TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

ĐỖ THỊ KIM VUI

NHIỆT DUNG CV CỦA PHONON ÂM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

ĐỖ THỊ KIM VUI

NHIỆT DUNG CV CỦA PHONON ÂM
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khóa luận: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan
ThS Đỗ Thị Thu Thủy

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả thầy giáo, cô giáo Khoa Vật lý trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy giúp đỡ em trong suốt thời
gian theo học tại trường và đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô
Nguyễn Thị Hà Loan và cô Đỗ Thị Thu Thủy người trực tiếp hướng dẫn em
đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thiện đề tài khóa luận tốt nghiệp này.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng do lần đầu làm công tác nghiên
cứu khoa học cũng như hạn chế về kinh nghiệm và kiến thức nên không tránh
khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn
đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 4 năm 2018
Sinh viên

Đỗ Thị Kim Vui


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của cô Nguyễn Thị Hà Loan và
cô Đỗ Thị Thu Thủy khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất
kì đề tài nào khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là có
nguồn gốc và trích dẫn rõ ràng.
Em xin chịu trách nhiệm hoàn toàn về lời cam đoan này.
Hà Nội, tháng 4 năm 2018
Sinh viên

Đỗ Thị Kim Vui



MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
PHẦN I: MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1
1.

Lý do chọn đề tài .................................................................................. 1

2.

Mục đích nghiên cứu ............................................................................ 1

3.

Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................... 1

4.

Đối tượng nghiên cứu ........................................................................... 2

5.

Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 2

6.

Cấu trúc khóa luận ................................................................................ 2

PHẦN II: NỘI DUNG ...................................................................................... 3
Chương 1: Những khái niệm cơ bản ................................................................. 3

1.1.

Hàm phân bố...................................................................................... 3

1.2.

Nội năng ............................................................................................ 6

1.3.

Nhiệt dung ......................................................................................... 8

Chương 2: Phonon âm..................................................................................... 12
2.1.

Phonon âm ....................................................................................... 12

2.2.

Phonon âm và phonon quang (mạng hai chiều) .............................. 20

Chương 3: Nhiệt dung của phonon âm ........................................................... 25
3.1.

Nhiệt dung của phonon âm.............................................................. 25

3.1 Nhiệt dung của vật rắn ........................................................................ 28
PHẦN III: KẾT LUẬN ................................................................................... 40
PHẦN IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................ 41



PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, các vật liệu trong tự nhiên hay đang được sử
dụng hàng ngày trong đời sống của con người, có thể tồn tại ở thể rắn, thể
lỏng hoặc thể khí. Do vậy, vật lý học cũng chia thành các chuyên ngành
nghiên cứu sự vận động của vật chất ở ba thể tồn tại trên. Trong cuộc cách
mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lý chất rắn đóng một vai trò
đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ
thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử,…Trong
những năm gần đây, xuất hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn nhiệt độ cao,
đặc biệt là công nghệ nanô làm cho vị trí của ngành vật lý chất rắn ngày càng
thêm nổi bật.
Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lý tổng quát mà tập
hợp nhiều các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều
đặn và tạo thành các tinh thể và năng lượng của dao động mạng bị lượng tử
hóa. Lượng tử năng lượng này được gọi là phonon. Phonon không phải là các
hạt thật mà chỉ là các giả hạt hay còn được gọi là các chuẩn hạt.
Việc nghiên cứu về tính chất vật lý của phonon đã đặt nền móng cho
việc nghiên cứu những tính chất vật lý của các chất rắn, em thấy mình bị lôi
cuốn và muốn tìm hiểu và khám phá hơn nữa về nó. Đặc biệt nhất là về trạng
thái dao động của các giả hạt.
Chính vì những lý do trên, em quyết định chọn tên đề tài là: “ Nhiệt dung CV
của phonon âm” để nghiên cứu và tìm hiểu sâu rộng hơn về vấn đề này.
2. Mục đích nghiên cứu
 Nghiên cứu phonon âm và tính nhiệt dung của phonon âm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

1



 Nghiên cứu dao động tử điều hòa
 Nghiên cứu nhiệt dung của hệ hạt lượng tử
 Tính nhiệt dung của phonon âm
4. Đối tượng nghiên cứu
 Nghiên cứu hệ nhiều hạt và tính nhiệt dung đẳng tích của chúng
5. Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp nghiên cứu của vật lý thống kê
 Phương pháp nghiên cứu của giải tích toán học
6. Cấu trúc khóa luận
 Đề tài “Nhiệt dung CV của phonon âm” có kết cấu gồm 3 phần: Mở
đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo.
 Phần nội dung được chia làm 3 chương:
 Chương 1: Những khái niệm cơ bản
 Chương 2: Phonon âm
 Chương 3: Nhiệt dung của phonon âm

2


PHẦN II: NỘI DUNG
Chương 1: Những khái niệm cơ bản
1.1.

Hàm phân bố
Những đại lượng ngẫu nhiên có một tập hợp vô hạn các trị số khác

nhau vô cùng gần nhau (phổ liên tục) thì xác suất của một biến cố riêng biệt
trong đó đại lượng ngẫu nhiên có một trị số nào đó thật chính xác sẽ bằng
không. Vì vậy sẽ chỉ có nghĩa khi ta nói về xác suất sao cho đại lượng ngẫu

nhiên đó có các trị số phân bố trong một khoảng ∆x nào đó từ x cho đến x +
∆x. Xác suất tìm thấy đại lượng x trong khoảng ∆x được kí hiệu là ∆W(x).
Khi chuyển tới khoảng vô cùng nhỏ các giá trị dx thì xác suất sẽ là dW(x) sao
cho đại lượng ngẫu nhiên có thể lấy các trị số từ x đến x + dx sẽ: phụ thuộc
vào trị số x đó hay nó là một hàm f(x) nào đó; tỉ lệ với chiều rộng của khoảng
dx. Vì vậy ta có thể viết xác suất dW(x) như sau:
dW(x) = f(x)dx
Tập hợp tất cả các trị số của sác xuất của một đại lượng ngẫu nhiên đã
cho sẽ tạo nên phân bố của đại lượng ngẫu nhiên đó, sự phân bố này được xác
định bởi hàm f(x). Hàm f(x) được gọi là hàm phân bố và được biểu thị bằng
một công thức xác định:
( )=

( )

Một trong các nhiệm vụ cơ bản của vật lí thống kê là tìm các hàm phân
bố của các đại lượng ngẫu nhiên. Ta nêu lên một số hàm phân bố đó:
1.1.1. Phân bố chính tắc Gisbbs:
Khi khảo sát hệ đẳng nhiệt có số hạt thay đổi. Tại mỗi thời điểm, số hạt
của hệ là không đổi nên ta có thể áp dụng phân bố chính tắc Gibbs cho hệ và
khi đó hàm phân bố hay tích phân trạng thái của hệ là:

3


( , )=

−

(1.1.1)


( , )

( )

Trong đó
Z: tích phân trạng thái

X: biến số trạng thái

H: năng lượng của hạt

: môđun của phân bố

a: thông số ngoài
1.1.2. Phân bố chính tắc lớn Gisbbs:
Trong vật lí học ta còn gặp những hệ trong đó không những năng lượng
biến đổi mà ngay cả số hạt trong hệ cũng có thể thay đổi, đó là hệ có số hạt
thay đổi. Ở mỗi thời điểm, số hạt của hệ là không đổi nhưng ở thời điểm sau,
số hạt trong hệ sẽ thay đổi (tăng hoặc giảm) nên ta có thể áp dụng phân bố
chính tắc lớn Gibbs cho hệ và khi đó hàm phân bố hay tích phân trạng thái
của hệ là:
=

1
.
!

(1.1.2)
−

( )

Trong đó
k: hằng số Boltzmann

T: nhiệt độ tuyệt đối

: thế hóa học của hạt

N: số hạt của hệ

1.1.3. Phân bố Maxwell – Boltzmann
Áp dụng với hệ các hạt không tương tác, trong hệ đó các hạt được coi
là khác nhau và năng lượng có thể có phổ liên tục cũng như rời rạc .
Khi ta chia không gian pha ra làm các “ô” tương ứng với các giá trị
khác nhau của năng lượng và xét các sự phân bố khác nhau của các hạt của hệ
theo các ô đó, từ đó tìm ra được số các trạng thái vi mô khả hữu của hệ tương
thích với những điều kiện bên ngoài nhất định tức là tìm được xác suất nhiệt
động của hệ, sau đó dựa vào nguyên lý Bônxơman tìm được entropi của hệ và

4


dựa vào điều kiện cực đại của entropi khi có cân bằng nhiệt động ta tìm được
phân bố thống kế của hệ và khi đó hàm phân bố hay tích phân trạng thái của
hệ là:
=

(1.1.3)


−

( )

Trong đó:
: năng lượng của hạt thứ i

( ): bội suy biến của mức

5


1.2.

Nội năng
Nội năng của một vật gồm toàn bộ các dạng năng lượng bên trong của

vật.
Nội năng bao gồm:
1. Năng lượng chuyển động nhiệt của các phân tử
2. Thế năng tương tác giữa các phân tử
3. Thế năng tương tác giữa các nguyên tử trong từng phân tử
4. Động năng và thế năng tương tác của các hạt cấu tạo nên nguyên tử (hạt
nhân và electron)
Hai dạng năng lượng cuối (3 & 4) gọi chung là năng lượng bên trong
các phân tử.
Xét với 1 kmol vật chất thì ta có biểu thức:
=

+


+

(1.2.1)

U0 – Nội năng của 1 kmol
E0 – Nhiệt năng của 1 kmol
Et – Tổng thế năng tương tác giữa các phân tử
Ep – Tổng năng lượng nội phân tử
Dưới đây ta sẽ đưa ra một cách định nghĩa nội năng thông qua phân bố
Gibbs. Hàm trạng thái được xác định bởi hệ thức:
=−
được gọi là năng lượng tự do của hệ.
Vì các mức năng lượng

của hệ phụ thuộc số hạt N của hệ và phụ

thuộc các tham số ngoại x cho nên tổng thống kê Z là hàm của T, x và N. Từ
đó ta thấy năng lượng tự do là hàm của T, x và N:
= ( , , )

6


Năng lượng tự do F và năng lượng trung bình (nội năng) U của hệ có
liên hệ với nhau.Theo định nghĩa trung bình thống kê, ta có:
(

=


)

[ ]

Sử dụng phân bố Gibbs, ta có:
=

1

=
[ ]

=

[ ]

=

ln

Như vậy , nội năng U theo phân bố Gibbs được xác định bằng:
=

(1.2.2)

ln

trong đó:
k: hằng số Boltzmann
T: nhiệt độ tuyệt đối

Z: tích phân trạng thái

7


1.3.

Nhiệt dung

1.3.1. Khái niệm nhiệt dung
Nhiệt dung là một trong những đại lượng cơ bản của nhiệt học, muốn
tìm hiểu được nhiệt dung ta cần xem xét một số khái niệm cơ bản của nhiệt
động lực học như nhiệt độ, nhiệt lượng, nội năng.
Vật lý phân tử và nhiệt học đã xem xét khái niệm nhiệt độ như sau: Khi
để hai vật tiếp xúc với nhau thì các phân tử của hai vật do chuyển động hỗn
loạn sẽ va chạm vào nhau và do đó có sự trao đổi năng lượng. Vật mà động
năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của phân tử trong vật lớn hơn sẽ bị
mất năng lượng. Vật đó là vật nóng hơn. Vật mà động năng trung bình của
chuyển động tịnh tiến của phân tử trong vật nhỏ hơn thì sẽ nhận thêm động
năng Vật đó là vật lạnh hơn. Để đặc trưng cho độ nóng lạnh của vật người ta
sử dụng khái niệm nhiệt độ.
Như vậy, theo quan điểm động lực học phân tử: Nhiệt độ là đại lượng
đặc trưng cho tính chất vĩ mô của vật, thể hiện mức độ nhanh hay chậm của
chuyển động hỗn loạn các phân tử cấu tạo nên vật đó.
Một sự thay đổi về nhiệt độ là do có sự truyền năng lượng giữa hệ và
môi trường, năng lượng này là nội năng (hay nhiệt năng). Một phần nội năng
truyền dưới dạng nhiệt lượng và ký hiệu là Q. Nhiệt lượng dương (Q>0) khi
nội năng được truyền từ môi trường xung quanh sang hệ, nhiệt lượng âm khi
môi trường nội năng được truyền từ hệ sang môi trường xung quanh.
Từ hai khái niệm về nhiệt độ và nhiệt lượng ta có khái niệm về nhiệt

dung như sau:
Nhiệt dung được đo bằng lượng nhiệt cần thiết để đốt nóng hệ lên 10 nghĩa là
(1.3.1)

=

8


Về đơn vị: Nhiệt dung đo bằng Calo hoặc Jun (1J = 0,24 cal). Nhiệt độ
đo bằng Kelvin (K). Do đó đơn vị của nhiệt dung là J/K hoặc cal/K. Khi hai
vật làm cùng một chất liệu ta sẽ có nhiệt dung tỉ lệ với khối lượng của chúng.
Ta định nghĩa: Nhiệt dung riêng (c) của một chất bất kỳ là một đại
lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng cần truyền cho một đơn vị khối lượng
chất đó để làm tăng nhiệt độ thêm 10.
Ta có:
=

∆

(1.3.2)

Đơn vị của nhiệt dung riêng: J/Kg.K hay cal/Kg.K
Nhiệt dung phân tử gam (nhiệt dung mol).
Trong nhiều trường hợp, các đại lượng vật chất tính ra mol, do đó nhiệt
dung cũng phải tính theo mol gọi là nhiệt dung mol. 1 mol = 6,023.1023 đơn
vị cơ bản của lượng chất.
Đơn vị của nhiệt dung mol: J/mol.K.
Chú ý rằng nhiệt dung mol của tất cả các chất rắn thay đổi khi nhiệt độ thay
đổi. Khi nhiệt độ đủ cao nó tiến gần tới 25 J/mol.K.

Như vậy, nhiệt dung phân tử gam của một chất bất kì là một đại lượng
vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng cần truyền cho một mol chất ấy để làm tăng
nhiệt độ thêm 10C, nghĩa là:
(1.3.3)

=

1.3.2. Nhiệt dung đẳng tích
Khi ta gắn nhiệt dung cho một chất nào đó, ta không chỉ cần biết có bao
nhiêu nhiệt đã được hấp thụ mà còn cần biết trong điều kiện nào đã xảy ra sự

9


truyền nhiệt. Với chất lỏng và chất rắn người ta giả định rằng vật chất trao đổi
nhiệt khi thể tích không đổi.
Theo thực nghiệm người ta thấy với chất rắn và chất lỏng thì nhiệt dung
riêng khi thể tích không đổi thường khác nhau không quá một vài phần trăm.
Mật độ ở trong một thể tích phụ thuộc vào nồng độ khí cho nên đối với các
thể tích không đổi thì nhiệt dung phụ thuộc vào thể tích này. Với các chất khí
khác nhau, với cùng mật độ trong thể tích khác nhau thì nhiệt dung rất là khác
nhau.
1.3.3. Biểu thức tính nhiệt dung đẳng tích
Theo (1.3.3), nhiệt dung đẳng tích (Cv) được tính theo biểu thức dưới đây:
(1.3.4)

=

Theo nguyên lí thứ nhất của nhiệt động lực học: Nội năng là hàm đơn giá của
trạng thái, ta có:

=

+

(1.3.5)

Khi thể tích không đổi thì
=

=0

Từ (1.3.5) ta có:
=

Do đó:
(1.3.6)

=

10


Kết luận:
Ở chương 1, em đã tìm hiểu và trình bày được các khái niệm cơ bản
như là hàm phân bố, nội năng, nhiệt dung. Các khái niệm này dùng đối với hệ
có số hạt rất lớn tuân theo quy luật thống kê:
+ Đối với hệ hạt mà có số hạt thay đổi thì sẽ tồn tại thế hóa học
+ Đối với hệ hạt mà có số hạt cố định thì thế hóa học

11


=0


Chương 2: Phonon âm
2.1.

Phonon âm

a/ Lý thuyết cổ điển
Mạng tinh thể đơn giản nhất là chuỗi các nguyên tử cùng loại xếp đặt
cách đều nhau một khoảng bằng a (hằng số mạng tinh thể) trên trục Ox, mỗi
nguyên tử có khối lượng M và dao động xung quanh vị trí cân bằng của nó
(hình vẽ).

Hình 1: Chuỗi nguyên tử cùng loại
Đánh số các nguyên tử bằng một chỉ số nguyên n, tọa độ của nguyên tử thứ n
ở vị trí cân bằng là xn
=
Còn dịch chuyển của nguyên tử này là un(t) với
( )= (

, )

Giả thiết rằng thế năng giữa hai nguyên tử kế nhau, ở các nút thứ n và n+1, tỉ
lệ với bình phương độ dời tương đối.
( )−

( )


Và bỏ qua tương tác giữa các nút không kề nhau
Khi đó thế năng toàn phần của hệ là
=

2

[

( )−

12

( )]


Với

là hệ số tỉ lệ, còn động năng toàn phần của hệ là
=

( )
2

Lực tác dụng lên nguyên tử thứ n là
=−

= − (2

−


−

)

Từ định luật thứ hai của Newton
( )

=
Ta suy ra phương trình chuyển động sau
+

(2

−

(2.1.1)

)=0

−

Tìm nghiệm của (2.1.1) dưới dạng sóng đơn sắc
( )= (

, )=

[

( ) ]


(2.1.2)

Với A ≠ 0. Thay (2.1.2) vào (2.1.1), ta nhận được hệ thức
( ) =

2

(1 − cos

)=

4

sin

2

Hay
( )=2
Ta thấy rằng tần số góc

sin

(2.1.3)
2

của dao động phụ thuộc vào vecto sóng k

theo công thức (2.1.3) trong đó a là hằng số mạng. Đối với mạng tinh thể thì
hằng số mạng a và khối lượng M là không đổi. Như vậy tần số góc


là một

hàm của vecto k theo hàm sin. Ta có thể vẽ đồ thị sự phụ thuộc của tần số
góc

vào vecto sóng k như sau:

13


Hình 2: Sự phụ thuộc vào vecto sóng k của tần số

của

dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại.
Vậy dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là một sóng đơn sắc
(2.1.2) với tần số góc

( ) xác định theo công thức (2.1.3) phụ thuộc không

tuyến tính vào giá trị k của vecto sóng (hình 2), giống như hiện tượng tán sắc
trong quang học.
Trường hợp với k rất bé ta mới có sự phụ thuộc tuyến tính.
( )≈
Khi đó nghiệm (2.1.2) có dạng
(

(


, )=

)

Với
=

=

Trong trường hợp này dao động của mạng tinh thể trùng với sóng âm
với v là tốc độ truyền âm. Do vậy, các dao động (2.1.2) với ( ) thỏa mãn hệ
thức (2.1.3), gọi là các dao động âm.

14


b/ Lý thuyết lượng tử
( ) là

Xung lượng của nguyên tử thứ n ứng với tọa độ
( )

( )=

Biểu thức của động năng toàn phần có thể viết lại như sau
1
2

=


( )

Và do đó năng lượng toàn phần của hệ là
=

1
2

( )+

[

2

( )−

( )]

Khi lượng tử hóa ta thay hàm Pn(t) bằng toán tử xung lượng
bằng toán tử tọa độ suy rộng
=

1
2

Giữa các toán tử

liên hợp với
+


và

Các toán tử

và

2

−

. Hamiltonian của hệ trở thành
]

(2.1.4)

có các hệ thức giao hoán
,

[

[

và hàm un(t)

]=

,

(2.1.5)


= ℏ
,

=0

tương đương với nút thứ n và phụ thuộc vào tọa độ xn

của nút này. Ta khai triển các toán tử này theo các sóng phẳng với vecto sóng
nằm trong vùng Brilouin thứ nhất.
=

=

1

( )

(2.1.6)

√
1

( )

√

15


Chỉ số (1) có nghĩa là lấy tổng theo k chỉ lấy trong vùng Brilouin thứ

nhất. Theo phương pháp cung ta chỉ xét các sóng phẳng thỏa mãn điều kiện
tuần hoàn trên đoạn thẳng chiều dài L = Na với N là số nút mạng có trên đoạn
thẳng này, cũng là số giá trị gián đoạn k trong vùng Brilouin thứ nhất. Nhân
cả hai vế của các công thức (2.1.6) với

, trong đó k’ cũng là vecto sóng

trong vùng Brilouin thứ nhất, rồi cộng theo n và dùng công thức
1

(

)

(2.1.7)

=

Ta thu được các biến đổi ngược lại:
=

=

( )

1

(2.1.8)

√

( )

1
√

Hãy tìm hệ thức giao hoán giữa

và

. Dùng các khai triển (2.1.8), các hệ

thức giao hoán (2.1.5) và công thức (2.1.7), ta thu được
,

=

1

(

)

ℏ

[

−

] =−


[

−

] =−

[

−

] =−ℏ

,
(

ℏ

(

,

Nghĩa là

16

)

)



,

=−ℏ

(2.1.9)

,

Tương tự, ta cũng có
=[

,

]=0

,

(2.1.10)

Mặt khác, thay các khai triển (2.1.6) vào Hamiltonian (2.1.4) và lại dùng công
thức (2.1.7), ta tính được
=

( )

1

( )

(


( )

)

( )

=

,
( )

=

[

−

] =

( )

1

( )

( )

[


−

] =

[

−

] =

(

)

,

(1 −

1−

1−

( )

)(1 −

)

( )


(1 −

)(1 −

)

( )

[

−

] =4

sin

2

Do đó
( )

=

1
2

+ 2 sin

(2.1.11)
2


Thay
4

sin

2

Cuối cùng ta thu được

17

=

( )


( )

1
2

=

+

1
2

(2.1.12)


( )

Tiếp theo ta biến đổi công thức này về một dạng mới bằng cách đặt
( )

√
1

=

ℏ ( )
(
2

=−

√

Trong các biểu thức trên
lại qua

và

(2.1.13)

ℏ ( )
(
2


và

)

+

)

−

là các toán tử mới được biểu diễn ngược

như sau:
1

=
=

1

( )

√

2ℏ ( )

( )

√


2ℏ ( )

+
−

√
√

Từ các hệ thức giao hoán (2.1.9), (2.1.10) suy ra rằng giữa các toán tử

và

có các hệ thức giao hoán:
[

]=

,

[

]=[

,

,

]=0

(2.1.14)


Thay thế các biến đổi (2.1.13) vào phương trình Hamilton (2.1.12), ta nhận
được
=

1
2

( )

ℏ ( )(

+

)

(2.1.15)

Theo các hệ thức giao hoán (2.14) ta có
=

+1

Do đó
=

1
+ ℏ ( )
2


( )

ℏ ( )

Có thể chọn gốc tính năng lượng tại giá trị

18

(2.1.16)


=

1
2

1
= ℏ ( )
2

Cuối cùng ta nhận được
=

( )

=

(2.1.17)

( )

( )

ℏ ( )

Vậy mạng tinh thể đơn giản mà ta xét được diễn ta trong lý thuyết
lượng tử bằng Hamiltonian (2.1.17) với các toán tử

và

thỏa mãn các hệ

thức giao hoán (2.1.14). Vì thế có thể coi mạng tinh thể dao động như một hệ
nhiều hạt
ℏ ( ), còn

là toán tử hủy hạt có vecto sóng k, xung lượng ℏ và năng lượng
là toán tử sinh hạt như thế. Các hạt này là các lượng tử trong

dao động mạng tinh thể, gọi là các phonon, do tuân theo các hệ thức giao
hoán (2.1.14) nên các phonon là các boson, trong thực tế ta không có các hạt
thật mà chỉ có các trạng thái dao động khác nhau của mạng tinh thể được mô
tả giống như một hệ hạt mà thôi. Điều này có nghĩa là các phonon không phải
là các hạt thật mà chỉ là các giả hạt, thường được gọi là chuẩn hạt. Ta đang
xét dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là các sóng âm khi vecto sóng rất
bé. Các phonon trong trường hợp này là các phonon âm. Trong phần tiếp theo
ta sẽ thấy còn có cả phonon quang nữa.

19



2.2.

Phonon âm và phonon quang (mạng hai chiều)

a/ Lý thuyết cổ điển
Ta xét chuỗi nguyên tử gồm hai loại khác nhau, loại thứ nhất có khối
lượng M1 còn loại thứ hai có khối lượng M2, xếp xen kẽ, cách đều nhau một
khoảng bằng a trên trục Ox, mỗi nguyên tử chuyển động quanh vị trí cân bằng
của mình.

Hình 3: Chuỗi hai nguyên tử khác loại.

Gọi độ dời của loại nguyên tử thứ nhất, loại hình vuông trên hình 3 là
( ) và của loại nguyên tử thứ hai, loại hình tròn là

( ), ta có hệ hai

phương trình vi phân
+

+

∝

∝

(2

(2


−

)=0

−

−

)=0

−

(2.2.1)

(2.2.2)

Tìm nghiệm của hệ phương trình (2.2.1), (2.2.2) dưới dạng sóng đơn sắc
( )= ( , )=

(

( ) )

20

(2.2.3)