BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành : Đại số

HÀ NỘI – 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành : Đại số

Người hướng dẫn khoa học

ThS. DƯƠNG THỊ LUYẾN

HÀ NỘI – 2019


Lời cảm ơn

Trong thời gian học tại trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗ tận
tình của các thầy cô, em đã học hỏi và tiếp thu được nhiều tri thức khoa
học, kinh nghiệm và phương pháp học tốt, bước đầu được làm quen với
công việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Toán, các
thầy cô trong tổ Đại số đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ dìu dắt chúng em
trưởng thành như ngày hôm nay.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới cô giáo Thạc sỹ Dương
Thị Luyến, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý
kiến quý báu cho em trong thời gian thực hiện khóa luận.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân
còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh viên để khóa
luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Ngọc Huyền
1


Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn
của cô giáo ThS. Dương Thị Luyến cùng với đó là sự cố gắng của bản
thân.
Trong quá trình nghiên cứu em đã tham khảo và kế thừa những thành
quả nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn.

Em xin cam đoan những nghiên cứu trong khóa luận này là kết quả
nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các
tác giả khác.
Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Ngọc Huyền

2


Mục lục

Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

6

Lời mở đầu

7

1 Một số kiến thức cơ bản


9

1.1

Các hàm số lượng giác

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1

Hàm số y = sin x và y = cos x . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2

Hàm số tan và hàm số cot

1.1.3

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Các dạng phương trình lượng giác
2.1

2.2


. . . . . . . . . . . . . . 11

15

Phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1

Phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2

Các ví dụ

2.1.3

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác . . . . . . 18
2.2.1

Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2.3
2.3

2.4

2.5

2.6

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x . . . . . . . . 22
2.3.1

Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2

Các ví dụ

2.3.3

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cosx . . . . . . . . . 26
2.4.1

Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.2

Các ví dụ

2.4.3

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Phương trình đối xứng với sinx và cosx . . . . . . . . . . . 29
2.5.1

Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.2

Các ví dụ

2.5.3

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30


Một số phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực 32
2.6.1

Đưa về tổng bình phương . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.2

Đánh giá hai vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.3

Đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất của nghiệm
33

2.7

2.6.4

Các ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.5

Bài tập áp dụng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Phương pháp lượng giác hóa để giải bài toán . . . . . . . . 35
2.7.1


Giải phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . 35

2.7.2

Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm
3.1

46

Sử dụng Casio để giải các bài toán lượng giác . . . . . . . . 46

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

3.2

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1

Câu hỏi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


3.2.2

Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.3

Hướng dẫn giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Kết luận

64

Tài liệu tham khảo

65

5


Danh mục các ký hiệu và chữ viết
tắt

1. R: Tập số thực
2. Z: tập số nguyên
3. TXD: tập xác định
4. SGK: sách giáo khoa
5. NXB: nhà xuất bản
6. HS: học sinh

7. TSĐH: tuyển sinh đại học
8. THPT: trung học phổ thông
9. GTLN: giá trị lớn nhất
10. GTNN: giá trị nhỏ nhất

6


Lời mở đầu
Lượng giác là một trong những lĩnh vực cơ bản của Toán học, đã tồn
tại và không ngừng phát triển qua hàng ngàn năm qua. Hàm số và phương
trình lượng giác là một trong những đơn vị kiến thức trọng tâm trong toàn
bộ nội dung chương trình Toán trung học phổ thông (THPT) và luôn xuất
hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng. Không những vậy, việc sử dụng
lượng giác còn giúp giải quyết một số bài toán đại số một cách dễ dàng,
hiệu quả hơn rất nhiều và thường xuất hiện trong các kỳ thi HSG.
Do đó em quyết định chọn đề tài “Phương trình lượng giác”.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khóa
luận gồm 3 chương.
Chương 1 “Một số kiến thức cơ bản” chương này nhắc lại kiến thức cơ
bản của hàm số lượng giác.
Chương 2 “Các dạng phương trình lượng giác”. Nội dung của chương
này nhằm phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải bên
cạnh đó nêu lên một số ví dụ, bài tập cho từng phương pháp và đưa ra
một số ứng dụng của lượng giác trong giải toán.
Chương 3 “Xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm”. Do hình thức bài
thi đánh giá năng lực cho học sinh trong kỳ thi THPT quốc gia hết lớp
12,môn toán thi trắc nghiệm nên chương này đưa ra câu hỏi trắc nghiệm
theo các dạng bài tập đã được phân dạng ở Chương 2 mục đích để các em
7



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

làm quen dần với hình thức thi này từ những lớp dưới, và một số kỹ năng
sử dụng máy tính cầm tay để việc giải toán cho kết quả nhanh và chính
xác nhất.

8


Chương 1
Một số kiến thức cơ bản
1.1

Các hàm số lượng giác

1.1.1

Hàm số y = sin x và y = cos x

a, Hàm số y = sin x
Xét hàm số y = sin x

• Tập xác định D = R
• Tập giá trị [−1, 1]
• Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π
• Sự biến thiên

−π
π
+ k2π, + k2π , k ∈ Z
2
2
π
3π
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
+ k2π,
+ k2π , k ∈ Z
2
2

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

• Đồ thị hàm số y = sin x
Đồ thị là 1 đường hình sin
Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm
đối xứng.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

Hình 1.1: Đồ thị hàm số y = sin x

b, Hàm số y = cos x

Xét hàm số y = cos x

• Tập xác định D = R
• Tập giá trị {−1, 1}
• Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π
• Sự biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−π + k2π, k2π)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π, π + k2π)

• Đồ thị hàm số y = cos x
Đồ thị hàm số là 1 đường hình sin
Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục
đối xứng

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

Hình 1.2: Đồ thị hàm số y = cos x

1.1.2

Hàm số tan và hàm số cot

a, Hàm số y = tan x

π

• Tập xác định là R\{ + kπ, k ∈ Z}
2
• Hàm số tuần hoàn bởi chu kỳ π
• Tập giá trị là R
π
π
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (− + kπ, + kπ), k ∈ Z
2
2
• Đồ thị hàm số y = tan x
Hàm số y = tan x là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ O làm
trục đối xứng
Đồ thị hàm số y = tan x

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

Hình 1.3: Đồ thị hàm số y = tan x

b, Hàm số y = cot x

• Tập xác định là R\{kπ, k ∈ Z}
• Tập giá trị là R
• Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π
• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ, π + kπ), k ∈ Z
• Đồ thị hàm số y = cot x

Hàm sồ y = cot x là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm
đố xứng

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

Hình 1.4: Đồ thị hàm số y = cot x

1.1.3

Bài tập

Ví dụ 1.1.1. Tìm tập xác định hàm số sau
1 − sin x
a, y =
cos x
π
b, y = tan x −
4
π
c, y = cot( + x)
3
Giải

1 − sinx
π

xác định khi cosx = 0 hay x = + kπ(k ∈ Z).
cos x
2
π
b, Hàm số y = tan x −
xác định khi
4
π
π
x − = + kπ
4
2
3π
⇔x=
+ kπ(k ∈ Z)
4
π
c, Hàm số y = cot( + x) xác định khi
3
π
+ x = kπ
3
π
⇔ x = − + kπ(k ∈ Z).
3
a, Hàm số y =

Ví dụ 1.1.2. Tìm chu kỳ tuần hoàn của hàm số sau
a, y = 1 + sin 2x
b, y = cos x − sinx

c, y = 2cos2 x − sin2 x.
Giải
Phương pháp khi tìm chu kỳ của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu
thức đã cho về một số dạng tối giản và lưu ý rằng

• Hàm số y = sin x, y = cos x, có chu kỳ 2π
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

• Hàm số y = tan x, y = cot x, có chu kỳ π
• Hàm số y = sin(ax+b), y = cos(ax+b), với a = 0 cho chu kỳ T =

2π
|a|

• Hàm số y = tan(ax + b), y = cot(ax + b), với a = 0 cho chu kỳ
π
T =
|a|
2π
|2|
b, T = 2π
2(1 + cos 2x) 1 − cos 2x
−
⇒ T = π.
c, y =

2
2
a, T =

Ví dụ 1.1.3. Tìm các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số
sau
a, y = 2 cos 2x + 3
√
b, y = 2 sin x − 1
c, y = 3 − 2cos2 2x
Giải
a, Ta có −1 ≤ cos 2x ≤ 1 ⇒ −1 ≤ 2 cos 2x + 3 ≤ 5.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1.
√
√
b,Ta có 0 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ −1 ≤ 2 sin x − 1 ≤ 1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.
c, Ta có 0 ≤ cos2 2x ≤ 1 ⇒ 0 ≥ −2cos2 2x ≥ −2 ⇒ 3 ≥ 3 − 2cos2 2x ≥ 1.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1.

14


Chương 2
Các dạng phương trình lượng giác
2.1

Phương trình lượng giác cơ bản

2.1.1


Phương trình lượng giác cơ bản

a, Phương trình sinx = m, với |m| ≤ 1

• Nếu m là giá trị lượng giác của một góc đặc biệt thì đặtm = sin α,
và ta có

x=
α + k2π
,k ∈ Z
x = π − α + k2π

sinx = sinα ⇔

• Nếu m không là giá trị giá trị lượng giác của một góc đặc biệt thì
sinx = m ⇒

x=
arcsinm + k2π
,k ∈ Z
x = π − arcsinm + k2π

b, Phương trình cosx = m với |m| ≤ 1

• Nếu m là giá trị đặc biệt thì đặt m = cosα, và ta có

cosx = cosα ⇔

x = α + k2π

,k ∈ Z
x = −α + k2π

• Nếu m không là giá trị giá trị lượng giác của một góc đặc biệt
cosx = m ⇒

x = arcosm + k2π
,k ∈ Z
x = −arcosm + k2π
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

c, Phương trình tan x = m
sinx
Ta có tan x =
, điều kiện của phương trình là cos x = 0 ⇔ x =
cos
x
π
+ kπ, k ∈ Z
2

• Nếu m là giá trị lượng giác của một góc đặc biệt thì đặt m = tan α
và ta có

tan x = tan α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z

• Nếu m không là giá trị lượng giác của một góc đặc biệt thì
tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ, k ∈ Z
d, Phương trình cot x = m
cos x
, s, điều kiện của phương trình là sin x = 0 ⇔ x =
Ta có cot x =
sin x
kπ

• Nếu m là giá trị lượng giác của một góc đặc biệt thì tìm m = cotα
cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
• Nếu m không là giá trị lượng giác của một góc đặc biệt thì
cotx = m ⇔ x = arctan m + kπ, k ∈ Z
2.1.2

Các ví dụ

Ví dụ 2.1.1. Giải phương trình
1
a, sin x =
2
b, cos 2x + cos(1 − 4x) = 0
√
c, 3 tan(x − 100 ) = 3

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

Giải

π
+ k2π
1
π
6

sin
a, sin x = ⇒ sinx =
⇔
,k ∈ Z
5π
2
6
x=
+ k2π
6
b, cos 2x + cos(1 − 4x) = 0
⇔ cos 2x = − cos(1 − 4x)
⇔ cos 2x = cos(1 − 4x + π)
2x =
1 − 4x + π + k2π
⇔
 2x = − (1 − 4x + π) + k2π
1 − π kπ
+
x

=

6
3 (k ∈ Z)
⇔
1+π
x=
− kπ
6
√
c, 3 tan(x − 100 ) = 3 điều kiện cos(x − 100 ) = 0


x=

1800
⇔ x − 10 =
+ k1800 ⇔ x = 1000 + k1800
2
0

Phương trình tương đương

√

3
= tan 300
3
⇔ x − 100 = 300 + k900
⇔ x = 400 + k900 (k ∈ Z)

tan(x − 100 ) =

Chú ý
Giải phương trình tan, cot chú ý điều kiện để tan và cot có nghĩa.

π
, π của phương trình sau
4
π
sin(x + ) = 1 (1)
6

Ví dụ 2.1.2. Tìm nghiệm x ∈

Giải
Phương trình (1) tương đương sin(x +

π
π
) = sin
6
2

π
π
= + k2π
6π 2
⇔ x = + k2π, k ∈ Z
3


⇔x+

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

π
π
π
1
1
Vì x ∈ − , π ⇒ − < + k2π < π ⇔ − < k < vì k ∈ Z nên
4
4
3
8
3
k = 0.
π
Vậy x = .
3
Chú ý
π
+ k2π
2
π
• sinx = −1 ⇔ x = − + k2π

2

• sinx = 1 ⇔ x =

• sinx = 0 ⇔ x = kπ
• cos x = 1 ⇔ x = k2π
• cos x = −1 ⇔ x = π + k2π
• cos x = 0 ⇔ x =
2.1.3

π
+ k2π
2

Bài tập áp dụng

Bài 1. Giải phương trình
√
a, 2 cos x − 2 = 0
b, tan(x − 1) = tan(2x +

π
)
3

c, cot 5x = tan 3x
Bài 2. Tìm nghiệm x ∈ (−π, π) của phương trình sau

π
π

tan(2x + ) + cot(x − ) = 0
4
3

2.2

Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác

2.2.1

Phương pháp giải

• Dạng 1. asin2 x + b sin x + c = 0 (a = 0, a, b, c ∈ R)
Cách giải. đặt t = sin x, điều kiện |t| ≤ 1
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

Đưa phương trình asin2 + b sin x + c = 0 về phương trình bậc hai theo
t, giải tìm t, chú ý kết hợp điều kiện của t để giải tìm x.

• Dạng 2. acosx2 + b cos x + c = 0(a = 0, a, b, c ∈ R)
Cách giải. đặt t = cosx, điều kiện |t| ≤ 1
Đưa phương trình acosx2 + b cos x + c = 0 về phương trình bậc hai
theo t, giải tìm t, chú ý kết hợp điều kiện của t để giải tìm x.

• Dạng 3. atan2 x + b tan x + c = 0 (a = 0, a, b, c ∈ R)

π
Cách giải. điều kiện cos x = 0 ⇔ x = + k2π(k ∈ Z)
2
2
Đặt t = tan x đưa phương trình atan x + b tan x + c = 0 về phương
trình bậc hai theo t, giải tìm t rồi tìm x, chú ý tìm được nghiệm x
cần thay vào điều kiện xem thỏa mãn hay không.

• Dạng 4. acot2 x + b cot x + c = 0(a = 0, a, b, c ∈ R)
Cách giải. điều kiện sin x = 0 ⇔ x = kπ(k ∈ Z)
Đặt t = cot x đưa phương trình acot2 x + b cot x + c = 0 về phương
trình bậc hai theo t,giải tìm t rồi tìm x, chú ý tìm được nghiệm x cần
thay vào điều kiện xem thỏa mãn hay không.

2.2.2

Ví dụ

Ví dụ 2.2.1. Giải phương trình
a, sin2 x − 4 sin x + 3 = 0 (1)
b, cos 2x + 5 sin x + 4 = 0 (2)
Giải
a, Đặt t = sin x, |t| ≤ 1 phương trình trở thành

t2 − 4t + 3 = 0 ⇔

t= 1
t= 3
19


(thỏa mãn
(không thỏa mãn


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

π
+ k2π , k ∈ Z.
2
b, Ta có cos 2x = 1 − 2sin2 x nên phương trình (2) tương đương với

Với t = 1 ⇒ sin x = 1 ⇔ x =

1 − 2sin2 + 5 sin x + 4 = 0
⇔ −2sin2 + 5 sin x + 5 = 0
Đặt t = sin x, |t| ≤ 1. Phương trình trở thành

√
−5 − 65
t=
(thỏa mãn)
2
−4√
−2t + 5t + 5 = 0 ⇔ 

−5 + 65 (không thỏa mãn)
t=
−4

√
−5 + 65
Với t =
−4
√
−5 + 65
⇒ sinx = t −
−4

√
−5 + 65
arcsin
+ k2π
x=
−4

√
⇔
, (k ∈ Z)
−5 + 65
x = π − arcsin
+ k2π
−4
Ví dụ 2.2.2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

sin2 x − sinx − m = 0 (1)
Giải
Đặt t = sinx (|t| ≤ 1)

⇒ t2 − t − m = 0

⇔ t2 − t = m
Bài toán trở về tìm m để phương trình có nghiệm t ∈ [−1; 1], ta giải bằng
phương pháp đồ thị
Xét hàm số y = t2 − t trên [−1; 1]
Ta có bảng biến thiên như sau.

20


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

Đồ thị hàm số y = t2 − t

Đường thẳng y=m là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục tung
tại điểm có tung độ m.
Phương trình (1) có nghiệm tương đương với phương trình (2) có nghiệm
thuộc [−1; 1].
Khi và chỉ khi đồ thị hàm số y = t2 − t cắt đường thẳng y = m tại ít nhất
một điểm.
Từ đồ thị suy ra

2.2.3

−1
≤ m ≤ 2.
4

Bài tập áp dụng


Bài 1. Giải phương trình
a, 2cos2 x − 3 cos x + 1 = 0
b, cot x − tan x + 4 sin 2x =

2
sin 2x
21


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

c, cos4 x − sin4 + cos 4x = 0 (Đề thi TSCĐ xây dựng - 2007)
Bài 2. (Đề thi TSĐH A - 2005 ) Giải phương trình

cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0
Bài 3. (Đề thi TSĐH B - 2004) Giải phương trình

5 sin x − 2 = 3(1 − sin x)tan2 x
Đáp án
Bài 1.
x=
k2π
π
a,
(k ∈ Z)
x = ± + k2π
π 3

b, x = ± + kπ (k ∈ Z)
3π

x=
+ kπ
2π
(k ∈ Z)
c, 
x = ± + kπ
6
kπ
Bài 2. x =
(k ∈ Z)
2 π

x = + k2π
6

Bài 3.
(k ∈ Z)
5π
+ k2π
x=
6

2.3

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Phương trình lượng giác có dạng asinx + bcosx = c trong đó a, b, c ∈ R

và a2 + b2 = 0 được gọi là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

2.3.1

Phương pháp giải

Cách 1. Đưa phương trình về dạng cơ bản

sin (x + α) = sin β
ta
cos (x − α) = cos β

làm theo các bước sau:

• Bước 1. Kiểm tra
+ Nếu a2 + b2 ≤ c2 thì phương trình vô nghiệm.
22


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

+ Nếu a2 + b2 ≥ c2 thì phương trình có nghiệm, khi đó để tìm nghiệm
của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2

• Bước 2. Chia cả hai vế của phương trình cho
√

√


a2 + b2 ta được

b
c
a
sinx + √
cos x = √
a2 + b 2
a2 + b 2
a2 + b 2

2
b
+ √
= 1.
Vì
a2 + b 2
a
b
Nên ∃ α sao cho √
= cosα; √
= sinα.
a2 + b2
a2 + b2
Khi đó phương trình asinx + bcosx = c có dạng

a
√
a2 + b2


2

sinxcosα + sinαcosx = √

c
c
⇔ sin(x + α) = √
a2 + b 2
a2 + b2

Đây là phương lượng giác cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải.
x
Cách 2. Đưa phương trình về phương trình bậc 2 đối với tan . Ta thực
2
hiện theo các bước sau:

x
= 0 ⇔ x = π + k2π(k ∈ Z) thử vào phương trình
2
asinx + bcosx = 0 xem có nghiệm hay không

• Bước 1. Với cos

x
= 0 ⇔ x = π + k2π(k ∈ Z) đặt
2
x
2t
1−t2

, cosx =
t = tan suy ra sinx =
2
1 + t2
1 + t2

• Bước 2. Với cos

Khi đó phương trình asinx + bcosx = c trở thành

2t
1−t2
a
+b
= 0 ⇔ (c + b) t2 − 2at + c − b = 0
2
2
1+t
1+t
• Bước 3. giải phương trình bậc 2 ẩn t sau đó giải tìm x.
Dạng đặc biệt

π
sinx + cosx = 0 ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z)
π4
sinx − cosx = 0 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z)
4
23