TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ LUYẾN

SỰ HỘI TỤ ĐỀU CỦA DÃY HÀM
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội, 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ LUYẾN

SỰ HỘI TỤ ĐỀU CỦA DÃY HÀM
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Trần Văn Bằng

Hà Nội, 2019


LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong tổ Giải tích, Khoa Toán, Trường
Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa
luận.

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Văn Bằng đã
tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóa luận
không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Luyến

1


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó, em cũng được sự quan tâm tạo điều kiện của thầy cô giáo
trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Trần Văn Bằng.
Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo một số
tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan kết quả của đề tài "Sự hội tụ đều của dãy hàm" không
có sự trùng lặp cũng như sao chép kết quả của đề tài nào khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Luyến

i



Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị

2

1.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Sự hội tụ đều của dãy hàm

6

2.1

Giới hạn hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2


Sự hội tụ đều và sự hội tụ theo từng điểm . . . . . . .

8

2.3

Sự hội tụ đều và tính liên tục . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4

Metric của sự hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.5

Chuỗi hàm; dấu hiệu Weierstrass . . . . . . . . . . . .

17

2.6

Sự hội tụ đều và phép lấy tích phân . . . . . . . . . . .

20

2.7


Sự hội tụ đều và đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.8

Xấp xỉ đều bởi đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Tài liệu tham khảo

34

ii


Lời nói đầu
Giải tích toán học là một trong những môn học cơ bản của chương
trình đào tạo cử nhân sư phạm Toán học. Nó đóng vai trò quan trọng
trong việc học tập của sinh viên ngành Toán nói chung, sinh viên Sư
phạm Toán học nói riêng. Về cơ bản, môn học này được xây dựng dựa
đối với hàm số biến số thực (xem [2]). Tuy nhiên hầu hết các nội dung
của Giải tích toán học đều có thể mở rộng đối với hàm trên không
gian metric (xem [3]).
Để tìm hiểu về vấn đề này tôi đã chọn thể hiện qua một trong
những chủ đề thú vị của Giải tích toán học đó là sự hội tụ của dãy
hàm. Với giới hạn của dãy hàm, chúng ta đã biết là có 02 loại hội tụ
chủ yếu, đó là sự hội tụ từng điểm và sự hội tụ đều. Trong đó, sự hội

tụ đều của dãy hàm rất được quan tâm vì nó bảo toàn tính chất liên
tục, tính khả vi và tính khả tích khi qua giới hạn,....
Nội dung của khóa luận bao gồm 2 chương. Chương 1 trình bày
một số kiến thức chuẩn bị về không gian metric và hàm liên tục trên
không gian metric. Chương 2 tìm hiểu về sự hội tụ đều của giới hạn
dãy hàm trong không gian metric và những tính chất gắn với sự hôi
tụ đều.

1


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ
bản về không gian metric và hàm liên tục trên không gian metric cần
thiết cho việc trình bày các kết quả trong Chương 2. Nội dung của
Chương này được tham khảo chính từ [1] và [3].

1.1

Không gian metric

Định nghĩa 1.1. Ta gọi là không gian metric một tập hợp X= ∅ cùng
với một ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R thỏa
mãn các tiên đề sau đây:
1) (∀x, y ∈ X) d(x, y)≥ 0,d(x, y)=0 ⇔ x = y
2) (∀x, y ∈ X) d(x, y)=d(y, x)
3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai
phần tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1),

2), 3) gọi là hệ tiên đề metric. Không gian metric được kí hiệu là
M = (X, d).

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

Ví dụ 1.1.1. Cho không gian Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ R},
n ≥ 1. Ta định nghĩa metric Euclide (hay metric l2 ) dl2 : Rn × Rn → R
bởi:
dl2 ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) :=

(x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn )2
n
1

(xi − yi )2 ) 2 .

=(
i=1

Ví dụ, nếu n = 2 thì dl2 ((1, 6), (4, 2)) =

√

32 + 42 = 5. Điều này ứng


với khoảng cách giữa hai điểm (x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn ) được đưa
ra bởi định lý Pythagore. (Tuy nhiên, mặc dù hình học đưa ra một
số ví dụ quan trọng về không gian metric nhưng có thể có không gian
metric không lý giải rõ ràng được bằng hình học rõ ràng). Ta có thể
kiểm tra (Rn , d) là một không gian metric bằng hình học (ví dụ, bất
đẳng thức tam giác khẳng định độ dài một cạnh của một tam giác
luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổng độ dài hai cạnh còn lại), nhưng cũng
có thể kiểm tra bằng đại số. Ta gọi (Rn , dl2 ) là không gian Euclide n
chiều.
Ví dụ 1.1.2. Cho (X, d) là một metric bất kì, Y là tập con của X.
Khi đó ta có thể hạn chế hàm metric d : X × X → [0, +∞) để tạo
ra hàm metric hạn chế d|Y ×Y : Y × Y → [0, +∞) của X, và được gọi
là metric trên Y tạo bởi metric d trên X. Cặp (Y, d|Y ×Y ) được gọi là
một metric và là không gian con của (X, d) được tạo bởi Y.
Định nghĩa 1.2. (Sự hội tụ của dãy trong không gian metric) Cho
(X, d) là một không gian metric, (x(n) )∞
n=m là dãy các điểm trong X
(Tức là, với mọi số tự nhiên n ≥ m, ta giả sử x(n) là một phần tử của
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

X) và x là một điểm trong X. Ta nói rằng (x(n) )∞
n=m hội tụ tới x đối
với metric d nếu và chỉ nếu giới hạn lim d(x(n) , x) tồn tại và bằng 0.
n→∞


Nói cách khác,

(x(n) )∞
n=m

hội tụ đến x khi và chỉ khi với mọi ε > 0,

tồn tại N ≥ m sao cho d(x(n) , x) ≤ ε với mọi n ≥ N.
Mệnh đề 1.1. (Tính duy nhất của các giới hạn) Cho (X, d) là một
không gian metric, (x(n) )∞
n=m là dãy các điểm trong X. Giả sử có hai
điểm x, x ∈ X sao cho (x(n) )∞
n=m hội tụ đến x đối với metric d và
(x(n) )∞
n=m cũng hội tụ đến x đối với metric d. Khi đó x = x .
Nếu (x(n) )∞
n=m hội tụ đến x trong X đối với metric d thì ta viết
d − lim x(n) = x hoặc đơn giản lim x(n) = x.
n→∞

n→∞

Định nghĩa 1.3. Cho không gian metric M = (X, d), không gian M
là không gian compact nếu tập X là tập compact trong M .

1.2

Hàm liên tục

Định nghĩa 1.4. (Hàm liên tục) Cho (X, dX ) và (Y, dY ) là hai không

gian metric và f : X → Y là một hàm. Nếu x0 ∈ X thì ta nói rằng
f liên tục tại điểm x0 nếu với ∀ε > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho
dY (f (x), f (x0 )) < ε khi dX (x, x0 ) < δ. Chúng ta nói rằng f là liên tục
nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.
Mệnh đề 1.2. Cho (X, d) là không gian metric compact, f : X → R
là một hàm liên tục. Khi đó f bị chặn hơn nữa f đạt giá trị lớn nhất
tại một điểm xmax ∈ X và đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểm xmin ∈ X.
Định nghĩa 1.5. (Liên tục đều) Cho f : X → Y là một ánh xạ từ
không gian metric (X, dX ) đến (Y, dY ). f là liên tục đều nếu với mọi
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho dY (f (x), f (x )) < ε với mọi x, x ∈ X thỏa
mãn dX (x, x ) < δ.
Mọi hàm liên tục đều thì liên tục nhưng hàm liên tục thì chưa chắc
đã liên tục đều. Nếu X là không gian compact thì hai định nghĩa trên
tương đương.
Định lý 1.1. Cho (X, dX ), (Y, dY ) là không gian metric và giả sử
(X, dX ) là không gian compact. Khi đó f : X → Y là một hàm liên
tục khi và chỉ khi f liên tục đều.
Định nghĩa 1.6. Cho (X, F) là một không gian topo, (x(n) )∞
n=m là
dãy nằm trong X và x là một điểm thuộc X. Ta nói rằng (x(n) )∞
n=m
hội tụ đến x (tức là lim x(n) = x) nếu và chỉ nếu với mọi lân cận V
n→∞


của x, tồn tại N ≥ m sao cho x(n) ∈ V với mọi n ≥ N.
Định nghĩa trên nhất quán với khái niệm hội tụ trong không gian
metric. Vậy giới hạn này có duy nhất không? Câu trả lời là có nếu
không gian topo được bổ sung thành không gian Hausdorff - nhưng
câu trả lời là không đối với các cấu trúc khác.

5


Chương 2
Sự hội tụ đều của dãy hàm
2.1

Giới hạn hàm

Trước khi nói về giới hạn của dãy hàm, đầu tiên chúng ta thảo luận
về khái niệm giới hạn hàm. Chúng ta sẽ tập chung vào giới hạn hàm
trong không gian metric, nhưng nó tương tự khái niệm trong không
gian topo.
Định nghĩa 2.1. (Giới hạn hàm) Giả sử (X, dX ) và (Y, dY ) là hai
không gian metric, E là tập con của X và f : X → Y là một hàm.
Cho x0 ∈ X là điểm dính của E và L ∈ Y. Ta nói rằng f (x) hội tụ tới
L trong Y khi x hội tụ tới x0 trong E, hoặc viết là:

lim

x→x0 ;x∈E

f (x) = L,


nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho dY (f (x), L) < ε với mọi x ∈ E
thỏa mãn dX (x, x0 ) < δ.
Chú ý 2.1. Đôi khi chúng ta loại bỏ trường hợp x = x0 trong định
nghĩa trên, nên đòi hỏi 0 < dX (x, x0 ) < δ. Khi đó chúng ta xét
lim

x→x0 ;x∈E\{x0 }

f (x) thay vì

lim

x→x0 ;x∈E

f (x).

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

So sánh với Định nghĩa 1.4 Chúng ta thấy rằng f là liên tục tại
x0 ∈ X nếu và chỉ nếu:
lim

x→x0 ,x∈X


f (x) = f (x0 )

Vì vậy f liên tục trên X khi và và chỉ khi:
lim

x→x0 ;x∈X

f (x) = f (x0 ), ∀x0 ∈ X

Ví dụ 2.1.1. Nếu f : R → R là hàm số xác định bởi f (x) = x2 − 4
thì f liên tục trên R nên:
lim f (x) = f (1) = 1 − 4 = −3

x→1,x∈R

Chú ý 2.2. Thông thường ta sẽ bỏ qua điều kiện x ∈ X và viết
lim

x→x0 ;x∈X

f (x) đơn giản là lim f (x).
x→x0

Mệnh đề 2.1. Giả sử (X, dX ) và (Y, dY ) là hai không gian metric, E
là tập con của X và f : X → Y. Cho x0 ∈ X là điểm dính của E và
L ∈ Y. Khi đó bốn mệnh đề sau tương đương:
(i)

lim


x→x0 ;x∈E

f (x) = L.

(ii) Với mỗi dãy (x(n) )∞
n=1 trong E hội tụ tới x0 đối với metric dX ,
dãy (f (x(n) ))∞
n=1 hội tụ đến L trong Y đối với metric dY .
(iii) Với mỗi tập mở V ⊂ Y chứa L, tồn tại một tập mở U ⊂ X chứa
x0 sao cho f (U ∩ E) ⊆ V.
(iv) Nếu hàm g : E\{x0 } → Y với g(x0 ) := L và g(x) := f (x) với
x ∈ E\{x0 } thì g liên tục tại x0 . Hơn nữa, nếu x0 ∈ E thì
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

f (x0 ) = L.
Chú ý 2.3. Theo Mệnh đề 2.1(ii), hàm f (x) có thể hội tụ tới nhiều
nhất một giới hạn L, khi x hội tụ đến x0 . Nói cách khác, nếu giới hạn
lim

x→x0 ;x∈E

f (x)

tồn tại, thì nó chỉ có một giá trị duy nhất.
Chú ý 2.4. Giả thiết x0 là điểm dính của E là cần thiết cho khái

niệm giới hạn, nếu không thì x0 là điểm ngoài của E, khái niệm f (x)
hội tụ đến L khi x hội tụ đến x0 trong E là vô lý (Vì với δ đủ nhỏ,
không có điểm x ∈ E sao cho d(x, x0 ) < δ).
Chú ý 2.5. Chính xác thì chúng ta nên viết
dY −

lim

x→x0 ;x∈E

f (x) thay vì

lim

x→x0 ;x∈E

f (x)

vì sự hội tụ phụ thuộc vào metric dY . Tuy nhiên trong thực hành
metric dY thường đã biết vì vậy chúng ta sẽ bỏ qua tiền tố dY −trong
kí hiệu.

2.2

Sự hội tụ đều và sự hội tụ theo từng điểm

Khái niệm rõ ràng nhất về sự hội tụ của các hàm là sự hội tụ theo
từng điểm hay sự hội tụ tại mỗi điểm của miền xác định.
Định nghĩa 2.2. (Sự hội tụ theo từng điểm) Giả sử (f (n) )∞
n=1 là dãy

các hàm từ không gian metric (X, dX ) vào (Y, dY ), f : X → Y là một
hàm. Ta nói rằng (f (n) )∞
n=1 hội tụ từng điểm đến f trên X nếu
lim f (n) (x) = f (x)

n→∞

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

với mọi x ∈ X, tức là
lim dY (f (n) (x), f (x)) = 0.

n→∞

Nói cách khác, với mọi x và với mọi ε > 0 tồn tại N > 0 sao cho
dY (f (n) (x), f (x)) < ε với mọi n > N. Khi đó ta nói hàm f là hàm giới
hạn theo từng điểm của dãy hàm f (n) .
Chú ý 2.6. Lưu ý rằng với mỗi x cố định f (n) (x) và f (x) là các điểm
trong Y chứ không phải là các hàm, vì vậy chúng ta sử dụng khái
niệm hội tụ của không gian metric để xác định sự hội tụ của dãy hàm.
Hơn nữa chúng ta không thực sự sử dụng (X, dX ) là một không gian
metric (nghĩa là ta không sử dụng metric dX ); Định nghĩa có nghĩa
với X chỉ là một tập chứ không cần có cấu trúc metric. Tuy nhiên,
sau này chúng ta muốn hạn chế nghiên cứu đến các hàm liên tục từ
X vào Y, khi đó ta cần một metric trên X (và trên Y ) hoặc ít nhất

một cấu trúc topo trên X. Đồng thời khi chúng ta đưa vào khái niệm
sự hội tụ đều thì chắc chắn sẽ cần một cấu trúc metric trên X và Y.
Ví dụ 2.2.1. Xét các hàm f (n) : R → R xác định bởi f (n) (x) = nx ,
f : R → R là hàm đồng nhất không, f (x) := 0. Khi đó f (n) hội tụ
từng điểm đến f, vì với mỗi số thực x cố định ta có lim f (n) (x) =
n→∞

lim nx
n→∞

= 0 = f (x).

Từ Mệnh đề 1.1 ta thấy dãy (f (n) )∞
n=1 từ không gian metric (X, dX )
đến (Y, dY ) có thể có nhiều nhất một giới hạn từng điểm f. Tuy nhiên
có những dãy hàm không có giới hạn điểm, vì dãy các điểm trong
không gian metric không nhất thiết phải có giới hạn. Sự hội tụ từng
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

điểm là một khái niệm rất tự nhiên nhưng nó có một hạn chế là: nó
không bảo toàn tính liên tục, tính khả vi, tính khả tích, như ba ví dụ
sau:
Ví dụ 2.2.2. Xét các hàm f (n) : [0, 1] → R xác định bởi f (n) (x) = xn ,
và f : [0, 1] → R là hàm xác định bởi f (x) := 1 khi x = 1 và f (x) = 0
khi 0 ≤ x < 1. Khi đó các hàm f (n) liên tục và hội tụ tới f trên [0, 1].

Tuy nhiên, hàm f không liên tục. Ví dụ này cũng cho ta thấy sự hội
tụ điểm không bảo toàn tính khả vi.
Ví dụ 2.2.3. Nếu

lim

x→x0 ;x∈E

f (n) (x) = L với mọi n, và f (n) hội tụ

từng điểm đến f. Tuy nhiên chúng ta không phải lúc nào cũng có:
lim

x→x0 ;x∈E

f (x) = L. Thật vậy Ví dụ 2.2.2 là một phản ví dụ: Rõ ràng
f (n) (x) =

lim
x→1;x∈[0,1)

xn = 1 với mọi n và f n hội tụ điểm đến

lim
x→1;x∈[0,1)

hàm f trên [0, 1) nhưng

xn = 0. Như vậy ta có


lim
x→1;x∈[0,1)

lim

f (n) (x) =

lim

n→∞ x→x0 ;x∈X

lim

lim f (n) (x).

x→x0 ;x∈X n→∞

Do đó sự hội tụ từng điểm không bảo toàn phép lấy giới hạn.
Ví dụ 2.2.4. Giả sử f (n) : [a, b] → R là dãy các hàm khả tích Riemann
trên [a, b]. Nếu

[a,b] f

(n)

= L với mọi n và f (n) hội tụ từng điểm tới f,

thì ta cũng không khẳng định được

[a,b] f


= L. Ví dụ với [a, b] := [0, 1],

1 1
1 1
f (n) := 2n khi x ∈ [ 2n
; n ] và f (n) (x) := 0 với x ∈ R\[ 2n
; n ]. Khi đó

f (n) hội tụ từng điểm tới hàm đồng nhất không f (x) := 0. Dễ thấy,
[0,1] f

(n)

= 1 với mọi n và

[0,1] f

f (n) =

lim

n→∞

= 0. Nói cách khác

[a,b]

10


lim f (n) .

[a,b] n→∞


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

Trong ví dụ trên, f (n) không liên tục, nhưng ta có thể điều chỉnh để
có một ví dụ mà các hàm f (n) liên tục.
Một phản ví dụ khác cho tính chất trên là:
Ví dụ 2.2.5. Giả sử f (n) : R → R là hàm xác định bởi f (n) (x) := 1
nếu x ∈ [n, n + 1] và f (n) (x) := 0 nếu trái lại. Khi đó
mọi n trong đó (

Rf

được hiểu là giới hạn của

Rf

[−N,N ] f

(n)

(x) = 1 với

khi N → ∞).


Mặt khác, f (n) hội tụ từng điểm đến hàm đồng nhất không và

R0

= 0.

Như vậy giới hạn từng điểm của dãy các hàm với diện tích 1 có thể là
hàm với diện tích 0.
Những Ví dụ trên cho thấy sự hội tụ từng điểm là một khái niệm
quá yếu để sử dụng nhiều. Vấn đề là khi f (n) hội tụ đến f (x) với mọi
x, tốc độ hội tụ thay đổi đáng kể theo x. Chẳng hạn trong ví dụ 2.2.3
hàm f (n) : [0, 1] → R xác định bởi f (n) (x) := xn , và hàm f : [0, 1] → R
xác định bởi f (x) := 1 khi x = 1, f (x) := 0 nếu trái lại. Khi đó với
mỗi x thì f (n) (x) hội tụ đến f (x) khi n → ∞; tức là: lim xn = 0 khi
n→∞

n

0 ≤ x < 1 và lim x = 1 khi x = 1. Nhưng sự hội tụ tại điểm gần 1 là
n→∞

chậm hơn nhiều so với tại những điểm xa 1. Thật vậy lim |xn − 0| = 0
n→∞

với mọi 0 ≤ x < 1 có nghĩa là với mọi 0 ≤ x < 1, với mọi ε, tồn tại
N ≥ 1 sao cho |xn | < ε với mọi n ≥ N hay nói cách khác, các phần tử
của dãy 1, x, x2 , x3 , . . . cuối cùng sẽ nhỏ hơn ε kể từ phần tử thứ N.
Nhưng số các phần tử N phụ thuộc rất nhiều vào vị trí của x. Chẳng
hạn với ε := 1, nếu x = 0, 1 thì ta có |xn − 0| < ε với mọi n ≥ 2,
tức là dãy nhận các giá trị nhỏ hơn ε sau phần tử thứ hai. Nhưng

nếu x = 0, 5 thì ta chỉ nhận được |xn | < ε khi n ≥ 4 - tức là ta phải
chờ đến phần tử thứ tư để đạt được mức nhỏ hơn ε. Nếu x = 0, 9 thì
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

|xn | < ε chỉ khi n ≥ 22. Rõ ràng, x càng gần 1 ta càng phải đợi lâu
hơn cho đến khi f (n) (x) nhỏ hơn ε. (Tuy nhiên, trong khi sự hội tụ
càng trở lên chậm hơn khi x tiến đến 1 thì sự hội tụ lại có ngay tức
thì khi x = 1).
Nói cách khác, f (n) hội tụ không đều đến f, số N mà ta cần để
|f (n) (x) − f (x)| nhỏ hơn ε phụ thuộc vào x và ε. Điều này đòi hỏi có
một khái niệm hội tụ đều tốt hơn.
Định nghĩa 2.3. (Sự hội tụ đều) Giả sử (f (n) )∞
n=1 là dãy hàm đi từ
không gian metric (X, dX ) đến (Y, dY ) và cho hàm f : X → Y. Ta
nói rằng (f (n) )∞
n=1 hội tụ đều đến f trên X nếu với mỗi ε > 0 tồn tại
N > 0 sao cho dY (f (n) (x), f (x)) < ε với mọi n > N và x ∈ X. Ta gọi
hàm f là giới hạn đều của dãy hàm f (n) .
Chú ý 2.7. Lưu ý rằng định nghĩa này khác với định nghĩa sự hội tụ
từng điểm trong Định nghĩa 2.2. Trong định nghĩa hội tụ từng điểm,
cho phép N phụ thuộc vào x, còn ở định nghĩa này thì không.
Dễ thấy nếu f (n) hội tụ đều đến f trên X, thì nó cũng hội tụ từng
điểm tới cùng một hàm f ; do đó khi giới hạn đều và giới hạn từng điểm
cùng tồn tại thì chúng phải bằng nhau. Tuy nhiên ngược lại không
đúng, ví dụ như hàm f (n) : [0, 1] → R xác định bởi f (n) (x) := xn hội

tụ từng điểm nhưng không hội tụ đều.
Ví dụ 2.2.6. Giả sử f (n) : [0, 1] → R được xác định bởi f (n) :=

x
n

và

f : [0, 1] → R là hàm đồng nhất không f (x) := 0. Khi đó, rõ ràng f (n)
hội tụ từng điểm tới f. Bây giờ ta chứng minh f (n) hội tụ đều đến f.
Ta phải chỉ ra rằng với mỗi ε > 0 tồn tại N sao cho |f (n) (x)−f (x)| < ε
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

với mọi x ∈ [0, 1] và với mọi n ≥ N. Để chứng tỏ điều này ta cố định
ε > 0. Khi đó với x ∈ [0, 1] và n ≥ N, ta có
|f (n) (x) − f (x)| =

x
x
1
1
−0 = ≤ ≤ .
n
n n
N


Vì vậy nếu chúng ta chọn N sao cho N ≥

1
ε

(N không phụ thuộc vào

x), khi đó ta có |f (n) (x) − f (x)| < ε với mọi n ≥ N và x ∈ [0, 1] như
mong muốn.
Chúng ta đưa ra nhận xét đơn giản sau: Nếu f (n) : X → Y hội tụ
từng điểm (hoặc hội tụ đều) tới hàm f : X → Y, thì hàm hạn chế
f (n) |E : E → Y của f (n) trên tập con E của X sẽ hội tụ từng điểm
(hoặc hội tụ đều) đến f |Y .

2.3

Sự hội tụ đều và tính liên tục

Bây giờ chúng ta đưa ra chứng minh đầu tiên rằng sự hội tụ đều tốt
hơn sự hội tụ từng điểm. Cụ thể, ta chỉ ra rằng giới hạn đều của các
hàm liên tục là liên tục.
Định lý 2.1. (Giới hạn đều bảo toàn tính liên tục I) Giả sử (f (n) )∞
n=1
là dãy hàm từ không gian metric (X, dX ) đến (Y, dY ) hội tụ đều đến
hàm f : X → Y. Cho x0 là một điểm trong X. Nếu các hàm f (n) liên
tục tại x0 với mọi n thì hàm giới hạn f cũng liên tục tại x0 .
Từ đó ta có hệ quả
Hệ quả 2.1. (Giới hạn đều bảo toàn tính liên tục II) Giả sử (f (n) )∞
n=1

là dãy hàm từ không gian metric (X, dX ) đến (Y, dY ) hội tụ đều đến
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

hàm f : X → Y. Nếu các hàm f (n) liên tục trên X với mọi n thì hàm
giới hạn f cũng liên tục trên X.
Điều này tương phản với Ví dụ 2.2.2. Có một biến thể khác của
Định lý 2.1 cũng hữu ích:
Mệnh đề 2.2. (Đổi thứ tự lấy giới hạn và giới hạn đều) Giả sử
(X, dX ) và (Y, dY ) là các không gian metric và E là tập con của X.
Cho (f (n) )∞
n=1 là dãy hàm từ X vào Y và dãy này hội tụ đều trong E
đến hàm f : E → Y. Giả sử x0 ∈ X là điểm dính của E và với mỗi
n giới hạn

lim

x→x0 ;x∈E

f (n) (x) tồn tại. Khi đó giới hạn

tồn tại và bằng giới hạn của dãy (

lim

x→x0 ;x∈E


lim

lim

n→∞ x→x0 ;x∈E

f (n) (x) =

lim

lim

f (x) cũng

x→x0 ;x∈E
(n)
∞
f (x))n=1 . Tức là

ta có

lim f (n) (x).

x→x0 ;x∈E n→∞

Điều này tương phản với Ví dụ 2.2.3. Cuối cùng ta có một biến thể
của các định lý cho dãy:
Mệnh đề 2.3. Giả sử (f (n) )∞
n=1 là dãy hàm liên tục từ X vào Y và

dãy này hội tụ đều trong E đến hàm f : X → Y. Cho x(n) là dãy các
điểm trong X hội tụ đến giới hạn x. Khi đó f (n) (x(n) ) hội tụ (trong
Y ) đến f (x).
Một kết quả tương tự áp dụng cho các hàm bị chặn:
Định nghĩa 2.4. (Hàm số bị chặn) Hàm f : X → Y đi từ không
gian metric (X, dX ) vào (Y, dY ) được gọi là bị chặn nếu f (X) bị chặn.
Tức là, tồn tại một hình cầu B(Y,dY ) (y0 , R) trong Y sao cho f (x) ∈
B(Y,dY ) (y0 , R) với mọi x ∈ X.
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

Mệnh đề 2.4. (Giới hạn đều bảo toàn tính bị chặn) Giả sử (f (n) )∞
n=1
là dãy các hàm đi từ không gian metric (X, dX ) vào (Y, dY ) và dãy
này hội tụ đều đến hàm f : X → Y. Nếu các hàm f (n) bị chặn trên X
với mọi n, thì hàm f cũng bị chặn trên X.
Chú ý 2.8. Các mệnh đề trên chỉ đúng nếu ta giả sử sự hội tụ đều,
sự hội tụ từng điểm là không đủ.

2.4

Metric của sự hội tụ đều

Cho đến giờ chúng ta đã biết ít nhất bốn khái niệm về giới hạn
(i) Giới hạn dãy điểm lim x(n) trong không gian metric;
n→∞


(ii) Giới hạn hàm tại một điểm

lim

x→x0 ;x∈E

f (x);

(iii) Giới hạn điểm f của dãy hàm f (n) ;
(iv) Giới hạn đều f của dãy hàm f (n) .
Các giới hạn này có vẻ có độ phức tạp tăng dần. Tuy nhiên, ta có
thể giảm độ phức tạp bằng cách quan sát (iv) có thể được xem như
là trường hợp đặc biệt của (ii), khi xem nó là sự hội tụ không phải
trong X hay Y mà là trong một không gian mới, không gian của các
hàm đi từ X vào Y.
Chú ý 2.9. Nếu ta làm việc với không gian topo thay vì không gian
metric, ta có thể xem (iii) và (iv) là trường hợp đặc biệt của (ii). Do
đó, khái niệm hội tụ trong không gian topo có thể được sử dụng để
tổng quát hóa tất cả các khái niệm về giới hạn đã nêu.
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

Định nghĩa 2.5. (Không gian metric các hàm bị chặn) Giả sử (X, dX )
và (Y, dY ) là các không gian metric. Gọi B(X → Y ) là không gian tất
cả các hàm bị chặn đi từ X vào Y :

B(X → Y ) := {f |f : X → Y là hàm bị chặn}
Ta định nghĩa metric d∞ : B(X → Y ) × B(X → Y ) → R+ bởi
d∞ (f, g) := sup dY (f (x), g(x)) = sup{dY (f (x), g(x)) : x ∈ X}
x∈X

với mọi f, g ∈ B(X → Y ). Metric này đôi khi được biết đến như là
L∞ metric. Ta cũng sẽ sử dụng dB (X → Y ) như là d∞ (f, g)
Lưu ý rằng khoảng cách d∞ (f, g) luôn hữu hạn vì theo giả thiết f
và g bị chặn trên X.
Ví dụ 2.4.1. Giả sử X := [0, 1] và Y = R. Cho f : [0, 1] → R và
g : [0, 1] → R là các hàm xác định bởi f (x) := 2x và g(x) := 3x. Khi
đó f và g đều là các hàm bị chặn và do đó chúng thuộc B([0, 1] → R).
Khoảng cách giữa chúng là:
d∞ (f, g) = sup |2x − 3x| = sup |x| = 1.
x∈[0,1]

x∈[0,1]

Không gian B(X → Y ) là không gian metric, sự hội tụ trong không
gian đó chính là sự hội tụ đều, cụ thể:
Mệnh đề 2.5. Giả sử (X, dX ) và (Y, dY ) là các không gian metric,
(f (n) )∞
n=1 là dãy hàm trong B(X → Y ) và f là một hàm khác trong
B(X → Y ). Khi đó (f (n) )∞
n=1 hội tụ đến f đối với metric dB (X → Y )
nếu và chỉ nếu (f (n) )∞
n=1 hội tụ đều đến f.
16



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

Bây giờ gọi C(X → Y ) là không gian các hàm liên tục bị chặn từ
X vào Y :
C(X → Y ) := {f ∈ B(X → Y )|f liên tục }.
Rõ ràng C(X → Y ) là tập con của B(X → Y ). Theo hệ quả 2.1
thì tập này đóng trong B(X → Y ). Thậm chí ta có thể nói nhiều hơn
như thế:
Định lý 2.2. (Không gian của các hàm liên tục là đủ) Giả sử (X, dX )
là không gian metric và (Y, dY ) là không gian metric đủ. Không gian
(C(X → Y ), dB(X→Y )|(C(X→Y ×C(X→Y ) ) là không gian con đủ của (B(X →
Y ), dB(X→Y ) ). Tức là, mọi dãy Cauchy của các hàm trong C(X → Y )
đều hội tụ đến một hàm trong C(X → Y ).

2.5

Chuỗi hàm; dấu hiệu Weierstrass

Bây giờ chúng ta thảo luận về chuỗi vô hạn

∞
n=1 fn

của các hàm. Ta

sẽ hạn chế sự chú ý đến các hàm f : X → R từ không gian metric
(X, dX ) đến trục số thực R (Metric thông thường); Các hàm có miền
giá trị là R được gọi là hàm giá trị thực. Tất nhiên, tổng hữu hạn là

dễ dàng với bất kì tập hợp hữu hạn các hàm f (1) , . . . , f (N ) từ X vào
N
(i)
n=1 f

R, ta có thể định nghĩa tổng hữu hạn
N

: X → R bởi:

N

f

(i)

f (i) (x).

(x) :=

n=1

n=1

Ví dụ 2.5.1. Nếu f (1) : R → R cho bởi f (1) (x) := x, f (2) (x) : R → R
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Nguyễn Thị Luyến

cho bởi f (2) (x) := x2 và f (3) (x) : R → R xác định bởi f (3) := x3 . Khi
đó f :=

3
(i)
i=1 f

là hàm f : R → R định nghĩa bởi f (x) := x+x2 +x3 .

Dễ dàng chỉ ra tổng hữu hạn của các hàm bị chặn là bị chặn và
tổng của các hàm liên tục là liên tục.
Bây giờ ta xét chuỗi vô hạn.
Định nghĩa 2.6. (Chuỗi vô hạn) Giả sử (X, dX ) là một không gian
metric và (f (n) )∞
n=1 là dãy các hàm từ X vào R, f là hàm khác từ X
N
(n)
n=1 f

vào R. Nếu các tổng riêng

N → ∞ thì ta nói rằng chuỗi
kí hiệu là f :=

∞
(n)
.
n=1 f


f :=

∞
(n)
.
n=1 f

∞
(n)
n=1 f

hội tụ từng điểm đến f và

Nếu dãy tổng riêng

∞
(n)
n=1 f

đến f thì ta nói chuỗi

hội tụ điểm đến f trên X khi
N
(n)
n=1 f

hội tụ đều

hội tụ đều đến f và cũng kí hiệu là


(Vì vậy, khi gặp biểu thức như f :=

∞
(n)
n=1 f

ta cần

chú ý sự hội tụ của chuỗi này).
Chú ý 2.10. Chuỗi hàm

∞
(n)
n=1 f

X nếu và chỉ nếu chuỗi số
x ∈ X. (Vì vậy nếu

∞
(n)
n=1 f

hội tụ từng điểm đến hàm f trên

∞
(n)
(x)
n=1 f


hội tụ đến số f (x) với mọi

không hội tụ từng điểm đến f thì không

có nghĩa là nó phân kì từng điểm. Nó có thể hội tụ tại một số điểm x
này và phân kì tại một số điểm x khác).
Nếu chuỗi

∞
(n)
n=1 f

hội tụ đều đến f, thì nó cũng hội tụ theo từng

điểm đến f, nhưng ngược lại không đúng, như ví dụ sau đây:
Ví dụ 2.5.2. Giả sử f (n) : (−1, 1) → R là dãy hàm f (n) := xn . Khi
đó
x
1−x

∞
(n)
n=1 f

hội tụ theo từng điểm nhưng không hội tụ đều đến hàm

(xem Ví dụ 2.5.4).

18



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Luyến

Không phải lúc nào cũng rõ ràng rằng chuỗi

∞
n=1

là hội tụ hay

phân kì. Tuy nhiên, có một tiêu chuẩn rất tốt để kiểm tra sự hội tụ
đều:
Định nghĩa 2.7. (Chuẩn sup) Nếu f : X → R là hàm có giá trị thực
bị chặn, ta định nghĩa chuẩn sup ||f ||∞ của f là số:
||f ||∞ := {sup|f (x)| : x ∈ X}
Nói cách khác, ||f ||∞ = d∞ (f, 0), trong đó 0 : X → R là hàm không
0(x) := 0 và d∞ được cho trong Định nghĩa 2.5.
Ví dụ 2.5.3. Nếu f : (−2, 1) → R là hàm xác định bởi f (x) := 2x,
khi đó ||f ||∞ = sup{|2x| : x ∈ (−2, 1)} = 4. Lưu ý rằng khi f bị chặn
thì ||f ||∞ sẽ luôn là một số thực không âm.
Định lý 2.3. (Tiêu chuẩn Weierstrass) Giả sử (X, dX ) là một không
gian metric và (f (n) )∞
n=1 là dãy hàm liên tục có giá trị thực bị chặn
trên X sao cho chuỗi

∞
(n)
||∞

n=1 ||f

hội tụ. (Lưu ý đây là chuỗi số

chứ không phải là chuỗi hàm). Khi đó chuỗi

∞
(n)
n=1 f

hội tụ đều đến

hàm f trên X và f cũng liên tục.
Tiêu chuẩn Weierstrass có thể phát biểu ngắn gọn là: Sự hội tụ
tuyệt đối của các chuẩn sup kéo theo sự hội tụ đều của dãy hàm.
Ví dụ 2.5.4. Cho số thực 0 < r < 1 và f (n) : [−r, r] → R là dãy
hàm f (n) (x) : xn . Khi đó f (n) liên tục và bị chặn và ||f (n) ||∞ = rn . Vì
chuỗi

∞
n
n=1 r

hội tụ tuyệt đối nên chuỗi hàm f (n) hội tụ đều trong

[−r, r] đến hàm f : [−r, r] → R xác định bởi f (x) :=
19

x
1−x .


Tức là,


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

chuỗi

∞
n
n=1 x

Nguyễn Thị Luyến

hội tụ từng điểm, nhưng không hội tụ đều trên (−1, 1),

nhưng hội tụ đều trên các đoạn nhỏ hơn [−r, r] với bất kì 0 < r < 1.

2.6

Sự hội tụ đều và phép lấy tích phân

Bây giờ ta kết nối sự hội tụ đều với tích phân Riemann bằng cách
chứng minh rằng các giới hạn đều có thể hoán vị được với tích phân.
Định lý 2.4. Giả sử f (n) : [a, b] → R là các hàm khả tích Riemann
và f (n) hội tụ đều trên [a, b] tới hàm f : [a, b] → R. Khi đó f cũng khả
tích Riemann, và
f (n) =

lim


n→∞

[a,b]

f.
[a,b]

Chứng minh. Trước tiên, ta chỉ ra f khả tích Riemann trên [a, b]. Tức
là, ta chỉ ra các tích phân Riemann trên và tích phân Riemann dưới
bằng nhau:

[a,b]

f=

[a,b] f.

Giả sử ε > 0, vì f (n) hội tụ đều đến f nên tồn tại N > 0 sao cho
|f (n) (x) − f (x)| < ε với mọi n > N và x ∈ [a, b]. Đặc biệt ta có:
f (n) (x) − ε < f (x) < f (n) (x) + ε với mọi ε ∈ [a, b]
Tích phân trên [a, b] ta có được:
(f (n) − ε) ≤
[a,b]

f≤
[a,b]

[a,b]


(f (n) + ε).

f≤
[a,b]

Vì f (n) khả tích Reimann nên
f (n) − ε(b − a) ≤
[a,b]

f≤
[a,b]

[a,b]

20

f (n) − ε(b − a).

f≤
[a,b]