TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ LAN ANH

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN VOLTERRA PHI TUYẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội, tháng 05 năm 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ LAN ANH

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN VOLTERRA PHI TUYẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn: Th.S Trần Văn Tuấn

Hà Nội, tháng 05 năm 2019


Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến ThS. Trần Văn Tuấn - Người trực tiếp tận tình hướng dẫn, chỉ
bảo và định hướng cho tôi trong suốt quá trình tôi làm bài khóa luận
của mình. Đồng thời tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong
tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành
tốt bài khóa luận này để có kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu
sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh
viên và bạn đọc.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2019
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Lan Anh


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo - ThS. Trần Văn Tuấn. Trong khi
nghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này tôi đã tham khảo một số tài
liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài: “Tính ổn định nghiệm của
phương trình tích phân Volterra phi tuyến” là kết quả của việc nghiên
cứu và nỗ lực học tập của bản thân, không trùng lặp với kết quả của các
đề tài khác. Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2019
Tác giả khóa luận


Nguyễn Thị Lan Anh


Mục lục
Mở đầu

2

Bảng kí hiệu

4

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
8

2 TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA
TÍCH PHÂN VOLTERRA
2.1 Sự tồn tại nghiệm toàn cục trên tập
2.2 Tính ổn định nghiệm . . . . . . . .
2.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Nhân khả tích . . . . . . . .
2.3.2 Phương trình vi tích phân .

PHƯƠNG TRÌNH
compact [0, T ]

. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

10
11
14
17
17
19


Kết luận

22

TÀI LIỆU THAM KHẢO

23

1


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi-tích phân là một trong những nhánh quan trọng của
toán học. Các phương trình này được sử dụng để mô tả nhiều hiện tượng
xuất hiện trong vật lý, kinh tế,... Phương trình vi-tích phân nhận được
quan tâm và nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học trên thế giới cũng như
ở trong nước, xem tài liệu [1,4]. Một lớp đặc biệt được quan tâm rộng
rãi đó là các phương trình tích phân Volterra loại II. Các câu hỏi cơ bản
khi nghiên cứu phương trình vi-tích phân nói chung và phương trình tích
phân Volterra nói riêng là: Sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và
sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện đầu. Những câu hỏi này
cho phương trình vi phân đã được trả lời trong nhiều tài liệu chuyên
khảo về phương trình vi phân, xem tài liệu [1,4].
Tuy nhiên các kết quả tương tự cho phương trình tích phân, đặc biệt
là tích phân Volterra loại II vẫn còn chưa được biết đến nhiều. Trong
khoá luận chúng tôi nghiên cứu tính đặt đúng, tính ổn định đối với
phương trình tích phân Volterra loại II dạng
t


a(t − s)g x(s) ds, t ≥ 0,

x(t) = f (t) +
0

trong đó a là ma trận cấp n × n, g : Rn → Rn là hàm phi tuyến,
f : [0, +∞) → Rn .
Với mục đích tìm hiểu về phương trình tích phân Volterra, tôi chọn
đề tài là “Tính ổn định nghiệm của phương trình tích phân Volterra phi
tuyến” do thầy giáo - ThS. Trần Văn Tuấn hướng dẫn.
2


2. Mục đích nghiên cứu
❼ Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định nghiệm của phương

trình tích phân Volterra phi tuyến.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
❼ Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình tích phân Volterra

phi tuyến.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
❼ Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân Volterra phi tuyến.
❼ Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính

ổn định của nghiệm.
5. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp nghiên cứu được sủ dụng trong khóa luận là: Tìm
kiếm, tổng hợp, tham khảo tài liệu từ giáo trình, sách vở,... Sau đó phân
tích, tích cực nghiên cứu dưới sự chỉ bảo của thầy giáo hướng dẫn, tổng

hợp và trình bày các vấn đề cho rõ ràng, hợp logic.
6. Cấu trúc đề tài
Khóa luận được trình bày trong hai chương.
❼ Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
❼ Chương 2. Tính ổn định nghiệm của phương trình tích phân Volterra.

Hà Nội, tháng 05 năm 2019
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Lan Anh
3


Bảng kí hiệu
C[a, b]

Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b]

L1 (0, T )

Tập các hàm f đo được và |f (t)|dt < +∞

T
0

trong không gian các hàm khả tích bậc 1 trên (0, T )
T
p

L (0, T )


Tập các hàm f đo được và |f (t)|p dt < +∞, 1 ≤ p ≤ +∞
0

Rn

Không gian Euclide n chiều
với x = (x1 , x2 , . . . , xn ) là các phần tử trong Rn

1/2
n

|xi |2 

chuẩn Euclide x = 
i=1

Rn×m

Tập tất cả các ma trận cấp n × m

BC[0, ∞)

Không gian của các hàm liên tục bị chặn trên 0 ≤ t < ∞
với chuẩn h 0 = sup |h(t)|
0≤t<∞

C [0, T ], Rn

Không gian Banach với chuẩn cho bởi x = sup

t∈[0,T ]

Re ≥ 0

Nửa mặt phẳng phức phía bên phải
Kết thúc chứng minh

4

x(t)


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi muốn nhắc lại một số khái niệm, kết
quả liên quan đến không gian metric, không gian metric đầy, nguyên lí
Banach về ánh xạ co, không gian định chuẩn được sử dụng trong khóa
luận. Chi tiết có thể tham khảo [2,3].

1.1

Không gian metric

Định nghĩa 1.1 (Không gian metric). Ta gọi là không gian metric
một tập hợp X = ∅ cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào
tập hợp số thực R thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x),
3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai

phần tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm. Không gian metric
được kí hiệu là M = (X, d).

5


Định nghĩa 1.2. Cho không gian metric M = (X, d). Ta gọi là lân cận
của điểm x ∈ X trong không gian M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính
r > 0 nào đấy.
Định nghĩa 1.3. Cho không gian metric M = (X, d), a ∈ X, số r > 0.
Ta gọi
❼ Tập S(a, r) = x ∈ X : d(x, a) < r là hình cầu mở tâm a, bán kính

r.
¯ r) = x ∈ X : d(x, a) ≤ r là hình cầu đóng tâm a, bán kính
❼ Tập S(a,
r.
Định nghĩa 1.4. Không gian metric M = (X, d) gọi là không gian
metric đầy nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.
Định nghĩa 1.5. Cho hai không gian metric M1 = (X, d1 ), M2 = (y, d2 ).
Ánh xạ không gian M1 vào không gian M2 gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại
số α, 0 ≤ α < 1 sao cho
d2 (Ax, Ax ) ≤ αd1 (x, x ), ∀x, x ∈ X.
Định lí 1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh xạ co A
ánh xạ không gian metric đầy M = (X, d) vào chính nó đều có điểm bất
động x¯ duy nhất, nghĩa là x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức A¯
x = x¯.
Chứng minh. Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ X và lập dãy xn = Axn−1 ,

6



(n = 1, 2, ...), ta được
d(x2 , x1 ) = d(Ax1 , Ax0 ) ≤ αd(x1 , x0 ) = αd(Ax0 , x0 ),
d(x3 , x2 ) = d(Ax2 , Ax2 ) ≤ αd(x2 , x1 ) ≤ α2 d(Ax0 , x0 ),
..
.
d(xn+1 , xn ) = d(Axn , Axn−1 ) ≤ αd(xn , xn−1 ) ≤ αn d(Ax0 , x0 ),
với n = 1, 2, ... Từ đó suy ra ∀n, p = 1, 2, ... ta có
p

p

k=1
n

=

αn+k−1

d(xn+k , xn+k−1 ) ≤ d(Ax0 , x0 )

d(xn+p , xn ) ≤

k=1
n+p

α −α
1−α


n

d(Ax0 , x0 ) ≤

α
d(Ax0 , x0 ).
1−α

Vì 0 ≤ α < 1, nên lim d(xn+p , xn ) = 0, ∀p ∈ N, nghĩa là dãy (xn ) là dãy
n→∞

cơ bản trong không gian metric đầy M . Từ đó tồn tại lim xn = x¯ ∈ X.
n→∞

Ta có
d(A¯
x, x¯) ≤ d(A¯
x, xn ) + d(xn , x¯) = d(A¯
x, Axn−1 ) + d(xn , x¯)
≤ αd(xn−1 , x¯) + d(xn , x¯),

∀n = 1, 2, ...

Cho n → ∞ trong bất đẳng thức cuối ta được d(A¯
x, x¯) = 0 hay A¯
x = x¯,
nghĩa là x¯ là điểm bất động của ánh xạ A.
Giả sử tồn tại điểm y¯ ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ A nghĩa là
d(¯
x, y¯) = d(A¯

x, A¯
y ) ≤ αd(¯
x, y¯),
suy ra
(1 − α)d(¯
x, y¯) ≤ 0.

7


Từ đây ta nhận được d(¯
x, y¯) = 0, (0 ≤ α < 1) hay x¯ = y¯. Vậy x¯ là điểm
bất động duy nhất của ánh xạ A.
Định nghĩa 1.6. Cho không gian metric M = (X, d). Tập K ⊂ X gọi
là tập compact trong không gian M , nếu mọi dãy vô hạn các phần tử
thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K. Tập K gọi
là tập compact tương đối trong không gian M , nếu mọi dãy vô hạn các
phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ (tới phần tử thuộc X).

1.2

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.7 (Không gian định chuẩn). Ta gọi không gian định
chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính
X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào
tập số thực R, ký hiệu là · và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau
đây:
1) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = 0 (ký hiệu phần tử không là 0),
2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α| x ,

3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y .
Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn
là X.
Định nghĩa 1.8. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường
P (P là trường số thực R hoặc trường số phức C). Ánh xạ A từ không
gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn các
điều kiện:
1) (∀x, x ∈ X) A(x + x ) = Ax + Ax ,
8


2) (∀x ∈ A)(∀α ∈ P ) Aαx = αAx.
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính.
Định nghĩa 1.9. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại
hằng số C > 0 sao cho
Ax ≤ C x ,

∀x ∈ X.

(1.1)

Định nghĩa 1.10. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian
định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Hằng số C > 0 nhỏ nhất
thỏa mãn hệ thức (1.1) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là A .
Từ định nghĩa dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:
1) (∀x ∈ X) Ax ≤ A x ,
2) (∀ε > 0)(∃xε ∈ X) ( A − ε) xε < Aε .
Định lí 1.2. Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y . Nếu toán tử A bị chặn thì

A = sup Ax
x ≤1

hay
A = sup Ax .
x =1

9


Chương 2
TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
VOLTERRA
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm, tính
ổn định và một số ứng dụng của phương trình tích phân Volterra loại II
có dạng
t

a(t − s)g x(s) ds, t ≥ 0,

x(t) = f (t) +

(2.1)

0

trong đó x, f, g là các vectơ n chiều, a(t) = aij (t) là ma trận cấp n × n
với các phần tử là các hàm số liên tục. Trong các phần sau chúng tôi
nghiên cứu phương trình (2.1) dưới các giả thiết sau

(i) g : Rn → Rn thoả mãn g(0) = 0 và là hàm số liên tục Lipschitz tức
là
g(x) − g(y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ Rn ,
(ii) f : [0, +∞) → Rn là hàm số liên tục.
10


2.1

Sự tồn tại nghiệm toàn cục trên tập compact
[0, T ]

Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của (2.1)
trên [0, T ], T > 0 tùy ý.
Định nghĩa 2.1. Hàm x ∈ C [0, T ], Rn là nghiệm của (2.1) nếu thỏa
mãn phương trình (2.1) trên [0, T ] và thỏa mãn x(0) = f (0).
Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1) ta chứng minh
toán tử S : C [0, T ], Rn → C [0, T ], Rn cho bởi
t

a(t − s)g x(s) ds, t ∈ [0, T ] có điểm bất động.

Sx(t) = f (t) +
0

Định lý sau phát biểu kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
bài toán (2.1).
Định lí 2.1. Giả sử các điều kiện (i), (ii) thỏa mãn. Khi đó bài toán
(2.1) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Ta chứng minh định lý qua các bước sau.

Bước 1. Ta chứng minh Sx(t) là xác định khắp nơi và liên tục. Thật
t
n

vậy, với x ∈ C [0, T ], R , f (t) liên tục,

a(t − s)g x(s) ds khả vi nên
0

t

a(t − s)g x(s) ds liên tục.

Sx(t) = f (t) +
0

Bước 2. Với α > 0 ta xét chuẩn tương đương trên C [0, T ], Rn cho bởi
x

α

= sup e−αt x(t) , x ∈ C [0, T ], Rn . Ta chứng minh S là toán tử
t∈[0,T ]

co trên C [0, T ], Rn với chuẩn

·

α.


11

Thật vậy ∀x1 , x2 ∈ C [0, T ], Rn


ta có
Sx1 − Sx2

α

= sup e−αt Sx1 (t) − Sx2 (t)
t∈[0,T ]
t

= sup e−αt
t∈[0,T ]

g x1 (s) − g x2 (s) a(t − s) ds .
0

Mặt khác, với mỗi t ∈ [0, T ] ta có
t

g x1 (s) − g(x2 (s) a(t − s) ds

Sx1 (t) − Sx2 (t) =
0
t

g x1 (s) − g x2 (s) a(t − s) ds


≤
0
t

g x1 (s) − g x2 (s)

≤

. a(t − s) ds

0
t

≤

L x1 (s) − x2 (s) . a(t − s) ds
0
t

≤L a

x1 (s) − x2 (s) ds,

∞
0

12



với a

∞

= sup

a(t) . Suy ra

t∈[0,T ]
t

e−αt Sx1 (t) − Sx2 (t) ≤ L a

e−αt x1 (s) − x2 (s) ds

sup

∞

t∈[0,T ]

0
t

=L a

e−αt eαs e−αs x1 (s) − x2 (s) ds

sup


∞

t∈[0,T ]

0
t

≤L a

e−α(t−s) x1 − x2

sup

∞

t∈[0,T ]

α ds.

0

Ta tính được
t

t

e−α(t−s) ds = −
0

e−α(t−s) d(t − s)

0
t

=

1
α

e−α(t−s) d(−α(t − s))
0
t

1
= e−α(t−s)
α
0
1
1
= (1 − e−αt ) ≤ .
α
α
Khi đó e−αt Sx1 (t) − Sx2 (t) ≤ L a
Sx1 − Sx2

α

∞

1
x1 − x2

α

α , ∀t

∈ [0, T ]. Từ đây

= sup e−αt Sx1 (t) − Sx2 (t)
t∈[0,T ]

≤
Chọn α > 0 sao cho L a

∞

L a
α

∞

x1 − x2

α.

(2.2)

< α. Do đó từ (2.2) ta suy ra S là ánh xạ

co từ C [0, T ], Rn vào chính nó. Hay bài toán (2.1) tồn tại và duy nhất
nghiệm.


13


Nhận xét 1. Nếu x là nghiệm duy nhất của phương trình (2.1) thì x
phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu. Thật vậy, cố định α > L a

∞

và gọi x1 , x2 là hai nghiệm tương ứng với f1 , f2 . Lặp lại các đánh giá như
trong chứng minh của Định lý 2.1 ta có đánh giá
x1 − x2 = Sx1 − Sx2
≤ f1 − f2
L a
α
x phụ thuộc liên tục vào f .
Do đó x1 − x2 ≤ 1 −

∞

C([0,T ]) +

L a
α

∞

x1 − x2

α.


f1 − f2 → 0 khi f1 → f2 . Vậy nghiệm

Nếu f là “nhỏ” thì phương trình (2.1) được thay thế bởi phương trình
tuyến tính được phân tích dễ hơn sau
t

a(t − s)Jy(s)ds,

y(t) = f (t) +

(2.3)

0

trong đó J là ma trận Jacobian của g tại 0, g (0) = (∂gi (0)/∂xj ).

2.2

Tính ổn định nghiệm

Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình (2.1) ta đặt các giả
thiết sau:
(A1) a ∈ L1 (0, T ) với T > 0,
(A2) f (t) ∈ C[0, ∞),
(A3) g(x) ∈ C 1 (Rn ),
(A4) ma trận Jacobian J khả nghịch.
14


Từ giả thiết ma trận J là khả nghịch, không mất tính tổng quát có thể

giả thiết J là ma trận cơ bản I cấp n × n. Chúng ta chỉ cần thay thế a(t)
bởi a(t)J và g(x) bởi J −1 g(x). Khi đó phương trình (2.3) có thể viết lại
dưới dạng
t

a(t − s)y(s)ds.

y(t) = f (t) +

(2.4)

0

Như vậy ta sẽ có nghiệm duy nhất của phương trình (2.4) có dạng
t

y(t) = f (t) −

b(t − s)f (s)ds, (t ≥ 0)

(2.5)

0

ở đây ma trận b là ma trận nhân suy biến được xác định bởi phương
trình ma trận
t

b(t − s)a(s)ds.


b(t) = −a(t) +

(2.6)

0

Chúng ta giả thiết rằng (A5) ma trận b được xác định bởi (2.6) tồn tại
với mọi t > 0 và b(t) ∈ L1 (0, ∞).
Định lý sau đây là kết quả chính của phần này.
Định lí 2.2. Nếu giả sử (A1)-(A5) được thỏa mãn khi đó tồn tại
và

1

> 0 sao cho nghiệm y(t) của (2.4) thỏa mãn y ≤

của (2.1) tồn tại với mọi t ≥ 0 và x

0

≤

0,

0

>0

nghiệm x(t)


1.

Chứng minh. Vì b ∈ L1 (0, ∞) nên phương trình (2.1) tương đương với
t

x(t) = y(t) −

b(t − s) G x(s) ds,
0

15

(2.7)


trong đó y được định nghĩa bởi (2.5) và
G(x) = g(x) − x = o(|x|), ( x → 0).
Chọn

1

> 0 sao cho nếu x ≤

1,

thì

∞

b(s) ds ≤ x ,


2 G(x)
0
∞

b(s) ds

và

g (x) − I < 1. Chọn

0

=

1 /2.

Đặt T x(t) là hàm được

0

định nghĩa bởi vế bên phải của phương trình (2.7). Đặt
S(0, 1 ) = {h ∈ BC[0, ∞); h
Với

0

và

1


0

≤

1 }.

đủ bé ta suy ra rằng T là ánh xạ co trên S(0, 1 ).

Định lí 2.2 được chứng minh.
Hệ quả 1. Nếu (A1)-(A5) được thỏa mãn, khi đó tồn tại
2

> 0 sao cho khi f

≤

0

t ≥ 0 và thỏa mãn x

0

Chứng minh. Chọn

sao cho

2

≤


2,

1

> 0 và

nghiệm x(t) của (2.1) tồn tại với mọi

1.

∞
2

trong đó
y

0

≤

0.

1

1+

b(s) ds

≤


1

2

,

là hằng số cho ở Định lí 2.2. Từ phương trình (2.5) ta có

Do đó Hệ quả 1 suy ta từ Định lí 2.2 trên.

Định lí 2.3. Giả sử (A1)-(A5) thoả mãn và cố định
Định lí 2.2 trên. Nếu y ≤

0

0,

1

được cho bởi

và y(t) → 0 khi t → ∞, thì x(t) → 0 khi

t → ∞.
16


Chứng minh. Đặt Γ là tập giới hạn dương của nghiệm x(t), nghĩa là Γ
là tập nhỏ nhất sao cho x(t) → Γ khi t → ∞. Vì x(t) bị chặn nên dễ

thấy rằng Γ là khác rỗng, compact và liên thông.
Từ phương trình (2.7) giải ra x(t), y(t) → 0 và b ∈ L1 (0, ∞) và Γ là hợp
của các nghiệm của
t

z(t) = −

b(t − s) G z(s) ds,

(2.8)

−∞

z(t) ≤

1

(−∞ < t < ∞).

(2.9)

Đặt T z(t) là hàm được định nghĩa với vế bên phải của (2.8) khi
z ∈ BC(R) và z

1

≤

1.


Các ước tính trong chứng minh của Định lí

2.2 trên chỉ ra rằng T là một ánh xạ co. Do đó z(t) ≡ 0 là nghiệm duy
nhất của (2.8-2.9). Điều này nghĩa là Γ = {0}. Suy ra x(t) → 0.
Định lí 2.3 đã được chứng minh.
Sử dụng Hệ quả 1 và Định lí 2.3 chúng ta thu được kết quả sau.
Hệ quả 2. Giả sử (A1)-(A5) thoả mãn và lấy
Hệ quả 1 trên. Nếu f ≤

2.3
2.3.1

2

1

và

2

được cho trong

và y(t) → 0 khi t → ∞, thì x(t) → 0.

Ứng dụng
Nhân khả tích

Mục đích của phần này là áp dụng lí thuyết trong phần 2.2 trên với
giả thuyết bổ sung a ∈ L1 (0, ∞). Chúng ta sẽ cần kết quả như sau.
Định lí 2.4 ( Paley và Wiener). Cho a ∈ L1 (0, ∞). Khi đó nghiệm b


17


của phương trình (2.6) là L1 (0, ∞) nếu và chỉ nếu định thức
∞

e−st a(t)dt

det I −

= 0,

(2.10)

0

trong nửa mặt phẳng bên phải Re ≥ 0.
Nhận xét 2. Định lí này được chứng minh bằng một thay đổi đơn giản
trong chứng minh của Paley và Wiener. Paley và Wiener sử dụng Định
lí 2.4 để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm của phương trình
(2.4) trong trường hợp f (t) → 0 khi t → ∞. Kết quả của họ có sự khái
quát phi tuyến tính sau đây.
Định lí 2.5. Giả sử (A1)-(A4) được thỏa mãn với Re ≥ 0 và
bởi Hệ quả 1 trên. Nếu f

0

≤


2

2

được cho

và f (t) → 0 khi t → ∞, thì x(t) → 0.

Chứng minh. Nghiệm của phương trình tuyến tính (2.4) được cho bởi
(2.5). Vì f (t) → 0 khi t → ∞ và b ∈ L1 (0, ∞), định lí hội tụ trội
Lebesgue (xem [3,tr.186]) chỉ ra rằng y(t) → 0. Từ Hệ quả 2 ta có điều
phải chứng minh của Định lí 2.5.
Nhận xét 3. Levin đã thu được sự khái quát phi tuyến khác của kết quả
Paley và Wiener. Kết quả của ông không mạnh hơn và không yếu hơn
Định lí 2.5 trên. Levin nghiên cứu một phương trình vô hướng (n = 1)
trong khi chúng ta cho phép n > 1. Giả thiết của chúng ta về a(t) là yếu
hơn của Levin và giả thiết của chúng ta về g(x) mạnh hơn. Định lí 2.4
là một kết quả cục bộ trong khi kết quả của Levin là tổng quát. Điều
kiện f (t) → 0 là điều kiện cần để chứng minh định lí 2.5 trên. Nếu f
có một loại dáng điệu tiệm cận khác, nó vẫn có thể phân tích dáng điệu
địa phương của nghiệm của phương trình (2.1). Trong ví dụ ở Định lí
2.6 dưới đây f (t) là hằng số nhưng không nhất thiết phải khác 0.
18


2.3.2

Phương trình vi tích phân

Mục đích của phần này là áp dụng lí thuyết phần 2.2 để nghiên

cứu dáng điệu địa phương của phương trình tích phân dưới dạng
t

k(t − s)g x(s) ds, x(0) = x0 , (t ≥ 0), (2.11)

x (t) = mg x(t) +
0

trong đó k là khả tích địa phương và m là một hằng số. Chúng ta cho
phép m = 0. Hệ này có thể được viết dưới dạng phương trình (2.1) nếu
một tập f (t) ≡ x0 và
t

k(s)ds.

a(t) = m +
0

Để kiểm tra dáng điệu tiệm cận của nghiệm của phương trình (2.11) khi
x0 là nhỏ. Chúng ta nhận xét rằng các định nghĩa về tính ổn định và ổn
định tiệm cận của nghiệm tầm thường x = 0 của (2.11) giống như các
phương trình vi phân thông thường khác.
Định lí 2.6. Cho f và a được định nghĩa như trên. Nếu (A3)-(A4) cố
định, a ∈ L1 (0, ∞) và (2.10) là đúng với Re ≥ 0, thì với x0 đủ nhỏ
(i) nghiệm tầm thường của (2.11) là ổn định,
(ii) mỗi nghiệm của (2.11) tiến tới một hằng số khi t → ∞.
Chứng minh. Xuất phát từ chứng minh của Hệ quả 1 trên với mỗi ,
0< <

1,


tồn tại δ > 0 sao cho x

phần (ii) chú ý rằng nếu x0 ≤

2

0

≤ khi x0 ≤ δ. Để chứng minh

thì x(t) ≤

19

1

với mọi t ≥ 0. Hơn


thế nữa
t

x(t) =

I−

t

b(s)ds x0 −

0

b(t − s)G x(s) ds.
0

Vì b ∈ L1 (0, ∞),
∞

t

lim I −

b(s)ds x0 =

t→∞

I−

0

b(s)ds x0 ,
0

tồn tại. Tập giới hạn dương của x(t) là hợp của các nghiệm của
∞

z(t) =

I−


t

b(s)ds x0 −

b(t − s)G z(s) ds,

(2.12)

(−∞ < t < ∞).

(2.13)

−∞

0

z(t) ≤

1,

Đặt S(0, 1 ) là hình cầu đóng trong BC(R) với tâm tại gốc tọa độ và
bán kính

1.

Đặt S0 là tập con của S(0, 1 ) gồm các hàm hằng. Các ước

tính trên

1


trong chứng minh của Định lí 2.2 chỉ ra rằng vế phải của

(2.12) định nghĩa một ánh xạ co trên S(0, 1 ) và trên S0 . Do đó nghiệm
duy nhất của (2.12) là một hàm hằng z(t) ≡ z0 . Suy ra giới hạn dương
của tập x(t) là một điểm đơn z0 , x(t) → z0 khi t → ∞.
Định lí 2.6 được chứng minh.
Nhận xét 4. Với x0 nhỏ, giới hạn z0 thu được bằng cách giải phương
trình
∞

z0 =

I−

∞

b(s)ds x0 −

b(s)ds G(z0 ).
0

0

Đặt nghiệm là z0 = F (x0 ). Suy ra F (0) = 0 và các ánh xạ F vùng lân
20


cận của điểm x0 khác nhau lên vùng lân cận của điểm z0 = 0. Điều này
nghĩa là nghiệm tầm thường không thể ổn định tiệm cận.


21