Giáo viên: LÊ BÁ BẢO_ Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế
SĐT: 0935.785.115
Đăng kí học theo địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế

Hoặc Trung tâm Km 10 Hương Trà Trung tâm C.Y.K 10/1 Bảo Quốc, TP Huế

TuyÓn tËp Bµi tËp vËn dông:

NGUY£N HµM TÝCH PH¢N
øng dông
LuyÖn thi THPT 2017_2018

HuÕ, th¸ng 5/2018


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

TR¾C NGHIÖM (VËN DôNG):

NGUY£N HµM - TÝCH PH¢N - øng dông
2

Câu 1: (Đề minh họa 2018) Biết I  
1

dương. Tính P  a  b  c .
A. P  24 .
Lời giải

dx

 x  1

x  x x1

C. P  18 .

B. P  12 .
2

Ta có:

 a  b  c với a , b , c là các số nguyên

x  1  x  0 , x  1; 2  nên: I  
1

2

dx

 x  1

D. P  46 .

x  x x1


1


x  x  1

 x  1  x  dx
 x  1  x  dx

x  x  1
x  x  1  x  1  x  x  1  x 
 1
1 
 

 dx   2 x  2 x  1   4 2  2 3  2  32 
x1 
 x
2

2

1

1


2

2

dx




x1  x

12  2 .

1

1

 a  32

Do I  a  b  c nên b  12 . Suy ra: P  a  b  c  32  12  2  46 .
c  2

2

Cách khác: I  
1

 x  1

2

dx
x  x x1


1


x  x  1

dx



x1  x

2




1





x  1  x dx

x  x  1



x1  x


1
1 

x1  x

dx . Đổi cận:
Đặt: t  x  1  x  dt  
 dx  2dt 
x  x  1
 2 x1 2 x 

Khi đó: I  2



2 3



1 2



2


x  2  t  2  3
.


x  1  t  1  2

2 3


dt  2 
  
t 2  t  1

 32  12  2 .
2

 a  32

Mà I  a  b  c nên b  12 . Suy ra: P  a  b  c  32  12  2  46 .  Chọn đáp án D.
c  2


Câu 2: (Đề minh họa 2018) Cho

H

là hình phẳng giới hạn bởi

parabol y  3x2 , cung tròn có phương trình y  4  x2 (với 0  x  2 )
và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích của  H  .
4  3
.
12
4  2 3  3
C.
.
6


A.

4  3
.
6
5 3  2
D.
.
3

B.

Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của Parabol y  3x2 và cung tròn y  4  x2 (với 0  x  2 ) là
4  x2  3x2  4  x2  3x4 q  2  x  1 (vì 0  x  2 ).

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

1


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông
1

2

Cách 1: Diện tích của  H  là S   3x dx  
2


0

1

Luyện thi THPT Quốc gia 2018
2

3 31
3
4  x dx 
x I 
 I với I   4  x 2 dx .
0
3
3
1
2



  
Đặt: x  2sin t , t    ;   dx  2cos t.dt . Đổi cận: x  1  t  , x  2  t  .
2
6
 2 2







2

2

2









6

6

6

6

 I   4  4 sin 2 t .2cos t.dt   4 cos 2 t.dt   2  1  cos 2t  .dt   2 x  sin 2t  2 

2
3
.


3
2

3
3 2
3 4  3
.
I 



3
3
3
2
6
Cách 2: Diện tích của  H  bằng diện tích một phần tư hình tròn bán kính 2 trừ diện tích hình phẳng

Vậy S 

1

giới hạn bởi cung tròn, parabol và trục Oy . Tức là S    
0





4  x2  3x2 dx .  Chọn đáp án B.


Câu 3: (Đề minh họa 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  0 ,
1
1
1
2
1
2



và
.
Tính
tích
phân
f
x
d
x

7
x
f
x
d
x






0
0 f  x  dx.
0 

3
A.

7
.
5

B. 1 .

C.

7
.
4

D. 4 .

Lời giải

du  f   x  dx

u  f  x  
Cách 1: Tính:  x f  x  dx . Đặt 
. Ta có:


x3
2
d
v

x
v


0


3

1
1
1. f 1  0. f 1 1 3
1

  x . f   x  dx    x 3 . f   x  dx .
3
30
30
1

2

1


Mà  x 2 f  x  dx 
0

1

6
 x .dx 
0

1

1

2
 x f  x  dx 
0

1

x3 f  x  1
3

0



1

1 3
x . f   x  dx

3 0

1

2
1
1
1
   x3 . f   x  dx    x3 . f   x  dx  1 . Ta có   f   x   dx  7 (1).
3
30
3
0
0

1
x7 1 1
1
   49 x6 .dx  .49  7 (2) và
7 0 7
7
0

1

1

1

3

3
 x . f   x  dx  1   14x . f   x  dx  14 (3).
0

0

1

1

Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra   f   x  dx   49 x6 .dx   14 x 3 . f   x  dx  7  7  14  0 .
1

2

0



0



0

1

   f   x    14 x 3 f   x   49x6 dx  0    f   x   7 x 3  dx  0 .
0


2

1

0
1

2

Do  f   x   7 x3   0    f   x   7 x 3  dx  0 . Mà   f   x   7 x3  dx  0  f   x   7 x3 .
2

2

0

0

1

1

 f   x  dx    7 x  dx  f  x   
3

0

Do đó f  x   

0


4

2

7x
7
 . Vậy
4
4

1


0

4

7x
7
7
 C . Mà f 1  0    C  0  C  .
4
4
4

1
 7 x4 7 
 7 x5 7  1 7
f  x  dx    

  dx   
 x 
4
4
 20 4  0 5
0

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

2


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018



u  f  x  du  f  x  dx
3
Cách 2: Tính:  x f  x  dx . Đặt 

x
2
0
v 
dv  x
3


3
1
1
1
x f  x 1 1 1 3
1
1
Ta có:  x2 f  x  dx 
  x . f   x  dx    x3 . f   x  dx    x 3 . f   x  dx  1
0 30
3
30
3
0
0
1

2

1



1



2
Xét:   f   x   2 kx3 . f   x   k 2 x6  dx  0  *     f   x   kx3  dx  0  f   x   kx3 1



0
0

x7
Từ đó:  *   7  2 k.  1  k .
7

1

 0  7  2k 

2

0

k2
 0  k  7. Từ 1  f   x   7 x3
7

4

x
x4
7
 C , mà f 1  0  7.  C  0  C 
4
4
4

1
1
4
4
5

 7x 7  1 7
x
7
x
7
 f  x   7.    f  x  dx    7.   dx   
 x    Chọn đáp án A.
4 4
4 4
 20 4  0 5
0
0

 f  x    f   x  dx  7.

1

Cách 3: Tương tự như trên ta có:  x3 . f   x  dx  1
0

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
2

1

1
1

1
 1

2
2
2
2
1
7  7   x3 f   x  dx   7   x 3 dx      f   x  dx   7     f   x  dx  7   f   x  dx



 

7 0
0
0

0
 0

3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f   x   ax , với a .

1

 


1

ax7
Ta có  x . f   x  dx  1   x .ax dx  1 
7
0
0
3

3

1

 1  a  7 .

3

0



1

Vậy


0




7
7
7 x4
 C , mà f 1  0 nên C  . Do đó f  x   1  x4 x   .
4
4
4
1
4
5
 7x
 7x 7  1 7
7
f  x  dx    
  dx   
 x  .
4
4
 20 4  0 5
0

Suy ra f   x   7 x3  f  x   

Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Cho hàm số f  x  và g  x  liên tục trên đoạn  a; b  .
2

b
 b 2

 b 2

f
x
g
x
d
x

f
x
d
x
Khi đó, ta có                g  x  dx  .
a
 a
 a

Chứng minh:
b

Trước hết ta có tính chất: Nếu hàm số h  x  liên tục và không âm trên đoạn  a; b  thì  h  x  dx  0
a

Xét tam thức bậc hai  f  x   g  x    2 f 2  x   2 f  x  g  x   g 2  x   0 , với mọi  
2

b

b


b

a

a

a

Lấy tích phân hai vế trên đoạn  a; b  ta được:  2  f 2  x  dx  2  f  x  g  x  dx   g 2  x  dx  0,   
Coi  *  là tam thức bậc hai theo biến  nên ta có   0

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

* 

3


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

2

2

b

 b
 b

b
 b
 b

   f 2  x  dx     f 2  x  dx   g 2  x  dx   0    f 2  x  dx     f 2  x  dx   g 2  x  dx  (đpcm).

 



 


a
 a
 a

a
 a
 a



Câu 4: Cho f  x  là hàm liên tục trên  thỏa mãn f 1  1 và

1




f  t  dt 

0

4
A. I  .
3

2
B. I  .
3

2
1
, tính I   sin 2 x. f   sin x  dx.
3
0

1
C. I  .
3

2
D. I   .
3

Lời giải





2

2

0

0

Ta có: I   sin 2 x. f   sin x  dx   2sin x cos x. f   sin x  dx.
1

1

0

0

1

1

0

0

Đặt t  sin x  dt  cos xdx  I   2tf   t  dt   2tdf  t   2tf  t    f t  d  2t   2 f 1  2  f t  dt  2 
1


0

 Chọn đáp án A.
Câu 5: Cho hàm số chẵn y  f  x  liên tục trên  và

1

f  2x 

 1 2

1

A. 2 .
Lời giải
1

Ta có

f  2x 

 1 2

1

x

B. 4 .
dx  8 


2

f  x

2

1 2



x

f  x

2

1 2



2

dx  
x
2

 f  x  dx .
0


C. 8 .

2 f  x

f  x

2



2
2

2

D. 16 .

dx  16 .

Đặt t  x  dt  dx , khi đó 16  I 
Suy ra 2 I 

x

dx  8 . Tính

2 4
 .
3 3


1 2

x

1 2

x

dx 

2



2

2

x

dx   
2

f  t 
1 2

t

2 f t 
t


2

dt  

1 2

2

2

f  x  dx  2  f  x  dx . Vậy
0

t

dt .

2

 f  x  dx  16 .
0



Câu 6: Cho f  x  là hàm liên tục trên  thỏa mãn f 1  1 và

1



0

2
1
f  t  dt  , tính I   sin 2 x. f   cos x  dx.
2
0

4
2
.
B. I  .
C. I  1 .
D. I  1 .
3
3
Câu 7: Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1; 2  . Biết rằng
2
2
3
67
F 1  1 , F  2   4 , G  1  , G  2   2 và  f  x  G  x  dx 
. Tính  F  x  g  x  dx
2
12
1
1

A. I 


A.

11
.
12

B. 

145
.
12

C. 

11
.
12

D.

145
.
12

Lời giải
2
2
u  F  x 

2

du  f  x  dx
Đặt 
. Ta có:  F  x  g  x  dx   F  x  G  x     f  x  G  x  dx

1
1
1
dv  g  x  dx

v  G  x 
2
3 67 11
 Chọn đáp án A.

 F  2  G  2   F 1 G 1   f  x  G  x  dx  4.2  1. 
2 12 12
1

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

4


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

 


Câu 8: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và hàm số y  g  x   xf x2

có đồ thị trên đoạn 0; 2  như hình vẽ bên. Biết diện tích miền gạch sọc là
4
5
S  , tính tích phân I   f  x  dx .
2
1
A. I 

5
.
2

B. I 

25
.
4

C. I 

5
.
4

D. I  5 .

Lời giải

2

2

1

1

 

Ta có: S   g  x  dx   xf x 2 dx.
Đặt t  x2  dt  2xdx. Suy ra: S 
Theo giả thiết: S 

4

4

1
1
f  t  dt   f  x  dx.

21
21

4

4

5

1
5
  f  x  dx    f  x  dx  5  Chọn đáp án D.
2
21
2
1

Câu 9: Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số f  x  

a

 x  1

3

 bxe x với mọi x khác 1 . Biết

1

f   0   22 và

 f  x  dx  5 , tính S  a  b.
0

A. S  19 .

B. S  10 .

C. S  8 .


D. S  12 .

Lời giải
Ta có f   x  

3a

 x  1

4

 be x  bxe x nên f   0   3a  b  22  1 .

1
1


3
a
x

Xét 5   f  x  dx  
 bxe dx  a   x  1 d  x  1  b xd e x
3


0
0
0  x  1

0


 x1 1 x 
1
a
3a
a1 
1
x 


|

b
 b 2 .
 xe 0   e dx      1   b e  e 0  
2 0

 8
2 4



2  x  1
0
1

1


 

3a  b  22
a  8


 a  b  10  Chọn đáp án B.
Từ  1 và  2  ta có  3a
b  2
 b5
8


Câu 10: Cho hàm số f  x  liên tục trên  , biết

4



f  tan x  dx  4 và


0

0

A. 0 .

1


B. 1 .

x2 . f  x 
x2  1

C. 2 .

1

dx  2 . Tính I   f  x  dx .
0

D. 6 .

Lời giải




1
4 f x

f  x
f  x 
  dx . Đặt x  tan t  I  2  4 f  tan t  d tan t
dx  I  2   2
Ta có 2    f  x   2
 dx  I   2
0 tan2 t  1  


x  1 
0 x 1
0
0 x 1
1


4

f  tan t 

0

1
cos 2 t

2


4
1
.
d
t

I

2

0 f  tan x  dx  2  4  6  Chọn đáp án D.

cos 2 t

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

5


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Câu 11: Cho hàm số f  x  xác định trên  \1;1 và thỏa mãn f   x  

1
. Biết rằng f  3   f  3  0
x 1
2

 1
và f    
 2

1
f    2 . Tính giá trị của biểu thức P  f  2   f  0   f  4  .
2
9
6
1 9

A. P  1  ln .
B. P  1  ln .
C. P  1  ln .
5
5
2 5

1 6
D. P  1  ln .
2 5

Lời giải
Ta có: f  x    f   x  dx  


2

1 x 1
 ln
 C. Khi đó:
x 1 2 x 1
dx

2

f   x  dx  f  2   f  3   f  2   f  3  



3




4


3



x

3

4

0



dx
2

1 3
 f  2   f  3   ln
2 2
1

dx


f   x  dx  f  4   f  3   f  4   f  3   

1

2



2

1 6
 f  4   f  3   ln
2 5
3 x 1

 1
f   x  dx  f  0   f     f  0  
 2

2

dx
 1
f     2
 f 0 
 2  1 x  1
0

1


2

 1 1
f     ln 3
 2 2

 3

2

1
2

1

1

1
2

 f   x  dx  f  2   f  0   f  0   f  2    x
0

0

 1
Từ  3  và  4   2 f  0   f    
 2

1 1

 f  0   f    ln 3
1
2 2

dx
2

4

 1
f    2  f 0   1  5
2

1 3 1 6
1 9
Từ  1 ,  2  và  5   P  f  2   f  0   f  4   f  3   f  3   ln  ln  1  1  ln .
2 2 2 5
2 5
 Chọn đáp án C.

Câu 12: Cho

hàm

số

f  x

xác


định

trên

 \ 2; 2

thỏa

mãn

f  x 

f  3  f  3  f  1  f 1  2 . Tính giá trị biểu thức f  4   f  0   f  4  .

A. 4 .

B. 1 .

C. 2 .

4
,
x 4
2

D. 3 .

Lời giải
Ta có:  x


2

 1
4
1 
dx   

 dx  ln x  2  ln x  2  C .
4
x2 x2

 x2
ln x  2  C1 khi x  2

 2x
f  x   ln
 C2 khi  2  x  2
Do đó:
 x2
 x2
ln x  2  C3 khi x  2

1
1
 f  3   ln 5  C1 ; f  3   ln  C3 ; f  0   C2 ; f  1  ln 3  C2 ; f  1  ln  C2 ;
5
3

C  C3  2
 f  3  f  3   f  1  f 1  2  C1  C3  2C2  2   1

.

C2  1

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

6


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

1
Vậy f  4   f  0   f  4   ln 3  C1  C2  ln  C3  C1  C2  C3  3  Chọn đáp án D.
3
2
Câu 13: Cho hàm số f  x  xác định trên  \1;1 và thỏa mãn f   x   2
. Biết rằng f  2   f  2   0
x 1
 1
1
và f     f    2 . Tính giá trị của biểu thức P  f  3  f  0   f  4  .
 2
2

6
A. P  1  ln .

5

6
B. P  1  ln .
5

Câu 14: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa

4
C. P  1  ln .
5
1

2

 f  2x  dx  2

và

B. 32 .

2

 f  6x  dx  14 . Tính  f  5 x  2  dx .
2

0

0


A. 30 .

4
D. P  1  ln .
5

C. 34 .

D. 36 .

Lời giải
1

+) Xét

 f  2x  dx  2 .
0

1

Đặt u  2x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x  1  u  2 . Nên 2   f  2 x  dx 
0

2

2

1
f  u  du   f  u  du  4 .
2 0

0

2

+) Xét

 f  6x  dx  14 .
0

2

Đặt v  6x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 . Nên 14   f  6 x  dx 
0

2

+) Xét

0

2

2

0

12

12


1
f  v  dv   f  v  dv  84 .
6 0
0

 f  5 x  2  dx   f  5 x  2  dx   f  5 x  2  dx .

2

 TínhI1 

0

 f  5 x  2  dx .

2

Đặt t  5 x  2 . Khi 2  x  0 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 .
 I1 

12
2
2
 1
1
1

f
t
d

t

f  t  dt    84  4   16 .
f
t
d
t







5  0
5 12
0
 5
2

 TínhI1   f  5 x  2  dx .
0

Đặt t  5 x  2 . Khi 0  x  2 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 .
 I2 

12
2
12
 1

1
1

f
t
d
t

f  t  dt    84  4   16 . Vậy
f
t
d
t








5  0
52
0
 5

2

 f  5 x  2  dx  32  Chọn đáp án B.


2

1
Câu 15: [Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT – 2018]: Cho hàm số f  x  xác định trên  \   thỏa mãn
2
2
, f  0   1 và f 1  2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3  bằng
f  x 
2x  1
A. 4  ln15.
B. 2  ln15.
C. 3  ln15.
D. ln15.
Lời giải
2
1
dx  ln 2x  1  C , với mọi x   \   .
Ta có: f  x    f   x  dx  
2x  1
2

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

7


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông


Luyện thi THPT Quốc gia 2018

1
Hàm số f  x  có đạo hàm trên  \   nên sẽ liên tục trên từng khoảng
2

1
+) Xét trên  ;  . Ta có f  0   1 , suy ra C  1 .
2



1

1
 ;  và  ;   .
2

2



1
Do đó, f  x   ln 2x  1  1 , với mọi x   ;  . Suy ra f  1  1  ln 3 .
2

1

+) Xét trên  ;   . Ta có f 1  2 , suy ra C  2 .
2


1

Do đó, f  x   ln 2x  1  2 , với mọi  ;   . Suy ra f  3   2  ln 5 .
2

Vậy f  1  f  3   3  ln 3  ln 5  3  ln15  Chọn đáp án C.

Câu 16: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn 0;1 thỏa f 1  0 ,

1

  f   x

2

dx 

0

 
1
0 cos  2 x  f  x  dx  2 . Tính
1

A.


.
2


2
8

và

1

 f  x  dx .
0

B.  .

C.

1
.


D.

2
.


Lời giải
du  f   x  dx
u  f  x 
1
 

1


Đặt 
Do
đó

.
cos  x  f  x  dx 

2
x
x

2
2
dx v  sin


0
dv  cos

2
2




2




sin

x
2

1

f  x 
0

 
1
 

sin  x  f   x  dx    sin  x  f   x  dx   .

 0 2 
2
4
2 
0
2

1

1

2


 2

 2
 
 
 
1
Lại có:  sin  x  dx   I     . f   x   dx  2     sin  x  f   x  dx   sin 2  x  dx

2

  0  2 
2 
2 
0
0
0
1

1

1

1

2

2


 2
  
4 2 2  1
    f   x   sin  x   dx  2
 .  0

 8  2 2
 2 
0
1

2

2

1
 2
 2
  
  
Vì   f   x   sin  x    0 trên đoạn 0;1 nên    f   x   sin  x   dx  0

 2 
 2 
 
0
 
 
2


  f   x   sin  x   f   x    sin  x  .

2
2 
2 

 
 
Suy ra f  x   cos  x   C mà f 1  0 do đó f  x   cos  x  . Vậy
2 
2 
 Chọn đáp án D.

1


0

 
2
f  x  dx   cos  x  dx  .

2 
0
1

Câu 17: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x   f  x  . f   x   2x2  x  1 , x  và f  0   f   0   3 . Tính
2

giá trị của  f 1  .

2

A. 28 .

B. 22 .

C.

19
.
2

D. 10 .

Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

8


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

2
Ta có  f  x  f   x    f   x   f  x  f   x  . Do đó theo giả thiết ta được  f  x  f   x   2x2  x  1 .
2
x2

Suy ra f  x  f   x   x 3   x  C . Hơn nữa f  0   f   0   3 suy ra C  9 .
3
2
2

x2
Tương tự vì  f 2  x   2 f  x  f   x  nên  f 2  x    2  x 3   x  9  .
2
3


2

x2
1
x3
Suy ra f 2  x    2  x3   x  9  dx  x4   x2  18 x  C , cũng vì f  0   3
2
3
3
3

2
1
x3
suy ra f 2  x   x4   x2  18 x  9 . Do đó  f 1  28  Chọn đáp án A.
3
3
Câu 18: Cho hàm số f  x  liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1 . Biết f  x  . f 1  x   1 với
1


dx
.
0 1  f  x

x  0;1 . Tính giá trí I  

A.

3
.
2

B.

1
.
2

Lời giải
Ta có: f  x  . f 1  x   f  x   1  f  x  

C. 1 .

D. 2 .

f  x
1

.

f 1  x   1 1  f  x 

1

dx
. Đặt t  1  x  x  1  t  dx  dt . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  0 .
0 1  f  x

Xét I  

1
1
1
f  x  dx
dt
dt
dx



1 1  f 1  t 
0 1  f 1  t 
0 1  f 1  x 
0 1  f  x

0

Khi đó I   

1

1
f  x  dx 1 1  f  x 
dx
1


d
x

0 1  f  x  0 1  f  x  0 1  f (t)
0 dx  1 hay 2I  1 . Vậy I  2  Chọn đáp án B.
1

Mặt khác

Câu 19: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  , đồng thời thỏa mãn f  x   0, x  ; f  0   1 và
f   x    2  2x  f  x  . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m  0 có hai

nghiệm thực phân biệt.
A. m  e.
B. 0  m  1.
C. 0  m  e.
Lời giải
f  x
 2  2 x  *  . Lấy nguyên hàm 2 vế của  *  , ta được
Xét biểu thức
f  x





d f  x
f  x

  x

2

D. 1  m  e.
f  x
 f  x  dx    2  2x  dx

 
 2 x  C  ln f  x    x 2  2x  C 
 C  0. Do đó f  x   e  x

Lập bảng biến thiên của hàm số f  x   e  x

f 0 1

2

 2x

2

 2x

.


trên  ;    , ta thấy phương trình f  x   m có hai

nghiệm thực phân biệt  0  m  e  Chọn đáp án C.
3
x
a
Câu 20: Cho 
dx   b ln 2  c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Tính S  a  b  c.
3
0 4 2 x1
A. S  2 .
B. S  4 .
C. S  1 .
D. S  8 .
Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

9


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Đặt t  x  1  t 2  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt . Đổi cận: x  0  t  2 ; x  3  t  4 .
2

2 3

2
 t3 2


t2  1
t t
6 
7
Khi đó: 
.2tdt  
dt    t 2  2t  3 
d
t

  t  3t  6ln t  2    12ln 2  6ln 3

4  2t
t2
t2
3
1 3
1
1
1
2

a  7

Suy ra b  12  a  b  c  1  Chọn đáp án C.
c  6


2 ln x  3
a
dx   b với a , b  . Giá trị của a  b bằng
2
e
x
1
e



Câu 21: Biết

B. 8 .

A. 2 .

C. 2 .

D. 8 .

Lời giải

2
e
u  2 ln x  3 du  dx
e
 1


1
2ln x  3


x
Tính I  
.
Đặt

I


2ln
x

3

2
dx

d
x




d
x




2
2
x
 x
1
1 x
1
dv  2
v   1
x

x

e

e

5
1
7
 32
   5 . Do đó a  7 , b  5 . Vậy a  b  2  Chọn đáp án A.
e
x1
e

Câu 22: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 , f  x  và f   x  đều nhận giá trị dương
1


1

1

0

0

0

2
3
trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f  0   2 ,   f   x  .  f  x   1 dx  2  f   x  . f  x  dx . Tính   f  x   dx .



A.

15
.
4

B.

15
.
2

C.


17
.
2

19
.
2

D.

Lời giải
1

1

2
Theo giả thiết, ta có   f   x  .  f  x   1 dx  2  f   x  . f  x  dx


0
0
1

1

1

2
2
   f   x  .  f  x    1 dx  2  f   x  . f  x  dx  0    f   x  .  f  x    2 f   x  . f  x   1 dx  0





0
0
0

2

1

   f   x  . f  x   1 dx  0 



f   x . f  x   1  0  f

2

 x. f  x  1 

f 3  x
3

0

8
Mà f  0   2  C  . Vậy f 3  x   3x  8 . Suy ra:
3


 xC .
1

 3x 2



f
x
d
x

3
x

8
d
x

  2  8x   192 .
0   
0 

0
1

3

1


 Chọn đáp án D.
Câu 23: Cho F( x) 
A. I 

f ( x)
1
là một nguyên hàm của hàm số
. Tính
2
x
2x

e2  3
.
2e 2

B. I 

2  e2
.
e2

C. I 

e

 f ( x)ln xdx

bằng:


1

e2  2
.
e2

D. I 

3  e2
.
2e 2

Lời giải
Do F( x) 

f ( x)  1
f ( x)
1
là một nguyên hàm của hàm số
nên
 2
2
x
x
2x
 2x

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...



1
  f  x   2 .
x


CLB Giáo viên trẻ TP Huế

10


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

1

ln x  u
 dx  du
Tính I   f ( x)ln xdx . Đặt 
.
 x

f
x
d
x

d
v




1


 f  x  v
e
e
e
f  x
e
1
1
e2  3
Khi đó I  f  x  .ln  x   
dx   2 .ln  x   2 
 Chọn đáp án A.
1
x
x
2x 1
2e 2
1
1
e

4

Câu 24: Biết rằng tích phân



0

A. T  1 .

 x  1 e

x

2x  1

dx  ae 4  b . Tính T  a2  b2

C. T 

B. T  2 .

3
.
2

D. T 

5
.
2

Lời giải
4


Ta có I  
0

4

Xét I1  
0

4
4
4

1
ex
1 2x  2 x
x

2
x

1.
e
d
x

dx  .
e
d
x






20
2 0 2x  1
2 x  1 
2x  1
0
du  e x dx
x

u  e
1
ex


2
2
x

1
  2x  1
dx . Đặt 
dx
1 
dx  
2x  1
v   2 x  1  2 .

dv 
1
2x  1


2


x1

e x dx 

4

4

Do đó I1  e x . 2 x  1   e x . 2 x  1 dx . Suy ra I 
0

0

3
1
9 1
3e 4  1
. Khi đó a  , b 
T    2 .
2
4 4
2

2

 Chọn đáp án B.

4
1 1
Câu 25: Biết  sin 2x.ln  tan x  1 dx  a  b ln 2  c với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính T    c.
a b
0

A. T  4.

B. T  6.

C. T  2.

D. T  4.

Lời giải

dx
du 

cos x  sin x  cos x 
u  ln  tan x  1 

Đặt 
.
1


dv  sin 2xdx
v   2 cos 2x






1
1 4 cos x  sin x
dx
Suy ra  sin 2 x.ln  tan x  1dx   cos 2 x.ln  tan x  1  
2
20
cos x
0
0
4

4





1
 x  ln cos x
2
2


Câu 26: Biết


0

A. 1.



4
0

1
1
   ln 2. Do đó T  8  4  0  4  Chọn đáp án A.
8
4

2 x
2 x

dx  a  b 2  c với a , b , c là các số nguyên. tổng a  b  c bằng

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải

Đặt

 
x  2cos u với u  0;  . Suy ra x  4cos2 u 
 dx  4sin 2udu.
 2

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

11


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018





u
u 
2 cos
2
 x  0 
2  2 cos u
2
2 .sin u.cos udu

Đổi cận 
. Khi đó I  4 
sin 2udu  8 
u

2

2
cos
u
 sin

 x  2 
u 
4
4

2
4







2

2




2
u
 16  cos .cos udu  8   1  cos u  .cos udu  8  cos udu  4  1  cos 2u  du  8sin u
2




2

2

4

4

4


2



  4 x  2.sin 2u 

4



2



4

4

a  1

   4 2  6 
 b  4 
 a  b  c  3  Chọn đáp án C.
c  6

1

Câu 27: Cho 

x

2



 x ex

xe

0


x

dx  ae  b ln  e  c  với a, b, c  . Tính P  a  2b  c .

A. P  1 .

B. P  1

D. P  0

C. P  2

Lời giải
1

I

x

0

2



 x ex

x  ex


1

dx  
0

xe x  x  1 e x dx
xe x  1

Đặt t  xe x  1  dt   x  1 e x dx. Đổi cận khi x  0  t  1 , khi x  1  t  e  1
I 

e 1


1

t 1
dt 
t

e 1


1

a  1
e 1
 1

 1   dt   t  ln t  1  e  ln  e  1  b  1  P  2  Chọn đáp án C.

t

c  1


2
f  x
1
Câu 28: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  x   2 f    3x. Tính tích phân I  
dx
x
x
1
2

A. I 

1
.
2

B. I 

5
.
2

C. I 

3

.
2

D. I 

7
.
2

Lời giải
1
1
1
1
 1  1
Đặt t  . Suy ra dt  d    2 dx  dx   2 dt . Đổi cận x   t  2 . x  2  t  .
x
2
2
t
x x
1
2

2
2
 1  1 
 1  1 
 1  1 
Ta có I   tf   2  dt   f    dt   f    dx .

 t  t 
 t  t 
 x  x 
1
1
2
2

Suy ra 3I  
1
2

f  x

2

2

2
2
 1  1 
9
3
 1 
1
dx  2  f    dx    f  x   2 f    dx   3dx  3x 1  . Vậy I  .
2
x
2
2

 x  x 
 x 
1
1 x
1
2

2

2

2

2

 Chọn đáp án C.




2


 
2 
. Tính I   f  x  dx.
Câu 29: Cho f  x  thỏa   f 2  x   2 2 f  x  sin  x    dx 
4 
2


0
0
2

A. I  0.

B. I 


4

.

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

C. I  1.

D. I 


2

.

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

12


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông


Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Lời giải

2


2 
Ta có  2sin 2  x   dx  
.
4
2

0


2




 
Do đó giả thiết tương đương với   f 2  x   2 2 f  x  sin  x    2sin 2  x    dx  0
4
4 


0




2




 
 

   f  x   2 sin  x    dx  0  f  x   2 sin  x    0, x  0;  .
4 
4


 2
0
2





2
2




Suy ra f  x   2 sin  x   

 I   f  x  dx  2  sin  x   dx  0  Chọn đáp án A.
4
4


0
0



Câu 30: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn

2


1

phân I  

f  4x 
x

1
8





16


2
 cot x. f sin x dx  

f

1

 x  dx  1 . Tính tích
x

4

dx.

5
A. I  .
2
Lời giải.

3
C. I  .
2

B. I  2.

D. I  3.






2



+) Xét A   cot x. f sin 2 x dx  1 . Đặt t  sin2 x.


4

dt
Suy ra dt  2sin x cos xdx  2sin x cot xdx  2t.cot xdx  cot xdx  . Đổi cận:
2t
2

Khi đó 1  A 

1
1
1
f  x
1 f t 
1 f  x
d
t

d
x


dx  2.



21 t
21 x
x
1
2

16

+) Xét B  
1

f

2

 x  dx  1. Đặt u 
x



1
t 
 x  4 
2.

 x   

t  1

2

2

x Suy ra du 

dx
2 x



dx 2du

.
x
u

4
4

f  u
f  x
f  x
u  1
1
 x  1 
. Khi đó 1  B  2 
du  2 

dx  
dx  .
Đổi cận: 
u
x
x
2
u  4

1
1
1
 x  16 
1
f  4x 
+) Xét tích phân cần tính I  
dx.
x
1
4

8

1
v
Đặt v  4x, suy ra dx  dv , x  . Đổi cận:
4
4

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...



1
1
v 
 x  
8
2.

 x  1 
v  4


CLB Giáo viên trẻ TP Huế

13


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông
4

Khi đó I  
1
2

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

4
1
4

f  v
f  x
f x
f x
1 5
dv  
dx  
dx  
dx  2    Chọn đáp án A.
v
x
x
x
2 2
1
1
1
2

4

Câu 31: Biết

 x ln  x

2



 9 dx  a ln 5  b ln 3  c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức


2

0

T  a  b  c là
A. T  10 .

B. T  9 .

C. T  8 .

D. T  11 .

Lời giải

2x
dx
du  2
4
u  ln x 2  9
x 9
x2  9

Đặt 
ln x 2  9

. Suy ra  x ln x 2  9 dx 
2
2

0
dv  xdx

x 9
v  2
 25ln5  9ln3  8 . Do đó a  25 , b  9 , c  8 nên T  8 .







Câu 32: Cho hàm số









f  x  liên tục trên đoạn 0;10  và

10

4

4


0

0

   x 2 9 . x 2x 9 dx
2

2

f  x  dx  7 và


0

2

10

0

6

6

 f  x  dx  3 .

Tính

2


P   f  x  dx   f  x  dx .

A. P  7 .

D. P  10 .

C. P  4 .

B. P  4 .

Lời giải
Ta có

10

2

6

10

2

10

0

0


2

6

0

6

 f  x  dx  7   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  7   f  x  dx   f  x  dx  7  3  4 .

Vậy P  4  Chọn đáp án C.
Câu 33: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 ,

2


0

A. I  13 .

1

f  x  dx  4 . Tính tích phân I   x. f   2 x  dx .
0

C. I  20 .

B. I  12 .

D. I  7 .


Lời giải
du  dx
u  x


Đặt 
.

1
dv  f   2 x  dx v  f  2 x 

2

1

1

1

1

1
1
1
1
1
Khi đó: I  x. f  2 x    f  2 x  dx  f  2    f  2 x  dx  8   f  2 x  dx .
2
20

2
20
20
0

Đặt t  2x  dt  2dx . Với x  0  t  0 ; x  1  t  2 . Suy ra I  8 

 Chọn đáp án D.
Câu 34: Cho
hàm

f  x  0 ;

số

f 1  f  2   f  3   ...  f  2017  

A.

a
 1 .
b

f   x    2x  1 . f 2  x 

2

1
f  t  dt  8  1  7 .
4 0


và

f 1  0,5 .

Tính

tổng

a
a
;  a  ; b    với tối giản. Chọn khẳng định đúng.
b
b

B. a  2017; 2017  .

C. b  a  4035 .

D. a  b  1 .

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

14



Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông
Ta có: f   x    2x  1 . f 2  x  

f  x

f 2  x

 2x  1  

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

f  x

f 2  x

dx    2 x  1 dx



1
1
 x2  x  C 
  x 2  x  C . Lại có: f 1  0,5  2  12  1  C  C  0 .
f  x
f  x

Vậy

1
1

  x2  x  x  x  1 hay  f  x  
.
f  x
x  x  1





Ta có:  f 1  f  2   f  3  ...  f  2017  

1
1
1
1


 ... 
1.2 2.3 3.4
2017.2018
1 1 1 1 1
1
1
1
2017
.
 1       ... 

 1


2 2 3 3 4
2017 2018
2018 2018
2017
Vậy f 1  f  2   f  3   ...  f  2017  
hay a  2017 , b  2018  b  a  4035  Chọn đáp án C.
2018
Câu 35: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  1;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 2  x   1

với mọi x   1;1 và

1



1

1

f  x  dx  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của  x 2 f  x  dx.
1

1
A. 
2

1
B. 
4


2
C. 
3

D. 1

Lời giải
1

Ta đặt I   x2 f  x  dx  I 
1

1

x

2

1



1

1

1

1


 a f  x dx   x2  a f  x dx   x2  a dx  a  .

1

Do đó ta suy ra I  min  x2  a dx . Đến đây ta chia bài toán thành 3 trường hợp như sau:
a

1

1
1
2
 2
Trường hợp 1: Nếu a  0 thì min  x2  a dx  min  x 2  a dx  min   2a   .
a
a0
a0
3
 3
1
1
1
1

2 4
Trường hợp 2: Nếu a  1 thì min  x2  a dx  min  a  x 2 dx  min  2a    .
a
a 1
a 1
3 3


1
1









1
a
1
 a

Trường hợp 3: Nếu a  0;1 thì min  x2  a dx  min   x2  a dx   a  x 2 dx   x 2  a dx 
a
a0;1 

1
 a
a
 1

1
 x 3
 a 
 x3

1 
x3  a

 min  x2  a dx  min   ax 
  ax  
   ax 
a
a0;1  3
3  a  3


1
a




1

1
 8a a
2 1
1
 min  x2  a dx  min 
 2a    khi và chỉ khi a  .

a
a0;1 
3 2
4

1
 3
1
1
1
1
Kết luận: Như vậy min  x2  a dx  do đó I   min I    Chọn đáp án A.
a
2
2
2
1













Câu 36: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;1 đồng thời thỏa mãn f  x    8;8  với mọi
x  0;1 và

1


 xf  x  dx  3 . Tìm giá trị lớn nhất của
0

A. 2

B.

31
16

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

1

 x f  x  dx.
3

0

C.

4
3

D.

17
8

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


15


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Lời giải
1

Ta đặt I   x3 f  x  dx khi đó: I  3a 
0

1


0

1



x 3  ax f  x  dx   x 3  ax f  x  dx
0

1
1
1



 I  3a  8  x3  ax dx a    I  3a  8  x 3  ax dx a    I  min  3a  8  x 3  ax dx  .

a 
0
0
0


1
1




Trường hợp 1: Nếu a  0 khi đó min  3a  8  x3  ax dx   min  3a  8  x 3  ax dx   min  2  a   2
a
a0
a0
0
0




1
1





Trường hợp 2: Nếu a  1 khi đó min  3a  8  x3  ax dx   min  3a  8  ax  x3 dx   min  7 a  2   5
a
a 1
a 1
0
0













Trường hợp 3: Nếu a  0;1 khi đó ta có đánh giá sau:
1
a
1




31
min  3a  8  x 3  ax dx   min  3a  8  ax  x 3 dx  8  x3  ax dx   min 4a2  a  2 



a
a0;1 
 a0;1
16
0
0


a


1

 31
31
1
31
3
Kết luận: Vậy min  3a  8  x 3  ax dx    I  . Đẳng thức xảy ra khi a  ; I   3a  .
a
16
8
12
8
0

 16














 Chọn đáp án B.
Câu 37: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai f   x  liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn
điều kiện f  0   f 1  1; f   0   2018 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1

A.



1

f   x 1  x  dx  2018

B.

0
1


C.

 f   x 1  x  dx  2018
0
1

 f   x 1  x  dx  1

D.

0

 f   x 1  x  dx  1
0

Lời giải
1

Ta có:


0

1
1 1
f   x 1  x  dx   1  x  df   x   f   x 1  x    f   x  dx  2018  Chọn đáp án A.
0 0
0

Câu 38: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau: max f  x   6

0;1
1

và  x 2 f  x  dx  0 . Giá trị lớn nhất của tích phân
0

A.

1
.
8

B.



3 2 4
3

4

.

1

 x f  x  dx bằng bao nhiêu?
3

0


C.

2 3 4
.
16

D.

1
.
24

Lời giải
1

Ta có với mọi số thực a thì  ax 2 f  x  dx  0 do đó:
0

1

3
 x f  x  dx 
0

1


0




1

Do đó:

1

 x f  x  dx  min 6 x
3

0

1

1

0

0

x 3  ax 2 f  x  dx   x 3  ax 2 f  x  dx  6 x 3  ax 2 dx a  

a

0

3

 ax 2 dx  min g  a  . Tới đây ta chia các trường hợp sau:
a


Trường hợp 1: Nếu a  0 thì x3  ax2  x2  x  a   0 x  0;1 . Khi đó:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

16


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

1 a
3
g  a   6  x3  ax2 dx  6  x3  ax2 dx  6     min g  a  
a

0
2
4 3
0
0
3
2
2
Trường hợp 2: Nếu a  1 thì x  ax  x  x  a   0 x  0;1 . Khi đó:
1

1


 a 1
1
g  a   6  x3  ax2 dx  6  ax2  x3 dx  6     min g  a  
a

1
2
3 4
0
0
1

1

1

a

1

0

0

a

Trường hợp 3: Nếu a  0;1 thì f  a   6  x3  ax2 dx  6  ax 2  x 3dx   x 3  ax 2 dx 






2a4  4a  3
.
2





3
3 2 3 4
 2a4  4a  3  3 2  4
1 3
Ta tìm được min g  a   min 
.
  vậy min g  a  

a
a0;1
a 0;1
4
2
4
2 2


1


1

 x f  x  dx  min g  a    x f  x  dx 
3

Do vậy:

3

a

0



3 2 3 4
4

0

  max

1

 x f  x  dx 
3



3 2 3 4


0;1 0

4

.

 Chọn đáp án B.
Câu 39: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 3 f  x   xf '  x   x2018 với
mọi x  0;1 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân

1

 f  x  dx

bằng:

0

A.

1
.
2021  2022

B.

1
.
2018  2021


C.

1
.
2018  2019

D.

1
.
2019  2021

Lời giải
Ta có: 3 f  x   x. f '  x   x2018  3x2 f  x   x3 f '  x   x2020
t

t

0

0

t 2018


  x3 f  x   x2020    x3 f  x  dx   x 2020 dx t  0;1  f  t  
2021
1


1

2018

x
1
Khi đó   f  x  dx  
dx 
. Giá trị nhỏ nhất của tích phân
2021
2019.2021
0
0

1

 f  x  dx

là

0

1
.
2019.2021

 Chọn đáp án D.
1
2
1

Câu 40: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 1  0,   f   x   dx 
và
11
0
1

1
0 x f  x  dx   55 . Tính tích phân
4

1
A.  .
7

B.

1

 f  x  dx.
0

1
.
7

C. 

1
.
55


D.

1
.
11

Lời giải
1

1 5
 x5

x
Ta có:  x f  x  dx   f  x     f   x  dx . Suy ra
5
0 0 5
0
1

4

1

x 
5

0

2


1
dx  . Do đó
11

1

1

1

0

0

0

1
 x f   x  dx  11 .
5

Hơn nữa ta dễ dàng tính được

0

 

5
5
  f   x  dx  2 x f   x  dx   x

2

1

2

1

dx  0    f   x   x 5  dx  0 .
2

0

1
1
Suy ra f   x   x5 , do đó f  x   x6  C . Vì f 1  0 nên C   . Vậy
6
6

1


0

x6  1
1
dx   .
6
7
0

1

f  x  dx  

 Chọn đáp án A.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

17


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

1
2
3
Câu 41: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 1  0,   f  x  dx   2ln 2 và
2

1

0

f  x

3
dx  2 ln 2  . . Tính tích phân

2
0  x  1



2

1  2 ln 2
.
2

A.

B.

1

 f  x  dx.
0

3  2 ln 2
.
2

C.

3  4ln 2
.
2


D.

1  ln 2
.
2

Lời giải
f  x

1

1



1  
1 
1 
Ta có: 
d
x

f
x
d
1


1


f
x

   x  1   x  1      1  x  1  f   x  dx .

2

 


0 0
0  x  1
0
1

1

1

1 
3
Suy ra   1 
 f   x  dx   2ln 2 . Hơn nữa ta tính được:
x 1
2
0
1
2
1
1





1 
1
1
1
3
0  1  x  1  dx  0  1  2 x  1  x  1 2 dx   x  2ln x  1   x  1   2  2ln 2 .
   
0


2

2

2




1 
1 
1
Do đó   f   x  dx  2   1 
 1 dx  0 .
 f   x  dx    1 
 dx  0    f   x  

x 1
x 1
x1 
0
0
0
0
1
Suy ra f   x   1 
, do đó f  x   x  ln  x  1  C . Vì f 1  0 nên C  ln 2  1 .
x1
1
1
1
Ta được  f  x  dx    x  ln  x  1  ln 2  1 dx   ln 2  Chọn đáp án A.
2
0
0
1

1

1

3

Câu 42: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời ta đặt
1
x
1

dx có giá trị lớn nhất bằng:
g  x   1   f  x  dt . Biết g  x   f  x  với mọi x  0;1 . Tích phân 
0 g  x
0
1
.
3

A.

B. 1.

C.

Lời giải
x

Đặt F  x    f  t  dt  g  x   1  F  x  

f  x  x  0;1 

0

 F x
 
 h t    

0
F x 1
  

t





2

2
.
2

D.

F  x 

 F  x   1

1
.
2

 1  0 x   0;1

2


1
là hàm số đồng biến trên 0;1 do vậy ta có đánh giá:
 1  dx  1  t 


F t   1


1
1
h  x   h  0  x  0;1  1  x 
0
 1  x x  0;1 
F  x  1
F  x  1

1

1

1

 g  x dx  2

 Chọn đáp án D.

0

Câu 43: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời ta đặt
x

g  x   1  3 f  t  dt . Biết g  x   f 2  x  với mọi x  0;1 . Tích phân
0


A.

5
.
2

B.

4
.
3

C.

7
.
4

1

 g  x dx có giá trị lớn nhất bằng:
0

D.

9
.
5

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

18


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018
F  x 

x

Đặt F  x    f  t  dt  g  x   1  3F  x   f 2  x  x   0;1 

3F  x   1

0

 1  0 x   0;1


t 
F  x 
2
2
 h t    
 1  dx 
3F  t   1  t  là hàm số nghịch biến trên 0;1 do vậy ta có:

 3F  x   1

3
3
0



h  x   h  0  x  0;1 

2
2
3
3F  x   1  t   0  3F  x   1  x  1 x  0;1 
3
3
2

1

7
 g  x dx  4

.

0

 Chọn đáp án C.
Câu 44: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời ta đặt
x2


1

 

g  x   1   f  t  dt . Biết g  x   2xf x 2 với mọi x  0;1 . Tích phân

 g  x dx

0

A. 2.

B. 3.

C. 4.

Lời giải

 

x2

 

 

Đặt F x   f  t  dt  g  x  1  F x  2 xf x  x  0;1 
2


2

2

0

 
 

có giá trị lớn nhất bằng:

0

D. 1.

   1  0  x  0;1
 
1  F x 
2 xf x2

2

t  2 xf x 2

 dx  ln 1  F  t   t là hàm số nghịch biến trên 0;1 do vậy ta có:
 h t    

1
 
2



0 1 F x











h  x   h  0  x  0;1  ln 1  F  x   x  0  1  F  x   e

x  0;1 

x

1

 g  x dx  2

 Chọn đáp án A.

0






Câu 45: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn f x5  4x  3  2x  1 với mọi
8

x . Tính tích phân

 f  x  dx.

2

A. 10.

B.

32
.
3

C. 72.

D. 2.

Lời giải
Ta đặt x  t 5  4t  3 và đổi cận: x  2 thì t  1 và x  8 thì t  1 .
8

1

2


1







1





Do đó:  f  x  dx   f t 5  4t  3 d t 5  4t  3    2t  1 5t 4  4 dt  10  Chọn đáp án A.
Câu 46: Cho hàm số

1

f  x  có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0; 1 thỏa mãn f 0  = 1 và

2
3

1
3  f '  x   f  x     dx  2  f '  x  f  x  dx . Tính tích phân   f  x   dx.
9
0
0

0
3
5
5
7
A. .
B. .
C. .
D. .
2
4
6
6
Lời giải
1
1
1
2


1
2
1
+ Ta có: 3  f '  x   f  x    dx  2  f '  x  f  x  dx    f '  x  f 2  x  
f '  x  f  x    dx  0
9
3
9
0
0

0
1

1

1

2


1
   f '  x  f  x    dx  0 
3
0
1

f ' x f  x 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

1
1
 f ' x f 2  x  .
3
9

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

19



Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

1
1
1
+ Lấy nguyên hàm 2 vế ta được  f '  x  f 2  x  dx   dx  f 3  x   x  C
9
3
9
1
1
x

7
1
x
Mà f 0  = 1  C   f 3  x    1. Vậy  f 3  x d x =   +1 d x =  Chọn đáp án D.
3
3
6
3

0
0

Câu 47: Cho hàm số f  x   x4  4x3  2x2  x  1 , x  . Tính tích phân:


1

 f  x  . f   x  dx
2

0

2
3

A.

C. 

B. 2

2
3

D. 2

Lời giải
1

Ta có

1

 f  x  . f   x  dx  
2


0

0



1



1
1
2
f  x  d f  x  = f 3  x    f 3 1  f 3  0   =   Chọn đáp án C.
3
3
3
0
2

Câu 48: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều
1
1
1
ef '  1  f '  0 
.
kiện  e x f  x  dx   e x f '  x  dx   e x f ''  x  dx  0 . Tính giá trị của biểu thức
ef  1  f  0 
0

0
0
A. 2.

B. 1.

C. 2.

D. 1.

Lời giải
1

1

1

Ta đặt  e f  x  dx   e f '  x dx   ex f ''  x dx  a . Sử dụng tích phân từng phần ta có:
x

x

0

0

0

1
1


x



a

e
df
x

ef
1

f
0

       e x f   x  dx  ef  1  f   0   2a ef ' 1  f '  0 
 

0
0

 1  Chọn đáp án D.

1
1
ef  1  f  0 
a  e x df x  ef 1  f 0  e x f x dx  ef 1  f 0  2a
       

  
 
0
0


Câu 49: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời ta đặt
x

g  x   1  2  f  t  dt . Biết g  x    f  x   với mọi x  0;1 . Tích phân
3

0

bằng bao nhiêu?
5
A. .
3
Lời giải

B. 4.

C.

x

4
.
3


1



3

 g  x   dx có giá trị lớn nhất


2

0

D. 5.

Ta đặt F  x    f  t  dt khi đó g  x   1  2F  x    f  x  x  0;1 .
3

0

f  x

Do vậy
3

1  2F  x 

 1  0 x  0;1 

F  x 

3

1  2F  x 

 1  0 x  0;1 .


t 
2
F  x 
3
3
Xét hàm số: h  t    
 1  dx  3 1  2 F  t   t  t  0;1 là hàm nghịch biến trên 0;1


4
4
0 3 1  2F  x 


2
2
3
3
4
cho nên h  t   h  0  t  0;1  3 1  2 F  t   t   0  3 1  2 F  t   t  1 t  0;1 .
4
4
3








Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...







CLB Giáo viên trẻ TP Huế

20


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông
Do đó:



3

g  x




2



Luyện thi THPT Quốc gia 2018

2
4

4
x  1 x  0;1   3  g  x   dx    x  1 dx 
3
3

0
0
1

1

1



3

0

2

5
 g  x  dx   Chọn đáp án A.


3

Câu 50: Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên 1; 8  đồng thời thỏa mãn điều kiện:
2
2
8
2
2
2
2
3
 f x3  dx  2 f x3 dx  2 f  x  dx  x 2  1 dx. Tính tích phân  f   x   dx.
1 







31
1
1
1

 


 

A.



8 ln 2
.
27



ln 2
.
27

B.

C.

4
.
3

D.

5
.
4


Lời giải
2
2
8
2
2
2
2
Đặt t  x3  dt  3x2 dx . Khi đó:   f x3  dx  2  f x3 dx   f  x  dx   x2  1 dx


3

 

8


1

1
3

t2

8

 f  t   dt  2 



3
2

1

1
t2



1

 

1



f  t  1  3 t 2 dt 

8



1



2 1

1  3 t2

3
2
31 t



1

 dt  0
2

2

2
 f t   1  3 t2 
3
 dt  0  f  t   3 t 2  1   f   x   dx  8ln 2  Chọn đáp án A.
 



3


27
t
1
1



Câu 51: Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương, liên tục trên 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện
8


1
f  0   1 và 3  f   x  f 2  x    dx  2  f   x  f  x  dx . Tính tích phân
9
0
0
3
5
5
A. .
B. .
C. .
2
4
6
Lời giải
1

1

1

 f  x  dx.
3


0

D.

7
.
6

2

1
1
 1
Theo bất đẳng thức Holder ta có:   f   x  f  x  dx    f   x  f 2  x  dx. 1 dx .
0
0
 0
2

2

1
1
1
1 
1 
Như vậy: 9    f   x  f 2  x    dx   4  f   x  f 2  x  dx  9    f   x  f 2  x    dx   0 .
9 
9 
0

0
0

Do đó: f   x  f 2  x  

1
1
 f 3  x  x  1 
9
3

1

7
 f  x  dx  6
3

 Chọn đáp án D.

0

3
Câu 52: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện f 1  ;
2
1



f  x  dx 


0

5
và
6

1

  x  1

1

0

7
A. .
3





2
x
1
f   x  dx   . Tính tích phân
x2
3

8

B.
.
15

1

 f  x  dx.
2

0

53
C.
.
60

D.

203
.
60

Lời giải
1

Sử dụng tích phân từng phần ta có:



f  x  dx 


0

Mặt khác: 2 1  x  1 



x
f  x
x2

  1  x 
2

2

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

1

1

5
2
 f 1   xf   x  dx   xf   x  dx  .
6
3
0
0


1



x
f  x
x2



2

.

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

21


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông
1



Luyện thi THPT Quốc gia 2018

1








2
2
2 4
x
x
2
 
f   x  dx  
f   x  dx  .
3 3 0 x2
2x
3
0

Tích phân hai vế ta 

2

2

1
1
 1
1

2

4 
x
x
Áp dụng Holder:   xf   x  dx      x  2  x 
f   x  dx    x  2  x  dx.
f   x  dx .


2x
2x
0
0
 9 0
 0
1







1



2
x
2
x2

53
.
f   x  dx  nên dấu bằng  f   x   2  x  f  x   2 x    f 2  x  dx 
2x
3
2
60
0
0

Do vậy  

 Chọn đáp án C.
Câu 53: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục và dương trên  và thỏa mãn điều kiện f  0   1
f ' x

đồng thời

f  x

 

x
. Tính T  f 2 2  2 f 1 .
x 1



2


A. T  3  2 2.
Lời giải
t

Ta có:

f ' x

 f  x
0

B. T  2.

D. T  4  2 3.

C. T  4.

t





x
1
dx  ln f  t   ln t 2  1  f  t   t 2  1  T  3  2 2  Chọn đáp án A.
2
0 x 1

dx  


2

Câu 54: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f  0   2 và





1

21 x2  1  12  x  1  12 xf  x    f '  x  x  0;1 . Tính
2

 f  x  dx.

2

2

0

3
A. .
4

Lời giải




4
B. .
3



Ta có 21 x2  1  12  x  1  12 xf  x    f '  x 


1

2

2





5
D.  .
4

C. 2.
2

1

1




1



2
2
36
24
 6  f  x  d x 2  1    f '  x   dx    6  x2  1 f '  x  dx    f '  x   dx
5
5
0
0
0
0

1

   f '  x   3x2  3 dx  0  f  x   x 3  3x  2  Chọn đáp án A.
2

0

Câu 55: Cho
1

  f '  x
0


2

hàm

số

f  x

1

dx    x  1 .e x . f  x  dx 
0

A. 2  e.

có

đạo

hàm

e2  1
và f 1  0 . Tính
4

B. 2  e.

liên


tục

trên

0;1

thỏa

mãn

1

 f  x  dx.
0

D. 1  e.

C. e.

Lời giải
1
1
1
e2  1
Ta có:
   x  1 .e x . f  x  dx   f  x  d x.e x    x.e x . f '  x  dx
4
0
0
0




1





1

  f '  x  dx    x.e x . f '  x  dx 
0
1

2

0



  f '  x   x.e x
0



2




2
e2  1
  x 2 .e 2 x dx   f '  x  dx   x 2 .e 2 x dx  2  x.e x . f '  x  dx  0
4
0
0
0
0
1

1





1

1

1

dx  0  f '  x   x.e x  f  x   e x  x  1   f  x  dx  2  e  Chọn đáp án B.
0



Câu 56: Cho f  x  liên tục trên  thỏa mãn

4



0

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

f  tan x  dx  4 và

1


0

x2 f  x 
x2  1

dx  2 . Tính

1

 f  x  dx.
0

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

22


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông
A. 8.


B. 2.

Luyện thi THPT Quốc gia 2018
C. 3.

D. 6.

Lời giải
1

Đặt tan x  t  4   f  t  .
0

1

1
dt . Vậy 6   f  x  dx  Chọn đáp án D.
2
t 1
0

Câu 57: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục và không âm trên 1; 4  đồng thời thỏa mãn điều kiện
4
2
3


x  2xf  x    f '  x  đồng thời f  1  . Tính  f  x  dx.
2

1
A.

1186
.
45

B.

2507
.
90

C.

Lời giải
2

1

2 2 f  x  1

Vì f 1 

d2 f  x    xdx  2 f  x   1 

D.

f ' x


Ta có: x.  2 f  x   1   f '  x   x 2 f  x   1  f '  x  


848
.
45

2 f  x  1

1831
.
90

 x

2
x x C
3

4

3
4
1186
 Chọn đáp án A.
 C    f  x  dx 
2
3
45
1

7

Câu 58: Cho f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  x   f 10  x  và



f  x  dx  4 . Tính

3

A. 40.

B. 80.

7

 xf  x  dx.
3

C. 20.

D. 60.

Lời giải
3

7

7


7

3

3

Ta có: I   10  x  f 10  x  d 10  x   I   10  x  f  x  dx  2 I   10 f  x  dx  I  20  Chọn đáp án C.
Câu 59: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện
1
 f   x  
1
f  0   0, f 1  1 và 
dx 
. Tính tích phân I   f  x  dx.
e 1
ex
0
0

1

A.

e2
.
e 1

2

B.


e 1
.
e2

C. 1 .

D.

1

 e  1 e  2 

.

Lời giải
1
 f   x 
1

1
Theo bất đẳng thức Holder ta có:   x  dx. e x dx    f   x  dx  
.  e  1  1
e

1
e
0
0
0



2

1

f ' x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy f  x  

ex

2

 k. e x  f '  x   k.e x . Vì

1

 f '  x  dx  1  k  e  1
1

0

e2
e C
e 1
 Chọn đáp án A.
. Mà f  0   0, f 1  1 và f  x  
. Vậy I 

e 1
e 1
e 1
x

x

Câu 60: Cho biết x  0;   và

x2

 f  t  dt  x

3

 5x 2 . Tính f  4  .

0

A. 2.

B. 8.

C. 2.

D. 8.

Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...


CLB Giáo viên trẻ TP Huế

23


Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dông
x2

Ta có

 f  t  dt  F  x   F  0   x
2

3

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

 

 5x 2 . Vậy 2 x.F ' x2  3x2  10 x

0

 

 

 f x2  F ' x2 

3

x  5  f  4   2  Chọn đáp án A.
2

1
Câu 61: Cho hàm số y  f  x  dương và liên tục trên 1; 3 thỏa mãn max f  x   2; min f  x   và biểu
1;3
1;3
2
3

3

3

1
thức S   f  x  dx 
dx đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tính
1
1 f  x

A.

7
2

B.

5
2


C.

 f  x  dx.
1

7
5

D.

3
5

Lời giải
1
5
1
5
1
 
  f  x
Ta có:  f  x   2   2 f  x   1  f  x   2   0  f  x  
2
f  x 2
f  x 2
3
3 5

25
khi

 S   f  x  dx    f  x  dx  . Ta tìm được max S 
 2

4
1
1


3

 f  x  dx  2  Chọn đáp án B.
5

1

Câu 62: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;1 đồng thời f  0   0, f 1  1 và
1
1
f  x
2
1
2


.
Tính
tích
phân
f
'

x
1

x
dx

dx.
0   

ln 1  2
1  x2
0
A.



1 2
ln 1 
2


2 .







2 1 2

ln 1  2 .
2

B.

C.





1
ln 1  2 .
2

D.



 



2  1 ln 1  2 .

Lời giải
1

Theo bất đẳng thức Holder ta có:   f '  x  
1


Mặt khác

1



1 x

0

2



dx  ln x  1  x2

1  x dx.

1

 f '  x  dx  1 nên k  ln
0

1

1  2 

0


 10  ln 1  2 

Vậy đẳng thức xảy ra khi f '  x  . 4 1  x2 
Vì

1

2

0

2

1

dx    f '  x  dx   1
 0

1  x2

1

2

 f ' x 

k
4

1 x


. Vậy f  x  

2



1

ln 1  2

k
1  x2



 

.ln x  1  x 2  C

1
 f  0   0
f  x
1
dx  ln 1  2  Chọn đáp án C.
Vì 
nên C  0 . Do đó 
2
1  x2
0

 f  1  1
Câu 63: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \0; 1 thỏa mãn điều kiện



x  x  1 . f '  x   f  x   x  x . Biết f  2   a  b ln 3
2

A.

3
.
4

B.

13
.
4



 a, b  Q  . Tính a
C.

1
.
2

2


f 1  2ln 2 và

b .
2

D.

9
.
2

Lời giải
Ta có f '  x  

1
x
1
x
. f ' x 
. f  x 
. f  x  1 
2
x1
x1
x  x  1
 x  1

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...


CLB Giáo viên trẻ TP Huế

24