BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Thanh Hương

TÍCH PHÂN P -ADIC VÀ HÀM
ZETA P-ADIC CỦA ĐA THỨC HAI BIẾN
Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Thanh Hương

TÍCH PHÂN P -ADIC VÀ HÀM
ZETA P -ADIC CỦA ĐA THỨC HAI BIẾN
Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Lê Quý Thường

Hà Nội – Năm 2019


Lời cảm ơn
Sau quá trình nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ, động viên từ các
thầy giáo, cô giáo cùng với các bạn sinh viên trường Đại học sư phạm
Hà Nội 2 đến nay bài khóa luận của em đã được hoàn thành.
Đặc biệt cho em xin được gửi lời cảm ơn chân thành, và bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Lê Quý Thường - người đã trực tiếp
quan tâm và hướng dẫn em thực hiện đề tài nghiên cứu này. Qua đây em
cũng xin cảm ơn sự giúp đỡ của thầy cô trong khoa Toán trường Đại học
sư phạm Hà Nội 2 cùng với các thầy cô khoa Toán-Cơ-Tin học, trường
ĐHKHTN-ĐHQGHN đã tạo điều kiện tốt nhất cho em trong suốt quá
trình em thực hiện khóa luận.
Dù bản thân đã rất cố gắng trong suốt quá trình nhưng do đây là
lần đầu tiên được tiếp xúc với đề tài nghiên cứu khoa học, hơn nữa do
điều kiện về thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên phần trình
bày của em không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng với các bạn sinh viên để bài
khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Hương

ii



Lời cam đoan
Bài khóa luận là kết quả trung thực, khách quan dựa trên kiến
thức trong suốt quá trình học tập, tìm hiểu của bản thân em cùng với
sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS. Lê Quý Thường. Trong quá
trình thực hiện bài nghiên cứu của mình, em có tham khảo một số tài
liệu được nêu rõ ở mục tài liệu tham khảo. Em xin cam đoan bài khóa
luận: “Tích phân p-adic và hàm zeta p-adic của đa thức hai biến”
là công trình nghiên cứu của riêng em, những kết quả thu được trong đề
tài không trùng với bất kì tác giả nào khác. Nếu sai em xin chịu hoàn
toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Hương

iii


Mục lục

Lời cảm ơn

ii

Lời cam đoan

iii

Lời mở đầu


3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Số p-adic và trường p-adic Qp . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Độ đo Haar trên nhóm compắc địa phương . . . . . . . .

14

2 Độ đo p-adic và tích phân p-adic

17

2.1

Độ đo p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2


Tích phân p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3

Giải kì dị và công thức đổi biến . . . . . . . . . . . . . .

24

3 Hàm zeta p-adic của đa thức hai biến trong Z[x, y]
3.1

Tích phân và hàm zeta p-adic của y 2 − x3 . . . . . . . .

27
27

3.1.1

Tích phân p-adic của y 2 − x3

. . . . . . . . . . .

27

3.1.2

Hàm zeta p-adic của y 2 − x3


. . . . . . . . . . .

31

3.2

Đa thức hai biến không suy biến . . . . . . . . . . . . . .

33

3.3

Phép giải xuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.4

Phép giải xuyến chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . .

38

Kết luận

40
1


Tài liệu tham khảo


40

2


Lời mở đầu
Tích phân p-adic là một chủ đề thú vị của Toán học hiện đại, có
nhiều ứng dụng quan trọng đối với Đại số, Lý thuyết số và nhiều ngành
toán học khác. Nó phản ánh mối liên hệ sâu sắc giữa đại số và giải tích
- hai ngành lớn của Toán học.
Tích phân p-adic ra đời từ những năm 1970 bởi các nghiên cứu
của nhà toán học người Nhật Bản Igusa. Nó được phát triển rất mạnh
mẽ vào các thập niên 1980 và 1990 nhờ công của Denef và các nhà Toán
học thuộc trường phái Bỉ và Pháp. Điểm nổi bật nhất của lý thuyết này
là thông qua hàm zeta p-adic nó dự đoán một mối quan hệ sâu sắc giữa
số nghiệm của phương trình đa thức đồng dư modulo pn với hình học
của đa thức đó, thể hiện trong Giả thuyết đơn đạo của Igusa. Đến nay,
việc giải giả thuyết này trong trường hợp tổng quát vẫn là thách thức
lớn đối với các nhà hình học đại số và lý thuyết kì dị.
Đặc biệt, chủ đề này chưa được quan tâm nghiên cứu nhiều ở Việt
Nam, và đối với sinh viên ngành Toán nó vẫn còn rất mới lạ và gợi sự
tò mò.
Chính vì lý do đó em đã chọn đề tài “Tích phân p-adic và hàm
zeta p-adic của đa thức hai biến” nhằm có điều kiện được hiểu biết sâu
hơn về vấn đề này.
Nội dung của khóa luận gồm 3 chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trong chương này em trình bày
về trường các số p-adic Qp và độ đo Haar trên một tập compắc địa
phương.
Chương 2: Độ đo p-adic và tích phân p-adic: Trong chương

này em trình bày về độ đo p-adic, tích phân p-adic, hàm zeta p-adic, giới
thiệu phép giải kì dị và công thức đổi biến để tính tích phân p-adic.
3


Chương 3: Hàm zeta p-adic của đa thức hai biến: Trong
chương này em sẽ sử dụng giải kì dị để tính tích phân p-adic và hàm
zeta p-adic của một số đa thức hai biến có kì dị.

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Số p-adic và trường p-adic Qp

Cho p là một số nguyên tố. Kí hiệu Q là trường các số hữu tỷ. Với mỗi
phần tử

a
b

∈ Q, tồn tại duy nhất một biểu diễn
a a1 n
=
·p
b
b1


sao cho n ∈ Z, và a1 , b1 là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau và cùng
nguyên tố với p. Khi đó ta định nghĩa hàm cấp p-adic bởi
a
ordp := n.
b
Số nguyên n được gọi là cấp p-adic của số hữu tỷ ab . Theo định nghĩa,
ord2 10
4 = −1 vì

10
4

= 5 · 2−1 và ord2 20
6 = 1 vì

20
6

=

5
3

· 21 .

Đối với mỗi số x ∈ Q∗ ta định nghĩa chuẩn p-adic của x như sau
|x|p := p−ordp x .
Nếu x = 0, ta quy ước |0|p := 0.
Bổ đề 1.1. | · |p là một chuẩn phi Ácsimét trên Q.

Chứng minh. Theo định nghĩa, |x|p ≥ 0 với mọi x ∈ Q và |x|p = 0 khi
5


và chỉ khi x = 0. Mặt khác, với mọi x, y ∈ Q ta có
|xy|p = p−ordp (xy) = p−ordp x · p−ordp y = |x|p |y|p .
Do đó để chứng minh bổ đề ta chỉ cần chỉ ra rằng
ordp (x + y) ≥ min {ordp (x), ordp (y)} .
Thật vậy, viết x, y dưới dạng x =

a1 n1
b1 ·p ,

y=

a2 n2
b2 ·p ,

trong đó (a1 , b1 ) = 1,

(a2 , b2 ) = 1. Khi đó ordp x = n1 , ordp y = n2 và
x+y =

a1 n 1 a2 n 2
·p +
·p .
b1
b2

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử n1 ≤ n2 . Khi đó n2 = n1 + n

với n ∈ N, và
x+y =

a1 n1 a2 n1 +n
a1 b2 + a2 b1 pn
·p +
·p
= pn 1 ·
.
b1
b2
b1 b2

Do đó ordp (x + y) ≥ n1 = min{n1 , n2 } = min{ordp x, ordp y}.
Nhận xét. Nếu |x|p = |y|p thì |x + y|p = max{|x|p , |y|p }.
Với hai phần tử bất kỳ x, y thuộc Q ta có thể định nghĩa khoảng
cách p-adic của chúng như sau:
dp (x, y) = |x − y|p .
Bổ đề sau là hiển nhiên.
Bổ đề 1.2. Với mọi phần tử x, y, z thuộc Q ta có
dp (x, y) ≤ max {d(x, z), d(z, y)}
Hệ quả 1.3. Mọi tam giác trong Q là tam giác cân đối với khoảng cách
p-adic dp .
6


Chứng minh. Với mọi bộ ba số hữu tỷ đôi một phân biệt x, y, z ∈ Q ta
có dp (x, y) = |x − y|p , dp (x, z) = |x − z|p và dp (y, z) = |y − z|p . Nếu
|x − y|p = |y − z|p , ta có một tam giác cân. Nếu |x − y|p = |y − z|p ,
không mất tính tổng quát ta có thể giả sử |x − y|p < |y − z|p . Khi đó,

theo nhận xét sau Bổ đề 1.1,
|x − z|p = |(x − y) + (y − z)|p = max {|x − y|p , |y − z|p } = |y − z|p ,
ta lại thu được một tam giác cân.
Tính chất 1.1.1. Đầy đủ hóa Q theo dp (x, y) là một trường Qp , mở
rộng của Q, sao cho mọi dãy Cauchy trong Qp đều hội tụ. Trường Qp
được gọi là trường các số p-adic.
Gọi C là tập hợp tất các các dãy Cauchy trên Q ứng với chuẩn
p-adic | · |p . Ta trang bị các phép toán trên C như sau:
• Phép cộng: {xn }n≥1 + {yn }n≥1 := {xn + yn }n≥1 ;
• Phép nhân: {xn }n≥1 · {yn }n≥1 := {xn yn }n≥1 .
Khi đó (C, +, ·) là một vành giao hoán có đơn vị. Thật vậy, gọi {xn }n≥1
và {yn }n≥1 là hai phần tử bất kì của C. Khi đó, với mọi số thực ε > 0,
tồn tại N0 ∈ N sao cho đối với mỗi cặp các số nguyên m, n > N0 ,
|xm − xn |p < ε, đồng thời tồn tại N1 ∈ N sao cho đối với mỗi cặp các
số nguyên m, n > N1 , |ym − yn |p < ε. Đặt N := max{N0 , N1 } ta có, với
mọi m, n > N ,
|(xm − ym ) − (xn − yn )|p = |(xm − xn ) − (ym − yn )|p
≤ max{|(xm − xn )|p , |(ym − yn )|p } < ε.
Suy ra
{xn }n≥1 − {yn }n≥1 ∈ C.
7

(1.1)


Để chứng minh C đóng đối với phép nhân, trước hết ta chỉ ra rằng
mọi dãy Cauchy đều bị chặn. Thật vậy, với mọi dãy {an }n≥1 ∈ C, với mọi
số thực ε > 0, tồn tại N ∈ N sao cho, nếu m, n > N thì |am − an |p < ε.
Mặt khác
|am |p = |am − aN + aN |p ≤ max{|am − aN |p , |aN |p }

≤ |am − aN |p + |aN |p
< ε + |aN |p .
Do đó, nếu ta đặt M0 := max{|a1 |p , |a2 |p , . . . , |aN |p + ε} thì
|am |p ≤ M0

∀m ≥ 1.

(1.2)

Với mỗi cặp phần tử {xn }n≥1 và {yn }n≥1 của C, tồn tại các số
thực A, B > 0 sao cho |xn |p ≤ A và |yn |p ≤ B. Do đó với mọi số thực
ε > 0, tồn tại M ∈ N sao cho nếu m, n > M thì |xm − xn |p <
|ym − yn |p <

ε
2B .

ε
2A

và

Từ đó suy ra

|xm ym − xn yn |p = |xm ym − xm yn + xm yn − xn yn |p
= |xn (ym − yn ) + yn (xm − xn )|p
≤ max {|xm (ym − yn )|p , |ym (xm − xn )|p }
ε
ε
ε

≤ max A , B
= < ε,
2A 2B
2
tức là
{xn }n≥1 · {yn }n≥1 ∈ C.

(1.3)

Các tiên đề của một vành giao hoán có đơn vị được thỏa mãn một cách
hiển nhiên, miễn là các phép toán có nghĩa, nên từ (1.1) và (1.3) ta có
C là một vành giao hoán có đơn vị.

8


Đặt
M = {xn }n≥1 ∈ C | lim |xn |p = 0 .
n→∞

Ta chứng minh M là một ideal của vành C. Thật vậy, với mọi dãy Cauchy
{an }n≥1 trong C, với mọi dãy {xn }n≥1 trong M ta có limn→∞ |xn |p = 0
và |an |p ≤ M0 (theo ((1.2))). Do đó |an xn |p = |an |p |xn |p ≤ M0 |xn |p , từ
đó suy ra
0 ≤ lim |an xn |p ≤ lim M0 |xn |p = M0 lim |xn |p = 0.
n→∞

n→∞

n→∞


Điều này chỉ ra rằng {an xn }n≥1 ∈ M. Do C là vành giao hoán có đơn vị
nên kết quả trên chứng tỏ M là một ideal của C.
Hơn nữa, M là một ideal cực đại của C. Thật vậy, nếu {an }n≥1 +M
khác không trong vành thương C/M thì {an }n≥1 hoặc không có giới hạn
hoặc có giới hạn khác 0. Khi đó tồn tại số thực c > 0 và số nguyên
N1 ∈ N sao cho |an |p ≥ c > 0 đối với n ≥ N1 . Vì {an }n≥1 là dãy Cauchy
nên tồn tại N2 ∈ N sao cho |am − an |p < c đối với mọi m, n ≥ N2 . Do
đó, với m, n > N := max{N1 , N2 },
|am − an |p < max{|am |p , |an |p }

(1.4)

Giả sử |am |p < |an |p . Khi đó |am − an |p = |an |p , thay vào (1.4) ta có
|an |p < |an |p .
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ |am |p ≥ |an |p . Đổi vai trò hai số cho nhau
ta thu được |an |p ≥ |am |p , vì vậy |an |p = |am |p với mọi m, n > N .
Định nghĩa
bn =



0

nếu an = 0,

1


an


nếu an = 0,

9


và xét lớp {bn }n≥1 + M trong vành thương C/M. Ta có
lim |an bn − 1|p =

n→∞

lim

n→∞,n>N

|an bn − 1|p =

lim

n→∞,n>N

|1 − 1|p = 0,

từ đó suy ra {an bn − 1}n≥1 ∈ M, hay một cách tương đương,
({an }n≥1 + M) · ({bn }n≥1 + M) = {1}n≥1 + M.
Vậy mọi phần tử khác không của vành thương C/M đều khả nghịch.
Nói cách khác, C/M là một trường và M là một ideal cực đại của C.
Trường C/M chính là trường các số p-adic Qp làm đầy trường số hữu tỷ
Q theo khoảng cách p-adic.
Quan sát rằng với mỗi số hữu tỷ a ∈ Q ta có một dãy hằng {a}n≥1

(hiển nhiên nó cũng là một dãy Cauchy). Xét ánh xạ
Θ : Q → Qp

(1.5)

xác định bởi
Θ(a) = {a}n≥1 + M.
Rõ ràng nếu Θ(a) = Θ(b) thì limn→∞ |a − b|p = 0, do đó a = b, chứng tỏ
Θ là một đơn cấu trường. Vì điều này ta có thể xem Q là một trường
con của trường các số p-adic Qp .
Theo định nghĩa, nếu α là một phần tử bất kỳ của trường Qp thì
α = {an }n≥1 + M, trong đó {an }n≥1 là một dãy Cauchy trên Q. Như đã
chứng minh sau (1.4), |an |p = |am |p với mọi số tự nhiên m, n đủ lớn. Do
đó số hữu tỷ c := |an |p đối với mọi n đủ lớn mang một đặc trưng cho
phần tử α. Ta có thể định nghĩa
|α|p := lim |an |p = c.
n→∞

(1.6)

Theo định nghĩa của M, |α|p không phụ thuộc vào đại diện {an }n≥1 của
10


lớp {an }n≥1 + M trong Qp .
Bổ đề 1.4. Ánh xạ | · |p : Qp → Q với |α|p xác định như trong (1.6) là
một chuẩn phi Ácsimét trên Qp .
Chứng minh. Tính phi Ácsimét của | · |p trên Qp được suy ra trực tiếp
từ tính phi Ácsimét của | · |p trên Q và định nghĩa (1.6).
Bây giờ chúng ta sẽ xét các tập con đặc biệt dưới đây của Qp :

Zp := x ∈ Qp | |x|p ≤ 1 ,

mp := x ∈ Qp | |x|p < 1 .

Bổ đề 1.5. Tập hợp Zp ⊆ Qp là một vành con của Qp . Hơn nữa, nó là
vành địa phương với ideal cực đại duy nhất là mp .
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh Zp là một vành con của Qp . Rõ
ràng Zp = ∅ vì 0 ∈ Zp . Với mọi phần tử x, y ∈ Zp ta có |x|p ≤ 1, |y|p ≤ 1.
Do đó |x + y|p ≤ max{|x|p , |y|p } ≤ 1 và |xy|p = |x|p |y|p ≤ 1, tức là
x + y, xy ∈ Zp . Điều này chứng minh Zp là một vành con của trường Qp .
Mặt khác, với mọi phần tử x ∈ Zp , với mọi α, β ∈ mp , ta có
|α + β|p ≤ max{|α|p , |β|p } < 1, |αβ|p = |α|p |β|p < 1, |xα|p = |x|p |α|p < 1
vì |α|p < 1 và |x|p ≤ 1. Do đó α + β, αβ và xα thuộc mp , tức là, mp là
một ideal của Zp .
Xét vành thương
Zp /mp = {x + mp | x ∈ Zp } ≡ {x ∈ Qp | |x|p = 1}.
Với đồng nhất này ta có thể xem mỗi phần tử khác không x ∈ Zp /mp
như một phần tử x ∈ Qp với |x|p = 1. Vì Qp là một trường nên x khả
nghịch trong Qp . Hơn nữa, |x−1 |p =

1
x p

=

1
|x|p

= 1 nên x−1 ∈ Zp /mp . Do


đó x khả nghịch trong Zp /mp . Hệ quả là, Zp /mp là một trường và mp là
một ideal cực đại của Zp .
11


Để chứng minh mp là ideal cực đai duy nhất của Zp ta dùng phép
phản chứng. Giả sử I là một ideal thực sự tùy ý của Zp sao cho tồn tại
một phần tử α ∈ I với |α|p = 1. Khi đó |α−1 |p = 1 hay α−1 ∈ Zp . Từ đó
1 = α−1 · α ∈ I. Suy ra I = Zp , mâu thuẫn với giả thiết I là một ideal
thực sự của Zp . Vì thế với mọi α ∈ I ta có |α|p < 1, tức là, α ∈ mp . Do
đó I ⊆ mp và mp là ideal cực đại duy nhất của Zp .
Định nghĩa 1.6. Dãy {αn }n≥1 trong Qp có giới hạn p-adic là α ∈ Qp
nếu với mọi số thực ε > 0 tồn tại một số nguyên N = N (ε) > 0 sao cho
|αn − α|p < ε với mọi n ≥ N . Dãy {αn }n≥1 như vậy còn được gọi là một
dãy hội tụ p-adic trong Qp . Ta kí hiệu
lim (p) αn = α.

n→∞

Nhắc lại rằng, bởi vì ánh xạ Θ trong (1.5) là một đơn cấu vành nên
ta có thể đồng nhất mỗi phần tử a của Q với lớp của dãy hằng {a}n≥1
trong Qp .
Mệnh đề 1.7. Với mọi α ∈ Zp , tồn tại dãy hội tụ p-adic {xn }n≥1 ⊆ Z
sao cho α = limn→∞ (p) xn . Ngược lại, mọi dãy Cauchy trong Z đều có
giới hạn p-adic trong Zp .
Chứng minh. Ta viết α ∈ Zp qua một phần tử đại diện của nó như sau:
α = {an }n≥1 + M, trong đó {an }n≥1 là một dãy Cauchy trong Q. Khi
đó tồn tại số hữu tỷ c và số nguyên N > 0 sao cho |an |p = c với mọi
n ≥ N . Vì |α|p = limn→∞ |an |p = c và α ∈ Zp nên c ≤ 1. Do đó, thay
{an }n≥1 bằng một phần tử đại diện khác của α nếu cần, ta có thể giả sử

|an |p ≤ 1 với mọi n ≥ 1.
Viết an =

rn
sn

với rn , sn ∈ Z \ {0} với mọi n ≥ 1. Ta có thể giả sử

sn không chia hết cho p. Thật vậy, vì ordp rn − ordp sn = ordp an ≥ 0 nên
nếu sn = pl sn , với sn không chia hết cho p, thì ordp rn ≥ ordp sn = l, do
12


đó rn chia hết cho pl và ta có thể viết an =

rn /pl
sn .

Bây giờ, vì sn không

chia hết cho p nên phương trình đồng dư sn z ≡ 1(mod pm ) có nghiệm
với mọi số tự nhiên m. Ta có thể chọn được một nghiệm z = unm thuộc
{0, 1, . . . , pm − 1}. Chú ý rằng đẳng thức sn unm ≡ 1(mod pm ) tương
đương với
|sn unm − 1|p ≤

1
.
pm


Khi đó |an − rn unm |p = | srnn − rn unm |p = | srnn |p |sn unm − 1|p ≤
|sn un,m+1 − 1|p ≤

1
pm+1

<

1
pm

suy ra

1
pm .

Với mỗi n cố định, xét dãy hằng {an }l≥1 . Để đơn giản kí hiệu ta
đồng nhất an với môt phần tử đại diện [{an }l≥1 ] trong Qp .
Xét α − an = [{al − an }l≥1 ] ∈ Qp . Do dãy {an }n≥1 ⊆ Q là dãy
Cauchy nên chọn ε =
|α − akn |p <

1
pm .

1
pm ,

tồn tại kn ≥ N0 = N0 (ε) = N0 ( p1m ) sao cho


Điều này kéo theo

|α − rkn ukn m+1 |p ≤ max{|α − akn |p , |akn − rkn ukn m+1 |p } <

1
,
pm

tức là limn→∞ (p) rkn ukn m+1 = α. Mà dãy {rkn ukn m+1 } ⊆ Z nên ý đầu tiên
của bổ đề được chứng minh.
Ngược lại nếu {an }n≥1 ⊆ Z là dãy Cauchy, tức là tồn tại số tự
nhiên N và số hữu tỷ dương c sao cho với mọi n > N thì |an |p = c < 1
và với mọi ε > 0 tồn tại N0 = N0 (ε) sao cho với mọi l, n ≥ N0 thì
|al − an |p < ε. Do đó xét dãy hằng {an }l≥1 và đặt α = [{an }l≥1 ] thì
lim an = α ∈ Zp .

n→∞

Định lý 1.8. Trường các số p-adic Qp được mô tả như sau
ai pi | ai ∈ {0, 1, . . . , p − 1}, i0 ∈ Z .

Qp =
i≥i0

Chứng minh. Với mỗi α ∈ Zp , theo Mệnh đề 1.7 tồn tại dãy {xn }n≥1
13


trong Z sao cho α = limn→∞ (p) xn . Do đó với mọi n đủ lớn, |α − xn |p < 1.
Biểu diễn xn dưới dạng xn = λn p + ξn với ξ thuộc {0, 1, . . . , p − 1} thì

|α − ξn |p = |α − xn + λn p|p ≤ max {|α − xn |p , |λn p|p } < 1.
α−α0
p
p

Chọn α0 = ξ ∈ {0, 1, . . . , p − 1} thì
Mệnh đề 1.7 với phần tử
tại α1 ∈ {0, . . . , p − 1} :

≤ 1 hay

α−α0
p

∈ Zp . Áp dụng

α−α0
∈ Zp và làm tương tự như trên ta có
p
α−α0
1
p − α1 p < 1 và |(α − (α0 + α1 )|p < p .

tồn

Bằng quy nạp ta chứng minh được tồn tại α0 , α1 , . . . , αn thuộc
{1, 2, . . . , p − 1} sao cho, với mọi n ≥ 1,
(α − (α0 + α1 p + α2 p2 + · · · + αn pn ) p <

1

.
pn

Với n ≥ 1, đặt βn = α0 + α1 p + α2 p2 + · · · + αn pn thì
|βl − βn |p ≤

1
pn+1

<

1
→ 0 (n → ∞).
pn

Suy ra dãy {βn }n≥1 là dãy Cauchy và có giới hạn là α trong Zp . Vậy với
mọi α ∈ Zp thì α =

i≥0 αi p

i

, trong đó αi ∈ {0, 1, . . . , p − 1}.

Xét α ∈ Qp và giả sử |α|p = pk với k > 0. Khi đó |pk α|p = 1,
hay pk α ∈ Zp , mà theo chứng minh trên ta có pk α =

γi pi , trong đó
i≥0


γi ∈ {0, 1, . . . , p − 1}, γ0 = 0. Vậy
α=

γ0
γ1
+
+ · · · + γk + γk+1 p + γk+2 p2 + · · · ,
k
k−1
p
p

trong đó γi ∈ {0, 1, . . . , p − 1} và γ0 = 0.

1.2

Độ đo Haar trên nhóm compắc địa phương

Định nghĩa 1.9. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô.
(a) X được gọi là không gian tôpô Hausdorff (hoặc T2 ) nếu với mọi x, y
14


phân biệt thuộc X, tồn tại các lân cận mở U ∈ τ chứa x và V ∈ τ
chứa y sao cho U ∩ V = ∅.
(b) Một tập hợp K ⊆ X được gọi là compắc nếu mọi phủ mở của K
đều chứa một phủ con hữu hạn.
(c) X được gọi là một không gian compắc địa phương nếu mọi x ∈ X
có một lân cận compắc K chứa x.
Ví dụ, Rn là một không gian compắc địa phương với tôpô thông

thường (tôpô Euclid).
Chú ý rằng tôpô tích trên tích hai không gian tôpô X × Y là:
W ⊆ X × Y mở khi và chỉ khi W = U × V , với U ⊆ X và V ⊆ Y là các
tập mở.
Định nghĩa 1.10. Ánh xạ f : X → Y từ một không gian tôpô X đến
một không gian tôpô Y được gọi là liên tục nếu với mọi tập mở V trong
Y , f −1 (V ) là một tập mở trong ⊆ X.
Định nghĩa 1.11. Cho X là một không gian tôpô Hausdorff. Khi đó X
được gọi là một nhóm tôpô nếu trên X được trang bị một phép toán hai
ngôi · : X × X → X, (x, y) → xy := x · y là một ánh xạ liên tục (nghịch
ảnh của một tập mở là một tập mở) thỏa mãn ba tiên đề về nhóm
(i) x(yz) = (xy)z với mọi x, y, z ∈ X;
(ii) Tồn tại e ∈ X sao cho xe = ex = x với mọi x ∈ X;
(iii) Với mọi x ∈ X, tồn tại y ∈ X sao cho xy = yx = e.
Định nghĩa 1.12. Cho X là một không gian tôpô compắc địa phương
Hausdorff.
(a) Một σ-đại số Σ của X là một họ các tập con của X sinh bởi các
tập mở và các tập đóng với phép hợp đếm được và giao đếm được.
Mỗi phần tử của σ được gọi là một tập Borel hoặc tập đo được.
15


(b) Một độ đo Borel trên X là một hàm cộng tính đếm được với
µ : Σ → R≥0 ∪ {∞} .
(c) Một độ đo Radon trên X là một độ đo Borel trên X sao cho với
mọi S ∈ Σ, µ(S) < ∞ nếu S compắc, và
µ(S) = inf{µ(U ) | U mở, U ⊇ S} = sup{µ(C) | C compắc, C ⊆ S}.
Định nghĩa 1.13. Cho X là một nhóm tôpô compắc địa phương Hausdorff (thường gọi tắt là nhóm compắc địa phương). Một độ đo Haar trái
µ trên X là một độ đo Radon không tầm thường bất biến với phép tịnh
tiến, tức là

µ (xA) = µ (A) , ∀x ∈ X, ∀A ∈ Σ.
Định lý 1.14 ([2]). Mọi nhóm compắc địa phương X đều có một độ đo
Haar. Nếu µ và µ là hai độ đo Haar trên X thì tồn tại λ ∈ R>0 sao cho
µ (S) = λµ(S), ∀S ∈ Σ.

16


Chương 2
Độ đo p-adic và tích phân p-adic
2.1

Độ đo p-adic

Ta thấy Qnp cùng với phép toán cộng trên Qnp là một nhóm tôpô compắc
địa phương nên theo Định lý (1.14) tồn tại một độ đo Haar trên Qnp và
được gọi là độ đo p-adic. Khi đó ta định nghĩa độ đo p-adic như sau
Trên các tập con “đủ tốt” của Qnp tồn tại duy nhất độ đo p-adic µp
thỏa mãn µp Znp = 1 và µp bất biến đối với phép tịnh tiến, tức là với
X là tập con của Qnp thì µp (X) = µp (a + X).
Bổ đề 2.1. µ (pZp ) =

1
p

Chứng minh. Tách Zp thành hợp rời của các tập con
Zp = pZp

(pZp + 1)


···

(pZp + p − 1) .

Do tính chất bất biến đối với phép tịnh tiến của độ đo p-adic nên tất cả
các tập con ở bên phải đều có độ đo bằng nhau và do µp (Zp ) = 1 nên
1
ta có 1 = pµ (pZp ) hay µ (pZp ) = .
p
Nhận xét. Với mọi số nguyên dương k ta có µ pk Zp =

17

1
.
pk


2.2

Tích phân p-adic

Cho A là một tập con của Qnp và ánh xạ f : A → Qp sao cho
(i) An = {x ∈ A | ordp f (x) = n} đo được với mọi n;
µp (An ) p−n hội tụ trong R.

(ii)
n∈Z

A |f |p |dµp |p


Khi đó f được gọi là khả tích và

µp (An ) p−n được

:=
n∈Z

gọi là tích phân p-adic của hàm f trên A.
Định nghĩa 2.2. Cho f (x1 , . . . , xn ) ∈ Qp [x1 , · · · , xn ]. Hàm zeta p-adic
của f được định nghĩa như sau
Zf (s) :=
Znp

µp {x ∈ Znp | ordp f (x) = n} p−ns ,

|f |sp |dµp |p =
n≥0

với s ∈ C và s có phần thực dương.
Ví dụ 2.3. Cho s ∈ R>0 và d ∈ N>0 . Khi đó
|xd |sp |dµp |p =

I=
Zp

p−1
.
p − p−ds


Chứng minh. Tách Zp thành hợp của các tập rời nhau ta có
I = µ(Zp \ pZp ) +

1
1
2
µ(pZ
\
p
Z
)
+
µ(p2 Zp \ p3 Zp ) + · · · .
p
p
ds
2ds
p
p

Sử dụng nhận xét của Bổ đề 2.5 thì
I=
=
=

1
1
1
1
1

− 2 + 2ds
−
+ ···
p p
p
p2 p3
1
1
1
1
1
1 + ds+1 + 2ds+2 + · · ·
1 + ds+1 + 2ds+2 + · · · −
p
p
p
p
p
1
1
p−1
1−
=
.
p 1 − p−ds−1
p − p−ds
1−

1
p


+

1
pds

18


Mệnh đề 2.4 (Hoornaert [1]). Cho đa thức f (x) = f (x1 , . . . , xn ) trong
Zp [x] với f (x) = 0, và cho a ∈ Znp . Giả sử hệ phương trình đồng dư


f (x)

≡ 0 mod p


 ∂f (x)

≡ 0 mod p, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}

∂xi

không có nghiệm trong a + (pZp )n , tức là f (x) không có nghiệm kì dị
trong a + (pZp )n . Khi đó với mọi s ∈ C sao cho Re(s) ≥ 0, ta có


p−n
nếu f (a) ≡ 0 mod p

s
|f |p |dµp |p =

p−n (p − 1) p−(s+1)
nếu f (a) ≡ 0 mod p.
n
1−p−(s+1)
a+(pZ )
p

Mệnh đề 2.4 được chứng minh dựa trên bổ đề Hensel.
Bổ đề 2.5 (Bổ đề Hensel [3]). Cho f (x) là đa thức một biến trong
Zp và k ∈ N>0 . Cho a ∈ Zp thỏa mãn điều kiện f (a) ≡ 0 mod p và
f (a) ≡ 0 mod p. Khi đó tồn tại duy nhất ξ ∈ Zp sao cho
f (ξ) = 0 và ξ ≡ a mod pk .
Chứng minh. Xét trường hợp k = 1. Ta chứng minh bằng phương pháp
quy nạp theo n rằng, với mọi số nguyên dương n, tồn tại an ∈ Zp sao
cho f (an ) ≡ 0 mod pk và an ≡ a mod p.
Trường hợp n = 1 là hiển nhiên vì ta luôn có a1 = a. Giả sử giả
thiết quy nạp đúng với trường hợp n, ta chứng minh tồn tại an+1 thuộc
Zp thỏa mãn f (an+1 ) ≡ 0 mod pn+1 và an+1 ≡ a mod p. Vì điều kiện
f (an+1 ) ≡ 0 mod pn+1 kéo theo f (an+1 ) ≡ 0 mod pn , và theo giả thiết
quy nạp, tồn tại an ∈ Zp sao cho f (an ) ≡ 0 mod pn và an ≡ a mod p,

19


nên ta chỉ cần chỉ ra tồn tại an+1 thỏa mãn



an+1
≡ an mod pn

f (an+1 ) ≡ 0 mod pn+1 .
Do đó ta định nghĩa an+1 := an + pn tn trong đó tn ∈ Zp . Để chứng minh
f (an+1 ) = f (an + pn tn ) ≡ 0 (mod pn+1 ) ta sử dụng công thức
f (X + Y ) = f (X) + f (X)Y + g(X, Y )Y 2
với một hàm g(X, Y ) ∈ Zp [X, Y ] nào đó. Công thức này thu được khi
khai triển Taylor của hàm f (X + Y ) tại X. Khi đó
f (x + y) = f (x) + f (x)y + zy 2

(2.1)

với x, y ∈ Zp và z = g(x, y) ∈ Zp . Áp dụng (2.1) cho x = an , y = pn tn và
z = g(an , pn tn ), ta có
f (an + pn tn ) = f (an ) + f (an )pn tn + p2n t2n z
n

≡ f (an ) + f (an )p tn

(mod p

n+1

(2.2)
),

vì 2n ≥ n + 1. Vì an ≡ a mod p nên f (an )pn tn ≡ f (a)pn tn mod pn+1 .
Từ công thức (2.2), f (an + pn tn ) ≡ 0 mod pn+1 khi và chỉ khi
f (an )tn ≡

trong đó

f (an )
pn

−f (an )
mod p,
pn

∈ Zp . Khi đó, vì f (an ) ≡ 0 mod p nên phương trình

f (an + pn tn ) ≡ 0 mod pn+1 có một nghiệm tn ≡

−f (an )
pn f (an )

mod p. Chọn

tn như trên và xét an+1 = an + pn tn . Khi đó an+1 ≡ an mod pn và
f (an+1 ) ≡ 0 mod pn+1 . Điều này suy ra an+1 ≡ a mod p. Phép chứng
minh quy nạp hoàn thành.

20


Bây giờ ta sẽ chứng minh bổ đề Hensel với trường hợp k = 1.
Với a = a1 , theo lập luận quy nạp trên ta xây dựng được một dãy
a1 , a2 , . . . ∈ Zp sao cho an+1 ≡ an mod pn và f (an ) ≡ 0 mod pn với mọi
số tự nhiên n. Khi đó {an } là một dãy Cauchy trong Zp có giới hạn trong
Zp , giả sử là ξ.

Từ an+1 ≡ an mod pn ta có am ≡ an mod pn với mọi m > n,
kéo theo ξ ≡ an mod pn khi m → ∞. Do đó với mọi n nguyên dương
f (ξ) ≡ f (an ) ≡ 0 mod pn hay|f (ξ)|p ≤

1
pn .

Vậy f (ξ) = 0.

Để chứng minh tính duy nhất của ξ ta giả sử α ≡ a mod p và
f (α) = 0 và chỉ ra α ≡ ξ mod pn với mọi n ∈ N. Trường hợp n = 1 là
hiển nhiên vì α và ξ đều đồng dư với a mod p. Trường hợp n ≥ 1, giả
sử α ≡ ξ mod pn . Khi đó α = ξ + pn γn với γn ∈ Zp , tương tự như công
thức (2.2) thì f (α) = f (ξ + pn γn ) ≡ f (ξ) + f (ξ)pn γn mod pn+1 .
Cả α và ξ đều là nghiệm của f (X) nên 0 ≡ f (ξ)pn γn mod pn+1 kéo
theo f (ξ)γn ≡ 0 mod p. Mà f (ξ) ≡ f (a) ≡ 0 mod p nên γn ≡ 0 mod p
hay α ≡ ξ mod pn+1 .
Vậy bổ đề (2.5) được chứng minh với trường hợp k = 1.
Để chứng minh bổ đề Hensel với trường hợp k > 1 áp dụng trường
hợp k = 1 với đa thức g(y) = p−(n−1) f (a + pn−1 y), trong đó các hệ số
thuộc Zp do f (ξ) ≡ 0 mod pk .
Hệ quả 2.6. Cho f (x) ∈ Zp [x] , k ∈ N>0 . Cho a ∈ Zp sao cho f (a) ≡
0 mod p và f (a) ≡ 0 mod p. Khi đó tồn tại ξ ∈ Zp sao cho
ξ + pk Zp = {x ∈ a + pZp | f (x) ≡ 0 mod pk }
Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.5 ta có tồn tại ξ ∈ Zp thỏa mãn f (ξ) = 0
và ξ ≡ a mod p nên ξ có thể viết được dưới dạng
ξ = a + α1 p + α2 p2 + · · · + αk pk
21