SỞ GD & ĐT TỈNH THÁI BÌNH

ĐỀ KSCL THPT QUỐC GIA NĂM 2020 – LẦN 1

TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐỨC CẢNH

Bài thi: KHOA HỌC TỰ NHIÊN

(Đề thi có 07 trang)

Môn thi thành phần: TOÁN HỌC
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Họ, tên thí sinh: .......................................................................
Số báo danh: ............................................................................
Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng
nào sau đây.

A.  ; 1 .

B.  2;   .

C.  3; 2  .

D. 1;3 .

x2  3
Câu 2: Cho hàm số y  f  x   2
. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của hàm số là?
x 1
A. 1 .

C. 3 .

B. 2 .

Câu 3: Cho x, y là hai số nguyên thỏa mãn: 3x.6 y 
A. 755 .

15

2 .6
. Tính x. y ?
950.1225
C. 425 .

B. 450 .

D. 4 .

40

D. 445 .

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 30o . Tính thể tích
khối chóp tứ giác đều đã cho?
A.

a3 3
.
12


B.

a3 3
.
18

C.

a3
.
6

D.

3a 3
.
16

Câu 5: Hàm số f  x   log 2  x  2  có tập xác định là ?
A.  2;   .

B. [2; ).

C. (; 2].

D.  ; 2  .

Câu 6: Đồ thị có hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào ?


x

A. y  2 .
x

1
B. y    .
2

C. y  log 2 x.

D. y  log 1 x.
2

Trang 1


Câu 7: Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, biết khối lăng trụ có thể tích bằng

2 3 . Tính cạnh của lăng trụ.
A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 6.

Câu 8: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ sau:


Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x  3 .

B. y  3 .

C. x  1 .

D. x  2 .

Câu 9: Cho hình chóp S. ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy , đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,
góc giữa mặt  SBC  và đáy bằng 600 . Tính khoảng cách từ A đến  SBC  .
A.

a 3
.
3

B.

Câu 10: Cho hàm số f  x  

a 3
.
4

C.

a
.
2


D.

3a
.
4

2x  m  3
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f  x 
xm

nghịch biến trên 1;  
A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. Vô số.

Câu 11: Cho hàm số f  x   x 2  3x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 1  2100 ; 2100  1 bằng A
ta có
A. A  2200  3.2100 .

B. A  f 1  2100  .

C. A  2200  2100  3 .

D. A  2200  2100  3 .


Câu 12: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  trên đoạn  0; 4 là ?
A. f  0  .

B.  4 .

C. 1 .

D. 3 .

Câu 13: Cho khối lăng trụ ABC. ABC có thể tích bằng 18 . Tính thể tích khối tứ diện AABC .
A. 9.

B. 6.

C. 12.

D. 4.

Câu 14: Cho f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ, hỏi tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số y  f  x  là bao nhiêu?

Trang 2


B. 0 .

A. 1 .


C. 2 .

D. 3 .

Câu 15: Cho hai số dương a,b , a 1 , thỏa mãn log a2 b  log a b2  2 . Tính log a b .
A. 2 .

B.

4
.
5

C.

8
.
5

D. 4 .

Câu 16: Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA  2a và tạo với đáy
góc 600 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD .
A.

a3 3
.
6

Câu 17: Hàm số f  x  

A. f   x   61 x ln 6 .

B.

a3 3
.
12

.

a3 3
.
2

D.

a3 3
.
3

32 x
có đạo hàm là
2x
32 x ln 6
B. f   x  
.
4x

Câu 18: Hàm số f  x    x 2  x 
A.


C.

3

D. f   x   9.6 x ln 6 .

C.  ;0   1;   .

D.  0;1 .

có tập xác định là

\ 0;1 .

B.

32 x ln 2
C. f   x   x
.
4 ln 3

Câu 19: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp SABC
A.

a3
6

B.


a3 3
18

C.

a3 3
12

D.

a3
8

Câu 20: Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu f   x  như hình vẽ. Hàm số f  x  nghịch biến trên  a; b 
với a  b . Tìm giá trị lớn nhất của b  a .

A. 10

C. 8

B. 2

D. 5

Câu 21: Cho hàm số f  x   x 4  x 2  2 . Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f  x  là
A.

2


B.

2
2

C. 1



D.

1
2

D.

27
.
8



Câu 22: Cho hai số a,b thỏa mãn  log 2 a  . logb 2  4 . Tính log ab a .
A.

2
.
3

B.


8
.
9

C.

4
.
3

Câu 23: Hàm số f  x   x  ln  x  3 có đạo hàm là ?
Trang 3


A. f   x   1 

1
.
x3

B. f   x   1 

Câu 24: Cho hàm số f  x  

C. f   x   1 

1
.
x3


D. f   x   1 

1
.
 x  3 e

2x  m  3
. Gọi A , a lần lượt là GTLN , GTNN của hàm số f  x  trên
x2

3;10 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m
A. 51 .

e
.
x3

để 5  A  a  20 .
C. 53 .

B. 52 .

D. 54 .

Câu 25: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ, số giá trị nguyên của tham số m để phương trình

f  cos 2 x   m có nghiệm là

A. 2 .


B. 3 .

C. 4 .

D. 5 .

Câu 26: Cho hàm số f  x   x 4   m  2  x 2  2m  8 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn

10;10 để đồ thị hàm số cắt trục Ox
A. 11 .

tại 4 điểm phân biệt?

B. 5 .

Câu 27: Cho hàm số: f  x  

C. 6 .

D. 7 .

x  3  x2  3
. Kết luận về số tiệm cận của đồ thị hàm sô nào sau đây
x2  x  2

đúng?
A. Đồ thị có một tiệm cận ngang y  0 và không có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị có một tiệm cận ngang y  0 và tiệm cận đứng x  2 .
C. Đồ thị có một tiệm cận ngang y  0 và hai tiệm cậnđứng x  2, x  1 .

D. Đồ thị có hai tiệm cận ngang y  0, y  2 và tiệm cận đứng x  1 .
Câu 28: Cho hàm số f  x   x3  3x 2  mx  5 . Số giá trị nguyên thuộc  10;10 của tham số m để hàm
số f  x  đồng biến trên khoảng 1;   .
A. 21 .

B. 19 .

C. 8 .

D. 10 .

Câu 29: Cho hình chóp S. ABC có thế tích bằng 12 , gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , M là trung
điểm của SA . Tính thể tích khối tứ diện SMGB .
A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D.

8
.
3

Trang 4


Câu 30: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ , phương trình f  x   f  2  có bao nhiêu
nghiệm phân biệt


A. 3 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 2 .

Câu 31: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có cạnh đáy bằng a , M là trung điểm cạnh CC  biết
hai mặt phẳng  MAB  v \`a  MAB tạo với nhau góc 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. ABC .
A.

a3 3
.
4

B.

a3
.
2

C.

a3 3
.
2

D.


a3 3
.
3

Câu 32: Cho hàm số f  x    x  2a  x  2b  a  ax  1 . Có bao nhiêu cặp  a; b  để hàm số f  x  đồng
biến trên

.

A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. Vô số.

Câu 33: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ . Tính khoảng cách giữa hai điểm cực đại của đồ thị
hàm số y  f  x   2 .

A. 4 .

B. 3 .

C. 7 .

D. 5 .

Câu 34: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC  a , các mặt bên của hình

chóp cùng tạo với đáy góc 45 . Tính khoảng cách giữa AB và SC .
A.

a 3
.
3

B.

a 6
.
4

C.

a
.
2

D.

3a
.
4

Câu 35: Cho hàm số f  x   x ln  x  1,  , tiếp tuyến của đồ thị f  x  tại điểm có hoành độ x  0 cắt
đường thẳng y  2 x  1 tại điểm A  a; b  . . Tính 2a  b ?
A. 1.

B. 1.


C. 3.

D. 3.

Câu 36: Cho đồ thị các hàm số y  x , y  x  trên khoảng  0;   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 0    1   .

B.   0  1   .

C. 0    1   .

D.   0  1   .

Trang 5


Câu 37: Cho hàm số f  x  

x2   x  2 x  2  m
6 x 2

. Biết hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 10 , tìm giá trị

lớn nhất của hàm số f  x  .
A. 14 .

B. 24 .


C. 34 .

D. 44 .

Câu 38: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA  2a . Trong trường hợp
khoảng cách giữa AB và SC lớn nhất hãy tính giá trị lớn nhất thể tích khối chóp S. ABCD .
A.

a3 3
4

B.

a3
4

C.

2a 3
3

D.

a3 3
3

Câu 39: Cho tứ diện ABCD . Hỏi trong không gian có bao nhiêu điểm M thỏa mãn điều kiện: các khối
tứ diện MABC , MBCD , MCDA , MABD có thể tích bằng nhau?
A. 1 .


B. 2 .

C. 4 .

D. 5 .

Câu 40: Cho hàm số f  x   x3   m2  1 x 2   2m  3 x . Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số
y  f  x  có hai điểm cực đại và khoảng cách giữa hai điểm cực đại bằng 2 .

A. 1 .

B. 0 .

C. 2 .

D. 4 .

Câu 41: Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a , gọi M , N lần lượt là trung điểm của
AD và CC  . Tính thể tích khối tứ diện ABMN theo a .

A.

a3
.
4

B.

3a 3
.

16

C.

a3
.
8

D.

a3
.
6

Câu 42: Cho hàm số f  x   mx  2019 x 2  1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có cực trị?.
A. 4037 .

B. 2019 .

C. 2020 .

D. 1009 .

Câu 43: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a , gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, BC . Đường
thẳng qua J và song song với DI cắt mặt phẳng  ACD  tại P . Tính thể tích khối tứ diện PBCD .
a3 3
A.
.
4


a3
B.
.
4

a3 2
C.
.
24

a3 2
D.
.
12

Câu 44: Cho hàm số f  x   x 4   m  2 x3  mx  3 . Trong trường hợp giá trị nhỏ nhất của f  x  đạt giá
trị lớn nhất hãy tính f  3 ?
A. 12 .

B. 27 .

C. 47 .

D. 54 .

Câu 45: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có tất cả các cạnh bằng a , M là điểm di chuyển trên
đường thẳng AC  . Tính khoảng cách lớn nhất giữa AM và BC 
A.

a 34

.
6

B.

a 17
.
4

C.

a 14
.
4

D.

a 21
.
6

Câu 46: Cho hàm số f  x   x3  3x  1 . Số nghiệm của phương trình f  f  x    f  2  là?
A. 1 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 9 .


Trang 6


Câu 47: Cho hàm số bậc ba f  x   ax3  bx2  cx  d . Biết hàm số có cực đại và cực tiểu. Gọi A là điểm
cực đại của đồ thị hàm số, tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A cắt đồ thị tại điểm B và AB  6 . Tính

xCD  xCT
B. 3 .

A. 2 .

D. 6

C. 4 .

a 3
và SA vuông
2
góc với đáy, M là điểm thuộc miền trong của tam giác SBC . Trong trường hợp tích khoảng cách từ M

Câu 48: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA
đến các mặt phẳng  SAB ,  SAC  , ABC  lớn nhất hãy tính AM .
A.

a 3
.
9

B.


a 6
.
12

C.

a 21
.
9

D.

a 15
.
6

Câu 49: Cho hàm số f  x   ax 3  bx 2  cx  d , biết hàm số đạt cực đại tại x  3 và đạt cực tiểu tại

x  2 . Hỏi tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. 5 .

B. 3 .

 x  1  x  2 
f  x   f 1

C. 2 .

là


D. 1 .

Câu 50: Cho hàm số f  x   x3  3x  1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
2019. f





x  1  3  x  2  m có tổng tất cả các nghiệm phân biệt bằng 4 ?

B. 1232 .

A. 1516 .

D. 1517 .

C. 895 .
----------- HẾT ----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN
1-C

2-C

3-B

4-B


5-A

6-D

7-A

8-D

9-D

10-C

11-B

12-D

13-B

14-C

15-B

16-D

17-D

18-B

19-D


20-C

21-A

22-B

23-A

24-C

25-D

26-B

27-A

28-C

29-A

30-C

31-

32-B

33-D

34-B


35-B

36-A

37-D

38-D

39-D

40-A

41-C

42-A

43-C

44-D

45-C

46-C

47-C

48-D

49-D


50-

( – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết)

Trang 7


Quý thầy cô liên hệ đặt mua word: 03338.222.55

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: C
Từ bảng biến thiên ta có hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  3; 2  .
Câu 2: C

x2  3
1
 xlim
 x 2  1
 y  1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có 
2
 lim x  3  1
 x  x 2  1

x2  3
lim
 x 1 x 2  1  

Ta có 

 x  1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
2
x

3
 lim
 
 x  1 x 2  1
Vậy tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 3.
Câu 3: B
Ta có:
VT  3x.6 y  3x.  2.3  2 y.3x x  y
y

215.  2.3
215.640
215.240.340 255.340
VP  50 25 

 50 125  25.385
50
25
100
50
25
9 .12
32  . 22.3 3 .2 .3 2 .3
40

y  5

y  5

Suy ra 2 y.3x  y  25.385  
 x  y  85  x  90

Vậy x. y  5.  90   450
Câu 4: B

Trang 8


Xét hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa một bên và đáy bằng 300
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm AD
 SO  AD
 AD   SHO   AD  SH
Khi đó 
OH  AD
 SAD    ABCD   AD

Vì OH  AD
  SAD  ;  ABCD   SHO  300
 SH  AD


Thể tích khối chóp S. ABCD là: VS . ABCD 

1
a3 3
SO. S ABCD 
3

18

Câu 5: A
Hàm số xác định khi x  2  0  x  2; suy ra TXĐ D   2;  
Câu 6: D
Quan sát đồ thị ta thấy:
+) Hàm số nghịch biến  cơ số bé hơn 1 loại phương án A và C.
+) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy  phương án D phù hợp.
Câu 7: A
Gọi x  x  0  là độ dài cạnh của lăng trụ tam giác đều đã cho.
Ta có diện tích đáy là

x2 3
4

Thể tích bằng 2 3 nên x.

x2 3
2 3x2
4

Câu 8: D
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm x  2.
Câu 9: D

Trang 9


Gọi N là trung điểm cạnh BC  AN  BC; AN 


a 3
2


 SA  BC  SA   ABC  
Ta có 
 BC   SAN   BC  SN

 AN  BC

Kẻ AK  SN  AK   SBC   d  A;  SBC    AK

 ABC    SBC   BC

0
 AN   ABC  ; AN  BC   SBC  ;  ABC   SN ; AN  SNA  60

 SN   SBC  ; SN  BC

 





Xét tam giác AKN vuông tại K ta có: AK  AN . sin 600 

a 3 3 3a
.


2
2
4

Câu 10: C
Ta có: x  m
Ta có : f '  x  

m  3

 x  m

2

Để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;    thì
m  3  0
m  3m

 f '  x   0, x  1;  


 3  m  1



m


;1
m



;1




x

m







Vậy giá trị nguyên của tham số m là: 2;  1; 0;1.
Câu 11: B
Ta có f '  x   2 x  3  f '  x   0  x 
f 1  2100   2200  2100

3
2

1
3
f  
4
2


f 1  2200   2200  2100

Trang 10


Vậy A  f 1  2100 
Câu 12: D
Vì hàm số nghịch biến trên khoảng  1; 3 và 0   1; 3 nên f  0   f  3  3
Vì hàm số đồng biến trên khoảng  3;    và 4   3;    nên 3  f  3  f  4 
Vậy min f  x   f  3  3.
0;4

Câu 13: B

1
1
Ta có: VAA ' B 'C'  VABC . A ' B 'C '  .18  6
3
3
Câu 14: C
Ta có :

lim f  x   

  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  2
lim f  x   2 
x 



x 

lim f  x   

  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1
lim f  x   1 
x 1

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Câu 15: B
Ta có
5
1
4
log a2 b  log a b2  2  log a b  2log a b  2  log a b  2  log a b 
2
2
5
Câu 16: D
x 1

Trang 11


Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến (ABCD).



Ta có: SA,  ABCD 


   SA, HA

 SAH  600  SH  SA.sin SAH  a 3

ABCD là hình vuông cạnh a nên S ABCD  a 2 .
1
a3 3
Thể tích khối chóp S . ABCD : V  SH .S ABCD 
3
3

Câu 17: D
Ta có f  x  

32 x
 9.3 x.2 x  9.6 x  f '  x   9.6 x ln 6
2x

Câu 18: B
Do 3 



x  0
nên để hàm số xác định thì x 2  x  0  
x  1

Vậy tập xác định của hàm số là D 

\ 0; 1.


Câu 19: D

Gọi H là trung điểm của cạnh AB.
Suy ra SH  AB; SH  a

3
( SAB đều cạnh a)
2

Trang 12



 SAB    ABC 
Mà 

 SAB    ABC   AB
Suy ra SH   ABC.
1
1
3
3 a3
Vậy VS . ABC  SH .SABC  .a. .a 2

3
3
2
4
8

Câu 20: C

+ Dựa vào bảng xét dấu f '  x  suy ra hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng  5; 3 là khoảng có độ dài
lớn nhất, hay giá trị lớn nhất của b  a  3 –  5   8.
Câu 21: A


x  0

1

3
y '  4 x  2 x, y '  0   x 
2

1

 x  2
Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của hàm số là

1
2

 1 

 2
2



Câu 22: B

a  0

Điều kiện để các lôgarit có nghĩa: 0  b  1
ab  1






Ta có:  log 2 a  . logb 2  4
1


1
1
  logb 2 2  .  log 2 a   4  .  logb 2  .  log 2 a   4  .logb a  4  logb a  8
2
2


logb a
logb a
8
8




Khi đó log ab a 
logb  ab  logb a  logb b 8  1 9

Câu 23: A
Trang 13


Ta có f  x   x  ln  x  3  f '  x   1 

1
.
x3

Câu 24: C
Hàm số có TXĐ D 
Suy ra hàm số

\ 2. Ta có y ' 

7m

 x  2
f  x  là hàm số đơn điệu trên  3; 10 
2

với mọi m  7

m  3 m  17


3;10
3;10
5
12
m  3 m  17
17m  121
Khi đó 5  A  a  20  5 

 20  5 
 20
5
12
60
17m  121
179
1079
5
 20 
m
60
17
17
Vì m  Z nên m11, 12,...,63 suy ra có 53 giá trị nguyên của m thỏa để bài.
 min f  x   max f  x   f  3  f 10  

Câu 25: D
Ta có 1  cos 2 x  1, x 

Do đó, đặt t  cos2 x , khi đó t   1; 1


Để phương trình f  cos 2 x   m có nghiệm thì khi và chỉ khi phương trình f  t   m có nghiệm

t   1;1
Dựa vào đồ thị hàm số f  x  ta thấy phương trình f  t   m có nghiệm t   1;1 khi và chỉ khi

1  m  3
Vì m nên m1; 0; 1; 2; 3.
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 26: B
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y  f  x   x4 –  m  2  x2  2m – 8 và trục Ox  y  0 
là x4   m  2  x2  2m  8  0 1
Đặt t  x 2 điều kiện t  0. Khi đó phương trình (1) trở thành t 2   m  2  t  2m – 8  0  2  .
Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt hay
phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t1  t2 .
   m  2  2  4.1. 2m  8  0



 
m2  4m  4  8m  32  0


0

    m  2


 
 0
 m  2  0

S  0  
1
P  0

 2m  8  0


 2m  8
 1  0
 m  6 2  0

m  6
Do m thuộc đoạn  10; 100 nên m5; 7; 8; 9; 10.

m  2
m

4

m  4


Vậy có 5 giá trị nguyên của m thuộc đoạn  10;10 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 27: A
Trang 14


Điều kiện xác định của hàm số:
2


x  3  0
 x  ;  3    3;  \ 2
 2
x

x

2

0


lim y  0;lim y  0;lim y  1;lim y  1



x 

x 

x  2



x 2

Câu 28: C
f '  x   3x2  6 x  m; f '  x   0 x  1;    3x 2  6 x  m  0 x  1;  
 m  3x 2  6 x x  1;    m  max g  x 
1; 


g  x   3x 2  6 x  g '  x   6 x  6; g '  x   0  x  1
g '  x   0x  1;    max g  x   g 1  3  m  3
1; 

Vậy m 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Câu 29: A

Ta có

VS .MGB SM 1
1
1

  VS .MGB  VS . AGB ; mặt khác VS . AGB  VS . ABC  4
3
VS . AGB
SA 2
2

Vậy VS .MGB  2
Câu 30: C
Dựa vào bảng biến thiên

Ta có f  x   f  2  có bốn nghiệm phân biệt
Câu 31:

Trang 15



Ta có A ' B '/ / AB nên giao tuyến của hai mặt phẳng  MAB  v\a  MAB  qua điểm M và song song AB.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và A'B' suy ra MI  MK và MI, MK cùng vuông góc với AB.
Khi đó góc giữa  M AB  v \ a  MA ' B  là góc giữa hai đường MI, MK
Xét hai trường hợp.
Trường hợp 1: IMK  600  MIK  600  MIC  300
 CC '  2CM  2CI .tan 300  2.

a 3 1
a2 3
a3 3
.
 a . Suy ra VABC . A ' B 'C ' 
.a 
4
4
2
3

Trường hợp 2: IMK  1200  MIK  30  MIC  600
0

a2 3
a 3
3a 2 3
.3a 
. 3  3a . Suy ra VABC . A ' B 'C ' 
4
2
4
Không chọn được đáp án theo đề xuất phản biện

Câu 32: B
a  0 hàm số không đồng biến trên
nên ta xét a  0
 x  2a

1
Ta có f  x   0   x  2a  x  2b – a  ax  1  0   x  
a

 x  a  2b

 CC '  2CM  2CI .tan 600  2.

Hàm số đồng biến trên

1

a
1


2a    a  2b

2


a
a  0
b  3


2 2

Vậy chỉ có một cặp  a; b  thỏa mãn
Câu 33: D
Từ bảng biến thiên của hàm số y  f  x  suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f  x 

Trang 16


Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f  x   2

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hai điểm cực đại của đồ thị hàm số là  1; 0  và  3; 3 . Suy ra khoảng
cách giữa hai điểm cực đại bằng 5.
Câu 34: B
Vì các mặt bên của hình chóp cùng tạo với đáy một góc bằng 45° nên hình chiếu của điểm S trên (ABCD)
trùng với điểm O là tâm đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD (O là giao của hai đường chéo).

+ Vì AB / /CD, CD   SCD   AB / /  SCD  . Do đó:

d  AB; SC   d  AB;  SCD    d  A;  SCD    2d O;  SCD   .
Trong mặt

phẳng

(ABCD) từ

0

kẻ


ON  CD

mà

SO  CD

(vì

SO   ABCD )

nên

CD   SNO    SCD    SNO 
Do đó trong (SNO) từ O kẻ

OH  SN

suy ra OH   SCD   d  O;  SCD    OH . Vậy

d  AB; SC   2OH .
+ ABC là tam giác đều cạnh a  OB  OD 

a 3
2

Trang 17



 SCD    ABCD   CD



ON   ABCD  , ON  CD


SN   SCD  , SN  CD  do CD   SON   






  SCD  ,  ABCD    ON , SN   SNO  450

+ OCD vuông tại 0 :

1
1
1
a 3


 ON 
2
2
2
ON
OD OC
4


+ SNO vuông cân tại O nên SO  ON 
Vậy d  AB; SC   2OH 

a 3 1
1
1
a 6
;


 OH 
2
2
2
4 OH
ON
OS
8

a 6
4

Câu 35: B
Ta có f '  x   ln  x  1 

x
; f ' 0  0
x 1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số


y  f  x  tại điểm có hoành độ x  0 là:

y  f '  x  x  0  f  0   0
1 
Đường thẳng y  0 cắt đường thẳng y  2 x  1 tại điểm A  ;0 
2 
Vậy suy ra 2a  b  1.
Câu 36: A
Quan sát đồ thị ta thấy trên  0;    đồ thị hàm số y  x nằm phía trên đường thẳng y  x nên suy ra:

x  x    11
Quan sát đồ thị ta thấy trên  0;    đồ thị hàm số y  x  là hàm đồng biến và nằm phía dưới đường
 1

  .x  0
thẳng y  x nên suy ra  
 0    1 2 

x  x
Từ (1) và (2) suy ra 0    1   .

Câu 37: D
TXÐ: D   2; 6
Ta có f  x  



x2   x  2 x  2  m


1
f  x 
6 x

 f ' x 

6 x 2



 f  x





6  x  2 f '  x   2x  x  2 

2x  x  2 



6  x  2  x2   x  2 x  2  m

x2
2 x2

x2
1


f  x
2 x2
6 x
6 x 2

Vì min f  x   10 nên suy ra f '  x   0 x   2;6
2;6

Vậy min f  x   f  2   m  36
2;6

Trang 18


Do đó max f  x   f  6   44
2;6

Câu 38: D

Vì AB / /CD và CD   SCD  , SC   SCD  nên d  AB, SC   d  AB,  SCD  
Trong tam giác ABC , kẻ đường cao SM. Ta có SM  CD
Kẻ MI song song với BC cắt AD tại I  MI  CD
CD  SM

Vậy CD  MI
 CD   SMI 
 SM  MI  SMI
  



Kẻ IH  SM tại H, ta có d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  I ,  SCD    IH
Vì IH  IM 2 – MH 2 mà MH  0 nên IH đạt GTLN khi MH  0  H  M .
1
Vậy SM   ABCD   VS . ABCD  .SM . S ABCD
3
Đặt x  DM  x  0 
Ta có AM  a 2  x 2 , SM 2  SB2  AM 2  SM  3a 2  x2
Có AM  3a 2  x 2
1
Vậy VS . ABCD  a 2 3a 2  x 2 đạt giá trị lớn nhất ở  3ax 2  x 2 đạt giá trị nhỏ nhất k  10 và
3
a3 3
VS. ABCD 
3
Câu 39: D
Gọi S1 , S2 , S3 , S4 lần lượt là diện tích của tam giác ABC, BCD, CDA và ABD.

Gọi h1 , h2 , h3, h 4 lần lượt là khoảng cách từ điểm M xuống các mặt phẳng (ABC); (BCD); (CD1) và
(ABD).
Theo giả thiết thể tích các khối tứ diện M ABC, MBCD, MCDA, M ABD bằng nhau nên
1
1
1
1
h1S1  h2 S2  h3 S3  h4 S4  h1S1  h2 S2  h3 S4  h4 S
3
3
3
3
h

S
Xét hai mặt phẳng (ABC), (BCD), khi đó điểm M phải thỏa mãn h1S1  h2 S2  1  1 1
h2 S2

Trang 19


Từ M dựng MH   BCD  ; MK  ( ABC ), gọi I là hình chiếu H lên BC, dễ thấy KI vuông góc với BC;
Ta có MH  MI . sin ; MK  MI . sin
Theo (1), ta có:

h1 S1 MI .sin  sin 



 2
h2 S2 MI .sin  sin 

S MI.sina sin a Do hai mặt phẳng (ABC), (BCD) của tứ diện cố định, nên mặt phẳng phân chia hai
mặt (BCD) và (ABC) thành hai góc  ,  thỏa mãn đẳng thức (2) cũng cố định, do đó tập hợp điểm M
thỏa mãn (1) nằm trên mặt phẳng 1 (là mặt phẳng đi qua giao tuyến chung BC và hợp với các mặt
(BCD) và (ABC) hai góc  ,  tương ứng cố định) hoặc nằm trên mặt phẳng 1' (vuông góc với mặt
phẳng 1 ).

Hoàn toàn tương tự ta xét với các cặp mặt phẳng của hình tứ diện.

Trang 20


Theo tính chất giao tuyến chung của ba mặt phẳng cắt nhau thì đồng quy. Do đó chúng ta có 5 điểm thỏa

mãn điều kiện bài toán (Hình vẽ minh họa).
Câu 40: A
Nhận xét: Hàm số y  f  x  là một hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung. Mặt khác hệ số của
x 3 là dương, nên đồ thị hàm số f  x  có 2 điểm cực trị và hoành độ điểm cực đại luôn nhỏ hơn hoành độ

điểm cực tiểu.

Do đó để đồ thị hàm số y  f  x  có hai điểm cực đại khi và chỉ khi hàm số f  x  có hai điểm cực trị

x1 , x2 và thỏa mãn 0  x1  x2 tức là:





 f '  x   0  3x 2  2  m2  1 x  2m  3  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 , hay  '  m2  1  6m  9  0
2


m2  1
S

0

3
3
 m   2
+ Hai nghiệm thỏa mãn 0  x1  x2 hay 
2
 P  2m  3  0


3
Mặt khác, theo giá thiết khoảng cách giữa hai điểm cực đại bằng 2. Như phân tích ở trên, đồ thị hàm số

y  f  x  nhận trục tung làm trục đối xứng, điểm cực đại của hàm số f  x  nhỏ hơn điểm cực tiểu của
hàm số f  x  , do đó khi lấy đối xứng qua trục tung, ta nhận thấy được khoảng cách giữa hai điểm cực đại
chính bằng hai lần hoành độ điểm cực đại hàm số f  x  nghĩa là x1  1
 m  1
Với x1  1 là nghiệm của phương trình f '  x   0 nên ta có: 2m2  2m  4  0  
m  2
Đối chiếu điều kiện (1) và (2), ta nhận m  2 , thật vậy.
x  1
Với m  1  f '  x   0  
, khi đó x1  1  x1  x2 , tức là x1 ai không là điểm cực đại (loại).
x  1
3


Trang 21


x  1
Với m  2  f '  x   0  
, thỏa mãn điều kiện bài toán (nhận)
x  7
3

Câu 41: C
Gọi I là trung điểm của AD. Gọi K  IC  MN


1
1
a3
Ta có VM . NAB  VM .KAB  .MI .S ABK 
2
3
8

Câu 42: A
+ Tập xác định: D 



.



+ Đạo hàm: f '  x   mx  2019 x 2  1 '  m 

2019 x
x2  1

+ Hàm số có cực trị nếu như phương trình f '  x   0 có nghiệm và f '  x  đổi dấu khi x đi qua các
nghiệm.
+ Xét phương trình: f '  x   0  g  x  

2019 x
x2  1

 m


1

 2019 x 
Ta có: g '  x   
  x  0, x 
2
 x 1 

 lim g  x   2019; lim g  x   2019 suy ra 2019  g  x   2019
x 

x 

Vậy 2019  m  2019
Do m

nên m2018;....;2018 . Vậy có 4037 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Câu 43: C

Trang 22


Xét hai mặt phẳng (DIJ) và (ACD) có:
D là điểm chung của hai mặt phẳng IJ / / AC
Suy ra  ACD    IJD   Dy với Dy là đường thẳng qua D và song song với IJ




 JP / / DI
 JP   IDJ 
Lại có 

 P  Dy

 P   ACD  
 P   ACD 
Tứ giác DIJP có các cặp cạnh đối song song nên DIJP là hình bình hành.
Suy ra DJ cắt IP tại trung điểm O của mỗi đường.
1
a3 3
Suy ra VP.BCD  VI .BCD  VA.BCD 
2
24
Câu 44: D
Ta có f '  x   4 x3  3  m  2  x 2  m

Điều kiện cần: Gọi A  x0 ; y0  là điểm cố định mà họ đường cong  Cm



 A  1;6 

luôn đi qua   A 1; 2 
 A 0;3
  

Giá trị nhỏ nhất của f  x  đạt giá trị lớn nhất khi x  1 và khi đó x  1 cũng là điểm cực trị của hàm số


 f ' 1  0  4  3  m  2   m  0  m  1
Điều kiện đủ: Với m  1 hàm số có dạng: f  x   x 4  x3  x  3  f '  x   4 x 2  3x 2  1

x  1
 f ' x  0   2
4 x  x  1  0
Bảng biến thiên

Trang 23


Vậy m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán khi đó f  3  34 – 33 – 3  3  54
Câu 45: C

Кё C ' P / / AM  P  AC   AM / /  BC ' P   d  AM , BC '  d  AM ,  BC ' P    d ( A,  BC ' P 
Gọi H là hình chiếu của A trên mp  BC ' P  , K là hình chiếu của A trên đường thẳng BC'
Suy ra AH  d ( A,  BC ' P   d  A, BC '  AK . Từ đây ta suy ra khoảng cách lớn nhất giữa

AM v \ ' a BC ' khi AH  AK
Gọi I là trung điểm của AB, ta có AC '  BC '  a 2, AB  a  C ' I  BC '2  IB 2 
C ' I . AB  AK .BC '  AK 

a 7
và
2

C ' I . AB a 14

BC '
4


Câu 46: C
Hàm số f  x   x3 – 3x  1 có tập xác định D 
Có f '  x   3x2  3  f '  x   0  x  1
Bảng biến thiên

Ta có f  2   3.

Trang 24


 f  x   1 1
Từ bảng biến thiên ta có f  f  x    f  2   f  f  x    3  
 f  x   2  2 
Số nghiệm của phương trình (1) và (2) là số giao điểm của đường thẳng y  1, y  2 và đồ thị hàm số

f  x  ; Từ đó dựa vào bảng biến thiên trên suy ra phương trình (1) có 2 nghiệm; Phương trình (2) có 3
nghiệm.
Câu 47: C
y '  3ax2  2bx  c.
Do hàm số có cực đại và cực tiểu nên bỏ b2  3ac  0 hơn nữa tâm đối xứng của đồ thị hàm số là
 b  b 
I   ; y  
 3a  3a  

A  x0 , y0  là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên tiếp tuyến tại A là y  y0
 b
B  xB , y0  là giao điểm của tiếp tuyến tại A với đồ thị hàm số nên xB      2 x0
 a
b

Ta lại có AB  6  xB  x0  6   3x0  6
a

 2b

 b 
A  x0 , y0  là điểm cực đại suy ra tọa độ điểm cực tiểu là C    x0 ; 2 y     y0  ( do I là tâm đối
 3a 
 3a

xứng )
2b
b
2
b
Vậy xCD  xCT  x0   x0  2 x0 
 3x0   4
3a
3a 3
a
Câu 48: D

Diện tích các tam giác ABC, SAB SAC là S ABC 

a2 3
 S ABC  SSAC Thể tích khối chóp S.ABC là
4

a3
8

Ta lại có VSABC  VM .SAB  VM .SAC  VM . ABC
VS. ABC 

Trang 25