Hồ quang quý, chu văn lanh
đoàn hoài sơn, Mai văn lưu

Cơ sở

Quang tử học
(dành cho sinh viên và học viên cao học)

Nhà xuất bản đại học quốc gia hà nội


Cơ sở quang tử học

1

_________________________________________________________________

Chng 1

quang học của tia sáng
1.1. Các tiên đề của quang học tia sáng
Tiên đề 1.
Tia sáng truyền lan ở dạng tia (ray). Tia sáng được phát xạ từ
các nguồn ánh sáng (light source) và có thể quan sát được khi chúng
gặp đầu thu (detecter).
Tiên đề 2.
ánh sáng truyền trong môi trường quang học (optical
medium) đặc trưng bởi đại lượng

n 1
gọi là chiết suất (refractive index).

Chiết suất là tỉ số giữa vận tốc ánh sáng trong chân không (c0) và
vận tốc ánh sáng trong môi trường (c). Do đó, thời gian ánh sáng cần
để truyền trong quảng đường có độ dài d bằng d / c nd / c0 . Tức là,
thời gian truyền tỉ lệ thuận với đại lượng

nd
gọi là quang trình (optical path).
Tiên đề 3.
Trong môi trường không đồng nhất (inhomogenous medium),


chiết suất là hàm của toạ độ không gian r ( x, y, z ) , tức là n(r ) . Độ
dài quang trình giữa hai điểm A và B (xem hình 1.1)sẽ là
B


AB n(r )ds ,



(1.1)

A

trong đó, ds là số gia (differential element) độ dài theo quang trình.


Chương 1. Quang học của tia sáng
2
_______________________________________________________________________


Hình 1.1 Quang trình tổng quát của tia sáng.
Thời gian ánh sáng cần để đi từ A đến B tỉ lệ thuận với độ dài
quang trình.
Tiên đề 4.
Nguyên lý Fermat (Fermats principle). Các tia ánh sáng
truyền giữa hai điểm A và B theo một quang trình xác định nào đó
trong một thời gian cần thiết, sao cho thời gian đó có tương quan cực
trị so với quang trình bên cạch. ý nghĩa của cực trị thể hiện ở chỗ tốc
độ thay đổi bằng không, tức là
B


0 n(r )ds



(1.2)

A

Cực trị có thể là cực tiểu và cực đại hoặc là một điểm uốn. Tuy
nhiên, thông thường cực trị là cực tiểu. Trong trường hợp này, chúng
ta có thể phát biểu:
Tia sáng truyền theo quang trình nào mất ít thời gian nhất, tức
là theo quang trình ngắn nhất.
Trong nhiều trường hợp, thời gian cực tiểu đó không chỉ tính
trong một quang trình xác định, mà có thể được tính theo nhiều
quang trình khác nhau. Các quang trình này nối tiếp nhau liên tục.
Hệ quả:

- Trong môi trường đồng nhất tia sáng đi theo đường thẳng.
- Tia sáng khúc xạ qua mặt ngăn cách giữa hai môi trường có
chiết suất khác nhau.
- Tia sáng phản xạ trên mặt gương.


Cơ sở quang tử học

3

_________________________________________________________________

1.2. Các linh kiện quang học đơn giản
Từ các tiên đề trên, chúng ta nghiên cứu một số linh kiện quang
đơn giản được sử dụng để lái các tia ánh sáng.
1.2.1. Gương phẳng (Planar mirror)
Gương phẳng là một mặt phẳng có hệ số phản xạ cao đối với ánh
sáng (hình 1.2).
P1
1

2

P2

Hình 1.2 Phản xạ tia sáng từ gương phẳng.
Tia ánh chiếu vào mặt gương phẳng sẽ bị phản xạ lại. Tia phản
xạ nằm trong mặt phẳng tia tới, tạo bởi tia tới và véc tơ pháp tuyến
của gương tại điểm tới; góc phản xạ bằng góc tới, tức là 1 2 .
1.2.2. Mặt biên phẳng (Planar Boundaries)

Nếu gương phản xạ có hệ số phản xạ thấp (lúc này mặt gương
phẳng gọi là mặt ngăn cách giữa hai môi trường, tương ứng có chiết
suất n1 và n2 ) thì một phần ánh sáng sẽ truyền vào môi trường sau
gương nếu n1 n2 . Đây gọi là hiện tượng khúc xạ ánh sáng. Tia đi
vào môi trường sau gương gọi là tia khúc xạ. Hướng truyền của tia
khúc xạ tuân theo định luật Snell:

n1 sin 1 n2 sin 2 .

(1.3)

Từ hệ ) cho trước, hai phương trình đạo hàm riêng
có thể giải được cho hai quỹ đạo x( z ) và y ( z ) .
Trương trường hợp giới hạn, khi môi trường đồng nhất, tức là,
chiết suất n không phụ thuộc vào x và z, từ (1.15), chúng ta sẽ có
d 2 x / dz 2 0 và d 2 y / dz 2 0 , tức là x và y là hàm tuyến tính của z,
suy ra, quỹ đạo là đường thẳng.
1.3.3 Tấm GRIN
Một tấm GRIN có chiết suất n=n(y) và đồng nhất trên trục x và z,
nhưng thay đổi liên tục trên trục y như trên hình 1.12.

Hình 1.12 Khúc xạ trong tấm GRIN.
Ví dụ, một tấm GRIN có chiết suất thay đổi theo công tua parabol
như sau:

n2 y n02 1 2 y2
trong đó, là hệ số mô tả tốc độ thay đổi của chiết suất và độ dày
d


Cơ sở quang tử học

11

_________________________________________________________________

f

1
.
n0 sin d

1.3.4 Sợi quang GRIN
Sợi quang GRIN là một ống thuỷ tinh hình trụ có chiết suất thay
đổi theo hàm Parabol của bán kính hướng tâm

n2 n02 1 2 2

(1.16)

trong đó, n0 là chiết suất tại trục, là hằng số mô tả tốc độ giảm của
chiết suất, là bán kính hướng tâm.

Hình 1.13. Tia kinh tuyến (a) và tia xoắn ốc (b)
trong sợi quang GRIN.
Phương trình tia của sợi quang GRIN như sau:
d2y
d 2x
2




x
2 y
,
(1.17)
2
2
dz
dz
2 2
2 2
2
với giả thiết x y 1 , tức là chiết suất giảm chậm từ
trục.
Từ (1.17), thấy rằng x và y là hàm điều hòa theo z với chu kỳ
2 / . Vị trí ban đầu x0 , y0 và góc tại z là x 0 dx / dz và
y 0 dy / dz sẽ xác định biên độ và pha của các hàm điều hòa. Do có








Chương 1. Quang học của tia sáng
12
_______________________________________________________________________


sự đối xứng theo chu kỳ, nên nói chung không có mất mát khi chọn
x0 0 . Như vậy, lời giải của (1.17) sẽ là

x z x ,0 sin z

(1.18)
y ,0
y z
sin z y0cos z

Nếu x ,0 0 , tức là tia ban đầu nằm trong mặt phẳng kinh tuyến
(mặt phẳng đi qua trục, mặt y-z), thì tia tiếp tục nằm trong mặt phẳng
đó, tạo nên quỹ đạo hình sin giống như quỹ đạo truyền trong tấm
GRIN (hình 1.13a).
Trong trường hợp khác, x,0 y0 , y ,0 0 , hệ phương trình (1.18)
trở thành
x z y0 sin z
(1.19)
y z y0 cos z
và tia truyền theo quỹ đạo xoắn ốc nằm trên mặt của ống trụ có bán
kính y0 (hình 1.13b). Cả hai trường hợp này, quỹ đạo vẫn nằm trong
sợi quang, do đó, sợi quang được ứng dụng như linh kiện dẫn ánh
sáng. Sợi quang này sẽ được ứng dụng trong thông tin quang.

1.4. Quang học ma trận
1.4.1 Ma trận truyền (transfer matrix)
Một hệ quang là một tập hợp các linh kiện quang học (môi trường
truyền, gương, thấu kính, bản chia, ) xếp kế tiếp nhau giữa hai mặt
phẳng ngang tại toạ độ z=z1 và z=z2. Hai mặt phẳng này được gọi là
mặt phẳng vào và mặt phẳng ra. Hệ này sẽ tác động lên tia sáng đi

qua nó. Một tia sáng được đặc trưng bởi hai tham số: góc lệch so với
trục của hệ và khoảng cách tới trục của hệ y (xem hình 1.14).
Với phép gần đúng cận trục, khi góc lệch của tia sáng so với trục
đủ nhỏ sao cho sin, hệ thức giữa tham số đầu vào và tham số đầu
ra được viết như sau:
y 2 Ay1 B1
(1.20)


Cơ sở quang tử học

13

_________________________________________________________________

2 Cy1 D1

(1.21)

trong đó, A, B, C, D là các số thực, xác định bởi cấu trúc của hệ
quang.

Hình 1.14 Một tia sáng đi vào hệ quang tại vị trí y1 và hướng
theo góc 1 và ra khỏi hệ tại vị trí y2 và hướng theo góc 2.
Phương trình (1.20) và (1.21) có thể viết dưới dạng ma trận sau
y2
y1 A B y1
M

(1.22)

2
1 C D 1
Ma trận M với các thành phần A, B, C, D đặc trưng cho hệ quang,
nhờ đó, có thể xác định được (y2, 2) với bất kỳ (y1, 1) nào, gọi là ma
trận truyền tia sáng.
1.4.2 Ma trận truyền của một số hệ cơ bản
* Truyền lan trong chân không (Free-space propagation)
Tia sáng truyền thẳng trong chân không, do đó, một tia truyền
trong một khoảng d sẽ tuân theo phương trình:
y2 y1 1d
và góc lệch không đổi:
1 2 .
Từ hai phương trình trên, chúng ta có thể dưới dạng ma trận sau:


Chương 1. Quang học của tia sáng
14
_______________________________________________________________________

y2 1 d y1
0 1
1
2

hay ma trận truyền có dạng
A B 1 d
M


C D 0 1


(1.23)

* Khúc xạ trên biên phẳng
Tại một biên phẳng ngăn cách hai môi trường có chiết suất n1 và
n2, góc của tia sáng sẽ thay đổi theo định luật Snell. Trong gần đúng
cận trục, n sin n , còn vị trí của tia không đổi, y1 y2 , do đó, ma
trận truyền có dạng sau:
1
M 0



0
n1
n2

(1.24)

* Khúc xạ trên biên cầu
Sử dụng phương trình (1.8) với gần đúng y1 y2 , chúng ta có ma
trận truyền sau:
1
0

M n2 n1 n1
(1.25)
n R

n

2
2

trong đó, n1 và n2 là chiết suất hai môi trường, R là bán kính cong của
mặt biên, R>0 khi mặt biên lồi, và R<0 khi mặt biên lõm.
* Truyền qua thấu kính mỏng
Sử dụng hệ thức giữa góc ló và góc tới thấu kính (1.11) với gần
đúng y1 y2 , chúng ta có ma trận truyền sau:
1
M 1
f


0

1


(1.26)


Cơ sở quang tử học

15

_________________________________________________________________

trong đó, f là tiêu cự thấu kính, f > 0 khi thấu kính lồi và f < 0 khi
thấu kính lõm.
* Phản xạ trên mặt gương phẳng

Khi phản xạ trên gương phẳng, vị trí của tia không đổi, góc tia
cũng không đổi, do đó, ma trận truyền đơn giản như sau:
1 0
M

0 1

(1.27)

* Phản xạ trên gương cầu
Xem gương cầu như một thấu kính mỏng có tiêu cự f 2 / R ,
trong đó, R là bán kính cong, do đó, ma trận truyền có dạng sau:
1 0

M 2
(1.28)
R 1
trong đó, R <0 khi gương lõm và R > 0 khi gương lồi.
1.4.3 Ma trận của các hệ quang xếp tuần tự (Cascaded Component)
Một hệ quang bao gồm nhiều hệ quang thành phần (ví dụ gồm
khoảng môi trường đồng nhất với một gương, gồm hai thấu kính và
môi trường xen giữa, ) có ma trận truyền riêng M1, M2, , MN.
Tia sáng truyền qua hệ này giống như truyền qua một hệ độc lập có
ma trận sau:
M= MN M2M1

(1.29)

Tia sáng vào từ hệ M1 và ra từ hệ MN. Như vậy, hệ M1 sẽ có tác
động vào tia đầu tiên, sau đó theo thứ tự đến M2 , ... và MN có tác

động cuối cùng.
1.5. Hệ quang tuần hoàn
Hệ quang tuần hoàn là hệ gồm nhiều hệ giống nhau xếp tuần tự
(hình 1.15). Tia sáng truyền qua hệ tuần hoàn tuân thủ ma trận sau:


Chương 1. Quang học của tia sáng
16
_______________________________________________________________________
m

y m A B y0


m C D 0

(1.30)

Đây là ma trận có thể dùng phương pháp lặp để xác định (ym, m)
từ (ym-1, m-1) bằng máy tính.
Từ (1.30) ta dẫn ra hệ thức truy toán cho vị trí của tia

ym2 2bym1 F 2 y m1

(1.31)

Hình 1.15 Hệ quang tuần hoàn.
trong đó
b


A B
2

(1.32)

F 2 AD CB detM

(1.33)

Det[M] là định thức của ma trận M.
Hệ thức truy toán trên chỉ dùng để giải bằng máy tính, sau đây là
phương trình tính chính xác vị trí của tia sau khi đi qua hệ tuần hoàn

ym ymax sin(m 0 )

(1.34)
Để ym là hàm điều hòa, thì cos 1b phải là số thực. Điều này yêu
cầu điều kiện
b 1 hoặc

A B
2

1

(1.35)

trong đó,

0 cos1


b
và y max y 0 / sin 0
F

ymax và 0 là hằng số xác định từ điều kiện ban đầu của y0 và y1.

(1.36)


Cơ sở quang tử học

17

_________________________________________________________________

Các điều kiện trên chính là điều kiện ổn định của quỹ đạo tia.
Một tia sáng truyền qua hệ liên tục, gồm nhiều hệ quang giống
nhau có ma trận truyền (A,B,C,D) với AD-BC=1, theo một quỹ đạo
tuần hoàn khi điều kiện ổn định A D / 2 1 thỏa mãn. Vị trí của
tia sau chu kỳ thứ m sẽ là y m y max sin(m 0 ) , m=0,1, 2,,
trong đó, cos 1 A D / 2 . Giá trị ymax và 0 được xác định từ
giá ban đầu y0 và y1=Ay0+0d, trong đó, 0 góc lệch ban đầu của tia.
Góc của tia liên hệ với vị trí của nó qua hệ thức m ym1 Aym / B
và tuân theo hàm điều hòa m max sin(m 1 ) . Trong gần đúng cận
trục thì max 1 . Quỹ đạo của tia có chu kỳ s khi / 2 là phân số
q/s, trong đó, q là số tự nhiên.

Hình 1.16 Chuỗi chu kỳ của các thấu kính.
Ví dụ: một hệ gồm nhiều thấu kính tiêu cự f, đặt cách nhau một

khoảng d (hình 1.16). Như vậy, hệ quang đơn vị gồm một khoảng
không gian d và thấu kính. Hệ này có A=1, B=d, C=-1/f và D=1-d/f.
Tham số b= (A+D)/2=1-d/2f và giá trị định thức bằng 1. Điều
kiện ổn định tia b 1 hay 1 b 1 sẽ cho ta

0d 4f

(1.37)
tức là, khoảng cách giữa hai thấu kính phải nhỏ hơn bốn lần tiêu cự.
Với điều kiện này thì vị trí của tia tuân thủ hàm điều hòa sau:
d
ym ymax ( m 0 ), cos 1 (1
)
(1.38)
2f
Nếu d=2f, / 2 , khi đó chu kỳ lặp của quỹ đạo là / 2 1/ 4
(hình 1.17a). Do đó, quỹ đạo của một tia bất kỳ sẽ là một đường lặp


Chương 1. Quang học của tia sáng
18
_______________________________________________________________________

lại sau một chu kỳ 4 bước. Nếu d=f, thì / 2 1/ 6 và do đó, quỹ
đạo sẽ lặp lại sau 6 bước (hình 1.17b).

Hình 1.17 Ví dụ về ổn định của quỹ đạo của tia sáng trong hệ
nhiều thấu kính xếp đều nhau. a: d=2f, b:d=f .

Bằng cách tương tự, điều kiện ổn định của tia khi truyền qua hệ

gồm nhiều đôi thấu kính có tiêu cự f1 và f2, đặt cách nhau một
khoảng d, sẽ là

d
d
0 1
1
1
2 f1 2 f 2

(1.39)

Khi thay hệ hai thấu trên bằng hệ hai gương cầu có bán kính cong
R1 và R2, cách nhau một khoảng L, (1.39) sẽ có dạng

L
L
0 1 1 1
R1 R2

(1.40)

là điều kiện ổn định của buồng cộng hưởng quang học cầu, trong đó,
L là độ dài buồng cộng hưởng. Thay các giá trị của L và R1, R2, chúng
ta tìm được chu kỳ ổn định của buồng cộng hưởng quang học. Vấn
đề này, được đề cập trong các giáo trình laser.