Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính volterra fredholm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (279.56 KB, 44 trang )
u0 + u1 + u2 + u3 + u4
150
75
75
75
75
7
14
1
16
17
14
u10
+ u5 + u6 + u7 + u8 + u9 +
75
75
75
10
75
300
⇔ u7 = −3.156 +
+) i = 8, khi đó phương trình (2.38) trở thành
0.8
2
3
u8 ≈ u(0.8) = −1 − 3.(0.8) − 2.(0.8) +
(0.8 − t)u(t)dt
0
34
(2.46)
1
(0.8 + t)u(t)dt
+
0
4
16
8
16
8
u0 + u1 + u2 + u5 + u4
75
75
75
75
75
16
8
16
8
17
3
+ u5 + u6 + u7 + u8 + u9 + u10
75
75
75
75
75
50
⇔ u8 = −3.944 +
(2.47)
+) i = 9, khi đó phương trình (2.38) trở thành
0.9
2
3
(0.9 − t)u(t)dt
u9 ≈ u(0.9) = −1 − 3.(0.9) − 2.(0.9) +
0
1
+
(0.9 + t)u(t)dt
0
3
6
3
6
3
u0 + u1 + u2 + u3 + u4
50
25
25
25
25
3
6
3
6
19
6
u10
+ u5 + u6 + u7 + u8 + u9 +
25
25
25
25
25
300
⇔ u9 = −4.888 +
(2.48)
+) i = 10, khi đó phương trình (2.38) trở thành
1
2
3
u10 ≈ u(1) = −1 − 3 · (1) − 2.(1) +
1
(1 − t)u(t)dt +
0
1
4
2
4
2
u0 + u1 + u2 + u5 + u4
15
25
15
15
15
4
2
4
2
4
1
+ u5 + u6 + u7 + u8 + u4 + u10
15
15
15
15
15
15
(1 + t)u(t)dt
0
⇔ u10 = −6 +
(2.49)
Từ (2.40) đến (2.49) ta có hệ phương trình tuyến tính sau với ẩn (u0 , u1 , ..., u10 )
35
1
1
1
2
1
1
7
2
u1 + 75
u2 + 25
u3 + 75
u4 + 15
u5 + 25
u6 + 75
u7 + 75
u8
−u0 + 75
3
1
+ 25
u9 + 30
u10 = 1
1
73
1
4
1
2
7
8
3
150 u0 − 75 u1 + 50 u2 + 75 u3 + 30 u4 + 25 u5 + 150 u6 + 75 u7 + 50 u8
2
11
+ 15
u9 + 300
u10 = 1.032
1
4
73
1
1
7
4
3
1
75 u0 + 75 u1 − 75 u2 + 15 u3 + 25 u4 + 75 u5 + 75 u6 + 25 u7 + 15 u8
11
1
+ 75
u9 + 25
u10 = 1.136
2
1
23
7
8
3
2
11
1
50 u0 + 25 u1 + 25 u2 − 25 u3 + 150 u4 + 75 u5 + 30 u6 + 15 u7 + 150 u8
4
13
+ 25
u9 + 300
u10 = 1.324
1
4
2
4
3
1
11
1
u0 + 75
u1 + 75
u2 + 75
u3 − 73
u4 + 50
u5 + 30
u6 + 150
u7 + 25
u8
75
75
13
7
+ 150
u9 + 300
u10 = 1.608
1 u0 + 1 u1 + 1 u2 + 1 u3 + 1 u4 − 14 u5 + 11 u6 + 2 u7 + 13 u8
60
15
30
15
30
15
300
25
300
1
7
u9 + 40
u10 = 2
+ 75
1
4
2
4
2
4
23
13
7
25 u0 + 25 u1 + 25 u2 + 25 u3 + 25 u4 + 25 u5 − 25 u6 + 75 u7 + 75 u8
4
+ 51 u9 + 75
u10 = 2.512
14
7
7
14
14
7
61
1
7
150 u0 + 75 u1 + 75 u2 + 75 u3 + 75 u4 + 75 u5 + 75 u6 − 75 u7 + 10 u8
17
+ 16
75 u9 + 300 u10 = 3.156
4
16
8
16
8
16
8
16
67
75 u0 + 75 u1 + 75 u2 + 75 u3 + 75 u4 + 75 u5 + 75 u6 + 75 u7 − 75 u8
17
3
u9 + 50
u10 = 3.944
+ 75
3
6
3
6
3
6
3
6
3
50 u0 + 25 u1 + 25 u2 + 25 u3 + 25 u4 + 25 u5 + 25 u6 + 25 u7 + 25 u8
19
− 19
25 u9 + 300 u10 = 4.888
1
4
2
4
2
4
2
4
2
u0 + 25
u1 + 15
u2 + 15
u3 + 15
u4 + 15
u5 + 15
u6 + 15
u7 + 15
u8
15
4
14
u9 − 15
u10 = 6
+ 15
36
Ta sử dụng Maple giải hệ phương trình trên, phần mềm cho ta kết quả là
{u0 = 5.985821229, u1 = 7.168715235, u2 = 7.699239095, u3 = 9.548997246
u4 = 10.75412235, u5 = 11.92294159, u6 = 14.08533742, u7 = 14.30042745
u8 = 15.51679387, u9 = 16.68060558, u10 = 17.89882536}
Bằng phương pháp chuỗi ta tìm được nghiệm chính xác u(x) = 6 + 12x
So sánh kết quả với nghiệm chính xác u(x) = 6 + 12x tại các điểm chia ta có
bảng sau
i
xi
ui
u(xi )
|u(xi ) − ui |
0
0
5.985821229
6
0.014178771
1
0.1
7.168715235
7.2
0.031284765
2
0.2
7.699239095
8.4
0.700760905
3
0.3
9.548997246
9.6
0.051002754
4
0.4
10.75412235
10.8
0.04587765
5
0.5 11.922294159
12
0.077705841
6
0.6
14.08533742
13.2
0.88533742
7
0.7
14.30042745
14.4
0.09977246
8
0.8
15.51679387
15.6
0.08320613
9
0.9
16.60860558
16.8
0.19139442
10
1
17.89882536
18
0.10117464
37
Kết luận
Khóa luận trình bày Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích
phân tuyến tính Volterra – Fredholm, đồng thời trình bày một số ví dụ cụ
thể. Khóa luận gồm hai chương
Chương một trình bày các kiến thức nền tảng liên quan đến đề tài: Không
gian Banach, một số không gian hàm, tích phân phụ thuộc tham số, công
thức cầu phương, trong đó em chia công thức cầu phương thành công thức
hình thang, công thức parabol và có áp dụng cụ thể trong chương hai.
Chương hai trình bày phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân
tuyến tính Volterra- Fredholm loại hai nhờ công thức hình thang và công thức
parabol có minh họa bằng các ví dụ cụ thể. Trong mỗi ví dụ ta rời rạc hóa
phương trình bằng công thức cầu phương thì ta được hệ phương trình tuyến
tính, giải hệ phương trình tuyến tính bằng phần mềm Maple ta được nghiệm
xấp xỉ dưới dạng bảng số. Sau mỗi ví dụ minh họa có lập bảng đánh giá sai
số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ thu được bằng phương pháp cầu
phương
Mặc dù em đã cố gắng hết sức, song do kiến thức hạn chế nên khóa luận
không thể tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhân được đóng góp của
các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện tốt hơn.
Em xin chân thành cảm ơn.
38
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Phạm Kỳ Anh (1995), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn
Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục.
[3] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Tuấn (2009), Giải tích
tập 3, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[4] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học và Kĩ thuật Hà
Nội.
[5] Phạm Huy Điển (chính biên) (2002), Tính toán, lập trình và giảng dạy
toán học trên Maple, NXB Khoa học và Kĩ thuật Hà Nội.
Tiếng Anh
[6] Verlan, A.F and Sizikov, V.C., (1986), Integral equation: Methods, algorithm, program (in Russian), Handbook, Naukova, Dumka, Kiev.
[7] Wazwaz, A.M. (2011), Linear and Nolinear Integral Equation, Springer.
39
