài toán )

B ­ Bài tập ví dụ:
Ví dụ 1: 
Một con lắc lò xo nằm ngang, vật m đang dao động điều hòa với biên độ A. 
Khi vật qua vị trí cân bằng, người ta giữ cố định điểm chính giữa lò xo lại. 
Bắt đầu tư thời điểm đó vật m sẽ dao động với biên độ mới là bao nhiêu?
A. 2A

B. 


A
2

C. 

A
2

D.  A 2

­ Hướng dẫn: 
+ Ban đầu, chiều dài lò xo l, độ cứng k. 
+ Sau khi giữ điểm chính giữa lò xo, chiều dài còn lại l’ = l/2 
   độ cứng: k’ = 2k
+ Khi qua vị trí cân bằng thì thế năng bằng 0, nên sau khi giữ lò xo thế 
năng không mất đi. Cơ năng được bảo toàn: 
1 2 1
k
A
kA = k ' A '2 => A ' = A
=
    ( Đáp án C )
2
2
k'
2

Ví dụ 2: 

Châu 4


-14-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

Một con lắc lò xo bố trí nằm ngang, lúc đầu vật dao động điều hòa 

với chu kỳ T, biên độ A. Khi vật chuyển động qua vị trí có động năng bằng 
thế năng thì giữ cố định một điểm C trên lò xo sao cho chu kỳ dao động mới 
là 
T’ = T/2. Tìm biên độ dao động mới.
A. 

A 5
4

B. 

A 2
4

C. 

A 2,5
4


D. 

A 5
2

­ Hướng dẫn:
+ Khi thế năng bằng động năng: 
1
2

=> Cơ năng:  W = Wd + Wt = 2Wt  =>  Wt = W
+ Khi động năng bằng thế năng, giữ điểm C trên lò xo sao cho chu kỳ 
dao động mới  T’ = T/2  =>  ω ' = 2ω  => k’ = 4k , do đó l’ = l/4
+ Điểm C giữ trên lò xo chia lò lò xo thành 4 phần, phần lò xo mất đi 
là:
∆l = l / 3 .   Phần thế năng mất đi:  ∆Wt =

∆l
3
3
.Wt = Wt = W  
l
4
8

+ Cơ năng còn lại là:
3
8

5

8

1
2

5 1
8 2

        W' = W ­ ∆Wt  =W ­  W =  W <=>  k ' A '2 = . kA2 => A ' = A

5 k A 2,5
=
8 k'
4

( Đáp án C )
Ví dụ 3: 
Con lắc lò xo gồm vật m và lò xo có độ cứng k, chiều dài tự nhiên l0 
dao động điều hòa theo phương ngang không ma sát với biên độ A  = l0/2. 
Tại vị trí lò có chiều dài cực đại, người ta giữ 1 điểm trên lò xo cách vật 
một đoạn bằng  l0. Sau khi giữ, tốc độ cực đại của vật là bao nhiêu?
A.  l0

k
m

B.  l0

k
6m


C.  l0

k
3m

D.  l0

k
2m

­ Hướng dẫn:

Châu 4

-15-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

+ Khi lò xo có chiều dài cực đại, vật ở vị trí biên:  x = A = l0/2
3
2

+ Chiều dài lò xo lúc này là:  l =  l0
1
2


+ Cơ năng của con lắc : W = (Wt )max =  kA2  
+ Khi giữ một điểm trên lò xo, cách vật đoạn l0 chiều dài lò xo mất đi 
1
3

đoạn  ∆l = l0/2 =  l . 
2
3

l
l'

3
2

 + Chiều dài còn lại  l’=  l   độ cứng k’ :    k’ =  k  = k
+ Thế năng mất đi:    ∆Wt =

∆l
1
. ( Wt ) max = .W
l
3
2
3

+ Cơ năng còn lại của hệ con lắc lò xo:  W' = W ­ ∆Wt  =  W
1
2


2
3

2

A'
2 k
=>  k ' A '2 = kA2     <=>    2 = .  = 
2
3

=> A’ =  A =

A

3 k'

4
9

l0
3

+ Tốc độ cực đại của vật sau khi giữ lò xo:
v’max =  ω ' A ' =

l0
3


k'
k
 =  l0
   ( Đáp án B )
m
6m

Ví dụ 4: 
Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m và vật m = 0,1kg,  
dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát. Khi t = 0 vật 
qua vị  trí cân bằng với tốc độ  v   = 40 π   cm/s. Đến thời điểm t = 1/30 s,  
người ta giữ cố định điểm chính giữa của lò xo. Tính biên độ dao động mới 
của vật.
A.  5  cm

B. 4 cm

C. 2 cm

D. 2 2  cm

 
 ­Hướng dẫn:

Châu 4

-16-

Trường THPT Diễn 



Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ
2π
k
+ Ban đầu:
 ω =
= 10π  (rad/s), chu kỳ T = 
 = 0,2 (s)
ω
m

Biên độ:   A = 

vmax
= 4  (cm)
ω
T
6

    Sau thời gian t = 1/30 (s)  =    vật đến vị trí  x1 = 

A 3
 =  2 3  (cm)
2

+ Khi giữ điểm chính giữa lò xo:  
 ­ Chiều dài còn lại l’ = l/2, độ cứng k’ = 2k
­ Phần thế năng của con lắc bị mất:  ∆Wt =
1

2

∆l
1
.Wt = .Wt
l
2
1
2

1 1
2 2

­ Cơ năng còn lại:  W' = W ­ ∆Wt   =>   k ' A '2 = kA2 − . kx12
=> A’ = 

k 2 1 2
( A − x1 )  =  5  (cm)   ( Đáp án A )
k'
2

2.2.4. Khi đang dao động, có thêm lực ma sát không đổi (lực cản) tác 
dụng vào vật.
A­  Phân tích hiện tượng và hướng giải quyết bài toán.
Ban đầu con lắc lò xo gồm vật m và lò xo có độ cứng k đang dao 
động với biên độ A. Khi đang dao động tại vị trí ly độ x có thêm lực ma sát 
(lực cản) tác dụng vào vật m, sau đó vật sẽ dao động tắt dần. Bài toán trở 
về bài toán dao động tắt dần. Ở đây, trong giới hạn của đề tài, ta chỉ xét quá 
trình dao động của vật khi có lực ma sát (lực cản) tác dụng vào vật mà vật 
chưa đổi chiều chuyển động. Cụ thể xét 2 trường hợp sau đây: 

a. Lực ma sát (lực cản) tác dụng khi vật ở vị trí biên  x = A. (Hình vẽ)
Khi đó lực kéo về F = kA lớn hơn lực ma sát Fms = µmg 
O M
Châu 4

-17-

xM

A

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ
ur

Hợp lực Fhl = F – Fms > 0.  và chiều  F hl  hướng về vị trí cân bằng O. 
Khi vật chuyển động, độ lớn lực kéo về F thay đổi, còn độ lớn lực ma sát 
không thay đổi nên Fhl giảm dần. Khi đến điểm M có vị trí xM lực kéo về F 
cân bằng với Fms nên vật đạt vận tốc cực đại tại điểm M.
Khi đó, quảng đường vật đi được từ A đến M:    A’ = A ­ xM
F = Fms => k.xM = µmg => xM =

µ mg
k

Tốc độ cực đại của vật m tại M là vM. Theo định luật bảo toàn cơ 
năng, độ giảm cơ năng đúng bằng công của lực ma sát:

1
2

1
2

1
2

   =>    kA2 − kxM2 − mvM2 = µ mg ( A − xM ) = kxM ( A − xM )
vM2 =

 

k 2
( A − 2 AxM + xM2 ) = ω 2 ( A − xM ) 2    =>  vM = ω ( A − xM ) = ω A '
m

Quá trình tiếp theo của con lắc dao động tắt dần. Vận dụng thêm về dao 
động tắt dần để tìm thời gian, quản đường...
b. Lực ma sát (lực cản) khi vật qua vị trí cân bằng x = 0.(Hình vẽ)
Khi qua vị trí cân bằng O, tốc độ của con lắc ban đầu là cực đại 
                              vmax =  A

A’

A

M’ O
xM’


Sau đó, vật chịu thêm lực ma sát  Fms = µmg vật chuyển động chậm 
dần và dừng lại tại điểm A’ rồi đổi chiều chuyển động. Khi chuyển động 
từ O đến A’, lực kéo về tăng dần đến M’ thì  F = Fms => k.xM’ = µmg => xM’ 
=

µ mg
k

+ Theo định luật bảo toàn cơ năng khi vật qua M’:  
1
2

1
2

1
2

           mvm2 ax − kxM2 ' − mvM2 ' = µ mgxM ' = kxM2 '

Châu 4

-18-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

1
2

1
2

3
2

<=>    kA2 − mvM2 ' = kxM2 ' =>  vM2 ' =

k 2
( A − 3 xM2 ' ) = ω 2 ( A2 − 3 xM2 ' )
m

=>  vM ' = ω A2 − 3xM2 ' . 
 vM’  là vận tốc cực đại trong quá trình dao động có lực ma sát 
1
2

1
2

+ Khi vật đến A’ vận tốc bằng 0 :   mvm2 ax − kA '2 = µ mgA '
1 2 1
kA − kA '2 = kxM ' A ' => A '2 + 2 xM ' A ' = A2 . 
2
2

A’ là biên độ dao động cực đại của con lắc lò xo khi có lực ma sát


B ­  Bài tập ví dụ
Ví dụ 1:
Một con lắc lò xo có độ cứng  k =2N/m và vật m = 80g đang dao động 
theo phương nằm ngang không ma sát với biên độ A = 10cm. Khi lò xo bị 
nén tối đa, người ta tác dụng vào vật m một lực cản không đổi Fc = 0,08N. 
Tính thế năng của vật mà tại đó vật có vận tốc lớn nhất.
A. 0,16mJ

B. 0,16J

C. 1,6J

D. 1,6mJ

­ Hướng dẫn:
+ Tại vị trí vật m có vận tốc cực đại:  Fdh = Fc  
<=>    kx = Fc => x = 

Fc
= 0, 04m
k

1
2

+ Thế năng của con lắc lò xo: Wt =  kx 2 = 1, 6.10−3  (J) = 1,6 (mJ)
Ví dụ 2: (Trích đề thi TSĐH năm 2010)
Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng m = 0,02kg và lò xo có độ 
cứng k = 1N/m. Vật m đặt trên giá đỡ nằm ngang dọc theo trục lò xo, hệ số 

ma sát giữa vật và giá đỡ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10cm 

Châu 4

-19-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

rồi buông nhẹ để con lắc dao động. Lấy g = 10m/s2. Tốc độ lớn nhất của 
vật trong quá trình dao động là:
A. 10 3  cm/s B.  20 6  cm/s C.  40 2  cm/s D.  40 3  cm/s
­ Hướng dẫn: 
k
1
=
= 5 2  (rad/s)
m
0, 02

+ Tần  số góc của dao động:  ω =

+ Ban đầu giữ lò xo bị nén 10cm, do đó biên độ:  A = 10cm.
+ Sau khi thả để vật dao động, đến vị trí M có ly độ xM thì: Fđh = Fms
=> k.xM = µmg => xM =

µ mg

= 0,02 (m) = 2 (cm)
k

+ Khi đó quảng đường của vật đi được là: A’ = A – xM = 8 (cm)
+ Áp dụng kết quả đã chứng minh ở phần lý thuyết trên ta có:
=>  vM = ω ( A − xM ) = ω A ' =  5 2.8 = 40 2  (cm/s)
Ví dụ 3: 
Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng m = 0,2kg và lò xo có độ 
cứng k = 20N/m dao động điều hòa không ma sát trên mặt phẳng nằm 
ngang. Khi vật m đang dao động qua vị trí cân bằng với tốc độ 1m/s người ta 
tác dụng vào vật một lực cản bằng 1/10 lần trọng lực của nó. Lấy g = 
10m/s2. Tính độ lớn của lực đàn hồi cực đại của lò xo sau khi có lực cản tác 
dụng.
A. 2, 02 N

B. 1,98N

C. 0,4N

D. 4N

­ Hướng dẫn:
+ Tại vị trí cân bằng:  Tốc độ của vật là cực đại: vmax =  A
+ Sau khi có lực cản tác dụng vật dao động đến A’ dừng lại rồi đổi 
chiều chuyển động. Khi vật đến A’ vận tốc bằng 0 : 
1
2

1
2


+ Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có:   mvm2 ax − kA '2 = Fc A ' .
Với Fc = 
Châu 4

1
1
P = mg = 0, 2 (N)
10
10

-20-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

Thay các giá trị của k, vmax, Fc  vào phương trình trên ta tìm được 
A’ = 0,099m
+ Lực đàn hồi cực đại: Fmax = k.A’ = 1,98 (N)
Ví dụ 4: 

Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng ngang nhờ đệm từ 
trường với tần số góc 10 π  rad/s và biên độ 6cm. Đúng thời điểm t = 0 lúc lò 
xo dãn cực đại thì đệm từ trường bị mất và vật dao động tắt dần với độ 
giảm biên độ sau nửa chu kỳ là 2cm. Tính tốc độ trung bình của vật kể từ 
lúc t = 0 đến lúc lò xo không biến dạng lần thứ nhất.
A. 53,6cm/s


B. 107cm/s

C. 120cm/s

D. 122,7cm/s

­ Hướng dẫn: 
+ Chu kỳ dao động của vật: T = 

2π
 = 0,2 (s)
ω

.Ax’ O x
0

1

∆A
+ Vị trí mà vật có vận tốc cực đại: x0 =   = 1cm
2

0

A

T
4


+ Thời gian vật đi từ vị trí biên đến vị trí x0  là: t1 =   = 0,05 (s)
+ Thời gian vật đi từ vị trí x0  đến vị trí lò xo không biến dạng:
1

x0

1

1

t2 =  arcsin A − x  = 
arcsin
   0,006 (s)
ω
10π
6 −1
0
A

A

6

+ Tốc độ trung bình: v =  t = t + t = 0, 056 107  (cm/s) ( Đáp án B)
1
2

3. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Châu 4


-21-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

Nội dung đề tài “Bài toán thay đổi cấu trúc con lắc lò xo nằm ngang khi  

đang dao động” đã trình bày ở trên định hướng được cho học sinh cách phát  
triển bài toán về con lắc lò xo từ bài toán cơ bản. Thông qua các trường hợp 
làm thay đổi cấu trúc của con lắc lò xo khi đang dao động, chúng ta thấy  
được nhiều vấn đề được mở rộng, phát triển nâng cao của bài toán. Qua đó, 
học sinh sẽ có được cách tư duy logic về các hiện tượng vật lý xảy ra trong 
bài toán con lắc lò xo khi đang dao động. Nếu chúng ta có thể làm thay đổi  
một yếu tố nào đó liên quan đến cấu trúc của con lắc lò xo, thì bài toán cơ 
bản trở thành bài toán nâng cao hơn.
Đề tài đã được áp dụng giảng dạy cho học sinh khối 12, học tập và ôn 
thi cho kỳ  thi quốc gia năm 2015 đạt được những kết quả  đáng ghi nhận .  
Thông qua các nội dung đã trình bày trong đề  tài, học sinh có cái nhìn tổng 
quát hơn về các dạng bài toán dao động của con lắc lò xo. Mỗi một trường  
hợp đề tài đưa ra đều được phân tích hiện tượng, nêu hướng giải quyết vấn  
đề của bài toán và có các bài tập ví dụ minh họa cho các trường hợp cụ thể.  
Đồng thời, còn mở  rộng thêm các hướng giải quyết cho các bài toán khác 
tương tự.
Trong quá trình giảng dạy, nếu học sinh không chú ý đến những hiện 
tượng diễn ra trong quá trình dao động của con lắc lò xo có thể làm thay đổi  
cấu trúc của nó thì sẽ không thể giải quyết được các bài toán nêu trên. Các  

trường hợp làm thay đổi cấu trúc của con lắc lò xo đã nêu trong đề  tài phù 
hợp với hướng dạy hạy phát hiện và giải quyết vấn đề mang tính sáng tạo, 
đòi hỏi học sinh phải tư duy theo các cấp độ thông hiểu và vận dụng ở mức 
độ cao.
Nội dung đề  tài cũng là một tài liệu tham khảo đáng tin cậy cho các  
thầy cô giáo đang giảng dạy có hệ thống hơn trong chương trình vật lý lớp  
12 và ôn thi kỳ thi quốc gia năm 2015 và những năm tiếp theo. 

Châu 4

-22-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

III – KẾT LUẬN
Qua việc nghiên cứu, tìm hiểu và viết sáng kiến kinh nghiệm với đề 
tài 
“Bài toán thay đổi cấu trúc con lắc lò xo nằm ngang khi đang dao động” tôi 
đã hệ thống được các hiện tượng vật lý diễn ra trong quá trình làm thay đổi 
cấu trúc của con lắc lò xo.
Bước đầu đề  tài đã thu được những kết quả  nhất định trong quá trình 
giảng dạy. Từ  những hiện tượng nêu ra trong đề  tài và các bài tập ví dụ 
minh họa, học sinh đã hiểu sâu hơn và có thể vận dụng để giải quyết được  
những bài toán tương tự  cũng như  phát triển các toán sáng tạo  ở  mức cao 
hơn.
Việc áp dụng kết quả  nghiên cứu của đề  tài vào giảng dạy  ở  các lớp  

học sinh có năng lực trung bình còn gặp khó khăn đôi chút, nhưng khi áp 
dụng cho các lớp học sinh có trình độ  khá, giỏi thì mang lại hiệu quả  cao.  
Từ những bài toán nêu ra trong đề tài, học sinh có thể làm được các bài toán  
khác tương tự, cũng như  các bài toán nâng cao hơn. Đề  tài cũng là một  
chuyên đề quan trọng trong quá trình giảng dạy và ôn thi cho học sinh lớp 12 
của giáo viên.
Sau khi nghiên cứu và viết đề  tài sáng kiến kinh nghiệm này, tôi cũng 
mong các thầy giáo, cô giáo cần tìm tòi nghiên cứu thêm các chuyên đề mới  
để  phát triển kiến thức từ  nội dung cơ  bản thành các chuyên đề  nâng cao 
giảng dạy cho học sinh. Qua đó học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về  các 
bài toán.
Do nội dung đề tài nằm trong giới hạn của một sáng kiến kinh nghiệm 
trong năm học nên các vấn đề  nêu ra còn hạn chế  về  nội dung, nhiều vấn 
đề  khác chưa được khai thác. Trong thời gian tới, hướng phát triển của đề 
Trường THPT Diễn 
-23Châu 4


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

tài là sự  thay đổi của con lắc lò xo treo thẳng đứng, con lắc nằm trên mặt 
phẳng nghiêng và con lắc gắn với hệ lò xo. 
Mặc dù đã rất cố gắng để hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này, song 
nội dung và hình thức trình bày còn nhiều hạn chế, thời gian nghiên cứu 
chưa được nhiều, chắc chắn không tránh khỏi được những thiếu sót. Rất 
mong được sự  đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để  đề  tài hoàn  
thiện hơn.
Xin chân thành cảm  ơn những đóng góp ý kiến của quý thầy cô giáo, 
các bạn đồng nghiệp và các em học sinh.


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Lương Duyên Bình, Vũ Quang: “Vật Lý 12” ; “Bài tập vật lý 12” Nhà 
xuất bản giáo dục 2011 
2. Nguyễn Anh Vinh :  “Cẩm nang ôn luyện thi đại học” – Tập 1. Nhà xuất 
bản Đại học sư phạm Hà Nội 2013
3. Lê Văn Vinh:  “Khám phá tư duy giải nhanh bộ đề thi THPT quốc gia 
môn Vật lý”, Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội 2014
4. Chu Văn Biên: “Bổ trợ kiến thức luyện thi đại học Vật lý 12”, Nhà xuất 
bản đại học quốc gia Hà Nội 2013
5. Phạm Phúc Tuy:  “Một số vấn đề cơ bản về phương pháp viết sáng 
kiên kinh nghiệm ” (Đề tài nghiên cứu khoa học trường CĐSP Bình Dương,  
2011).

Châu 4

-24-

Trường THPT Diễn 


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014­2015                              Giáo viên: Bùi Văn 
Cơ

Châu 4

-25-

Trường THPT Diễn