SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH

ĐỀ KSCL THPT QUỐC GIA NĂM 2020 – LẦN 1
Bài thi: KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Môn thi thành phần: TOÁN HỌC

THPT NGUYỄN KHUYẾN

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh: .....................................................................
Số báo danh: ..........................................................................

Câu 1: Cho hàm số

y=

ax + b
x + 1 có đồ thị như hình vẽ bên.

.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. 0 < a < b .
B. a < b < 0 .
C. b < 0 < a .
D. 0 < b < a
4
2
Câu 2: Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 2 x mà song song với trục Ox là
A. 0 .
B. 3 .
C. 1 .

D. 2 .
Câu 3: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây
A. (1;3) .
B. ( −1; +∞) .

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ

C. (−2; −1) .

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; 4) .
B. (0; 2) .

( 2; + ∞ ) .
C. (−∞;0) và

( 4; + ∞ ) .
D. (−∞ ;1) và

D. (−∞;0) .


Câu 5: Hình đa diện nào sau đây không có tâm đối xứng?
A. Lăng trụ lục giác đều.
B. Hình bát diện đều.
C. Hình tứ diện đều.
D. Hình lập phương
Câu 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có cạnh bên AA ' = a 2 . Biết đáy ABC là tam giác vuông

có BA = BC = a , gọi M là trung điểm của BC .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B ' C .
a 2
a 5
d ( AM , B ' C ) =
2 .
5 .
A.
B.
a 3
a 7
d ( AM , B ' C ) =
d ( AM , B ' C ) =
3 .
7 .
C.
D.
2x −1
y=
− x + 3 . Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 7: Cho hàm số
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3 , tiệm cận ngang y = 2. .
d ( AM , B ' C ) =

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −3 , tiệm cận ngang y = −2 .
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −3 , tiệm cận ngang y = 2 .
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3 , tiệm cận ngang y = −2 .

y ' = x2 ( x − 2)
có đạo hàm
. Mệnh đề nào sau đây đúng?

( −∞;0 ) và ( 2; + ∞ ) .
A. Hàm số nghịch biến trên
( 2; + ∞ ) .
B. Hàm số đồng biến trên
( 0; 2 ) .
C. Hàm số đồng biến trên
D. Hàm số nghịch biến trên ¡ .
f ( x ) = − x 3 + 21x 2 + 10 x + 2019
Câu 9: Cho hàm số
. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực đại có hệ
số góc bằng
A. 21 .
B. 0 .
C. 2019 .
D. 10 .
4
2
Câu 10: Số giao điểm đồ thị hàm số y = x − x − 2 và đường thẳng y = −2 là:
Câu 8: Cho hàm số

y = f ( x)

A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 3.
Câu 11: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B . Hình chiếu vuông góc của S
( ABCD ) trùng với trung điểm AB . Biết AB = a, BC = 2a, BD = a 10 . Góc giữa hai mặt
trên mặt đáy
( SBD ) và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD theo a

phẳng
3 30a 3
30a 3
30a 3
30a 3
V=
V=
V=
V=
8
4 .
8 .
12 .
A.
.
B.
C.
D.
y=

1 − 4 − x2
x 2 − 2 x − 3 có số đường tiệm cận đứng là m và số đường tiệm cận ngang là n .

Câu 12: Đồ thị hàm số
Giá trị của m + n là
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
′

′
′
a
ABC
.
A
B
C
Câu 13: Cho lăng trụ
có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của A ' lên
( ABC ) trùng với tâm O của tam giác ABC . Mặt phẳng (P) qua BC và vuông góc với AA′ cắt lăng trụ
a2 3
theo thiết diện có diện tích bằng 8 . Thể tích lăng trụ ABC. A′B ′C ′ bằng.
a3 3
a3 6
a3 2
A. 12 .
B. 3 .
C. 12 .

a3 6
D. 12 .


Câu 14: Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.


h ( x) = f 2 ( x) + f ( x) + m
m
Gọi 0 là giá trị nhỏ nhất của tham số m để đồ thị hàm số
có số điểm cực trị
ít nhất. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
m ∈ ( 1; +∞ )
m ∈ ( −∞; −1)
m ∈ ( 0;1)
m ∈ ( −1;0 )
A. 0
.
B. 0
.
C. 0
.
D. 0
.
y = f ( x)
y = f '( x)
Câu 15: Cho hàm số
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ.

f ( x)
x+3 −2
−
>m
x ∈ ( 0;1)
x −1
Bất phương trình 36

đúng với mọi
khi và chỉ khi
f ( 0)
1
f ( 1) + 9
m<
−
.
m≤
.
36
3+2
36
A.
B.
.
C.

m≤

f ( 0)
36

−

1
.
3+2

D.


m<

f ( 1) + 36
.
9

Câu 16: Cho hàm số y = x − 3 x − 3 có đồ thì là đường cong trong hình vẽ bên dưới
4

2

4
2
Với giá trị nào của m để phương trình x − 3 x = m + 3 có 3 nghiệm phân biệt?
A. −4 .
B. −3 .
C. 0 .
D. −5 .
0
Câu 17: Cho khối chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ), SA = a, AB = a, AC = 2a, BAC = 120 . Tính thể tích khối
chóp S . ABC

a3 3
V=
2 .
A.

3
B. V = a 3 .


a3 3
V=
6 .
C.

a3 3
V=
3 .
D.

2
Câu 18: Cho hàm số y = 4 x − x , tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .


Câu 19: Cho hàm số
x0 thì
f ( x0 ) = 0
A.
.

y = f ( x)

B.

x ∈K

có đạo hàm cấp hai trên K và 0
. Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm
f '' ( x0 ) > 0

.

C.

f ' ( x0 ) = 0

.

y=

3x − 7
x + 2 là

D.

f '' ( x0 ) < 0

.

Câu 20: Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số
( 2; − 3) .
( 3; − 2 ) .
( −3; 2 ) .
( −2;3) .
A.
B.

C.
D.
Câu 21: Chohình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Góc giữa hai đường thẳng AC và B′D′ bằng
A. 90° .
B. 45° .
C. 30° .
D. 60° .
max f ( x) = f (2)
3
Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + cx + d (a ≠ 0) biết (0,+∞ )
, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm
[ −3, −1]
số y = f ( x ) trên đoạn
min f ( x) = d + 16a
min f ( x ) = d − 16a
A. [ −3,−1]
.
B. [ −3, −1]
.
min f ( x) = d + 8a
min f ( x ) = d + 32a
C. [ −3,−1]
.
D. [ −3,−1]
{ 4;3} có bao nhiêu cạnh?
Câu 23: Khối đa diện đều loại
A. 8.
B. 12.
C. 20.
D. 6

Câu 24: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

x +1
x +1
x −1
y=
y=
x −1 .
−x +1 .
x +1
A.
B.
C.
D.
Câu 25: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , với AC = 2a , BC = a . Điểm S
( ABC ) bằng 600 . Khoảng cách
cách đều các điểm A, B, C . Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng
( SAB ) bằng:
từ trung điểm M của BC đến mặt phẳng
a 39
3a 13
a 39
a 13
A. 13 .
B. 13 .
C. 26 .
D. 26
x −1
y=
x − 2 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Câu 26: Chohàm số
y=

x −1
−x −1 .

y=

¡ \ { 2}
A. Hàm số nghịch biến trên tập
.
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng mà hàm số xác định.
( 2; +∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên
( −∞; 2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
2x + 3
y=
x − 2 trên đoạn [ −1;1] bằng
Câu 27: Giá trị lớn nhất của hàm số


A. −1 .

B. 1 .

C.

−


1
3.

D.
SA =

SA ⊥ ( ABCD )

−

5
3.

a 6
3 . Tính góc giữa SC và

Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD cạnh bằng a và
,
( ABCD ) .
0
0
0
0
A. 75 .
B. 45 .
C. 60 .
D. 30 .
4
2
Câu 29: Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm kết luận đúng.


A. ac > 0 .

B. a + b > 0 .
C. bc > 0 .
D. ab > 0 .
Câu 30: Cho hàm số y = f ( x) có f '( x) > 0, ∀x ∈ ¡ . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của x để
1
f ( ) < f (1)
x
.

( −∞;0 ) ∪ ( 0;1) .
( −∞;0 ) ∪ ( 1; +∞ ) .
C.

( −∞;1) .
( 0;1) .
D.

A.

B.

y −y
1 3
2
P= 1 2.
y
=

x
−
4
x
−
x
+
4
A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 )
x1 − x2
3
Câu 31: Gọi
là hai điểm cực trị của hàm số
. Tính
17
17
34
34
−
−
A. 3 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 3 .
Câu 32: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

4
2
A. y = − x + 3 x .


4
2
B. y = x − 2 x .

f ( x)

4
2
C. y = x + 2 x .

f ' ( x ) = ( x + 1)

2017

( x − 2)

2018

4
2
D. y = − x + 2 x .

( x − 3)

2019

( x + 5)

2020


Câu 33: Cho hàm số
có đạo hàm
. Hỏi hàm số
f ( x)
có mấy điểm cực trị?
3
A. .
B. 2 .
C. 5 .
D. 4 .
y = f ( x)
[ −2; 2] và có đồ thị là đường cong trong
Câu 34: Cho hàm số
xác định và liên tục trên đoạn
hình vẽ.


M = max f ( x ) , m = min f ( x )
[ −2;2]
[ −2;2]
Đặt
. Khi đó M + m bằng
A. 0 .
B. 8 .
C. 2 .
4
2
Câu 35: Cho hàm số y = x − 2 x + 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số chỉ có đúng hai điểm cực trị.
C. Hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 36: Cho khối chóp S . ABC , trên ba cạnh SA ,
1
1
1
SA′ = SA SB′ = SB SC ′ = SC
3 ,
3 ,
3
. Gọi V và V ′

D. 4 .

B. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị.
D. Hàm số không có cực trị
SB , SC lần lượt lấy ba điếm A′ , B′ , C ′ sao cho
lần lượt là thể tích của các khối chóp S . ABC và

V′
S . A′B′C ′ . Khi đó tỉ số V là.
1
1
1
A. 27 .
B. 3 .
C. 9 .
Câu 37: Bảng biến thiên dưới đây là bảng biến thiên của hàm số nào?

1
D. 6 .


4
2
4
2
4
2
4
2
A. y = − x + 2 x − 5 .
B. y = x − 2 x − 5 .
C. y = x + 2 x + 1 .
D. y = x + 2 x − 5 .
Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
0
M là trung điểm của CD , góc giữa SM và mặt phẳng đáy bằng 60 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng

a 3 15
A. 3 .

a 3 15
6 .
B.

a3 3
C. 6 .

a3 3
D. 3

x+3

y=
y
=
2
x
+
m
x + 1 tại hai điểm M , N sao cho độ
Câu 39: Tìm m để đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
dài MN nhỏ nhất:
A. 1 .
B. −1 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 40: Cho khối chóp S . ABC có thể tích là 16 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,
SB, SC . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP.
A. V = 2 .
B. V = 6 .
C. V = 8 .
D. V = 4 .
Câu 41: Cho hàm số
trình là:
A. y = x + 1 .

y=

3x 2 − 4 x + 5
x −1
. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương

B. y = −6 x + 4 .

C. y = 6 x + 4 .
D. y = 6 x − 4 .
Câu 42: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 1 tại điểm có tung độ bằng 3 là:


A.

y=

1
4
x+
6
3.

B.

y=

1
x −3
6
.

C.

y=


1
x+3
6
.

y=

1
4
x−
6
3.

D.
Câu 43: Cho khối chóp có diện tích đáy bằng 20cm , chiều cao có độ dài bằng 3cm . Tính thể tích V của
khối chóp.
3
3
3
3
A. V = 180cm .
B. V = 20cm .
C. V = 30cm .
D. V = 60cm .
Câu 44: Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC. A′B ′C ′ có đáy là một tam giác vuông cân tại
2

A, AC = AB = 2a, góc giữa AC ′ và mặt phẳng ( ABC ) bằng 30o . Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là
4a 3
4a 2 3

4a 3 3
2a 3 3
3 .
3 .
3 .
A. 3 .
B.
C.
D.
Câu 45: Trung điểm các cạnh của một hình tứ diện đều là đỉnh của
A. Một hình diện đều.
B. Một hình lục giác đều.
C. Một hình chóp tứ giác đều.
D. Một hình bát diện đều.
y = f ( x)
Câu 46: Cho hàm số
xác định trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ

f ( x) = 2
Phương trình
có số nghiệm là
A. 1 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 2 .
Câu 47: Cho hình chóp S . ABC có đường cao SA = 2a , tam giác ABC vuông ở C có AB = 2a ,
·
CAB
= 300 . Tính cô-sin của góc giữa hao mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC )
7

7
7
3 7
A. 9 .
B. 14 .
C. 7 .
D. 14 .
SA ⊥ ( ABCD )
Câu 48: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a , góc ABC = 60° ,
,
3a
SA =
2 . Gọi O là tâm của hình thoi ABCD . Khoảng cách từ điểm O đến ( SBC ) bằng:
5a
3a
5a
3a
A. 4 .
B. 8 .
C. 8 .
D. 4 .
9
7
( −∞;1]
Câu 49: Tìm m để phương trình x + x − 1 − x + m = 0 có nghiệm trên
A. m ≥ −2 .
B. m ≥ 2 .
C. m > 2 .
D. m ≤ −2 .
[ − 2020; 2020 ] của bất phương trình

Câu 50: Có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc đoạn
2
( x + 4 )  ( x + 4 ) + 2 + 1 + x  x2 + 2 + 1 > 0


.
2020
2021
A.
.
B.
.
C. 2022 .
D. 2023 .


----------- HẾT ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN
1-A
11-C
21-A
31-D
41-D

2-C
12-C
22-B
32-B
42-A


3-A
13-A
23-B
33-B
43-B

4-B
14-C
24-B
34-A
44-C

5-C
15-C
25-B
35-C
45-D

6-D
16-B
26-B
36-A
46-D

7-D
17-C
27-C
37-B
47-C


8-B
18-B
28-D
38-B
48-B

9-B
19-C
29-C
39-D
49-A

10-D
20-D
30-C
40-A
50-C

( – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết)

Quý thầy cô liên hệ đặt mua word: 03338.222.55

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: A
Tiệm cận ngang y = a , đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ
Từ đồ suy ra a = 1, b = 3 . Vậy 0 < a < b .

( 0,b ) .


Câu 2: C
3
Ta có y '( x ) = 4 x − 4 x .
Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm bằng 0, suy ra:
x = 0
y '( x) = 0 ⇔ 
 x = ±1 .


Trường hợp 1: x = 0 ⇒ y = 0 suy ra tiếp điểm O(0, 0) . Tiếp tuyến tại điểm O chính là Ox (trường hợp
này loại)
Trường hợp 2: x = 1 ⇒ y = −1 suy ra tiếp điểm M (1, −1) . Tiếp tuyến tại điểm M là:

y = 0( x − 1) − 1 ⇔ y = −1
Trường hợp 3: x = −1 ⇒ y = −1 suy ra tiếp điểm N (−1, −1) . Tiếp tuyến tại điểm N là:
y = 0( x + 1) − 1 ⇔ y = −1
4
2
Vậy đồ thị hàm số y = x − 2 x có 1 tiếp tuyến song song với trục Ox .
Câu 3: A

(1;3) ⊂ ( 1; +∞ )
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng: (−1;1) và (1; +∞) mà
nên
(1;3)
hàm số đồng biến trên khoảng
.

Nhận xét: Các khoảng ( −1; +∞) , (−2; −1) , (−∞;0) không phải là tập con của các khoảng đồng biến của
hàm số đã cho nên các đáp án B, C, D loại.

Câu 4: B
Từ đồ thị suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng: (0; 2) .
Câu 5: C

Hình bát diện đều có tâm đối xứng là điểm H (hình vẽ).
Hình lăng trụ lục giác đều có tâm đối xứng là I (hình vẽ).
Hình lập phương có tâm đối xứng là O (hình vẽ).
Câu 6: D

- Bước 1: Dựng khoảng cách.
( BCC ' B ') kẻ đường thẳng MN / / B ' C , suy ra B ' C / / ( AMN ) .
Trong mặt phẳng
d ( AM , B ' C ) = d ( B ' C ; ( AMN ) ) = d ( C ; ( AMN ) )
Khi đó
.
( AMN ) tại điểm M . Khi đó
Đường thẳng BC cắt
d ( C ; ( AMN ) ) CM
=
= 1 ⇒ d ( B; ( AMN ) ) = d ( C; ( AMN ) )
d ( B; ( AMN ) ) BM
d B; ( AMN ) )
. Ta sẽ tính (
.
( BMN ) kẻ đường cao BI ⊥ MN ; I ∈ MN , trong ( AMN ) kẻ đường cao BK ⊥ AI với K ∈ AI .
Trong


Xét tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC . Mặt khác do ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đứng nên
BB ' ⊥ ( ABC ) ⇒ BB ' ⊥ AB

AB ⊥ ( BCC ' B ') ⇒ AB ⊥ ( BMN ) ⇒ AB ⊥ MN
. Từ đó có
.
MN ⊥ ( ABI )
( AMN ) ⊥ ( ABI ) .
Ta lại có BI ⊥ MN nên
và
( ABI ) ⊥ ( AMN )

( ABI ) ∩ ( AMN ) = AI ⇒ BK ⊥ ( AMN )
 BK ⊥ AI
d B; ( AMN ) ) = BK
Ta có: 
. Từ đó (
.
d B; ( AMN ) ) = BK
- Bước 2: Tính khoảng cách (
.
1
a 2
a
BC a
BN = BB ' =
=
BM =
=
2
2
2.
2

2 và
Ta có tam giác ABC vuông tại B nên
1
1
1
2
4
6
a 6
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ BI =
2
2
2
BN
BM
a
a
a
6 .
Xét tam giác BMN vuông tại B có: BI
1
1
1
1
6
7
a 7
=

+ 2 = 2 + 2 = 2 ⇒ BK =
2
2
AB
BI
a
a
a
7 .
Xét tam giác ABK vuông tại B có: BK
a 7
d ( B; ( AMN ) ) = BK =
7 .
Vậy
Câu 7: D
lim = −2
Vì x→±∞
nên y = −2 là tiệm cận ngang.
lim = −∞
lim = +∞
Vì x →3+
và x→3−
nên x = 3 là tiệm cân đứng.
Câu 8: B
Tập xác định: D = ¡
x = 0
y ' = 0 ⇔ x2 ( x − 2) = 0 ⇔ 
.
x
=

2

Ta có
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có hàm số
Câu 9: B
Tập xác định: D = ¡
f ′ ( x ) = −3x 2 + 42 x + 10

y = f ( x)

nghịch biến trên


21 − 471
x =
3
⇔

21 + 471
x =
f ′ ( x ) = 0 ⇔ −3 x 2 + 42 x + 10 = 0
3

Bảng xét dấu

( −∞; 2 ) và đồng biến trên ( 2; + ∞ ) .



x
y′

−∞
−

21 − 471
3
0
x0 =

+

21 + 471
3
0

+∞
−

21 + 471
3

Từ bảng xét dấu ta có hàm số đạt cực đại tại
 21 + 471 
k = f ′ 
÷
÷= 0
3



Hệ số góc tại điểm cực đại là:
.
Câu 10: D
4
2
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x − x − 2 và y = −2
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
x = 0
⇔
x 4 − x 2 − 2 = −2 ⇔ x 4 − x 2 = 0
 x = ±1
4
2
Vậy đồ thị hàm số y = x − x − 2 và y = −2 cắt nhau tại 3 điểm.
Câu 11: C

AD = 3a ⇒ S ABCD =

Từ giả thiết ABCD là hình thang vuông tại A và B , ta tính được
( ABCD ) : Gọi H là trung điểm AB ; kẻ AK ⊥ BD , HI ⊥ BD
Trong mặt đáy
1
1
1
3a 10
=
+
⇒ AK =
2

2
2
AB
AD
10
∆ABD vuông tại A : AK
Suy ra

HI =

3a 10
20

SH ⊥ BD 
 ⇒ BD ⊥ SI
HI
⊥
BD

Ta có
·
= 600
( SBD ) ; ( ABCD ) ) = ( SI ; HI ) = SIH
Do đó: (
3a 30
⇒ SH = HI .tan 60 0 =
20
2
1
1 5a 3a 30 a 3 30

V = Bh = .
.
=
3
3 2
20
8
Vậy
.
Câu 12: C

5a 2
2


D = [ −2; 2] \ { −1}
Tập xác định:
Dựa vào tập xác định của hàm số ta suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang hay n = 0.
1 − 4 − x2
1 − 4 − x2
lim + 2
= +∞ lim − 2
= −∞
Ta có x →( −1) x − 2 x − 3
; x →( −1) x − 2 x − 3
.
x
=
−
1

Do đó, đường thẳng
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Như vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận
đứng hay m = 1 .
Vậy m + n = 1 .
Câu 13: A

Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của B lên AA′ .
( P ) ≡ ( BCH ) . Do góc ·A′AM nhọn nên H nằm giữa AA′ . Thiết diện của lăng trụ cắt bởi ( P ) là
Khi đó
tam giác BCH .
a 3
2
a 3
AM =
, AO = AM =
2
3
3 .
Do ∆ABC đều cạnh a nên
Theo đề bài

S BCH =

a2 3
1
a2 3
a 3
⇒ HM .BC =
⇒ HM =
8

2
8
4

AH = AM 2 − HM 2 =

3a 2 3a 2 3a
−
=
4
16
4

A ' O HM
AO.HM a 3 a 3 4 a
=
A'O =
=
=
AH
3
4 3a 3 .
AH suy ra
Do hai tam giác A′AO và MAH đồng dạng nên AO
1
1aa 3
a3 3
V = A ' O.S ABC = A ' O. AM .BC =
a=
2

23 2
12 .
Thể tích khối lăng trụ:
Câu 14: C
g ( x) = f 2 ( x) + f ( x) + m ⇒ g '( x) = 2 f ( x) . f '( x) + f '( x)
Xét
⇔ g ' ( x ) = f ' ( x ) ( 2 f ( x ) + 1)

x = 1
 f '( x) = 0 ⇔ 
x = 3
g '( x) = 0 

−1
⇔ x = x1 < 0
 f ( x) =

2
1
g ( 3) = m; g ( x1 ) = m −
4
Ta có:
Bảng biến thiên:


⇔ m−

1
1
1

≥ 0 ⇔ m ≥ ⇒ m0 = min m =
4
4
4

Theo yêu cầu bài toán
m ∈ ( 0;1)
Vậy 0
Câu 15: C
f ( x)
x+3 −2
g ( x) =
−
.
36
x −1
Xét hàm số
f ( x)
1
y = g ( x) =
−
36
x + 3 + 2 có:
Hàm số
f '( x)
1
g '( x) =
+
36
2 x +3 x +3 +2

(Vì

f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 0;1)

Suy ra hàm số

g ( x)

(

)

đồng biến trên

⇒ g ( x ) > g ( 0 ) , ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ g ( x )
g ( x ) > m, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ m ≤

( 0;1) .
f ( 0)
>
−
36

f ( 0)

−

36
Do đó
Câu 16: B

4
2
4
2
Ta có x − 3 x = m + 3 ⇔ x − 3 x − 3 = m .

)

2

> 0, ∀x ∈ ( 0;1)

1
, ∀x ∈ ( 0;1) .
3+2

1
.
3+2 .

4
2
4
2
Do đó để phương trình x − 3 x = m + 3 có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình x − 3 x − 3 = m cũng có
3 nghiệm phân biệt.
4
2
Ta suy ra đường thẳng y = m phải cắt đồ thị hàm số y = x − 3x − 3 tại 3 điểm phân biệt.


Dựa vào đồ thị đã cho, ta thấy giá trị duy nhất thỏa mãn đề bài là m = −3 .
4
2
Vậy m = −3 thì phương trình x − 3 x = m + 3 có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 17: C


Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có diện tích ∆ABC là:
1
1
3
3a 2
AB. AC.sinBAC = .a.2a.
=
.
2
2
2
2
SA ⊥ ( ABC ) nên SA là chiều cao khối chóp S . ABC . Thể tích khối chóp S . ABC là:
1
1
3a 2 a 3 3
V = SA.S ABC = .a.
=
3
3
2
6 .
Câu 18: B

Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 4 . Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số cũng không có tiệm cận đứng.
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là 0.
Câu 19: C
f ' ( x0 ) = 0
x
Theo điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại điểm 0 thì
.
Câu 20: D
lim y = 3
Ta có: x →±∞
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình là y = 3
lim + y = −∞ 
x → ( −2 )

⇒
lim − y = +∞ 
x → ( −2 )

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là x = −2
S ABC =

Suy ra: tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
Câu 21: A

I ( −2;3)

.

Góc giữa hai đường thẳng AC và B′D′ bằng góc giữa hai đường thẳng A′C ′ và B′D′ .

A′C ′ ⊥ B′D ' ⇒ ( AC ; B′D′ ) = 90°
Ta có
.
Câu 22: B
max f ( x) = f (2)
Vì (0,+∞ )
nên ta suy ra a < 0 và phương trình f ′( x) = 0 có hai nghiệm là 2 hoặc −2 nên hàm
( −2, 2 ) và hàm số nghịch biến trên các khoảng khoảng ( −∞, −2 ) ; ( 2; +∞ ) .
số đồng biến trên khoảng
f ′( x) = 3ax 2 + c ⇒ f ′(2) = 0 => c + 12a = 0 .
min f ( x) = f ( −2) = 8a + 2c + d = d − 16a
−2 thuộc [ −3, −1] nên [ −3,−1]
.

Mà
Câu 23: B
Khối đa diện đều loại
Câu 24: B

{ 4;3}

là khối lập phương ⇒ số cạnh là 12.

Vì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 ,tiệm cận ngang y = 1 nên loại đáp án A,C.
Vì đồ thị của hàm nghịch biến nên ta loại D chọn B.
Câu 25: B


Ta có S cách đều các đỉnh A, B, C nên đường cao của hình chóp là đường nối từ đỉnh đến tâm
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

SH ⊥ ( ABC )
Gọi H là trung điểm của AC , ta có
SB tạo với ( ABC ) góc 600 nên góc SBH = 600 .
MH / / ( SAB )
d M , ( SAB ) ) = d ( H , ( SAB ) ) = KH I
Mặt khác
nên (
( là trung điểm của AB ; K là hình
chiếu của H lên SI )
1
BC a
BH = AC = a
HI =
=
0
2
2
2.
Ta có
và SH = BH .tan 60 = a 3 ;
1
1
1
a 39
=
+
⇒ KH =
.
2
2

2
HI
SH
13
Khi đó KH
Câu 26: B
−1
x −1
y'=
< 0 , ∀x ∈ D
2
D
=
¡
\
2
x
−
2
{
}
(
)
x − 2 có TXĐ:
Hàm số
,
.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng mà hàm số xác định.
Câu 27: C
−7

y′ =
< 0 ∀x ≠ 2
2
( x − 2)
⇒ hàm số nghịch biến trên đoạn [ −1;1]
−1
⇒ max y = y ( −1) =
−
1;1
[ ]
3 .
Câu 28: D

y=

·
( ABCD ) là góc SCA
Góc giữa SC và
.
SA
3
·
·
tan SCA
=
=
⇒ SCA
= 300
AC
3

Ta có AC = a 2 và
.
Câu 29: C
Nhìn vào đồ thị ta có nhận xét:
- Bề lõm quay lên trên nên a > 0 .


- Đồ thị hàm số có 3 cực trị nên a.b < 0 ⇒ b < 0 .
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; c ) với c < 0 .
Dựa vào các nhận xét trên ta có bc > 0 chọn đáp án C.
Câu 30: C
Vì f '( x) > 0, ∀x ∈ ¡ nên hàm số y = f ( x) đồng biến trên ¡ .
1
<1

x > 1
x
⇔
⇔
1
x < 0
1 ≠ 0
f ( ) < f (1)

x
x
.
Do đó
Câu 31: D


128 + 34 17
 x = 4 + 17 ⇒ y = −
3
y' = 0 ⇔ 

−128 + 34 17
x = 4 − 17 ⇒ y =

2
y ' = x − 8x −1 .
3

.

128 + 34 17  
−128 + 34 17 
34
A  4 + 17; −
; B  4 − 17;
÷
÷
P=−
÷
÷
3
3
 
 . Vậy
3 .
Khi đó: 

Câu 32: B
y = ax 4 + bx 2 + c ( a > 0 )
Từ đồ thị suy ra đây là hàm số bậc 4 trùng phương có dạng
có 3 cực trị nên
a > 0, b < 0 . Do đó loại đáp án A, C, D.

Câu 33: B
 x = −1
x = 2
f '( x) = 0 ⇔ 
x = 3

 x = −5
Cho

f ( x)
Trong đó chỉ có hai nghiệm x = −1 ; x = 3 là nghiệm bội lẻ nên hàm số
có hai điểm cực trị là
x
=
3
x = −1 và
.
Câu 34: A
Từ đồ thị suy ra M = 4 và m = −4 .
Vậy M + m = 4 − 4 = 0 .
Câu 35: C
'
3
Ta có y = 4 x − 4 x .


y ' = 0 ⇔ 4 x3 − 4 x = 0 ⇔ x = 0; x = ±1 .
Bảng xét dấu

Vậy hàm số có ba điểm cực trị.
Câu 36: A


V ′ SA′ SB ′ SC ′ 1 1 1 1
=
.
.
= . . =
SA SB SC 3 3 3 27 .
Ta có: V
Câu 37: B
+ Từ BBT ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị ⇒ a.b < 0 do đó loại đáp án C, D.
+ Nhánh cuối đồ thị hướng đi lên chứng tỏ hệ số a > 0 do đó loại đáp án A.
Câu 38: B

SA ⊥ ( ABCD )

( ABCD ) là AM .
nên hình chiếu của SM lên
( ABCD ) là góc giữa SM và AM , là góc SMA và bằng 600 .
Do đó góc giữa SM và mặt phẳng
1
a
CD ⇒ DM = CD =
2

2
Vì M là trung điểm của
Vì

Xét ∆ADM vuông tại D , có
Xét ∆SAM vuông tại A , có

AM = AD 2 + DM 2 = a 2 +
SA = AM .tan 600 =

a2 a 5
=
4
2

a 15
2

1
1 a 15 2 a 3 15
VS . ABCD = .SA.S ABCD = .
.a =
3
3 2
6 .
Vậy thể tích của khối chóp S . ABCD là
Câu 39: D
 f ( x ) = 2 x 2 + ( m + 1) x + m − 3 = 0 ( 2 )

x+3

⇔

= x + m ( 1)

 x ≠ −1
Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x + 1
x+3
y=
x + 1 tại hai điểm M , N khi phương trình ( 1) có hai
Đường thẳng y = 2 x + m cắt đồ thị hàm số

( 2 ) có hai nghiệm phân biệt khác −1
nghiệm phân biệt ⇔
( m + 1) 2 − 8 ( m − 3) > 0
m 2 − 6m + 25 > 0
∆ > 0
⇔
⇔ ∀m ∈ R


 −2 ≠ 0
⇔  f ( −1) ≠ 0 ⇔  2 − m − 1 + m − 3 ≠ 0
Gọi

x1 ; x2 là nghiệm của pt ( 2 ) khi đó M ( x1 ; 2 x1 + m ) , N ( x2 ; 2 x2 + m )

⇒ MN = 5 ( x2 − x1 ) = 5 ( x2 + x1 ) − 20 x2 x1
2

2



−m − 1

x1 + x2 =


2

x x = m − 3
1 2
2
Theo Viet ta có 
2

m−3
5
5
 −m − 1 
⇒ MN = 5 
=
m 2 − 6 m + 25 =
÷ − 20
2
2
2
 2 
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = 3 .
Câu 40: A


( m − 3)

2

+ 16 ≥ 2 5

VSANP SA SN SP 1
1
1
=
.
.
= ⇒ VSANP = .VSABC = .16 = 4
4
4
Ta có: VSABC SA SB SC 4
VAMNP AM AN AP 1
1
1
=
.
.
= ⇒ VAMNP = .VASNP = .4 = 2
VASNP
AS AN AP 2
2
2
Vậy V = 2 .
Câu 41: D


3− 2 3
 x1 =
2
y = 2−4 3
3x − 6 x − 1
3
y' =
=0⇔ 
⇒ 1
2

3+ 2 3
( x − 1)
 y2 = 2 + 4 3
 x2 =
3

Ta có:
.
 3− 2 3
  3+ 2 3

A 
;2 − 4 3÷
,
B
;
2
+
4

3

÷
÷ 
÷
3
3




Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình: y = 6 x − 4 .

Câu 42: A
y = 3 ⇒ 3 = x − 1 ⇔ 9 = x − 1 ⇔ x0 = 10 nên M ( 10;3) là tiếp điểm.
Ta có: 0
1
1
y′ =
⇒ k = y′ ( 10 ) =
6.
2 x −1

y=

1
1
4
( x − 10 ) + 3 = x +

6
6
3.

Phương trình tiếp tuyến tại M là:
Câu 43: B
1
1
V = B.h = 20.3 = 20cm3
3
3
Thể tích khối chóp:
.
Câu 44: C


( ABC ) là góc ·ACA′ = 300 .
Góc giữa AC ′ và mặt phẳng
1
1
S ABC = . AB. AC = .(2a )2 = 2a 2
2
2
Diện tích mặt đáy tam giác ABC:
.
2a
AA ' = A ' C '.tan(AC'A') = 2 a .tan 30o =
3.
Chiều cao lăng trụ:
2a

4a 3 4 a 3 3
2
V = AA '.S ABC =
.2a =
=
3 .
3
3
Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ :
Câu 45: D

Gọi Tứ diện đều là ABCD cạnh có độ dài a .
Gọi E , F , G , H , I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , AC , AD , BC , BD , CD . Nối các trung
điểm ta được hình bát diện EFGHIJ
a
EF = EG = EI = EH = JF = JG = JI = JH = FG = FH = IH = IG =
2
Ta có :
( Vì đều là các đường trung bình của các tam giác đều)
1
a
⇒ Các mặt của bát diện là các tam giác đều cạnh có độ dài 2
Mỗi đỉnh của bát diện EFGHIJ là đỉnh chung của đúng 4 tam giác đều
⇒ bát diện EFGHIJ là bát diện đều.
Vậy trung điểm các cạnh của hình tứ diện đều là đỉnh của hình bát diện đều.
Câu 46: D
y = f ( x)
f ( x) = 2
Đồ thị hàm số
và đường thẳng y = 2 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt nên phương trình

có số nghiệm là 2 nghiệm.
Câu 47: C


SA ⊥ ( ABC ) ⇒ CH ⊥ ( SAB ) ⇒ CH ⊥ SB
Trong mp ( ABC ) , kẻ CH ⊥ AB, H ∈ AB ; Vì
(1)
mp
(
SAB
)
HK
⊥
SB
,
K
∈
SB
Trong
, kẻ
(2)
SB ⊥ ( CHK ) ⇒ SB ⊥ CK
Từ (1) và (2) suy ra
( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB

·
·
 KH ⊂ ( SAB ) , CK ⊂ ( SBC ) ⇒ ( ( SAB ) ; ( SBC ) ) = HKC
 KH ⊥ SB, CK ⊥ SB
Vậy ta có 

SA = 2 a; AB = 2a .
·
BC = AB.sin CAB
= 2a.sin 300 = a
·
AC = AB.cosCAB
= 2a.cos300 = a 3
SC = SA2 + AC 2 = 4a 2 + 3a 2 = a 7
∆ABC vuông tại C và CH là đường cao nên
∆SBC vuông tại C và CK là đường cao nên
∆CHK vuông tại H nên

CH =
CK =

HK = CK 2 − CH 2 =

CA.CB
CA + CB
2

2

CS .CB
CS + CB
2

2

=


a 3.a
a 3
=
2
3a + a

=

a 7.a
a 7
=
7a + a
8

7a 2 3a 2
a
−
=
8
4
8

HK
a
8
7
·
cos HKC
=

=
.
=
KC
7 . Do đó chọn đáp án. C.
8 a 7
và
Câu 48: B
Ta có:

1
d ( A, ( SBC ) )
2
Gọi M là trung điểm của BC .
Xét tam giác ABC có: AB = BC và góc ABC = 60° nên tam giác ABC đều
Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác đều ABC
a 3
⇒ AM ⊥ BC , AM=
2 .Mà SA ⊥ BC ( do SA ⊥ ( ABCD ) ) ⇒ ( SAM ) ⊥ BC ⇒ ( SAM ) ⊥ ( SBC )
d ( O, ( SBC ) ) =


( SAM ) ∩ ( SBC ) = SM
( SAM )
Trong mặt phẳng

⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH
từ A kẻ AH ⊥ SM

1

1
1
3a
3a
3a
+
=
⇒ AH =
⇒ d ( A, ( SBC ) ) =
⇒ d ( 0, ( SBC ) ) =
2
2
2
AM
AH
4
4
8
Xét tam giác vuông ∆SAM : SA
3a
SBC
(
)
O đến
bằng 8
Vậy khoảng cách từ điểm
.
Câu 49: A
9
7

9
7
Ta có x + x − 1 − x + m = 0 ⇔ m = 1 − x − x − x
9
7
( −∞;1] , ta thấy f ( x) liên tục và
Xét hàm số f ( x) = 1 − x − x − x trên
−1
f ′( x) =
− 9 x8 − 7 x 6 < 0, ∀x ∈ ( −∞;1)
2 1− x
. Ta có bảng biến thiên:
−∞
x
1
y'
−
y
+∞

−2
9
7
( −∞;1] thì
Dựa vào bảng biến thiên để phương trình phương trình x + x − 1 − x + m = 0 có nghiệm trên
m ≥ −2 .
Câu 50: C
TXĐ: D = ¡
2
2

( x + 4 )  ( x + 4 ) + 2 + 1 > − x  ( − x ) + 2 + 1 ( 1)




Ta có BPT tương đương:

Xét hàm số:
Ta có

f ( t) = t

(

f ′( t ) = t 2 + 2 +1+

f ( t)

) với t ∈ ¡ .

t2 + 2 +1
t2

t2 + 2

> 0, ∀t ∈ ¡
. Vậy

f ( t)


là hàm sốđồng biếntrên ¡ .

liên tục trên ¡ .
( 1) ⇔ f ( x + 4 ) > f ( − x ) ⇔ x + 4 > − x ⇔ x > −2 .
Do đó bất phương trình
x ∈ ( −2; 2020 ] .
Kết hợp điều kiện ban đầu ta có:
Vậy có 2022 nghiệm nguyên.
Mặtkhác