TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

PHẠM THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG
TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI - 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

PHẠM THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG
TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI - 2018


LỜI CẢM ƠN
Tƣ
ò

ậ

ế ơ sâ sắc t i TS. Nguyễn Huy Thảo
ê

tốt nhất
ạ

ứu, cung cấp nhữ
o

ọ sƣ

ƣ

o

q á

ờ


ả

ạ

H N

ệ

chắn
ý
T

o

ơ

ả

ƣờ đã

ậ
oá

ỏ

ú đỡ đị

ận tốt nghiệp.
Vậ ý ý


ợ

ƣ ng

ƣ ng dẫn, tạo đ ều kiện

ê

đã

ệ

ú đỡ

o

ế

ờ

ƣờ
ọ ậ

ậ

Cuố ù
L

ệ q ý á


ố

xin cả

ơ s đ

s

ê

á

ỏi s thiế s

ến c a thầ
â

ầ đầ
ạ

ê
è để

ê

ú đỡ c

đ

ê


ứu khoa họ

ê

ậy
oá

ạ
oá

rất mong nhậ đƣợc nhữ
ậ đƣợ

o

ệ

è
ận chắc
đ

ơ

ảm ơ !

Hà Nội, ngày.... tháng.... năm 2018
Sinh Viên

Phạm Thị Hường



LỜI CAM ĐOAN
Cù

v is

ê

ƣ ng dẫn c a TS. Nguyễn Huy Thảo,

Vậ ý ý

vậ ý ƣợng tử” đƣợ
ả
trong phầ
T
trung th

ế đề

M t số ơ sở oá

â

c hiện T o

á

ận


ảo m t số

ậ
ọ

ố

ƣờ

q á

ệ

ù
ê

o
ứ

ệu c a m t số á

o

ả đã

ệu tham khảo.
đo
ƣ ừ


ững kết quả
đƣợ

ê

ứ

o

oá

ố trong bấ

ậ

o

o

o

ọ

á .

Hà Nội, ngày.... tháng... năm 2018
Sinh Viên

Phạm Thị Hường


o


MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ẦU .......................................................................................... 1
1. Lý o

ọ đề

2. Mụ đ

..................................................................................... 1
ê

ứu ............................................................................... 2

ối ƣợ

3.

ạ
ê

4. Nhiệm vụ
5. P ƣơ

ứu ........................................................... 2

ứu............................................................................... 2


á

ê

ú

6. Cấ

ê

ứu ......................................................................... 2

ận ................................................................................... 2

PHẦN 2: NỘI DUNG ...................................................................................... 3
CHƢƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƢỜNG DÙNG TRONG VẬT
LÝ LƢỢNG TỬ ............................................................................................... 3
11 K

H

e .................................................................................. 3

111K

ế

........................................................................ 3

11 K


H

e ............................................................................ 5

1.1.3. S

o ....................................................................................... 6

1.1.4. Hệ tr c chuẩn .................................................................................... 7
1

Toá

ử oá

ửt

ê

ợp tuyế

á

é

oá

ê


oá

ử........ 8

1 1 Toá

ử .............................................................................................. 8

1

Toá

ử

ê

ợ

1

Cá

é

oá

ê

1


H

1

Lý

ê

ế
oá

ị ê
ế

ể

1 1 Lý

ết về

1

ế

ử Hermite) ............................ 10

ử ............................................................... 10
oá

ề


Lý

oá

ử ......................................................... 12
ễ

................................................. 14

.......................................................................... 14

ể

ễ

................................................................ 17

CHƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ....................................... 21
1 B

oá

ề

B

oá

ề


B

oá

ề

H
ê

e ............................................................. 21
ị ê

ểu diễ

oá

ử ...................................... 23

.................................................... 28


PHẦN 3: KẾT LUẬN .................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 39


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vậ ý ọ
đ


o
ê

To

ữ

o

ừ

á

ệ
ê

ứ

ụ

đạ

ƣ

Vậ ý
ƣ: đị

ừ


ê

ứ

ƣ

ng thời vậ ý

sắc c

o

ƣời về t

s

á

ể

áđ

để

ấ

ệ đạ -

ò đƣợ


ọ

ê

ở

ê

ệ đạ

ế
V

ứ
o

ọ đề
đề

ế ơ ản c
ê

ậ ý

ề

ố

ọc,


ọ

ố

oá

ử He

e

ả

ơ ọ

ố mở

ể

ật ý

ại m
o

á

sâ

ƣờ N
o


ê

ử đƣợ

ứ

ầ

ế

e
á

o

o

ọ

á
ậ

ế

ê
ƣợng tử
ế

á


ơ

i hạn

ề á

ƣờng giải

ọc ho c triết học.

á

ơ sở oá

ọ

ị ê

oá

ử

ê

ê

đ ng thời mở ra

ƣ oá


ệ

ứ

ƣợng tử

ện m i trong vậ ý

á
ê

ê
ọ

á

ứu m i t o

oá

ải
o

ƣợ

ƣờ đã đ sâ
ậ ý ƣợ

ƣ: vậ ý s


ơ

e

ấp dẫ

ác. Vậ ý ọc giao nhau v i nhiề

ƣ
H

ệ đạ đã

ọ

Cá

Vậ ý

ậ

t số hiệ

o

ậ

c a vậ ý

nhữ


ạ

ế

á đị

á
ữ

ề

đế

ú đẩy s tiến b c

ậ ý

đị

ạ

ê từ cấ đ

c để

ơ ả

ậ


ể

ệ đại nhằm giả

ọ

ậ

ế

đời c a vậ ý

o

á q

ậ ý ầ

định luậ

vậy, s

Vậ ý

ứ

đ ể đã đe

ƣợng trong t


đƣợ

ể

luậ q á

ạ

đƣợc nhiều hiệ

á

ê

o đế

s ố q á

ứ

ọ

ậ ý ƣợ
ế

ƣ:
ữ

ử
ứ


ê

M t s c sở to n học thường d ng trong vật lý lư ng t
ậ

ố

ệ

1


2. Mục đích nghiên cứu
N

ê

ứu

ọ ậ

số ơ sở oá

ê

ọ

sử ụ


số ơ sở oá

ọ

ứ

3. Đ i tư ng và phạm vi nghiên cứu
K

H

Toá

ử oá

H

ê

Lý

e .
ử Hermite.
ị ê

oá

ế

ử.


ểu diễ
ậ

M t số

ê q

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
N

ê

ứ

số ơ sở oá

ọ

ƣờ

5. Phư ng ph p nghiên cứu
Sử ụ
Sử ụ
Sử ụ

ƣơ
oá

á đọ

ọ

ƣơ

ệ

o ậ ý
á

ả

oá

ọ

6. Cấu trúc khóa luận
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: N i dung
Phần 3: Kết luận

2

ù

o

ậ ý ƣợ

ử


o


PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG
VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
1.1. Không gian Hilbert
K

H

e

q á

t dạng t

a

ị gi i hạn về vấ đề hữu hạn chiều. N
á đại số e ơ

á

e ơ
á

K
oá


ậ ý

ạn chiều. M

ƣ ng, hay đƣợc hiể

e xuất hiện m
ƣờ

o

đ

o

ê

á ý

é

ê

t

ƣờ

ê

o


ạn chiều Cá
ứu trong thập kỷ đầ
F

bởi David Hilbert, Erhard Schmidt
ể thiế

á

á

gian Hilbert s m nhấ đƣợ

họ ƣợng tử

ƣơ

đo đƣợc.
H

ọ

á

mở r ng c

hữu hạn ho

e

oả

e

oá từ m t ph ng Euclide hai chiề

gian ba chiều cho đến
H

E

a thế kỷ 20

es R esz C ú

ết về á

ế đ i Fourier

ê

ƣơ

ý

â

ết ergodic

ữ


ụ

ừng phầ

ơ

ơ sở oá

ọc c a

nhiệ đ ng l c học.
Cá

H
o

dụ

e

é

á tr

q á

á

á


số tr c giao
â

ọc

ệm chu i Fourier theo m t hệ bấ

K
ứ

oá

ể đƣợ á
ấp m t khung

é biế đ i Fourier

a giả

trong việ

á

ạn chiều. C ú

t số

để hệ thố
c


o

H

e đ

ữ
m t

á

ệm

òq

ọng

é

c a

ọc ơ ọ ƣợng tử.

1.1.1. Không gian tuyến tính
M

ế

ầ

é

ử
â

ậ
é

á

o

â
ấ

đ
ầ

ƣờng c

3

á đị
ử

số
é

e ơ


é
ọc


é

â

e ơ

ọc v i m t số. C
ế

m t
é
ệ

á
ỏ

1. T

ấ

ầ

ử

ậ X đƣợc gọi


m

ệ

X

số a ( a  T , T

X

ax

ơ

ế ứng v i m i c p phần tử x, y c a X á đị

é

á phần ử

c

á

ã

á

é


x+y

ể

â

ập số th c ho c phức,

ê đề s :

o oá : v

ử ất kỳ x, y  X ta

ầ

x  y  y  x.

3. T

( x  y)  z  x  ( y  z ).

ất kết hợp: v i mọi x, y, z  X

2. T
ạ

ọ x

ử 0  X sao cho x  0  0  x  x


ầ

e ơ
4. T

ị 1.x  x.1  x v i mọi x  X .

ạ phần tử đơ

5. a(bx)   ab  x
6. a  x  y   ax  ay
7.

 a  b  x  ax  bx

8. T

ạ

ầ

x X.

a, b T

x, y  X .

a T


x X.

a, b T

ử đố ( x)  X

ử x  X sao cho

ầ

x    x   1   1  x  0.x  0.

Ở ê

ố q

số

ệ

ữ

á

ầ

đị

ử


aX
ế

ế

á số a, b T . Nế a
c. Nếu a

số phứ

ức [1,3].

Cho hệ n e ơ x1 , x2 ,..., xn  xn   X , e ơ:
y  a1 x1  a2 x2  ...  an xn  y  X , ai T .

ƣợc gọ

á

hợp tuyế

Nếu a1 x1  a2 x2  ...  an xn  0

a1 , a2 ,..., an

á

ƣợc lại nếu ai  0

e ơ x1 , x2 ,..., xn .

ất m

t n tạ

ệ  xn  đƣợc gọ

ụ thu c tuyế

ệ e ơ ê đƣợc gọ

4

o

đ c lập tuyế

á

ệ số

T ƣờng hợp


N ƣờ

đã

ứ

đƣợc rằng:


a. T o

ất m t hệ tố đ p e ơ đ c lập tuyến

X t n tạ

Cá

ệ tố đ

b. Nế

ê

ệ (p + 1

e ơ đ c lập tuyế

o

X đề

o ệ p e ơ đ c lập tuyế
e ơ

số e ơ ằng p.
e ơ bấ

am


ụ thu c tuyế

x X

:

a1x1  a2 x2  ...  ap x p  ap1 x  0.

ất hệ số ap 1 c a x

V

c. T o

: x  a1 x1  a2 x2  ...  a p x p .

á
ể

X

số e ơ ằ

ều hệ ơ sở Cá

ằng p N ƣời ta gọi p

ệ ơ sở c a X đều


số chiều c

X

ệu dim X  p.
d. Phần tử X’ c

X thỏ

ã 8 ê đề về

ến

e ơ đƣợc gọ

o

a X. N ƣời ta

chứng minh rằng dim X   dim X [1].
K

ế

ƣờ
ọ

phần tử c

á


đƣợc gọi

e ơ

á

e ơ

1.1.2. Không gian Hilbert
M

ế
đ

tro

th c X đƣợ

á định

e ơ x, y  X

ọ

ề H

ế (x, y), gọ
á


ấ s

e

ế

ƣ ng

[4,7]:

1. ( y, x)   x, y .
2.

 x  y, z   ( x, z)   y, z .

3. ( x, x)  0

( x, x)  0

4. ( x, ay)  a  x, y 
V
đị

ƣ

a

x  0.

số


đƣợ đị

ề chuẩn x c a m

ở

á

e ơ x ê X. x 

5

ất từ 1– 4 ò

 x, x .

t


t chuẩn ê X, gọ

x

tiề H

ẩn sinh bở

e đƣợ đị


ƣ ng

ƣ ê

Định nghĩa 1: M

định chuẩn [5].
i chuẩn x 

ế

 x, x  đƣợc gọi

ền Hilbert [1].
V

ền Hilbert

t

định chuẩ đề á

niệm về
H

định chuẩ

e

ểđ


ụ

o

đ .M

ê

M

ề H

ọ

á
tiền

e đ gọ

gian Hilbert.
Định nghĩa 2: M

ề H

đƣợc gọ

H

To


H

ơ sở tr c chuẩ đ

e

t hệ ơ sở tr c chuẩ đ

e [1].
e X

e ơ x bấ

ể khai triển theo hệ

e  :
n

x  a1e1  a2e2  ...  anen .
N â

ƣ ng hai vế v i ek ,

:

ak   ek , x  k  1,2,..., n .

Ta sẽ đ


ứng minh:

n

 ak

2

 1 khi x  1.

k 1

Thật vậy:

 ak

2

  ak  ek , x    ak  x, ek 
*

k

k

k



  x,  ak ek    x, x   1.

 k


1.1.3. Sự trực giao
Định nghĩa
Định nghĩa 3: Cho
ta

á

e ơ x, y

H
o

e X
ế x y

6

á

ầ
ệ

ử x, y  X

 x, y   0.

ƣờ



C c tính chất

y  x. T

1. Nế x  y

2. Nế x  y1 , y2 ,..., yn
T ậ

ậ

 x, a y

1 1

x  a1 y1  a2 y2  ...  an yn .

 ...  an yn   a1  x, y1   ...  an  x, yn   0.

3. Nế x  yn , yn  y  n   
T ậ

ậ

x  0.

xx


x  y.

 x, y   lim( x, y )  0.
n

n

4. Nếu x1 ,..., xn đ
x1  x2 ...  xn

o

t tr

2

 x1  x2 ...  xn
2

2

2

đị

ý Pythagore).

1.1.4. Hệ trực chuẩn
C o


H

e X.

1. Hệ e1, e2 ,...  X

ọ

ệ

ẩ

e , e   
i

j

ij

ế :

0

1

đ :  ei , e j   0 nếu i  j.

To

 e , e   1 nếu i  j.

i

N ƣ ậ

j

en 

ệ

ẩ

en  1

ế

n  

ei  e j  i  j .

2. Nếu en 
Fo

e

ệ

ọ x  X , số i  ( x, ei ) ọ

ẩ



x đố

 e

ei

i i

i 1

ọ

Fo

e

x

en .
3. M
giao

ệ
ấ ả á

ẩ
ầ


en 
ử

đƣợ

ọ

ệ:

7

đầ đ

e ơ

ệ số
eo ệ


x  en (n  1,2,..)  x  0.
1.2. To n t , to n t tự liên h p tuyến tính, c c phép to n trên to n t
N o

ữ

đạ ƣợng vậ ý đ

ƣ

ƣ tọ đ


ƣợ

o

ạ

á

ƣợng,... ò

ƣợng vậ ý ắn liền v i bản chất c a hạ
spin,... Trong ơ ọ
đ

ƣ

ởi m

ƣợng tử, m

oá

ể đ ng c a hạt vi
ƣ

ữ

ố ƣợ


đạ ƣợng hay thu

đại

đệ

ậ ý đề đƣợc

ử.

1.2.1. To n t
Kh i niệm
X, dim X  p

C o
é

a. M
á

gọ
đƣợc viế

oá

ƣs

ệ

ần tử y  Y đƣợc


ến phần tử x  X

ođ

ạ K

Y, dimY  q.

é

Aˆ ,

oá

é

biến x  y

oá

[1]:
ˆ  y ( x  X , y Y )
Ax

Á

ạ Aˆ đƣợc gọ

ế


(1.1)

ếu:



ˆ ,  x  X , a T 
Aˆ   ai xi    ai Ax
i
i
i
 i
 i

 

(1.2)

M t s to n t
Toán tử tuyến tính: T ê
Aˆ đƣợc gọ

H

1

oá

1


ử tuyế

X, v i x, y  X

tuyế
ếu thỏ

ử

ã đ ng thời hai đ ều kiện sau:

ˆ  Ay
ˆ v i x, y  X
Aˆ  x  y   Ax

(1.3)

ˆ v i a bấ
Aˆ (ax)  aAx

(1.4)

ƣơ

đƣơ

i nhau

x X


ể viết gọn lạ

ƣs :

ˆ  a Ax
ˆ  ...  a Ax
ˆ .
Aˆ  a1x1  a2 x2  ...  ak xk   a1 Ax
1
2
2
k
k

To

oá

đ x1 , x2 ..., xk  X ; a1, a2 ,..., ak

ững số th c ho c phức bấ

8


Toán tử đơn vị: T n tạ oá
s

ử đơ


đ

ị

oá

ử

á đ ng c

ê

s
ˆ  .
I

Toán tử ngược: Toá
ƣợ

ử Aˆ 1 đƣợ

ọ

ử Aˆ ,

oá

Toán tử Unita: Toá


(1.5)
oá

ử

ˆ y
ế Ax

ử Aˆ ọ

oá

ửU

Aˆ ế

ƣợ

á đ

x  Aˆ 1 y, x, y  X .

e ế

ử Aˆ

oá

ị


:

ˆ ˆ   Aˆ  Aˆ  I .
Aˆ   Aˆ 1 hay AA
Toán tử liên hợp

oá

ử

oá

ử ê

(1.6)

ợ

ằ

Aˆ   Aˆ

(1.7)

Chứng minh
ƣ ng:

Xé

 x , Axˆ   A T .

i

ần tử (i, j) c

Ta gọi Aij

j

ij

ử Aˆ .

oá

N ƣ ậy:
ˆ , x    x , Ax
ˆ 
 Ax

*

i

Tƣơ

ứ

á

vừa chuyển vị vừa lấ


j

j

ần tử c

oá

ê

hợp c a phần tử Aij . Tƣơ
ê

ợp c

oá

i

ử Aˆ  . Phần tử Aij

đƣợc bằ

ợp phức c a phần tử Aij đƣợc gọ
ứng v

đề đ

ử Aˆ .


Toán tử tự liên hợp (toán tử hermite)
Nếu xả

 A*ji  Aij .

đ ng thức

Aij  Aij

9

oá

ử Aˆ  đƣợc gọ

á

ần tử ê
oá

ử


Tứ

 x , Axˆ    Axˆ , x 
i

j


i

j

Hay Aˆ  Aˆ 
ử Aˆ đƣợc gọ

oá

oá

ửt

ê

ợ

oá

ử Hermite [1].

1.2.2. To n t tự liên h p tuyến tính to n t Hermite
ối v i m
Ф,

oá

ƣờ


ử

Aˆ đƣợc đị

ế

đị

m

ử Aˆ 

oá

ˆ 
 Aˆ x, y    x, Ay

ử Aˆ  đƣợc gọ

ử Aˆ

ế

Hermite. T

Xé

o (1.8

oá


á oá

ƣs :

ử ê

ử Aˆ   Aˆ đƣợc gọ

oá

ến

ọi x, y  X .



Cá oá

ê

(1.8)

ợp

oá

ử t

oá


ử

ê

ợ

oá
oá

ử

đƣợc [4,5]:

ˆ , y    x, Ay
ˆ 
 Ax

ọi x, y  X .

ừ Hermite Aˆ  Aˆ 

Bˆ  Bˆ  . M t số

(1.9)
chất c

oá

ừ


Hermite:
oá

1. T ng c

ử He


2. T

oá

Aˆ  Bˆ

e





oá

ử Hermite.

 Aˆ   Bˆ   Aˆ  Bˆ .

ử Hermite v i m t số

oá


ử Hermite nếu số đ

c.

 
ˆ
kA

3. T
oá

a hai oá



 k  Aˆ   k  Aˆ  kAˆ ,  k   k , k  R .

ử He

e

oá

ử He

e

i nhau.
ˆ ˆ

 AB



ˆ ˆ.
ˆ ˆ  AB
 Bˆ  Aˆ   BA

1.2.3. C c phép to n trên to n t

10

oá

ửđ

o


Xé

ử Aˆ , Bˆ

oá

1. P é
ừ

Vậ
ấ


o oá

3. P é

â

ử ậ

Aˆ , Bˆ

P é

ấ

ế

ể

é

sau:



oá

ử ằ

é


ừ P é

ợ
oá

 

ˆ ˆ f  Aˆ ( Bf
ˆ ).
ử: AB

ˆ ˆ  BA
ˆ ˆ,
chung AB

N





ừ

ế



á


ˆ  Bf
ˆ  Df
ˆ hay Dˆ  Aˆ  Bˆ .
ử: Aˆ  Bˆ f  Af

oá
oá

ấ

ˆ  Bf
ˆ hay Cˆ  Aˆ  Bˆ .
ˆ  Cf
ử: Aˆ  Bˆ f  Af

oá

2. P é

số f

Aˆ , Bˆ

ˆ ˆ  BA
ˆ ˆ,
ƣợ ạ AB

o oá

o oá

oá
ứ

ầ

úý

ử
ứ

ấ
oá

ử ƣ

oá

o oá

ê

ửs

d
d
Thí dụ 1: Aˆ  ; Bˆ  x; Pˆ  Aˆ .Bˆ  x.
dx
dx

Cho P á


ụ

  x ấ

ê

d  x  
d
d 
Pˆ  x   Aˆ .Bˆ  x   .  x  x     x   x
 1  x   x 
dx
dx
dx 

d
Vậ Pˆ  Aˆ .Bˆ  1  x .
dx

Bˆ . Aˆ

T

d
d
Bˆ . Aˆ  x   x   x   Bˆ . Aˆ  x .
dx
dx


Dễ thấy rằ
tử Aˆ

Bˆ

o

ˆ ˆ  BA
ˆ ˆ . N ƣ ậy, tứ
AB

ƣờng hợ
o oá .

Thí dụ 2: Cho Aˆ  x 2 , Bˆ  x, ta thấy ngay rằng:

ˆ ˆ  BA
ˆ ˆ  x3 .
AB

11

oá


â

ƣờng hợ

oá


ử

o oá

ˆ ˆ  BA
ˆ ˆ . Nế  Aˆ , Bˆ   0
ử:  Aˆ , Bˆ   AB



4. Giao oá

ƣợc lại  Aˆ , Bˆ   0

oá v i nhau,

Aˆ , Bˆ

Aˆ , Bˆ gọ

o oá

o

i nhau.

1.3. Hàm riêng và trị riêng của to n t
Định nghĩa
Xé


ử Aˆ

oá

  x  bấ

ê

dụ

  x  ,   x  bấ

á

ử Aˆ á

C o oá

á   x :

đƣợc m
Aˆ  x     x 

Trong ƣờng hợp khi m

oá

t hằng số λ


chuyể

(1.10)

ử Aˆ á

â

ụ

  x,

ê

:

Aˆ  x     x 

ƣời ta gọi   x 

Trong ƣờng hợ
λ đƣợc gọ

á ị ê

tử Aˆ . P ƣơ
ê

c


ê
M

ị ê

ƣơ

1 11 đƣợc gọ

oá

ử. Giả

oá

ử.

oá

ử

ƣơ
ể

ê

o

ề


ể

ê

ê

đ  n  x
Tập hợp những trị ê

ê

ị

ại ứng v i m t

:

Aˆ n  x   n n  x  n  1,2,3,...

To

oá

á trị ê

đƣợ

ê

ử Aˆ , ò


  x c

ê

ƣơ

oá

c

ứng v

1 11)

ể viết lại (1.11

trị riê

(1.11)

ứng v i trị ê
oá

n (n  1,2,3,...).

ử đƣợc gọ

12


(1.12)

c

oá

ửđ


Nếu trị ê
rời rạ ; ò
ê

λ

ếu trị ê
ục. Ph c

ữ

á trị rời rạc, ta gọi ph c

λ

ữ

oá

ử Aˆ vừ


á ị ê

ử Aˆ

oá

ục, ta gọi ph c

ể ê

ục, vừ

oá

ử Aˆ

ể rời rạc.

Hàm riêng và trị riêng của to n t Hermite
T

p ƣơ

ê

ị ê

oá

ử:


Aˆ  x     x .

T eo đị

oá

ử Hermite:

 Aˆ ,    , Aˆ   , ( Aˆ


ử Aˆ

Nếu oá

ử Hermite,

 Aˆ ).

á

ê

á ị ê

ất sau:

nhữ
 Cá


á ị ê

P ƣơ
ê

oá



á đoạ

oá
o ị ê

ử He

e

oá

ững số th c.

ử Hermite Aˆ

o

ƣờng hợ

ị


:
Aˆ n  n n

V

V

 n , Aˆ n    Aˆ  n , n 
Aˆ   Aˆ   n , Aˆ n    Aˆ n , n  ,
:
n  n , n   n  n , n 





 n  n  n , n   0

V  n , n   0  n  n  n
Vậ

á ị ê
 Cá

oá
ê

ử He


ứng v

c.
e

ững số th c.

á ị ê

tr c giao v i nhau.

13

á

oá

ử Hermite


T eo đị

oá

ử Hermite:

 , Aˆ    Aˆ , 
1

2


1

2

 a1  1, 2   a2  1, 2 
  a1  a2  1, 2   0.

V a1  a2  a1  a2  0   1 , 2   0.
Do đ  1 ,  2 tr c giao v i nhau.
 Cá

ê

oá

ử Hermite lậ

f  x  bấ

Nế
ể

â

á

t hệ đ .
un  x  c


ê

oá

ử Hermite

:
f  x   c1u1  x   c2u2  x   c3u3  x   ...
f  x    cnun  x .
n

1.4. Lý thuyết về nhóm và bi u di n nhóm
1.4.1. Lý thuyết về nhóm
Định nghĩa
M
oá

ậ G

ử

é

á
â

ử a, b, c,... đƣợ
ỏ

ã


Tính có đơn vị: T ê

ậ

ọ

ế

ấ sau:

ọ a, b  G

Tính kín: V
ệ

ầ

ọ a.b  G.

ợ G

ạ

ầ

ử đơ

ị đƣợ


e, sao cho:

a.e  e.a  a
Tính có nghịch đảo: V
ị

đảo

a  G.

ầ

m

ử o

ậ G

:

a.a 1  a 1.a  e,

ọ a, a 1  G.

Tính chất kết hợp:
a. b.c    a.b .c v

14

ọ a, b, c  G.


ầ

ử


To

á

ầ

ử

ấ

o oá

a.b  b.a.

Nhóm Abel
To

oá

ọ

A e

o

ầ

đ

ò đƣợ

ế q ả

ử

ệ á

ụ

á

o

ữ
á

á

ứ

o oá
é

ú


é

ế

N

o oá

ọ a, b  G.

oá

A e

â
đƣợ

â theo ê đề ề
a.b  b.a

M

ụ

ọ

o oá

ả


o oá

Nhóm tuần hoàn
Ký

ệ
x.x...x  x n

p ầ

ử x n gọ

ừa bậc n c a x.
o

M

đ

á

ần tử đề
ầ

m t phần tử gọ
ầ

M

o


ững

ừ

á

ù

o

ấ

ê

o oá

Nhóm hữu hạn, vô hạn, liên tục
ọ

Số phần tử c a m
ọ

n

ữu hạ

ạ

á


To

ấp c
ƣờng hợ

Nếu cấ

t số gi i

ọ

ạn. M t

á ạ

ần tử biế

ê

ê

ục gọ

ả

ể

ệ q


ê

ục.

á

ầ

Bảng nhân nhóm
Bả
đƣợ

â
ể

ệ

o

ả

ƣ

đâ :

15

ắ

â


ử o


Ví dụ 1: N

đơ
ậ

e

e

a

b

c

e

e

a

b

c

a


a

a.a

a.b

a.c

b

b

b.a

b.b

b.c

c

c

c.a

c.b

c.c

ả


ấ

ầ
e.e  e. R

â

đề đƣợ

ỏ

ầ
ở

e, a.

e.a  a.e  a. Vậ

a.a  e, o

ử

Tù

eo

a.a  a. K ả

ƣ


biểu thị qua bả

o

ấ

ị

ằ

đ

đảo

ấ ả á

ầ
ấ

òn a.a ầ đƣợ

e
ê đề

ử đơ

ị T

ả


e.e  e

e

á đị

C

ứ

ẫ đế a  e. T

a 1

ịe

ã

Ví dụ 2: Xé
ị

ử đơ

ể ả
ể

ệ

ế


â

C2. Luậ

â

ố

Cá

ể

ƣờ

ợ :

ả

ế
đƣợc

đâ :
e

a

e

e


a

a

a

e

Nhóm quay SO(2) - nhóm quay trong mặt phẳng
Xé

á

é q

ạo

M

SO

á

q

á

é q
Th c hiệ

ú

xOy q

hay

 ,  ,  ,...
á

é q
ệ

đƣợ đ

ọ đ
ƣ

R( ), R    , R   ,... T

é q

ở ậ S
ệ

ê

ế

 ,  ,  ,...


q
é q

é q

ê

ế

,

16

đƣợc m

é q

é q

  .

a


R   R     R    .

T

ấ


o oá :

 R   R    R    R    R    R  
ị: R  0 R    R   R  0   R   , e  R  0 .

ơ
T

ạ

Cá

ầ

ử

đảo: R 1    R   .

ị

é q

ấ

o oá

ê SO

o oá [2,7].


Nhóm con
Trong ý thuyế
. Nếu gọi H
To

ƣờ

,

đƣ

t tập con c a G

ƣờng hợp H

é

v

â c a

M

ậ

â

o

H đƣợc gọ


o c a G.
é

Gv i

G. H đƣợc gọ

con H c a

ể

H

Định nghĩa 4: Cho m t

é

Gv im t

â

o c a G nế

ập
H

G.

o H


o

G

G khi

ỏ

ã

á đề

ệ s :
V

ọ a  H ,b  H

Tậ

ợ

Nế a

o H
ầ

a.b  H .

ứ

ử

ầ

ử đơ
ầ

H

G: e  H .

ịe
ử

ị

đảo

a

a-1 c

ần

tử c a H.
a  H  a 1  H .

G o
o


ọ ấ

ữ

o

G

G.

1.4.2. Lý thuyết bi u di n nhóm
Kh i niệm
Xé
đ i trong m

Gg m á
tuyế

ần tử a, b, c
n chiều Xn. Gọ

17

U á

é

ến

U á


é

ến


đ

o

X

t biểu diễn c

G ê

cấu c

ứng v i a, b, c  G

U, tứ
o

U(a), U(b), U(c

é đ ng

G nế
é


ế đ i

ã : a.b.c  U  a .U  b .U (c) v i

U thỏ

U  a  ,U  b  U [2,7].

a, b, c  G,

P é đ ng cấu: G  U đƣợc gọ
gian Xn. T o

đ

á ạ

T eo đị

é
é

đƣợ

G o
ều biểu diễn. Nếu U

ểu diễn c

ểu diễn gọ


s

V i mọi a, b  G

ểu diễ

ểu diễn, n

Xn gọ

ế đ i tuyế
tuyế

é

é

G

ểu diễn

ến.

á

ất sau:

U  a  ,U  b  U


:

U  a .U  b   U  a.b 

Ứng v i yếu tố đơ

ịec

(1.13)
é

G

ế đ

đ ng nhất trong

X.
U  a .U  e   U  e .U  a   U  a  hay U  e   1.

Yếu tố nghị

(1.14)

đảo:

U  a 1   U  a  .
1

Nếu n


é

G g m n phần tử a

â

á

(1.15)
ần tử trong

:

a.a...a  n.a  U  n.a   U  a .U  a ...U  a   U  a  .
n

Bi u di n khả quy và bi u di n t i giản
G o

Cho m t biểu diễn U c

e ơ X. Nếu trong X

o X1 bất biế đối v i tất cả á
biểu diễn U, v i mọi yếu tố a c
khả q

To


ƣờng hợ
o

o

o ất biế đối v i tất cả á

18

ế đ i U(a) c a

ằng U

G

ƣợc lại, nế

é

t biểu diễn
X

é

ế đối v i tất cả á

t


é


ế đ i U(a), trừ
o

on tầ

ằ

ƣờ

X

ằng U

ểu diễn tối giản [2].

Bi u di n bất khả quy
ể

Cho U(G)
ọ

ễ

G ê

e ơ ơ sở ê Xn

ođ s o


e ơ Xn V
o

ậ

ể

s

ễ

U(G)

ạ :
0 
 D g
D g    1

D2 ( g ) 
 0

D1  g 

Trong đ

m  m; D  g 

ậ

 n  m   n  m


”

ậ

D g 

(n  m)  n,

ữ

ấ

m  (n  m)

D2  g 

đƣợ

ậ

D1  g 

ế

ậ

ệ

:

D  g   D1  g   D2  g 

T

U(G)

ể

ảq

ế X

ứ

U(G). N ƣợ ạ
To

ƣờ

o

ọ

ù

ể
ợ

G ê


e ơ Xn U(G)
o

ễ

ấ

ầ
X1

ù

o

ầ

ƣờ

o

X1

ố

e ơ ữ

ạo

X1


ế

ấ
o

ảq

ế

e ơ o

o

ễ

o

ọ

á
ạ

e ơ
ề

ầ
:

X2


X  X1  X 2 .
M
á

ể

ễ
ậ

o
ầ

ử

o

ảq

ế

ƣơ

ạ :

0
... 
 D g 


D  g  ... 

 0





19

đƣơ

ể

ễ