TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
——————–o0o——————–

ĐỖ THỊ THU HẰNG

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Hà Nội - 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
——————–o0o——————–

ĐỖ THỊ THU HẰNG

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học

ThS. Dương Thị Luyến

Hà Nội - 2019

Lời cảm ơn
Sau thời gian dài nghiêm túc,miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ
tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Đến nay, khóa luận
của tôi đã được hoàn thành. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ths.
Dương Thị Luyến – người trực tiếp tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và định
hướng cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận
này. Đồng thời tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại
số và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt bài khóa luận này để có kết quả
như ngày hôm nay.
Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân nên khóa
luận của tôi không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được
sự góp ý chân thành từ thầy cô và các bạn sinh viên.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh, ủng hộ và
động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa luận này!
Hà Nội, tháng 05 năm 2019
Tác giả khóa luận

Đỗ Thị Thu Hằng


Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp “Phương trình vô tỉ” được hoàn thành do sự
cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của
cô giáo - Thạc sĩ Dương Thị Luyến.
Trong quá trình thực hiện tôi đã tham khảo một số tài liệu như đã viết
trong phần tài liệu tham khảo. Vì vậy, tôi xin cam đoan kết quả trong
khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả của tác giả nào
khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2019
Tác giả khóa luận

Đỗ Thị Thu Hằng


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Một số kiến thức cơ bản về phương trình vô tỉ

3

1.1

1.2

Kiến thức cơ bản về phương trình . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Khái niệm phương trình . . . . . . . . . . . . . . .

4


1.1.2

Điều kiện xác định của một phương trình . . . . . .

5

1.1.3

Phương trình tương đương . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4

Phương trình hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Phương trình vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2


Các bước giải phương trình vô tỉ (dạng chung) . . .

8

1.2.3

Một số kiến thức cơ bản về căn thức . . . . . . . .

8

2 Phương pháp giải phương trình vô tỉ
2.1

2.2

Phương pháp biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . .

9
9

2.1.1

Nâng lên lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1.2

Đưa về phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . .


14

2.1.3

Trị tuyệt đối hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Phương pháp nhân lượng liên hợp . . . . . . . . . . . . . .

21


2.3

Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3.1

Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường . . . . . . .

23

2.3.2

Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp . . . . .

25


2.3.3

Đặt ẩn phụ không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.4

Phương pháp đưa về hệ phương trình gồm hai ẩn phụ 29

2.4

Phương pháp hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.5

Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.6

Phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.7


Phương pháp vecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3 Một số kỹ thuật tìm lượng liên hợp bằng máy tính cầm tay
trong giải phương trình vô tỉ.

44

3.1

Phương trình có một nghiệm x = x0

. . . . . . . . . . . .

45

3.2

Phương trình có hai nghiệm đơn x = x1 và x = x2 . . . . .

50

3.3

Nhân liên hợp nghiệm bội bậc ba trở lên . . . . . . . . . .

56


Kết luận

60

Tài liệu tham khảo

61


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ là một trở
ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối.
Phương trình vô tỉ là loại toán khó đối với học sinh, nhiều học sinh không
biết giải phương trình vô tỉ như thế nào, chưa nắm vững có những phương
pháp nào. Các bài toán về phương trình vô tỉ là một dạng toán hay và
khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh đại
học. Nhận thấy tầm quan trọng của vấn đề này cùng với mong muốn tháo
gỡ khó khăn trong quá trình dạy và học phương trình vô tỉ, từ đó nâng
cao chất lượng, hiệu quả dạy và học. Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể
giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình vô tỉ? Và khi gặp
bất cứ một dạng toán nào về phương trình vô tỉ các em cũng có thể tìm
ra cách giải một cách tốt nhất? Với tất cả những lí do trên, tôi quyết định
chọn đề tài "Phương trình vô tỉ".

2. Mục đích nghiên cứu đề tài
Nghiên cứu về “Phương trình vô tỉ trong chương trình phổ thông”. Giúp
giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp
1



các kiến thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có
phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả.

3. Đối tượng nghiên cứu
- Phương trình vô tỉ.

4. Phương pháp nghiên cứu
− Phương pháp nghiên cứu lý luận.
− Phương pháp phân tích.
− Phương pháp tổng hợp.
− Phương pháp so sánh.

5. Phạm vi nghiên cứu
Phương trình vô tỉ trong dạy học chương trình phổ thông.

2


Chương 1
Một số kiến thức cơ bản về phương
trình vô tỉ
Nội dung dạy học phương trình vô tỉ được trình bày ở chương I sách
Đại số lớp 9, tập 1. Ở lớp 9, học sinh mới chỉ được làm quen với dấu căn,
khử mẫu biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu, rút gọn biểu thức chứa
căn bậc hai. Các vấn đề cơ bản của nó được tiếp nối và mở rộng ra trong
chương III sách giáo khoa Toán 10 cơ bản với phương trình chứa ẩn dưới
dấu căn. Học sinh đã được làm quen với phương trình vô tỉ từ năm lớp 9
và tiếp cận nhiều hơn ở lớp 10 nhưng số lượng tiết dạy trên trường lại rất
hạn chế và cơ bản mà nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh

giỏi các cấp, đề thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng – Tốt nghiệp Trung
học. Do đó phương trình vô tỉ có vị trí đặc biệt quan trọng trong chương
trình toán học phổ thông. Tuy nhiên, phương trình có rất nhiều dạng nên
trong khi giải học sinh thường tỏ ra lúng túng và vấp phải những sai lầm
do không nắm vững những nguyên tắc cơ bản về biến đổi. Chính vì vậy,
nghiên cứu về phương trình vô tỉ là việc cần thiết để trang bị cho học sinh
các kiến thức và vận dụng phù hợp các phương pháp để giải hiệu quả các
3


phương trình vô tỉ.

1.1
1.1.1

Kiến thức cơ bản về phương trình
Khái niệm phương trình

Định nghĩa 1.1. Cho hai hàm số của n biến phức x1 ,x2 ,..., xn là f (x1 , x2 , ..., xn )
và g (x1 , x2 , ..., xn ).
Ta gọi tập hợp n số phức x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Cn là một điểm trong
không gian phức n chiều Cn . Khi đó các hàm số được xem là các hàm một
biến f (x), g(x) trong Cn . Giả sử f (x) có miền xác định là D1 ⊂ Cn , g (x)
có miền xác định là D2 ⊂ Cn .
Ta định nghĩa phương trình f (x) = g(x) là kí hiệu của hàm mệnh đề
“giá trị của hai hàm số f (x) và g(x) là bằng nhau”. [[4],tr.92].
Đây là định nghĩa tổng quát, chính xác và đầy đủ về phương trình. Tuy
nhiên ở chương trình phổ thông, chúng ta chưa được tìm hiểu về ánh xạ,
không gian phức nên định nghĩa này chỉ dành để tham khảo sau khi đã
học xong chương trình phổ thông.

Định nghĩa 1.2. “Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) có tập xác định
lần lượt là Df và Dg . Đặt D = Df ∩ Dg . Mệnh đề chứa biến f (x) = g(x)
được gọi là phương trình một ẩn, x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là
tập xác định của phương trình. Số x0 ∈ D gọi là một nghiệm của phương
trình f (x) = g(x) nếu f (x0 ) = g(x0 ) là mệnh đề đúng.” [[3],tr.66].
Định nghĩa 1.3. “Một phương trình ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó
vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến" [[1],tr.5].
4


Như vậy, ở phổ thông chúng ta được học định nghĩa phương trình và
dần được hoàn thiện hơn theo từng cấp bậc, phù hợp với khả năng tiếp
nhận tri thức ở từng lứa tuổi để cho học sinh có thể dễ dàng tiếp thu và
hiểu khái niệm phương trình một cách tổng quát và chính xác nhất.

1.1.2

Điều kiện xác định của một phương trình

Định nghĩa 1.4 (Miền xác định của biểu thức ). “ Cho biểu thức toán
học A (x1 , x2 , .., xn ) với các đối số là x1 , x2 , .., xn . Ta gọi giá trị của biểu
thức tại bộ giá trị a1 , a2 , .., an của các đối số thuộc trường K là kết quả của
việc thực hiện tất cả các phép toán trong biểu thức đó trên trường K khi
thay x1 = a1 , x2 = a2 , .., xn = an . Khi đó bộ giá trị a1 , a2 , .., an được gọi là
một bộ giá trị thừa nhận được của các đối số. Tập hợp tất cả các bộ giá trị
thừa nhận được của các đối số được gọi là miền xác định hay tập xác định
của biểu thức đó. ” [[4],tr.7].
Ví dụ 1.1.1. Trên trường số thực
√
Biểu thức B(x) = 4 3 − x có miền xác định là (−∞; 3].

x
Biểu thức C(x) = √
có miền xác định là (−∞; 3).
4
3−x
Định nghĩa 1.5. “Khi giải phương trình f (x) = g(x) ta cần lưu ý tới điều
kiện đối với ẩn số x để f (x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều
thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình
(hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).” [[2], tr.54].
Như vậy để tìm được điều kiện của phương trình thì chúng ta phải tìm
tập xác định của biểu thức ở hai vế của phương trình. Khi đó tập xác định

5


của biểu thức được nhắc tới ở “Đại sơ cấp của Hoàng Kỳ trang 7” là nội
dung đầy đủ và tổng quát.
Ví dụ 1.1.2. Tìm điều kiện của phương trình 3 − x2 = √

x
2−x

• 3 − x2 có tập xác định là R.
x
• √
có tập xác định là (−∞; 2) .
2−x
Vậy điều kiện của phương trình là x < 2.

1.1.3


Phương trình tương đương

Định nghĩa 1.6. “Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có
cùng tập nghiệm.”[[2], tr.55].
15
Ví dụ 1.1.3. Hai phương trình 2x − 5 = 0 và 3x −
= 0 tương đương
2
5
với nhau vì cũng có nghiệm duy nhất là x = .
2

1.1.4

Phương trình hệ quả

Định nghĩa 1.7. "Nếu mọi nghiệm của phương trình f (x) = g(x) đều
là nghiệm của phương trình f1 (x) = g1 (x) thì phương trình f1 (x) = g1 (x)
được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f (x) = g(x). Ta viết
f (x) = g(x) ⇒ f1 (x) = g1 (x).”[[2],tr.56].
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của
phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
Ví dụ 1.1.4. Giải phương trình
x+3
3
2−x
+ =
x (x − 1) x x − 1
Bài giải.

6

(1.1)


+ Điều kiện của phương trình là x = 0 và x = 1.
+ Ta nhân hai vế của phương trình (1.1) với x(x − 1) ta đưa tới phương
trình hệ quả
(1.1) ⇒ x + 3 + 3 (x − 1) = x (2 − x)
⇒ x2 + 2x = 0 ⇒ x (x − 2) = 0
Phương trình cuối có hai nghiệm x = 0 và x = −2.
Như vậy so sánh với điều kiện của phương trình (1.1) , ta thấy x = 0
không thỏa mãn, đó là nghiệm ngoại lai nên bị loại, còn x = −2 thỏa
mãn điều kiện và là một nghiệm của phương trình (1.1).
Vậy phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất x = −2.

1.2
1.2.1

Phương trình vô tỉ
Khái niệm

Trong sách giáo khoa không có định nghĩa cụ thể cho phương trình vô
tỉ, nhưng qua các bài toán khác và các tài liệu tham khảo khác thì phương
trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
Khi nghiên cứu phương trình vô tỉ, nội dung phân tích chủ yếu là chương
trình phổ thông nên chúng ta có thể hiểu rằng khi giải phương trình vô tỉ
đều xét trong phạm vi trường số thực.
Ví dụ 1.2.1. 2x2 − 6x + 5 =


√

√
√
4x + 1, x + 2 = x2 − 1, ... là những

phương trình vô tỉ.
Đây là loại phương trình mà chúng ta thường hay gặp nhất trong các
kì thi. Các dạng toán cũng như cách giải loại phương trình này rất phong
7


phú và đa dạng. Nhưng tất cả cùng chung một mục đích là tìm cách loại
bỏ căn thức và chuyển phương trình đã cho về những phương trình có bậc
không lớn hơn bốn.

1.2.2

Các bước giải phương trình vô tỉ (dạng chung)

• Tìm tập xác định của phương trình.
• Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đã học.
• Giải phương trình vừa tìm được.
• So sánh kết quả với tập xác định và kết luận.

1.2.3

Một số kiến thức cơ bản về căn thức

• Một số âm không có căn bậc chẵn vì điều kiện của ẩn là biểu thức

chứa trong dấu căn bậc chẵn là một số không âm.
• Đặt điều kiện để phép nâng lên lũy thừa bậc chẵn cả hai vế phương
trình đảm bảo nhận được phương trình tương đương. Nếu không
chúng ta phải so sánh với điều kiện vì có thể đó là nghiệm ngoại lai
của phương trình.

8


Chương 2
Phương pháp giải phương trình vô
tỉ
Khi giải phương trình vô tỉ ta đều xét trong phạm vi trường số thực.

2.1

Phương pháp biến đổi tương đương

• Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập
nghiệm ( SGK Toán 10 tr.55).
• Một số phép biến đổi tương đương:
– Cộng, trừ hai vế của phương trình với cùng một biểu thức mà
không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình.
– Nhân, chia hai vế của phương trình với cùng biểu thức khác 0
mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
– Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phương trình.
– Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế
của phương trình không âm.

9



2.1.1

Nâng lên lũy thừa

√ √
 A ≥ 0, B ≥ 0

√
A. B
• A.B =
nếu
 A ≤ 0, B ≤ 0
 √−A · √−B

 A khi A > 0
√
2
• A =
 B khi A < 0
√
• 3 A xác định với mọi A.
√
A
A
= √ ( nếu A ≥ 0 và B > 0)
•
B
B

√
√
• A2 B = |A| · B (nếu B ≤ 0)

+ Một số phép biến đổi tương đương
•

√

√

B⇔A=B≥0

B≥0
√
• A=B⇔
 A = B2
A=


B≥0
√
2n
•
A=B⇔
 A = B 2n
2n+1

√


A = B ⇔ A = B 2n+1

C≥0
√
√
√
• A+ B = C ⇔
 A + B + 2√AB = C
•

√
B = 3 C ta thường lập
√
√
√
phương 2 vế để đưa phương trình về dạng A + B + 3 3 AB( 3 A + 3 B) = C
√
√
√
và ta sử dụng phép thế 3 A + 3 B = 3 C ta thu được phương trình hệ quả
Thông thường với phương trình dạng

√
3

A+

√
3


√
3
A + B + 3 ABC = C

10


* Chú ý Phép bình phương hai vế của một phương trình mà không có
điều kiện cho hai vế không âm là một phép biến đổi hệ quả. Sau khi tìm
được nghiệm ta phải thử lại.
Ví dụ 2.1.1. Giải phương trình
√

x+3+

√

√
√
3x + 1 = 2 x + 2x + 2

(2.1)

Bài giải.
Điều kiện x ≥ 0
Bình phương hai vế không âm của phương trình ta được
1+

(x + 3)(3x + 1) = x + 2


x(2x + 1)

Để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp
một chút. Vậy để bài toán đơn giản hơn ta chuyển vế phương trình
√

3x + 1 −

√

√
√
2x + 2 = 2 x − x + 3

Bình phương hai vế ta được
5x + 3 − 2

(3x + 1)(2x + 2) = 5x + 3 − 2 4x(x + 3)

Ta thu được phương trình hệ quả
6x2 + 8x + 2 =
⇐⇒ 2(x − 1)2 = 0
⇐⇒ x = 1
Thử lại. x = 1 thỏa mãn phương trình (2.1).
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1.
11

4x2 + 12x



Nhận xét 2.1.1. Nếu phương trình

f (x) +

g(x) =

h(x) +

k(x).

Mà có f (x) + h(x) = g(x) + k(x) thì ta biến đổi phương trình về dạng
f (x)−

h(x) =

k(x)−

g(x) sau đó bình phương hai vế, giải phương

trình hệ quả và thử lại nghiệm.
Ví dụ 2.1.2. Giải phương trình
x3 + 1 √
+ x+1=
x+3

x2 − x + 1 +

√

x+3


(2.2)

Bài giải.
Điều kiện x ≥ −1
Nhìn vào phương trình ta thấy, nếu bình phương hai vế thì phương
trình thu được sẽ phức tạp, vậy nếu chuyển vế phương trình thu được có
dễ dàng giải được hay không?
√
√
x3 + 1 √
Nhận xét thấy
· x + 3 = x2 − x + 1 · x + 1 nên ta chuyển
x+3
vế phương trình như sau
(2.2) ⇐⇒

x3 + 1 √
− x+3=
x+3

x2 − x + 1 −

√

x+1

Bình phương hai vế ta thu được phương trình hệ quả:



3

x=1−

√

3
x +1
= x2 − x − 1 ⇐⇒ x2 − 2x − 2 = 0 ⇐⇒ 
√
x+3
x=1+ 3
√
√
Thử lại. x = 1 − 3, x = 1 + 3 là nghiệm của phương trình (2.2).
√
√
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 − 3, x = 1 + 3.
Nhận xét 2.1.2. Nếu phương trình:

f (x) +

g(x) =

h(x) +

k(x).

Mà có f (x) · h(x) = k(x) · g(x) thì ta biến đổi phương trình về dạng
f (x)−


h(x) =

k(x)−

g(x) sau đó bình phương hai vế, giải phương

trình hệ quả và thử lại nghiệm.
12


Ví dụ 2.1.3 (Khối D – Năm 2015). Giải phương trình:
√
√
2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4.

(2.3)

Bài giải.
Điều kiện x ≤ 1
Nhận xét. phương trình đã cho có thể giải bằng phương pháp nâng lên lũy
thừa nhưng ta có thể thấy biểu thức trong căn dễ dàng biến đổi thành
bình phương của một tổng nên ta làm như sau:
√
√
(2.3) ⇐⇒ 2 ( x + 1 + 1)2 − x + 1 = 4
√
√
⇐⇒ 2( x + 1 + 1) − x + 1 = 4
√

⇐⇒ x + 1 = 2
⇐⇒ x + 1 = 4
⇐⇒ x = 3.
So sánh điều kiện ta kết luận nghiệm của phương trình đã cho là x = 3.

Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau
1.
2.
3.

√
√

3x − 2 −

√

x+7=1

x2 + 2x + 6 −
2x +

√

√

Đs x = 9

x2 + x + 2 = 1


Đs x =

6x2 + 1 = x + 1

Đs x = 0, x = 2

3
1
+x=−
4
4
√
√
√
5. 3x − 3 − 5 − x = 2x − 4
4.

x+1+

−1
,x = 1
3

Đs x = −

x+

3
4


Đs x = 2, x = 4
13


6.

√

4x + 5 +

9.
10.

3x + 1 =

√

x2 + 4x + 3 +

√
3
√
3

x−1−

√
3


2x − 1 +

2.1.2

√

2x + 7 +

x2 + x =

x−3=

√
3

√

√

x+3

Đs x = 1

√
x(x + 2) = 2 x2

x(x − 1) +

7.
8.


√

√
3

x−1=

√

Đs x = 0, x = −

3x2 + 4x + 1

9
8

√
−8 − 2 19
Đs x = −1, x =
3

2

Đs x = 1, x = 3

√
3

2

1
Đs x = , x = , x = 1
3
2

3x − 2

Đưa về phương trình tích

∗ Sử dụng đẳng thức
• u + v = 1 + uv ⇐⇒ (u − 1)(v − 1) = 0
• au + bv = ab + uv ⇐⇒ (u − b)(v − a) = 0
• A2 = B 2 ⇐⇒ (A − B)(A + B) = 0
∗ Dùng hằng đẳng thức
Biến đổi phương trình về dạng
Ak + B k ⇔ (A − B) Ak−1 + Ak−2 B + Ak−3 B 2 + .. + A.B k−2 + B k−1
Ví dụ 2.1.4. Giải phương trình
√
√
x2 + 10x + 21 = 3 x + 3 + 2 x + 7 − 6

(2.4)

Bài giải.
Điều kiện x ≤ 3.
Nhận xét. Dễ thấy biểu thức chứa trong căn có thể tách thành tích của
hai biểu thức x2 + 10x + 21 = (x + 3)(x + 7)
14



Khi đó phương trình (2.4) trở thành
√
√
(x + 3)(x + 7) = 3 x + 3 + 2 x + 7 − 6
√
√
√
⇐⇒ x + 3( x + 7 − 3) − 2( x + 7 − 3) = 0
√
√
⇐⇒ ( x + 7 − 3)( x + 3 − 2) = 0
√
x+7=3
⇐⇒  √
x+3=2

x=2
⇐⇒ 
.
x=1
So sánh điều kiện ta kết luận phương trình có nghiệm là x = 1, x = 2.
Ví dụ 2.1.5. Giải phương trình
√
√
( x + 5 − x − 3) 1 +

x2 + 2x − 15 = 8

(2.5)


Bài giải.
Điều kiện x ≤ 3.
Nhận xét. Ta dễ dàng thấy
√
√
√
√
√
√
( x + 5)2 − ( x − 3)2 = ( x + 5 − x − 3)( x + 5 + x − 3) = 8
Khi đó phương trình (2.5) trở thành
√
√
8
√
= x+5+ x−3
x+5− x−3
√
√
√
⇐⇒ x + 5( x − 3 − 1) + (1 − x − 3) = 0
√
√
⇐⇒ ( x − 3 − 1)( x + 5 − 1) = 0
√
x−3=1
⇐⇒  √
x+5=1
1+


(x + 5)(x + 3) = √

15


⇐⇒





x≤3




x=4








 x = −4

⇐⇒ x = 4.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 4.
Ví dụ 2.1.6. Giải phương trình

√
x2 − 7x + 10 = 2 x − 2

(2.6)

Bài giải.
Điều kiện x ≤ 2.
Nhận xét. Để ý thấy phương trình có một biểu thức chứa căn, một ẩn bậc
hai nên nếu bình phương ta sẽ được phương trình bậc 4 khá phức tạp. Vì
vậy ta sẽ tách để đưa phương trình về các bình phương của biểu thức khác
nhau. Khi đó (2.6) sẽ được giải như sau
√
(2.6) ⇐⇒ x2 − 6x + 9 = x − 2 + 2 x − 2 + 1
√
⇐⇒ (x − 3)2 = ( x − 2 + 1)2

√
x−3= x−2+1
⇐⇒ 
√
3−x= x−2+1
√
x−2=x−4
⇐⇒
√
x−2=2−x

(2.7a) ⇐⇒





x ≥ 4

⇐⇒



x − 2 = (x − 4)2
16




x ≥ 4


x2 − 9x + 18 = 0

(2.7a)
(2.7b)


⇐⇒

(2.7b) ⇐⇒






x≥4




x=3








 x=6



x ≤ 2

⇐⇒ x = 6.

⇐⇒ x = 2.



x − 2 = (2 − x)2
So sánh điều kiện, vậy phương trình có nghiệm là x = 2, x = 6.


Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau
√
√
√
1. x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x2 + 8x − 7 + 1
√
√
√
2. ( x + 3 − x + 1) x2 + x2 + 4x + 3 = 2x

3. 4x2 − 8x +

√

Đs x = 4, x = 5

√
√
1+ 5
1 + 13
Đs x =
,x =
2
2√
√
5 − 21
3 + 17
Đs x =
,x =

4√
4√
7 − 17
3+ 5
Đs x =
,x =
8
2
Đs x = 3

2x + 3 = 1

√
4. (x − 1) 3x − 1 = 2x2 − 4x + 1
√
5. 4 x + 1 = x2 − 5x + 14
√
√
√
6. 4x2 + 12 + x − 1 = 4(x 5x − 1 + 9 − 5x)
√
√
7. x + 3 5 − x = 1 + 3 x − 1 + (x − 1)(5 − x)
√
8. (2x + 3) 4x + 1 = 8x + 5
√
9. 2x x2 + x − 3 = 3x2 − 5x + 6
√
√
10. 4x2 + 3x + 3 = 4x x + 3 + 2 2x − 1


17

Đs x = 1
Đs x = 3
Đs x = 2
Đs x = 3
Đs x = 1


2.1.3

Trị tuyệt đối hóa

Sử dụng định nghĩa |A| =




A

khi A ≥ 0



−A

khi A < 0

Một số dạng hay gặp


A=B
• |A| = |B| ⇔ 
A = −B
 


 B ≥ 0

 
 
2
2
 A = B


B ≥ 0
• |A| = B ⇔ 






  B = A








 B = −A
Ví dụ 2.1.7. Giải phương trình
√
x+2 x−1+

√
x−2 x−1=2

(2.8)

Bài giải.
Điều kiện x ≥ 1.
Nhận xét. Nhận thấy nếu bình phương hay đặt ẩn phụ đều khó khăn để
giải nên ta để ý thấy biểu thức trong căn khá đặc biệt
√
√
√
x + 2 x − 1 = x − 1 + 2 x − 1 + 1 = ( x − 1 + 1)2
√
√
√
x − 2 x − 1 = x − 1 − 2 x − 1 + 1 = ( x − 1 − 1)2
Như vậy ta đưa phương trình (2.8) về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt

18


đối dễ giải hơn

√
√
( x − 1 + 1)2 + ( x − 1 − 1)2 = 2
√
√
⇐⇒ | x − 1 + 1| + | x − 1 − 1| = 2
√
√
x−1+1+ x−1−1=2
⇐⇒  √
√
x−1+1− x−1+1=2
√
√
⇐⇒ 2 x − 1 = 2 ⇔ x − 1 = 1



x − 1 = 1
⇐⇒


x ≥ 1

(2.8) ⇐⇒

⇐⇒ x = 2.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
Ví dụ 2.1.8. Giải phương trình
√

x+2+2 x+1+

√
√
x + 10 − 6 x + 1 = 2 x + 5 − 4 x + 1 (2.9)

Bài giải.
Điều kiện x ≥ −1.
Dễ thấy
√
√
x + 2 + 2 x + 1 = ( x + 1 + 1)2
√
√
x + 10 − 6 x + 1 = ( x + 1 − 3)2
√
√
x + 5 − 4 x + 1 = ( x + 1 − 2)2
Khi đó (2.9) trở thành
√
( x + 1 + 1)2 +

√
√
( x + 1 − 1)2 = 2 ( x + 1 − 2)2
19