TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
——————–o0o——————–

LÊ THỊ ĐỖ

PHƯƠNG PHÁP CẦU PHƯƠNG GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN
TÍNH VOLTERRA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội – Năm 2019


ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
——————–o0o——————–

LÊ THỊ ĐỖ

PHƯƠNG PHÁP CẦU PHƯƠNG GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN
TÍNH VOLTERRA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS. Khuất Văn Ninh

Hà Nội – Năm 2019


Lời cảm ơn
Khóa luận được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
PGS.TS Khuất Văn Ninh. Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy, thầy
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình
tìm hiểu, nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành được khóa luận này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong trường, các thầy
cô giáo Khoa Toán - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã luôn bên tôi, động viên
tôi hoàn thành khóa luận này.

Tôi xin chân thành cảm ơn!


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn
Ninh, khóa luận chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Phương pháp cầu
phương giải xấp xỉ phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra” được
hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tôi, không trùng lặp
với bất cứ khóa luận nào khác.
Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những kết quả của những
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Người thực hiện


Lê Thị Đỗ


Mục lục

Mở đầu

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

1.2

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2


Định nghĩa không gian Banach . . . . . . . . . . . . .

4

Một số không gian hàm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Không gian C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Không gian C m [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.4


Không gian L(E, µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.5

Không gian L (X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Sai phân và một số tính chất của sai phân . . . . . . . . . . .

7

1.4

Công thức cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Tích phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5.1


Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5.2

Tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số .

10


2 Phương pháp cầu phương giải phương trình vi - tích phân
tuyến tính Volterra

12

2.1

Định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13


2.3

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

TÀI LIỆU THAM KHẢO

38


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích số là một môn học quan trọng trong toán học hiện đại và là
ngành nghiên cứu về xấp xỉ hàm số, giải phương trình. Trong đó thì giải số
phương trình vi – tích phân đóng vai trò nổi bật. Các kết quả nghiên cứu về
loại phương trình này đã có các ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực khoa
học công nghệ, kỹ thuật, kinh tế. Trên thực tế đối với các bài toán thực tiễn
thì đa số người ta đều không thể tìm ra nghiệm chính xác của phương trình
vi – tích phân. Cho nên vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm ra nghiệm gần
đúng của phương trình đó. Từ nhu cầu đó người ta đã tìm ra các phương
pháp giải gần đúng một số phương trình vi - tích phân. Chính vì lý do đó em
đã chọn đề tài : “Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình vi - tích
phân tuyến tính Volterra” nhằm có điều kiện được hiểu biết sâu hơn về loại
phương trình này.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra.

1



3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng: Phương pháp cầu phương giải phương trình vi - tích phân tuyến
tính Volterra.
+ Phạm vi nghiên cứu: Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải, đưa ra phương pháp và các ví dụ áp dụng phương
pháp.

5. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận.
+ Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu.

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Ở chương này, tôi nhắc lại kiến thức về không gian Banach, không gian
hàm và một số kiến thức giải tích số phục vụ cho chương sau. Nội dung được
tham khảo trong các tài liệu [1], [3], [4].

1.1
1.1.1

Không gian Banach
Không gian định chuẩn


Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian vectơ trên trường K (K là trường
số thực hoặc trường số phức), một hàm số

·

: X → R được gọi là một

chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
(i) x ≥ 0,

∀x ∈ X và x = 0 ⇔ x = θ;

(ii) λx = |λ| . x ,

∀x ∈ X, ∀λ ∈ K;

(iii) x + y ≤ x + y ,

∀x, y ∈ X.

Khi đó (X, · ) được gọi là một không gian định chuẩn và viết gọn là X.
3


Nhận xét
1. | x − y | ≤ x − y ,

∀x, y ∈ X.

2. Cho X là một không gian định chuẩn và

d : X × X −→ R
(x, y) −→ d(x, y) := x − y .
Khi đó d là một metric trên X và gọi là metric sinh bởi chuẩn.

1.1.2

Định nghĩa không gian Banach

Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là hội
tụ tới điểm x ∈ X nếu lim xn − x = 0.
n→∞

Định nghĩa 1.1.3 Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là
dãy cơ bản nếu lim xn − x = 0
n→∞

Tức là
(∀ε > 0) (∃N ∈ N) (∀m, n ≥ N ) sao cho xm − xn < ε.
Không gian X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong
không gian này đều hội tụ.
Nhờ nguyên lý làm đầy không gian metric thì mọi không gian định chuẩn
không là không gian Banach đều có thể làm đầy thành không gian Banach.

4


1.2

Một số không gian hàm


1.2.1

Không gian Rn

Rn là không gian vectơ (thỏa mãn 8 tiên đề cùng với phép toán cộng và
nhân trên trường số K).
n

n

2

(xi − yi ) .

R là không gian metric với d (x, y) =
i=1
n

R là không gian định chuẩn với một trong số các chuẩn được xác định
như sau
n

x

1

|xi |,

=
i=1


n

x

2

2

|xi | ,

=
i=1

x

∞

= max |xi | .
i=1,n

Rn là không gian Banach (với metric sinh bởi chuẩn là một không gian
đầy đủ). Ta có các không gian định chuẩn (Rn , . 1 ) , (Rn , . 2 ) , (Rn , .
Rn là không gian Hilbert với tích vô hướng (x, y) =

k

∞)

.


xn yn , ∀x, y ∈ Rn .

h=1

1.2.2

Không gian C[a, b]

Tập hợp các hàm số thực liên tục trên một đoạn [a, b] với khoảng cách giữa
hai phần tử x(t) và y(t) là d (x, y) = max |x(t) − y(t)| là không gian C[a, b].
a
Không gian C[0, 1] thường gọi tắt là không gian C.

5


Không gian C[a, b] là không gian định chuẩn với chuẩn xác định
x (t) ∈ C [a, b] :

x = max |x(t)| .
t∈[a,b]

1.2.3

Không gian C m [a, b]

Không gian C m [a, b] gồm tất cả các các hàm x (t) xác định trên [a, b] và
có đạo hàm liên tục đến cấp m với chuẩn được xác định bởi

x = max {|x (t)| , |x (t)| , ..., x(m) (t)
a≤t≤b

1.2.4

.

Không gian L(E, µ)

Cho không gian độ đo (E, ς, µ), lập Lp (E, µ) (p ≥ 1) gồm tất cả các hàm
số x (t) đo được theo độ đo µ trên tập E sao cho
p

|x (t)| dµ < +∞.
E

Xét chuẩn xác định qui tắc như sau
. : Lp (E, µ) → R

x (t) → x = 

 p1

p
|x (t)| dµ .

E

Dễ dàng kiểm tra được qui tắc trên lập thành một chuẩn trên Lp và do đó
(Lp , . ) lập thành một không gian định chuẩn trên trường số thực.

1.2.5

Không gian L (X, Y )

Cho hai không gian định chuẩn X, Y . Kí hiệu L (X, Y ) là tập tất cả các
toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Trang bị cho L (X, Y ) hai phép toán
6


a) Tổng của hai toán tử A, B ∈ L (X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B
xác định hệ thức (A + B) (x) =Ax + Bx, ∀x ∈ X;
b) Tích có hướng α ∈ K(K = R hoặc K = C) với toán tử A ∈ L (X, Y ) là
toán tử, kí hiệu α (A) xác đinh bằng hệ thức: (αA) (x) = α(Ax), ∀x ∈ X .

1.3

Sai phân và một số tính chất của sai phân

Giả sử f : R → R là một hàm số và h = const = 0. Ta gọi sai phân cấp
một của f tại x là đại lượng ∆f (x) = f (x + h) − f (x). Tỷ sai phân cấp một
∆f (x)
.
của f (x) là
h
Một cách tổng quát
∆n f (x) := ∆ ∆n−1 f (x) (n ≥ 1) .
Quy ước
∆o f (x) := f (x) .
Các tính chất của sai phân

(1) ∆ là toán tử tuyến tính, nghĩa là
∆ (αf + βg) = α∆f + β∆g, ∀α, β ∈ R; ∀f, g.
(2) Nếu c = const thì ∆c = 0.
(3) ∆n (xn ) = n!hn , ∆m (xn ) = 0(m > n).
(4) Nếu P (x) là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor
n

∆P := P (x + h) − P (x) =
i=1

7

hi (i)
P (x).
i!


n

(5) f (x + nh) =

Cni ∆i f (x) .

i=0
n

n

(6) ∆ f (x) =

i

(−1) Cni f (x + (n − i) h) .

i=0

(7) Giả sử f ∈ C n [a, b] và (x, x + mh) ⊂ [a, b] .
∆n f (x)
Khi đó,
= f (n) (x + θnh), θ ∈ (0, 1) .
n
h

1.4

Công thức cầu phương

Bản chất của công thức cầu phương là sự thay thế tích phân bằng tổng
hữu hạn
b

n

ϕ (x) dx =

Ak ϕ (xk ) + Rn (ϕ) ,
k=0

a

trong đó
• Ak là hệ số của công thức cầu phương
• xk k = 0, n là các nút của công thức cầu phương
• Rn là sai số của công thức cầu phương.
Khi Rn (ϕ) là nhỏ thì công thức (1.4.1) trở thành
b

n

ϕ (x) dx ≈
a

Ak ϕ (xk ).
k=0

8

(1.4.1)


1. Công thức hình thang
Giả sử đoạn [a, b] được chia thành n phần bằng nhau:

a = x0 < x1 < ... < xn = b, h =
b

ϕ (x)dx ≈

b−a
.

n

b−a
[y0 + 2 (y1 + y2 + ... + yn−1 ) + yn ] ,
2n

(1.4.2)

a

với y0 = ϕ (x0 ) , yk = ϕ (xk ) , ∀k = 0, n.

Đặt Ak =

b−a
b−a
b−a
b−a
, A0 =
, A1 =
= A2 = ... = An−1 , An =
.
2n
2n
n
2n
n

Ak ϕ (xk ) .

Khi đó công thức (1.4.2) có dạng
k=0

Vậy công thức hình thang chính là công thức cầu phương.
2. Công thức Parabol (Simpson)
Giả sử đoạn [a, b] được chia thành 2n phần bằng nhau:
a = x0 < x1 < ... < x2n = b, h =
b

ϕ (x)dx ≈

b−a
.
2n

b−a
[y0 + 4(y1 + y3 + ... + y2n−1 ) + 2(y2 + y4 + ... + y2n−2 ) + y2n ]
6n

a

(1.4.3)
với y0 = ϕ (x0 ) , yk = ϕ (xk ) , ∀k = 0, n.

9


Đặt
A2n =

b−a
b−a
, A0 =
,
6n
6n
2(b − a)
,
3n
b−a
=
.
3n

A1 = A3 = ... = A2n−1 =
A2 = A4 = ... = A2n−2
n

Khi đó công thức (1.4.3) có dạng

Ak ϕ (xk ) .
k=0

Vậy công thức Parabol chính là công thức cầu phương.

1.5
1.5.1

Tích phân phụ thuộc tham số
Định nghĩa

Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định với x ∈ [a, b] và y thuộc một tập
hợp số thực K nào đó, sao cho với mỗi y cố định thuộc K hàm f (x, y) khả
tích trong đoạn [a, b].
b

Đặt I(y) =

f (x, y)dx.
a

Khi đó I(y) là một hàm số xác định trên tập K và được gọi là tích phân phụ
thuộc tham số của hàm f (x, y) trong đoạn [a, b].

1.5.2

Tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số

Giả sử f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật
D = [a, b] × [c, d] = {(x, y), a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d} .
Định lí 1.5.1 (Tính liên tục của tích phân phụ thuộc tham số)
Nếu hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữ nhật D thì tích phân
10


b

phụ thuộc tham số I(y) =

f (x, y)dx là một hàm liên tục trong đoạn [c, d].

a

Định lí 1.5.2 (Tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số)
Gải sử hàm f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D liên tục theo
x ∈ [a, b] mỗi y cố định thuộc đoạn [c, d]. Hơn nữa f (x, y) có đạo hàm riêng
∂f
(x, y) là một hàm liên tục trong hình chữ nhạt D. Khi đó tích phân phụ
∂y
thuộc tham số
b

f (x, y)dx, y ∈ [c, d]

I(y) =
a

là một hàm khả vi và
b

∂f
(x, y)dx, y ∈ [c, d] .
∂y

I (y) =
a

Định lí 1.5.3 (Tính khả tích của tích phân phụ thuộc tham số)
Nếu hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữ nhật D = [a, b] × [c, d]
thì ta có công thức

d

d

I(y) =
c



b

b

f (x, y)dx dy =


c



a

d


f (x, y)dy  dx.


a

11


c


Chương 2
Phương pháp cầu phương giải
phương trình vi - tích phân tuyến
tính Volterra
Chương này trình bày phương pháp cầu phương giải phương trình vi - tích
phân tuyến tính Volterra loại hai và một số ví dụ minh họa. Nội dung của
Chương này được tham khảo trong các tài liệu [2], [5], [6].

2.1

Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1 Dạng tổng quát của phương trình vi - tích phân tuyến
tính Volterra cho bởi
x

u(n) (x) = f (x) + λ

K(x, t)u(t)dt

(2.1)

a

u(a) = a0 , u (a) = a1 , u (a) = a2 , ..., u(n−1) (a) = an−1

(2.2)

trong đó u(n) (x) là đạo hàm cấp n của hàm u(x).
Phương trình (2.1) là sự kết hợp giữa toán tử vi phân và toán tử tích phân
12


với u(a), u (a), ..., u(n) (0) là điều kiện ban đầu cho trước, K(x, t) là các hạch.
f (x) là hàm liên tục trên [a, b], K(x, t) là hàm liên tục theo hai biến (x, t) ∈ D,
D = [a, b] × [a, b], u(x) là hàm cần tìm với x ∈ [a, b].
Định nghĩa 2.1.2 Nghiệm của bài toán (2.1-2.2)
Hàm u(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n trên [a, b] được gọi là nghiệm của
bài toán (2.1-2.2) nếu thỏa mãn phương trình (2.1) với ∀x ∈ [a, b] và thỏa
mãn điều kiện ban đầu (2.2).
Giả sử

= {x0 , x1 , x2 , ..., xn }, trong đó

a = x0 < x1 < ... < xn = b, xi+1 = xi + h, h =

b−a
, i = 0, n − 1
n

là phép phân hoạch [a, b] theo công thức cầu phương.
Định nghĩa 2.1.3 Nghiệm chính xác của bài toán (2.1-2.2) theo phương
pháp cầu phương là giá trị của nghiệm u(x) của phương trình ở tại các điểm
xi , tức là {u(x0 ), u(x1 ), ..., u(xn )}.

Nghiệm của phương pháp cầu phương tại xi được kí hiệu là ui , i = 0, n
tức là {u0 , u1 , ..., un }.

2.2

Phương pháp chung

Xét phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra

x



u(n) = f (x) + λ K(x, t)u(t)dt
a



u(a) = a , u (a) = a , u (a) = a , ..., u(n−1) (a) = a
0
1
2
n−1

13

(2.3)


Lấy x ∈ [a, b]. Chia đoạn [a, b] bởi các điểm chia

a = x1 < x2 < x3 < ... < xm = b.
Áp dụng công thức cầu phương (1.4.1) ta có
i
(n)

u

(x) − λ.

Ak .K(x, tk )u(tk ) + Rm [Ku]

= f (x),

(2.4)

k=1

trong đó tk = xk , k = 1, m, xk là các mốc của công thức (1.4.1).
Giả thiết rằng giá trị |λRm (Ku)| là nhỏ và có thể không cần tính đến. Trong
phương trình (2.4) thay x = xi , khi đó phương trình trở thành
i
(n)

u

(xi ) − λ.

Ak .K(xi , tk )u(tk )

= f (xi ), i = 1, m

(2.5)

Ak .K(xi , tk )u(tk )

= f (xi ), i = 1, m

(2.6)

k=1
i
(n)

⇔ ui

− λ.
k=1

trong đó u(n) (x) là đạo hàm cấp n của hàm u(x).
(n)

Ta có u(n) (xi ) ≈ ui

và u(xi ) là nghiệm chính xác tại xi , ui là giá trị nghiệm

gần đúng của u(x) của phương trình (2.4) tại các điểm mốc xi với sai số
∆ui = |ui − u(xi )|.

14

Ta có thể viết nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác của phương trình (2.3)
dưới dạng bảng số

i

xi

ui

0

x0 u0 u(x0 ) ∆u(x0 )

1

x1 u1 u(x1 ) ∆u(x1 )

2

x2 u2 u(x2 ) ∆u(x2 )

... ...
n

...

u(xi )

...

∆u(xi )

...

xn un u(xn ) ∆u(xn )
Bảng 1

Áp dụng công thức tỉ sai phân ta có các kết quả sau:
ui+1 − ui
,
h
ui+2 − 2ui+1 + ui
u =
,
h2
ui+3 − 3ui+2 + 3ui+1 − ui
u =
,
h3
ui+4 − 4ui+3 + 6ui+2 − 4ui+1 + ui
u(4) =
.
h4
ui =

(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)

Tóm lại
n
(n)
ui

=
k=0

(−1)k Cnk ui+n−k
, i = 1, n.
hn

(2.11)

Khi đó phương trình (2.6) trở thành
n

k=0

(−1)k Cnk ui+n−k
− λ.
hn

i

Ak .K(xi , tk )u(tk )
k=1

15

= f (xi ), i = 1, n. (2.12)


Sử dụng điều kiện ban đầu u(0) = a0 , u (0) = a1 , u (0) = a2 , ..., u(n−1) (0) =
an−1 thay vào công thức (2.3) ta được hệ phương trình đại số tuyến tính có
n phương trình và n ẩn u1 , u2 , ..., un chưa biết.

2.3

Ví dụ

Ví dụ 2.1 Dùng phương pháp cầu phương giải phương trình vi - tích phân
tuyến tính Volterra



u (x) = 1 +

x

u(t)dt
(2.13)

0



u(0) = 0.
Lấy x ∈ [0, 1], chia đoạn [0, 1] thành 10 phần bằng nhau bởi các điểm chia

như sau
x0 = 0; x1 = 0, 1; x2 = 0, 2; x3 = 0, 3; x4 = 0, 4; x5 = 0, 5;
x6 = 0, 6; x7 = 0, 7; x8 = 0, 8; x9 = 0, 9; x10 = 1, 0.
Thay x = xi . Khi đó (2.13) có dạng
xi

u (xi ) = 1 +

u(t)dt, u(0) = 0

(2.14)

0

Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang (1.4.2) để tính
tích phân ở vế phải và công thức tỉ sai phân (2.11) cho vế trái của (2.14) ta
được
ui+1 − ui
1
=1+
u0 + 2
0, 1
20

16

i−1

uk + ui .
k=1

(2.15)


+ Với i = 0 thì u0 = u(0) = 0. Thay i = 0 vào (2.15) ta có
u1 − u0
1
= 1 + u0 ⇔ u1 = 0, 1.
0, 1
20
+ Với i = 1 thay vào (2.15) ta có
u2 − u1
1
=1+
[u0 + u1 ] ⇔ −10, 05u1 + 10u2 = 1.
0, 1
20
+ Với i = 2 thay vào (2.15) ta có
1
u3 − u2
=
[u0 + 2u1 + u2 ] ⇔ −0, 1u1 − 10, 05u2 + 10u3 = 1.
0, 1
20
+ Với i = 3 thay vào (2.15) ta có
u4 − u3
1
=
[u0 + 2u1 + 2u2 + u3 ]
0, 1

20
⇔ −0, 1u1 − 0, 1u2 − 10, 05u3 + 10u4 = 1.
+ Với i = 4 thay vào (2.15) ta có
u5 − u4
1
=
[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + u4 ]
0, 1
20
⇔ −0, 1u1 − 0, 1u2 − 0, 15u3 − 10, 05u4 + 10u5 = 1.
+ Với i = 5 thay vào (2.15) ta có
1
u6 − u5
=
[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + u5 ]
0, 1
20
⇔ −0, 1u1 − 0, 1u2 − 0, 15u3 − 0, 1u4 − 10, 05u5 + 10u6 = 1.
+ Với i = 6 thay vào (2.15) ta có
1
u7 − u6
=
[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + 2u5 + u6 ]
0, 1
20
⇔ −0, 1u1 − 0, 1u2 − 0, 15u3 − 0, 1u4 − 0, 1u5 − 10, 05u6 + 10u7 = 1.
17


+ Với i = 7 thay vào (2.15) ta có

u8 − u7
1
=
[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + 2u5 + 2u6 + u7 ]
0, 1
20
⇔ −0, 1u1 − 0, 1u2 − 0, 15u3 − 0, 1u4 − 0, 1u5 − 0, 1u6 − 10, 05u7 + 10u8 = 1.
+ Với i = 8 thay vào (2.15) ta có
u9 − u8
1
=
[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + 2u5 + 2u6 + 2u7 + u8 ]
0, 1
20
⇔ −0, 1u1 − 0, 1u2 − 0, 15u3 − 0, 1u4 − 0, 1u5 − 0, 1u6 − 0, 1u7 − 10, 05u8
+ 10u9 = 1.
+ Với i = 9 thay vào (2.15) ta có
u10 − u9
1
=
[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + 2u5 + 2u6 + 2u7 + 2u8 + u9 ]
0, 1
20
⇔ −0, 1u1 − 0, 1u2 − 0, 15u3 − 0, 1u4 − 0, 1u5 − 0, 1u6 − 0, 1u7 − 0, 1u8
− 10, 05u9 + 10u10 = 1.

18


Ta được hệ phương trình đại số tuyến tính gồm (n+1) phương trình (n+1)

ẩn (u0 , u1 , .., un )


u0 = 0





u1 = 0, 1





−10, 05u1 + 10u2 = 1





−0, 1u1 − 10, 05u2 + 10u3 = 1






−0, 1u1 − 0, 1u2 − 10, 05u3 + 10u4 = 1
−0, 1u − 0, 1u − 0, 15u − 10, 05u + 10u = 1

1
2
3
4
5




−0, 1u1 − 0, 1u2 − 0, 15u3 − 0, 1u4 − 10, 05u5 + 10u6 = 1





−0, 1u1 − 0, 1u2 − 0, 15u3 − 0, 1u4 − 0, 1u5 − 10, 05u6 + 10u7 = 1





−0, 1u1 − 0, 1u2 − 0, 15u3 − 0, 1u4 − 0, 1u5 − 0, 1u6 − 10, 05u7 + 10u8 = 1





−0, 1u1 − 0, 1u2 − 0, 15u3 − 0, 1u4 − 0, 1u5 − 0, 1u6 − 0, 1u7 − 10, 05u8 + 10u9 = 1






−0, 1u1 − 0, 1u2 − 0, 15u3 − 0, 1u4 − 0, 1u5 − 0, 1u6 − 0, 1u7 − 0, 1u8 − 10, 05u9 + 10u10 = 1

Sử dụng Maple để giải hệ phương trình ta được kết quả như sau
> eqn1 := u0 = 0;
eqn1 := u0 = 0
> eqn2 := u1 = 0, 1;
eqn2 := u1 = 0, 1
> eqn3 := −10, 05 ∗ u1 + 10 ∗ u2 = 1;
eqn3 := −10, 05u1 + 10u2 = 1
> eqn4 := −0, 1 ∗ u1 − 10, 05 ∗ u2 + 10 ∗ u3 = 1;
eqn4 := −0, 1u1 − 10, 05u2 + 10u3 = 1
> eqn5 := −0, 1 ∗ u1 − 0, 1 ∗ u2 − 10, 05 ∗ u3 + 10 ∗ u4 = 1;
eqn5 := −0, 1u1 − 0, 1u2 − 10, 05u3 + 10u4 = 1

19